Jajargenjang, persegi panjang, belah ketupat, persegi (2019)

1. Jajar Genjang

Kata majemuk "jajar genjang"? Dan di baliknya terdapat sosok yang sangat sederhana.

Artinya, kami mengambil dua garis paralel:

Dilintasi dua lagi:

Dan di dalamnya ada jajaran genjang!

Properti apa yang dimiliki jajaran genjang?

Sifat-sifat jajar genjang.

Artinya, apa yang dapat Anda gunakan jika jajar genjang diberikan dalam soal?

Teorema berikut menjawab pertanyaan ini:

Mari kita gambarkan semuanya secara detail.

Apa artinya poin pertama dari teorema? Dan faktanya adalah jika Anda MEMILIKI jajar genjang, maka Anda pasti akan memilikinya

Poin kedua berarti jika ADA jajar genjang, sekali lagi, pasti:

Nah, dan yang terakhir, poin ketiga artinya jika Anda MEMILIKI jajar genjang, maka pastikan untuk:

Apakah Anda melihat betapa banyaknya pilihan yang ada? Apa yang harus digunakan dalam masalah tersebut? Cobalah untuk fokus pada pertanyaan tugas, atau coba semuanya satu per satu - beberapa "kunci" akan berhasil.

Sekarang mari kita bertanya pada diri sendiri pertanyaan lain: bagaimana kita bisa mengenali jajaran genjang “dengan melihat”? Apa yang harus terjadi pada segi empat agar kita berhak memberinya “judul” jajar genjang?

Beberapa tanda jajaran genjang menjawab pertanyaan ini.

Tanda-tanda jajaran genjang.

Perhatian! Mulai.

Genjang.

Harap dicatat: jika Anda menemukan setidaknya satu tanda dalam masalah Anda, maka Anda pasti memiliki jajar genjang, dan Anda dapat menggunakan semua properti jajar genjang.

2. Persegi Panjang

Saya pikir itu sama sekali bukan berita baru bagi Anda

Pertanyaan pertama: apakah persegi panjang merupakan jajar genjang?

Tentu saja! Lagi pula, dia punya - ingat, tanda kita 3?

Dan dari sini, tentu saja, dalam sebuah persegi panjang, seperti halnya jajaran genjang lainnya, diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya.

Namun persegi panjang juga memiliki satu ciri khas.

Properti persegi panjang

Mengapa properti ini istimewa? Karena tidak ada jajar genjang lain yang diagonalnya sama. Mari kita rumuskan lebih jelas.

Harap diperhatikan: untuk menjadi persegi panjang, segi empat harus terlebih dahulu menjadi jajar genjang, lalu menunjukkan persamaan diagonalnya.

3. Berlian

Dan lagi pertanyaannya: apakah belah ketupat itu jajar genjang atau bukan?

Di sebelah kanan adalah jajaran genjang, karena memiliki dan (ingat fitur kami 2).

Dan lagi, karena belah ketupat adalah jajar genjang, maka ia harus memiliki semua sifat jajar genjang. Artinya, pada belah ketupat, sudut-sudut yang berhadapan sama besar, sisi-sisi yang berhadapan sejajar, dan diagonal-diagonalnya berpotongan dua di titik potong.

Sifat-sifat belah ketupat

Lihatlah gambar:

Seperti halnya persegi panjang, sifat-sifat ini berbeda, yaitu, untuk masing-masing sifat ini kita dapat menyimpulkan bahwa ini bukan hanya jajar genjang, tetapi belah ketupat.

Tanda-tanda berlian

Dan sekali lagi, perhatikan: tidak boleh hanya ada segiempat yang diagonal-diagonalnya tegak lurus, tetapi juga jajar genjang. Memastikan:

Tidak, tentu saja, meskipun diagonal-diagonalnya tegak lurus, dan diagonalnya adalah garis bagi sudut dan. Tapi... diagonalnya tidak terbagi dua oleh titik potongnya, oleh karena itu - BUKAN jajar genjang, dan karenanya BUKAN belah ketupat.

Artinya, persegi adalah persegi panjang dan belah ketupat sekaligus. Mari lihat apa yang terjadi.

Apakah sudah jelas alasannya? - belah ketupat adalah garis bagi sudut A yang sama dengan. Artinya, ia terbagi (dan juga) menjadi dua sudut.

Cukup jelas: diagonal-diagonal sebuah persegi panjang adalah sama; Diagonal-diagonal belah ketupat tegak lurus, dan pada umumnya jajar genjang diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya.

LEVEL RATA-RATA

Sifat-sifat segiempat. Genjang

Sifat-sifat jajar genjang

Perhatian! Kata-kata " sifat-sifat jajar genjang"berarti kalau dalam tugasmu Ada jajaran genjang, maka semua hal berikut dapat digunakan.

Teorema sifat-sifat jajar genjang.

Dalam jajaran genjang apa pun:

Dengan kata lain, mari kita pahami mengapa semua ini benar KAMI AKAN BUKTIKAN dalil.

Jadi mengapa 1) benar?

Jika merupakan jajar genjang, maka:

berbaring bersilangan
berbohong seperti salib.

Artinya (menurut kriteria II: dan - umum.)

Ya, itu dia, itu dia! - terbukti.

Tapi omong-omong! Kami juga membuktikan 2)!

Mengapa? Tapi (lihat gambarnya), justru karena itu.

Tinggal sisa 3).

Untuk melakukan ini, Anda masih harus menggambar diagonal kedua.

Dan sekarang kita melihatnya - menurut karakteristik II (sudut dan sisi “di antara”).

Khasiatnya terbukti! Mari kita beralih ke tanda-tandanya.

Tanda-tanda jajaran genjang

Ingatlah bahwa tanda jajar genjang menjawab pertanyaan “bagaimana Anda tahu?”

Dalam ikonnya seperti ini:

Mengapa? Akan menyenangkan untuk memahami alasannya - itu sudah cukup. Tapi lihatlah:

Nah, kami menemukan mengapa tanda 1 itu benar.

Ya, itu lebih mudah! Mari menggambar diagonal lagi.

Yang berarti:

DAN Ini juga mudah. Tapi...berbeda!

Cara, . Wow! Tetapi juga - internal satu sisi dengan garis potong!

Oleh karena itu faktanya berarti demikian.

Dan jika Anda melihat dari sisi lain, maka - bagian dalam satu sisi dengan garis potong! Dan maka dari itu.

Apakah Anda melihat betapa hebatnya itu?!

Dan sekali lagi sederhana:

Sama persis, dan.

Perhatian: jika kamu menemukannya setidaknya salah satu tanda jajaran genjang dalam masalah Anda, maka Anda punya tepat jajaran genjang dan dapat Anda gunakan setiap orang sifat-sifat jajar genjang.

Untuk lebih jelasnya, lihat diagram:

Sifat-sifat segi empat. Persegi panjang.

Properti persegi panjang:

Poin 1) cukup jelas - lagipula, tanda 3 () terpenuhi begitu saja

Dan poin 2) - sangat penting. Jadi, mari kita buktikan

Artinya di dua sisi (dan - umum).

Nah, karena segitiga-segitiga itu sama besar, maka sisi miringnya juga sama.

Buktikan itu!

Dan bayangkan, persamaan diagonalnya - properti yang khas yaitu persegi panjang diantara semua jajaran genjang. Artinya, pernyataan ini benar^

Mari kita pahami alasannya?

Artinya (artinya sudut-sudut jajar genjang). Tapi mari kita ingat sekali lagi bahwa itu adalah jajar genjang, dan karena itu.

Cara, . Ya, tentu saja, masing-masing dari mereka! Bagaimanapun, mereka harus memberi secara total!

Jadi mereka membuktikan bahwa jika genjang tiba-tiba (!) diagonalnya menjadi sama, lalu ini persis persegi panjang.

Tetapi! Perhatian! Ini tentang jajaran genjang! Bukan sembarang orang segi empat yang diagonal-diagonalnya sama besar adalah persegi panjang, dan hanya genjang!

Sifat-sifat segi empat. Belah ketupat

Dan lagi pertanyaannya: apakah belah ketupat itu jajar genjang atau bukan?

Dengan hak penuh - jajaran genjang, karena memiliki (Ingat fitur kami 2).

Dan lagi, karena belah ketupat adalah jajar genjang, ia harus memiliki semua sifat jajar genjang. Artinya, pada belah ketupat, sudut-sudut yang berhadapan sama besar, sisi-sisi yang berhadapan sejajar, dan diagonal-diagonalnya berpotongan dua di titik potong.

Namun ada juga sifat khusus. Mari kita rumuskan.

Sifat-sifat belah ketupat

Mengapa? Nah, karena belah ketupat adalah jajar genjang, maka diagonal-diagonalnya terbagi dua.

Mengapa? Ya, itu sebabnya!

Dengan kata lain, diagonal-diagonalnya ternyata merupakan garis bagi sudut-sudut belah ketupat.

Seperti halnya persegi panjang, sifat-sifat ini adalah berbeda, masing-masing juga merupakan tanda belah ketupat.

Tanda-tanda berlian.

Kenapa ini? Dan lihat,

Itu berarti keduanya Segitiga-segitiga ini adalah segitiga sama kaki.

Untuk menjadi belah ketupat, suatu segiempat harus “menjadi” jajar genjang terlebih dahulu, lalu memperlihatkan fitur 1 atau fitur 2.

Sifat-sifat segi empat. Persegi

Artinya, persegi adalah persegi panjang dan belah ketupat sekaligus. Mari lihat apa yang terjadi.

Apakah sudah jelas alasannya? Persegi - belah ketupat - adalah garis bagi suatu sudut yang sama besarnya. Artinya, ia terbagi (dan juga) menjadi dua sudut.

Cukup jelas: diagonal-diagonal sebuah persegi panjang adalah sama; Diagonal-diagonal belah ketupat tegak lurus, dan pada umumnya jajar genjang diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya.

Mengapa? Nah, terapkan saja teorema Pythagoras pada...

RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Sifat-sifat jajar genjang:

Sisi-sisi yang berhadapan sama besar: , .
Sudut-sudut yang berhadapan sama besar: , .
Jumlah sudut pada salah satu sisinya adalah: , .
Diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya: .

Properti persegi panjang:

Diagonal-diagonal persegi panjang tersebut sama besar: .
Persegi panjang adalah jajar genjang (untuk persegi panjang semua sifat jajar genjang terpenuhi).

Sifat-sifat belah ketupat:

Diagonal-diagonal belah ketupat tegak lurus: .
Diagonal belah ketupat adalah garis bagi sudut-sudutnya: ; ; ; .
Belah ketupat adalah jajar genjang (untuk belah ketupat semua sifat jajar genjang terpenuhi).

Sifat-sifat persegi:

Persegi adalah belah ketupat dan persegi panjang sekaligus, oleh karena itu, untuk persegi semua sifat persegi panjang dan belah ketupat terpenuhi. Dan.

ABCD Segi Empat adalah bangun datar yang terdiri dari empat titik A, B, C, D, masing-masing tiga titik tidak terletak pada satu garis lurus, dan empat ruas AB, BC, CD dan AD yang menghubungkan titik-titik tersebut.

Gambar menunjukkan segi empat.

Titik A, B, C dan D disebut titik sudut segiempat, dan segmen AB, BC, CD dan AD - Para Pihak. Titik A dan C, B dan D disebut simpul yang berlawanan. Sisi AB dan CD, BC dan AD disebut pihak lawan.

Ada segi empat cembung(dalam gambar - kiri) dan tidak cembung(dalam gambar - kanan).

Setiap diagonalnya segi empat cembung membaginya menjadi dua segitiga(AC diagonal membagi ABCD menjadi dua segitiga ABC dan ACD; diagonal BD - pada BCD dan BAD). kamu segi empat tidak cembung hanya satu diagonal yang membaginya menjadi dua segitiga(diagonal AC membagi ABCD menjadi dua segitiga ABC dan ACD; diagonal BD tidak).

Mari kita pertimbangkan jenis utama segiempat, sifat-sifatnya, rumus luas:

Genjang

Genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar berpasangan.

Properti:

Tanda-tanda jajar genjang:

1. Jika dua sisi suatu segi empat sama panjang dan sejajar, maka segiempat tersebut adalah jajar genjang.
2. Jika pada suatu segi empat sisi-sisi yang berhadapan sama besar berpasangan, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang.
3. Jika pada suatu segi empat diagonal-diagonalnya berpotongan dan dibagi dua oleh titik potongnya, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang.

Luas jajaran genjang:

Trapesium

Rekstok gantung Segi empat disebut segi empat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar.

Alasan disebut sisi sejajar, dan dua sisi lainnya adalah sisi.

Garis tengah Trapesium adalah segmen yang menghubungkan titik tengah sisi-sisinya.

DALIL.

garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya dan sama dengan jumlah setengahnya.

Daerah trapesium:

Belah ketupat

berlian disebut jajar genjang yang semua sisinya sama panjang.

Properti:

Daerah belah ketupat:

Persegi panjang

Persegi panjang disebut jajar genjang yang semua sudutnya sama besar.

Properti:

Tanda persegi panjang:

Jika diagonal-diagonal jajar genjang sama besar, maka jajar genjang tersebut adalah persegi panjang.

Luas persegi panjang:

Persegi

Persegi disebut persegi panjang yang semua sisinya sama panjang.

Properti:

Persegi mempunyai semua sifat-sifat persegi panjang dan belah ketupat (persegi panjang adalah jajar genjang, oleh karena itu persegi adalah jajar genjang yang semua sisinya sama besar, yaitu belah ketupat).

Luas persegi:

1 . Jumlah diagonal-diagonal segiempat cembung lebih dari jumlah tersebut dua sisinya yang berlawanan.

2 . Jika ruas-ruas tersebut menghubungkan titik tengah sisi-sisi yang berhadapan berbentuk persegi

a) sama besar, maka diagonal-diagonal segiempat tersebut tegak lurus;

b) tegak lurus, maka diagonal-diagonal segiempat tersebut sama besar.

3 . Garis bagi sudut-sudut pada sisi lateral trapesium berpotongan di garis tengahnya.

4 . Sisi-sisi jajar genjang sama panjang dan . Maka segi empat yang dibentuk oleh perpotongan garis bagi sudut-sudut jajar genjang tersebut adalah persegi panjang yang diagonal-diagonalnya sama dengan .

5 . Jika jumlah sudut salah satu alas trapesium adalah 90°, maka ruas garis yang menghubungkan titik tengah alas trapesium sama dengan selisih setengahnya.

6 . Di samping AB Dan IKLAN genjang ABCD poin yang diambil M Dan N begitu lurus MS Dan tidak bagilah jajar genjang menjadi tiga bagian yang sama besar. Menemukan M N, Jika BD=d.

7 . Ruas garis lurus yang sejajar dengan alas trapesium, yang berada di dalam trapesium, dibagi menjadi tiga bagian oleh diagonal-diagonalnya. Kemudian ruas-ruas yang berdekatan pada sisi-sisinya sama besar satu sama lain.

8 . Sebuah garis lurus ditarik melalui titik potong diagonal trapesium dengan alasnya, sejajar dengan pangkalan. Ruas garis yang terletak di antara sisi-sisi trapesium sama dengan .

9 . Trapesium dibagi oleh garis lurus yang sejajar alasnya, sama dengan dan , menjadi dua trapesium yang sama besar. Maka ruas garis yang terletak di antara sisi-sisinya adalah sama dengan .

10 . Jika salah satu kondisi berikut ini benar, maka keempat poin tersebut A, B, C Dan D berbaring di lingkaran yang sama.

A) CAD=CBD= 90°.

b) poin A Dan DI DALAM berbaring pada salah satu sisi garis lurus CD dan sudut CAD sama dengan sudut CBD.

c) lurus AC Dan BD berpotongan di suatu titik TENTANG Dan HAI OS=OV OD.

11 . Garis lurus yang menghubungkan suatu titik R perpotongan diagonal-diagonal suatu segi empat ABCD dengan dot Q persimpangan garis AB Dan CD, membagi sisinya IKLAN setengah. Kemudian dia membaginya menjadi dua dan ke samping Matahari.

12 . Setiap sisi segiempat cembung dibagi menjadi tiga bagian yang sama besar. Titik-titik pembagian yang bersesuaian pada sisi-sisi yang berhadapan dihubungkan oleh segmen-segmen. Kemudian segmen-segmen ini dibagi satu sama lain menjadi tiga bagian yang sama besar.

13 . Dua garis lurus membagi dua sisi berhadapan suatu segi empat cembung menjadi tiga bagian yang sama besar. Kemudian di antara garis-garis tersebut terletak sepertiga luas segiempat tersebut.

14 . Jika suatu lingkaran dapat ditulis dalam segi empat, maka ruas yang menghubungkan titik-titik di mana lingkaran yang tertulis itu menyentuh titik di seberangnya adalah sisi segi empat, melalui titik potong diagonal-diagonalnya.

15 . Jika jumlah sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segi empat sama besar, maka dapat dibuat sebuah lingkaran pada segi empat tersebut.

16. Sifat-sifat segi empat bertulisan yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus. Segi empat ABCD tertulis dalam lingkaran berjari-jari R. Diagonalnya AC Dan BD saling tegak lurus dan berpotongan di suatu titik R. Kemudian

a) median segitiga ARV tegak lurus ke samping CD;

b) garis putus-putus AOC membagi segi empat ABCD menjadi dua sosok yang berukuran sama;

V) AB 2 + CD 2=4R 2 ;

G) AR 2 +BP 2 +CP 2 +DP 2 = 4R 2 dan AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2;

e) jarak pusat lingkaran ke sisi segiempat adalah setengah sisi yang berhadapan.

f) jika garis tegak lurus turun ke samping IKLAN dari atas DI DALAM Dan DENGAN, melintasi diagonal AC Dan BD di poin E Dan F, Itu BCFE- belah ketupat;

g) segiempat yang titik-titik sudutnya merupakan proyeksi suatu titik R pada sisi-sisi segi empat ABCD,- keduanya tertulis dan dijelaskan;

h) segi empat yang dibentuk oleh garis singgung lingkaran luar segiempat tersebut ABCD, digambar pada simpul-simpulnya, dapat ditulisi dalam lingkaran.

17 . Jika A, b, c, d- sisi-sisi segi empat yang berurutan, S adalah luasnya, maka , dan persamaan hanya berlaku untuk segi empat bertulisan yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus.

18 . Rumus Brahmagupta. Jika sisi-sisi segiempat siklik sama panjang a, b, c Dan D, lalu wilayahnya S dapat dihitung dengan menggunakan rumus,

Di mana - setengah keliling segiempat.

19 . Jika berbentuk segi empat dengan sisi-sisinya A, b, c, d dapat ditulisi dan dapat digambarkan sebuah lingkaran disekelilingnya, maka luasnya sama dengan .

20 . Titik P terletak di dalam persegi ABCD, dan sudutnya PAB sama dengan sudut RVA dan setara 15°. Lalu segitiga DPC- sama sisi.

21 . Jika untuk segi empat siklik ABCD kesetaraan terpenuhi CD = IKLAN + SM, lalu garis bagi sudut-sudutnya A Dan DI DALAM berpotongan di samping CD.

22 . Kelanjutan dari sisi yang berlawanan AB Dan CD segi empat siklik ABCD berpotongan di suatu titik M, dan para pihak IKLAN Dan Matahari- pada intinya N. Kemudian

a) garis bagi sudut AMD Dan D.N.C. saling tegak lurus;

b) lurus MQ Dan NQ memotong sisi segi empat pada titik sudut belah ketupat;

c) titik potong Q Garis bagi tersebut terletak pada ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonal segiempat tersebut ABCD.

23 . teorema Ptolemy. Jumlah hasil kali dua pasang sisi berhadapan pada suatu segi empat siklik sama dengan hasil kali diagonal-diagonalnya.

24 . teorema Newton. Pada setiap segiempat berbatas, titik tengah diagonal dan pusat lingkaran terletak pada satu garis lurus.

25 . teorema Monge. Garis yang ditarik tegak lurus melalui titik tengah sisi-sisi segiempat bertulisan sisi yang berlawanan, berpotongan di satu titik.

27 . Empat lingkaran, dibangun pada sisi-sisi segiempat cembung sebagai diameter, menutupi seluruh segi empat.

29 . Dua sudut yang berlawanan segi empat cembung - tumpul. Maka diagonal yang menghubungkan titik-titik sudut tersebut lebih kecil dari diagonal lainnya.

30. Pusat-pusat persegi yang dibangun pada sisi-sisi jajar genjang di luarnya membentuk persegi itu sendiri.

Segiempat yang diagonal-diagonalnya setidaknya sama besar dengan sisi mana pun mempunyai diameter maksimum di antara semua segiempat, sehingga menyelesaikan kasus ini N= 4 soal poligon terbesar dengan satuan diameter berdasarkan luas. Persegi merupakan salah satu segiempat tersebut, namun masih banyak lagi segi empat lainnya.

Keterangan

SEBUAH 2 + c 2 = b 2 + d 2. (\displaystyle \displaystyle a^(2)+c^(2)=b^(2)+d^(2).)

Diagonal-diagonal segi empat cembung tegak lurus jika dan hanya jika bimediannya sama panjang.

Diagonal segi empat cembung ABCD juga tegak lurus jika dan hanya jika

∠ P A B + ∠ P B A + ∠ P C D + ∠ P D C = π (\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi ),

Di mana P- titik potong diagonal. Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa diagonal-diagonal suatu segi empat cembung juga tegak lurus jika dan hanya jika proyeksi perpotongan diagonal-diagonal tersebut pada sisi-sisi segiempat tersebut adalah titik-titik sudut dari segi empat siklik.

Ada beberapa hubungan mengenai empat segitiga yang dibentuk oleh titik potong diagonal-diagonalnya P dan titik sudut segiempat cembung ABCD. Mari kita nyatakan dengan M 1 , M 2 , M 3 , M 4 median dalam segitiga ABP, BCP, CDP, DAP dari P ke samping AB, SM, CD, D.A. masing-masing. Mari kita nyatakan dengan R 1 , R 2 , R 3 , R 4 jari-jari lingkaran berbatas, dan tembus H 1 , H 2 , H 3 , H 4 - tinggi segitiga-segitiga ini. Lalu segi empat ABCD bersifat ordiagonal jika dan hanya jika salah satu persamaan berikut terpenuhi:

Apalagi segi empat ABCD dengan titik potong diagonalnya P adalah ordiagonal jika dan hanya jika pusat-pusat segitiga yang dibatasi ABP, BCP, CDP Dan DAP Lingkaran merupakan titik tengah sisi-sisi segi empat.

Perbandingan dengan segi empat yang dibatasi

Beberapa karakteristik numerik Segiempat yang dijelaskan dan segiempat ortodiagonal sangat mirip, seperti dapat dilihat pada tabel berikut. Di sini panjang sisi-sisi segi empat adalah sama A, B, C, D, jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga adalah sama R 1 , R 2 , R 3 , R 4 dan tingginya sama H 1 , H 2 , H 3 , H 4 (seperti pada gambar).

Segiempat berbatas	Segi empat ortodiagonal
a + c = b + d (\gaya tampilan a+c=b+d)	a 2 + c 2 = b 2 + d 2 (\displaystyle a^(2)+c^(2)=b^(2)+d^(2))
R 1 + R 3 = R 2 + R 4 (\displaystyle R_(1)+R_(3)=R_(2)+R_(4))	R 1 2 + R 3 2 = R 2 2 + R 4 2 (\displaystyle R_(1)^(2)+R_(3)^(2)=R_(2)^(2)+R_(4)^ (2))
1 jam 1 + 1 jam 3 = 1 jam 2 + 1 jam 4 (\displaystyle (\frac (1)(h_(1)))+(\frac (1)(h_(3)))=(\frac ( 1)(h_(2)))+(\frac (1)(h_(4))))	1 jam 1 2 + 1 jam 3 2 = 1 jam 2 2 + 1 jam 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(h_(1)^(2)))+(\frac (1)(h_(3 )^(2)))=(\frac (1)(h_(2)^(2)))+(\frac (1)(h_(4)^(2))))

Persegi

Persegi K segi empat ordiagonal sama dengan setengah hasil kali panjang diagonal-diagonalnya P Dan Q :

K = p ⋅ q 2 . (\displaystyle K=(\frac (p\cdot q)(2)).)

Sebaliknya, setiap segi empat cembung yang luasnya sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya adalah ortodiagonal. Segi empat ortodiagonal mempunyai wilayah terbesar di antara semuanya segi empat cembung dengan diagonal tertentu.

Properti lainnya

Sifat-sifat segiempat siklik ordiagonal

Keliling dan luas

D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 (\displaystyle D^(2)=p_(1)^(2)+p_( 2)^(2)+q_(1)^(2)+q_(2)^(2)=a^(2)+c^(2)=b^(2)+d^(2)),

Di mana D- diameter lingkaran yang dibatasi. Hal ini berlaku untuk dua tali busur yang tegak lurus pada sebuah lingkaran. Dari rumus ini berikut ekspresi jari-jari lingkaran yang dibatasi

R = 1 2 p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 (\displaystyle R=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (p_(1)^(2)+p_(2 )^(2)+q_(1)^(2)+q_(2)^(2))))

atau, dalam istilah sisi-sisi segi empat,

R = 1 2 a 2 + c 2 = 1 2 b 2 + d 2. (\displaystyle R=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (a^(2)+c^(2)))=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (b^( 2)+d^(2))).)

Hal ini juga mengikuti hal tersebut

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2. (\gaya tampilan a^(2)+b^(2)+c^(2)+d^(2)=8R^(2.)

Kemudian, menurut rumus Euler, jari-jari lingkaran luar dapat dinyatakan dalam diagonal P Dan Q dan jarak X antara titik tengah diagonalnya

R = hal 2 + q 2 + 4 x 2 8 . (\displaystyle R=(\sqrt (\frac (p^(2)+q^(2)+4x^(2))(8))).)

Rumus luas K segiempat ordiagonal siklik dalam hal empat sisi diperoleh langsung dengan menggabungkan teorema Ptolemy

literatur

Martin Josefsson. Perhitungan panjang singgung dan tali busur singgung segi empat tangensial // Forum Geometricorum. - 2010. - Jil. 10. - Hal.119–130.
Martin Josefsson. Ciri-ciri Segi Empat Ortodiagonal // Forum Geometricorum. - 2012. - Jil. 12. - Hal.13–25.
Maria Flavia Mammana, Biagio Micale, Mario Pennisi. Lingkaran Droz-Farny pada Segi Empat Cembung // Forum Geometricorum. - 2011. - Jil. 11. - Hal.109–119.
N. Altshiller-Pengadilan. Geometri Perguruan Tinggi. - Publikasi Dover, 2007.(Cetak ulang buku tahun 1952, Barnes & Noble)