Guru percaya bahwa setiap siswa harus bisa melakukan perhitungan lho rumus trigonometri, namun tidak semua guru menjelaskan apa itu sinus dan cosinus. Apa artinya, di mana digunakan? Mengapa kita berbicara tentang segitiga, tetapi buku pelajaran menunjukkan lingkaran? Mari kita coba menghubungkan semua fakta bersama-sama.
Pelajaran sekolah
Pembelajaran trigonometri biasanya dimulai pada kelas 7-8 sekolah menengah atas. Pada saat ini siswa dijelaskan apa itu sinus dan cosinus dan diminta untuk menyelesaikannya masalah geometri menggunakan fungsi-fungsi ini. Lebih banyak muncul nanti rumus yang rumit dan ekspresi yang diperlukan secara aljabar transform (rumus ganda dan setengah sudut, fungsi daya), pekerjaan dilakukan dengan lingkaran trigonometri.
Namun, guru tidak selalu mampu menjelaskan dengan jelas makna konsep yang digunakan dan penerapan rumusnya. Oleh karena itu, siswa sering kali tidak memahami maksudnya Subjek ini, dan informasi yang dihafal dengan cepat terlupakan. Namun perlu dijelaskan sekali kepada siswa SMA, misalnya hubungan antara fungsi dan gerak osilasi, Dan koneksi logis akan diingat selama bertahun-tahun, dan lelucon tentang tidak bergunanya barang tersebut akan menjadi masa lalu.
Penggunaan
Demi rasa penasaran, mari kita lihat berbagai cabang ilmu fisika. Apakah Anda ingin menentukan jangkauan proyektil? Atau apakah Anda menghitung gaya gesekan antara suatu benda dan permukaan tertentu? Mengayunkan pendulum, mengamati sinar yang melewati kaca, menghitung induksi? Di hampir semua formula mereka muncul konsep trigonometri. Jadi apa itu sinus dan cosinus?
Definisi
Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berlawanan terhadap sisi miring, kosinus kaki yang berdekatan semuanya berada pada sisi miring yang sama. Tidak ada yang rumit di sini. Mungkin siswa biasanya bingung dengan makna yang dilihatnya tabel trigonometri, karena mereka muncul di sana akar kuadrat. Ya, dapatkan dari mereka desimal sangat tidak nyaman, tapi siapa bilang semua bilangan dalam matematika harus genap?
Faktanya, Anda dapat menemukan petunjuk lucu di buku soal trigonometri: sebagian besar jawaban di sini genap dan masuk kasus terburuk mengandung akar dua atau tiga. Kesimpulannya sederhana: jika jawaban Anda ternyata berupa pecahan “bertingkat”, periksa kembali solusinya apakah ada kesalahan dalam perhitungan atau penalaran. Dan kemungkinan besar Anda akan menemukannya.
Apa yang perlu diingat
Seperti ilmu pengetahuan lainnya, trigonometri memiliki data yang perlu dipelajari.
Pertama, Anda harus mengingat nilai numerik sinus, cosinus segitiga siku-siku 0 dan 90, serta 30, 45 dan 60 derajat. Indikator-indikator ini terdapat pada sembilan dari sepuluh permasalahan sekolah. Dengan melihat nilai-nilai ini di buku teks, Anda akan kehilangan banyak waktu, dan tidak ada tempat untuk melihatnya sama sekali selama ujian atau ujian.
Harus diingat bahwa nilai kedua fungsi tidak boleh melebihi satu. Jika dalam perhitungan Anda Anda mendapatkan nilai di luar kisaran 0-1, hentikan dan coba lagi soal tersebut.
Jumlah kuadrat sinus dan kosinus sama dengan satu. Jika Anda sudah menemukan salah satu nilainya, gunakan rumus ini untuk mencari nilai sisanya.
Teorema
Ada dua teorema dasar dalam trigonometri dasar: sinus dan cosinus.
Pernyataan pertama menyatakan bahwa perbandingan masing-masing sisi suatu segitiga dengan sinus sudut yang berhadapan adalah sama. Yang kedua adalah bahwa kuadrat suatu sisi dapat diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari dua sisi yang tersisa dan mengurangkan hasil kali gandanya dengan kosinus sudut yang terletak di antara kedua sisi tersebut.
Jadi, jika di teorema kosinus Substitusikan nilai sudut menjadi 90 derajat, kita peroleh... teorema Pythagoras. Sekarang, jika Anda perlu menghitung luas suatu bangun yang bukan segitiga siku-siku, Anda tidak perlu khawatir lagi - kedua teorema yang dibahas akan sangat menyederhanakan penyelesaian masalah.
Tujuan dan sasaran
Mempelajari trigonometri akan menjadi lebih mudah bila Anda menyadari satu fakta sederhana: semua tindakan yang Anda lakukan ditujukan untuk mencapai satu tujuan saja. Parameter segitiga apa pun dapat ditemukan jika Anda mengetahui informasi minimum tentangnya - ini bisa berupa nilai satu sudut dan panjang dua sisi atau, misalnya, tiga sisi.
Untuk menentukan sinus, cosinus, tangen sudut mana pun, data ini cukup, dan dengan bantuannya Anda dapat dengan mudah menghitung luas gambar. Hampir selalu, jawabannya memerlukan salah satu nilai yang disebutkan, dan nilai tersebut dapat ditemukan menggunakan rumus yang sama.
Inkonsistensi dalam pembelajaran trigonometri
Salah satu pertanyaan membingungkan yang sebaiknya dihindari oleh anak sekolah adalah menemukan hubungan antara keduanya konsep yang berbeda dalam trigonometri. Tampaknya segitiga digunakan untuk mempelajari sinus dan cosinus suatu sudut, tetapi karena alasan tertentu simbol-simbol tersebut sering ditemukan pada gambar dengan lingkaran. Selain itu, ada grafik seperti gelombang yang benar-benar tidak dapat dipahami yang disebut gelombang sinus, yang tidak memiliki kemiripan luar dengan lingkaran atau segitiga.
Selain itu, sudut diukur dalam derajat atau radian, dan angka Pi, yang ditulis hanya sebagai 3,14 (tanpa satuan), untuk beberapa alasan muncul dalam rumus, sesuai dengan 180 derajat. Bagaimana semua ini terhubung?
Satuan
Mengapa Pi persisnya 3,14? Apakah Anda ingat apa artinya ini? Ini adalah jumlah jari-jari yang membentuk busur pada setengah lingkaran. Jika diameter lingkaran 2 cm, lingkar akan menjadi 3,14*2, atau 6,28.
Poin kedua: Anda mungkin telah memperhatikan kesamaan antara kata “radian” dan “radius”. Faktanya adalah satu radian adalah angka sama dengan nilainya sudut yang dibentuk dari pusat lingkaran pada busur yang panjangnya satu jari-jari.
Sekarang kita akan menggabungkan pengetahuan yang diperoleh dan memahami mengapa “Pi menjadi dua” ditulis di atas sumbu koordinat dalam trigonometri, dan “Pi” ditulis di sebelah kiri. Ini adalah nilai sudut yang diukur dalam radian, karena setengah lingkaran adalah 180 derajat, atau 3,14 radian. Dan di mana ada derajat, di situ ada sinus dan kosinus. Sangat mudah untuk menggambar segitiga titik yang diinginkan, menempatkan segmen ke arah tengah dan ke sumbu koordinat.
Mari kita melihat ke masa depan
Trigonometri, yang dipelajari di sekolah, berkaitan dengan sistem koordinat bujursangkar, di mana, betapapun anehnya kedengarannya, garis lurus tetaplah garis lurus.
Tapi masih ada lagi cara yang rumit bekerja dengan ruang: jumlah sudut segitiga di sini akan lebih dari 180 derajat, dan garis lurus dalam pandangan kita akan terlihat seperti busur nyata.
Mari beralih dari kata ke tindakan! Ambil sebuah apel. Buatlah tiga potongan dengan pisau sehingga jika dilihat dari atas diperoleh segitiga. Keluarkan potongan apel yang dihasilkan dan lihat “tulang rusuk” di mana kulitnya berakhir. Mereka tidak lurus sama sekali. Buah di tangan Anda secara konvensional bisa disebut bulat, tetapi sekarang bayangkan betapa rumitnya rumus yang dapat digunakan untuk mencari luas potongan. Namun beberapa ahli memecahkan masalah seperti itu setiap hari.
Fungsi trigonometri dalam kehidupan
Pernahkah Anda memperhatikan bahwa rute terpendek pesawat terbang dari titik A ke titik B di permukaan planet kita memiliki titik terang bentuk yang diungkapkan busur? Alasannya sederhana: Bumi berbentuk bulat, artinya Anda tidak dapat menghitung banyak menggunakan segitiga - Anda harus menggunakan rumus yang lebih rumit.
Anda tidak dapat melakukannya tanpa sinus/kosinus sudut lancip dalam segala hal yang berkaitan dengan ruang. Menariknya, banyak faktor yang bersatu di sini: fungsi trigonometri diperlukan saat menghitung pergerakan planet sepanjang lingkaran, elips, dan berbagai lintasan dengan bentuk yang lebih kompleks; proses peluncuran roket, satelit, pesawat ulang-alik, pelepasan kendaraan penelitian; pemantauan bintang yang jauh dan studi tentang galaksi yang tidak dapat dijangkau manusia di masa mendatang.
Secara umum, bidang kegiatan seseorang yang mengetahui trigonometri sangat luas dan tampaknya hanya akan berkembang seiring berjalannya waktu.
Kesimpulan
Hari ini kita mempelajari, atau setidaknya mengulangi, apa itu sinus dan kosinus. Ini adalah konsep yang tidak perlu Anda takuti - cukup inginkan dan Anda akan memahami maknanya. Ingatlah bahwa trigonometri bukanlah tujuan, melainkan hanya alat yang dapat digunakan untuk mencapai kepuasan nyata kebutuhan manusia: membangun rumah, menjamin keselamatan lalu lintas, bahkan menjelajahi luasnya alam semesta.
Memang, sains itu sendiri mungkin tampak membosankan, tetapi begitu Anda menemukan cara untuk mencapai tujuan dan realisasi diri Anda, proses pembelajaran akan menjadi menarik, dan motivasi pribadi Anda akan meningkat.
Sebagai pekerjaan rumah Cobalah mencari cara untuk menerapkan fungsi trigonometri dalam bidang aktivitas yang Anda minati. Bayangkan, gunakan imajinasi Anda, dan Anda mungkin akan menemukan bahwa pengetahuan baru akan berguna bagi Anda di masa depan. Dan selain itu, matematika bermanfaat untuk perkembangan umum pemikiran.
Cosine adalah seorang yang terkenal fungsi trigonometri, yang juga merupakan salah satu fungsi utama trigonometri. Kosinus sudut dalam segitiga tipe persegi panjang adalah perbandingan sisi-sisi yang berdekatan suatu segitiga dengan sisi miring segitiga tersebut. Paling sering, definisi kosinus dikaitkan dengan segitiga persegi panjang. Tetapi juga terjadi bahwa sudut yang diperlukan untuk menghitung kosinus dalam segitiga siku-siku tidak terletak di segitiga siku-siku ini. Lalu apa yang harus dilakukan? Bagaimana cara mencari kosinus sudut suatu segitiga?
Jika Anda perlu menghitung kosinus suatu sudut dalam segitiga siku-siku, maka semuanya sangat sederhana. Anda hanya perlu mengingat kembali pengertian cosinus yang berisi solusi dari permasalahan tersebut. Anda hanya perlu menemukan hubungan yang sama antara keduanya kaki yang berdekatan, serta sisi miring segitiga. Memang tidak sulit untuk menyatakan kosinus sudut di sini. Rumusnya sebagai berikut: - cosα = a/c, di sini “a” adalah panjang kaki, dan sisi “c” adalah panjang sisi miring. Misalnya cosinus sudut lancip segitiga siku-siku dapat dicari dengan menggunakan rumus ini.
Jika Anda tertarik pada alasannya sama dengan cosinus sudut dalam segitiga sembarang, maka teorema kosinus akan membantu, yang harus digunakan kasus serupa. Teorema kosinus menyatakan bahwa kuadrat sisi suatu segitiga adalah apriori sama dengan jumlahnya kuadrat dari sisi-sisi yang tersisa dari segitiga yang sama, tetapi tanpa menggandakan hasil kali sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut yang terletak di antara keduanya.
- Jika Anda ingin mencari kosinus sudut lancip dalam sebuah segitiga, Anda perlu menggunakan rumus berikut: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
- Jika Anda perlu mencari kosinus dalam segitiga sudut tumpul, maka Anda perlu menggunakan rumus berikut: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Sebutan dalam rumus - a dan b - adalah panjang sisi yang berdekatan dengan sudut yang diinginkan, c - adalah panjang sisi yang berhadapan dengan sudut yang diinginkan.
Kosinus suatu sudut juga dapat dihitung dengan menggunakan teorema sinus. Dinyatakan bahwa semua sisi suatu segitiga sebanding dengan sinus sudut-sudut yang berhadapan. Dengan menggunakan teorema sinus, Anda dapat menghitung sisa elemen segitiga, dengan informasi hanya tentang dua sisi dan sudut yang berhadapan dengan satu sisi, atau dari dua sudut dan satu sisi. Pertimbangkan ini dengan sebuah contoh. Kondisi masalah: a=1; b=2; c=3. Sudut yang berhadapan dengan sisi “A” dilambangkan dengan α, maka berdasarkan rumusnya kita peroleh: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Jawaban 1.
Jika kosinus suatu sudut perlu dihitung bukan dalam segitiga, tetapi dalam segitiga sembarang lainnya sosok geometris, maka segalanya menjadi sedikit lebih rumit. Besarnya sudut terlebih dahulu harus ditentukan dalam radian atau derajat, baru kemudian kosinus harus dihitung dari nilai tersebut. Cosinus oleh nilai numerik ditentukan menggunakan tabel Bradis, kalkulator teknik atau aplikasi matematika khusus.
Aplikasi matematika khusus mungkin memiliki fungsi seperti menghitung kosinus sudut pada bangun tertentu secara otomatis. Keindahan dari aplikasi semacam itu adalah mereka memberikan jawaban yang benar, dan pengguna tidak membuang waktu untuk mencari solusinya. tugas yang kompleks. Di sisi lain, kapan penggunaan konstan secara eksklusif aplikasi untuk memecahkan masalah, semua keterampilan untuk bekerja dengan solusi hilang masalah matematika untuk menemukan cosinus sudut dalam segitiga, serta angka sembarang lainnya.
