Что такое равенство? Первый признак и принципы равенства. Формулы сокращенного умножения

Получив общее представление о равенствах в математике , можно переходить к более детальному изучению этого вопроса. В этой статье мы, во-первых, разъясним, что такое числовые равенства, а, во-вторых, изучим .

Навигация по странице.

Что такое числовое равенство?

Знакомство с числовыми равенствами начинается на самом начальном этапе изучения математики в школе. Обычно это происходит в 1 классе сразу после того, как становятся известными первые числа от 1 до 9 и после того, как обретает смысл фраза «столько же». Тогда то и появляются первые числовые равенства, например, 1=1 , 3=3 и т.п., которые на этом этапе обычно называют просто равенствами без уточняющего определения «числовые».

Равенствам указанного вида на этом этапе придается количественный или порядковый смысл, который вкладывается в . К примеру, числовое равенство 3=3 отвечало картинке, на которой изображены две ветки дерева, на каждой из которых сидят по 3 птицы. Или когда в двух очередях третьими по порядку стоят наши товарищи Петя и Коля.

После изучения арифметических действий, появляются более разнообразные записи числовых равенств, например, 3+1=4 , 7−2=5 , 3·2=6 , 8:4=2 и т.п. Дальше начинают встречаться числовые равенства еще более интересного вида, содержащие в своих частях различные , к примеру, (2+1)+3=2+(1+3) , 4·(4−(1+2))+12:4−1=4·1+3−1 и тому подобные. Дальше происходит знакомство с другими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более разнообразный вид.

Итак, достаточно ходить вокруг да около, пора уже дать определение числового равенства:

Определение.

Числовое равенство – это равенство, в обеих частях которого находятся числа и/или числовые выражения.

Свойства числовых равенств

Принципы работы с числовыми равенствами определяются их свойствами. А на свойствах числовых равенств в математике завязано очень многое: от свойств решения уравнений и некоторых методов решения систем уравнений до правил работы с формулами, связывающими различные величины. Этим объясняется необходимость подробного изучения свойства числовых равенств.

Свойства числовых равенств полностью согласуются с тем, как определены действия с числами, а также находятся в согласии с определением равных чисел через разность : число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю. Ниже при описании каждого свойства мы будем прослеживать эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Обзор свойств числовых равенств стоит начать с трех основных свойств, характерных всем без исключения равенствам. Итак, основные свойства числовых равенств это:

свойство рефлексивности: a=a ;
свойство симметричности: если a=b , то b=a ;
и свойство транзитивности: если a=b и b=c , то a=c ,

где a , b и c – произвольные числа.

Свойство рефлексивности числовых равенств относится к тому факту, что число равно самому себе. Например, 5=5 , −2=−2 , и т.п.

Несложно показать, что для любого числа a справедливо равенство a−a=0 . Действительно, разность a−a можно переписать в виде суммы a+(−a) , а из свойств сложения чисел мы знаем, что для любого числа a существует единственное −a , и сумма противоположных чисел равна нулю.

Свойство симметричности числовых равенств утверждает, что если число a равно числу b , то число b равно числу a . Например, если 2 3 =8 (смотрите ), то 8=2 3 .

Обоснуем это свойство через разность чисел. Условию a=b отвечает равенство a−b=0 . Покажем, что b−a=0 . Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус, позволяет переписать разность b−a как −(a−b) , она в свою очередь равна −0 , а число, противоположное нулю, есть нуль. Следовательно, b−a=0 , откуда следует, что b=a .

Свойство транзитивности числовых равенств утверждает равенство двух чисел, когда они оба равны третьему числу. Например, из равенств (смотрите ) и 4=2 2 следует, что .

Это свойство также согласуется с определением равных чисел через разность и свойствами действий с числами. Действительно, равенствам a=b и b=c отвечают равенства a−b=0 и b−c=0 . Покажем, что a−c=0 , откуда будет следовать равенство чисел a и c . Так как прибавление нуля не изменяет число, то a−c можно переписать как a+0−c . Нуль заменим суммой противоположных чисел −b и b , при этом последнее выражение примет вид a+(−b+b)−c . Теперь можно выполнить группировку слагаемых следующим образом: (a−b)+(b−c) . А разности в скобках есть нули, следовательно, и сумма (a−b)+(b−c) равна нулю. Этим доказано, что при условии a−b=0 и b−c=0 справедливо равенство a−c=0 , откуда a=c .

Другие важные свойства

Из основных свойств числовых равенств, разобранных в предыдущем пункте, вытекает еще ряд свойств, имеющих ощутимую практическую ценность. Давайте разберем их.

Начнем с такого свойства: если к обеим частям верного числового равенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, то получится верное числовое равенство. С помощью букв оно может быть записано так: если a=b , где a и b – некоторые числа, то a+c=b+c для любого числа c .

Для обоснования составим разность (a+c)−(b+c) . Ее можно преобразовать к виду (a−b)+(c−c) . Так как a=b по условию, то a−b=0 , и c−c=0 , поэтому (a−b)+(c−c)=0+0=0 . Этим доказано, что (a+c)−(b+c)=0 , следовательно, a+c=b+c .

Идем дальше: если обе части верного числового равенства умножить на любое число или разделить на отличное от нуля число, то получится верное числовое равенство. То есть, если a=b , то a·c=b·c для любого числа c , и если c отличное от нуля число, то и a:c=b:c .

Действительно, a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0 , откуда следует равенство произведений a·c и b·c . А деление на отличное от нуля число c можно рассматривать как умножение на 1/c .

Из разобранного свойства числовых равенств вытекает одно полезное следствие: если a и b отличные от нуля и равные числа, то обратные им числа тоже равны. То есть, если a≠0 , b≠0 и a=b , то 1/a=1/b . Последнее равенство легко доказывается: для этого достаточно обе части исходного равенства a=b разделить на отличное от нуля число, равное произведению a·b .

И остановимся еще на двух свойствах, позволяющих складывать и умножать соответствующие части верных числовых равенств.

Если почленно сложить верные числовые равенства, то получится верное равенство. То есть, если a=b и c=d , то a+c=b+d для любых чисел a , b , c и d .

Обоснуем это свойство числовых равенств, отталкиваясь от уже известных нам свойств. Известно, что к обеим частям верного равенства мы можем прибавить любое число. В равенстве a=b прибавим число c , а в равенстве c+d прибавим число b , в результате получим верные числовые равенства a+c=b+c и c+b=d+b , последнее из которых перепишем как b+c=b+d . Из равенств a+c=b+c и b+c=b+d по свойству транзитивности следует равенство a+c=b+d , которое и требовалось доказать.

Заметим, что можно почленно складывать не только два верных числовых равенства, но и три, и четыре, и любое конечное их число.

Завершаем обзор свойств числовых равенств следующим свойством: если почленно перемножить два верных числовых равенства, то получится верное равенство. Сформулируем его формально: если a=b и c=d , то a·c=b·d .

Доказательство озвученного свойства похоже на доказательство предыдущего. Мы можем умножить обе части равенства на любое число, умножим a=b на c , а c=d на b , получаем верные числовые равенства a·c=b·c и c·b=d·b , последнее из которых перепишем в виде b·c=b·d . Тогда по свойству транзитивности из равенств a·c=b·c и b·c=b·d следует доказываемое равенство a·c=b·d .

Заметим, что озвученное свойство справедливо для почленного умножения трех и большего числа верных числовых равенств. Из этого утверждения следует, что если a=b , то a n =b n для любых чисел a и b , и любого натурального числа n .

В заключение этой статьи запишем все разобранные свойства числовых равенств в таблицу:

Список литературы.

Моро М. И. . Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.

«Равенство» - это тема, которую ученики проходят еще в начальной школе. Сопутствует ей также ей «Неравенства». Эти два понятия тесно взаимосвязаны. Кроме того, с ними связывают такие термины, как уравнения, тождества. Итак, что такое равенство?

Понятие равенства

Под этим термином понимают высказывания, в записи которых есть знак «=». Равенства разделяются на верные и неверные. Если в записи вместо = стоит <, >, тогда речь идет о неравенствах. Кстати, первый признак равенства говорит о том, что обе части выражения идентичны по своему результату или записи.

Кроме понятия равенства, в школе изучают также тему «Числовое равенство». Под этим высказыванием понимают два числовых выражения, которые стоят по обе стороны от знака =. К примеру, 2*5+7=17. Обе части записи равны между собой.

В числовых выражениях подобного типа могут использоваться скобки, влияющие на порядок действий. Итак, существует 4 правила, которые следует учесть при вычислении результатов числовых выражений.

Если в записи нет скобок, тогда действия выполняются с высшей ступени: III→II→I. Если есть несколько действий одной категории, тогда они выполняются слева направо.
Если в записи есть скобки, тогда действие выполняется в скобках, а затем с учетом ступеней. Возможно, в скобках будет несколько действий.
Если выражение представлено в виде дроби, тогда вычислять нужно сначала числитель, потом знаменатель, затем числитель делится на знаменатель.
Если в записи есть вложенные скобки, тогда вычисляется сначала выражение во внутренних скобках.

Итак, теперь понятно, что такое равенство. В дальнейшем будут рассмотрены понятия уравнения, тождества и способы их вычисления.

Свойства числовых равенств

Что такое равенство? Изучение этого понятия требует знания свойств числовых тождеств. Приведенные ниже текстовые формулы позволяют лучше изучить данную тему. Конечно, эти свойства больше подходят для изучения математики в старших классах.

1. Числовое равенство не будет нарушено, если в обеих его частях прибавить одно и то же число к существующему выражению.

А = В ↔ А + 5 = В + 5

2. Не будет нарушено уравнение, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число или выражение, которые отличны от нуля.

Р = О ↔ Р ∙ 5 = О ∙ 5

Р = О ↔ Р: 5 = О: 5

3. Прибавив к обеим частям тождества одинаковую функцию, которая имеет смысл при любых допустимых значениях переменной, мы получим новое равенство, равносильное первоначальному.

F(X) = Ψ (X) ↔ F(X) + R(X) = Ψ (X) + R(X)

4. Любое слагаемое или выражение можно перенести по другую сторону знака равенства, при этом нужно поменять знаки на противоположные.

Х + 5 = У - 20 ↔ Х = У - 20 - 5 ↔ Х = У - 25

5. Умножив или разделив обе части уравнения на одну и ту же функцию, отличную от нуля и имеющую смысл для каждого значения Х из ОДЗ, мы получим новое уравнение, равносильное первоначальному.

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) ∙ R(X) = Ψ(X) ∙ R(X)

F(X) = Ψ (X) ↔ F(X) : G(X) = Ψ (X) : G(X)

Приведенные правила в явной степени указывают на принцип равенства, который существует при определенных условиях.

Понятие пропорции

В математике существует такое понятие, как равенство отношений. В этом случае подразумевается определение пропорции. Если разделить А на В, то результатом будет отношение числа А к числу В. Пропорцией называют равенство двух отношений:

Иногда пропорция записывается следующим образом: A: B = C: D. Отсюда вытекает основное свойство пропорции: A * D = D * C , где A и D - крайние члены пропорции, а В и С - средние.

Тождества

Тождеством называют равенство, которое будет верно при всех допустимых значениях тех переменных, которые входят в задание. Тождества могут быть представлены как буквенные или числовые равенства.

Тождественно равными называются выражения, содержащие в обеих частях равенства неизвестную переменную, которая способна приравнять две части одного целого.

Если проводить замены одного выражения другим, которое будет равно ему, тогда речь идет о тождественном преобразовании. В этом случае можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, законами арифметики и прочими тождествами.

Чтобы сократить дробь, нужно провести тождественные преобразования. К примеру, дана дробь. Чтобы получить результат, следует воспользоваться формулами сокращенного умножения, разложением на множители, упрощением выражений и сокращением дробей.

При этом стоит учесть, что данное выражение будет тождественным тогда, когда знаменатель не будет равен 3.

5 способов доказать тождество

Чтобы доказать равенство тождественное, нужно провести преобразование выражений.

I способ

Необходимо провести равносильные преобразования в левой части. В результате получается правая часть, и можно говорить о том, что тождество доказано.

II способ

Все действия по преобразованию выражения происходят в правой части. Итогом проделанных манипуляций является левая часть. Если обе части идентичны, то тождество доказано.

III способ

«Трансформации» происходят в обеих частях выражения. Если в результате получатся две идентичные части, тождество доказано.

IV способ

Из левой части вычитается правая. В результате равносильных преобразований должен получиться нуль. Тогда можно говорить о тождественности выражения.

V способ

Из правой части вычитается левая. Все равносильные преобразования сводятся к тому, чтобы в ответе стоял нуль. Только в таком случае можно говорить о тождественности равенства.

Основные свойства тождеств

В математике зачастую используют свойства равенств, чтобы ускорить процесс вычисления. Благодаря основным алгебраическим тождествам процесс вычисления некоторых выражений займет считанные минуты вместо долгих часов.

Х + У = У + Х
Х + (У + С) = (Х + У) + С
Х + 0 = Х
Х + (-Х) = 0
Х ∙ (У + С) = Х∙У + Х∙С
Х ∙ (У - С) = Х∙У - Х∙С
(Х + У) ∙ (С + Е) = Х∙С + Х∙Е + У∙С + У∙Е
Х + (У + С) = Х + У + С
Х + (У - С) = Х + У - С
Х - (У + С) = Х - У - С
Х - (У - С) = Х - У + С
Х ∙ У = У ∙ Х
Х ∙ (У ∙ С) = (Х ∙ У) ∙ С
Х ∙ 1 = Х
Х ∙ 1/Х = 1, где Х ≠ 0

Формулы сокращенного умножения

По своей сути формулы сокращенного умножения являются равенствами. Они помогают решить множество задач в математике благодаря своей простоте и легкости в обращении.

(А + В) 2 = А 2 + 2∙А∙В + В 2 - квадрат суммы пары чисел;

(А - В) 2 = А 2 - 2∙А∙В + В 2 - квадрат разности пары чисел;

(С + В) ∙ (С - В) = С 2 - В 2 - разность квадратов;

(А + В) 3 = А 3 + 3∙А 2 ∙В + 3∙А∙В 2 + В 3 - куб суммы;

(А - В) 3 = А 3 - 3∙А 2 ∙В + 3∙А∙В 2 - В 3 - куб разности;

(Р + В) ∙ (Р 2 - Р∙В + В 2) = Р 3 + В 3 - сумма кубов;

(Р - В) ∙ (Р 2 + Р∙В + В 2) = Р 3 - В 3 - разность кубов.

Формулы сокращенного умножения зачастую применяются, если необходимо привести многочлен к привычному виду, упростив его всеми возможными способами. Представленные формулы доказываются просто: достаточно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Уравнения

После изучения вопроса, что такое равенство, можно приступать к следующему пункту: Под уравнением понимается равенство, в котором присутствуют неизвестные величины. Решением уравнения называют нахождение всех значений переменной, при которых обе части всего выражения будут равны. Также встречаются задания, в которых нахождение решений уравнения невозможно. В таком случае говорят, что корней нет.

Как правило, равенства с неизвестными в качестве решения выдают целые числа. Однако возможны случаи, когда корнем являются вектор, функция и другие объекты.

Уравнение является одним из важнейших понятий в математике. Большинство научных и практических задач не позволяют измерить или вычислить какую-либо величину. Поэтому необходимо составлять соотношение, которое удовлетворит все условия поставленной задачи. В процессе составления такого соотношения появляется уравнение или система уравнений.

Обычно решение равенства с неизвестным сводится к преобразованию сложного уравнения и сведению его к простым формам. Необходимо помнить, что преобразования нужно проводить относительно обеих частей, в противном случае на выходе получится неверный результат.

4 способа решить уравнение

Под решением уравнения понимают замену заданного равенства другим, которое равносильно первому. Подобная подмена известна как тождественное преобразование. Чтобы решить уравнение, необходимо воспользоваться одним из способов.

1. Одно выражение заменяется другим, которое в обязательном порядке будет тождественно первому. Пример: (3∙х+3) 2 =15∙х+10. Это выражение можно преобразовать в 9∙х 2 +18∙х+9=15∙х+10.

2. Перенесение членов равенства с неизвестным из одной стороны в другую. В таком случае необходимо правильно менять знаки. Малейшая ошибка сгубит всю проделанную работу. В качестве примера возьмем предыдущий «образец».

9∙х 2 + 12∙х + 4 = 15∙х + 10

9∙х 2 + 12∙х + 4 - 15∙х - 10 = 0

3. Перемножение обеих частей равенства на равное число или выражение, которые не равняются 0. Однако стоит напомнить, что если новое уравнение не будет равносильным равенству до преобразований, тогда количество корней может существенно измениться.

4. Возведение в квадрат обеих частей уравнения. Этот способ просто замечательный, особенно когда в равенстве есть иррациональные выражения, то есть и выражение под ним. Тут есть один нюанс: если возвести уравнение в четную степень, тогда могут появиться посторонние корни, которые исказят суть задания. И если неправильно извлечь корень, тогда смысл вопроса в задаче будет неясен. Пример: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 и 2) - 7∙х = 35 → уравнение будет решено верно.

Итак, в этой статье упоминаются такие термины, как то уравнения и тождества. Все они происходят от понятия «равенство». Благодаря различного рода равносильным выражениям решение некоторых задач в значительной мере облегчено.

Может ли общество существовать без иерархии и неравенства? В марксистской теории делались попытки обосновать, что неравенство и стратификация существовали не всегда, например, в первобытном обществе их не было. Так ли это на самом деле? Выше было показано, что неравенство и доминирование присутствуют в сообществах животных. Даже в самых простейших человеческих обществах, несмотря на видимость равенства, присутствовало половозрастное доминирование. Наиболее удачливые охотники, искусные умельцы, лица, обладавшие редкими способностями (шаманы, знахари) и т. д., также занимали более высокое положение, чем остальные. Между различными общинами всегда имелось неравенство в доступе к полезным ресурсам (нефрит, обсидиан, соль, глина), и те, на чьей территории были расположены эти ресурсы, извлекали из своего положения определенные выгоды.

Все это свидетельствует о том, что неравенство, пусть даже в самой примитивной форме, существовало всегда. Многие выдающиеся мыслители скептически рассматривали возможность создания общества без иерархии и стратификации. Они полагали, что стремление уравнять всех во всем является предпосылкой исчезновения всякой индивидуальности. Рассматривая эту проблему, Питирим Сорокин подобрал множество примеров из истории, когда люди пытались создать общество равных. Но все они заканчивались неудачно. Христианство начиналось с эгалитарных общин, но возвело могущественную пирамиду с папой, кардиналами и инквизицией. Святой Франциск создал институт монашества с этой же целью, но уже через семь лет от былого равенства не осталось и следа (Сорокин 1992). Масштабный коммунистический "эксперимент" XX столетия только подтвердил эту закономерность на большом фактическом материале. На всем пространстве "мировой системы социализма" от СССР до Кубы и Кореи четко вырисовывается общая тенденция, закон мировой истории – первоначальный эгалитаризм революционеров быстро сменяется установлением жесткой иерархии, классовых перегородок, стремлением элиты к роскоши, тотальным надзором над гражданами, массовым террором. Всякий раз благородные намерения социальных инженеров оборачиваются дорогой в ад. Важно подчеркнуть, что светлое будущее оказывалось преисподней и для тех, кто начинал его в очередной раз создавать. Революции, как правило, пожирали своих творцов – если наивные реформаторы не успевали выбросить из головы мечты о социальной справедливости, волна рвущихся к власти карьеристов сметала их на своем пути.

Разрыв между массами и их представителями, сумевшими подняться на ступеньку выше в общественной иерархии, происходит едва ли не автоматически. Бруно Беттельгейм описывает, как быстро это происходит в концентрационном лагере с человеком, попавшим из простых заключенных в лагерную "элиту". Староста, который еще вчера был готов рыться в помойке в поисках картофельной шелухи, сегодня посылает на смерть заключенного, которого застал за аналогичным занятием. Ему трудно представить себе, что значит быть голодным. Он уже не может посмотреть на мир глазами человека, находящегося по ту сторону колючей проволоки. Удивительное свойство человеческой психики – быстро забывать все, что было с тобой ранее (Bettelgeim I960).

Привилегированные группы твердо стоят на страже своих завоеваний. Чуть меньше трех лет прошло со времени Октябрьской революции, а молодая номенклатура уже вошла в такой вкус привилегий, что в голодной воюющей России пришлось создать специальную "контрольную комиссию", призванную разобраться со злоупотреблениями некоторых представителей партии. Комиссия просуществовала недолго. Через два года на XI съезде РКП(б) в 1922 г. было выдвинуто уже более умеренное требование: положить конец большой разнице в оплате различных групп коммунистов. Спустя еще год был разослан циркуляр ЦК и ЦКК РКП(б), в котором только осуждалось использование некоторыми партчиновниками государственных средств на оборудование своих служебных кабинетов, дач и личных квартир. Документ провозглашал, что "необходимый уровень жизни ответственных работников должен обеспечиваться более высокой заработной платой" (Вселенский 1991: 319). Разве не наивными выглядят в этой связи высказывания некоторых современных российских политиков, заверяющих общественность, что массовую коррупцию среди чиновничества можно предотвратить посредством установления аппарату высокой зарплаты.

Роберт Михелс (1876‑1936) на примере современных профсоюзных рабочих организаций показал, как возникает организационная иерархия (Michels 1959). Особую пикантность его анализу придает то, что он проделал его на примере социал‑демократических партий. Согласно Михелсу, любая политическая партия или профсоюзная организация сталкиваются в своей деятельности с различными проблемами (организация политических кампаний и выборов, печатная деятельность, ведение переговоров и т. д.). Данная деятельность отнимает много времени и иногда требует специальной подготовки. Если организация включает большое число членов, то нужны дополнительные усилия по их координации. Постепенно формируется управленческий аппарат, который занимается обеспечением жизнедеятельности организации, собирает взносы, ведет переписку и проч. За свою работу управленцы получают вознаграждение. Так прямая демократия в социалистических партиях сменяется представительной.

В условиях роста организации массы неизбежно теряют контроль над ней. Эта задача передоверяется специальным ревизорам или соответствующим службам, которым вменяется осуществлять надзор над функционерами и периодически информировать большинство о результатах проверок.

Со временем возникает разрыв между массами и выборными лидерами организаций. В первую очередь этот разрыв касается образа жизни и доходов. Новый образ жизни является более разнообразным (умственный труд, поездки, связь с миром бизнеса, правительственными и профсоюзными органами, прессой и т. д.) и приносит большее удовлетворение. Более высокий уровень доходов и доступ к каналам перераспределения средств своих организаций позволяет вести комфортный образ жизни, улучшить жилищные условия, приобрести более роскошный автомобиль и проч. Все это постепенно меняет мировоззрение профсоюзных функционеров.

Они уже стремятся не столько к выполнению программных установок своей партии, сколько к сохранению собственного положения. Дистанция между ними и простыми рабочими увеличивается все больше и больше. В то же время они все больше и больше сближаются с другими профсоюзными чиновниками иных организаций, а также с администрацией своей собственной организации. Осознавая свои общие интересы, функционеры вырабатывают механизмы для защиты своего положения и власти в рамках всей группы. Они концентрируют в своих руках инфраструктуру организации, органы печати и финансовые средства. Наконец, они лучше простых масс информированы и более изощрены в интригах и политической борьбе. Если внутри организации возникает оппозиция, то все эти рычаги могут быть направлены против ревизионистов. В этом, по Михелсу, заключается "железный закон олигархии".

Из всего этого Михелс сделал вывод, что само по себе наличие профсоюзов в организациях не является достаточным условием для существования демократии. Профсоюзные лидеры и функционеры имеют свои собственные цели, часто отличные от интересов избравших их масс, они испытывают большое искушение устранить демократические процедуры контроля и возможность переизбрания, стремятся превратить свое влияние в олигархическую власть. Эти выводы созвучны идеям Бертрана Рассела, который показал, что без организационной иерархии не может существовать ни одна форма общества. Главная проблема любого общественного строя, в том числе и демократического, заключается в том, что сложное общество предполагает введение организационной иерархии, но управленческая элита преследует совсем другие интересы, нежели управляемое большинство (Russel 1938).

Таким образом, усложнение общества неизбежно приводит к введению организационной иерархии. Последнее означает появление специальных лиц, выполняющих только управленческие функции. Эти лица получают первоочередной доступ к ресурсам. Поскольку количество ресурсов почти всегда ограничено, доступ к ним опосредуется различными механизмами доминирования: у животных или в криминальном мире – "порядком клевания", в обществе – социальными позициями индивида. Статус обеспечивает доступ лидеров к общественным и значимым ресурсам. Сразу или постепенно, сознательно или неосознанно, все или некоторые – управители стремятся воспользоваться создавшимся положением для улучшения личного благосостояния или получения новых привилегий. Таким путем в человеческом обществе возникли стратификация, государство, цивилизация и частная собственность.

При этом полное равенство полов сулят через 217 лет

По Конституции РФ мужчинам и женщинам обеспечено равноправие. Однако жизнь нередко вступает в противоречие с Основным законом. Особенно в таком вопросе, как гендерный разрыв в оплате труда. Неслучайно глава Совета Федерации РФ Валентина Матвиенко недавно с высокой трибуны международного форума призвала российские власти добиваться сокращения этого разрыва, наличие которого спикер верхней палаты парламента объяснила как более редким пребыванием женщин на руководящих высокооплачиваемых постах, так и банальной дискриминацией слабого пола, получающего за одинаковый труд меньше мужчин.

Европейский парадокс

Есть ли в России гендерная дискриминация при оплате труда? Как полагает директор Института стратегического анализа ФБК Игорь Николаев, есть, но этот разрыв уменьшается: с 2005 года он сократился с 40 до 27,4%. Иными словами, среднестатистическая российская работающая женщина получает за свой труд более чем на четверть меньше, чем представитель сильного пола.

И здесь мы идем в общем потоке: в Европе схожая ситуация. Правда, там эта разница не так велика: в среднем в Старом Свете этот показатель снизился с 17,7 до 16,4%. То есть за целое десятилетие этот коэффициент изменился всего на 1,3%. Однако в некоторых странах различия более существенны.

Считается, что чем более развита страна, тем меньше разница в зарплатах между полами. А вот реальная картина свидетельствует о другом. Европейский лидер по гендерному разрыву - Эстония (27%), затем идет Чехия (22,1%), а вслед за ней, как ни странно, самое развитое государство континента - Германия с 22%. Причем эта цифра там не меняется уже 10 лет. А вот самый маленький разрыв - в Румынии (5,8%), Италии и Люксембурге (по 5,5%).

Единственная страна, где этот разрыв рос все последние годы, - Португалия. С 2006 по 2015 годы он вырос с 8,4 до 17,8%. Такая динамика вызвана тем, что на волне минувшего кризиса там увеличилось число работающих женщин, но большинство из них трудятся в сферах с низкой оплатой труда.

То есть получается, что размер гендерного разрыва напрямую не зависит от уровня развития страны. В промышленном гиганте Германии он значительно выше, чем в бедной Румынии.

Зато этот показатель сильно зависит от возрастной структуры населения. В России разница зарплат растет плавно, достигая максимума в 33% в 35–39 лет, а к 55–65 годам постепенно сокращается до 23%. В странах ЕС ситуация другая. Соотношение разницы в зарплатах постоянно увеличивается с возрастом и достигает своего максимума после 60 лет.

Такое различие в значительной степени объясняется особенностями и традициями, связанными с рождением и воспитанием детей. У нас еще с советских времен приняты большие отпуска, которые получают женщины по случаю рождения ребенка. Некоторые из них сидят дома до трех лет. А вот в Европе все по-другому, там этот перерыв в работе гораздо меньше. Менее месяца он у жительниц Словении, Кипра, Норвегии, Дании, больше месяца - в Люксембурге, Италии, Испании, Греции. Дольше всех проводят время с новорожденными - до полугода - матери из Эстонии, Словакии, Румынии, Венгрии, Чехии. Любопытно, что все эти страны - из бывшего советского блока, то есть в них еще сохраняется влияние социалистических социальных стандартов.

Российская специфика

От чего зависит зарплата женщины в России? Можно выделить пять факторов: отрасль или сфера, в которой она трудится, ее семейный статус, форма собственности предприятия, уровень здоровья и образования. Руководитель направления человеческого капитала Центра стратегических разработок Лилия Овчарова отмечает, что в России у женщин в приоритете перед карьерой рождение ребенка, что безусловно сказывается на средней заработной плате. При этом работодатели неохотно берут на работу тех, кто гипотетически может уйти в декретный отпуск. Поэтому заметна такая тенденция: многие женщины, планируя рождение второго ребенка, стараются устроиться на крупное предприятие, где их права как потенциальных матерей лучше защищены.

Получается, что и женщины, и работодатели одинаково полагают, что до 40 лет главный приоритет у женщины - создать семью и родить детей. А это, в свою очередь, сказывается на уровне зарплаты. И только после 40 лет и сами женщины, и те, на кого они работают, считают, что пришло время для их профессионального роста.

В отраслевом разрезе наивысшие заработные платы в России у женщин - в IT-индустрии, среди юристов, в ресторанном бизнесе и сфере недвижимости. Но в этих секторах трудятся только 3% женщин. А вот наименьшая оплата фиксируется при работе в религиозных учреждениях, сельском хозяйстве, соцобслуживании, химической промышленности и на общественном поприще. Но и тут женская занятость невелика: всего 3,6% от общего числа работающих представительниц слабого пола.

В этом вопросе есть еще один аспект: зарплата женщин сильно зависит от формы собственности компании или организации. 52% дам заняты на госпредприятиях. Но именно на них они получают наименьшую зарплату. А вот наибольшую - в фирмах с иностранным участием. Но на них трудятся только 2,9% российских женщин.

Мужской шовинизм

Судя по комментариям экспертов, существуют два вида факторов, способствующих гендерному разрыву в оплате труда: объяснимые и необъяснимые. Объяснимые - это те, которые вызваны реальными обстоятельствами, в первую очередь связанными с физиологическими и природными функциями женщин. На них приходится примерно четверть различия в оплате труда. А вот необъяснимые обстоятельства происходят из двух связанных между собой источников - историко-культурных причин и мужского шовинизма.

Гендерный разрыв в оплате труда уходит корнями в период индустриальной экономики, когда для больших заработков важна была физическая сила. К тому же в советский период существовали прямые запреты на работу женщин в тяжелых условиях. И, как правило, это были высокооплачиваемые виды труда.

В постиндустриальной экономике эти факторы постепенно уходят, физическая сила в ней не имеет почти никакого значения. В этих условиях зачастую преимущества получают именно женщины. По своим природным качествам они нередко лучше приспособлены для такой работы. К тому же среди молодежи образовательный уровень девушек выше, чем парней. Этот феномен становится все более распространенным. Неслучайно, например, во Франции и Люксембурге гендерный разрыв в оплате труда у работников до 39 лет - уже в пользу слабого пола.

Европейский опыт показывает, что немаловажную роль в сокращении гендерного разрыва в оплате труда играет повышение образовательного уровня. Еще один фактор, действующий в том же направлении, - институциональный. Законодательство многих стран дает преференции женщинам. Например, обязательное представительство в советах директоров, законодательных органах, даже если это формально не закреплено. Другой вопрос: идут ли такие нормы на пользу дела?

На гендерный разрыв напрямую влияют также политические и социальные факторы. В странах с развитым профсоюзным движением, где существует минимальный размер оплаты труда, различие в оплате обычно ниже, чем там, где профсоюзы слабы. МРОТ позитивно действует на этот показатель. Так как женские профессии преимущественно связаны с бюджетной сферой, где оплата ниже, чем в частном секторе, фиксация минимального уровня не позволяют ей падать ниже этой планки.

А вот другое распространенное убеждение - низкий гендерный разрыв способствует экономическому росту - не подтверждается. Об этом говорят как исследования отечественной экономики, так и анализ МВФ и Всемирного банка. Такой четкой закономерности выявлено не было.

Кстати, перспективы преодолеть гендерный разрыв в оплате труда для человечества в целом весьма туманны. В одном из недавних докладов Всемирного экономического форума утверждается, что к полному зарплатному равенству полов мир подойдет лишь через… 217 лет!

Гендерный разрыв

Один из острых вопросов, который обсуждается уже десятилетия, если не столетия: следует ли прописывать юридические нормы, устраняющие гендерный разрыв в оплате труда? Одни эксперты выступают за жесткое законодательство в этом вопросе, другие полагают, что жизнь сама все решит. Более того, она уже многое сделала в этом направлении.

Заместитель директора Института мировой экономики и международных отношений РАН Евгений Гонтмахер полагает, что многие нововведения могут оказаться просто смешными, а то и вредными. «Представьте, что будет квота на количество учителей мужского пола для начальных классов. Гораздо полезнее снять формальные ограничения, чтобы женщины на общих основаниях отстаивали право заниматься той или иной деятельностью. И со временем гендерные вопросы станут менее значимыми», - считает эксперт.

Современные тренды развития экономики ведут к стиранию гендерных различий. Все большее распространение получает фриланс, когда сотрудник не привязан ни к рабочему месту, ни к четкому распорядку рабочего дня. А это именно то, что очень важно для женщин и что мешало им долгое время наравне конкурировать с сильным полом на рынке труда. При таком же раскладе они ни в чем не проигрывают мужчинам.

К тому же в России в ближайшие годы намечается дефицит рабочей силы. Значение и стоимость труда будет расти, а значит, станет сокращаться различие в оплате для мужчин и женщин.

Но при этом было бы ошибкой добиваться полного равенства между мужчиной и женщиной, полагает Гонтмахер. «Природа сотворила нас разными, у нас разная роль в физиологической и социально-общественной жизни. А значит, и гендерное различие в оплате труда в ряде случаев должно сохраняться. Когда в пользу мужчины, а когда в пользу женщины», - подытожил эксперт.

НА СКОЛЬКО В РФ МЕНЬШЕ ЗАРАБАТЫВАЮТ ЖЕНЩИНЫ, ЧЕМ МУЖЧИНЫ

(в среднем по отраслям, 2017 год)

Строительство - на 4,3%

Сельское и лесное хозяйство - на 6,9%

Образование - на 7,0%

Здравоохранение - на 11,2%

Электро- и газоснабжение - на 13,5%

Добыча полезных ископаемых - на 16,6%

Гостиницы и рестораны - на 19,3%

Информация и связь - на 21,1%

Обрабатывающие производства - на 23,2%

Культура и спорт - на 24,7%