одно из важнейших вспомогательных вычислительных средств. Обычно Т. м. представляют собой совокупность значений какой-либо функции y = f (x 1 ,..., x n ) для некоторых значений переменных. Запоминаемая в детстве таблица умножения у =x 1 – x 2 (где x 1 , x 2 = 1, 2,..., 9), таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов - примеры математических таблиц. Т. м. употребляются всюду, где приходится иметь дело с расчётами: в математике, физике, химии, астрономии, технике, экономике и т. д.
Для непрерывно меняющихся переменных x 1 ,..., x n функции y = f (x 1 ,..., x n) в таблицу включаются значения (ответы) y 1 ,..., y n лишь при некоторых значениях (x 1 ,..., x n) 1 , ..., (x 1 ,..., x n) n , для нахождения f (x 1 ,..., x n) в случае, если (x 1 , ..., x n) не включено в таблицу, необходимо проводить интерполяцию (См. Интерполяция). Каждая Т. м. характеризуется степенью точности (числом верных знаков или значащих цифр в табличных ответах), диапазоном изменения аргументов, шагом (разностью между соседними табличными значениями аргументов).
При создании таблицы (табулировании) функции у = f (x 1 ,..., x n) решаются два основных вопроса: а) конструкция таблицы, то есть выбор диапазона переменных x 1 ,..., x n , выбор тех значений переменных, для которых приводятся ответы, размещение материала, вопрос о пользовании готовыми таблицами и т. д.; б) вычисление значений f (x 1 ,..., x n).
Задача б) не является специально табличной; специфика состоит в необходимости тщательной проверки большого цифрового материала (как при вычислении, так и при типографских корректурах).
При конструировании таблицы решается задача размещения на приемлемом объёме необходимого числа ответов у 1 ,..., y n так, чтобы значение функции f (x 1 ,..., x n) для значений (x 1 ,..., x n) (возможно и не попавших в число табличных) можно было определить наиболее лёгким способом. Диапазон изменения переменных определяется как из практических потребностей, так и из того, сколь легко вне его можно вычислить функцию с принятой в таблице точностью. Шаг по переменным выбирается таким, чтобы интерполяция приемлемого порядка давала нужное число верных знаков. В таблицах массового применения допускается обычно только линейная интерполяция, в таблицах, имеющих более узкое назначение, - квадратичная (более высокий порядок нежелателен и встречается реже). Необходимые при этом вспомогательные величины (разности функций и пр.) обычно включаются в таблицу. Важным приёмом, дающим возможность получить более гладкую функцию и тем самым упростить конструкцию таблицы (уменьшить число ответов, упростить интерполяцию и пр.), является замена аргументов и замена исходной функции на другую, связанную с ней простым соотношением.
Т. м. появились уже в раннем периоде развития математики. Так, в Вавилоне ещё за 2000 лет до н. э. были широко распространены таблицы произведений натуральных чисел, таблицы чисел вида 1/n , n 2 , n 3 , n 2 + n 3 и др. Эти таблицы применялись для различных вычислений и позволяли вавилонским математикам решать довольно сложные вычислит. задачи.
Первые таблицы трансцендентных функций появились в Древней Греции в связи с развитием астрономии и накоплением ею обширного материала наблюдений, требовавшего математической обработки. В сочинении греческого астронома Птолемея (2 в.) «Альмагест» содержатся первые из дошедших до нас тригонометрические таблицы. В таблицах Птолемея даны значения длин хорд, соответствующих дугам от 0 до 180° через каждые 30" (длина хорды выражена в долях радиуса по шестидесятеричной системе). Для целей интерполяции в таблицах помещены разности. Т. м. (в частности, таблицы тригонометрических функций) составлялись индийскими математиками и математиками Ближнего Востока и Средней Азии (5-11 вв.). Так, Абу-ль-Вефа (10 в.) составил таблицы синусов, вычисленных через 10" с точностью 1:60 4 , а также таблицы тангенсов.
Начало больших работ по составлению таблиц в Европе относится к 15 в. Развитие естествознания в эпоху Возрождения побудило европейских математиков и астрономов к созданию в 15-17 вв. всё более полных и точных таблиц тригонометрических функций. Региомонтан (15 в.) в своих таблицах первым стал употреблять десятичную систему счисления. Его таблицы дают значения синусов через минуту, точность - 7 знаков. Составлением тригонометрических таблиц занимался Н. Коперник. Первая книга его труда «Revolutiones orbium caelestium» (1543) содержит пятизначные таблицы синусов. Ученик Коперника Ретик начал вычисление фундаментальных таблиц тригонометрических функций с 15 знаками через 10 ", а для первого и последнего градуса квадранта через каждую секунду. Расширенные и дополненные в 1613 немецким учёным Б. Питиском, эти таблицы послужили основой современных тригонометрических таблиц. Таблицы логарифмов чисел впервые были опубликованы в 1614 Дж. Непером, в 1620 близкие таблицы издал швейцарский математик И. Бюрги. Первые таблицы десятичных логарифмов были опубликованы английским математиком Г. Бригсом в 1617 для чисел от 1 до 1000 с 8 знаками и в 1624 для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 с 14 знаками. Вслед за таблицами логарифмов чисел появились таблицы логарифмов тригонометрических функций. Голландский математик А. Влакк в 1633 даёт десятизначные таблицы lgsinx и lgtgx с шагом в 10 " и с разностями. Бригс в 1633 даёт натуральные синусы с 15 знаками, тангенсы и секансы с 10 знаками, lgsinx с 14 знаками, lgtgx с 10 знаками и шагом 0,01° от 0 до 45°.
С развитием науки, торговли и мореплавания быстро возрастает число выпускаемых таблиц. 18 в. дал значительно больше Т. м., чем 17 в. В 19 в. не только увеличилось количество выпускаемых Т. м., но и значительно расширился охватываемый ими класс функций. В приложениях математики важную роль стали играть так называемые Специальные функции, появились таблицы эллиптических функций, гиперболических функций, гамма-функций, цилиндрических функций и др. В вычислении таблиц принимали участие крупнейшие математики: Л. Эйлер, А. Лежандр, К. Гаусс и др.
В 20 в. вычислено и издано в несколько раз больше Т. м., чем за весь предшествующий период, в основном различных специальных функций, некоторые из них вычислены с весьма большой точностью (15-30 знаков). Выпуск таблиц тесно связан с развитием вычислительной техники. Фоторазмножение Т. м., выдаваемых ЭВМ, практически исключает ошибки. Большие работы по выпуску таблиц ведутся в СССР. Наряду с отдельными изданиями выпускаются серии таблиц Математическим институтом АН СССР, институтом точной механики и вычислит, техники АН СССР и Вычислительным центром АН СССР. С увеличением количества выпускаемых таблиц эффективное их использование и планирование дальнейшей работы в этой области требуют систематизации табличного материала и подробного описания имеющихся таблиц.
- - в демографии, служат для количеств. и качеств, анализа демографич. процессов, используются при расчёте разл. демографич. показателей...
Демографический энциклопедический словарь
- - условные обозначения, предназначенные для записи математич...
- - усл. обозначения, служащие для записи матем. понятий, предложений и выкладок...
Естествознание. Энциклопедический словарь
- - условные обозначения, служащие для записи математических понятий, предложений и вычислений...
Начала современного Естествознания
- - т. е. знаки и сокращения, употребляющиеся в математике. А. Знаки действий: 1) сложения знак называется плюс, 2) вычитание знак его минус; 3) умножения - знак или...
- - см. Ученые общества...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- - условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий, предложений и выкладок...
- - Специальные М. ж., являющиеся органами различных научных учреждений, обществ и объединений, возникли в начале 19 века. В 70-е годы 20 века во всём мире насчитывается более 250 М. ж. Значительно возросший...
Большая Советская энциклопедия
- - научный журнал Отделения математики АН СССР, публикующий краткие оригинальные работы по всем разделам современной математики, а также информационные материалы. Издаётся в Москве с 1967...
Большая Советская энциклопедия
-
Большая Советская энциклопедия
- - научные учреждения, ведущие исследовательскую работу в области математики и её приложений. В СССР почти все М. и. входят в состав АН СССР или АН союзных республик...
Большая Советская энциклопедия
- - международные созываются 1 раз в 4 года. Первый М. к. состоялся в Цюрихе в 1898. После 2-й мировой войны 1939-45 М. к. состоялись в Кембридже, Амстердаме, Эдинбурге, Стокгольме, Москве, Ницце...
Большая Советская энциклопедия
- - одно из важнейших вспомогательных вычислительных средств. Обычно Т. м. представляют собой совокупность значений какой-либо функции y = f для некоторых значений переменных...
Большая Советская энциклопедия
-
Современная энциклопедия
- - условные обозначения, служащие для записи математических понятий, предложений и выкладок...
- - см. Знаки математические...
Большой энциклопедический словарь
"Таблицы математические" в книгах
Математические науки
Из книги Повседневная жизнь Флоренции во времена Данте автора Антонетти ПьерМатематические науки Собственный вклад флорентийцев в средневековую теоретическую математику был незначительным и относился уже к эпохе более поздней, нежели эпоха Данте. Так, Паоло Дагомари (1281–1365) опубликовал «Трактат об абаке» (отсюда его прозвище: Паоло-Абако).
Значения полей параметров (столбцов) Таблицы текущих значений, Таблицы истории, Таблицы изменений параметров программы QUIK
Из книги Самоучитель биржевой торговли автора Сипягин ЕвгенийЗначения полей параметров (столбцов) Таблицы текущих значений, Таблицы истории, Таблицы изменений параметров программы QUIK Таблица 28. Значения полей параметров (столбцов) Таблицы текущих значений, Таблицы истории, Таблицы изменений
Б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
Из книги Загадки египетских пирамид автора Лауэр Жан-ФилиппБ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ Источником возникновения некоторых математических теорий послужил, вероятнее всего, труд Жомара «Изложение системы мер древних египтян»225. Мы не будем возвращаться к основным астрономическим цифровым соотношениям, которые он стремится извлечь
Приложение Пасхальные таблицы и таблицы дат первых весенних астрономических полнолуний, вычисленных по формулам Гаусса (Г.В. Носовский)
Из книги Пасха [Календарно-астрономическое расследование хронологии. Гильдебранд и Кресцентий. Готская война] автора Носовский Глеб ВладимировичПриложение Пасхальные таблицы и таблицы дат первых весенних астрономических полнолуний, вычисленных по формулам Гаусса (Г.В. Носовский) Звездочкой (*) в последнем столбце отмечены годы, когда определенная пасхалией календарная православная Пасха праздновалась бы раньше
Знаки математические
Из книги Большая Советская Энциклопедия (ЗН) автора БСЭ БСЭМатематические конгрессы
Из книги Большая Советская Энциклопедия (МА) автора БСЭМатематические общества
Из книги Большая Советская Энциклопедия (МА) автора БСЭМатематические формулы
Из книги Как спроектировать современный сайт автора Вин ЧоиМатематические формулы Кирпичи просто создавать, использовать, они понятны и просты, но на протяжении столетий возникло и сформировалось более тонкое понимание систем упорядочения. Эти открытия и нововведения развивали наше понимание сеток. Обращаясь к математике,
Математические функции
Из книги Windows Script Host для Windows 2000/XP автора Попов Андрей ВладимировичМатематические функции Имеющиеся в VBScript функции, предназначенные для математических вычислений, описаны в табл. П2.14.Таблица П2.14. Математические функции Функция Описание Abs(x) Возвращает абсолютное значение числа х Atn(x) Возвращает арктангенс числа х Cos(x) Возвращает
Кипит – вода, плавится – металл, в крайнем случае – стекло… такие представления привычны с детства. Но, оказывается, и вода может плавиться, и металл кипеть – словом эти понятия могут быть применены к любому веществу.
Как все мы помним из школьного курса физики, любое вещество может пребывать в одном из трёх агрегатных состояний: твердом, жидком и газообразном (правда, выделяют еще и другие состояния вещества – плазма, жидкие кристаллы – но в контексте рассматриваемого вопроса они нас интересовать не будет).
В каком бы состоянии ни пребывало вещество, оно будет состоять из одних и тех молекул, разница лишь в том, как они расположены и как «себя ведут». В твердом теле они совершают лишь небольшие колебания, благодаря чему твердое тело сохраняет форму и объем. Твердые тела подразделяются на кристаллические и аморфные. В кристаллических телах молекулы располагаются в строгом порядке и периодично, образуя кристаллическую решетку в виде многогранника. Аморфное тело граничит с жидкостью, но вязкость этой «жидкости» очень велика, поэтому такое тело все же обладает свойствами твердого.
В жидкости молекулы не имеют определенного расположения, но и свободы передвижения лишены, притяжение удерживает их вместе, поэтому жидкое тело сохраняет объем, но не форму. В газообразном веществе молекулы хаотично движутся, слабо взаимодействуют, и такое вещество ни объема, ни формы не может сохранить.
Как уже говорилось, в любом из трех этих состояний может находиться любое вещество – все зависит лишь от двух факторов: давления и температуры. Например, в условиях Марса нет жидкой воды, на Земле достаточно сложно получить жидкий кислород, но все-таки возможно, а вот металлический водород не получится сделать ни в одной земной лаборатории – зато на Юпитере он есть. Переходы между этими состояниями – т.н. фазовые переходы – именуются кипением и плавлением.
Кипение – это переход от жидкого состояния к газообразному. Такой переход происходит всегда за счет того, что молекулы, находящиеся на поверхности жидкости, подвергаются воздействию не только «собратьев» из жидкости, но и молекул воздуха. У некоторых молекул жидкости кинетической энергии больше, чем у других, и они покидают жидкость, а у оставшихся молекул энергии в целом меньше, поэтому жидкость становится холоднее. Так постепенно может «уйти» вся жидкость, это называется испарением. При кипении же испарение происходит не только с поверхности жидкости, но и во всем ее объеме – благодаря образующимся в жидкости пузырькам пара. Такой фазовый переход происходит намного быстрее любая хозяйка знает, что воде нужно больше времени на высыхание, чем на выкипание). Если испарение происходит при любой температуре, то кипение – только при повышении температуры до определенного уровня (у каждого вещества температура своя).
Переход вещества из кристаллического твердого тела в жидкое состояние называется плавлением. Следует подчеркнуть: именно из кристаллического, к аморфным телам это понятие не применяется. Так что выражение «плавленый сыр» с точки зрения физики лишена смысла, поскольку сыр – как раз аморфное тело, а вот лёд плавиться может (что не очевидно для многих далеких от физики людей).
Как и кипение, плавление происходит при повышении температуры до определенного уровня. При нормальном давлении самая высокая температуры плавления у углерода (4500 градусов), из металлов – у вольфрама (3422 градуса). Самой низкой температурой плавления при нормальном давлении обладает гелий. Она настолько низкая, что ее… вообще нет! Даже при температуре, близкой к абсолютному нулю, он остается жидким, не переходя в твердое состояние – для этого нужно давление более 25 атмосфер.
Не все вещества при нормальном давлении проходят все эти три состояния и фазовых перехода. Некоторые из них переходят из твердого состояния в газообразное, минуя стадию жидкости – этот процесс называется возгонкой, или сублимацией.
Каждый металл или сплав обладает уникальными свойствами, в число которых входит температура плавления. При этом объект переходит из одного состояния в другое, в конкретном случае становится из твёрдого жидким. Чтобы его расплавить, необходимо подвести к нему тепло и нагревать до достижения нужной температуры. В момент, когда достигается нужная точка температуры данного сплава, он ещё может остаться в твёрдом состоянии. При продолжении воздействия начинает плавиться.
Вконтакте
Наиболее низкая температура плавления у ртути - она плавится даже при -39 °C, самая высокая у вольфрама - 3422 °C. Для сплавов (стали и других) определить точную цифру крайне сложно. Все зависит от соотношения компонентов в них. У сплавов она записывается как числовой промежуток.
Как происходит процесс
Элементы, какими бы они ни были: золото, железо, чугун, сталь или любой другой - плавятся примерно одинаково. Это происходит при внешнем или внутреннем нагревании. Внешнее нагревание осуществляется в термической печи. Для внутреннего применяют резистивный нагрев, пропуская электрический ток или индукционный нагрев в электромагнитном поле высокой частоты . Воздействие при этом примерно одинаковое.
Когда происходит нагревание , усиливается амплитуда тепловых колебаний молекул. Появляются структурные дефекты решётки , сопровождаемые разрывом межатомных связей. Период разрушения решётки и скопления дефектов и называется плавлением.
В зависимости от градуса, при котором плавятся металлы, они разделяются на:
- легкоплавкие - до 600 °C: свинец, цинк, олово;
- среднеплавкие - от 600 °C до 1600 °C: золото, медь, алюминий, чугун, железо и большая часть всех элементов и соединений;
- тугоплавкие - от 1600 °C: хром, вольфрам, молибден, титан.
В зависимости от того, каков максимальный градус, подбирается и плавильный аппарат. Он должен быть тем прочнее, чем сильнее будет нагревание.
Вторая важная величина - градус кипения. Это параметр, при достижении которого начинается кипение жидкостей. Как правило, она в два раза выше градуса плавления. Эти величины прямо пропорциональны между собой и обычно их приводят при нормальном давлении.
Если давление увеличивается, величина плавления тоже увеличивается. Если давление уменьшается, то и она уменьшается.
Таблица характеристик
Металлы и сплавы - непременная основа для ковки , литейного производства, ювелирной продукции и многих других сфер производства. Чтобы не делал мастер (ювелирные украшения из золота , ограды из чугуна, ножи из стали или браслеты из меди) , для правильной работы ему необходимо знать температуры, при которых плавится тот или иной элемент.
Чтобы узнать этот параметр, нужно обратиться к таблице. В таблице также можно найти и градус кипения.
Среди наиболее часто применяемых в быту элементов показатели температуры плавления такие:
- алюминий - 660 °C;
- температура плавления меди - 1083 °C;
- температура плавления золота - 1063 °C;
- серебро - 960 °C;
- олово - 232 °C. Олово часто используют при пайке, так как температура работающего паяльника составляет как раз 250–400 градусов;
- свинец - 327 °C;
- температура плавления железо - 1539 °C;
- температура плавления стали (сплав железа и углерода) - от 1300 °C до 1500 °C. Она колеблется в зависимости от насыщенности стали компонентами;
- температура плавления чугуна (также сплав железа и углерода) - от 1100 °C до 1300 °C;
- ртуть - -38,9 °C.
Как понятно из этой части таблицы, самый легкоплавкий металл - ртуть, которая при плюсовых температурах уже находится в жидком состоянии.
Градус кипения всех этих элементов почти вдвое, а иногда и ещё выше градуса плавления. Например, у золота он 2660 °C, у алюминия - 2519 °C , у железа - 2900 °C, у меди - 2580 °C, у ртути - 356,73 °C.
У сплавов типа стали, чугуна и прочих металлов расчёт примерно такой же и зависит от соотношения компонентов в сплаве.
Максимальная температура кипения у металлов - у рения - 5596 °C . Наибольшая температура кипения - у наиболее тугоплавящихся материалов.
Бывают таблицы, в которых также указана плотность металлов . Самым лёгким металлом является литий, самым тяжёлым - осмий. У осмия плотность выше, чем у урана и плутония, если рассматривать её при комнатной температуре. К лёгким металлам относятся: магний, алюминий, титан. К тяжёлым относится большинство распространённых металлов: железо, медь, цинк, олово и многие другие. Последняя группа - очень тяжёлые металлы, к ним относятся: вольфрам, золото, свинец и другие.
Ещё один показатель, встречающийся в таблицах - это теплопроводность металлов . Хуже всего тепло проводит нептуний, а лучший по теплопроводности металл - серебро. Золото, сталь, железо, чугун и прочие элементы находится посередине между этими двумя крайностями. Чёткие характеристики для каждого можно найти в нужной таблице.
Теплофизические характеристики, которые необходимо учитывать при подборе стоматологических материалов
Теплофизические свойства материалов определяются следующими основными показателями :
§ температурой плавления;
§ температурой кипения;
§ коэффициентом теплопроводности;
§ коэффициентом температуропроводности;
§ коэффициентами линейного и объемного расширения.
Переход кристаллического вещества из твердого состояния в жидкое называется плавлением , а переход вещества из жидкого состояния в твердое отвердеванием иликристаллизацией . Эти переходы происходят при температуре, которая называется температурой плавления .
Количество теплоты Q , необходимое для превращения данной массы твердого тела в жидкость в процессе его плавления, или количество теплоты, которое она выделит в процессе кристаллизации можно определить по формуле:
где l –удельная теплота плавления.Удельная теплота плавления l численно равна количеству теплоты, необходимому для превращения единицы массы этого вещества из твердого состояния в жидкое при температуре плавления. Единица измерения l в СИ - Дж/кг .
Знание температуры плавления материалов, применяемых в стоматологии, позволяет подобрать нужный источник теплоты для плавления. Например, для плавления золота можно использовать бензиновую горелку, а для плавления нержавеющей стали нужна электрическая дуга или электропечь.
Для пайки деталей протезов припой должен иметь более низкую температуру плавления, чем сплавы металлов, из которых изготавливают протез, чтобы он не подплавлялся. У сплавов металлов, как правило, более низкая температура плавления, чем у составляющих их компонентов.
Переход вещества из жидкого состояния в газообразное называется парообразованием, а переход вещества из газообразного состояния в жидкое - конденсацией . Парообразование, которое происходит только со свободной поверхности жидкости, граничащей с газообразной средой или вакуумом, называется испарением . Частным случаем испарения является кипение . Кипение – это процесс интенсивного парообразования не только со свободной поверхности, но и по всему объему жидкости, происходящий при одной, определенной для данной жидкости температуре, которая называется температурой кипения .
Количество теплоты Q , необходимое для превращения данной массы m жидкости в пар в процессе ее кипения, или количество теплоты, которое она выделит в процессе конденсации можно определить по формуле:
где r - удельная теплота парообразования. Удельная теплота парообразования r – величина, численно равная количеству теплоты, необходимому для превращения в пар в процессе кипения единицы массы жидкости при температуре кипения. Единица измерения r в СИ - Дж/кг.
Температуру кипения металлов необходимо учитывать при изготовлении протезов. Вследствие различия температур кипения может произойти улетучивание наиболее легкоплавких компонентов сплавов металлов, что приведет к изменению их свойств. Так, при изготовлении припоев, содержащих кадмий и цинк, имеющих температуру кипения, соответственно, 778 и 918°С, при перегревании может произойти частичная их утрата и припой окажется тугоплавким.
3. Теплоёмкость и удельная теплоёмкость материалов
Теплоемкостью тела называют отношение количества теплоты Q, необходимого для повышения его температуры от значения Т 1 до значения Т 2 , к разности этих температур DТ = Т 2 – T 1:
Теплоемкость характеризует то количество теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы нагреть его на 1 К (при охлаждении на 1 К тело выделяет то же количество теплоты, что и поглощает при нагревании).
Нагревая тела с одинаковыми массами, но состоящие из различных веществ, можно обнаружить, что для повышения их температуры на 1 К требуются различные количества теплоты; следовательно, теплоемкость тела зависит от его природы . Теплоемкость тела также пропорциональна его массе. Поэтому характеристикой тепловых свойств вещества является его удельная теплоемкостьс - величина, равная отношению теплоемкости тела к его массе:
. (4)
В СИ удельная теплоемкость вещества выражается в Дж/(кг × К).
Зная теплоемкость вещества, можно определить количество теплоты, необходимое для нагревания тела массой m от температуры T 1 до температуры Т 2:
Q = cmDT = cm(T 2 – T 1). (5)
Необходимость учёта теплоемкостей различных материалов в стоматологической практике связана с довольно значительным различием теплоемкостей тканей зуба и применяемых материалов. Наличие в ротовой полости материалов с различной теплоемкостью сопровождается неприятными ощущениями, и в ряде случаев может приводить к возникновению различных побочных эффектов (выкрашивание пломб, воспалительные процессы и т.д.).