Kebanyakan siswa tidak menyukai pertidaksamaan trigonometri. Namun sia-sia. Seperti yang pernah dikatakan salah satu karakter,
“Kamu hanya tidak tahu cara memasaknya”
Jadi bagaimana cara “memasak” dan bagaimana cara menyampaikan pertidaksamaan dengan sinus, kita akan cari tahu di artikel ini. Kami akan memutuskan dengan cara yang sederhana– menggunakan lingkaran satuan.
Jadi, pertama-tama kita perlu algoritma berikutnya.
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan sinus:
- pada sumbu sinus kita plot bilangan $a$ dan menggambar garis lurus sejajar sumbu kosinus hingga berpotongan dengan lingkaran;
- titik potong garis tersebut dengan lingkaran akan diarsir jika pertidaksamaannya tidak tegas, dan tidak diarsir jika pertidaksamaannya tegas;
- luas penyelesaian pertidaksamaan terletak di atas garis dan sampai ke lingkaran jika pertidaksamaan itu bertanda “$>$”, dan di bawah garis dan sampai ke lingkaran jika pertidaksamaan itu bertanda “$<$”;
- untuk mencari titik potong, kita selesaikan persamaan trigonometri $\sin(x)=a$, kita peroleh $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
- pengaturan $n=0$, kita menemukan titik persimpangan pertama (terletak di kuartal pertama atau keempat);
- untuk mencari titik kedua, kita lihat ke arah mana kita melewati daerah tersebut hingga titik potong kedua: jika ke arah positif maka kita ambil $n=1$, dan jika ke arah negatif maka $n=- $1;
- sebagai tanggapan, intervalnya dituliskan dari titik potong yang lebih kecil $+ 2\pi n$ ke titik potong yang lebih besar $+ 2\pi n$.
Batasan algoritma
Penting: d algoritma yang diberikan tidak berfungsi untuk pertidaksamaan berbentuk $\sin(x) > 1; \ \dosa(x) \geq 1, \ \dosa(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
Kasus khusus saat menyelesaikan pertidaksamaan dengan sinus
Penting juga untuk diperhatikan kasus-kasus berikut, yang jauh lebih mudah untuk diselesaikan secara logis tanpa menggunakan algoritma di atas.
Kasus khusus 1. Selesaikan ketimpangan:
$\sin(x)\leq 1.$
Karena kenyataan bahwa kisaran nilai fungsi trigonometri$y=\sin(x)$ tidak lebih besar dari modulo $1$, maka ruas kiri pertidaksamaan kapan saja$x$ dari domain definisi (dan domain definisi sinus adalah semuanya bilangan real) tidak lebih dari $1$. Dan, oleh karena itu, dalam jawabannya kita menulis: $x \in R$.
Konsekuensi:
$\sin(x)\geq -1.$
Kasus khusus 2. Selesaikan ketimpangan:
$\dosa(x)< 1.$
Menerapkan alasan yang mirip dengan kasus khusus 1, kita menemukan bahwa ruas kiri pertidaksamaan kurang dari $1$ untuk semua $x \dalam R$, kecuali titik-titik yang merupakan solusi persamaan $\sin(x) = 1$. Memecahkan persamaan ini, kita akan mendapatkan:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
Oleh karena itu, dalam jawabannya kita menulis: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.
Konsekuensi: ketimpangan diselesaikan dengan cara yang sama
$\dosa(x) > -1.$
Contoh penyelesaian pertidaksamaan menggunakan algoritma.
Contoh 1: Selesaikan ketimpangan:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- Mari kita tandai koordinat $\frac(1)(2)$ pada sumbu sinus.
- Mari kita menggambar garis lurus yang sejajar dengan sumbu kosinus dan melalui titik ini.
- Mari kita tandai titik persimpangannya. Mereka akan dinaungi karena kesenjangannya tidak terlalu ketat.
- Tanda pertidaksamaannya adalah $\geq$, artinya kita mengecat area di atas garis, yaitu. setengah lingkaran yang lebih kecil.
- Kami menemukan titik persimpangan pertama. Untuk melakukannya, kita mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan dan menyelesaikannya: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Panah Kanan \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Kami selanjutnya menetapkan $n=0$ dan menemukan titik persimpangan pertama: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
- Kami menemukan poin kedua. Luas kita mengarah ke arah positif dari titik pertama, artinya kita menetapkan $n$ sama dengan $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.
Maka penyelesaiannya akan berbentuk:
$x \dalam \kiri[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan], \n \dalam Z.$
Contoh 2: Selesaikan ketimpangan:
$\dosa(x)< -\frac{1}{2}$
Mari kita tandai koordinat $-\frac(1)(2)$ pada sumbu sinus dan menggambar garis lurus yang sejajar dengan sumbu kosinus dan melalui titik ini. Mari kita tandai titik persimpangannya. Mereka tidak akan dinaungi, karena kesenjangannya sangat ketat. Tanda pertidaksamaan $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.
Selanjutnya dengan asumsi $n=0$, kita menemukan titik potong pertama: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Luas kita mengarah ke arah negatif dari titik pertama, artinya kita menetapkan $n$ sama dengan $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan ini adalah intervalnya:
$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$
Contoh 3: Selesaikan ketimpangan:
$1 – 2\sin(\kiri(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \leq 0.$
Contoh ini tidak dapat diselesaikan dengan segera menggunakan suatu algoritma. Pertama, Anda perlu mengubahnya. Kita melakukan persis seperti yang kita lakukan dengan persamaan, tapi jangan lupa tentang tandanya. Membagi atau mengalikan dengan angka negatif akan membalikkannya!
Jadi, mari kita pindahkan segala sesuatu yang tidak mengandung fungsi trigonometri ke ruas kanan. Kami mendapatkan:
$- 2\sin(\kiri(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \leq -1.$
Mari kita bagi ruas kiri dan kanan dengan $-2$ (jangan lupa tandanya!). Kami akan memiliki:
$\sin(\kiri(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \geq \frac(1)(2).$
Sekali lagi kita memiliki pertidaksamaan yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma. Tapi di sini cukup mengubah variabelnya:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
Kami memperoleh pertidaksamaan trigonometri yang dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
Pertidaksamaan ini diselesaikan pada Contoh 1, jadi mari kita pinjam jawabannya dari sana:
$t \di \kiri[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan].$
Namun, keputusan tersebut belum berakhir. Kita perlu kembali ke variabel awal.
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \di \kiri[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan].$
Mari kita bayangkan interval sebagai suatu sistem:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n
Di sisi kiri sistem terdapat ekspresi ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), yang termasuk dalam interval. Batas kiri interval menyebabkan pertidaksamaan pertama, dan batas kanan menyebabkan pertidaksamaan kedua. Selain itu, tanda kurung juga memegang peranan penting: jika tanda kurung berbentuk persegi, maka pertidaksamaannya akan mengecil, dan jika berbentuk bulat, maka pertidaksamaannya akan tegas. tugas kita adalah mendapatkan $x$ dari kiri dalam kedua ketidaksetaraan.
Mari kita pindahkan $\frac(\pi)(6)$ dari sisi kiri ke sisi kanan, kita peroleh:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \kanan.$.
Sederhananya, kita punya:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(array) \kanan.$
Mengalikan ruas kiri dan kanan dengan $4$, kita mendapatkan:
$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \kanan. $
Merakit sistem ke dalam interval, kita mendapatkan jawabannya:
$x \di \kiri[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\kanan], \n \dalam Z.$
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri sederhana dan mengenali metode penyelesaian pertidaksamaan trigonometri.
Guru dari kategori kualifikasi tertinggi:
Shirko F.M. hal.Kemajuan, MOBU-sekolah menengah No.6
Sankina L.S. Armavir, sekolah menengah swasta "Jalan Baru"
Tidak ada metode universal untuk mengajarkan disiplin sains dan matematika. Setiap guru menemukan cara mengajarnya sendiri yang hanya dapat diterima olehnya.
Pengalaman mengajar kami selama bertahun-tahun menunjukkan bahwa siswa lebih mudah mempelajari materi yang memerlukan konsentrasi dan retensi sejumlah besar informasi dalam memori jika mereka diajarkan untuk menggunakan algoritma dalam aktivitas mereka pada tahap awal mempelajari topik yang kompleks. Menurut kami, topik seperti itu adalah topik penyelesaian pertidaksamaan trigonometri.
Jadi, sebelum kita mulai dengan siswa untuk mengidentifikasi teknik dan metode penyelesaian pertidaksamaan trigonometri, kita berlatih dan mengkonsolidasikan algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri yang paling sederhana.
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri sederhana
Tandai titik-titik pada sumbu yang sesuai ( Untuk dosa X– Sumbu OA, untukkarena X– Sumbu sapi)
Kita kembalikan tegak lurus terhadap sumbu yang akan memotong lingkaran di dua titik.
Titik pertama pada lingkaran adalah titik yang termasuk dalam interval rentang fungsi busur menurut definisi.
Mulai dari titik yang diberi label, arsirlah busur lingkaran yang sesuai dengan bagian sumbu yang diarsir.
Kami memberikan perhatian khusus pada arah jalan memutar. Jika traversal dilakukan searah jarum jam (yaitu ada transisi melalui 0), maka titik kedua pada lingkaran akan bernilai negatif, jika berlawanan arah jarum jam akan bernilai positif.
Jawabannya kami tuliskan dalam bentuk interval, dengan memperhatikan periodisitas fungsinya.
Mari kita lihat pengoperasian algoritma menggunakan contoh.
1) dosa ≥ 1/2;
Larutan:
Kami menggambarkan lingkaran satuan.;
Kami menandai titik ½ pada sumbu OU.
Kami mengembalikan tegak lurus terhadap sumbu,
yang memotong lingkaran di dua titik.
Berdasarkan definisi arcsinus, pertama-tama kita perhatikan
titik π/6.
Buat bayangan pada bagian sumbu yang sesuai
diberikan pertidaksamaan, di atas titik ½.
Bayangkan busur lingkaran yang sesuai dengan bagian sumbu yang diarsir.
Traversalnya dilakukan berlawanan arah jarum jam, diperoleh titik 5π/6.
Kami menulis jawabannya dalam bentuk interval, dengan mempertimbangkan periodisitas fungsi;
Menjawab:X;[π/6 + 2π N, 5π/6 + 2π N], NZ.
Pertidaksamaan paling sederhana diselesaikan dengan menggunakan algoritma yang sama jika catatan jawaban tidak berisi nilai tabel.
Siswa, ketika menyelesaikan pertidaksamaan di papan tulis pada pelajaran pertama mereka, melafalkan setiap langkah algoritma dengan lantang.
2) 5 karena X – 1 ≥ 0;
R 
larutan:pada
5 karena X – 1 ≥ 0;
karena X ≥ 1/5;
Gambarlah lingkaran satuan.
Kita tandai suatu titik dengan koordinat 1/5 pada sumbu OX.
Kami mengembalikan tegak lurus terhadap sumbu, yang mana
memotong lingkaran di dua titik.
Titik pertama pada lingkaran adalah titik yang termasuk dalam interval rentang kosinus busur menurut definisi (0;π).
Kami mengarsir bagian sumbu yang sesuai dengan pertidaksamaan ini.
Dimulai dari titik yang ditandatangani arccos 1/5, arsir busur lingkaran yang sesuai dengan bagian sumbu yang diarsir.
Perlintasan dilakukan searah jarum jam (yaitu ada transisi melalui 0), yang berarti titik kedua pada lingkaran akan bernilai negatif - arccos 1/5.
Jawabannya kita tuliskan dalam bentuk interval, dengan memperhatikan periodisitas fungsi, dari nilai yang lebih kecil ke nilai yang lebih besar.
Menjawab: X [-arccos 1/5 + 2π N, arccos 1/5 + 2π N], NZ.
Peningkatan kemampuan menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri difasilitasi oleh pertanyaan-pertanyaan berikut: “Bagaimana kita menyelesaikan sekelompok pertidaksamaan?”; “Apa perbedaan ketimpangan yang satu dengan ketimpangan lainnya?”; “Bagaimana satu ketimpangan serupa dengan ketimpangan lainnya?”; Bagaimana jawabannya akan berubah jika terjadi ketidaksetaraan yang ketat?"; Bagaimana jawabannya akan berubah jika alih-alih tanda "" yang ada adalah tanda "
Tugas menganalisis daftar ketidaksetaraan dari sudut pandang metode penyelesaiannya memungkinkan Anda mempraktikkan pengenalannya.
Siswa diberikan ketidaksetaraan yang perlu diselesaikan di kelas.
Pertanyaan: Soroti pertidaksamaan yang memerlukan penggunaan transformasi ekuivalen saat mereduksi pertidaksamaan trigonometri ke bentuk paling sederhana?
Menjawab 1, 3, 5.
Pertanyaan: Pertidaksamaan apa yang membuat argumen kompleks perlu dianggap sebagai argumen sederhana?
Menjawab: 1, 2, 3, 5, 6.
Pertanyaan: Pertidaksamaan apa saja yang dapat diterapkan rumus trigonometri?
Menjawab: 2, 3, 6.
Pertanyaan: Sebutkan pertidaksamaan dimana metode memasukkan variabel baru dapat diterapkan?
Menjawab: 6.
Tugas menganalisis daftar ketidaksetaraan dari sudut pandang metode penyelesaiannya memungkinkan Anda mempraktikkan pengenalannya. Dalam mengembangkan keterampilan, penting untuk mengidentifikasi tahapan implementasinya dan merumuskannya dalam bentuk umum, yang disajikan dalam algoritma penyelesaian pertidaksamaan trigonometri paling sederhana.
Selama pelajaran praktis, kami akan mengulangi jenis tugas utama dari topik “Trigonometri”, selain itu menganalisis masalah dengan kompleksitas yang meningkat dan mempertimbangkan contoh penyelesaian berbagai pertidaksamaan trigonometri dan sistemnya.
Pelajaran ini akan membantu Anda mempersiapkan salah satu jenis tugas B5, B7, C1 dan C3.
Mari kita mulai dengan meninjau jenis tugas utama yang kita bahas dalam topik "Trigonometri" dan menyelesaikan beberapa masalah non-standar.
Tugas No.1. Ubah sudut menjadi radian dan derajat: a) ; B) .
a) Mari kita gunakan rumus untuk mengubah derajat menjadi radian
Mari kita gantikan nilai yang ditentukan ke dalamnya.
b) Terapkan rumus untuk mengubah radian menjadi derajat
Mari kita lakukan substitusi 
.
Menjawab. A) ; B) .
Tugas No.2. Hitung: a) ; B) .
a) Karena sudutnya jauh melampaui tabel, kita akan menguranginya dengan mengurangkan periode sinus. Karena Sudut dinyatakan dalam radian, maka kita anggap periodenya sebagai .
b) Dalam hal ini situasinya serupa. Karena sudut dinyatakan dalam derajat, kita anggap periode garis singgungnya sebagai .
Sudut yang dihasilkan, meskipun lebih kecil dari periode, namun lebih besar, artinya tidak lagi mengacu pada bagian utama, melainkan bagian tabel yang diperpanjang. Agar tidak melatih ingatan lagi dengan menghafal tabel nilai trigofungsi yang diperluas, mari kita kurangi lagi periode singgungnya:
Kami memanfaatkan keanehan fungsi tangen.
Menjawab. a) 1; B) .
Tugas No.3. Menghitung 
, Jika .
Mari kita kurangi seluruh ekspresi menjadi garis singgung dengan membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan . Pada saat yang sama, kita tidak boleh takut akan hal itu, karena dalam hal ini, nilai tangen tidak akan ada.
Tugas No.4. Sederhanakan ekspresi tersebut.
Ekspresi yang ditentukan diubah menggunakan rumus reduksi. Mereka ditulis dengan menggunakan derajat yang tidak biasa. Ekspresi pertama umumnya mewakili angka. Mari kita sederhanakan semua fungsi trigo satu per satu:
Karena , maka fungsinya berubah menjadi kofungsi, yaitu. ke kotangen, dan sudutnya jatuh ke kuarter kedua, yang garis singgung aslinya bertanda negatif.
Untuk alasan yang sama seperti pada ekspresi sebelumnya, fungsi berubah menjadi kofungsi, yaitu. ke kotangen, dan sudutnya jatuh ke kuarter pertama, yang garis singgung aslinya bertanda positif.
Mari kita gantikan semuanya ke dalam ekspresi yang disederhanakan:
Masalah #5. Sederhanakan ekspresi tersebut.
Mari kita tuliskan garis singgung sudut ganda menggunakan rumus yang sesuai dan sederhanakan persamaannya:
Identitas terakhir adalah salah satu rumus penggantian universal kosinus.
Masalah #6. Menghitung.
Hal utama adalah jangan membuat kesalahan standar dengan tidak memberikan jawaban yang persamaannya dengan . Sifat dasar garis singgung busur tidak dapat digunakan selama ada faktor berbentuk dua di sebelahnya. Untuk menghilangkannya, kita akan menulis ekspresi sesuai dengan rumus tangen sudut ganda, dengan memperlakukan , sebagai argumen biasa.
Sekarang kita dapat menerapkan sifat dasar tangen busur; ingat bahwa tidak ada batasan pada hasil numeriknya.
Soal No.7. Selesaikan persamaannya.
Ketika menyelesaikan persamaan pecahan yang sama dengan nol, selalu dinyatakan bahwa pembilangnya sama dengan nol, tetapi penyebutnya tidak, karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol.
Persamaan pertama merupakan kasus khusus dari persamaan paling sederhana yang dapat diselesaikan dengan menggunakan lingkaran trigonometri. Ingat solusi ini sendiri. Pertidaksamaan kedua diselesaikan sebagai persamaan paling sederhana dengan menggunakan rumus umum akar-akar garis singgung, tetapi hanya dengan tanda tidak sama.
Seperti yang bisa kita lihat, satu famili akar mengecualikan famili lain yang memiliki jenis akar yang persis sama dan tidak memenuhi persamaan tersebut. Itu. tidak ada akar.
Menjawab. Tidak ada akar.
Soal No.8. Selesaikan persamaannya.
Mari kita segera perhatikan bahwa kita dapat menghilangkan faktor persekutuannya dan melakukannya:
Persamaan tersebut telah direduksi menjadi salah satu bentuk standar, dimana hasil kali beberapa faktor sama dengan nol. Kita sudah tahu bahwa dalam kasus ini, salah satunya sama dengan nol, atau yang lain, atau yang ketiga. Mari kita tuliskan dalam bentuk himpunan persamaan:
Dua persamaan pertama adalah kasus khusus dari persamaan paling sederhana yang telah kita jumpai berkali-kali dengan persamaan serupa, jadi kami akan segera menunjukkan solusinya. Kami mengurangi persamaan ketiga menjadi satu fungsi menggunakan rumus sinus sudut ganda.
Mari selesaikan persamaan terakhir secara terpisah:
Persamaan ini tidak mempunyai akar, karena nilai sinus tidak bisa melampauinya 
.
Jadi, solusinya hanyalah dua keluarga akar pertama; keduanya dapat digabungkan menjadi satu, yang mudah ditunjukkan pada lingkaran trigonometri:
 |
Ini adalah keluarga dari semua bagian, mis.
Mari kita lanjutkan menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri. Pertama, mari kita lihat pendekatan penyelesaian dengan contoh tanpa menggunakan rumus solusi umum, tetapi menggunakan lingkaran trigonometri.
Soal No.9. Selesaikan ketimpangan.
Mari kita menggambar garis bantu pada lingkaran trigonometri yang sesuai dengan nilai sinus sama dengan , dan menunjukkan rentang sudut yang memenuhi pertidaksamaan.
 |
Sangat penting untuk memahami dengan tepat bagaimana menunjukkan interval sudut yang dihasilkan, mis. apa awalnya dan apa akhirnya. Awal interval akan menjadi sudut yang sesuai dengan titik yang akan kita masuki di awal interval jika kita bergerak berlawanan arah jarum jam. Dalam kasus kami, ini adalah titik di sebelah kiri, karena bergerak berlawanan arah jarum jam dan melewati titik yang diinginkan, sebaliknya kita meninggalkan rentang sudut yang diperlukan. Oleh karena itu, titik yang tepat akan berhubungan dengan akhir kesenjangan.
Sekarang kita perlu memahami sudut awal dan akhir interval solusi pertidaksamaan kita. Kesalahan umum adalah segera menunjukkan bahwa titik kanan berhubungan dengan sudut, titik kiri dan memberikan jawabannya. Ini tidak benar! Harap dicatat bahwa kami baru saja menunjukkan interval yang sesuai dengan bagian atas lingkaran, meskipun kami tertarik pada bagian bawah, dengan kata lain, kami telah mencampuradukkan awal dan akhir interval solusi yang kami butuhkan.
Agar interval dimulai dari sudut titik kanan dan diakhiri dengan sudut titik kiri, sudut tertentu pertama harus lebih kecil dari sudut kedua. Untuk melakukan ini, kita harus mengukur sudut titik siku-siku dalam arah acuan negatif, yaitu. searah jarum jam dan itu akan sama dengan. Kemudian, mulai bergerak searah jarum jam positif, kita akan sampai ke titik kanan setelah titik kiri dan mendapatkan nilai sudutnya. Sekarang awal interval sudut lebih kecil dari akhir, dan kita dapat menulis interval penyelesaian tanpa memperhitungkan periode:
Mengingat bahwa interval tersebut akan diulang berkali-kali setelah sejumlah rotasi bilangan bulat, kita memperoleh solusi umum dengan mempertimbangkan periode sinus:
Kita memberi tanda kurung karena pertidaksamaannya sangat ketat, dan kita memilih titik-titik pada lingkaran yang sesuai dengan ujung-ujung interval.
Bandingkan jawaban yang Anda terima dengan rumus solusi umum yang kami berikan pada kuliah.
Menjawab. 
.
Metode ini bagus untuk memahami dari mana rumus solusi umum pertidaksamaan trigon paling sederhana berasal. Selain itu, berguna bagi mereka yang terlalu malas untuk mempelajari semua rumus yang rumit tersebut. Namun, metodenya sendiri juga tidak mudah; pilihlah pendekatan solusi mana yang paling nyaman bagi Anda.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri, Anda juga dapat menggunakan grafik fungsi yang memiliki garis bantu, mirip dengan metode yang ditunjukkan menggunakan lingkaran satuan. Jika Anda tertarik, cobalah mencari tahu sendiri pendekatan solusi ini. Berikut ini kita akan menggunakan rumus umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri sederhana.
Soal No.10. Selesaikan ketimpangan.
Mari kita gunakan rumus untuk penyelesaian umum, dengan mempertimbangkan fakta bahwa pertidaksamaan tidak tegas:
Dalam kasus kami, kami mendapatkan:
Menjawab. 
Soal No.11. Selesaikan ketimpangan.
Mari kita gunakan rumus solusi umum untuk pertidaksamaan ketat yang bersesuaian:
Menjawab. 
.
Soal No.12. Selesaikan pertidaksamaan: a) ; B) .
Dalam pertidaksamaan tersebut, tidak perlu terburu-buru menggunakan rumus penyelesaian umum atau lingkaran trigonometri; cukup mengingat rentang nilai sinus dan kosinus.
a) Sejak 
, maka ketimpangan tersebut tidak masuk akal. Oleh karena itu, tidak ada solusi.
b) Karena demikian pula, sinus argumen apa pun selalu memenuhi pertidaksamaan yang ditentukan dalam kondisi. Oleh karena itu, pertidaksamaan dipenuhi oleh semua nilai riil argumen tersebut.
Menjawab. a) tidak ada solusi; B) .
Masalah 13. Selesaikan ketimpangan 
.
Pertidaksamaan adalah relasi berbentuk a › b, dimana a dan b adalah ekspresi yang mengandung paling sedikit satu variabel. Ketimpangan bisa sangat ketat - ‹, › dan tidak ketat - ≥, ≤.
Pertidaksamaan trigonometri adalah ekspresi dalam bentuk: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, dimana F(x) diwakili oleh satu atau lebih fungsi trigonometri.
Contoh pertidaksamaan trigonometri yang paling sederhana adalah: sin x ‹ 1/2. Merupakan kebiasaan untuk menyelesaikan masalah seperti itu secara grafis; dua metode telah dikembangkan untuk ini.
Metode 1 - Menyelesaikan pertidaksamaan dengan membuat grafik suatu fungsi
Untuk mencari interval yang memenuhi kondisi pertidaksamaan sin x ‹ 1/2, Anda harus melakukan langkah-langkah berikut:
- Pada sumbu koordinat, buatlah sinusoidal y = sin x.
- Pada sumbu yang sama, gambarlah grafik argumen numerik pertidaksamaan, yaitu garis lurus yang melalui titik ordinat OY.
- Tandai titik potong kedua grafik tersebut.
- Bayangkan segmen yang merupakan solusi dari contoh tersebut.
Jika terdapat tanda tegas dalam suatu ekspresi, maka titik potongnya bukanlah solusi. Karena periode positif terkecil suatu sinusoida adalah 2π, maka kita tuliskan jawabannya sebagai berikut:
Jika tanda ekspresi tidak tegas, maka interval penyelesaian harus diapit tanda kurung siku - . Jawaban dari permasalahan tersebut juga dapat dituliskan sebagai pertidaksamaan berikut: 
Metode 2 - Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri menggunakan lingkaran satuan
Masalah serupa dapat dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan lingkaran trigonometri. Algoritma untuk menemukan jawaban sangat sederhana:
- Pertama, Anda perlu menggambar lingkaran satuan.
- Maka perlu diperhatikan nilai fungsi busur dari argumen ruas kanan pertidaksamaan pada busur lingkaran.
- Perlu ditarik garis lurus yang melalui nilai fungsi busur sejajar dengan sumbu absis (OX).
- Setelah itu, yang tersisa hanyalah memilih busur lingkaran, yang merupakan himpunan solusi pertidaksamaan trigonometri.
- Tuliskan jawabannya pada formulir yang diperlukan.
Mari kita analisis tahapan penyelesaiannya dengan menggunakan contoh pertidaksamaan sin x › 1/2. Titik α dan β ditandai pada lingkaran - nilai
Titik-titik busur yang terletak di atas dan adalah interval penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan.
Jika Anda perlu menyelesaikan contoh cos, maka busur jawabannya akan terletak simetris terhadap sumbu OX, bukan OY. Anda dapat memperhatikan perbedaan antara interval penyelesaian sin dan cos pada diagram di bawah ini.
Solusi grafis untuk pertidaksamaan tangen dan kotangen akan berbeda baik dalam sinus maupun kosinus. Hal ini disebabkan oleh sifat-sifat fungsi.
Arctangen dan arckotangen merupakan garis singgung lingkaran trigonometri, dan periode positif minimum untuk kedua fungsi tersebut adalah π. Untuk menggunakan metode kedua dengan cepat dan benar, Anda perlu mengingat pada sumbu mana nilai sin, cos, tg, dan ctg diplot.
Garis singgung garis singgung berjalan sejajar dengan sumbu OY. Jika kita memplot nilai arctan a pada lingkaran satuan, maka titik kedua yang diperlukan akan ditempatkan pada seperempat diagonal. Sudut
Titik-titik tersebut merupakan titik putus untuk fungsi tersebut, karena grafiknya cenderung ke sana, tetapi tidak pernah mencapai titik tersebut.
Dalam kasus kotangen, garis singgung sejajar dengan sumbu OX, dan fungsinya terputus di titik π dan 2π.
Pertidaksamaan trigonometri kompleks
Jika argumen fungsi pertidaksamaan diwakili tidak hanya oleh variabel, tetapi oleh seluruh ekspresi yang mengandung hal yang tidak diketahui, maka kita berbicara tentang pertidaksamaan kompleks. Proses dan tata cara penyelesaiannya agak berbeda dengan cara-cara yang dijelaskan di atas. Misalkan kita perlu mencari solusi untuk pertidaksamaan berikut:
Solusi grafis melibatkan konstruksi sinusoidal biasa y = sin x dari nilai x yang dipilih secara sewenang-wenang. Mari kita hitung tabel dengan koordinat titik kontrol grafik:
Hasilnya harus berupa kurva yang indah.
Untuk mempermudah pencarian solusi, mari kita ganti argumen fungsi kompleks
Proyek aljabar “Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri” Diselesaikan oleh siswa kelas 10 “B” Kazachkova Yulia Pembimbing: guru matematika Kochakova N.N.
Tujuan Untuk memantapkan materi dengan topik “Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri” dan menjadi pengingat bagi siswa untuk mempersiapkan diri menghadapi ujian yang akan datang.
Tujuan: Meringkas materi tentang topik ini. Sistematisasikan informasi yang diterima. Pertimbangkan topik ini dalam Ujian Negara Bersatu.
Relevansi Relevansi topik yang saya pilih terletak pada kenyataan bahwa tugas-tugas dengan topik “Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri” termasuk dalam tugas-tugas Ujian Negara Bersatu.
Pertidaksamaan trigonometri Pertidaksamaan adalah relasi yang menghubungkan dua bilangan atau ekspresi melalui salah satu tanda: (lebih besar dari); ≥ (lebih besar atau sama dengan). Pertidaksamaan trigonometri adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri.
Pertidaksamaan trigonometri Penyelesaian pertidaksamaan yang mengandung fungsi trigonometri biasanya direduksi menjadi penyelesaian pertidaksamaan paling sederhana yang bentuknya: sin x>a, sin x a, karena x a, tgx a,ctgx
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri Pada sumbu yang bersesuaian dengan fungsi trigonometri tertentu, tandai ini nilai numerik fungsi ini. Gambarlah garis melalui titik yang ditandai yang memotong lingkaran satuan. Pilih titik potong suatu garis dan lingkaran dengan memperhatikan tanda pertidaksamaan tegas atau tidak tegas. Pilih busur lingkaran tempat solusi pertidaksamaan berada. Tentukan nilai sudut pada titik awal dan akhir busur lingkaran. Tuliskan penyelesaian pertidaksamaan dengan memperhatikan periodisitas fungsi trigonometri yang diberikan.
Rumus penyelesaian pertidaksamaan trigonometri sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). dosa A; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). karenaA; x (arctg a + πn ; + πn). tgx A; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar sinx >a
Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar sinx Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar cosx >a Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar cosx Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar tgx >a Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar tgx Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar ctgx >a
