Hidrosfer adalah cangkang bumi yang berair. Hidrosfer adalah cangkang bumi yang berair. Suasana - selubung udara bumi

Tentang paralel dan garis potong.

Di luar literatur berbahasa Rusia, teorema Thales terkadang disebut teorema planimetri lainnya, yaitu, pernyataan itu, Apa sudut tertulis, berdasarkan diameter lingkaran, bersifat langsung. Penemuan teorema ini memang dikaitkan dengan Thales, sebagaimana dibuktikan Prokla.

Formulasi

Jika pada salah satu dari dua garis lurus kita memplot beberapa segmen yang sama dan melalui ujung-ujungnya tariklah garis-garis sejajar yang memotong garis kedua, kemudian mereka akan memotong segmen-segmen yang sama pada garis kedua.

Rumusan yang lebih umum disebut juga teorema tentang segmen proporsional

Garis sejajar terpotong pada garis potong segmen proporsional :

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Catatan

  • Teorema ini tidak memiliki batasan pengaturan bersama garis potong(ini berlaku untuk garis berpotongan dan sejajar). Juga tidak menjadi masalah di mana segmen pada garis potong tersebut berada.
  • Teorema Thales adalah kasus khusus dari teorema segmen proporsional, karena segmen yang sama dapat dianggap sebagai segmen proporsional dengan koefisien proporsionalitas sama dengan 1.

Bukti dalam kasus garis potong

Mari kita pertimbangkan opsi dengan pasangan segmen yang tidak terhubung: biarkan sudutnya berpotongan dengan garis lurus SEBUAH 1 | | B B 1 | | CC 1 | | DD 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) dan dimana A B = C D (\displaystyle AB=CD).

Buktikan pada kasus garis sejajar

Ayo buat langsung SM. Sudut ABC Dan BCD sama dengan internal berbaring melintang dengan garis sejajar AB Dan CD dan garis potong SM, dan sudutnya ACB Dan CBD sama dengan letak melintang bagian dalam dengan garis sejajar AC Dan BD dan garis potong SM. Lalu oleh kriteria kedua persamaan segitiga segitiga ABC Dan DCB adalah sama. Oleh karena itu AC = BD Dan AB = CD. ■

Variasi dan generalisasi

Teorema kebalikan

Jika dalam teorema Thales, segmen yang sama dimulai dari titik sudut (seringkali di sastra sekolah rumusan seperti itu digunakan), maka teorema kebalikannya juga benar. Untuk perpotongan garis potong dirumuskan sebagai berikut:

DI DALAM kebalikan dari teorema Thales, penting bahwa segmen yang sama dimulai dari titik puncak

Jadi (lihat gambar) dari fakta itu C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ltitik ), ikuti itu A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Jika garis potong sejajar, maka segmen pada kedua garis potong harus sama satu sama lain, jika tidak, pernyataan ini menjadi salah (contoh tandingannya adalah trapesium yang dipotong oleh garis yang melalui titik tengah alasnya).

Teorema ini digunakan dalam navigasi: tabrakan antar kapal yang bergerak dengan kecepatan konstan tidak dapat dihindari jika arah dari satu kapal ke kapal lainnya tetap terjaga.

lemma Sollertinsky

Pernyataan berikut bersifat ganda lemma Sollertinsky :

Membiarkan f (\gaya tampilan f) - korespondensi proyektif antar titik pada suatu garis aku (\gaya tampilan l) dan lurus m (\gaya tampilan m). Maka himpunan garis tersebut akan menjadi himpunan garis singgung beberapa garis bagian berbentuk kerucut(mungkin merosot).

Dalam kasus teorema Thales, kerucutnya tidak terhingga titik terpencil, sesuai dengan arah garis sejajar.

Pernyataan ini, pada gilirannya, merupakan kasus pembatas dari pernyataan berikut:

Membiarkan f (\gaya tampilan f) - transformasi proyektif tempat tidur susun. Kemudian selubung himpunan garis lurus Xf (X) (\gaya tampilan Xf(X)) akan berbentuk kerucut (mungkin merosot).

Jika sisi-sisi suatu sudut berpotongan dengan garis lurus garis sejajar yang salah satu sisinya terbagi menjadi beberapa ruas, maka sisi kedua garis lurus tersebut juga akan terbagi menjadi ruas-ruas yang ekuivalen dengan sisi yang lain.

teorema Thales membuktikan hal berikut: C 1, C 2, C 3 adalah tempat perpotongan garis sejajar pada kedua sisi sudut. C 2 berada di tengah-tengah relatif terhadap C 1 dan C 3.. Titik D 1, D 2, D 3 adalah tempat perpotongan garis-garis yang bersesuaian dengan garis-garis di sisi lain sudut. Kita buktikan bila C 1 C 2 = C 2 C h, maka D 1 D 2 = D 2 D 3.
Kita menggambar ruas lurus KR di tempat D 2, sejajar dengan ruas C 1 C 3. Pada sifat-sifat jajar genjang, C 1 C 2 = KD 2, C 2 C 3 = D 2 P. Jika C 1 C 2 = C 2 C 3, maka KD 2 = D 2 P.

Bentuk segitiga D 2 D 1 K dan D 2 D 3 P yang dihasilkan adalah sama besar. Dan D 2 K=D 2 P dengan pembuktian. Sudut-sudut dengan titik atas D 2 sama besar dengan sudut vertikal, dan sudut-sudut D 2 KD 1 dan D 2 PD 3 sama besar dengan sudut-sudut dalam yang terletak sejajar C 1 D 1 dan C 3 D 3 dan pemisah KP.
Karena D 1 D 2 =D 2 D 3 maka teorema tersebut dibuktikan dengan persamaan sisi-sisi segitiga

Catatan: Kalau kita ambil bukan sisi-sisi sudutnya, melainkan dua ruas lurus, maka pembuktiannya sama.
Setiap ruas lurus yang sejajar satu sama lain, yang memotong dua garis yang sedang kita pertimbangkan dan membagi salah satunya menjadi beberapa bagian yang sama, lakukan hal yang sama dengan yang kedua.

Mari kita lihat beberapa contoh

Contoh pertama

Syarat tugasnya adalah membagi CD garis lurus menjadi P segmen yang identik.
Dari titik C kita menggambar setengah garis c yang tidak terletak pada garis CD. Mari tandai bagian-bagian dengan ukuran yang sama. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 .....C p-1 C p. Hubungkan C p dengan D. Tarik garis lurus dari titik C 1, C 2,...., C p-1 yang sejajar terhadap C p D. Garis lurus tersebut akan memotong CD di tempat D 1 D 2 D p-1 dan membagi garis lurus CD menjadi n ruas yang sama besar.

Contoh kedua

Titik CK ditandai pada sisi AB segitiga ABC. Ruas SC memotong median AM segitiga di titik P, sedangkan AK = AP. Diperlukan untuk menemukan rasio VC terhadap RM.
Kita tarik sebuah ruas lurus melalui titik M sejajar SC yang memotong AB di titik D

Oleh teorema ThalesВD=КD
Menurut teorema segmen proporsional kita mengerti itu
РМ = КD = ВК/2, jadi, ВК: РМ = 2:1
Jawab : VK : RM = 2:1

Contoh ketiga

Pada segitiga ABC, sisi BC = 8 cm. Garis DE memotong sisi AB dan BC sejajar AC. Dan potong ruas EC = 4 cm pada sisi BC. Buktikan bahwa AD = DB.

Karena BC = 8 cm dan EC = 4 cm, maka
BE = BC-EC maka BE = 8-4 = 4(cm)
Oleh teorema Thales, karena AC sejajar DE dan EC = BE, maka AD = DB. Q.E.D.

DI DALAM majalah wanita- online, Anda akan menemukan banyak hal informasi yang menarik untuk diriku. Ada juga bagian yang didedikasikan untuk puisi yang ditulis oleh Sergei Yesenin. Masuklah, Anda tidak akan menyesal!


          1. Perumusan;

          2. Bukti;

  1. Teorema segmen proporsional;

  2. teorema Ceva;

          1. Perumusan;

          2. Bukti;

  1. teorema Menelaus;

          1. Perumusan;

          2. Bukti;

  1. Permasalahan dan solusinya;

  2. Kesimpulan;

  3. Daftar sumber dan literatur yang digunakan.

Perkenalan.

Segala sesuatu yang kecil dibutuhkan

Menjadi signifikan...

I.Severyanin
Esai ini dikhususkan untuk penerapan metode garis sejajar untuk membuktikan teorema dan menyelesaikan masalah. Mengapa kita beralih ke metode ini? Karena tahun akademik pada olimpiade sekolah dalam matematika, sebuah masalah geometri diajukan, yang tampaknya sangat sulit bagi kami. Permasalahan inilah yang mendorong dimulainya upaya mempelajari dan menguasai metode garis sejajar dalam menyelesaikan masalah mencari perbandingan panjang ruas.

Ide metode ini didasarkan pada penggunaan teorema umum Thales. Teorema Thales dipelajari di kelas delapan, generalisasinya dan topik "Kesamaan Angka" di kelas sembilan dan hanya di kelas sepuluh, dalam rencana pengantar, dua teorema penting Cheva dan Menelaus dipelajari, dengan bantuan yang Sejumlah masalah dalam mencari perbandingan panjang ruas relatif mudah diselesaikan. Oleh karena itu, pada jenjang pendidikan dasar kita cukup bisa memutuskan lingkaran sempit tugas untuk ini materi pendidikan. Meskipun aktif sertifikasi akhir untuk kursus sekolah dasar dan Ujian Negara Bersatu dalam matematika, soal-soal tentang topik ini (Teorema Thales. Kesamaan segitiga, koefisien kesamaan. Tanda-tanda kesamaan segitiga) ditawarkan di bagian kedua kertas ujian dan termasuk dalam tingkat kompleksitas yang tinggi.

Dalam proses mengerjakan abstrak, pengetahuan kita tentang topik ini dapat diperdalam. Pembuktian teorema proporsional segmen dalam segitiga (teorema tidak termasuk dalam kurikulum sekolah) didasarkan pada metode garis sejajar. Pada gilirannya, teorema ini memungkinkan untuk mengusulkan cara lain untuk membuktikan teorema Ceva dan Menelaus. Hasilnya, kami dapat mempelajari cara memecahkan lebih banyak masalah yang melibatkan perbandingan panjang segmen. Inilah relevansi pekerjaan kami.

Teorema Generalisasi Thales.

Perumusan:

Garis-garis sejajar yang memotong dua garis tertentu memotong ruas-ruas yang sebanding pada garis-garis tersebut.
Diberikan:

Lurus A dipotong oleh garis sejajar ( A 1 DI DALAM 1 , A 2 DI DALAM 2 , A 3 DI DALAM 3 ,…, A N B N) menjadi beberapa segmen A 1 A 2 , A 2 A 3 , …, A N -1 A N, dan garis lurus B- menjadi segmen-segmen DI DALAM 1 DI DALAM 2 , DI DALAM 2 DI DALAM 3 , …, DI DALAM N -1 DI DALAM N .


Membuktikan:

Bukti:

Mari kita buktikan, misalnya, hal itu

Mari kita pertimbangkan dua kasus:

1 kasus (Gbr. b)

Langsung A Dan B paralel. Lalu segi empat

A 1 A 2 DI DALAM 2 DI DALAM 1 Dan A 2 A 3 DI DALAM 3 DI DALAM 2 - jajaran genjang. Itu sebabnya

A 1 A 2 =DI DALAM 1 DI DALAM 2 Dan A 2 A 3 =DI DALAM 2 DI DALAM 3 , dari situlah berikut ini


Kasus 2 (Gbr. c)

Garis a dan b tidak sejajar. Melalui intinya A 1 mari kita membuat langsung Dengan, sejajar dengan garis B. Dia akan melewati batas A 2 DI DALAM 2 Dan A 3 DI DALAM 3 di beberapa titik DENGAN 2 Dan DENGAN 3 . segitiga A 1 A 2 DENGAN 2 Dan A 1 A 3 DENGAN 3 sebangun pada dua sudut (sudut A 1 – umum, sudut A 1 A 2 DENGAN 2 Dan A 1 A 3 DENGAN 3 sama dengan bersesuaian jika garis sejajar A 2 DI DALAM 2 Dan A 3 DI DALAM 3 garis potong A 2 A 3 ), Itu sebabnya

1+

Atau berdasarkan sifat proporsi

Sebaliknya, berdasarkan apa yang telah dibuktikan pada kasus pertama, kita punya A 1 DENGAN 2 =DI DALAM 1 DI DALAM 2 , DENGAN 2 DENGAN 3 =DI DALAM 2 DI DALAM 3 . Mengganti secara proporsional (1) A 1 DENGAN 2 pada DI DALAM 1 DI DALAM 2 Dan DENGAN 2 DENGAN 3 pada DI DALAM 2 DI DALAM 3 , kita mencapai kesetaraan

Q.E.D.
Teorema tentang segmen proporsional dalam segitiga.

Di samping AC Dan Matahari segi tiga ABC poin yang ditandai KE Dan M Jadi AK:KS=M: N, B.M.: M.C.= P: Q. Segmen SAYA Dan VC berpotongan di suatu titik TENTANG(Gbr. 124b).


Membuktikan:

Bukti:
Melalui intinya M mari kita membuat langsung MD(Gbr. 124a), paralel VC. Dia melintasi sisinya AC pada intinya D, dan menurut generalisasi teorema Thales

Membiarkan AK=mx. Kemudian sesuai dengan kondisi masalahnya KS=nx, dan sejak itu KD: DC= P: Q, sekali lagi kita menggunakan generalisasi teorema Thales:

Demikian pula terbukti .

teorema Ceva.
Teorema ini dinamai ahli matematika Italia Giovanni Ceva, yang membuktikannya pada tahun 1678.

Perumusan:

Jika titik C diambil berturut-turut pada sisi AB, BC dan CA segitiga ABC 1 , A 1 dan B 1 , lalu segmen AA 1 , BB 1 dan SS 1 berpotongan di satu titik jika dan hanya jika


Diberikan:

Segi tiga ABC dan di sisinya AB, Matahari Dan AC poin yang ditandai DENGAN 1 ,A 1 Dan DI DALAM 1 .


Membuktikan:

2.segmen A A 1 , BB 1 Dan SS 1 berpotongan di satu titik.


Bukti:
1. Biarkan ruas-ruasnya A A 1 , BB 1 Dan SS 1 berpotongan di satu titik TENTANG. Mari kita buktikan bahwa persamaan (3) terpenuhi. Berdasarkan teorema ruas proporsional pada segitiga 1 kita peroleh:

Ruas kiri persamaan tersebut sama, artinya ruas kanannya juga sama. Menyamakan mereka, kita dapatkan


Membagi kedua bagian menjadi sisi kanan, kita sampai pada persamaan (3).

2. Mari kita buktikan pernyataan kebalikannya. Biarkan poinnya DENGAN 1 ,A 1 Dan DI DALAM 1 diambil secara memihak AB, Matahari Dan SA sehingga persamaan (3) terpenuhi. Mari kita buktikan segmen tersebut A A 1 , BB 1 Dan SS 1 berpotongan di satu titik. Mari kita tunjukkan dengan huruf TENTANG titik potong segmen A A 1 Dan BB 1 dan mari kita buat langsung BERSAMA. Dia melintasi sisinya AB pada titik tertentu, yang kami nyatakan DENGAN 2 . Sejak segmen A A 1 , BB 1 Dan SS 1 berpotongan di satu titik, lalu dengan apa yang dibuktikan pada poin pertama

Jadi, persamaan (3) dan (4) berlaku.

Membandingkannya, kita sampai pada persamaan = , yang menunjukkan bahwa poinnya C 1 Dan C 2 berbagi sisi AB C 1 Dan C 2 bertepatan, dan, oleh karena itu, segmennya A A 1 , BB 1 Dan SS 1 berpotongan di suatu titik HAI.

Q.E.D.
teorema Menelaus.

Perumusan:

Jika pada sisi AB dan BC dan lanjutan sisi AC (atau pada lanjutan sisi AB, BC dan AC) diambil titik C berturut-turut 1 , A 1 , DI DALAM 1 , maka titik-titik tersebut terletak pada garis yang sama jika dan hanya jika

Diberikan:

Segi tiga ABC dan di sisinya AB, Matahari Dan AC poin yang ditandai DENGAN 1 ,A 1 Dan DI DALAM 1 .


Membuktikan:


2. poin A 1 ,DENGAN 1 Dan DI DALAM 1 berbaring pada garis lurus yang sama
Bukti:
1. Berikan poinnya A 1 ,DENGAN 1 Dan DI DALAM 1 berbaring pada garis lurus yang sama. Mari kita buktikan bahwa persamaan (5) terpenuhi. Mari kita lakukan IKLAN,MENJADI Dan CF sejajar dengan garis DI DALAM 1 A 1 (dot D terletak pada garis lurus Matahari). Menurut teorema umum Thales kita mempunyai:


Mengalikan ruas kiri dan kanan persamaan ini, kita peroleh


itu. persamaan (5) terpenuhi.
2. Mari kita buktikan pernyataan kebalikannya. Biarkan intinya DI DALAM 1 diambil di sisi lanjutan AC, dan poinnya DENGAN 1 Dan A 1 – di samping AB Dan Matahari, dan sedemikian rupa sehingga persamaan (5) terpenuhi. Mari kita buktikan poinnya A 1 ,DENGAN 1 Dan DI DALAM 1 berbaring pada garis lurus yang sama. Misalkan garis lurus A 1 C 1 memotong kelanjutan sisi AC di titik B 2, maka dibuktikan pada poin pertama

Membandingkan (5) dan (6), kita sampai pada persamaan = , yang menunjukkan bahwa poinnya DI DALAM 1 Dan DI DALAM 2 berbagi sisi AC dalam hal yang sama. Oleh karena itu, poinnya DI DALAM 1 Dan DI DALAM 2 bertepatan, dan karena itu poinnya A 1 ,DENGAN 1 Dan DI DALAM 1 berbaring pada garis lurus yang sama. Pernyataan sebaliknya juga dibuktikan dalam kasus ketika ketiga poin tersebut A 1 ,DENGAN 1 Dan DI DALAM 1 terletak pada kelanjutan sisi-sisi yang bersesuaian.

Q.E.D.

Penyelesaian masalah.

Diusulkan untuk mempertimbangkan sejumlah tugas pembagian proporsional segmen dalam segitiga. Seperti disebutkan di atas, ada beberapa metode untuk menentukan lokasi titik-titik yang diperlukan dalam soal. Dalam pekerjaan kami, kami memilih metode garis paralel. Landasan teori metode ini adalah teorema Thales yang digeneralisasi, yang memungkinkan kita untuk mentransfer hubungan terkenal proporsi dari satu sisi sudut ke sisi kedua, oleh karena itu, Anda hanya perlu menggambar garis lurus sejajar ini dengan cara yang sesuai untuk menyelesaikan soal.
Mari pertimbangkan tugas spesifik:
Soal No.1 Pada segitiga ABC, titik M diambil pada sisi BC sehingga BM:MC = 3:2. Titik P membagi ruas AM dengan perbandingan 2:1. Garis lurus BP memotong sisi AC di titik B 1 . Dalam hal apa poin B itu? 1 membagi sisi AC?

Larutan: Kita perlu mencari perbandingan AB 1:B 1 C, AC ruas yang diinginkan di mana titik B 1 terletak.

Cara paralelnya adalah sebagai berikut:


  1. potong segmen yang diperlukan dengan garis paralel. Satu BB 1 sudah ada, dan kita akan menggambar MN kedua melalui titik M, sejajar dengan BB 1.

  2. Pindahkan perbandingan yang diketahui dari satu sisi sudut ke sisi lainnya, mis. perhatikan sudut sisi-sisi yang dipotong oleh garis lurus tersebut.
Sisi-sisi sudut C dibedah oleh garis lurus BB 1 dan MN dan, dengan menggunakan teorema umum Thales, kita simpulkan DI DALAM 1 N=3r, NC=2р. Sisi-sisi sudut MAC memotong garis PB 1 dan MN dan membagi sisi-sisinya dengan perbandingan 2:1, maka AB 1:B 1 N=2:1 dan karena itu AB 1 =2n, DI DALAM 1 N= N. Karena DI DALAM 1 N=3r, Dan DI DALAM 1 N= N, Itu 3p=N.

Mari kita beralih ke hubungan yang menarik minat kita AB 1:B 1 C= AB 1:(B 1 N+ NC)= 2n:(3p+2p)=(2*3p):(5p)=6:5.

Jawaban: AB 1:B 1 C = 6:5.

Komentar: tugas ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Menelaus. Menerapkannya pada segitiga AMC. Maka garis lurus BB 1 memotong dua sisi segitiga di titik B 1 dan P, dan lanjutan sisi ketiga di titik B. Artinya berlaku persamaan: , karena itu
Soal No. 2 Pada segitiga ABC AN adalah mediannya. Pada sisi AC diambil titik M sehingga AM:MC = 1:3. Ruas AN dan BM berpotongan di titik O, dan sinar CO memotong AB di titik K. Berapa perbandingan titik K membagi ruas AB? .

Larutan: Kita perlu mencari rasio AK terhadap HF.

1) Mari kita tarik garis lurus NN 1 sejajar dengan garis lurus SK dan garis lurus NN 2 sejajar dengan garis lurus VM.

2) Sisi-sisi sudut ABC berpotongan dengan garis lurus SC dan NN 1 dan berdasarkan teorema umum Thales, kita simpulkan BN 1:N 1 K=1:1 atau BN 1 = N 1 K= kamu.

3) Sisi-sisi sudut ВСМ berpotongan dengan garis lurus BM dan NN 2 dan menurut teorema umum Thales kita simpulkan CN 2:N 2 M=1:1 atau CN 2 = N 2 M=3:2=1.5.

4) Sisi-sisi sudut NAC berpotongan dengan garis lurus BM dan NN 2 dan menurut teorema umum Thales kita simpulkan AO: ON=1:1.5 atau AO=m ON=1.5m.

5) Sisi-sisi sudut BAN berpotongan dengan garis lurus SK dan NN 1 dan berdasarkan teorema umum Thales kita simpulkan AK: KN 1 = 1:1,5 atau AK = n buku 1 =1,5 N.

6) Buku 1 =kamu=1,5n.

Jawaban: AK:KV=1:3.

Komentar: Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Ceva, dengan menerapkannya segitiga ABC. Dengan syarat titik N, M, K terletak pada sisi-sisi segitiga ABC dan ruas AN, CK dan BM berpotongan di satu titik, artinya persamaan tersebut benar: , mari kita substitusikan rasio yang diketahui, kita punya , AK:KV=1:3.

Soal No.3 Pada sisi BC segitiga ABC, titik D diambil sedemikian rupa sehingga ВD: DC = 2:5, dan pada sisi AC titik E sedemikian rupa sehingga . Berapakah perbandingan ruas BE dan AD dibagi titik K perpotongannya?
Larutan: Kita perlu menemukan 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) Mari kita tarik garis DD 1 sejajar dengan garis BE.

2) Sisi-sisi sudut SEMUA berpotongan dengan garis lurus BE dan DD 1 dan dengan menggunakan teorema umum Thales kita menyimpulkan CD 1:D 1 E=5:2 atau CD 1 = 5z, D 1 E=2z.

3) Menurut kondisi AE:EC = 1:2, yaitu. AE=x, EC=2x, tetapi EC= CD 1 + D 1 E yang artinya 2у=5z+2 z=7 z, z=

4) Sisi-sisi sudut DСA berpotongan dengan garis lurus BE dan DD 1 dan, menurut teorema umum Thales, kita simpulkan

5) Untuk menentukan rasio VC:KE, kita menggambar garis lurus EE 1 dan, dengan alasan yang sama, kita memperoleh


Jawaban: AK:KD=7:4; VK:KE=6:5.
Komentar: Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Menelaus. Menerapkannya pada segitiga BERAT. Maka garis lurus DA memotong dua sisi segitiga di titik D dan K, dan lanjutan sisi ketiga di titik A. Artinya berlaku persamaan: , maka VK:KE=6:5. Dengan argumen serupa untuk segitiga ADC, kita peroleh , AK:KD=7:4.
Soal No. 4 Pada ABC, garis bagi AD membagi sisi BC dengan perbandingan 2:1. Berapakah perbandingan median CE membagi garis bagi tersebut?

Solusi: Biarkan O menjadi intinya perpotongan garis bagi AD dan median CE. Kita perlu mencari rasio AO:OD.

1) Tariklah garis lurus DD 1 sejajar dengan garis lurus CE.

2) Sisi-sisi sudut ABC dipotong oleh garis lurus CE dan DD 1 dan, dengan menggunakan teorema umum Thales, kita menyimpulkan ВD 1:D 1 E=2:1 atau ВD 1 = 2p, D 1 E=p.

3) Menurut kondisi AE:EB=1:1, yaitu. AE=y, EB=y, tetapi EB= BD 1 + D 1 E yang artinya kamu=2P+ P=3 P, P =
4) Sisi-sisi sudut BAD berpotongan dengan garis lurus OE dan DD 1 dan, dengan menggunakan teorema umum Thales, kita simpulkan .

Jawaban: AO:OD=3:1.


Masalah #5 Pada sisi AB dan AC ∆ABC diberikan titik M dan N berturut-turut, sehingga persamaan berikut AM:MB=C terpenuhiN: N.A.=1:2. Berapa perbandingan titik potong S ruas BN dan CM membagi masing-masing ruas tersebut?.

Soal No.6 Pada median AM segitiga ABC diambil titik K dan AK:KM = 1:3. Tentukan perbandingan garis yang melalui titik K sejajar sisi AC dan membagi sisi BC.


Penyelesaian: Misal M bernilai 1 poin perpotongan garis lurus yang melalui titik K sejajar sisi AC dan sisi BC. Kita perlu mencari rasio VM 1:M 1 C.

1) Sisi-sisi sudut AMC berpotongan dengan garis lurus KM 1 dan AC dan, dengan menggunakan teorema umum Thales, kita simpulkan MM 1:M 1 C=3:1 atau MM 1 = 3z, M 1 C=z

2) Dengan syarat VM:MS = 1:1 yaitu VM=y, MS=y, tetapi MS= MM 1 + M 1 C yang artinya kamu=3z+ z=4 z,

3) .

Jawaban: VM 1:M 1 C =7:1.


Soal No.7 Diberikan sebuah segitiga ABC. Pada kelanjutan sisi AC, titik C diambil sebagai titikN, dan CN= AC; titik K berada di tengah sisi AB. Berapa perbandingan garis lurus KNmembagi sisi matahari.

Komentar: Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Menelaus. Menerapkannya pada segitiga ABC. Maka garis lurus KN memotong dua sisi segitiga di titik K dan K 1, dan lanjutan sisi ketiga di titik N. Artinya berlaku persamaan: , oleh karena itu VK 1:K 1 C=2:1.

Soal No.8

Situs web:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

Soal Matematika Ujian Negara Terpadu 2011 C4 R.K. Gordin M.: MCNMO, 2011, - 148 s

Kesimpulan:

Penyelesaian masalah dan teorema untuk mencari perbandingan panjang ruas didasarkan pada teorema umum Thales. Kami telah merumuskan metode yang memungkinkan, tanpa menerapkan teorema Thales, untuk menggunakan garis lurus paralel, mentransfer proporsi yang diketahui dari satu sisi sudut ke sisi lainnya dan, dengan demikian, menemukan lokasi titik yang kita perlukan dan membandingkan panjangnya. Mengerjakan esai membantu kami belajar memecahkan masalah masalah geometri level tinggi kesulitan. Kami menyadari kebenaran kata-kata penyair terkenal Rusia Igor Severyanin: “Segala sesuatu yang tidak penting diperlukan untuk menjadi signifikan…” dan kami yakin bahwa pada Ujian Negara Bersatu kami akan dapat menemukan solusi untuk usulan tersebut. soal dengan menggunakan metode garis sejajar.


1 Teorema segmen proporsional dalam segitiga - teorema yang dijelaskan di atas.