Diberikan dua buah kotak yang berbentuk seperti prisma biasa. Elemen kombinatorik. Jadi seberapa besar kemungkinan para tahanan akan diampuni?

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Pada prisma segitiga beraturan ABCA_1B_1C_1 panjang sisi alasnya adalah 4, dan tulang rusuk samping sama dengan 10. Hitunglah luas penampang prisma pada bidang yang melalui titik tengah rusuk AB, AC, A_1B_1 dan A_1C_1.

Larutan

Perhatikan gambar berikut.

Segmen MN adalah garis tengah segitiga A_1B_1C_1, oleh karena itu MN = \frac12 B_1C_1=2. Juga, KL=\frac12BC=2. Selain itu, MK = NL = 10. Oleh karena itu, segi empat MNLK adalah jajar genjang. Karena MK\paralel AA_1, maka MK\perp ABC dan MK\perp KL. Oleh karena itu, segi empat MNLK adalah persegi panjang. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Menjawab

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Volume prisma segi empat beraturan ABCDA_1B_1C_1D_1 adalah 24 . Titik K berada di tengah tepi CC_1. Temukan volume piramida KBCD.

Larutan

Sesuai dengan ketentuan, KC adalah tinggi piramida KBCD. CC_1 adalah tinggi prisma ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Karena K adalah titik tengah CC_1, maka KC=\frac12CC_1. Biarkan CC_1=H , lalu KC=\frac12H. Perhatikan juga itu S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Kemudian, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Karena itu, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil" Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Hitunglah luas permukaan lateral prisma segi enam beraturan yang sisi alasnya 6 dan tingginya 8.

Larutan

Luas permukaan lateral prisma dicari dengan rumus sisi S. = P dasar · h = 6a\cdot h, dimana P dasar. dan h masing-masing adalah keliling alas dan tinggi prisma, sama dengan 8, dan a adalah sisinya segi enam biasa, sama dengan 6. Oleh karena itu, sisi S. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Dalam bejana yang bentuknya teratur prisma segitiga, menuangkan air. Ketinggian air mencapai 40 cm. Berapakah tinggi permukaan air jika dituangkan ke dalam bejana lain yang bentuknya sama, yang alasnya dua kali lebih besar dari bejana pertama? Nyatakan jawaban Anda dalam sentimeter.

Larutan

Misalkan a adalah sisi alas bejana pertama, maka 2 a adalah sisi alas bejana kedua. Dengan syarat volume zat cair V pada bejana pertama dan kedua adalah sama. Mari kita nyatakan dengan H tingkat kenaikan cairan dalam bejana kedua. Kemudian V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, Dan, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Dari sini \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4jam, H=10.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Di kanan prisma heksagonal ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 semua sisinya sama dengan 2. Tentukan jarak antara titik A dan E_1.

Larutan

Segitiga AEE_1 berbentuk persegi panjang, karena tepi EE_1 tegak lurus terhadap bidang alas prisma, maka sudut AEE_1 adalah sudut siku-siku.

Kemudian, dengan teorema Pythagoras, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Mari kita cari AE dari segitiga AFE menggunakan teorema kosinus. Setiap sudut dalam segi enam beraturan adalah 120^(\circ). Kemudian AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\kiri (-\frac12 \kanan).

Jadi, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Temukan luas permukaan lateral prisma lurus, yang alasnya terletak belah ketupat dengan diagonal-diagonal sama 4\sqrt5 dan 8, dan sisi sampingnya sama dengan 5.

Larutan

Luas permukaan lateral prisma lurus dicari dengan menggunakan rumus sisi S. = P dasar · h = 4a\cdot h, dimana P dasar. dan h, keliling alas dan tinggi prisma berturut-turut adalah 5, dan a adalah sisi belah ketupat. Mari kita cari sisi belah ketupat dengan menggunakan fakta bahwa diagonal-diagonal belah ketupat ABCD saling tegak lurus dan dibagi dua oleh titik potongnya.

Dalam tugas 13 Ujian Negara Bersatu level dasar kita akan menangani masalah dalam stereometri, tapi bukan masalah abstrak, tapi contoh yang jelas. Ini bisa jadi masalah pada level cairan di dalam bejana, yang saya bahas di bawah, atau masalah dalam memodifikasi gambar - misalnya, bagian atasnya terpotong. Anda harus siap mengambil keputusan tugas-tugas sederhana dalam stereometri - mereka biasanya langsung membahas masalah di pesawat;

Analisis varian khas tugas No. 13 Ujian Negara Bersatu dalam matematika tingkat dasar

Tugas versi pertama (versi demo 2018)

Air dalam bejana berbentuk silinder berada pada ketinggian h = 80 cm. Berapakah ketinggian air jika dituangkan ke dalam bejana berbentuk silinder lain yang jari-jari alasnya 4 kali lebih besar dari bejana tersebut? Berikan jawaban Anda dalam sentimeter.

Algoritma eksekusi:

1. Tuliskan rumus volume silinder.
2. Gantikan nilai silinder dengan cairan pada kasus pertama dan kedua.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk ketinggian kedua h 2 .
4. Gantikan data dan hitung nilai yang diinginkan.

Larutan:

Mari kita tuliskan rumus volume silinder.

Jika Anda lupa rumus volume silinder, izinkan saya mengingatkan Anda bagaimana cara menurunkannya dengan mudah. Volume angka sederhana, misalnya kubus dan silinder, dapat dihitung dengan mengalikan luas alas dengan tingginya. Luas alas silinder sama dengan luas lingkaran, yang mungkin Anda ingat: π r 2.

Oleh karena itu, volume silinder sama dengan π r 2 jam

Mari kita gantikan nilai silinder dengan cairan pada kasus pertama dan kedua.

V 1 = π r 1 2 jam 1

V 2 = π r 2 2 jam 2

Volume zat cair tidak berubah, sehingga volumenya dapat disamakan.

Ruas kirinya sama, artinya ruas kanannya bisa sama.

π r 1 2 jam 1 = π r 2 2 jam 2

Mari kita selesaikan persamaan yang dihasilkan terhadap ketinggian kedua h 2 .

h 2 – faktor yang tidak diketahui. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui.

jam 2 =(π r 1 2 jam 1)/ π r 2 2

Berdasarkan kondisi tersebut, luas alas menjadi 4 kali lebih besar, yaitu r 2 = 4 r 1.

Mari kita substitusikan r 2 = 4 r 1 ke dalam ekspresi h 1.

Kita peroleh: h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π (4 r 1) 2

Kita kurangi pecahan yang dihasilkan dengan π, kita peroleh h 2 =(r 1 2 h 1)/ 16 r 1 2

Kita kurangi pecahan yang dihasilkan sebesar r 1, kita peroleh h 2 = h 1/16.

Mari kita substitusikan data yang diketahui: h 2 = 80/ 16 = 5 cm.

Versi kedua dari tugas

Diberikan dua kotak berbentuk prisma segi empat beraturan. Kotak pertama empat setengah kali lebih tinggi dari kotak kedua, dan kotak kedua tiga kali lebih lebar dari kotak pertama. Berapa kali volume kotak pertama lebih kecil dari volume kotak kedua?

Algoritma eksekusi:

1. Temukan rasio volume.
2. Kurangi pecahan yang dihasilkan.

Larutan:

V 1 = a 1 b 1 c 1

V 2 = a 2 b 2 c 2

Mari kita cari perbandingan volumenya.

Menurut kondisi c 1 = 4,5 c 2 (kotak pertama empat setengah kali lebih tinggi dari kotak kedua),

b 2 = 3 b 1 (kotak kedua tiga kali lebih lebar dari kotak pertama).

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2) = (a 1 b 1 4.5c 2)/ (3a 1 3b 1 c 2 ) = (a 1 b 1 4.5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2)

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 4,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2) = 4,5/9 = ½.

Volume kotak pertama 2 kali lebih kecil dari volume kotak kedua.

Versi ketiga dari tugas

Diberikan dua kotak berbentuk prisma segi empat beraturan. Kotak pertama satu setengah kali lebih tinggi dari kotak kedua, dan kotak kedua tiga kali lebih lebar dari kotak pertama. Berapa kali volume kotak pertama lebih kecil dari volume kotak kedua?

Algoritma eksekusi:

1. Tuliskan rumus menghitung volume prisma segi empat beraturan.
2. Menulis ke pandangan umum rumus mencari volume pada kasus pertama dan kedua.
3. Temukan rasio volume.
4. Ubah ekspresi yang dihasilkan dengan mempertimbangkan rasio pengukuran prisma pertama dan kedua.
5. Kurangi pecahan yang dihasilkan.

Larutan:

Mari kita tuliskan rumus menghitung volume prisma segi empat beraturan.

Mari kita tuliskan secara umum rumus mencari volume pada kasus pertama dan kedua.

V 1 = a 1 b 1 c 1

V 2 = a 2 b 2 c 2

Mari kita cari perbandingan volumenya.

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2)

Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan dengan mempertimbangkan rasio pengukuran prisma pertama dan kedua.

Sesuai dengan syarat, c 1 = 1,5 c 2 (kotak pertama satu setengah kali lebih tinggi dari kotak kedua), b 2 = 3 b 1 (kotak kedua tiga kali lebih lebar dari kotak pertama).

Karena ini adalah prisma segi empat beraturan, alasnya berbentuk persegi, yang berarti kedalaman kotak kedua juga tiga kali lipat. lebih mendalam pertama, yaitu a 2 = 3 a 1

Mari kita substitusikan ekspresi ini ke dalam rumus rasio volume:

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2) = (a 1 b 1 1,5c 2)/ (3a 1 3b 1 c 2 ) = (a 1 b 1 1,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2)

Mari kita kurangi pecahan yang dihasilkan dengan a 1 · b 1 · c 2. Kita mendapatkan:

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 1,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2) = 1,5/9 = 15/(10 9) = 3/(2 9 ) = 1/ (2 · 3) = 1/6.

Volume kotak pertama 6 kali lebih kecil dari volume kotak kedua.

Jawaban:6.

Opsi tugas ketigabelas 2017

Semua simpulnya digergaji dari kubus kayu (lihat gambar). Berapa banyak permukaan yang dimiliki polihedron yang dihasilkan (tepi yang tidak terlihat tidak ditunjukkan pada gambar)?

Pertama, mari kita ingat berapa banyak sisi dan simpul yang dimiliki kubus: enam sisi dan delapan simpul. Sekarang di tempat setiap simpul a segi baru setelah digergaji, berarti kubus yang dimodifikasi dalam tugas tersebut memiliki enam permukaan asli dan delapan permukaan baru (setelah digergaji). Totalnya kita mendapatkan: 6 + 8 = 14 wajah.

Jika kita ditanya berapa banyak simpul yang dimiliki “kubus” baru tersebut. Jelasnya, jika bukan satu ada tiga, dan hanya ada delapan, maka kita peroleh: 8 3 = 24

20? Di dalam Berapa banyak sekali kilometer lagi milimeter? ... dua wadah berkapasitas 3 dan 5 liter, tampung air sebanyak 4 liter? 7) Dan ... radius) 78. Pernyataan yang perlu dibuktikan (teorema) 79. Paling banyak lebih kecil... kompas lingkaran Volume satu... pembeda Perbatasan bola bola Mandiri...