Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №64» г. Брянска
Городская научно-практическая конференция
«Первые шаги в науку»
Научно-исследовательская работа
«Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени»
Математика
Выполнил: ученик 11б класса
Шанов Илья Алексеевич
Научный руководитель:
учитель математики,
кандидат физ.-мат. наук
Быков Сергей Валентинович
Брянск 2012
Введение ………………………………………………………………… 3
Цели и задачи …………………………………………………………… 4
Краткая историческая справка ………………………………………… 4
Квадратное уравнение …………………………………………………. 5
Кубическое уравнение …………………………………………………. 6
Уравнение четвертой степени ………………………………………… 7
Практическая часть ……………………………………………………. 9
Список литературы …………………………………………………… 12
Приложение …………………………………………………………… 13
Введение
Основная теорема алгебры утверждает, что поле является алгебраическим замкнутым, другими словами, что уравнения n-ой степени с комплексными коэффициентами (в общем случае) над полем имеет ровно n комплексных корней. Уравнения третьей степени решаются формулой Кордано. Уравнения четвёртой степени методом Феррари. Кроме того, что в теории алгебры доказано, что если 
- корень уравнения, то 
так же является корнем этого уравнения. Для кубического уравнения возможны следующие случаи:
все три корня – действительные;
два корня комплексных, один действительный.
Отсюда следует, что любое кубическое уравнение имеет хотя бы один действительный корень.
Для уравнения четвертой степени:
Все четыре корня различные.
Два корня действительных, два – комплексных.
Все четыре корня комплексные.
Данная работа посвящена тщательному изучению теоремы Виета: её формулировке, доказательству, а так же решению задач с применением этой теоремы.
Проделанная работа направлена помощь ученика 11-х классов, которым предстоит сдача ЕГЭ, а так же для юных математиков, которым небезразличны более простые и эффективные методы решений в различных областях математики.
В приложении к этой работе предоставляется сборник задач для самостоятельного решения и закрепления нового материала, исследуемого мной.
Этот вопрос нельзя оставлять без внимания, так как он важен для математики как для науки в целом, так и для учащихся и интересующихся решение подобных задач.
Цели и задачи работы :
Получить аналог теоремы Виета для уравнения третьей степени.
Доказать аналог теоремы Виета для уравнения третьей степени.
Получить аналог теоремы Виета для уравнения четвертой степени.
Доказать аналог теоремы Виета для уравнения четвертой степени.
Убедиться в практичности применения данной теоремы.
Рассмотреть применения данных вопросов к решению практических задач.
Углубить математические знания в области решения уравнений.
Развить интерес к математике.
Краткая историческая справка
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней ТЕОРЕМА ВИЕТА...
ФРАНСУА ВИЕТ(1540-1603) - французский математик. По профессии юрист. В 1591 году ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, схожий с позднейшим методом Ньютона. В тригонометрии Франсуа Виет дал полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольника по трём данным, нашёл важные разложения cos nх и sin nх по степеням cos х и sin х. Он впервые рассмотрел бесконечные произведения. Сочинения Виета написаны трудным языком и поэтому получили в свое время меньшее распространение, чем заслуживали.
Квадратное уравнение
Для начала вспомним формулы Виета для уравнения второй степени, которые мы узнали в программе школьного курса обучения.
Т
еорема Виета
для квадратного уравнения (8 класс)
Е
сли и – корни квадратного уравнения то
т. е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Так же, вспомним теорему, обратную теореме Виета :
Если числа - p и q таковы, что
то и - корни уравнения
Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения.
Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.
Кубическое уравнение
Теперь перейдём, непосредственно, к постановке и решению кубического уравнения с помощью теоремы Виета.
Формулировка
К
убическое уравнение - это уравнение третьего порядка, вида
где a ≠ 0 .
Если а = 1 , то уравнение называют приведённым кубическим уравнением:
Итак, нужно доказать, что для уравнения
справедлива следующая теорема:
п
усть корни данного уравнения, тогда
Доказательство
Представим многочлен
выполним преобразования:
Итак, получим, что
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях.
Это значит, что
Что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим теорему, обратную теореме Виета для уравнения третьей степени .
Ф
ормулировка
Е
сли числа таковы, что
Уравнение четвертой степени
Теперь перейдём к постановке и решению уравнения четвертой степени с помощью теоремы Виета для уравнения четвертой степени.
Формулировка
У
равнение четвертой степени - уравнение вида
г
де a ≠ 0
.
Е
сли а = 1
, то уравнение называют приведённым
И
так, докажем, что для уравнения
с
праведлива следующая теорема: пусть корни данного уравнения, тогда
Доказательство
Представим многочлен
выполним преобразования:
Итак, получим, что
Мы знаем, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях.
Это значит, что
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим теорему, обратную теореме Виета для уравнения четвёртой степени .
Формулировка
Если числа таковы, что
то эти числа являются корнями уравнения
Практическая часть
Теперь рассмотрим решения задач, с помощью теорем Виета для уравнений третьей и четвертой степени.
Задача №1
Ответ: 4, -4.
Задача №2
Ответ: 16, 24.
Для решения данных уравнений можно использовать формулы Кардано и метод Феррари соответственно, но, используя теорему Виета, мы заведомо знаем сумму и произведение корней этих уравнений.
Задача №3
Составить уравнение третьей степени, если известно, что сумма корней равна 6, по парное произведение корней равно 3, а произведение -4.
Составим уравнение, получим
Задача №4
Составить уравнение третьей степени, если известно, что сумма корней равна 8 , по парное произведение корней равно 4 , утроенные произведение равно 12 , а произведение 20 .
Решение: пользуясь формулой Виета, получим
Составим уравнение, получим
С помощью теоремы Виета мы легко составили уравнения по их корням. Это самый рациональный способ решения данных задач.
Задача №5
где a, b, c – формулы Герона.
Раскроем скобки и преобразуем выражение, получим
З
аметим, что подкоренное выражение является кубическим выражением
. Воспользуемся теоремой Виета для соответствующего ему кубического уравнения, тогда имеем, что
З
ная, что получим:
Из решения этой задачи видно, что теорема Виета применима к задачам из разных областей математики.
Заключение
В данной работе был исследован метод решения уравнения третьей и четвертой степеней с помощью теоремы Виета. Выведенные в работе формулы просты в использовании. В ходе исследования стало очевидно, что в некоторых случаях этот метод эффективен больше, чем формула Кордано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степеней соответственно.
Теорема Виета была применена на практике. Был решён ряд задач, которые помогли лучше закрепить новый материал.
Это исследование было для меня очень интересным и познавательным. Углубив свои знания в математике, я открыл много интересного и с удовольствием занимался данным исследованием.
Но мое исследование в области решения уравнений на этом не закончено. В будущем я планирую заняться исследованием решения уравнения n-ой степени с помощью теоремы Виета.
Хочу выразить огромную благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук, а возможность такого необычного исследования и постоянное внимание в работе.
Список литературы
Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. М., 1977.
В. Б. Лидский, Л. В. Овсянников, А. Н. Тулайков, М. И. Шабунин. Задачи по элементарной математике, Физматлит, 1980.
Научно – исследовательская работа по математике
Исследовательская работа... Научно – исследовательская работа по математике Геометрия... теорема Понселе для треугольника... г2 - степенью или... дуга третьей луночки меньше... уравнение , дающее четвертую ... математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. я с 9 знаками. Голландский математик ...
Краткий очерк истории математики 5–е издание исправленное
Книга... для многих позднейших учебников по алгеоре. В ней изложение доведено до теории уравнении третьей и четвертой степени ... теоретической и прикладной математики
Муниципальное казенное образовательное учреждение
«Очкуровская средняя общеобразовательная школа»
Николаевского муниципального района Волгоградской области
Теорема Виета
Выполнила: Оноприенко Кристина,
обучающаяся 8 класса
МКОУ «Очкуровская СОШ»
Николаевского района
Руководитель: Е.А.Бульба
с. Очкуровка
2015
Оглавление
Введение……………………………………………………………………… ……3
Основная часть
1.Историческая справка……………………………………………………….4
2.Докозательство теоремы Виета……………………………………………..6
3.Состаление блока уравнений решаемых по теореме Виета……………….8
4.Составлеие тренажера………………………………………………………10
Заключение
Практическая значимость проекта…………………………………… ... 12
Выводы…………………………………………………………………….13
Список источников информации…………………….………………………...14
Приложение ……………………………………………………………………..15
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни - дробь уж готова!
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби ровна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе
b
, в знаменателе а.
Введение
Актуальность темы проекта: Применение теоремы Виета является уникальным приемом для решения квадратных уравнений устно. В учебнике очень мало квадратных уравнений, решаемых по теореме Виета. Я и мои одноклассники допускаем ошибки.
Объектом исследования является теорема Виета, как неотъемлемая часть решения квадратных уравнений на уроках алгебры.
Предмет исследования – теорема Виета и составление блока уравнений для закрепления навыка решения квадратных уравнений.
Гипотеза: я предположила, что научиться безошибочно решать уравнения по теореме Виета можно, для этого нужен применяя тренажер.
Цель проекта : составить тренажер уравнений, решаемых по теореме Виета.
Задачи:
узнать историю открытия теоремы Виета;
провести исследование зависимости коэффициентов квадратного
уравнения и произведения и суммы его корней.
научиться доказывать теорему Виета;
самостоятельно составить уравнения, решаемые по теореме Виета
оформить блок уравнений на бумажном носителе и составить тренажер в электронном виде
предложить одноклассникам тренажер для решения уравнений по теореме Виета
Методы :
сравнение результатов самостоятельной работы до проекта и после тренировки решение квадратных уравнений применяя теорему Виета
изучение и анализ электронных источников и литературы
самостоятельная работа по составлению блока уравнений и тренажера
1.Исторические сведения
Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт.
Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.
Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.
В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.
В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.
В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Обретя покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи.
Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом "Введение в аналитическое искусство". Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему "видов". В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных - согласные.
Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.
Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: "Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D".
В трактате "Дополнения к геометрии" он стремился создать некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.
Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.
В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: "...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже. Ему было более шестидесяти лет".
2 .Доказательство теоремы Виета
3.Составление блока уравнений и электронного тренажера
Список литературы
Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Г.В.Дорофеев , С.Б.Суворова
Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. В.И.Жохов, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. М.: Просвещение, 2000.
Математика. 8 класс: дидактические материалы к учебнику «Математика 8. Алгебра» / под ред. Г. В. Дорофеева. – М. : Дрофа, 2012г.\
Государственная итоговая аттестация. 9 класс. Математика. Тематические тестовые задания./Л.Д. Лаппо, М.А. Попов/-М.: Издательство « Экзамен », 2011
Планируемый результат
1.Информационный
Сбор информации, ее анализ
Изучение литературы
Материал для теоретической части проекта
2.Организационный
Анализ, обобщение
Разработка блока уравнений
Материал для работы
3. Технологический этап
Подбор уравнений
Составление тренажера
Тренажер
4. Заключительный
Обобщение опыта
Выводы о проделанной работе, оформление проекта
Проект. Оформление коллекции. Мастер-класс. Участие в конкурсе.
х 2 + 17х - 38 = 0,
х 2 - 16х + 4 = 0,
3х 2 + 8х - 15 = 0,
7х 2 + 23х + 5 = 0,
х 2 + 2х - 3 = 0,
х 2 + 12х + 32 = 0,
х 2 - 7х + 10 = 0,
х 2 - 2х - 3= 0,
х 2 + 12х + 32 = 0,
2х 2 - 11х + 15 = 0,
3х 2 + 3х - 18 = 0,
2х 2 - 7х + 3 = 0,
х 2 + 17х - 18 = 0,
х 2 - 17х - 18 = 0,
х 2 - 11х + 18 = 0,
х 2 + 7х - 38 = 0,
х 2 - 9х + 18 = 0,
х 2 - 13х + 36 = 0,
х 2 - 15х + 36 = 0,
х 2 - 5х - 36 = 0.
х 2 + х – 2 = 0
х 2 + 2х – 3 =0
х 2 - 3х + 2 =0
х 2 - х – 2 = 0
х 2 - 2х – 3 = 0
х 2 - 3х – 4 = 0
x 2 +17 x -18=0
x 2 + 23 x – 24=0
x 2 – 39x -40 =0
x 2 – 37x – 38=0
x 2 – 3x – 10 = 0
x 2 – 5x + 3 = 0
x 2 + 8 x – 11 = 0
x 2 + 6х + 5 = 0
x 2 – x – 12 = 0
x 2 + 5 x + 6 = 0
x 2 + 3 x – 10 = 0
x 2 – 8 x – 9 = 0
х 2 + х – 56 = 0
х 2 – 19х + 88 = 0
х 2 – 4х – 4 = 0
x 2 -15х+14=0
x 2 +8х+7=0
x 2 +9х+20=0
x 2 +18х -11 = 0
x 2 +27х – 24 = 0
5х 2 +10х – 3 = 0
3х 2 - 16х +9 = 0
x 2 +18х -11 = 0
x 2 +27х – 24 = 0
4х-21=0
4х-21=0
x 2 -15х+56=0
x 2 -4х-60=0
x 2 +5х+6=0
2х-3=0
x 2 +18х+81=0
Х-20=0
x 2 +4х+21 =0
x 2 -10х-24=0
x 2 + х-56=0
x 2 -х-56=0
x 2 +3х+2=0
x 2 +5х-6=0
x 2 -18х+81=0
x 2 -9х+20=0
x 2 -5 х +6=0
x 2 -4х-21=0
X 2 - 7х+6=0
x 2 -15х+56=0
х 2 – 3х + 2 = 0
х 2 – 4х + 3 = 0
х 2 – 2х + 4 = 0
х 2 – 2х + 5 = 0
х 2 – 2х + 6 = 0
х 2 – 11х + 24 = 0
х 2 + 11х – 30 = 0
х 2 + х – 12 = 0
x 2 – 6х + 8 = 0
х 2 – 15х + 14 = 0
x 2 – 15x + 14 = 0
x 2 + 4 х -21 =0
х 2 + х – 42 =0
х 2 – х – 20 =0
х 2 + 4 х -32=0
х 2 - 2х – 35 =0
х 2 + х - 20 =0
х 2 + 7 х + 10 =0
х 2 - х - 6=0
х 2 + 2 х +0 =0
х 2 + 6 х +0 =0
х 2 + 3х - 18=0
х 2 + 5 х -24=0
х 2 - 2 х - 24=0
х 2 – 15х + 14 = 0
х 2 + 8х + 7 =0
х 2 + 9х – 20=0
х 2 – 6х - 7 = 0
х
2
4.
Практическая значимость проекта
Применение, а уроках алгебры 8 класса и при итоговом повторении ОГЭ
Выводы:
Результат моего труда – создан блок квадратных уравнений решаемых по теореме Виета.
Я увлеклась работой, проще всего было составить квадратные уравнения, в которых свободный член находится по таблице умножения. Теперь я не только безошибочно нахожу корни уравнения по теореме Виета, но и применяю ее при проверке решения любого квадратного уравнения.
Используя тренажер, я и мои одноклассники научилась решать квадратные уравнения, применяя теорему Виета.
Список источников информации:
Сегодня достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножил ты корни – и дробь уж готова
В числителе с
, в знаменателе а.
И сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта
Что за беда
В числители в
, в знаменателе а
.
(Из школьного фольклора)
В эпиграфе замечательная теорема Франсуа Виета приведена не совсем точно. В самом деле, мы можем записать квадратное уравнение, которое не имеет корней и записать их сумму и произведение. Например, уравнение х 2 + 2х + 12 = 0 не имеет действительных корней. Но, подойдя формально, мы можем записать их произведение (х 1 · х 2 = 12) и сумму (х 1 + х 2 = -2). Наши стихи будут соответствовать теореме с оговоркой: «если уравнение имеет корни», т.е. D ≥ 0.
Первое практическое применение этой теоремы – составление квадратного уравнения, имеющего заданные корни. Второе: она позволяет устно решать многие квадратные уравнения. На отработку этих навыков, прежде всего и обращается внимание в школьных учебниках.
Мы же здесь будем рассматривать более сложные задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.
Пример 1.
Один из корней уравнения 5х 2 – 12х + с = 0 в три раза больше за второй. Найдите с.
Решение.
Пусть второй корень равен х 2 .
Тогда первый корень х1 = 3х 2 .
Согласно теореме Виета сумма корней равна 12/5 = 2,4.
Составим уравнение 3х 2 + х 2 = 2,4.
Отсюда х 2 = 0,6. Следовательно х 1 = 1,8.
Ответ: с = (х 1 · х 2) · а = 0,6 · 1,8 · 5 = 5,4.
Пример 2.
Известно, что х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 – 8х + p = 0, причём 3х 1 + 4х 2 = 29. Найдите p.
Решение.
Согласно теореме Виета х 1 + х 2 = 8, а по условию 3х 1 + 4х 2 = 29.
Решив систему из этих двух уравнений найдём значение х 1 = 3, х 2 = 5.
А следовательно p = 15.
Ответ: p = 15.
Пример 3.
Не вычисляя корней уравнения 3х 2 + 8 х – 1 = 0, найдите х 1 4 + х 2 4
Решение.
Заметим, что по теореме Виета х 1 + х 2 = -8/3 и х 1 · х 2 = -1/3 и преобразуем выражение
а) х 1 4 + х 2 4 = (х 1 2 + х 2 2) 2 – 2х 1 2 х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) 2 – 2(х 1 х 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Ответ: 4898/9.
Пример 4.
При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
2х 2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению.
Решение.
Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами (а + 1) 2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3) 2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.
Для определенности будем считать, что х 1 >х 2 и получим х 1 + х 2 = (а + 1)/2 и х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х 1 – х 2 = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно. Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.
Получаем х 1 = а/2, х 2 = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда, а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.
Ответ: при а = 2.
Пример 5.
Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней уравнения
х 2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.
Решение.
Прежде всего, приведем уравнение к каноническому виду: х 2 – 2ах + 2а – 1 = 0. Оно будет иметь корни, если D/4 ≥ 0. Следовательно: а 2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1) 2 ≥ 0. А это условие справедливо при любом а.
Применим теорему Виета: х 1 + х 2 = 2а, х 1 · х 2 = 2а – 1. Посчитаем
х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 . Или после подстановки х 1 2 + х 2 2 = (2а) 2 – 2 · (2а – 1) = 4а 2 – 4а + 2. Осталось составить равенство которое соответствует условию задачи: х 1 + х 2 = х 1 2 + х 2 2 . Получим: 2а = 4а 2 – 4а + 2. Это квадратное уравнение имеет 2 корня: а 1 = 1 и а 2 = 1/2. Наименьший из них –1/2.
Ответ: 1/2.
Пример 6.
Найти зависимость между коэффициентами уравнения ах 2 + вх + с = 0 если сумма кубов его корней равна произведению квадратов этих корней.
Решение.
Будем исходить из того, что данное уравнение имеет корни и, поэтому, к нему можно применить теорему Виета.
Тогда условие задачи запишется так: х 1 3 + х 2 3 = х 1 2 · х 2 2 . Или: (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2) = (х 1 х 2) 2 .
Необходимо преобразовать второй множитель. х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) – х 1 х 2 .
Получим (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2) = (х 1 х 2) 2 . Осталось заменить суммы и произведения корней через коэффициенты.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 · c/a) = (c/a) 2 . Это выражение легко преобразуется к виду b(3ac – b 2)/a = c 2 . Соотношение найдено.
Замечание. Следует учесть, что полученное соотношение имеет смысл рассматривать лишь после того, как выполнится другое: D ≥ 0.
Пример 7.
Найдите значение переменной а, для которого сумма квадратов корней уравнения х 2 + 2ах + 3а 2 – 6а – 2 = 0 есть величина наибольшая.
Решение.
Если у этого уравнения есть корни х 1 и х 2 , то их сумма х 1 + х 2 = -2а, а произведение х 1 · х 2 = 3а 2 – 6а – 2.
Вычисляем х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 = (-2а) 2 – 2(3а 2 – 6а – 2) = -2а 2 + 12а + 4 = -2(а – 3) 2 + 22.
Теперь очевидно, что это выражение принимает наибольшее значение при а = 3.
Остается проверить, в самом ли деле у исходного квадратного уравнения существуют корни при а = 3. Проверяем подстановкой и получаем: х 2 + 6х + 7 = 0 и для него D = 36 – 28 > 0.
Следовательно, ответ: при а = 3.
Пример 8.
Уравнение 2х 2 – 7х – 3 = 0 имеет корни х 1 и х 2 . Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х 1 = 1/х 1 и Х 2 = 1/х 2 . (*)
Решение.
Очевидно, что х 1 + х 2 = 7/2 и х 1 · х 2 = -3/2. Составим второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0. Для этого используем утверждение, обратное теореме Виета. Получим: р = -(Х 1 + Х 2) и q = Х 1 · Х 2 .
Выполнив подстановку в эти формулы, исходя из (*), тогда: р = -(х 1 + х 2)/(х 1 · х 2) = 7/3 и q = 1/(х 1 · х 2) = -2/3.
Искомое уравнение примет вид: х 2 + 7/3 · х – 2/3 = 0. Теперь легко посчитаем утроенную сумму его коэффициентов:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Ответ получен.
Остались вопросы? Не знаете, как использовать теорему Виета?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Франсуа Виет родился в 1540 г. во Франции в Фонтене-ле-Конт. По образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1571 по 1584 г. был советником королей Георга III и Георга IV. Но все свое свободное время, весь свой досуг он отдавал занятиям математикой, а также астрономией. Особенно усиленно он начал работать в области математики с 1584 г. после отстранения от должности при королевском дворе. Виет детально изучил труды как древних, так и современных ему математиков.
Франсуа Виет по существу создал новую алгебру. Он ввел в нее буквенную символику. Основные его идеи изложены в труде «Введение в аналитическое искусство». Он писал: «Все математики знали, что под их алгеброй и альмукабалой были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти: задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются с помощью нашего искусства».
Действительно, все мы знаем, как легко решать, например, квадратные уравнения. Для их решения имеются готовые формулы. До Ф. Виета решение каждого квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение в современном виде не могли записать. Для этого тоже требовалось довольно длинное и сложное словесное описание. На овладение приемами решений уравнений требовались годы. Общих правил, подобных современным, а тем более формул решения уравнений не было. Постоянные коэффициенты буквами не обозначались. Рассматривались выражения только с конкретными числовыми коэффициентами.
Виет ввел в алгебру буквенную символику. После нововведения Виета стало возможным записывать правила в виде формул. Правда, у Виета показатели степеней ещё обозначались словами, и это создавало определенные трудности в решении некоторых задач. Во времена Виета был ещё ограничен запас чисел. Франсуа Виет очень подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнений с первой по четвертую степень.
Большой заслугой Виета было открытие зависимости между корнями и коэффициентами уравнений приведенного вида произвольной натуральной степени. Нам хорошо известна знаменитая теорема Виета для приведенного квадратного уравнения: «сумма корней квадратного уравнения приведенного вида равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней этого уравнения равно свободному члену». Эта теорема позволяет устно проверять правильность решения квадратных уравнений, а в простейших случаях находить и корни уравнений.
Отметим также, что Виет дал первое в Европе аналитическое (с помощью формулы) представление числа π.
Умер Виет в возрасте 63 лет в 1603 г.
Теорема Виета.
Сумма корней квадратного трехчлена x2 + px + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q.
Доказательство.
Пусть x1 и x2 – различные корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения: x1 + x2 = –p x1 x2 = q
Для доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0
Вычтем эти равенства друг из друга. Получим x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0
Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть:
(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)
Так как по условию корни x1 и x2 различны, то x1 – x2 ≠ 0 и мы можем разделить равенство на x1 – x2. Получим первое равенство теоремы: x1 + x2 = –p
Для доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p, равное ему число – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0
Преобразуя левую часть, получаем: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, что и требовалось доказать.
В случае неприведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =
Теорема, обратная теореме Виета.
Если выполняются равенства x1+x2 = и x1x2 = , то числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Доказательство.
Из равенства x1+x2 = и x1x2 = следует, что x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.
Но x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) и поэтому x2 + x + = (x-x1)(x-x2).
Отсюда следует, что x1 и x2 – корни уравнения x2 + x + = 0, а поэтому и уравнения ax2 + bx + c = 0.
Применение теоремы Виета.
Теорема Виета применяется в 8-м классе для подбора корней квадратных уравнений. Можно расширить рамки использования этой теоремы, например, для решения систем уравнений в 9-11-х классах и решения задач, связанных с исследованием квадратных уравнений и их корней. Это сокращает время и упрощает решение системы.
Решить систему уравнений:
Если допустить, что x и y-корни некоторого квадратного уравнения, сумма корней которого равна 5, а их произведение равно 6, то получим совокупность двух систем
Ответ: (2;3), (3;2).
Учащиеся довольно быстро осваивают этот способ решения и с удовольствием используют его. Далее можно усложнять системы и использовать этот прием при изучении различных тем в 10-11-х классах.
Решить систему уравнений:
При условии x > 0 y > 0 получаем
Пусть и - корни некоторого приведенного квадратного уравнения, тогда данная система равносильна совокупности двух систем
Вторая система совокупности не имеет решения, решением первой является пара x=9,y=4.
Ответ: (9;4).
Ниже приведены системы уравнений, решаемые с помощью теоремы Виета.
Ответ: (65;3),(5;63).
Ответ: (23;11),(7;27).
Ответ: (4;729),(81;4096).
Ответ: (2;2).
5. x + y =12 Ответ: (8;4),(4;8).
Ответ: (9;4),(4;9).
Аналогичные системы уравнений можно составить самому учителю или подключить к этому учащихся, что способствует развитию интереса к предмету.
Задания для устного решения.
Не решая квадратные уравнения, найдите их корни.
1. x2 - 6x + 8 = 0 Ответ: 2;4.
2. x2 – 5x – 6 = 0 Ответ: -1;6.
3. x2 + 2x - 24 = 0 Ответ: -6;4.
4. x2 + 9x + 14 = 0 Ответ: -7;-2.
5. x2 – 7x + 10 = 0 Ответ: 2;5.
6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Ответ: -2,5;-1.
Рассмотрим задачи, при решении которых используется теорема Виета.
Не решая уравнения 9x²+18x-8=0,найдите x1³+x2³,где x1,x2-его корни.
9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0
1)Дискриминант больше нуля, D>0,значит x1,x2-действительные корни.
По теореме Виета, следует, что: x1+x2=-2 x1∙x2= -
3)Преобразуем выражение x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –
X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).
В полученную формулу подставим известные нам значения и получим ответ:
2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -
При каком значении k в уравнении 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1.
9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.
По теореме Виета: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1),получили систему из двух уравнений и подставили вместо x2 2x1.
2x12=-k│:2 x1²=-k
3x1=2(k-1)│:3 x1=k-
Сопоставим полученные уравнения:
Решим квадратное уравнение и найдем k:
D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1
Ответ: при k1=-1 и k2=2.
Пусть x1;x2 –корни квадратного уравнения x²+13x-17=0. Составьте уравнение корнями бы которого являлись бы числа 2-x1 и 2-x2.
Рассмотрим уравнение x²+13x-17=0.
1)Дискриминант D>0,значит x1;x2 –действительные корни.
По теореме Виета: x1 +x2 = -13 x1 ·x2 = -17
3)Подставим числа 2-x2 и 2-x2 в данную систему.
(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17
(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17
2·17+x1 x2 = -21 x1x2 =13
Следовательно, применяя теорему Виета, искомое уравнение x²-17x+13=0.
Ответ: x²-17x+13=0.
Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x2>x1,x1>0,x2
Т. к. x2 x1,следует, что b>0,с
Ответ: b>0,с
6)Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x1 0,x2>0.
По теореме Виета: x1+x2=-b x1∙x2=c
Т. к. x1>0,x2>0,а x2>x1,следует, что b 0.
Задания для самостоятельного решения.
1)Не решая уравнения 2x²-3x-11=0,найдите +,где x1 ;x2 –его корни.
2)Найдите значение выражения +, где x1;x2 –корни трехчлена x²-18x+11=0.
3)Пусть x1;x2 –корни квадратного уравнения x²-7x-46=0.
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являлись бы числа
2x1 +x2 и 2x2 +x1.
Ответ: 9x2-21x-481=0
4)При каком целом значении k один из корней уравнения
4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 втрое меньше второго?
Ответ: k=2.
5) Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x1 0.
