Цель:
- формирование и развитие учащихся умения формулировать вывод по результатам анализа, развертывать алгоритм в пошаговую программу, развитие навыков самоконтроля и самооценки, развитие математически грамотной речи;
- формирование у учащихся умений и навыков умножения и деления десятичной дроби на разрядную единицу;
- воспитание познавательной активности, культуры общения и труда.
Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.
Педагогические технологии: укрупнение дидактических единиц (УДЕ), элементы технологии проблемного обучения.
Оборудование: оценочный лист, листочки с копиркой, карточки, мультимедийный проектор, презентация.
Формы организации познавательной деятельности: индивидуальная и фронтальная.
Приемы и методы обучения: частично-поисковая работа, беседа, наглядные пособия, опорная схема.
Структура урока:
- Мотивация урока.
- Актуализация опорных знаний.
- Закрепление. Применение знаний в стандартной ситуации.
- Первичная проверка усвоения нового материала.
- Итог урока.
- Домашнее задание.
Ход урока
Мотивация урока.
Пусть девизом нашего урока станут слова Алексея Марушкевича: “Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий”. <Слайд 1 >. Приложение 2
Актуализация опорных знаний.
Сегодня на уроке мы вместе с вами откроем для себя правило умножения и деления десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д. Но прежде чем приступить к математическим исследованиям, проверим свои знания. У каждого есть оценочный лист № 1 <Приложение 1 >, в который вы по ходу урока будете фиксировать свои достижения. Возьмите листочки и положите копирку, подпишите имя, фамилию. <Слайд 2 >. Считаем устно, на листочек записываем только номер задания и ответ. Время работы ограничено. Сдайте листочек, на котором писали ручкой. Обменяйтесь листочками – копиями в парах. Проверяем и ставим оценку в оценочный лист. За правильный ответ “+”, за неправильный ответ или нерешенный пример “– ”. <Слайд 3 >.
Вопрос учителя:
Какими правилами вы пользовались в вычислениях? (Учащиеся формулируют правила умножения и деления десятичных дробей на натуральное число.)
Восприятие и осмысление нового материала.
Запишем в тетрадях тему урока <Слайд 4 > и вместе выстроим алгоритм действий при умножении и делении десятичных дробей на 10, 100, 1000.
Умножьте по правилу умножения десятичной дроби на натуральное число
6,387 10 = 63, 870 = 63, 87
6, 387 100 = 638, 700 = 638, 7
6, 387 1000 = 6387, 000 = 6387
Как изменилось положение запятой в ответе по отношению к первому числу? На сколько цифр вправо переместилась запятая в результате? Сколько нулей в разрядной единице? Сделайте вывод. (Учащиеся самостоятельно формулируют правило умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.)
Учитель подводит итог: Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в разрядной единице. <Слайд 5 >.
Если при умножении в десятичной дроби после запятой не хватает цифр, добавляем нули.
Лишние нули впереди числа наоборот убираем. <Слайд 6 >.
Разделим 96, 1 на 10.
В частном должно получиться такое число, при умножении которого на 10 получится 96, 1.
Постановка проблемного вопроса и выдвижение гипотезы:
Какое это число? (9, 61)
При умножении на 10 запятую переносим вправо на одну цифру. А как изменилось положение запятой в частном?
Вывод: При делении на 10 запятую нужно переносить на одну цифру влево.
Разделите 856, 3 на 100.
Сколько нулей в разрядной единице? На сколько цифр влево перенесете запятую?
Сформулируйте самостоятельно правило деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Учитель подводит итог: Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит в разрядной единице. <Слайд 7 > .
При этом иногда приходится дописать перед целой частью несколько нулей. <Слайд 8 >.
Давайте попробуем объединить эти два правила в одну программу действий. Что у нас должно получиться? (Алгоритм. ) Как вы думаете, на что необходимо обратить внимание прежде всего? <Слайд 9 >.
Закрепление. Применение знаний в стандартной ситуации.
Используя алгоритм, вычислите, объясняя каждый шаг:
6, 24 10
5, 387 100
317, 6: 100
12, 5: 10
0,7 10
3,4: 10
7, 8 1000
0, 01 100
14, 7: 1000
0,9: 100
Устные упражнения
Найди ошибку. <Слайд 10 >.
На какое число можно умножить дробь, чтобы результат оказался натуральным числом? 7,1; 0, 5; 3, 52? <Слайд 11 >.
Проверка усвоения нового материала.
- Самостоятельная работа.
- Проверка работы <Слайд 12 > Приложение 2
Применение знаний в новой ситуации.
Как же наше пусть еще маленькое математическое открытие поможет нам в жизни? Где применить полученные знания? Умение умножать и делить на 10, 100, 1000 и т.д. поможет вам на уроках географии, истории, биологии.
Задание. Запишите цифрами число.
- Знаменитая Александрийская библиотека насчитывала до 675, 4 тысяч папирусных свитков. <Слайд 13 >.
- Численность населения нашего города составляет 15, 7 тысяч человек. <Слайд 14 >.
- На одном гектаре земли может быть до 1, 5 миллионов дождевых червей. <Слайд 15 >.
Итог урока. Рефлексия деятельности.
Задание учащимся:
- Продолжите фразы: “Сегодня на уроке я узнал…”, “Сегодня на уроке я научился…”.
- Заполните лист самооценки 2 <Приложение 1 >.
Домашнее задание. Стр. 204,209, №1311, 1375 (и-м). <Слайд 16 >.
Дроби всякие нужны,
Дроби всякие важны.
Дробь учи, тогда сверкнет
тебе удача.Если будешь дроби знать,
Точно смысл их понимать,
Станет легкой даже
трудная задача.
В концентре 1000 были рассмотрены случаи умножения на 10 и 100. Это же правило распространяется и на умножение, и на деление многозначных чисел на 10 и 100.
Однако первоначально следует повторить с учащимися те случаи умножения 1000 на однозначное число, которые они рассматривали еще при изучении нумерации:
1000x2=1000+1000=2000
1 тыс.х2=2 тыс.=2000 1000x5=1 тыс. х 5=5 тыс.=5000
Рассматривается еще несколько случаев умножения 1000 на числа. После этого учащиеся, сравнивая произведение, множители, смогут самостоятельно сделать вывод:
Если один множитель - число 1000, то в произведении ко второму множителю надо приписать три нуля. 234
Используя знание переместительного закона умножения, учащиеся смогут решить примеры вида 3x1000.
Деление на 1000, так же как и деление на 10, 100, как пока-м.шает опыт, лучше усваивается как деление по содержанию. 11оэтому сначала решается задача: «Нарубили 8000 кг капусты. Для хранения ее нужно разложить в чаны. В каждый чан войдет ни 1000 кг капусты. Сколько потребуется чанов?» Решение. н()00 кг: 1000 кг. Если 8 тыс. разделить по 1 тыс. (8 тыс.:1 тыс.), и, получим 8. 8000 кг: 1000 кг=8 (чанов).
Рассматривается еще несколько аналогичных примеров. В ре-"ультате учащиеся делают вывод по аналогии с делением на 10 и
Если делитель равен тысяче, то в делимом надо отбросить три нуля и полученное число записать в частное.
Примеры на деление на 10, 100, 1000 записывается в строчку (42 000:1000=42) и решаются устно. Решаются примеры на деление как без остатка, так и с остатком: 80: 10=8 800: 100=8 8000: 1000=8
85: 10=8 (ост. 5)
807: 100=8 (ост. 7)
8507: 1000=8 (ост. 507)
870: 100=8 (ост. 70)
Учитель постоянно должен напоминать учащимся, что остаток должен быть меньше делителя. Действие деления как без остатка, так и с остатком учащиеся должны учиться проверять. Например:
Проверка. 38х 100=3800. 7518:1000=7 (ост. 518). Проверка. 7x1000+518=7518.
Познакомившись с умножением и делением на единицу с нулями, учащиеся с трудом дифференцируют правила умножения и деления на 10, 100, 1000, смешивают эти правила, не могут вспомнить, когда нужно нули приписывать, а когда их отбрасывать. Это происходит особенно часто при умножении в случае, когда в первом множителе есть нули. Например: 3800x10. В произведении ученик может написать число 380. При делении
3856:10 в частное ученик переписывает делимое и нуль сщ т. е. получает 38 560.
Такие ошибки возникают, как правило, при самостоятельно»! выполнении действий, когда некому наводящим вопросом актуали» зировать вовремя имеющиеся знания, направить внимание учени« ка на анализ выполняемой операции с числами.
Предупреждению возможных ошибок и лучшей дифференциации действий умножения и деления на 10, 100, 1000 служит чередование примеров на умножение и деление, их сопоставление, сравнение ответов (при умножении число увеличивается, при делении уменьшается), способов выполнения действий, а также решение сложных примеров, в которых имеются оба действия: 4700:100x1000.
Умножение и деление на разрядные числа (десятки, сотни, тысячи)
Умножение на разрядные числа. Подготовительным упражнением к умножению на разрядные числа является повторение табличного умножения, умножения на однозначное число, а также на 10, 100, 1000. Следует вспомнить, как круглое число представить в виде произведения двух чисел (например, 20=2-10, 500=5-100, 6000=6-1000), повторить уже известные учащимся случаи умножения на круглые числа (например, 24 12-20= 12-(2-10)=(12-2)-10=24-10=240), вспомнить 30 правило: чтобы умножить число на круглые десятки, 720 нужно умножить это число на число десятков и к полученному произведению приписать нуль, т. е. умножить его на 10.
Это правило учащиеся применяют и при умножении больших чисел в пределах 10 000, 100 000 и 1 000 000. Аналогично учащиеся знакомятся с умножением двузначных, трех- и четырехзначных чисел на круглые сотни: 25 - 300=25 - 3 100=75 100=7500.
На умножение на круглые тысячи распространяется уже известное учащимся правило умножения числа на круглые десятки и сотни.
Сначала рассматривается устно решение примеров вида: 7x5000. Можно 5000 записать как произведение 5-1000. 7 - (5 - 1000Ы7 5) -1000=35 -1000=35 000.
Деление на разрядные числа. Учащиеся уже знакомы с делением на круглые десятки и сотни. При изучении действий в 236
пределах 1000 они опираются на этот знакомый материал. Поэтому необходимо повторить табличное деление, деление на 10, 100, 1000 и, так же как в умножении, вспомнить, как представить круглые числа в виде произведения двух чисел (30=3-10, 100=3-100, 3000=3-1000), повторить устные и письменные случаи деления.
400:20=400:10:2=40:2=20
Деление на круглые сотни, а затем и тысячи можно показать ма устных случаях деления, основываясь на приеме последовательного деления:
2500:500=2500:100:5=25:5=5;
250 000:5000=250 000:1000:5=250:5=50.
Затем вводится деление на круглые десятки, сотни и тысячи с остатком. Например: 670:40. В частном будет двузначное число. В частном берем по 1, умножаем 1 на 40. Вычитаем 67-40=27. 270 делим на 40. Сначала делим 270 и 40 на 10. Затем делим неполное делимое и делитель: 27:4. Берем по 6. Умножаем 6 на 40, получаем 240. Вычитаем. Остаток 30 (меньше 40), частное 16.
Наряду с общими случаями учащиеся разбирают решение особых случаев, когда в частном получаются нули:
Урок математики, 4 класс
Тема урока: Умножение на 1.000, 10.000, ….
Тип урока: открытие новых знаний
Цель: познакомить с алгоритмом умножения числа на 1.000, 10.000, …
Задачи:
1)образовательная: создать условия для понятия взаимосвязи между умножением числа на 10, 1000 и умножением числа на 1000, 10000
2)развивающая: развивать логическое мышление
3)воспитательная: работать над аккуратностью при выполнении письменной работы, работать в паре.
Планируемые результаты:
Предметные:
Познавательные: осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий; устанавливать причинно-следственные связи, обобщать делать выводы
Регулятивные: определять круг своего незнания; планировать свою работу по изучению незнакомого материала.
Коммуникативные: слушать других, пытаться принимать другую точку зрения, развития коммуникативной культуры,
Личностные: готовность и способность к саморазвитию
Оборудование: учебники, ТПО, презентация, Тренажёр.
Ход урока.
1)Оргмомент.
Здравствуйте ребята! Рада Вас видеть красивыми, здоровыми.
У нас сегодня необычный урок. К нам пришла в гости Э.Ф. Повернитесь к ней и улыбнитесь, повернитесь друг другу подарите улыбки др.др. Подарите свои улыбки мне, а я подарю свою улыбку Вам.
Запись числа. Классной работы, Чистописания
Прочитайте числа:
На доске: (Чистописание)
30, 27, 42, 36, 33, 39, 24
Расположите числовой ряд в порядке убывания. (42, 39, 36, 33, 30, 27, 24)
Что вы замечаете? (числа уменьшаются на 3)
На какие группы их можно разбить. (чётные и нечётные)
Какое число будет лишним в ряду чисел и почему? (30 - круглое)
Расшифруйте слово круглый. (числа, которые оканчиваются на 0)
Назовите самое маленькое круглое двузначное число, трёхзначное число, четырехзначное число (10, 100,1000)
Приведите примеры круглых чисел.
Запишите числовой ряд.
2) Устный счёт.
Презентация
Слайд № 2
Запишите в два столбика только ответы .
3)Актуализация знаний и выявление затруднений
Слайд № 4
25*10=250
48*100=4 800
550:10= 55
670:10=67
370*1000=? 370 000
55*10000=? 550 000
25000:1000=? 25
500000:100000=? 5
-Что вызвало затруднение?
4) Целеполагание и построение проекта
Какова тема урока?(Умножение и деление на 10, 100, 1000, 10000…)
-Чему мы должны научиться на уроке?
(Изучить приемы умножения и деления на круглые числа.)
– Посмотрите на умножение на 10, на 100, как вычисляли?
Подумайте, как можно действовать тут?
Рассуждая так же, как при умножении на 10 и на 100, решите коллективно предлагаемые выражения и попробуйте сформулировать правило умножения на:
I группа - 1000, II группа - 10000, III группа – 1000000.
Правило:Чтобы умножить число на 1000, 10000 и т.д., можно к этому числу приписать справа столько нулей, сколько их во втором множителе.
Слайд № 4
- А теперь сравним правило, которое дано в учебнике на с. 17. Какой вывод сделаем?
4) Работа по учебнику (Устно по рядам) 1ряд № 1 с. 18
2 ряд № 2 с.18
3 ряд проверяет
2) Решаем задачу по учебнику №.4 с.18 (1ученик выполняет у доски)
Задача: В одном из тиражей лотереи было 100 выигрышей по 2000р., 1000выигрышей по 500р., и 10 000 выигрышей по 30 р. Сколько всего было выигрышей и на какую сумму?
100 в. по 2000р
1000в. по 500р
10000в. по 30р
Сколько всего было выигрышей и на какую сумму?
1) 100*2000=200 000(р.)
2)1000*500=500 000(р.)
3)10 000*30=300 000(р.)
4)100+1000+10 000=11100(выиг.) всего
5)200 000+300 000+500 000=1 000 000 (р.)всего
5. Работа по карточкам– выполняется самостоятельно с последующей проверкой. (ситуация успеха)
Перед вами лежат карточки трех цветов: красного, желтого, синего.
Внимательно рассмотрите.
236*1000 5600*100 10*3
275*10000 30*1000 100*10
905*10000 990*1000 420*100
10058*10000 48000*100 84*1000
306*1000000 8350*1000 50*1000
Эти карточки трех уровней сложности. Красная более сложная, желтая менее, синяя – самая простая. Выберите для себя одну карточку и выполните задание.
3 ученика работают у доски.
3. – Ребята, а в повседневной жизни нам встречаются числа, о которых мы с вами говорим на протяжении всего урока? (кг, км)
6.Работа в группах: 1 группа (Логическая задача № 9 с. 21)
Задача:
Ответ:1-зеленый, 2- красный, 3- синий, 4 - белый
Задача
Решение: 200 000:10= 20 000 (кг) сажи выбр. после установки оч.сооружений
Решите задачу:
Решение: 1) 204 * 1000=204 000 (кг) мусора выбросят 1000 чел в год
2)204 * 10 000= 2 040 000 (кг)
Как вы думаете какую тему мы затронули,решив эти задачи? (Экология)
Что нужно сделать человеку для защиты экологии?
Воспитывать культуру поведения у людей.
Не сорить на улице, выкидывать мусор только в специальные контейнеры.
Поддерживать чистоту территории.
Строить сортировочные и перерабатывающие заводы.
Использовать упаковку, которая растворяется в почве.
Использовать вторично некоторые предметы (бутылки, стеклянные банки).
Организовывать сбор макулатуры и металлолома.
Каждый день выбрасывается огромное количество мусора на Земле.
предполагаемые сроки разложения мусора в природе:
Бумага-1 месяцДеревянные, картонные и бумажные предметы разлагаются быстро, но их лучше закапывать, чтобы они не портили внешний вид природы.
Шерстяной носок-1 год
Деревянная палка-4 года
Одноразовая бумажная посуда-5 лет
Жестяная банка-100 лет
Полиэтиленовый пакет – до 200 лет
Алюминиевая банка-500 лет
Пластиковая бутылка-500 лет
Стеклянная ёмкость–до 1000 лет
7)Работа в парах по рядам
На доске: :
1 ряд 2 ряд
1 км = 1.000 м 1 кг = 1.000 г
6.000 м = …км 8.000 г=…кг
11.000 м 12.000 г
125.000 м 150.000 г
5.300 м 3.200 г
42.050 м 20.007 г
9)Включение в систему знаний и повторение
Давайте проверим прочность полученных знаний. Нестандартная ситуация:
3 ряд
.. .∙ 1.000 = 5.000
…∙ 10.000 = 90.000
…∙ 100.000 =700.000
(Если время останется, то работаем по карточкам или в по учебнику №6, 5 с 18)
9)Рефлексия учебной деятельности
Что нового вы узнали на нашем уроке?
Что понравилось на уроке?
Что было трудным?
Как вы себя чувствуете в конце урока?
Выставление оценок с комментированием
Дом. задание: № 3, 7 с. 18
Образец вычислений.
Правило 1: При умножении числа на 10, 100, 1000 и т. д. надо приписать к этому числу справа соответственно 1 нуль, 2 нуля, 3 нуля и т. д.
5000 × 1 0 = 50000
75000 × 1 00 = 7500000
340 × 1 000 = 340000
Правило 2: При делении числа на 10, 100, 1000 и т. д. надо отбросить справа соответственно 1 нуль, 2 нуля, 3 нуля и т. д.
7500 0 :1 0 =7500
803 00 :1 00 =803
1230 000 :1 000 =1230
| 800×100= | 1000×30= | 846000:10= |
| 400000:10000= | 368×1000= |
|
| 900000:10= | 800000:1000= | 60×100= |
| 800000:10= | 30×1000= | 519000:100= |
| 900000:10000= | 700000:100= | 10×200= |
| 100×3000= | 1000×40= | 20000:1000= |
| 762000:100= | 90000000:100000= | 1230000:100= |
| 10000×3290= | 298060×10000= | 10×3780200= |
| 340000:1000= | 2000000000000:100000000= | 5600000:10= |
| 100×6890= | 209570×1000= | 10000×761= |
Работа в карточках разного цвета
Внимательно рассмотрите.
236*1000 5600*100 10*3
275*10000 30*1000 100*10
905*10000 990*1000 420*100
10058*10000 48000*100 84*1000
306*1000000 8350*1000 50*1000
Внимательно рассмотрите.
236*1000 5600*100 10*3
275*10000 30*1000 100*10
905*10000 990*1000 420*100
10058*10000 48000*100 84*1000
306*1000000 8350*1000 50*1000
Внимательно рассмотрите.
236*1000 5600*100 10*3
275*10000 30*1000 100*10
905*10000 990*1000 420*100
10058*10000 48000*100 84*1000
306*1000000 8350*1000 50*1000
Внимательно рассмотрите.
236*1000 5600*100 10*3
275*10000 30*1000 100*10
905*10000 990*1000 420*100
10058*10000 48000*100 84*1000
306*1000000 8350*1000 50*1000
Работа в группах: 1 группа
Задача:
В четырех закрытых коробках лежит по одному шарику разных цветов: белый, синий, красный и зеленый. На первой коробке надпись «Белый», на второй –«Зеленый или белый», на третьей –«Красный или зеленый », а на четвертой –«Синий,или зеленый, или красный ». ни одна надпись не соответствует действительности. Какого цвета шарик лежит в каждой коробке.
Задача
Одно крупное предприятие выбрасывает в атмосферу 200 000 кг сажи в год. После установки очистительных сооружений на этом предприятии количество выбросов сажи уменьшилось в 10 раз. Сколько кг сажи выбрасывается в атмосфере после установки очистительных сооружений?
Какие предприятия нашего города загрязняют атмосферу?
Решите задачу:
2) В год каждый человек в среднем выбрасывает 204 кг. мусора. Сколько килограмм мусора в год выбросят 1000 человек? 10 000 человек?
Работа в парах по рядам
1 ряд 2 ряд
1 км = 1.000 м 1 кг = 1.000 г
6.000 м = …км 8.000 г=…кг
11.000 м = 12.000 г=
125.000 м= 150.000 г=
5.300м = 3.200 г=
42.050 м= 20.007 г=
3 ряд
.. .∙ 1.000 = 5.000
…∙ 10.000 = 90.000
…∙ 100.000 =700.000
Работа в парах по рядам
1 ряд 2 ряд
1 км = 1.000 м 1 кг = 1.000 г
6.000 м = …км 8.000 г=…кг
11.000 м = 12.000 г=
125.000 м= 150.000 г=
5.300м = 3.200 г=
42.050 м= 20.007 г=
3 ряд
.. .∙ 1.000 = 5.000
…∙ 10.000 = 90.000
…∙ 100.000 =700.000
Работа в парах по рядам
1 ряд 2 ряд
1 км = 1.000 м 1 кг = 1.000 г
6.000 м = …км 8.000 г=…кг
11.000 м = 12.000 г=
125.000 м= 150.000 г=
5.300м = 3.200 г=
42.050 м= 20.007 г=
3 ряд
.. .∙ 1.000 = 5.000
…∙ 10.000 = 90.000
На данном уроке будет рассмотрено, как выполнять умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,001. Также будут решены различные примеры на данную тему.
Упражнение. Как умножить число 25,78 на 10?
Десятичная запись данного числа - это сокращенная запись суммы. Необходимо расписать ее более подробно:
Таким образом, нужно умножить сумму. Для этого можно просто умножить каждое слагаемое:
Выходит, что.
Можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 10 очень просто: нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию.
Упражнение. Умножить 25,486 на 100.
Умножить на 100 - это то же самое, что и умножить два раза на 10. Иными словами, необходимо сдвинуть запятую вправо два раза:
Упражнение. Разделить 25,78 на 10.
Как и в предыдущем случае, необходимо представить число 25,78 в виде суммы:
Так как нужно поделить сумму, то это эквивалентно делению каждого слагаемого:
Выходит, чтобы разделить на 10, нужно запятую сдвинуть влево на одну позицию. Например:
Упражнение. Разделить 124,478 на 100.
Разделить на 100 - это то же самое, что два раза разделить на 10, поэтому запятая сдвигается влево на 2 позиции:
Если десятичную дробь нужно умножить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть вправо на столько позиций, сколько нулей у множителя.
И наоборот, если десятичную дробь нужно поделить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть влево на столько позиций, сколько нулей у множителя.
Пример 1
Умножить на 100 значит сдвинуть запятую вправо на две позиции.
После сдвига можно обнаружить, что после запятой уже нет цифр, а это значит, что дробная часть отсутствует. Тогда и запятая не нужна, число получилось целое.
Пример 2
Сдвигать нужно на 4 позиции вправо. Но цифр после запятой всего две. Стоит вспомнить, что для дроби 56,14 есть эквивалентная запись.
Теперь умножить на 10 000 не составляет труда:
Если не очень понятно, почему можно дописать два нуля к дроби в предыдущем примере, то дополнительное видео по ссылке сможет помочь в этом.
Эквивалентные десятичные записи
Запись 52 означает следующее:
Если впереди поставить 0, получим запись 052. Эти записи эквивалентны.
Можно ли поставить два нуля впереди? Да, эти записи эквивалентны.
Теперь посмотрим на десятичную дробь:
Если приписать ноль, то получается:
Эти записи эквивалентны. Аналогично можно приписать несколько нулей.
Таким образом, к любому числу можно приписать несколько нулей после дробной части и несколько нулей перед целой частью. Это будут эквивалентные записи одного и того же числа.
Пример 3
Так как происходит деление на 100, то необходимо сдвинуть запятую на 2 позиции влево. Слева от запятой не осталось цифр. Целая часть отсутствует. Такую запись часто используют программисты. В математике же, если целой части нет, то ставят ноль вместо нее.
Пример 4
Сдвигать нужно влево на три позиции, но позиций всего две. Если перед числом написать несколько нулей, то это будет эквивалентная запись.
То есть при сдвиге влево, если цифры кончились, необходимо восполнить их нулями.
Пример 5
В данном случае стоит помнить, что запятая всегда стоит после целой части. Тогда:
Умножение и деление на числа 10, 100, 1000 - очень простая процедура. Точно так же дело обстоит и с числами 0,1, 0,01, 0,001.
Пример . Умножить 25,34 на 0,1.
Выполним запись десятичной дроби 0,1 в виде обыкновенной. Но умножить на - то же самое, что разделить на 10. Поэтому необходимо сдвинуть запятую на 1 позицию влево:
Аналогично умножить на 0,01 - это разделить на 100:
Пример. 5,235 разделить на 0,1.
Решение данного примера строится аналогичным образом: 0,1 выражается в виде обыкновенной дроби, а делить на - это все равно, что умножить на 10:
То есть чтобы поделить на 0,1, нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию, что равносильно умножению на 10.
Умножить на 10 и разделить на 0,1 - это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию.
Разделить на 10 и умножить на 0,1 - это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию:
В этом уроке мы изучим сложение и вычитание целых чисел , а также правила для их сложения и вычитания.
Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Положительные числа легко , и . К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел, расстраивают обучающихся больше всего.
Содержание урокаПримеры сложения и вычитания целых чисел
Первое чему следует научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, и где положительные.
Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:
Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3.
Значение данного выражения равно −2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.
Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4
Значение данного выражения равно 2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.
Знак плюса в выражении −2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3
Значение данного выражения равно −4
Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.
Знак минуса в выражении −1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2
Значение данного выражения равно 0
Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.
Знак плюса в выражении −2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Правила сложения и вычитания целых чисел
Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Удобнее воспользоваться готовыми правилами.
Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.
Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5
Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками. −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Итак, посмотрим какой модуль больше:
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть, ответ будет положительным:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3
Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)
Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3+−2.
Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа модуль, которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть, ответ положительный.
Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1
Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7
В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.
Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4
Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.
Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:
После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.
Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:
a − b = − (b − a)
Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.
На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.
Итак, знакомимся с новым правилом:
Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:
Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет вычитаемому.
На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:
А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.
Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.
Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.
А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:
(+3) − (+1)
Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.
В выражении (+3) − (+1) в ычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).
Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Дальнейшее вычисление не составит особого труда.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.
Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.
У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:
Заменим вычитание сложением:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Дальнейшее вычисление не составляет труда:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5
Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Решение для данного примера можно записать покороче:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
или ещё короче:
−4 − 5 = −9
Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9
Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Решение данного примера можно записать покороче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
или ещё короче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Приведём выражение к понятному виду:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Соблюдая , выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:
Первое действие:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Второе действие:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Третье действие:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Четвёртое действие:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15
Примечание . Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.
Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
