При слове "дроби" у многих бегут мурашки. Потому что вспоминается школа и задания, которые решались на математике. Это являлось обязанностью, которую необходимо было выполнить. А что если относиться к заданиям, содержащим правильные и неправильные дроби, как к головоломке? Ведь многие взрослые решают цифровые и японские кроссворды. Разобрались в правилах, и все. Так же и здесь. Стоит только вникнуть в теорию - и все встанет на свои места. А примеры превратятся в способ потренировать мозг.
Какие виды дробей существуют?
Для начала о том, что это такое. Дробь — число, которое имеет некоторую часть от единицы. Ее можно записать в двух видах. Первый носит название обыкновенной. То есть такая, у которой есть горизонтальная или наклонная черта. Она приравнивается к знаку деления.
В такой записи число, стоящее над черточкой, называется числителем, а под ней — знаменателем.
Среди обыкновенных выделяют правильные и неправильные дроби. У первых числитель по модулю всегда меньше знаменателя. Неправильные потому так и называются, что у них все наоборот. Значение правильной дроби всегда меньше единицы. В то время как неправильная всегда больше этого числа.
Есть еще смешанные числа, то есть такие у которых имеются целая и дробная части.
Второй вид записи — десятичная дробь. О ней отдельный разговор.
Чем отличаются неправильные дроби от смешанных чисел?
По своей сути, ничем. Это просто разная запись одного и того же числа. Неправильные дроби после несложных действий легко становятся смешанными числами. И наоборот.
Все зависит от конкретной ситуации. Иногда в заданиях удобнее использовать неправильную дробь. А порой необходимо перевести ее в смешанное число и тогда пример решится очень легко. Поэтому, что использовать: неправильные дроби, смешанные числа, - зависит от наблюдательности решающего задачу.
Смешанное число еще сравнивают с суммой целой части и дробной. Причем вторая всегда меньше единицы.
Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?
Если требуется выполнить какое-либо действие с несколькими числами, которые записаны в разных видах, то нужно сделать их одинаковыми. Один из методов — представить числа в виде неправильных дробей.
Для этой цели потребуется выполнить действия по такому алгоритму:
- умножить знаменатель на целую часть;
- прибавить к результату значение числителя;
- записать ответ над чертой;
- знаменатель оставить тем же.
Вот примеры того, как записать неправильные дроби из смешанных чисел:
- 17 ¼ = (17 х 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 х 2 + 1) : 2 = 79/2.
Как записать неправильную дробь в виде смешанного числа?
Следующий прием противоположен рассмотренному выше. То есть когда все смешанные числа заменяются на неправильные дроби. Алгоритм действий будет таким:
- разделить числитель на знаменатель до получения остатка;
- записать частное на месте целой части смешанного;
- остаток следует разместить над чертой;
- делитель будет знаменателем.
Примеры такого преобразования:
76/14; 76:14 = 5 с остатком 6; ответом будет 5 целых и 6/14; дробную часть в этом примере нужно сократить на 2, получится 3/7; итоговый ответ — 5 целых 3/7.
108/54; после деления получается частное 2 без остатка; это значит, что не все неправильные дроби удается представить в виде смешанного числа; ответом будет целое — 2.
Как целое число превратить в неправильную дробь?
Бывают ситуации, когда необходимо и такое действие. Чтобы получить неправильные дроби с заранее известным знаменателем, потребуется выполнить такой алгоритм:
- умножить целое число на нужный знаменатель;
- записать это значение над чертой;
- разместить под ней знаменатель.
Самый простой вариант, когда знаменатель равен единице. Тогда ничего умножать не нужно. Достаточно просто написать целое число, которое дано в примере, а под чертой расположить единицу.
Пример : 5 сделать неправильной дробью со знаменателем 3. После умножения 5 на 3 получается 15. Это число будет знаменателем. Ответ задания дробь: 15/3.
Два подхода к решению заданий с разными числами
В примере требуется вычислить сумму и разность, а также произведение и частное двух чисел: 2 целых 3/5 и 14/11.
В первом подходе смешанное число будет представлено в виде неправильной дроби.
После выполнения действий, описанных выше, получится такое значение: 13/5.
Для того чтобы узнать сумму, нужно привести дроби к одинаковому знаменателю. 13/5 после умножения на 11 станет 143/55. А 14/11 после умножения на 5 примет вид: 70/55. Для вычисления суммы нужно только сложить числители: 143 и 70, а потом записать ответ с одним знаменателем. 213/55 — эта неправильная дробь ответ задачи.
При нахождении разности эти же числа вычитаются: 143 - 70 = 73. Ответом будет дробь: 73/55.
При умножении 13/5 и 14/11 не нужно приводить к общему знаменателю. Достаточно перемножить попарно числители и знаменатели. Получится ответ: 182/55.
Так же и при делении. Для правильного решения нужно заменить деление на умножение и перевернуть делитель: 13/5: 14/11 = 13/5 х 11/14 = 143/70.
Во втором подходе неправильная дробь обращается в смешанное число.
После выполнения действий алгоритма 14/11 обратится в смешанное число с целой частью 1 и дробной 3/11.
Во время вычисления суммы нужно сложить целые и дробные части по отдельности. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Итоговый ответ получается 3 целых 48/55. В первом подходе была дробь 213/55. Проверить правильность можно, переведя его в смешанное число. После деления 213 на 55 получается частное 3 и остаток 48. Нетрудно заметить, что ответ правильный.
При вычитании знак «+» заменяется на «-». 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Для проверки ответ из предыдущего подхода нужно перевести в смешанное число: 73 делится на 55 и получается частное 1 и остаток 18.
Для нахождения произведения и частного пользоваться смешанными числами неудобно. Здесь всегда рекомендуется переходить к неправильным дробям.
Каждый современный человек в школьную бытность во время решения математических задач нередко сталкивался с разнообразными задачками на дроби. Их достаточно много, потому имеет смысл рассмотреть различные варианты решения самых основных подобных задач.
Правильные и неправильные дроби
Верхнее число у любой дроби носит название числителя, в то время, как нижнее число – это знаменатель. Обыкновенные дроби - это частные от двух чисел, причем, одно из этих них находится в числителе у дроби, а второе, соответственно, является знаменателем этой дроби. Виды таких обыкновенных дробей определяются сравнением значений их знаменателя и числителя.
Правильная дробь
В том случае, когда знаменатель у дроби является натуральным числом, которое по своему значению больше ее числителя, также натурального числа, то дробь носит название правильной. Примерами таких могут быть: 8/19; 9/14; 31/162; 5/37 и так далее.
Если же знаменатель у дроби меньше, либо же равен ее числителю, то такая дробь уже называется неправильной. Например, это такие, как: 7/4; 19/6; 15/3; 231/83 и тому подобные.
Зачем переводится неправильная дробь в правильную?
Такая математическая манипуляция необходима, если выполняется действие с несколькими дробями, например, их слагают.
Совет
Если есть смешанная дробь, то сначала ее следует перевести в неправильную, потом уже выполнять другие математические действия.
Переведение в неправильную дробь
Чтобы какую-нибудь смешанную дробь превратить в неправильную, потребуется, для начала, целую ее часть умножить на знаменатель ее дробной части, а потом добавить числитель к данному произведению. Далее сумма берется, как числитель, но при том же самом, что и прежде знаменателе. Для осуществления перевода неправильной дроби в правильную, потребуется числитель такой неправильной дроби поделить на ее знаменатель. Далее, полученное таким путем целое число следует взять целой частью дроби, в то время, как остаток, если он, конечно, есть, сделать числителем дробной части у правильной дроби. Знаменатель пишется тот же самый, что и был. Чтобы перевести какую-либо неправильную дробь в десятичную, надо сначала выяснить, существует ли вообще такой множитель, который позволяет привести знаменатель ее дробной части в неправильном формате к числу, которое равняется десяти или десятке, возведенной в любую степень. То есть, 10, 100, 1000 и так далее. Если же такой множитель имеется, то следует умножить как числитель, так и знаменатель у неправильной дроби на данный множитель, тем самым как бы проверяя его. А после умноженный числитель потребуется через запятую приписать к целой части у неправильной дроби.
Нельзя перевести с округлением до десятых
В том случае, когда подобного множителя, как такового, не существует, это обозначает, что такая неправильная дробь не имеет четкого эквивалента в десятичной форме. Проще говоря, далеко не каждую из неправильных дробей представляется возможным перевести, сделав десятичной. В таком случае, потребуется найти приблизительное, максимально соответствующее значение дроби. Тут все зависит от требуемой в условии той ли иной задачи степени точности. Просчитать данную дробь проще всего на калькуляторе, но можно это также в уме или банально в столбик. Например, «41/7 = 5(6/7) = 5,9», это с округлением до десятых, или «= 5,86», когда требуется округлять до сотых, а также «= 5,857», если действует округление до тысячных. Многие из дробей четко в десятичные не переводятся, потому считать их проще не в уме и не в столбик, а посредством калькулятора.
Вывод:
Без манипуляций с дробями не представляется возможным ни один школьный курс математики. Да и в повседневности редко приходится иметь дело лишь с целыми числами, а потому переводить правильные дроби в неправильные, либо превращать в такие смешанные дроби нужно уметь каждому. Это очень просто и потому запомнить, как следует это делать, можно буквально после пары практических примеров, решенных на бумаге, а затем и вообще - в уме. С десятичными дробями ситуация несколько иная и не все можно точно перевести в десятичный вид.
Математические дроби
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА АГЛЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ
Комплексные числа
(избранные задачи)
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
по специальности 050201.65 математика
(с дополнительной специальностью 050202.65 информатика)
Выполнила: студентка 5 курса
физико-математического
факультета
Научный руководитель:
ВОРОНЕЖ – 2008
1. Введение……………………………………………………...…………..…
2. Комплексные числа (избранные задачи)
2.1. Комплексные числа в алгебраической форме….……...……….….
2.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел…………..…
2.3. Тригонометрическая форма комплексных чисел
2.4. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени……………..………………………………………………………
2.5. Комплексные числа и параметры………...……………………...….
3. Заключение…………………………………………………….................
4. Список литературы………………………….…………………...............
1. Введение
В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т.е. на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в 8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения при отрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.
Выбор темы «Комплексные числа», как темы моей выпускной квалификационной работы, заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания учащихся о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами.
В данной дипломной работе рассмотрено решение 82-х задач.
В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.
Во второй части решаются задачи на геометрическую интерпретацию комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.
В третьей части рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Используются формулы: Муавра и извлечение корня из комплексного числа.
Четвертая часть посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.
При решении задач последней части «Комплексные числа и параметры» используются и закрепляются сведения, приведенные в предыдущих частях. Серия задач главы посвящена определению семейств линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями (неравенствами) с параметром. В части упражнений нужно решить уравнения с параметром (над полем С). Есть задания, где комплексная переменная удовлетворяет одновременно ряду условий. Особенностью решения задач этого раздела является сведение многих из них к решению уравнений (неравенств, систем) второй степени, иррациональных, тригонометрических с параметром.
Особенностью изложения материала каждой части является первоначальный ввод теоретических основ, а в последствии практическое их применение при решении задач.
В конце дипломной работы представлен список используемой литературы. В большинстве из них достаточно подробно и доступно изложен теоретический материал, рассмотрены решения некоторых задач и даны практические задания для самостоятельного решения. Особое внимание хочется обратить на такие источники, как:
1. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. . Материал учебного пособия изложен в виде лекционных и практических занятий.
2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. Книга содержит 320 задач, относящихся к алгебре, арифметике и теории чисел. По своему характеру эти задачи значительно отличаются от стандартных школьных задач.
2. Комплексные числа (избранные задачи)
2.1. Комплексные числа в алгебраической форме
Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида
,где a0 , a1 , …, an действительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение
.Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения
.Обозначим этот корень через
. Таким образом, по определению , или ,следовательно,
. называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел и составляется выражение вида .Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части.
Итак, комплексными числами называются выражения вида
, и – действительные числа, а – некоторый символ, удовлетворяющий условию . Число называется действительной частью комплексного числа , а число – его мнимой частью. Для их обозначения используются символы , .Комплексные числа вида
являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.
Комплексные числа вида
называются чисто мнимыми. Два комплексных числа вида и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства , .Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Для наглядности решим такое задание:
Вычислить \[ (z_1\cdot z_2)^{10},\] если \
В первую очередь обратим внимание на то, что одно число представлено в алгебраической, другое - в тригонометрической форме. Его необходимо упростить и привести к следующему виду
\[ z_2 = \frac{1}{4} (\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}).\]
Выражение \ говорит о том, что в первую очередь делаем умножение и возведение в 10-ю степень по формуле Муавра. Эта формула сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Получим:
\[\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}=\sqrt {(-1)^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac{\sqrt 3}{-1}=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\]
Придерживаясь правил умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, сделаем следующее:
В нашем случае:
\[(z_1+z_2)^{10}=(\frac{1}{2})^{10}\cdot(\cos (10\cdot\frac{5\pi}{6})+i\sin\cdot\frac{5\pi}{6}))=\frac{1}{2^{10}}\cdot\cos \frac{25\pi}{3}+i\sin\frac{25\pi}{3}.\]
Делая дробь \[\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\] правильной, приходим к выводу, что можно "скрутить" 4 оборота \[(8\pi рад.):\]
\[ (z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]
Ответ: \[(z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]
Данное уравнение можно решить еще одним способом, который сводится к тому, чтобы привести 2 -е число в алгебраическую форму, после чего выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и применить формулу Муавра:
Где можно решить систему уравнений с комплексными числами онлайн?
Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
