Деление комплексных чисел может выполняться. Деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 56. Трехгранные и многогранные углы

Пусть даны /\ АВС и точка S, не принадлежащая плоскости треугольника (рис. 168).
Объединение всех лучей, имеющих общее начало в точке S и пересекающих данный треугольник (рис. 169), называется трехгранным углом .

Точка S называется вершиной трехгранного угла, лучи SA, SB, SC - его ребрами . Углы ASB, BSC, CSA называются гранями трехгранного угла или его плоскими углами . Величина каждого из них принадлежит интервалу ]0°; 180°[.

Вообще, если даны многоугольник ABC ... N и точка S, не принадлежащая плоскости многоугольника, то объединение всех лучей, имеющих общее начало в точке S и пересекающих данный многоугольник (рис. 170), называется многогранным углом .

Точка S называется вершиной многогранного угла, лучи SA, SB, SN - его ребрами. Углы ASB, BSC, ... называются гранями многогранного угла или его плоскими углами ; величина каждого его плоского угла принадлежит интервалу ]0°; 180°[. Многогранные углы называются трехгранными, четырехгранными и т. д. в зависимости от числа граней. Обозначают многогранный угол или одной буквой, обозначающей вершину, или несколькими буквами, отмечая вершину и точки на каждом ребре.

Многогранный угол называется выпуклым, если он находится по одну сторону от плоскости каждой его грани. В противном случае многогранный угол называется невыпуклым. На рис. 171 изображен невыпуклый пятигранный угол.

Выпуклый многогранный угол называется правильным , если все его грани конгруэнтны и все его двугранные углы конгруэнтны.

Рассмотрим свойства плоских углов трехгранных и многогранных углов.

Теорема 1. Величина каждого плоского угла трехгранного угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.

Пусть дан трехгранный угол SABC. Величины его плоских углов обозначим α , β , γ
(рис. 172).

Пусть γ - большая из них. Достаточно доказать, что γ < α + β.

В плоскости грани ASB проведем луч SM так, чтобы . Пусть N - точка пересечения отрезка АВ и луча SM. На луче SC отложим отрезок SD такой, что
|SD| = |SN|. Тогда /\ ASD /\ ASN по двум сторонам и углу между ними.

В /\ ABD

|AD| + |DB| > |AB|,

а по построению

|AB| = |AN| + |NB| и |AD| = |AN|,

следовательно, |DB| > |NB|.

Выразим теперь |DB| и |BN| из треугольников BSD и BSN при помощи теоремы косинусов:

|BD| 2 = |BS| 2 + |DS| 2 - 2|BS| |DS| cos α,
|ВN| 2 = | BS| 2 + |NS| 2 - 2|BS| |NS| cos .

Так как |DS| = |NS| , а | DB |> |NB|, то cos α < cos , и поэтому < α. Тогда

< α + β, или γ < α + β.

Из доказанной теоремы непосредственно следует, что величина каждого плоского угла трехгранного угла больше разности величин двух других его плоских углов, например

α > γ - β, β > γ - α

Теорема 2. Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360° .

Пусть дан трехгранный угол SABC (рис. 173).

Если через точки А, В, С проведем плоскость, то получим еще три трехгранных угла: ASBC, BSAC и CSAB. Применим к каждому из них теорему о сумме величин двух плоских углов трехгранного угла:

Сложив почленно эти неравенства, получим

а- так как сумма величин внутренних углов треугольника равна 180°, то

Обозначим , тогда из треугольников ASC, ASB, BSC имеем

Теперь неравенство (1) принимает вид

180° - α + 180° - β + 180° - γ > 180°,

откуда и следует, что

α + β + γ <360°.

Разбивая выпуклый многогранный угол на трехгранные углы, можно доказать следующее утверждение.

Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°, а каждый плоский угол меньше суммы остальных плоских углов .

20. Разноуровневое изучение многогранных углов, свойств плоских углов трехгранного угла и многогранного угла.

Базовый уровень:

Атанасян

Рассматривает только Двугранный угол.

Погорелов

Сначала рассматривает двугранный угол и затем сразу трехгранный и многогранный.

Рассмотрим три луча а, b, с, исходящие из одной точки лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов (ab), (bc) и (ac) (рис. 400). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично вводится понятие многогранного угла(рис.401).

рис 400 и рис.401

Профильный уровень (А.Д.Алексндров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжих):

Оставляя определение и изучение произвольных многогранных углов до § 31, мы рассмотрим сейчас простейшие из них - трехгранные углы. Если в стереометрии аналогами плоских углов можно считать двугранные углы, то трехгранные углы можно рассматривать как аналоги плоских треугольников , а в следующих параграфах увидим, как они естественно связаны со сферическими треугольниками.

Построить (а значит, и конструктивно определить) трехгранный угол можно так. Возьмем любые три луча а, b,c, имеющие общее начало О и не лежащие в одной плоскости (рис. 150). Эти лучи являются сторонами трех выпуклых плоских углов: угла α со сторонамиb, с, угла β со сторонами а, с и угла γ со сторонами а,b. Объединение этих трех углов α, β, γ и называется трехгранным углом Оabc(или, короче, трехгранным углом О). Лучи а,b, с называются ребрами трехгранного угла Оаbс, а плоские углы α, β, γ - его гранями. Точка О называется вершиной трехгранного угла.

3 а м е ч а н и е. Можно было бы определить трехгранный угол и с невыпуклой гранью (рис. 151), но мы такие трехгранные углы рассматривать не будем.

При каждом из ребер трехгранного угла определяется соответствующий двугранный угол, такой, ребро которого содержит соответствующее ребро трехгранного угла, а грани которого содержат прилежащие к этому ребру грани трехгранного угла.

Величины двугранных углов трехгранного угла Оаbс при ребрах а,b, с будем соответственно обозначать через а^,b^, с^(крышечки непосредственно над буквами).

Три грани α, β, γ трехгранного угла Оаbс и три его двугранных угла при ребрах а,b, с, а также велbчины α, β, γ и а^,b^, с^ будем называть элементами трехгранного угла. (Вспомните, что элементы плоского треугольника - это его стороны и его углы.)

Наша задача - Выразить одни элементы трехгранного угла через другие его элементы, т. е. построить «тригонометрию» трехгранных углов.

1) Начнем с вывода аналога теоремы косинусов. Сначала рассмотрим такой трехгранный угол Оаbс, у которого хотя бы две грани, например α и β являются острыми углами. Возьмем на его ребре с точку С и проведем из нее в гранях α и β перпендикуляры СВ и СА к ребру с до пересечения с ребрами а иbв точках А и В (рис. 152). Выразим расстояние АВ из треугольников ОАВ и САВ по теореме косинусов.

АВ 2 =АС 2 +ВС 2 -2АС*ВС*Cos(c^) и АВ 2 =ОА 2 +ОВ 2 -2АО*ВО*Cosγ.

Вычитая из второго равенства первое, получим:

ОА 2 -АС 2 +ОВ 2 -ВС 2 +2АС*ВС*Cos(c^)-2АО*ВО*Cosγ=0 (1). Т.к. треугольники ОСВ и ОСА прямоугольные, то АС 2 -АС 2 =ОС 2 и ОВ 2 -ВС 2 =ОС 2 (2)

Поэтому из (1) и (2) следует, что ОА*ОВ*Cosγ=ОС 2 +АС*ВС*Cos(c^)

т.е.

Но
,
,
,
. Поэтому

(3) – аналог теоремы косинусов для трехгранных углов-формула косинусов .

Обе грани α и β – тупые углы.

Один из углов α и β, например α, острый, а другой – β- тупой.

Хоты бы 1 из углов α или β прямой.

Признаки равенства трехгранных углов похожи на признаки равенства треугольников. Но есть отличие: например, два трехгранных угла равны, если соответственно равны их двугранные углы. Вспомните, что два плоских треугольника, у которых соответственные углы равны, подобны. А для трехгранных углов аналогичное условие приводит не к подобию, а к равенству.

Трехгранные углы обладают замечательным свойством , которое называется двойственностью. Если в какой-либо теореме о трехгранном угле Оаbс заменить величины а,b, с на π-α, π-β, π-γи, наоборот, заменить α, β, γ на π-a^, π-b^, π-c^, то снова получим верное утверждение о трехгранных углах, двойственное исходной теореме. Правда, если такую замену произвести в теореме синусов, то снова придем к теореме синусов (она сама себе двойственна). Но если так сделать в теореме косинусов (3), то получим новую формулу

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Почему имеет место такая двойственность, станет ясно, если для трехгранного угла построить двойственный ему трехгранный угол, ребра которого перпендикулярны граням исходного угла (см. п. 33.3 и рис. 356).

Одними из простейших поверхностей являются многогранные углы . Они составляются из обычных углов (такие углы теперь часто будем называть плоскими углами), подобно тому как замкнутая ломаная составляется из отрезков. А именно дается следующее определение:

Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполнены условия:

1) Никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны.

2) У каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и только с одним другим таким углом.

3) От каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общие стороны.

4) Никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости (рис. 324).

При этом условии плоские углы, образующие многогранный угол, называются его гранями, а их стороны - его ребра.

Под данное определение подходит и двугранный угол. Он составлен из двух развернутых плоских углов. Вершиной его может считаться любая точка на его ребре, и эта точка разбивает ребро на два ребра, сходящиеся в вершине. Но ввиду этой неопределенности в положении вершины двугранный угол исключают из числа многогранных углов.

П

онятие о многогранном угле важно, в частности, при изучении многогранников - в теории многогранников. Строение многогранника характеризуется тем, из каких граней он составлен и как они сходятся в вершинах, т. е. какие там оказываются многогранные углы.