Tabel penyatuan tanah Rusia abad 14-15. Prasyarat untuk penyatuan tanah Rusia. Penyelesaian penyatuan politik Rus'

Tidak buruk sama sekali, bukan? Sementara para ahli matematika mencari kata-kata untuk memberi Anda definisi yang panjang dan membingungkan, mari kita lihat lebih dekat definisi yang sederhana dan jelas ini.

Angka e berarti pertumbuhan

Angka e berarti pertumbuhan berkelanjutan. Seperti yang kita lihat pada contoh sebelumnya, ex memungkinkan kita menghubungkan bunga dan waktu: 3 tahun dengan pertumbuhan 100% sama dengan 1 tahun dengan pertumbuhan 300%, dengan asumsi "bunga majemuk".

Anda dapat mengganti persentase dan nilai waktu apa pun (50% selama 4 tahun), tetapi lebih baik menetapkan persentase sebagai 100% untuk kenyamanan (ternyata 100% selama 2 tahun). Dengan beralih ke 100%, kita hanya dapat fokus pada komponen waktu:

e x = e persen * waktu = e 1,0 * waktu = e waktu

Jelasnya e x berarti:

berapa besar kontribusi saya akan bertambah setelah x unit waktu (dengan asumsi pertumbuhan berkelanjutan 100%).
misalnya, setelah 3 interval waktu saya akan menerima e 3 = 20,08 kali lebih banyak “barang”.

e x adalah faktor penskalaan yang menunjukkan level apa yang akan kita capai dalam jangka waktu x.

Logaritma natural berarti waktu

Logaritma natural adalah kebalikan dari e, istilah yang bagus untuk kebalikannya. Berbicara tentang kebiasaan; dalam bahasa latin disebut logarithmus naturali, maka disingkat ln.

Dan apa arti inversi atau kebalikannya?

e x memungkinkan kita mengganti waktu dan mendapatkan pertumbuhan.
ln(x) memungkinkan kita mengambil pertumbuhan atau pendapatan dan mengetahui waktu yang diperlukan untuk menghasilkannya.

Misalnya:

e 3 sama dengan 20,08. Setelah tiga periode waktu kita akan mendapatkan 20,08 kali lebih-lebih lagi tempat kami memulai.
ln(20/08) akan menjadi sekitar 3. Jika Anda tertarik pada pertumbuhan sebesar 20,08 kali, Anda memerlukan 3 periode waktu (sekali lagi, dengan asumsi pertumbuhan berkelanjutan 100%).

Masih membaca? Logaritma natural menunjukkan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai level yang diinginkan.

Hitungan logaritmik non-standar ini

Pernahkah Anda mempelajari logaritma - mereka adalah makhluk aneh. Bagaimana mereka bisa mengubah perkalian menjadi penjumlahan? Bagaimana dengan pembagian menjadi pengurangan? Mari kita lihat.

ln(1) sama dengan apa? Secara intuitif, pertanyaannya adalah: berapa lama saya harus menunggu untuk mendapatkan 1x lebih banyak dari yang saya miliki?

Nol. Nol. Sama sekali tidak. Anda sudah memilikinya sekali. Tidak perlu banyak waktu untuk berpindah dari level 1 ke level 1.

ln(1) = 0

Oke, bagaimana dengan nilai pecahannya? Berapa lama waktu yang diperlukan agar kita mempunyai 1/2 dari jumlah yang tersedia? Kita tahu bahwa dengan pertumbuhan berkelanjutan 100%, ln(2) berarti waktu yang dibutuhkan untuk berlipat ganda. jika kita mari kita memutar kembali waktu(yaitu, menunggu waktu negatif), maka kita akan mendapatkan setengah dari apa yang kita miliki.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logis, bukan? Jika kita kembali (waktu mundur) ke 0,693 detik, kita akan menemukan setengah dari jumlah yang tersedia. Secara umum, Anda dapat membalik pecahan dan mengambil nilai negatif: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Artinya jika kita kembali ke masa 1,09 kali, kita hanya akan menemukan sepertiga dari angka saat ini.

Oke, bagaimana dengan logaritma bilangan negatif? Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk “menumbuhkan” koloni bakteri dari 1 menjadi -3?

Ini tidak mungkin! Anda tidak bisa mendapatkan jumlah bakteri negatif, bukan? Anda bisa mendapatkan maksimum (er...minimum) nol, tapi tidak mungkin Anda bisa mendapatkan angka negatif dari makhluk kecil ini. DI DALAM angka negatif bakteri tidak masuk akal.

ln(angka negatif) = tidak terdefinisi

"Tidak terdefinisi" berarti tidak ada waktu yang harus menunggu untuk mendapatkan nilai negatif.

Perkalian logaritma sungguh lucu

Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk tumbuh empat kali lipat? Tentu saja, Anda bisa mengambil ln(4). Tapi ini terlalu sederhana, kita akan memilih cara lain.

Anda dapat membayangkan pertumbuhan empat kali lipat sebagai penggandaan (memerlukan ln(2) satuan waktu) dan kemudian berlipat ganda lagi (membutuhkan ln(2) satuan waktu lagi):

Waktunya bertambah 4 kali = ln(4) = Waktunya berlipat ganda lalu berlipat ganda lagi = ln(2) + ln(2)

Menarik. Tingkat pertumbuhan apa pun, katakanlah 20, dapat dianggap dua kali lipat setelah peningkatan 10x. Atau tumbuh 4 kali lipat, lalu 5 kali lipat. Atau tiga kali lipat lalu meningkat 6,666 kali lipat. Lihat polanya?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritma A dikali B adalah log(A) + log(B). Hubungan ini langsung masuk akal jika dilihat dari segi pertumbuhan.

Jika Anda tertarik dengan pertumbuhan 30x, Anda dapat menunggu ln(30) sekaligus, atau menunggu ln(3) untuk tiga kali lipat, dan kemudian ln(10) lagi untuk 10x. Hasil akhir sama, jadi tentu saja waktu harus tetap (dan tetap).

Bagaimana dengan pembagian? Secara spesifik, ln(5/3) artinya: berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk tumbuh 5 kali lipat dan mendapatkan 1/3 darinya?

Hebat, pertumbuhan 5 kali lipat adalah ln(5). Peningkatan 1/3 kali akan memakan waktu -ln(3) satuan waktu. Jadi,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Artinya: biarkan tumbuh 5 kali lipat, lalu “kembali ke masa lalu” ke titik di mana hanya tersisa sepertiga dari jumlah tersebut, sehingga Anda mendapatkan pertumbuhan 5/3. Secara umum ternyata

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Saya berharap aritmatika logaritma yang aneh mulai masuk akal bagi Anda: mengalikan tingkat pertumbuhan menjadi penambahan satuan waktu pertumbuhan, dan pembagian menjadi pengurangan satuan waktu. Tidak perlu menghafal aturannya, cobalah memahaminya.

Menggunakan logaritma natural untuk pertumbuhan sewenang-wenang

Tentu saja,” Anda berkata, “semuanya baik jika pertumbuhannya 100%, tapi bagaimana dengan 5% yang saya dapatkan?”

Tidak masalah. "Waktu" yang kita hitung dengan ln() sebenarnya adalah kombinasi suku bunga dan waktu, X yang sama dari persamaan e x. Kami baru saja memutuskan untuk menetapkan persentase menjadi 100% untuk kesederhanaan, namun kami bebas menggunakan angka apa pun.

Katakanlah kita ingin mencapai pertumbuhan 30x: ambil ln(30) dan dapatkan 3,4 Artinya:

ex = tinggi badan
e 3,4 = 30

Jelas sekali, persamaan ini berarti "pengembalian 100% selama 3,4 tahun menghasilkan pertumbuhan 30x lipat." Kita dapat menulis persamaan ini sebagai berikut:

e x = e laju*waktu
e 100% * 3,4 tahun = 30

Nilai “taruhan” dan “waktu” dapat kita ubah, selama waktu taruhan* tetap 3,4. Misalnya, jika kita tertarik pada pertumbuhan 30x, berapa lama kita harus menunggu pada tingkat bunga 5%?

ln(30) = 3,4
tarif * waktu = 3,4
0,05 * waktu = 3,4
waktu = 3,4 / 0,05 = 68 tahun

Saya beralasan seperti ini: "ln(30) = 3,4, jadi pada pertumbuhan 100% dibutuhkan waktu 3,4 tahun. Jika saya menggandakan laju pertumbuhannya, waktu yang diperlukan akan dibelah dua."

100% selama 3,4 tahun = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% dalam 1,7 tahun = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% selama 6,8 tahun = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% di atas 68 tahun = 0,05 * 68 = 3,4.

Hebat, bukan? Logaritma natural dapat digunakan pada tingkat bunga dan waktu berapa pun karena hasil kali mereka tetap konstan. Anda dapat memindahkan nilai variabel sebanyak yang Anda suka.

Contoh keren: Aturan tujuh puluh dua

Aturan Tujuh Puluh Dua adalah teknik matematika yang memungkinkan Anda memperkirakan berapa lama waktu yang dibutuhkan agar uang Anda berlipat ganda. Sekarang kita akan menyimpulkannya (ya!), dan terlebih lagi, kita akan mencoba memahami esensinya.

Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk melipatgandakan uang Anda dengan bunga majemuk 100% setiap tahunnya?

Ups. Kami menggunakan logaritma natural untuk kasus dengan pertumbuhan berkelanjutan, dan sekarang Anda berbicara tentang akrual tahunan? Bukankah rumus ini tidak cocok untuk kasus seperti itu? Ya, itu akan terjadi, tetapi untuk suku bunga riil seperti 5%, 6% atau bahkan 15%, perbedaan antara bunga majemuk tahunan dan pertumbuhan berkelanjutan akan menjadi kecil. Jadi perkiraan kasarnya berhasil, um, secara kasar, jadi kita anggap saja kita mempunyai akrual yang sepenuhnya berkelanjutan.

Sekarang pertanyaannya sederhana: Seberapa cepat Anda bisa menggandakannya dengan pertumbuhan 100%? ln(2) = 0,693. Dibutuhkan 0,693 unit waktu (dalam kasus kami tahun) untuk menggandakan jumlah kami dengan peningkatan berkelanjutan sebesar 100%.

Lalu bagaimana jika suku bunganya bukan 100%, tapi katakanlah 5% atau 10%?

Mudah! Karena taruhan * waktu = 0,693, kami akan menggandakan jumlahnya:

tarif * waktu = 0,693
waktu = 0,693 / taruhan

Ternyata jika pertumbuhannya 10%, dibutuhkan 0,693 / 0,10 = 6,93 tahun untuk menjadi dua kali lipat.

Untuk menyederhanakan penghitungan, mari kalikan kedua ruas dengan 100, lalu kita dapat mengatakan "10" dan bukan "0,10":

waktu menggandakan = 69,3 / taruhan, dimana taruhan dinyatakan dalam persentase.

Sekarang saatnya berlipat ganda pada tingkat 5%, 69,3 / 5 = 13,86 tahun. Namun, 69,3 bukanlah dividen yang paling sesuai. Ayo pilih nomor dekat, 72, yang mudah untuk dibagi dengan 2, 3, 4, 6, 8 dan angka lainnya.

waktu untuk menggandakan = 72 / taruhan

yang merupakan aturan tujuh puluh dua. Semuanya tertutup.

Jika Anda perlu mencari waktu untuk melipatgandakan, Anda dapat menggunakan ln(3) ~ 109.8 dan dapatkan

waktu untuk melipatgandakan = 110 / taruhan

Apa yang lain aturan yang berguna. "Aturan 72" berlaku untuk pertumbuhan suku bunga, pertumbuhan populasi, kultur bakteri, dan segala sesuatu yang tumbuh secara eksponensial.

Apa selanjutnya?

Saya harap logaritma natural sekarang masuk akal bagi Anda - logaritma ini menunjukkan waktu yang diperlukan suatu bilangan untuk bertambah secara eksponensial. Menurut saya disebut natural karena e adalah ukuran pertumbuhan yang universal, jadi ln bisa dipertimbangkan secara universal menentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk tumbuh.

Setiap kali Anda melihat ln(x), ingatlah "waktu yang diperlukan untuk tumbuh X kali". Dalam artikel mendatang saya akan menjelaskan e dan ln secara bersamaan sehingga aroma segar matematika memenuhi udara.

Tambahan: Logaritma natural dari e

Kuis singkat: apa itu ln(e)?

robot matematika akan berkata: karena keduanya didefinisikan sebagai invers satu sama lain, jelas bahwa ln(e) = 1.
orang yang pengertian: ln(e) adalah berapa kali yang diperlukan untuk menumbuhkan "e" kali (sekitar 2,718). Namun bilangan e sendiri merupakan ukuran pertumbuhan dengan faktor 1, jadi ln(e) = 1.

Berpikirlah jernih.

9 September 2013

Sifat-sifat dasar logaritma natural, grafik, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, turunan, integral, pemuaian seri kekuatan dan representasi fungsi ln x menggunakan bilangan kompleks.

Definisi

Logaritma natural adalah fungsi y = di x, kebalikan dari eksponensial, x = ey , dan adalah logaritma berdasarkan nomor e: ln x = log e x.

Logaritma natural banyak digunakan dalam matematika karena turunannya memiliki bentuk paling sederhana: (ln x)′ = 1/ x.

Berdasarkan definisi, basis logaritma natural adalah bilangan e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Grafik fungsi y = di x.

Grafik logaritma natural (fungsi y = di x) diperoleh dari grafik eksponensial bayangan cermin relatif terhadap garis lurus y = x.

Logaritma natural didefinisikan pada nilai-nilai positif variabel x.

Ia meningkat secara monoton dalam domain definisinya. 0 Pada x →

limit logaritma naturalnya dikurangi tak terhingga (-∞). Karena x → + ∞, limit logaritma naturalnya adalah ditambah tak terhingga (+ ∞). Untuk x besar, logaritma meningkat cukup lambat. Setiap fungsi daya

xa dengan eksponen positif a tumbuh lebih cepat dari logaritma.

Sifat-sifat logaritma natural

Domain definisi, kumpulan nilai, ekstrem, naik, turun Logaritma natural merupakan fungsi yang meningkat secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Properti dasar

logaritma natural disajikan dalam tabel.

dalam nilai x

dalam 1 = 0

Rumus dasar logaritma natural

Rumus berikut dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus penggantian basa

Logaritma apa pun dapat dinyatakan dalam logaritma natural menggunakan rumus substitusi dasar: Bukti rumus-rumus ini disajikan pada bagian.

"Logaritma"

Fungsi terbalik Kebalikan dari logaritma natural adalah.

eksponen

Jika , maka

Jika, maka.

Turunan ln x
.
Turunan dari logaritma natural:
.
Turunan dari logaritma natural modulus x:
.
Turunan dari orde ke-n:

Menurunkan rumus > > >

Integral Integralnya dihitung :
.
integrasi berdasarkan bagian

Jadi,

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks
.
Perhatikan fungsi variabel kompleks z: Mari kita nyatakan variabel kompleksnya z melalui modul R φ :
.
dan argumen
.
Dengan menggunakan properti logaritma, kita mendapatkan:
.
Atau
Argumen φ tidak didefinisikan secara unik. Jika Anda menaruh
, dimana n adalah bilangan bulat,

Oleh karena itu, logaritma natural, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.