Atau segi enam) adalah sosok tiga dimensi, setiap mukanya berbentuk persegi, yang seperti kita ketahui, semua sisinya sama besar. Diagonal kubus adalah ruas yang melalui titik tengah bangun dan menghubungkan titik-titik simetris. Segi enam beraturan memiliki 4 diagonal, dan semuanya sama besar. Sangat penting untuk tidak mengacaukan diagonal gambar itu sendiri dengan diagonal tepinya atau persegi yang terletak di alasnya. Diagonal permukaan kubus melewati bagian tengah permukaan dan menghubungkan titik-titik sudut yang berlawanan dari persegi.
Rumus mencari diagonal kubus
Diagonal polihedron beraturan dapat dicari dengan menggunakan rumus yang sangat sederhana yang perlu Anda ingat. D=a√3, dengan D melambangkan diagonal kubus, dan merupakan rusuk. Mari kita beri contoh soal yang perlu mencari diagonal jika diketahui panjang rusuknya 2 cm. Di sini semuanya sederhana D = 2√3, Anda bahkan tidak perlu menghitung apa pun. Pada contoh kedua, misalkan rusuk kubus sama dengan √3 cm, maka didapat D = √3√3=√9=3. Jawaban: D sama dengan 3 cm.
Rumus mencari diagonal muka kubus
aspek akhir juga dapat ditemukan menggunakan rumus. Hanya ada 12 diagonal yang terletak pada sisi-sisinya, dan semuanya sama besar. Sekarang ingat d=a√2, di mana d adalah diagonal persegi, dan juga rusuk kubus atau sisi persegi. Sangat mudah untuk memahami dari mana rumus ini berasal. Lagi pula, kedua sisi persegi dan bentuk diagonal. Dalam trio ini, diagonal berperan sebagai sisi miring, dan sisi persegi adalah kaki-kaki yang memiliki panjang yang sama. Mari kita ingat teorema Pythagoras, dan semuanya akan segera terjadi. Sekarang tugasnya: rusuk segi enam adalah √8 cm, Anda perlu mencari diagonal mukanya. Kita memasukkannya ke dalam rumus, dan kita mendapatkan d=√8 √2=√16=4. Jawaban: Diagonal sisi kubus adalah 4 cm.
Jika diagonal permukaan kubus diketahui
Berdasarkan kondisi soal, kita hanya diberikan diagonal permukaan polihedron beraturan, yang sama dengan, katakanlah, √2 cm, dan kita perlu mencari diagonal kubus. Rumus penyelesaian soal ini sedikit lebih rumit dari rumus sebelumnya. Jika kita mengetahui d, maka kita dapat mencari rusuk kubus berdasarkan rumus kedua d=a√2. Kita mendapatkan a= d/√2= √2/√2=1cm (ini adalah tepi kita). Dan jika nilai ini diketahui, maka mencari diagonal kubus tidak akan sulit: D = 1√3= √3. Inilah cara kami memecahkan masalah kami.
Jika luas permukaan diketahui
Algoritma penyelesaian berikut didasarkan pada pencarian diagonal menurut Misalkan sama dengan 72 cm 2. Pertama kita cari luas salah satu sisinya, dan totalnya ada 6. Artinya 72 harus dibagi 6, kita mendapat 12 cm 2. Ini adalah area satu wajah. Untuk mencari rusuk polihedron beraturan, perlu diingat rumus S=a 2 yang artinya a=√S. Substitusikan dan dapatkan a=√12 (tepi kubus). Dan jika kita mengetahui nilai tersebut, maka tidak sulit mencari diagonal D= a√3= √12 √3 = √36 = 6. Jawaban: diagonal kubus tersebut adalah 6 cm 2.
Jika panjang rusuk suatu kubus diketahui
Ada kalanya soal hanya memberikan panjang seluruh rusuk kubus. Maka Anda perlu membagi nilai ini dengan 12. Itu adalah jumlah sisinya polihedron biasa. Misalnya, jika jumlah seluruh sisinya adalah 40, maka salah satu sisinya akan sama dengan 40/12=3,333. Kami memasukkannya ke dalam rumus pertama kami dan mendapatkan jawabannya!
Sistem vektor disebut bergantung secara linear, jika ada bilangan yang paling sedikit satu berbeda dengan nol, sehingga persamaannya https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.
Jika persamaan ini dipenuhi hanya jika semua , maka sistem vektor disebut independen linier.
Dalil. Sistem vektor akan melakukannya bergantung secara linear jika dan hanya jika paling sedikit salah satu vektornya merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya.
Contoh 1. Polinomial 
adalah kombinasi linier dari polinomial https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomial merupakan sistem yang bebas linier, karena polinomial https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Contoh 2. Sistem matriks, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> bebas linier, karena kombinasi linier sama dengan matriks nol hanya jika https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> bergantung linier.
Larutan.
Mari kita buat kombinasi linier dari vektor-vektor ini https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" tinggi=" 22">.
Menyamakan koordinat yang sama dari vektor yang sama, kita mendapatkan https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
Akhirnya kita dapatkan
Dan
Sistem ini memiliki solusi sepele yang unik, sehingga kombinasi linier dari vektor-vektor ini sama dengan nol hanya jika semua koefisien sama dengan nol. Itu sebabnya sistem ini vektor tidak bergantung linier.
Contoh 4. Vektor-vektornya bebas linier. Seperti apa sistem vektornya?
A).
;
B).
?
Larutan.
A). Mari kita buat kombinasi linier dan samakan dengan nol
Menggunakan sifat-sifat operasi dengan vektor di ruang linier, kami menulis ulang persamaan terakhir dalam bentuk
Karena vektor-vektornya bebas linier, koefisien di harus sama dengan nol, yaitu..gif" width="12" height="23 src=">
Sistem persamaan yang dihasilkan mempunyai solusi sepele yang unik 
.
Sejak kesetaraan (*) dieksekusi hanya ketika https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – independen linier;
B). Ayo buat persamaan https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
Menerapkan alasan serupa, kami memperoleh
Memecahkan sistem persamaan dengan metode Gauss, kita peroleh
atau
Sistem yang terakhir punya himpunan tak terbatas solusi https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Jadi, ada himpunan koefisien bukan nol yang persamaannya memegang (**)
. Oleh karena itu, sistem vektor – bergantung linier.
Contoh 5 Suatu sistem vektor bebas linier, dan sistem vektor bergantung linier..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
Dalam kesetaraan (***) . Memang benar, pada , sistem akan bergantung linier.
Dari relasinya (***)
kita mendapatkan 
atau 
Mari kita tunjukkan 
.
Kita mendapatkan 
Tugas untuk keputusan independen(di antara penonton)
1. Suatu sistem yang memuat vektor nol adalah bergantung linier.
2. Sistem yang terdiri dari satu vektor A, bergantung linier jika dan hanya jika, sebuah=0.
3. Suatu sistem yang terdiri dari dua vektor bergantung linier jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut sebanding (yaitu, salah satu vektor diperoleh dari vektor lainnya dengan mengalikannya dengan suatu bilangan).
4. Jika Anda menambahkan vektor ke sistem bergantung linier, Anda mendapatkan sistem bergantung linier.
5. Jika suatu vektor dihilangkan dari sistem bebas linier, maka sistem vektor yang dihasilkan juga bebas linier.
6. Jika sistem S bebas linier, tetapi menjadi bergantung linier ketika menjumlahkan vektor B, lalu vektornya B dinyatakan secara linier melalui vektor sistem S.
C). Sistem matriks , , dalam ruang matriks orde kedua.
10. Biarkan sistem vektor A,B,C ruang vektor independen linier. Buktikan independensi linier dari sistem vektor berikut:
A).sebuah+b, b, c.
B).sebuah+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– nomor sewenang-wenang
C).sebuah+b, a+c, b+c.
11. Membiarkan A,B,C– tiga vektor pada bidang tempat terbentuknya segitiga. Akankah vektor-vektor ini bergantung linier?
12. Dua vektor diberikan a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Temukan dua vektor empat dimensi lagi a3 dana4 sehingga sistem a1,a2,a3,a4 independen linier .
A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Larutan. Mencari keputusan bersama sistem persamaan
A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ
metode Gauss. Untuk melakukan ini, kita menulis sistem homogen ini dalam koordinat:
Matriks Sistem
Sistem yang diizinkan memiliki bentuk: 
(r A = 2, N= 3). Sistemnya kooperatif dan tidak pasti. Solusi umumnya ( X 2 – variabel bebas): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Kehadiran solusi partikular yang bukan nol, misalnya, menunjukkan bahwa vektor-vektor tersebut A
1 , A
2 , A
3
bergantung secara linier.
Contoh 2.
Cari tahu apakah suatu sistem vektor bergantung linier atau bebas linier:
1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.
Larutan. Pertimbangkan sistem persamaan homogen A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ
atau dalam bentuk yang diperluas (berdasarkan koordinat)
Sistemnya homogen. Jika ia tidak mengalami degenerasi, maka ia mengalami degenerasi satu-satunya keputusan. Kapan sistem homogen– solusi nol (sepele). Artinya dalam hal ini sistem vektor bersifat bebas. Jika sistem mengalami degenerasi, maka sistem mempunyai solusi bukan nol dan oleh karena itu sistem bergantung.
Kami memeriksa sistem untuk degenerasi:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Sistemnya tidak merosot dan, dengan demikian, adalah vektor A 1 , A 2 , A 3 independen linier.
Tugas. Cari tahu apakah suatu sistem vektor bergantung linier atau bebas linier:
1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.
2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.
4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.
5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.
6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.
7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Buktikan bahwa suatu sistem vektor bergantung linier jika memuat:
dua vektor yang sama;
b) dua vektor proporsional.
Definisi. Kombinasi vektor linier a 1 , ..., a n dengan koefisien x 1 , ..., x n disebut vektor
x 1 a 1 + ... + x n a n .
remeh, jika semua koefisien x 1 , ..., x n sama dengan nol.
Definisi. Kombinasi linier x 1 a 1 + ... + x n a n disebut tidak sepele, jika paling sedikit salah satu koefisien x 1, ..., x n tidak sama dengan nol.
independen linier, jika tidak ada kombinasi non-trivial dari vektor-vektor tersebut yang sama dengan vektor nol.
Artinya, vektor-vektor a 1, ..., a n bebas linier jika x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 jika dan hanya jika x 1 = 0, ..., x n = 0.
Definisi. Vektor a 1, ..., a n disebut bergantung secara linear, jika terdapat kombinasi nontrivial dari vektor-vektor tersebut yang sama dengan vektor nol.
Sifat-sifat vektor bergantung linier:
Untuk vektor berdimensi n.
n + 1 vektor selalu bergantung linier.
Untuk vektor 2 dan 3 dimensi.
Dua linier vektor bergantung- segaris. (Vektor collinear bergantung linear.)
Untuk vektor 3 dimensi.
Tiga vektor bergantung linier bersifat koplanar. (Tiga vektor koplanar bergantung linier.)
Contoh soal ketergantungan linier dan kemandirian linier vektor:
Contoh 1. Periksa apakah vektor a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) bebas linier .
Larutan:
Vektor-vektor akan bergantung linier, karena dimensi vektor lebih kecil dari jumlah vektor.
Contoh 2. Periksa apakah vektor a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) bebas linier.
Larutan:
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + x 3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
kurangi baris kedua dari baris pertama; tambahkan baris kedua ke baris ketiga:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Penyelesaian ini menunjukkan bahwa sistem mempunyai banyak penyelesaian yaitu terdapat kombinasi nilai bilangan x 1, x 2, x 3 yang bukan nol sehingga kombinasi linier vektor a, b, c sama dengan vektor nol, Misalnya:
SEBUAH + b + c = 0
dan ini berarti vektor a, b, c bergantung linier.
Menjawab: vektor a, b, c bergantung linier.
Contoh 3. Periksa apakah vektor a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) bebas linier.
Larutan: Mari kita cari nilai koefisien di mana kombinasi linier dari vektor-vektor ini akan sama dengan vektor nol.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Ini persamaan vektor dapat ditulis sebagai suatu sistem persamaan linear
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + 2x 3 = 0 |
Mari selesaikan sistem ini menggunakan metode Gauss
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
kurangi baris pertama dari baris kedua; kurangi baris pertama dari baris ketiga:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
kurangi baris kedua dari baris pertama; tambahkan baris kedua ke baris ketiga.
