Semua persamaan bidang yang dibahas pada paragraf berikut ini dapat diperoleh dari persamaan umum bidang, dan juga direduksi menjadi persamaan umum bidang. Jadi, ketika berbicara tentang persamaan bidang, yang mereka maksud adalah persamaan umum bidang, kecuali dinyatakan lain.

Persamaan bidang dalam segmen.

Lihat persamaan bidang , dimana a, b dan c adalah bilangan real bukan nol disebut persamaan bidang dalam segmen.

Nama ini bukan suatu kebetulan. Nilai mutlak bilangan a, b, dan c sama dengan panjang ruas-ruas yang dipotong bidang tersebut masing-masing pada sumbu koordinat Ox, Oy, dan Oz, dihitung dari titik asal. Tanda bilangan a, b dan c menunjukkan ke arah mana (positif atau negatif) segmen tersebut harus diplot pada sumbu koordinat.

Sebagai contoh, mari kita buat sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz, yang ditentukan oleh persamaan bidang dalam segmen . Caranya, tandai sebuah titik yang berjarak 5 satuan dari titik asal pada arah negatif sumbu absis, 4 satuan pada arah negatif sumbu ordinat, dan 4 satuan pada arah positif sumbu penerapan. Yang tersisa hanyalah menghubungkan titik-titik ini dengan garis lurus. Bidang segitiga yang dihasilkan adalah bidang yang bersesuaian dengan persamaan bidang dalam segmen-segmen bentuknya .

Untuk informasi lebih lengkap, lihat artikel persamaan bidang dalam segmen, yang menunjukkan pengurangan persamaan bidang dalam segmen menjadi persamaan umum bidang, dan di sana Anda juga akan menemukan solusi rinci untuk contoh dan masalah yang umum.

Persamaan bidang normal.

Persamaan umum suatu bidang bentuk disebut persamaan bidang normal, Jika sama dengan satu, yaitu , Dan .

Anda sering melihat persamaan normal sebuah bidang ditulis sebagai . Berikut adalah cosinus arah dari vektor normal suatu bidang dengan satuan panjang tertentu, yaitu p adalah bilangan non-negatif yang sama dengan jarak dari titik asal ke bidang tersebut.

Persamaan normal bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz mendefinisikan bidang yang dipindahkan dari titik asal sejauh p dalam arah positif dari vektor normal bidang tersebut . Jika p=0, maka bidang melewati titik asal.

Mari kita beri contoh persamaan bidang normal.

Biarkan bidang ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz dengan persamaan umum bentuk bidang . Persamaan umum bidang ini merupakan persamaan normal bidang. Memang, vektor normal bidang ini adalah memiliki panjang yang sama dengan satuan, karena .

Persamaan bidang dalam bentuk normal memungkinkan Anda mencari jarak dari suatu titik ke bidang.

Kami menyarankan Anda memahami jenis persamaan bidang ini secara lebih rinci, melihat solusi rinci dari contoh dan masalah umum, dan juga mempelajari cara mereduksi persamaan bidang umum ke bentuk normal. Anda dapat melakukan ini dengan merujuk pada artikel tersebut.

Bibliografi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematika yang lebih tinggi. Jilid satu: unsur aljabar linier dan geometri analitik.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.

Persamaan pesawat. Bagaimana cara menulis persamaan bidang?
Susunan pesawat yang saling menguntungkan. Tugas

Geometri spasial tidak lebih rumit daripada geometri “datar”, dan penerbangan kita di luar angkasa dimulai dengan artikel ini. Untuk menguasai suatu topik, Anda perlu memiliki pemahaman yang baik vektor, selain itu, disarankan untuk memahami geometri bidang - akan ada banyak persamaan, banyak analogi, sehingga informasi akan dicerna lebih baik. Dalam rangkaian pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan sebuah artikel Persamaan garis lurus pada bidang datar. Namun kini Batman telah meninggalkan TV layar datar dan diluncurkan dari Baikonur Cosmodrome.

Mari kita mulai dengan gambar dan simbol. Secara skematis, bidang tersebut dapat digambar dalam bentuk jajar genjang, sehingga menimbulkan kesan ruang:

Bidangnya tidak terbatas, namun kita mempunyai kesempatan untuk menggambarkannya hanya sebagian saja. Dalam praktiknya, selain jajar genjang, juga digambar oval atau bahkan awan. Untuk alasan teknis, akan lebih mudah bagi saya untuk menggambarkan pesawat dengan cara dan posisi yang persis seperti ini. Bidang nyata, yang akan kita pertimbangkan dalam contoh praktis, dapat ditempatkan dengan cara apa pun - secara mental ambil gambar di tangan Anda dan putar di ruang angkasa, berikan bidang kemiringan apa pun, sudut apa pun.

Sebutan: pesawat biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani kecil, rupanya agar tidak membingungkan mereka garis lurus pada suatu bidang atau dengan garis lurus dalam ruang. Saya sudah terbiasa menggunakan surat itu. Pada gambarnya ada huruf “sigma”, dan bukan lubang sama sekali. Meski begitu, pesawat berlubang tersebut tentu cukup lucu.

Dalam beberapa kasus, lebih mudah menggunakan huruf Yunani yang sama dengan subskrip yang lebih rendah untuk menunjuk bidang, misalnya, .

Jelaslah bahwa bidang tersebut secara unik ditentukan oleh tiga titik berbeda yang tidak terletak pada garis yang sama. Oleh karena itu, sebutan tiga huruf untuk bidang cukup populer - berdasarkan titik miliknya, misalnya, dll. Seringkali surat diapit tanda kurung: , agar tidak membingungkan bidang dengan bangun datar lainnya.

Untuk pembaca berpengalaman saya akan memberikan menu akses cepat:

• Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan satu titik dan dua vektor?
• Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

dan kami tidak akan merana dalam penantian yang lama:

Persamaan bidang umum

Persamaan umum bidang berbentuk , dimana koefisien-koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Sejumlah perhitungan teoretis dan masalah praktis berlaku baik untuk basis ortonormal biasa maupun untuk basis affine ruang (jika minyak adalah minyak, kembali ke pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor). Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa semua peristiwa terjadi dalam basis ortonormal dan sistem koordinat persegi panjang Cartesian.

Sekarang mari kita latih sedikit imajinasi spasial kita. Tidak apa-apa kalau punyamu jelek, sekarang kita kembangkan sedikit. Bahkan bermain dengan gugup membutuhkan pelatihan.

Dalam kasus yang paling umum, ketika angka-angkanya tidak sama dengan nol, bidang tersebut memotong ketiga sumbu koordinat. Misalnya seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahwa bidang itu terus bergerak ke segala arah tanpa batas waktu, dan kita hanya mempunyai kesempatan untuk menggambarkan sebagian saja.

Mari kita perhatikan persamaan bidang yang paling sederhana:

Bagaimana memahami persamaan ini? Coba pikirkan: “Z” SELALU sama dengan nol, untuk setiap nilai “X” dan “Y”. Ini adalah persamaan bidang koordinat "asli". Memang secara formal persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut: , dari sini Anda dapat melihat dengan jelas bahwa kita tidak peduli berapa nilai “x” dan “y”, yang penting “z” sama dengan nol.

Juga:
– persamaan bidang koordinat;
– persamaan bidang koordinat.

Mari kita sedikit memperumit masalahnya, pertimbangkan sebuah bidang (di sini dan selanjutnya di paragraf kita berasumsi bahwa koefisien numerik tidak sama dengan nol). Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk: . Bagaimana cara memahaminya? “X” adalah SELALU, untuk setiap nilai “y” dan “z”, sama dengan angka tertentu. Bidang ini sejajar dengan bidang koordinat. Misalnya, sebuah bidang sejajar dengan bidang dan melalui suatu titik.

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

Mari tambahkan anggota: . Persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut: , yaitu “zet” bisa apa saja. Apa artinya? “X” dan “Y” dihubungkan oleh relasi, yang menggambar garis lurus tertentu pada bidang (Anda akan mengetahuinya persamaan garis pada bidang?). Karena “z” bisa berupa apa saja, garis lurus ini “direplikasi” pada ketinggian berapa pun. Jadi, persamaan tersebut mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu koordinat

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat.

Jika suku bebasnya nol, maka bidang-bidang tersebut akan langsung melalui sumbu-sumbu yang bersesuaian. Misalnya, “proporsionalitas langsung” klasik: . Gambarlah garis lurus pada bidang dan kalikan secara mental ke atas dan ke bawah (karena “Z” adalah apa saja). Kesimpulan: bidang yang ditentukan oleh persamaan melewati sumbu koordinat.

Kami menyelesaikan ulasannya: persamaan bidang melewati titik asal. Nah, di sini cukup jelas bahwa poin tersebut memenuhi persamaan ini.

Dan terakhir, kasus yang ditunjukkan pada gambar: – bidang bersahabat dengan semua sumbu koordinat, sedangkan bidang tersebut selalu “memotong” sebuah segitiga, yang dapat ditempatkan di salah satu dari delapan oktan.

Ketimpangan linier dalam ruang

Untuk memahami informasi Anda perlu belajar dengan baik pertidaksamaan linear pada bidang tersebut, karena banyak hal akan serupa. Paragraf tersebut akan bersifat gambaran singkat dengan beberapa contoh, karena materi tersebut cukup jarang dalam praktek.

Jika persamaan mendefinisikan bidang, maka pertidaksamaannya
bertanya setengah spasi. Jika pertidaksamaannya tidak tegas (dua pertidaksamaan terakhir dalam daftar), maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut, selain setengah ruang, juga mencakup bidang itu sendiri.

Contoh 5

Temukan vektor normal satuan bidang tersebut .

Larutan: Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Mari kita nyatakan vektor ini dengan . Jelas sekali bahwa vektor-vektornya segaris:

Pertama, kita hilangkan vektor normal dari persamaan bidang: .

Bagaimana cara mencari vektor satuan? Untuk mencari vektor satuan, Anda perlu setiap membagi koordinat vektor dengan panjang vektor.

Mari kita tulis ulang vektor normal ke dalam bentuk dan temukan panjangnya:

Menurut hal di atas:

Menjawab:

Verifikasi: apa yang diperlukan untuk diverifikasi.

Pembaca yang mempelajari paragraf terakhir pelajaran dengan cermat mungkin memperhatikan hal itu koordinat vektor satuan sama persis dengan cosinus arah vektor tersebut:

Mari kita istirahat sejenak dari permasalahan yang ada: ketika Anda diberi vektor bukan nol yang berubah-ubah, dan sesuai dengan kondisi tersebut diperlukan untuk mencari cosinus arahnya (lihat soal terakhir pelajaran Produk titik dari vektor), maka Anda sebenarnya menemukan vektor satuan yang kolinear dengan vektor ini. Sebenarnya dua tugas dalam satu botol.

Kebutuhan untuk mencari vektor normal satuan muncul dalam beberapa masalah analisis matematis.

Kita telah menemukan cara untuk mendapatkan vektor normal, sekarang mari kita jawab pertanyaan sebaliknya:

Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

Konstruksi kaku dari vektor normal dan suatu titik ini diketahui dengan baik oleh papan dart. Silakan rentangkan tangan Anda ke depan dan secara mental pilih titik sembarang di ruang angkasa, misalnya, kucing kecil di bufet. Jelasnya, melalui titik ini Anda dapat menggambar satu bidang yang tegak lurus dengan tangan Anda.

Persamaan bidang yang melalui suatu titik yang tegak lurus terhadap vektor dinyatakan dengan rumus:

Setiap persamaan derajat pertama terhadap koordinat x, kamu, z

Kapak + Oleh + Cz +D = 0 (3.1)

mendefinisikan sebuah bidang, dan sebaliknya: bidang apa pun dapat direpresentasikan dengan persamaan (3.1), yang disebut persamaan bidang.

Vektor N(A, B, C) ortogonal terhadap bidang disebut vektor biasa pesawat. Pada persamaan (3.1), koefisien A, B, C tidak sama dengan 0 pada waktu yang bersamaan.

Kasus khusus persamaan (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - bidang melewati titik asal.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - bidang sejajar sumbu Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - bidang melewati sumbu Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - bidang sejajar dengan bidang Oyz.

Persamaan bidang koordinat: x = 0, y = 0, z = 0.

Garis lurus dalam ruang dapat ditentukan:

1) sebagai garis perpotongan dua bidang, yaitu. sistem persamaan:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) dengan dua titiknya M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka garis lurus yang melaluinya diberikan oleh persamaan:

= ; (3.3)

3) titik M 1 (x 1, y 1, z 1) miliknya, dan vektor A(m, n, p), segaris dengannya. Maka garis lurus ditentukan dengan persamaan:

. (3.4)

Persamaan (3.4) disebut persamaan garis kanonik.

Vektor A ditelepon vektor arah lurus.

Parametrikkita peroleh dengan menyamakan masing-masing relasi (3.4) dengan parameter t:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + p t. (3.5)

Menyelesaikan sistem (3.2) sebagai sistem persamaan linier untuk hal-hal yang tidak diketahui X Dan kamu, kita sampai pada persamaan garis masuk proyeksi atau untuk diberikan persamaan garis lurus:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Dari persamaan (3.6) kita dapat melanjutkan ke persamaan kanonik, mencari z dari setiap persamaan dan menyamakan nilai yang dihasilkan:

.

Dari persamaan umum (3.2) kita dapat beralih ke persamaan kanonik dengan cara lain, jika kita menemukan titik mana pun pada garis ini dan garis pengarahnya N= [N 1 , N 2 ], dimana N 1 (A 1, B 1, C 1) dan N 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - vektor normal dari bidang tertentu. Jika salah satu penyebutnya M N atau R pada persamaan (3.4) ternyata sama dengan nol, maka pembilang pecahan yang bersangkutan harus ditetapkan sama dengan nol, yaitu sistem

setara dengan sistem ; garis lurus tersebut tegak lurus terhadap sumbu Sapi.

Sistem ekuivalen dengan sistem x = x 1, y = y 1; garis lurus sejajar dengan sumbu Oz.

Contoh 1.15. Tuliskan persamaan bidang tersebut, dengan mengetahui bahwa titik A(1,-1,3) adalah alas garis tegak lurus yang ditarik dari titik asal ke bidang tersebut.

Larutan.Menurut kondisi masalah, vektor OA(1,-1,3) merupakan vektor normal bidang, maka persamaannya dapat dituliskan sebagai
x-y+3z+D=0. Substitusikan koordinat titik A(1,-1,3) pada bidang tersebut, kita peroleh D: 1-(-1)+3× 3+D = 0Þ D = -11. Jadi x-y+3z-11=0.

Contoh 1.16. Buatlah persamaan bidang yang melalui sumbu Oz dan membentuk sudut 60 derajat dengan bidang 2x+y-z-7=0.

Larutan.Bidang yang melalui sumbu Oz diberikan oleh persamaan Ax+By=0, dimana A dan B tidak hilang secara bersamaan. Jangan sampai B
sama dengan 0, A/Bx+y=0. Menggunakan rumus cosinus sudut antara dua bidang

.

Menyelesaikan persamaan kuadrat 3m 2 + 8m - 3 = 0, kita menemukan akar-akarnya
m 1 = 1/3, m 2 = -3, dari sini kita mendapatkan dua bidang 1/3x+y = 0 dan -3x+y = 0.

Contoh 1.17.Buatlah persamaan garis kanonik:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Larutan.Persamaan garis kanonik berbentuk:

Di mana m, n, hal- koordinat vektor pengarah garis lurus, x 1 , kamu 1 , z 1- koordinat titik mana pun yang termasuk dalam suatu garis. Garis lurus didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang. Untuk mencari titik yang termasuk dalam suatu garis, salah satu koordinatnya ditetapkan (cara termudah adalah dengan menetapkan, misalnya, x=0) dan sistem yang dihasilkan diselesaikan sebagai sistem persamaan linier dengan dua variabel yang tidak diketahui. Jadi, misalkan x=0, maka y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, maka y=-1, z=1. Kami menemukan koordinat titik M(x 1, y 1, z 1) yang termasuk dalam garis ini: M (0,-1,1). Vektor arah suatu garis lurus mudah dicari dengan mengetahui vektor-vektor normal bidang aslinya N 1 (5,1,1) dan N 2 (2,3,-2). Kemudian

Persamaan garis kanonik berbentuk: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Contoh 1.18. Pada balok yang dibatasi oleh bidang 2x-y+5z-3=0 dan x+y+2z+1=0, tentukan dua bidang tegak lurus yang salah satunya melalui titik M(1,0,1).

Larutan.Persamaan sinar yang didefinisikan oleh bidang-bidang ini berbentuk u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, di mana u dan v tidak hilang secara bersamaan. Mari kita tulis ulang persamaan balok sebagai berikut:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Untuk memilih bidang dari balok yang melewati titik M, kita substitusikan koordinat titik M ke dalam persamaan balok. Kita mendapatkan:

(2u+v) × 1 + (-u + v) × 0 + (5u + 2v) × 1 -3u + v =0, atau v = - u.

Kemudian kita cari persamaan bidang yang memuat M dengan mensubstitusikan v = - u ke dalam persamaan balok:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Karena kamu¹ 0 (jika tidak v=0, dan ini bertentangan dengan definisi balok), maka kita mempunyai persamaan bidang x-2y+3z-4=0. Bidang kedua milik balok harus tegak lurus terhadapnya. Mari kita tuliskan syarat ortogonalitas bidang:

(2u+ v) × 1 + (v - u) × (-2) + (5u +2v) × 3 = 0, atau v = - 19/5u.

Artinya persamaan bidang kedua berbentuk:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 atau 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Bagian 5. Geometri analitik.

1. Macam-macam persamaan bidang dalam ruang

2. Kasus khusus persamaan bidang umum

3. Saling letak dua bidang

4. Jarak titik ke bidang

5. Macam-macam persamaan garis dalam ruang

6. Letak relatif dua garis dalam ruang

7. Letak relatif garis lurus dan bidang dalam ruang

8. Macam-macam persamaan garis lurus pada bidang

9. Masalah pemrograman linier geometris

Macam-macam persamaan bidang dalam ruang.

Pada paragraf sebelumnya dikatakan bahwa setiap titik dalam ruang dikaitkan dengan sekumpulan angka yang terurut - koordinatnya. Wajar untuk berasumsi bahwa jika titik-titik, yang memperlihatkan pola tertentu, “berbaris” dalam bentuk garis atau permukaan tertentu, maka koordinatnya juga akan menunjukkan pola ini, yang biasanya memenuhi persamaan tertentu, yang disebut persamaan garis atau permukaan ini.

Pertama mari kita perhatikan ruang R 3 - ruang tiga dimensi nyata (tempat kita tinggal). Permukaan paling sederhana di ruang angkasa adalah bidang. Sebuah bidang dapat didefinisikan dengan berbagai cara; metode ini sesuai dengan berbagai bentuk persamaan bidang ini. Khususnya, pesawatnya sepenuhnya

Didefinisikan jika ada

M

titik M 0 terletak pada bidang ini

(itu disebut mendukung), dan beberapa

vektor yang hanya memerlukan satu hal

Gambar 1 - harus tegak lurus

pesawat. Vektor yang demikian disebut vektor biasa dan biasanya ditunjuk (lihat Gambar 1).

Menyusun persamaan suatu bidang berarti mengkarakterisasi semua titik pada bidang tersebut dengan suatu persamaan. Untuk melakukan ini, kita mengambil kumpulan poin yang tak terhitung jumlahnya ini setiap(bisa dikatakan, perwakilan dari himpunan ini) dan buatlah persamaannya (yaitu untuk koordinatnya) berdasarkan pola yang diamati. Karena intinya adalah setiap, maka persamaan ini akan berlaku untuk semua titik pada bidang tersebut.

Mari kita ambil titik M secara sembarang (lihat Gambar 1). Sekarang mari kita bentuk sebuah vektor. Sudah jelas bahwa. Mari kita gunakan kondisi tegak lurus dua vektor - hasil kali skalarnya sama dengan nol:

(1)

Persamaan (1) disebut persamaan vektor bidang. Persamaan ini berlaku dalam sistem koordinat apa pun.

Sekarang mari kita perhatikan persamaan (1) dalam sistem koordinat Cartesian. Misalkan titik M 0 mempunyai koordinat , koordinat vektor biasanya dilambangkan dengan: . Karena titik M sewenang-wenang, koordinatnya adalah: , oleh karena itu, . Maka rumus (1) akan berbentuk

kita akan menyebutnya persamaan bidang dengan titik referensi dan vektor normal. Mari kita buka tanda kurung pada persamaan (2):

Setelah dilambangkan, kita dapatkan

Persamaan (3) disebut umum persamaan bidang. Dari sini jelas bahwa setiap persamaan derajat pertama adalah sebuah bidang.

Diketahui bahwa tiga titik secara unik mendefinisikan sebuah bidang.

M 1

M

M 2 Biarkan titik M 1, M 2, M 3 terbentuk

beberapa pesawat (yaitu mereka tidak berbohong

M 3 pada satu garis lurus). Ayo menulis

persamaan bidang ini

Beras. 2 (lihat Gambar 2). Untuk melakukan ini, mari kita ambil

titik sembarang M yang terletak pada bidang dan perhatikan tiga vektor. Karena M termasuk dalam bidang tersebut, maka vektor-vektor tersebut koplanar, dan syarat koplanaritas tiga vektor adalah hasil kali campurannya sama dengan nol:

Persamaan (4) adalah persamaan vektor bidang lainnya, berlaku untuk sistem koordinat apa pun. Dalam sistem koordinat kartesius, misalkan , ; Kemudian

Dan persamaan (4) terlihat seperti ini:

X – x 1 kamu – kamu 1 z – z 1

x 2 – x 1 kamu 2 – kamu 1 z 2 – z 1 = 0 (5)

x 3 – x 1 kamu 3 – kamu 1 z 3 – z 1

Persamaan (5) disebut persamaan bidang yang melalui tiga titik.

Contoh 1. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik M 0 (1,2,-3) tegak lurus vektor

Larutan. Dengan menggunakan persamaan (2), kita memperoleh persamaan bidang

Perhatikan bahwa beberapa variabel mungkin hilang dari persamaan.

Contoh 2. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik asal tegak lurus vektor

Larutan. Mari kita gunakan persamaan (2): Perhatikan bahwa tidak ada suku bebas dalam persamaan tersebut (lebih tepatnya, suku bebas sama dengan nol).

Contoh 3. Tuliskan persamaan bidang yang melalui tiga titik A(1,1,3), B(0,2,3), C(1,5,7).

Larutan. Mari kita gunakan persamaan (5):

Mari kita hitung determinannya dengan memperluas baris pertama:

5.2. Kasus khusus persamaan bidang umum.

Mari kita ambil persamaan umum bidang tersebut dan pertimbangkan beberapa kasus khususnya.

1) D = 0, yaitu persamaan bidang mempunyai bentuk

(6)

Jelas bahwa persamaan ini selalu dipenuhi oleh titik O(0,0,0) - titik asal koordinat. Jadi, jika dalam persamaan suatu bidang suku bebasnya nol, maka bidang tersebut melalui titik asal.

2) C = 0, yaitu persamaan bidang mempunyai bentuk

(7)

Artinya vektor normal mempunyai koordinat sebagai berikut Tidak sulit untuk melihatnya - vektor normal tegak lurus terhadap vektor basis, mis. sumbu oz, karena produk skalarnya sama dengan nol: Sekarang sudah jelas,

bahwa bidang tersebut sejajar dengan sumbu oz (Gbr. 3).

Demikian pula jika B = 0, maka bidang tersebut sejajar dengan sumbu op-amp; jika A = 0, maka bidang tersebut sejajar dengan sumbu OX.

Jadi, jika dalam persamaan sebuah bidang koefisien untuk suatu bidang yang tidak diketahui sama dengan nol, maka bidang tersebut sejajar dengan sumbu koordinat yang bernama sama.

3) Misalkan dua parameter sama dengan nol - suku bebas dan satu koefisien, misalnya C = = 0. Persamaan bidang berbentuk

(8)

Dari penjelasan sebelumnya jelas bahwa C = 0 berarti bidang sejajar sumbu oz, dan = 0 berarti bidang melewati titik asal. Menggabungkan kedua pernyataan tersebut, kita menemukan bahwa bidang tersebut melewati sumbu oz.

Kesimpulan umum: jika dalam persamaan suku bebas dan koefisien suatu hal yang tidak diketahui sama dengan nol, maka bidang tersebut melewati sumbu koordinat yang bersesuaian.

4) Misalkan dua koefisien untuk hal yang tidak diketahui sama dengan nol, misalnya A = B = 0, yaitu. persamaan bidang mempunyai bentuk

. (9)

Kita perhatikan argumen sebelumnya: jika A = 0, maka bidang tersebut sejajar dengan sumbu OX; jika B = 0, maka bidang tersebut sejajar dengan sumbu op-amp, oleh karena itu jika

A = B = 0, maka bidang tersebut sejajar dengan sumbu OX dan OU, yaitu. tegak lurus terhadap sumbu

Z ОZ dan memotong segmen pada sumbu ini,

D/C sama – D/C (lihat Gambar 4).

Ini menyiratkan:

x = 0 – persamaan bidang koordinat yoz,

y = 0 – persamaan bidang koordinat xoz,

z = 0 – persamaan bidang koordinat уоz.

5.3. Posisi relatif dua bidang.

Posisi relatif dua bidang ditentukan dengan menggunakan sudut di antara keduanya (lihat Gambar 5. Secara umum, Anda dapat melihat dua sudut,

bidang mana yang terbentuk

di antara mereka sendiri - sudut dan

Sudut tambahan.

Salah satunya pedas, yang lain

tumpul (jika tegak lurus

Kedua sudut bidang tersebut berhimpitan).

Sudut antara dua bidang selalu berarti sudut lancip. Sudut ini dihitung menggunakan sudut antara vektor normal (melalui perkalian titik dari vektor normal):

(10)

Pada Gambar. 6 sudut. Namun, Anda dapat mengambil vektor tersebut sebagai vektor normal pada bidang. Maka rumus (10) akan memberikan kosinus sudut. Kosinus sudut dan hanya akan berbeda tandanya. Oleh karena itu, jika kita ingin memperoleh sudut lancip, maka pada rumus (10) hasil kali skalar harus diambil nilai absolutnya (modulo):

(11)

Rumus (11) dapat dengan mudah ditulis ulang dalam bentuk koordinat. Biarkan bidang diberikan oleh persamaan dan . Jadi, kita mempunyai dua vektor normal: Dan Dengan menggunakan rumus (11) kita memperoleh:

(12)

Sekarang tidak sulit untuk mendapatkan dua kasus ekstrim: tegak lurus dan paralelisme bidang. Jika bidang-bidang tersebut tegak lurus, maka

kondisi tegak lurus bidang. Jika bidang-bidang tersebut sejajar, maka vektor-vektor normalnya segaris: , yaitu. koordinatnya proporsional:

(14)

kondisi bidang sejajar.

Contoh 4. Tiga pesawat diberikan

Temukan sudut antara bidang-bidang ini.

Larutan. Kita mempunyai tiga vektor normal Sangat mudah untuk memperhatikan hal itu, mis. bidang-bidangnya sejajar. Mari kita cari sudut antar bidang

5.4. Jarak dari suatu titik ke bidang.

Misalkan kita perlu mencari jarak dari

poin ke pesawat.

Mari kita ambil persamaan bidang dalam bentuk

Persamaan dengan titik acuan

Dan vektor normal , yaitu

Seperti yang Anda ketahui, jaraknya sama dengan panjang garis tegak lurus (Gbr. 5). Untuk lebih jelasnya, mari kita tempatkan awal vektor pada titik . Mari kita membuat persegi panjang dan melihatnya - proyeksi vektor ke vektor normal (lihat Gambar 5).

Mari kita mengingat kembali definisi perkalian skalar vektor:

(15)

Kita kembali memperhatikan bahwa pada Gambar. 5 vektor membentuk sudut lancip dan karenanya merupakan bilangan positif. Jika vektor yang berlawanan kita ambil sebagai vektor normal (lihat Gambar 5), maka rumus (15) akan memberikan bilangan negatif, tetapi jaraknya bilangan positif, oleh karena itu untuk jarak d dari titik ke bidang, kita harus menggunakan rumus tersebut

Mari kita tuliskan rumus (16) dalam bentuk koordinat:

Sebelumnya kita melambangkan tanda kurung dengan huruf D. Oleh karena itu, kita mendapatkan rumusnya

, - (17)

untuk mencari jarak suatu titik ke bidang yang ditentukan oleh persamaan umum, koordinat titik perlu disubstitusikan ke persamaan umum bidang, dibagi dengan panjang vektor normal dan ambil modulo.

Contoh 5. Temukan jarak dari suatu titik ke pesawat.

Larutan. Mari kita gunakan rumus (17):

5.5. Macam-macam persamaan garis lurus dalam ruang.

Garis lurus dalam ruang bisa jadi

Tetapkan menggunakan titik referensi, (mis.

Titik M terletak pada garis lurus) dan vektor dari

beras. 6 di antaranya satu hal yang diperlukan - dia harus

menjadi sejajar dengan garis. Vektor yang demikian disebut panduan vektor garis lurus (lihat Gambar 6).

Untuk menyusun persamaan, kita mengambil titik sembarang M yang termasuk dalam garis tersebut, dan kita memperoleh vektornya. Vektor dan . – collinear (paralel), oleh karena itu relasinya berlaku

di mana suatu nomor. Persamaan (18) disebut persamaan vektor suatu garis. Ini akan berlaku di ruang mana pun dan tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat.

Mari kita nyatakan koordinat yang sesuai:

Maka persamaan (18) terlihat seperti: atau

Ini biasanya ditulis dalam bentuk berikut:

(19)

Persamaan (19) disebut persamaan parametrik suatu garis dalam ruang ( - parameter).

Jika kita mengecualikan parameter dari persamaan ini, kita mendapatkan:

(20)

inilah yang disebut persamaan kanonik lurus di luar angkasa. Sangat mudah untuk berpindah dari persamaan kanonik ke persamaan parametrik garis lurus - cukup dengan menyamakan semua persamaan (20) dengan parameter .

Kasus yang penting untuk latihan, ketika garis lurus ditentukan oleh dua titik, dapat dengan mudah direduksi menjadi rumus (20) - Anda hanya perlu mencatat bahwa vektor dapat diambil sebagai vektor arah, dan salah satu dari vektor tersebut dapat diambil. dianggap sebagai titik referensi. Mari kita ambil sebagai titik acuan, maka dari rumus (20) kita peroleh:

(21)

Persamaan ini disebut persamaan garis lurus, melewati dua titik.

5.6. Posisi relatif dua garis dalam ruang.

Dua garis dalam ruang bisa

berpotongan, sejajar dan

Pembastaran.

Biarkan persamaan kanonik dua garis diberikan, mis. dengan titik jangkar dan vektor arah = .

Jika itu. , maka garis-garisnya sejajar dan bahkan mungkin berhimpitan. Mari kita substitusikan koordinat titik acuan ke dalam persamaan garis lurus (atau sebaliknya). Jika suatu titik terletak pada suatu garis, maka garis-garis tersebut berimpit, jika tidak maka garis-garis tersebut sejajar.

Biarkan sekarang yaitu. vektor-vektornya tidak sejajar (tidak segaris). Kemudian garis-garis tersebut dapat berpotongan atau berpotongan. Bagaimana membedakan kasus-kasus tersebut? Ini dilakukan dengan menggunakan vektor (lihat Gambar 7). Jelas bahwa jika garis-garis tersebut berpotongan, maka vektor-vektornya berada pada bidang yang sama (lebih tepatnya sejajar dengan bidang yang sama - koplanar). Syarat koplanaritas vektor adalah hasil kali campurannya sama dengan nol:

(22)

Jadi, jika (22) terpenuhi, maka garis-garis tersebut berpotongan; jika persamaan (22) tidak terpenuhi, garis tersebut berpotongan.

Perhatikan bahwa dalam semua kasus posisi relatif garis, dimungkinkan untuk menghitung sudut antar garis. Sudut antar garis ditentukan dengan menggunakan produk skalar dari vektor arahnya:

(23)

Pembilangnya diambil modulo sehingga (seperti untuk bidang) sudutnya menjadi lancip (dalam kasus ekstrim, lurus).

Contoh 6. Cari tahu kedudukan relatif tiga garis lurus:

Larutan. Dengan menggunakan persamaan ini, kita menentukan titik acuan dan vektor arah:

Oleh karena itu, mudah untuk melihat bahwa garis-garis tersebut sejajar atau berhimpitan. Mari kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan - telah mendapatkan tidak setia oleh karena itu persamaannya paralel.

Mari kita ambil dan periksa kondisi (22):

, oleh karena itu, kawin silang.

Sekarang mari kita periksa kondisi (22) untuk

oleh karena itu, mereka berpotongan.

5.7. Posisi relatif garis lurus dan bidang dalam ruang.

Garis lurus dan bidang dalam ruang dapat berpotongan dan kemudian timbul pertanyaan tentang mencari sudut antara garis lurus dan bidang serta koordinat titik potongnya. Garis lurus dan bidang bisa sejajar; dalam kasus tertentu, garis lurus terletak pada bidang tersebut. Mari kita pertimbangkan semua kasus ini.

Sudut antara garis lurus dan bidang (lihat Gambar 8) ditentukan dengan

Menggunakan vektor normal

Vektor bidang dan arah

Garis lurus : dan vektor pengarah garis lurus yang ada pada bidang (dalam dua dimensi vektor pengarah garis lurus, M (x, y) adalah titik sembarang dari garis lurus tersebut. Jika pada persamaan (32) kami membuka tanda kurung dan menunjuk

persamaan garis yang mempunyai titik acuan dan vektor normal.

(36)

Di mana persamaan umum garis pada bidang.

Sudut antara dua garis dapat dihitung dengan cara yang biasa kita lakukan - menggunakan produk skalar dari vektor arah garis atau vektor normalnya. Jika dua garis diberikan oleh persamaan kanonik

Dan yaitu. vektor arah garis lurus, maka (lihat Gambar 10)

(37)

12.1. Konsep dasar

Permukaan dan persamaannya

Suatu permukaan dalam ruang dapat dianggap sebagai tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi suatu kondisi. Misalnya bola berjari-jari R yang berpusat di titik O 1 adalah tempat kedudukan geometri semua titik dalam ruang yang terletak pada jarak R dari titik O 1.

Sistem koordinat persegi panjang Oxyz di ruang angkasa memungkinkan kita membuat korespondensi satu-satu antara titik-titik dalam ruang dan tiga kali lipat bilangan x, y dan z - koordinatnya. Sifat persekutuan semua titik pada suatu permukaan dapat ditulis sebagai persamaan yang menghubungkan koordinat semua titik pada permukaan.

Persamaan permukaan tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz adalah persamaan F(x, y, z) = 0 dengan tiga variabel x, y dan z yang dipenuhi oleh koordinat setiap titik yang terletak di permukaan, dan bukan dipenuhi dengan koordinat titik-titik yang tidak terletak pada permukaan permukaan ini. Variabel x, y, dan z dalam persamaan permukaan disebut koordinat titik-titik permukaan saat ini.

Persamaan permukaan memungkinkan studi tentang sifat-sifat geometris suatu permukaan digantikan dengan studi tentang persamaannya. Jadi, untuk mengetahui apakah titik M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1) terletak pada suatu permukaan tertentu, cukup dengan memasukkan koordinat titik M 1 ke dalam persamaan permukaan, bukan variabel: jika koordinat ini memenuhi persamaan, maka titik terletak pada permukaan, jika tidak memenuhi maka tidak berbohong.

Persamaan bola

Mari kita cari persamaan bola berjari-jari R yang berpusat di titik O 1 (x 0 ;y 0 ;z 0). Menurut definisi bola, jarak setiap titiknya M(x; y; z) dari pusat O 1 (x 0 ;y 0 ;z 0) sama dengan jari-jari R, yaitu O 1 M= R. Tapi dimana. Karena itu,

Ini adalah persamaan bola yang diperlukan. Ia dipenuhi oleh koordinat titik mana pun dan tidak dipenuhi oleh koordinat titik yang tidak terletak pada bola tertentu.

Jika pusat bola Ο 1 berimpit dengan titik asal koordinat, maka persamaan bola berbentuk .

Jika persamaan berbentuk F(x;y;z) = 0 diberikan, maka, secara umum, persamaan tersebut mendefinisikan suatu permukaan tertentu dalam ruang.

Ungkapan “secara umum” berarti bahwa dalam beberapa kasus persamaan F(x; y; z) = 0 mungkin tidak mendefinisikan suatu permukaan, melainkan sebuah titik, garis, atau tidak mendefinisikan gambar geometris sama sekali. Mereka mengatakan “permukaannya merosot.”

Jadi, persamaan tersebut tidak dipenuhi oleh nilai riil apa pun dari x, y, z. Persamaan tersebut hanya dipenuhi oleh koordinat titik-titik yang terletak pada sumbu Ox (dari persamaan berikut: y = 0, z = 0, dan x adalah bilangan apa pun).

Jadi, suatu permukaan dalam ruang dapat didefinisikan secara geometris dan analitis. Hal ini mengarah pada perumusan dua tugas utama:

1. Suatu permukaan diberikan sebagai tempat kedudukan titik-titik. Temukan persamaan permukaan ini.

2. Diketahui persamaan F(x;y;z) = 0. Selidiki bentuk permukaan yang ditentukan oleh persamaan ini.

Persamaan garis dalam ruang

Garis dalam ruang dapat dianggap sebagai garis perpotongan dua permukaan (lihat Gambar 66) atau sebagai tempat kedudukan titik-titik yang sama pada dua permukaan.

Jika Dan - persamaan dua permukaan yang menentukan garis L, maka koordinat titik-titik garis tersebut memenuhi sistem dua persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

(12.1)

Perbandingan sistem (12.1) disebut persamaan garis dalam ruang. Misalnya, ada persamaan untuk sumbu Ox.

Garis dalam ruang dapat dianggap sebagai lintasan suatu titik (lihat Gambar 67). Dalam hal ini diberikan oleh persamaan vektor

atau persamaan parametrik

proyeksi vektor (12.2) pada sumbu koordinat.

Misalnya, persamaan parametrik heliks mempunyai bentuk

Jika titik M bergerak beraturan sepanjang generatrix silinder sirkular, dan silinder itu sendiri berputar beraturan terhadap sumbunya, maka titik M menggambarkan garis heliks (lihat Gambar 68).

12.2. Persamaan pesawat di luar angkasa

Permukaan paling sederhana adalah bidang. Bidang di ruang Oxyz dapat didefinisikan dengan berbagai cara. Masing-masing dari mereka sesuai dengan jenis persamaan tertentu.

Persamaan bidang yang melewati suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu

Misalkan bidang Q di ruang Oxyz dibatasi oleh sebuah titik dan vektor tegak lurus terhadap bidang ini (lihat Gambar 69). Mari kita turunkan persamaan bidang Q. Ambil titik sembarang di atasnya dan buatlah sebuah vektor. Untuk setiap lokasi titik M pada bidang Q, vektor-vektor dan saling tegak lurus, oleh karena itu hasil kali skalarnya sama dengan nol: , yaitu.

(12.3)

Koordinat titik mana pun pada bidang Q memenuhi persamaan (12.3); koordinat titik-titik yang tidak terletak pada bidang Q tidak memenuhi persamaan ini (untuk titik tersebut ).

Persamaan (12.3) disebut persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap vektor. Ini adalah derajat pertama relatif terhadap koordinat saat ini x, y, z. Vektor tersebut disebut vektor normal bidang.

Dengan memberikan nilai yang berbeda pada koefisien A, B dan C persamaan (12.3), kita dapat memperoleh persamaan bidang apa pun yang melalui titik tersebut. Himpunan bidang yang melalui suatu titik tertentu disebut kumpulan bidang, dan persamaan (12.3) disebut persamaan kumpulan bidang.

Persamaan bidang umum

Pertimbangkan persamaan umum tingkat pertama dengan tiga variabel x, y dan z:

Dengan asumsi setidaknya salah satu koefisien A, B, atau C tidak sama dengan nol, misalnya, kita menulis ulang persamaan (12.4) dalam bentuk

Membandingkan persamaan (12.5) dengan persamaan (12.3), kita melihat bahwa persamaan (12.4) dan (12.5) adalah persamaan bidang dengan vektor normal yang melalui titik tersebut. .

Jadi, persamaan (12.4) mendefinisikan bidang tertentu dalam sistem koordinat Oxyz. Persamaan (12.4) disebut persamaan umum bidang.

Kasus khusus persamaan bidang umum:

1. Jika D = 0, maka berbentuk . Persamaan ini terpenuhi pada intinya. Oleh karena itu, dalam hal ini pesawat melewati titik asal.

2. Jika C = 0, maka kita mempunyai persamaannya. Vektor normal tegak lurus terhadap sumbu Οz. Akibatnya, bidang tersebut sejajar dengan sumbu Οz; jika B = 0 - sejajar sumbu Oy, A = 0 - sejajar sumbu Ox.

3. Jika C = D = 0, maka bidang melewati sumbu sejajar sumbu Οz, yaitu bidang melewati sumbu Οz. Demikian pula, persamaan tersebut berhubungan dengan bidang yang masing-masing melewati sumbu Ox dan Oy.

4. Jika A = B = 0, maka persamaan (12.4) berbentuk , yaitu bidang tersebut sejajar dengan bidang Oxy. Demikian pula persamaan dan berhubungan dengan bidang yang sejajar dengan bidang Oyz dan Οxz.

5. Jika A = B = D = 0, maka persamaan (12.4) berbentuk , yaitu z = 0. Ini adalah persamaan bidang Oxy. Demikian pula: y = 0 - persamaan bidang Οxz; x = O - persamaan bidang Oyz.

Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu

Tiga titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis lurus yang sama mendefinisikan suatu bidang tunggal. Mari kita cari persamaan bidang Q yang melalui tiga titik tertentu M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) dan M 3 (x 3 , y 3 , z 3), tidak terletak pada garis lurus yang sama.

Mari kita ambil titik sembarang M(x;y;z) pada bidang dan menyusun vektor-vektornya , , . Vektor-vektor ini terletak pada bidang Q, oleh karena itu vektor-vektor tersebut koplanar. Kami menggunakan kondisi koplanaritas tiga vektor (produk campurannya sama dengan nol), kami memperoleh, mis.

(12.6)

Persamaan (12.6) adalah persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu.

Persamaan bidang dalam segmen

Biarkan pesawat memotong masing-masing segmen pada sumbu Ox, Oy dan Oz A, B Dan C, yaitu melewati tiga titik SEBUAH(sebuah;0;0), B(0;b;0) Dan C(0;0;c)(lihat Gambar 70). Substitusikan koordinat titik-titik ini ke dalam persamaan (12.6), kita peroleh

Memperluas determinannya, kita punya , yaitu atau

(12.7)

Persamaan (12.7) disebut persamaan bidang dalam segmen-segmen pada sumbunya. Lebih mudah digunakan saat membuat pesawat.

Persamaan bidang normal

Posisi bidang Q ditentukan sepenuhnya dengan menentukan vektor satuan yang arahnya tegak lurus OK, diturunkan ke

bidang dari titik asal, dan panjangnya P tegak lurus ini (lihat Gambar 71).

Biarkan OK = P, dan α, β, g adalah sudut yang dibentuk oleh vektor satuan е dengan sumbu Ox, Oy dan Οz. Kemudian . Mari kita ambil titik sembarang M(x; y; z) pada bidang dan menghubungkannya ke titik asal. Mari kita membentuk sebuah vektor. Untuk sembarang posisi titik M pada bidang Q, proyeksi vektor jari-jari ke arah vektor selalu sama dengan p :, yaitu atau

(12.8)

Persamaan (12.8) disebut persamaan normal bidang dalam bentuk vektor. Mengetahui koordinat vektor f dan e, kita menulis ulang persamaan (12.8) ke dalam bentuk

Persamaan (12.9) disebut persamaan normal bidang dalam bentuk koordinat.

Perhatikan bahwa persamaan umum bidang (12.4) dapat direduksi menjadi persamaan normal (12.9) dengan cara yang sama seperti yang dilakukan untuk persamaan garis pada bidang. Yaitu: kalikan kedua ruas persamaan (12.4) dengan faktor normalisasi , dimana tandanya diambil berlawanan dengan tanda suku bebas D persamaan umum bidang.