Что такое угол?
Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (рис. 160).
Лучи, образующие угол
, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, - вершиной угла.
На рисунке 160 сторонами угла являются лучи ОА и ОБ, а его вершиной - точка О. Этот угол обозначают так: АОВ.
При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой - названием его вершины.
Например, вместо «угол АОВ» пишут короче: «угол О».
Вместо слова «угол» пишут знак .
Например, AОВ, O.
На рисунке 161 точки С и D лежат внутри угла АОВ, точки X и У лежат вне этого угла, а точки М и Н - на сторонах угла.
Как и все геометрические фигуры, углы сравниваются с помощью наложения.
Если один угол можно наложить на другой так, что они совпадут, то эти углы равны.
Например, на рисунке 162 ABC = MNK.
Из вершины угла СОК (рис. 163) проведен луч ОР. Он разбивает угол СОК на два угла - СОР и РОК. Каждый из этих углов меньше угла СОК.
Пишут: COP < COK и POK < COK.
Прямой и развернутый угол
Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развернутого угла (рис. 164).
Часовая и минутная стрелки часов образуют в 6 ч развернутый угол (рис. 165).
Согнем два раза пополам лист бумаги, а потом развернем его (рис. 166).
Линии сгиба образуют 4 равных угла. Каждый из этих углов равен половине развернутого угла. Такие углы называют прямыми.
Прямым углом называют половину развернутого угла.
Чертежный треугольник
Для построения прямого угла пользуются чертежным треугольником (рис. 167). Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч ОЛ, надо:
а) расположить чертежный треугольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;
б) провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.
В результате получим прямой угол АОВ.
Вопросы к теме
1.Что такое угол?
2.Какой угол называют развернутым?
3.Какие углы называют равными?
4.Какой угол называют прямым?
5.Как строят прямой угол с помощью чертежного треугольника?
Нам с вами уже известно, что любой угол делит плоскость на две части. Но, в случае, если у угла его обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым. То есть, у развернутого угла одна его сторона является продолжением его другой стороны угла.
Теперь давайте посмотрим на рисунок, на котором как раз и изображен развернутый угол О.
Если мы возьмем и проведем из вершины развернутого угла луч, то он разделит данный развернутый угол еще на два угла, которые будут иметь одну общую сторону, а другие два угла будут составлять прямую. То есть, с одного развернутого угла мы получили два смежных.
Если мы возьмем развернутый угол и проведем биссектрису, то эта биссектриса разделит развернутый угол на два прямых угла.
А, в том случае, если мы из вершины развернутого угла проведем произвольный луч, который не является биссектрисой, то такой луч разделит развернутый угол на два угла, один из которых будет острым, а другой тупым.
Свойства развернутого угла
Развернутый угол обладает такими свойствами:
Во-первых, стороны развёрнутого угла являются антипараллельными и образуют прямую;
во-вторых, развернутый угол равен 180°;
в-третьих, два смежных угла образуют развернутый угол;
в-четвертых, развернутый угол составляет половину полного угла;
в-пятых, полный угол будет равен сумме двух развёрнутых углов;
в-шестых, половина развернутого угла составляет прямой угол.
Измерение углов
Чтобы измерить любой угол, для этих целей чаще всего используют транспортир, у которого единица измерения равна одному градусу. При измерении углов следует помнить, что любой угол имеет свою определенную градусную меру и естественно эта мера больше нуля. А развернутый угол, как нам уже известно, равен 180 градусам.
То есть, если мы с вами возьмем любую плоскость круга и разделим ее радиусами на 360 равных частей, то 1/360 часть данного круга будет являться угловым градусом. Как вы уже знаете, что градус обозначается определенным значком, который имеет такой вид: « ° ».
Теперь мы также знаем, что один градус 1° = 1/360 части круга. Если угол равен плоскости круга и составляет 360 градусов, то такой угол является полным.
А теперь мы возьмем, и плоскость круга поделим с помощью двух радиусов, лежащих на одной прямой линии, на две равные части. То в этом случае, плоскость полукруга составит половину полного угла, то есть 360: 2 = 180°. Мы с вами получили угол, который равен полуплоскости круга и имеет 180°. Это и есть развернутый угол.
Практическое задание
1613. Назовите углы, изображенные на рисунке 168. Запишите их обозначения.
1614. Начертите четыре луча: ОА, ОВ, ОС и OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи. На сколько частей эти лучи делят плоскость ?
1615. Укажите, какие точки на рисунке 169 лежат внутри угла КОМ, Какие точки лежат вне этого угла? Какие точки лежат на стороне OK, a какие - на стороне ОМ?
1616. Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD.
1617. Минутная стрелка за 10 мин повернулась на угол АОВ, за следующие 10 мин - на угол ВОС, а еще за 15 мин - на угол COD. Сравните углы АОВ и ВОС, ВОС и COD, АОС и АОВ, АОС и COD (рис. 170).
1618. Изобразите с помощью чертежного треугольника 4 прямых угла в разных положениях.
1619. С помощью чертежного треугольника найдите на рисунке 171 прямые углы. Запишите их обозначения.
1620. Укажите прямые углы в классной комнате.
а) 0,09 200; б) 208 0,4; в) 130 0,1 + 80 0,1.
1629. Сколько процентов от 400 составляет число 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?
1630. Найдите пропущенное число:
а) 2 5 3 б) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?
1631. Начертите квадрат, сторона которого равна длине 10 клеток тетради. Пусть этот квадрат изображает поле. Рожь занимает 12% поля, овес - 8%, пшеница - 64%, а остальная часть поля занята гречихой. Покажите на рисунке часть поля, занятую каждой культурой. Сколько процентов поля занимает гречиха?
1632. За учебный год Петя израсходовал 40% купленных в начале года тетрадей, и у него осталось 30 тетрадей. Сколько тетрадей было куплено для Пети в начале учебного года?
1633. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?
1634. Построенный в древности Александрийский маяк, который называли одним из семи чудес света, выше башен Московского Кремля в 1,7 раза, но ниже здания Московского университета на 119 м. Найдите высоту каждого из этих сооружений, если башни Московского Кремля на 49 м ниже Александрийского маяка.
1635. Найдите с помощью микрокалькулятора:
а) 4,5% от 168; в) 28,3% от 569,8;
б) 147,6% от 2500; г) 0,09% от 456 800.
1636. Решите задачу:
1) Площадь огорода 6,4 а. В первый день вскопали 30% огорода, а во второй день - 35% огорода. Сколько аров осталось еще вскопать?
2) У Сережи было 4,8 ч свободного времени. 35% этого времени он потратил на чтение книги, а 40% на просмотр передач по телевизору. Сколько времени у него еще осталось?
1637. Выполните действия:
1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).
1638. Начертите угол ВАС и отметьте по одной точке внутри угла, вне угла и на сторонах угла.
1639. Какие из отмеченных на рисунке 172 точек лежат внутри угла АМК.Какая точка лежит внутри угла АМВ> но вне угла АМК.Какие точки лежат на сторонах угла АМК?
1640. Найдите с помощью чертежного треугольника прямые углы на рисунке 173.
1641. Постройте квадрат со стороной 43 мм. Вычислите его периметр и площадь.
1642. Найдите значение выражения:
а) 14,791: а + 160,961: b, если а = 100, b = 10;
б) 361,62с + 1848: d, если с = 100, d =100.
1643. Рабочий должен был изготовить 450 деталей. В первый день он изготовил 60% деталей, а остальные - во второй. Сколько деталей изготовил рабочий во второй день?
1644. В библиотеке было 8000 книг. Через год число их увеличилось на 2000 книг. На сколько процентов увеличилось число книг в библиотеке?
1645. Грузовики в первый день проехали 24% намеченного пути, во второй день - 46% пути, а в третий - остальные 450 км. Сколько километров проехали эти грузовики?
1646. Найдите, сколько составляют:
а) 1% от тонны; в) 5% от 7 т;
б) 1% от литра; г) 6% от 80 км.
1647. Масса детеныша моржа в 9 раз меньше массы взрослого моржа. Какова масса взрослого моржа, если вместе с детенышем их масса равна 0,9 т?
1648. Во время маневров командир оставил 0,3 всех своих солдат охранять переправу, а остальных разделил на 2 отряда для обороны двух высот. В первом отряде было в 6 раз больше солдат, чем во втором. Сколько солдат было в первом отряде, если всего было 200 солдат?
Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений
Он встал и уселся на краю постели, спиной к окну. «Лучше уж совсем не спать», – решился он. От окна было, впрочем, холодно и сыро; не вставая с места, он натащил на себя одеяло и закутался в него. Свечи он не зажигал. Он ни о чем не думал, да и не хотел думать; но грезы вставали одна за другою, мелькали отрывки мыслей, без начала и конца и без связи. Как будто он впадал в полудремоту. Холод ли, мрак ли, сырость ли, ветер ли, завывавший под окном и качавший деревья, вызвали в нем какую-то упорную фантастическую наклонность и желание, – но ему все стали представляться цветы. Ему вообразился прелестный пейзаж, светлый, теплый, почти жаркий день, праздничный день, троицын день. Богатый, роскошный деревенский коттедж в английском вкусе, весь обросший душистыми клумбами цветов, обсаженный грядами, идущими кругом всего дома; крыльцо, увитое вьющимися растениями, заставленное грядами роз; светлая, прохладная лестница, устланная роскошным ковром, обставленная редкими цветами в китайских банках. Он особенно заметил в банках с водой, на окнах, букеты белых и нежных нарцизов, склоняющихся на своих ярко-зеленых, тучных и длинных стеблях с сильным ароматным запахом. Ему даже отойти от них не хотелось, но он поднялся по лестнице и вошел в большую, высокую залу, и опять и тут везде, у окон, около растворенных дверей на террасу, на самой террасе, везде были цветы. Полы были усыпаны свежею накошенною душистою травой, окна были отворены, свежий, легкий, прохладный воздух проникал в комнату, птички чирикали под окнами, а посреди залы, на покрытых белыми атласными пеленами столах, стоял гроб. Этот гроб был обит белым гроденаплем и обшит белым густым рюшем. Гирлянды цветов обвивали его со всех сторон. Вся в цветах лежала в нем девочка, в белом тюлевом платье, со сложенными и прижатыми на груди, точно выточенными из мрамора, руками. Но распущенные волосы ее, волосы светлой блондинки, были мокры; венок из роз обвивал ее голову. Строгий и уже окостенелый профиль ее лица был тоже как бы выточен из мрамора, но улыбка на бледных губах ее была полна какой-то недетской, беспредельной скорби и великой жалобы. Свидригайлов знал эту девочку; ни образа, ни зажженных свечей не было у этого гроба и не слышно было молитв. Эта девочка была самоубийца – утопленница. Ей было только четырнадцать лет, но это было уже разбитое сердце, и оно погубило себя, оскорбленное обидой, ужаснувшею и удивившею это молодое детское сознание, залившею незаслуженным стыдом ее ангельски чистую душу и вырвавшею последний крик отчаяния, не услышанный, а нагло поруганный в темную ночь, во мраке, в холоде, в сырую оттепель, когда выл ветер…
Свидригайлов очнулся, встал с постели и шагнул к окну. Он ощупью нашел задвижку и отворил окно. Ветер хлынул неистово в его тесную каморку и как бы морозным инеем облепил ему лицо и прикрытую одною рубашкой грудь. Под окном, должно быть, действительно было что-то вроде сада и, кажется, тоже увеселительного; вероятно, днем здесь тоже певали песенники и выносился на столики чай. Теперь же с деревьев и кустов летели в окно брызги, было темно, как в погребе, так что едва-едва можно было различить только какие-то темные пятна, обозначавшие предметы. Свидригайлов, нагнувшись и опираясь локтями на подоконник, смотрел уже минут пять, не отрываясь, в эту мглу. Среди мрака и ночи раздался пушечный выстрел, за ним другой.
«А, сигнал! Вода прибывает, – подумал он, – к утру хлынет, там, где пониже место, на улицы, зальет подвалы и погреба, всплывут подвальные крысы, и среди дождя и ветра люди начнут, ругаясь, мокрые, перетаскивать свой сор в верхние этажи… А который-то теперь час?» И только что подумал он это, где-то близко, тикая и как бы торопясь изо всей мочи, стенные часы пробили три. «Эге, да через час уже будет светать! Чего дожидаться? Выйду сейчас, пойду прямо на Петровский: там где-нибудь выберу большой куст, весь облитый дождем, так что чуть-чуть плечом задеть, и миллионы брызг обдадут всю голову…» Он отошел от окна, запер его, зажег свечу, натянул на себя жилетку, пальто, надел шляпу и вышел со свечой в коридор, чтоб отыскать где-нибудь спавшего в каморке между всяким хламом и свечными огарками оборванца, расплатиться с ним за нумер и выйти из гостиницы. «Самая лучшая минута, нельзя лучше и выбрать!»
Он долго ходил по всему длинному и узкому коридору, не находя никого, и хотел уже громко кликнуть, как вдруг в темном углу, между старым шкафом и дверью, разглядел какой-то странный предмет, что-то будто бы живое. Он нагнулся со свечой и увидел ребенка – девочку лет пяти, не более, в измокшем, как поломойная тряпка, платьишке, дрожавшую и плакавшую. Она как будто и не испугалась Свидригайлова, но смотрела на него с тупым удивлением своими большими черными глазенками и изредка всхлипывала, как дети, которые долго плакали, но уже перестали и даже утешились, а между тем нет-нет и вдруг опять всхлипнут. Личико девочки было бледное и изнуренное; она окостенела от холода, но «как же она попала сюда? Значит, она здесь спряталась и не спала всю ночь». Он стал ее расспрашивать. Девочка вдруг оживилась и быстро-быстро залепетала ему что-то на своем детском языке. Тут было что-то про «мамасю» и что «мамася плибьет», про какую-то чашку, которую «лязбиля» (разбила). Девочка говорила не умолкая; кое-как можно было угадать из всех этих рассказов, что это нелюбимый ребенок, которого мать, какая-нибудь вечно пьяная кухарка, вероятно из здешней же гостиницы, заколотила и запугала; что девочка разбила мамашину чашку и что до того испугалась, что сбежала еще с вечера; долго, вероятно, скрывалась где-нибудь на дворе, под дождем, наконец пробралась сюда, спряталась за шкафом и просидела здесь в углу всю ночь, плача, дрожа от сырости, от темноты и от страха, что ее теперь больно за все это прибьют. Он взял ее на руки, пошел к себе в нумер, посадил на кровать и стал раздевать. Дырявые башмачонки ее, на босу ногу, были так мокры, как будто всю ночь пролежали в луже. Раздев, он положил ее на постель, накрыл и закутал совсем с головой в одеяло. Она тотчас заснула. Кончив все, он опять угрюмо задумался.
«Вот еще вздумал связаться! – решил он вдруг с тяжелым и злобным ощущением. – Какой вздор!» В досаде взял он свечу, чтоб идти и отыскать во что бы то ни стало оборванца и поскорее уйти отсюда. «Эх, девчонка!» – подумал он с проклятием, уже растворяя дверь, но вернулся еще раз посмотреть на девочку, спит ли она и как она спит? Он осторожно приподнял одеяло. Девочка спала крепким и блаженным сном. Она согрелась под одеялом, и краска уже разлилась по ее бледным щечкам. Но странно: эта краска обозначалась как бы ярче и сильнее, чем мог быть обыкновенный детский румянец. «Это лихорадочный румянец», – подумал Свидригайлов, это – точно румянец от вина, точно как будто ей дали выпить целый стакан. Алые губки точно горят, пышут, но что это? Ему вдруг показалось, что длинные черные ресницы ее как будто вздрагивают и мигают, как бы приподнимаются и из-под них выглядывает лукавый, острый, какой-то недетски подмигивающий глазок, точно девочка не спит и притворяется. Да, так и есть: ее губки раздвигаются в улыбку; кончики губок вздрагивают, как бы еще сдерживаясь. Но вот уже она совсем перестала сдерживаться; это уже смех, явный смех; что-то нахальное, вызывающее светится в этом совсем не детском лице; это разврат, это лицо камелии, нахальное лицо продажной камелии из француженок. Вот, уже совсем не таясь, открываются оба глаза: они обводят его огненным и бесстыдным взглядом, они зовут его, смеются… Что-то бесконечно безобразное и оскорбительное было в этом смехе, в этих глазах, во всей этой мерзости в лице ребенка. «Как! пятилетняя! – прошептал в настоящем ужасе Свидригайлов, – это… что ж это такое?» Но вот она уже совсем поворачивается к нему всем пылающим личиком, простирает руки… «А, проклятая!» – вскричал в ужасе Свидригайлов, занося над ней руку… Но в ту же минуту проснулся.
Он на той же постели, так же закутанный в одеяло; свеча не зажжена, а уж в окнах белеет полный день.
«Кошмар во всю ночь!» Он злобно приподнялся, чувствуя, что весь разбит; кости его болели. На дворе совершенно густой туман и ничего разглядеть нельзя. Час пятый в исходе; проспал! Он встал и надел свою жакетку и пальто, еще сырые. Нащупав в кармане револьвер, он вынул его и поправил капсюль; потом сел, вынул из кармана записную книжку и на заглавном, самом заметном листке написал крупно несколько строк. Перечитав их, он задумался, облокотясь на стол. Револьвер и записная книжка лежали тут же, у локтя. Проснувшиеся мухи лепились на нетронутую порцию телятины, стоявшую тут же на столе. Он долго смотрел на них и наконец свободною правою рукой начал ловить одну муху. Долго истощался он в усилиях, но никак не мог поймать. Наконец, поймав себя на этом интересном занятии, очнулся, вздрогнул, встал и решительно пошел из комнаты. Через минуту он был на улице.
Молочный, густой туман лежал над городом. Свидригайлов пошел по скользкой, грязной деревянной мостовой, по направлению к Малой Неве. Ему мерещились высоко поднявшаяся за ночь вода Малой Невы, Петровский остров, мокрые дорожки, мокрая трава, мокрые деревья и кусты и, наконец, тот самый куст… С досадой стал он рассматривать дома, чтобы думать о чем-нибудь другом. Ни прохожего, ни извозчика не встречалось по проспекту. Уныло и грязно смотрели ярко-желтые деревянные домики с закрытыми ставнями. Холод и сырость прохватывали все его тело, и его стало знобить. Изредка он натыкался на лавочные и овощные вывески и каждую тщательно прочитывал. Вот уже кончилась деревянная мостовая. Он уже поравнялся с большим каменным домом. Грязная, издрогшая собачонка, с поджатым хвостом, перебежала ему дорогу. Какой-то мертво-пьяный в шинели, лицом вниз, лежал поперек тротуара. Он поглядел на него и пошел далее. Высокая каланча мелькнула ему влево. «Ба! – подумал он, – да вот и место, зачем на Петровский? По крайней мере при официальном свидетеле…» Он чуть не усмехнулся этой новой мысли и поворотил в – скую улицу. Тут-то стоял большой дом с каланчой. У запертых больших ворот дома стоял, прислонясь к ним плечом, небольшой человечек, закутанный в серое солдатское пальто и в медной ахиллесовской каске. Дремлющим взглядом, холодно покосился он на подошедшего Свидригайлова. На лице его виднелась та вековечная брюзгливая скорбь, которая так кисло отпечаталась на всех без исключения лицах еврейского племени. Оба они, Свидригайлов и Ахиллес, несколько времени, молча, рассматривали один другого. Ахиллесу, наконец, показалось непорядком, что человек не пьян, а стоит перед ним в трех шагах, глядит в упор и ничего не говорит.
– А-зе, сто-зе вам и здеся на-а-до? – проговорил он, все еще не шевелясь и не изменяя своего положения.
– Да ничего, брат, здравствуй! – ответил Свидригайлов.
– Здеся не места.
– Я, брат, еду в чужие краи.
– В чужие краи?
– В Америку.
– В Америку?
Свидригайлов вынул револьвер и взвел курок. Ахиллес приподнял брови.
– А-зе, сто-зе, эти сутки (шутки) здеся не места!
– Да почему же бы и не место?
– А потому-зе, сто не места.
