И т.д. носит общеобразовательный характер и имеет большое значение для изучения ВСЕГО курса высшей математики. Сегодня мы повторим «школьные» уравнения, но не просто «школьные» – а те из них, которые повсеместно встречаются в различных задачах вышмата. Как обычно, повествование пойдёт в прикладном ключе, т.е. я не буду заострять внимание на определениях, классификациях, а поделюсь с вами именно личным опытом решения. Информация предназначена, прежде всего, для начинающих, но и более подготовленные читатели тоже найдут для себя немало интересных моментов. И, конечно же, будет новый материал, выходящий за рамки средней школы.
Итак, уравнение…. Многие с содроганием вспоминают это слово. Чего только стОят «навороченные» уравнения с корнями... …забудьте о них! Потому что дальше вам будут встречаться самые безобидные «представители» этого вида. Или занудные тригонометрические уравнения с десятками методов решения. Если честно, я и сам их не особо любил…. Без паники! – далее вас ожидают преимущественно «одуванчики» с очевидным решением в 1-2 шага. Хотя и «репейник», безусловно, цепляется – здесь нужно быть объективным.
Как ни странно, в высшей математике гораздо чаще приходится иметь дело с совсем примитивными уравнениями наподобие линейного уравнения .
Что значит решить это уравнение? Это значит – найти ТАКОЕ значение «икс» (корень), которое обращает его в верное равенство. Перебросим «тройку» направо со сменой знака:
и сбросим «двойку» в правую часть (или, то же самое – умножим обе части на
)
:
Для проверки подставим завоёванный трофей в исходное уравнение :
Получено верное равенство, значит, найденное значение действительно является корнем данного уравнения. Или, как ещё говорят, удовлетворяет данному уравнению.
Обратите внимание, что корень можно записать и в виде десятичной дроби:
И постарайтесь не придерживаться этого скверного стиля! Причину я повторял неоднократно, в частности, на первом же уроке по высшей алгебре
.
Кстати, уравнение можно решить и «по-арабски»:
И что самое интересное – данная запись полностью легальна! Но если Вы не преподаватель, то так лучше не делать, ибо оригинальность здесь наказуема =)
А теперь немного о
графическом методе решения
Уравнение имеет вид и его корень – есть «иксовая» координата
точки пересечения
графика линейной функции
с графиком линейной функции (осью абсцисс)
:
Казалось бы, пример настолько элементарен, что разбирать тут больше нечего, однако из него можно «выжать» ещё один неожиданный нюанс: представим то же самое уравнение в виде и построим графики функций :
При этом, пожалуйста, не путайте два понятия
: уравнение – это уравнение, а функция
– это функция! Функции лишь помогают
найти корни уравнения. Коих может быть два, три, четыре и даже бесконечно много. Ближайшим примером в этом смысле является всем известно квадратное уравнение
, алгоритм решения которого удостоился отдельного пункта «горячих» школьных формул
. И это не случайно! Если вы умеете решать квадратное уравнение и знаете теорему Пифагора
, то, можно сказать, «пол высшей математики уже в кармане» =) Преувеличено, конечно, но и не так далеко от истины!
А поэтому не поленимся и прорешаем какое-нибудь квадратное уравнение по стандартному алгоритму
:
, значит, уравнение имеет два различных действительных
корня:
Легко убедиться, что оба найденных значения действительно удовлетворяют данному уравнению:
Что делать, если вы вдруг позабыли алгоритм решения, и под рукой нет средств/рук помощи? Такая ситуация может возникнуть, например, на зачёте или экзамене. Используем графический метод! И тут есть два пути: можно поточечно построить
параболу 
, выяснив тем самым, где она пересекает ось (если пересекает вообще)
. Но лучше поступить хитрее: представим уравнение в виде , начертим графики более простых функций – и «иксовые» координаты
их точек пересечения, как на ладони!
Если окажется, что прямая касается параболы, то уравнение имеет два совпавших (кратных) корня. Если окажется, что прямая не пересекает параболу, значит, действительных корней нет.
Для этого, конечно, нужно уметь строить графики элементарных функций , но с другой стороны эти умения по силам даже школьнику.
И вновь – уравнение – это уравнение, а функции , – это функции, которые лишь помогли решить уравнение!
И тут, кстати, уместно будет вспомнить ещё одну вещь: если все коэффициенты уравнения умножить на ненулевое число, то его корни не изменятся .
Так, например, уравнение 
имеет те же самые корни. В качестве простейшего «доказательства» вынесу константу за скобки:
и безболезненно её уберу (разделю обе части на «минус два»)
:
НО!
Если мы рассматриваем функцию 
, то здесь уже избавляться от константы нельзя! Допустимо разве что вынесение множителя за скобки: 
.
Многие недооценивают графический метод решения, считая его чем-то «несолидным», а некоторые и вовсе забывают о такой возможности. И это в корне ошибочно, поскольку построение графиков иногда просто спасает ситуацию!
Ещё один пример: предположим, вы не помните корни простейшего тригонометрического уравнения: . Общая формула есть в школьных учебниках, во всех справочниках по элементарной математике, но они вам недоступны. Однако решить уравнение критически важно (иначе «двойка»). Выход есть! – строим графики функций :
после чего спокойненько записываем «иксовые» координаты их точек пересечения:
Корней бесконечно много и в алгебре принята их свёрнутая запись:
, где ( – множество целых чисел
)
.
И, не «отходя от кассы», пару слов о графическом методе решения неравенств с одной переменной. Принцип такой же. Так, например, решением неравенства является любое «икс», т.к. синусоида почти полностью лежит под прямой . Решением неравенства является множество промежутков, на которых куски синусоиды лежат строго выше прямой (оси абсцисс)
:
или, если короче:
А вот множество решений неравенства – пусто , поскольку никакая точка синусоиды не лежит выше прямой .
Что-нибудь не понятно? Срочно штудировать уроки о множествах и графиках функций !
Разминаемся:
Задание 1
Решить графически следующие тригонометрические уравнения:
Ответы в конце урока
Как видите, для изучения точных наук совсем не обязательно зубрить формулы и справочники! И более того, это принципиально порочный подход.
Как я уже обнадёжил вас в самом начале урока, сложные тригонометрические уравнения в стандартном курсе высшей математики приходится решать крайне редко. Вся сложность, как правило, заканчивается уравнениями вроде , решением которого являются две группы корней, происходящие от простейших уравнений и 
. С решением последнего сильно не парьтесь – посмотрите в книжке или найдите в Интернете =)
Графический метод решения может выручить и в менее тривиальных случаях. Рассмотрим, например, следующее «разношёрстное» уравнение:
Перспективы его решения выглядят... вообще никак не выглядят, однако стОит только представить уравнение в виде , построить графики функций и всё окажется невероятно просто. Чертёж есть в середине статьи о бесконечно малых функциях (откроется на соседней вкладке) .
Тем же графическим методом можно выяснить, что уравнение имеет уже два корня, причём один из них равен нулю, а другой, судя по всему, иррационален и принадлежит отрезку . Данный корень можно вычислить приближённо, например, методом касательных . Кстати, в некоторых задачах, бывает, требуется не отыскать корни, а выяснить, есть ли они вообще . И здесь тоже может помочь чертёж – если графики не пересекаются, то корней нет.
Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
Схема Горнера
А теперь я предлагаю вам обернуть свой взор в средние века и прочувствовать неповторимую атмосферу классической алгебры. Для лучшего понимания материала рекомендую хоть чуть-чуть ознакомиться с комплексными числами .
Они самые. Многочлены.
Объектом нашего интереса будут наиболее распространённые многочлены вида с целыми коэффициентами . Натуральное число называют степенью многочлена , число – коэффициентом при старшей степени (или просто старшим коэффициентом) , а коэффициент – свободным членом .
Данный многочлен я буду свёрнуто обозначать через .
Корнями многочлена
называют корни уравнения
Обожаю железную логику =)
За примерами сходим в самое начало статьи:
С нахождением корней многочленов 1-й и 2-й степеней нет никаких проблем, но по мере увеличения эта задача становится всё труднее и труднее. Хотя с другой стороны – всё интереснее! И как раз этому будет посвящена вторая часть урока.
Сначала буквально пол экрана теории:
1) Согласно следствию основной теоремы алгебры , многочлен степени имеет ровно комплексных корней. Некоторые корни (или даже все) могут быть в частности действительными . При этом среди действительных корней могут встретиться одинаковые (кратные) корни (минимум два, максимум штук) .
Если некоторое комплексное число является корнем многочлена, то и сопряжённое ему число – тоже обязательно корень данного многочлена (сопряжённые комплексные корни имеют вид ) .
Простейший пример – квадратное уравнение, которое впервые встретилось в8 (вроде) классе, и которое мы окончательно «добили» в теме комплексных чисел . Напоминаю: квадратное уравнение имеет либо два различных действительных корня, либо кратные корни, либо сопряжённые комплексные корни.
2) Из теоремы Безу
следует, что если число является корнем уравнения , то соответствующий многочлен можно разложить на множители:
, где – многочлен степени .
И опять же, наш старый пример: поскольку – корень уравнения , то . После чего нетрудно получить хорошо знакомое «школьное» разложение .
Следствие теоремы Безу имеет большую практическую ценность: если мы знаем корень уравнения 3-й степени , то можем представить его в виде 
и из квадратного уравнения легко узнать остальные корни. Если нам известен корень уравнения 4-й степени , то есть возможность разложить левую часть в произведение и т.д.
И вопроса здесь два:
Вопрос первый . Как найти этот самый корень ? Прежде всего, давайте определимся с его природой: во многих задачах высшей математики требуется отыскать рациональные , в частности целые корни многочленов, и в этой связи далее нас будут интересовать преимущественно они…. …они такие хорошие, такие пушистые, что их прямо так и хочется найти! =)
Первое, что напрашивается – метод подбора. Рассмотрим, например, уравнение . Загвоздка здесь в свободном члене – вот если бы он равнялся нулю, то всё было бы в ажуре – выносим «икс» за скобки и корни сами «вываливаются» на поверхность:
Но у нас свободный член равен «тройке», и поэтому мы начинаем подставлять в уравнение различные числа, претендующие на звание «корень». Прежде всего, напрашивается подстановка единичных значений. Подставим :
Получено неверное
равенство, таким образом, единица «не подошла». Ну да ладно, подставляем :
Получено верное
равенство! То есть, значение является корнем данного уравнения.
Для отыскания корней многочлена 3-й степени существуют аналитический метод (так называемые формулы Кардано) , но сейчас нас интересует несколько другая задача.
Поскольку – есть корень нашего многочлена, то многочлен можно представить в виде и возникает Второй вопрос : как отыскать «младшего собрата» ?
Простейшие алгебраические соображения подсказывают, что для этого нужно разделить на . Как разделить многочлен на многочлен? Тем же школьным методом, которым делят обычные числа – «столбиком»! Данный способ я подробнейшим образом разобрал в первых примерах урока Сложные пределы , и сейчас мы рассмотрим другой способ, который получил название схема Горнера .
Сначала запишем «старший» многочлен со всеми
, в том числе нулевыми коэффициентами
:
, после чего занесём эти коэффициенты (строго по порядку) в верхнюю строку таблицы:
Слева записываем корень :
Сразу же оговорюсь, что схема Горнера работает и в том случае, если «красное» число не является корнем многочлена. Однако не будем торопить события.
Сносим сверху старший коэффициент:
Процесс заполнения нижних ячеек чем-то напоминает вышивание, где «минус единица» – это своеобразная «игла», которая пронизывает последующие шаги. «Снесённое» число умножаем на (–1) и прибавляем к произведению число из верхней ячейки:
Найденное значение умножаем на «красную иглу» и к произведению прибавляем следующий коэффициент уравнения:
И, наконец, полученное значение снова «обрабатываем» «иглой» и верхним коэффициентом:
Ноль в последней ячейке говорит нам о том, что многочлен разделился на без остатка
(как оно и должно быть)
, при этом коэффициенты разложения «снимаются» прямо из нижней строки таблицы:
Таким образом, от уравнения мы перешли к равносильному уравнению и с двумя оставшимися корнями всё ясно (в данном случае получаются сопряжённые комплексные корни) .
Уравнение , к слову, можно решить и графически: построить «молнию»
и увидеть, что график пересекает ось абсцисс ()
в точке . Или тот же «хитрый» приём – переписываем уравнение в виде , чертим элементарные графики и детектируем «иксовую» координату их точки пересечения.
Кстати, график любой функции-многочлена 3-й степени пересекает ось хотя бы один раз, а значит, соответствующее уравнение имеет по меньшей мере один действительный корень. Данный факт справедлив для любой функции-многочлена нечётной степени.
И тут ещё хочется остановиться на важном моменте , который касается терминологии: многочлен и функция-многочлен – это не одно и то же ! Но на практике частенько говорят, например, о «графике многочлена», что, конечно, небрежность.
Однако вернёмся к схеме Горнера. Как я недавно упомянул, эта схема работает и для других чисел, но если число не
является корнем уравнения , то в нашей формуле появляется ненулевая добавка (остаток):
«Прогоним» по схеме Горнера «неудачное» значение . При этом удобно использовать ту же таблицу – записываем слева новую «иглу», сносим сверху старший коэффициент (левая зелёная стрелка)
, и понеслось:
Для проверки раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК.
Легко заметить, что остаток («шестёрка») – это в точности значение многочлена при . И в самом деле – что так:
, а ещё приятнее – вот так:
Из приведённых выкладок нетрудно понять, что схема Горнера позволяет не только разложить многочлен на множители, но и осуществить «цивилизованный» подбор корня. Предлагаю вам самостоятельно закрепить алгоритм вычислений небольшой задачей:
Задание 2
Используя схему Горнера, найти целый корень уравнения и разложить соответствующий многочлен на множители
Иными словами, здесь нужно последовательно проверять числа 1, –1, 2, –2, … – до тех пор, пока в последнем столбце не «нарисуется» нулевой остаток. Это будет означать, что «игла» данной строки – есть корень многочлена
Вычисления удобно оформить в единой таблице. Подробное решение и ответ в конце урока.
Способ подбора корней хорош для относительно простых случаев, но если коэффициенты и/или степень многочлена велики, то процесс может затянуться. А может быть какие-то значения из того же списка 1, –1, 2, –2 и рассматривать-то смысла нет? И, кроме того, корни ведь могут оказаться и дробными, что приведёт к уж совсем не научному тыку.
К счастью, существуют две мощные теоремы, которые позволяют значительно сократить перебор значений-«кандидатов» в рациональные корни:
Теорема 1 Рассмотрим несократимую дробь , где . Если число является корнем уравнения , то свободный член делится на , а старший коэффициент – на .
В частности , если старший коэффициент , то этот рациональный корень – целый:
И мы начинаем эксплуатировать теорему как раз с этой вкусной частности:
Вернёмся к уравнению . Так как его старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть исключительно целыми, причём свободный член должен обязательно делиться на эти корни без остатка. А «тройку» можно разделить только на 1, –1, 3 и –3. То есть у нас всего лишь 4 «кандидата в корни». И, согласно Теореме 1 , другие рациональные числа не могут быть корнями данного уравнения В ПРИНЦИПЕ.
В уравнении «претендентов» чуть больше: свободный член делится на 1, –1, 2, – 2, 4 и –4.
Обратите внимание, что числа 1, –1 являются «завсегдатаями» списка возможных корней (очевидное следствие теоремы) и самым лучшим выбором для первоочередной проверки.
Переходим к более содержательным примерам:
Задача 3
Решение
: поскольку старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть только целыми, при этом они обязательно должны быть делителями свободного члена. «Минус сорок» делится на следующие пары чисел:
– итого 16 «кандидатов».
И здесь сразу появляется заманчивая мысль: а нельзя ли отсеять все отрицательные или все положительные корни? В ряде случаев можно! Сформулирую два признака:
1) Если все коэффициенты многочлена неотрицательны, то он не может иметь положительных корней. К сожалению, это не наш случай(Вот если бы нам было дано уравнение – тогда да, при подстановке любого значение многочлена строго положительно , а значит, все положительные числа (причём, и иррациональные тоже) не могут быть корнями уравнения .
2) Если коэффициенты при нечётных степенях неотрицательны, а при всех чётных степенях (включая свободный член) – отрицательны, то многочлен не может иметь отрицательных корней. Это наш случай! Немного присмотревшись, можно заметить, что при подстановке в уравнение любого отрицательного «икс» левая часть будет строго отрицательна, а значит, отрицательные корни отпадают
Таким образом, для исследования осталось 8 чисел:
Последовательно «заряжаем» их по схеме Горнера. Надеюсь, вы уже освоили устные вычисления:
Удача поджидала нас при тестировании «двойки». Таким образом – есть корень рассматриваемого уравнения, и
Осталось исследовать уравнение 
. Это легко сделать через дискриминант, но я проведу показательную проверку по той же схеме. Во-первых, обратим внимание, что свободный член равен 20-ти, а значит, по Теореме 1
из списка возможных корней выпадают числа 8 и 40, и для исследования остаются значения (единица отсеялась по схеме Горнера)
.
Записываем коэффициенты трёхчлена в верхнюю строку новой таблицы и начинаем проверку с той же «двойки»
. Почему? А потому что корни могут быть и кратны, пожалуйста: – это уравнение имеет 10 одинаковых корней. Но не отвлекаемся:
И здесь, конечно, я немного слукавил, заведомо зная, что корни рациональны. Ведь если бы они были иррациональными или комплексными, то мне светила бы безуспешная проверка всех оставшихся чисел. Поэтому на практике руководствуйтесь дискриминантом.
Ответ : рациональные корни: 2, 4, 5
В разобранной задаче нам сопутствовала удача, потому что: а) сразу отвалились отрицательные значения, и б) мы очень быстро нашли корень (а теоретически могли проверить и весь список ).
Но на самом деле ситуация бывает гораздо хуже. Приглашаю вас к просмотру увлекательной игры под названием «Последний герой»:
Задача 4
Найти рациональные корни уравнения
Решение : по Теореме 1 числители гипотетических рациональных корней должны удовлетворять условию (читаем «двенадцать делится на эль») , а знаменатели – условию . Исходя из этого, получаем два списка:
«список эль»:
и «список эм»: (благо, здесь числа натуральные)
.
Теперь составим перечень всех возможных корней. Сначала «список эль» делим на . Совершенно понятно, что получатся те же самые числа. Для удобства занесём их в таблицу:
Многие дроби сократились, в результате чего получись значения, которые уже есть в «списке героев». Добавляем только «новичков»:
Аналогично – делим тот же «список эль» на :
и, наконец, на
Таким образом, команда участников нашей игры укомплектована:
К сожалению, многочлен данной задачи не удовлетворяет «положительному» или «отрицательному» признаку, и поэтому мы не можем отбросить верхнюю или нижнюю строку. Придётся работать со всеми числами.
Как ваше настроение? Да ладно, выше нос – есть ещё одна теорема, которую можно образно назвать «теоремой-убийцей»…. …«кандидатов», конечно же =)
Но сначала нужно прокрутить схему Горнера хотя бы для одного целого
числа. Традиционно возьмём единицу. В верхнюю строку запишем коэффициенты многочлена и всё как обычно:
Поскольку четвёрка – это явно не ноль, то значение не является корнем рассматриваемого многочлена. Но она нам очень поможет.
Теорема 2 Если при некотором целом значении значение многочлена отлично от нуля: , то его рациональные корни (если они есть) удовлетворяют условию
В нашем случае и поэтому все возможные корни должны удовлетворять условию (назовём его Условием № 1) . Данная четвёрка и будет «киллером» многих «кандидатов». В качестве демонстрации я рассмотрю несколько проверок:
Проверим «кандидата» . Для этого искусственно представим его в виде дроби , откуда хорошо видно, что . Вычислим проверочную разность: . Четыре делится на «минус два»: , а значит, возможный корень прошёл испытание.
Проверим значение . Здесь и проверочная разность составляет: 
. Разумеется, , и поэтому второй «испытуемый» тоже остаётся в списке.
«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:
Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?
Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность . Есть очень важное условие:
На нашем рисунке:
| . |
Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и?
Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет. Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме. Не веришь? Давай убедимся. Смотри:
Пусть. Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть - всегда! . Но, → .
Волшебство прямо!
Так что запомни крепко-накрепко:
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна
и наоборот:
Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.
Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна.
Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».
Вот как-то не получается.
Теперь применим знание:
предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть.
А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:
у всякого параллелограмма противоположные углы равны.
У нас получилось, что
А что же углы и? Ну, то же самое конечно.
Вписанный → →
Параллелограмм→ →
Потрясающе, правда?
Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны, то есть это прямоугольник!
И ещё при этом - центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника . Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.
Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность - прямоугольник .
А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция . Почему?
Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять, но из-за параллельности прямых и.
Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.
Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо - пригодиться:
Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения , касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:
- Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
- Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
- Трапеция, вписанная в окружность - равнобокая.
Вписанный четырехугольник. Средний уровень
Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:
Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .
На нашем рисунке -
Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.
Расшифровываем:
- «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна.
- «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник можно вписать в окружность.
Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».
А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?
Сначала 1.
Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и. Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь - сейчас применим, а если не очень - загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .
Вписанный
Вписанный
Но посмотри: .
Получаем, что если - вписанный, то
Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет. (нужно так же рассмотреть и).
Теперь и «наоборот», то есть 2.
Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких - то двух противоположных углов равна. Скажем, пусть
Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.
Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.
Рассмотрим оба случая.
Пусть сначала точка - снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке. Соединим и. Получился вписанный (!) четырехугольник.
Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна, то есть, а по условию у нас.
Получается, что должно бы быть так, что.
Но это никак не может быть поскольку - внешний угол для и значит, .
А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.
Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке. Снова - вписанный четырехугольник, а по условию должно выполняться, но - внешний угол для и значит, то есть опять никак не может быть так, что.
То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности - значит, она на окружности!
Доказали всю-всю теорему!
Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.
Следствие 1
Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.
Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться.
Но из свойств параллелограмма мы знаем, что.
И то же самое, естественно, касательно углов и.
Вот и получился прямоугольник - все углы по.
Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.
Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр - прямой.
Диаметр,
Диаметр
а значит, - центр. Вот и всё.
Следствие 2
Трапеция, вписанная в окружность - равнобедренная.
Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда.
И так же.
Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.
Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и, равны), то такой четырехугольник - вписанный.
Это очень важный рисунок - в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и.
Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:
« - вписанный» - и всё будет отлично!
Не забывай этот важный признак - запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.
Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна
и наоборот:
Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.
Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна.
Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
Трапеция , вписанная в окружность - равнобокая .
Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Такая окружность является описанной около четырехугольника.
Как не каждый четырехугольник можно описать около окружности, также не каждый можно вписать в окружность.
Выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность, обладает свойством: его противоположные углы в сумме составляют 180° . Так, если дан четырехугольник ABCD, у которого угол A противоположен углу C, а угол B противоположен углу D, то ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.
Вообще, если одна пара противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то и другая пара в сумме будет составлять столько же. Это следует из того, что у выпуклого четырехугольника сумма углов всегда равна 360°. В свою очередь данный факт следует из того, что у выпуклых многоугольников сумма углов определяется по формуле 180° * (n – 2), где n - количество углов (или сторон).
Доказать свойство вписанного четырехугольника можно следующим образом. Пусть в окружность O вписан четырехугольник ABCD. Требуется доказать, что ∠B + ∠D = 180°.
Угол B является вписанным в окружность. Как известно, такой угол равен половине дуги, на которую опирается. В данном случае угол B опирается на дугу ADC, значит, ∠B = ½◡ADC. (Поскольку дуга равна углу между образующими ее радиусами, то можно записать, что ∠B = ½∠AOC, внутренняя область которого содержит точку D.)
С другой стороны угол D четырехугольника опирается на дугу ABC, то есть ∠D = ½◡ABC.
Так как стороны углов B и D пересекают окружность в одних и тех же точках (A и C), то они разделяют окружность только на две дуги - ◡ADC и ◡ABC. Так как полная окружность в сумме составляет 360°, то ◡ADC + ◡ABC = 360°.
Таким образом получились следующие равенства:
∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°
Выразим сумму углов:
∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC
Вынесем ½ за скобку:
∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)
Заменим сумму дуг их числовым значением:
∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°
Мы получили, что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Это и требовалось доказать.
То, что вписанный четырехугольник обладает таким свойством (сумма противоположных углов равна 180°), еще не означает, что любой четырехугольник, у которого сумма противоположных углов равна 180° можно вписать в окружность. Хотя на самом деле это так. Данный факт называется признаком вписанного четырехугольника и формулируется так: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность (или вписать его в окружность) .
Доказать признак вписанного четырехугольника можно методом от противного. Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого противоположные углы B и D в сумме составляют 180°. При этом угол D не лежит на окружности. Тогда возьмем на прямой, содержащей отрезок CD, такую точку E, чтобы она лежала на окружности. Получится вписанный четырехугольник ABCE. У этого четырехугольника противоположны углы B и E, а, значит, они составляют в сумме 180°. Это следует из свойства вписанного четырехугольника.
Получается, что ∠B + ∠D = 180° и ∠B + ∠E = 180°. Однако угол D четырехугольника ABCD по отношению к треугольнику AED является внешним, а значит больше угла E этого треугольника. Таким образом, мы пришли к противоречию. Значит, если сумма противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то он всегда может быть вписан в окружность.
Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота - 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.
1. Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.
2. АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 - х.
3. АО 2 = АК 2 + КО 2 ; ОВ 2 = ВН 2 + НО 2 ;
так как ОА 2 =ОВ 2 , получим:
АК 2 + КО 2 = ВН 2 + НО 2
90 + 64 - 16x = 0
ОВ 2 = ВН 2 + НО 2
Ответ: OB = 10,625
Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник
Задача 7: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.
Дано: ромб, радиус вписанной окружности - R, BD r в 4 раза
1. Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R
Задача 8: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.
Дано: ABCD - равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10
1. AB = CD = 10 по условию
2. AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности
3. AD + BC = 10 + 10 = 20
4. FE = 2r = 2 · 4 = 8
Задача 9: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.
1. Пусть AB = BC = AC = a.
2. Обозначим O 1 E = O 1 K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r = .
3. AO 1 - биссектриса угла A, следовательно, ? O 1 AE = 30? и в прямоугольном?AO 1 E имеем AO 1 = 2O 1 E = 2r и AE ===. Тогда AE + r = == , откуда.
Задача 10 : вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.
1. Пусть?AOB = 2x, ?BOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ?AOB = 60°, ?BOC = 30°
Задача 11: стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите го высоту, проведенную из вершины большего угла.
1. 202 = 122 + 162
400 = 400 верно, следовательно, ? АВС - прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)
Ответ: ВН = 9,6
Задача 12: в прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.
Дано: ? ABC - прямоугольный, AC = 15, CB = 10
1. ? ADE ~ ? ACB (? A - общий, ? ADE = ? ACB = 90°)
2. Пусть DE = DC = X, тогда AD = 15 - X
15 · X = 10(15 - X)
15 · X = 150 - 10 · X
4. S кв. = 6 · 6 = 36
Ответ: S кв. = 36
Задача 13: основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны - 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.
1. HK = BC = 10 м
2. Пусть BH = CK = x, AH=y, тогда KD = 21 - y
3. По теореме Пифагора:
x 2 + y 2 = 13 2
x 2 + (21 - y) 2 = 20 2
x 2 + 441 - 42y + y 2 = 400
4. По теореме Пифагора:
BH 2 = AB 2 - AH 2
BH 2 = 13 2 - 5 2
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,
§ 106. СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ.
Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .
Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (черт. 412). Требуется доказать, что / А + / С = 180° и / В + / D = 180°.
/
А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 BCD.
/
С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 BAD.
Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют 360°.
Отсюда /
А + /
С = 360°: 2 = 180°.
Аналогично доказывается, что и / В + / D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов А и С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180° .
Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.
Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
/
А + /
С = 180° и /
В + /
D = 180° (черт. 412).
Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?
Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.
Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D" (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD" будем иметь:
/ В + / D" = 2d .
Продолжив сторону AD" до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме
/ B + / Е = 2d .
Из этих двух равенств следует:
/
D" = 2d
- /
B;
/
E = 2d
- /
B;
/ D" = / E,
но этого быть не может, так как / D", как внешний относительно треугольника CD"E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.
Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (черт. 414).
Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
Следствия. 1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.
2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.
В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.
Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (черт. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.
Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки (§ 75), имеем:
АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.
Сложим почленно эти равенства. Получим:
АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,
т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.
Упражнения.
1. Во вписанном четырёхугольнике два противоположных угла относятся как 3: 5,
а другие два относятся как 4: 5. Определить величину этих углов.
2. В описанном четырёхугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны относятся как 0,2: 0,3. Найти длину этих сторон.
