Как решать дробно линейные функции. Урок «Дробно-линейная функция и ее график. Дробно-линейная функция и ее график

-ал - (-ел -), -ан - (-ян -), -аст - (-ат -), -ев - (-ов -, -[j] -), -еват - (-оват -), -ен -, -енн - (-онн -), -енск - (-инск -), -ив - (-лив -, -чив -), -ин -, -ист -, -ит - (-овит -), -к -, -л -, -н - (-шн -), -тельн -, -уч - (-юч -, -яч -), -чат -.

1. Суффикс -ал - (-ел такой, каким становятся под влиянием действия (лежалый, загорелый, устарелый ).

2. Суффикс -ан - (-ян -) образует прилагательные со значением:

1. сделанный из того или иного материала или относящийся к чему-то (кожаный, глиняный, деревянный, земляной );

2. предназначенный для помещения чего- либо (дровяной, платяной );

3. работающий на том, что названо исходным словом (ветряной, нефтяной, торфяной ).

3. Суффикс -аст - (-ат -) образует прилагательные, называющих части тела человека или животного, внешних качеств человека, аксессуаров его внешности (волосатый, косматый, губастый, очкастый, рогатый, скуластый ). Исключение [?]: полосатый, женатый .

4. Суффикс -ев (-ов ), [-j -] образует прилагательные со значением:

1. принадлежности предмета лицу или животному (дедов, слесарев, волчья, собачья );

2. сделанный из чего-либо, относящийся к кому-либо, чему-либо (грушевый, садовый ).

5. Суффикс -енн -, -онн - образуют прилагательные со значением:

1. признака или свойства (клюквенный, клятвенный, утренний, традиционный );

2. подверженности действию, результата действия или характерезуемости действием (медленный, усиленный, влюбленный ).

6. Суффикс -енск - (-инск -) образует прилагательные, обозначающие географические названия (кубинский, пензенский ).

7. Суффикс -ив 1) постоянного свойства, качества, склонности к чему-нибудь; 2) обладания каким-нибудь качеством в большой степени (ленивый, лживый, красивый, игривый ).

8. Суффикс -ин - образует прилагательные, обозначающие людей и животных: (гусиный, дядин ).

9. Суффикс -ист - образует прилагательные со значением:

1. похожий на что-то (серебристый, бархатистый );

2. обладающий чем-то в большом количестве (голосистый, ветвистый );

3. имеющий склонность к какому-нибудь действию (задиристый, отрывистый, порывистый ).

10. Суффикс -ит - (-овит -) образует прилагательные со значением: обладающий в большей степени чем-нибудь (именитый, ядовитый, сердитый ).

11. Суффикс -к - образует прилагательные со значением: 1) склонный к какому-нибудь действию; 2) такой, что часто делает что-нибудь; 3) или такой, с которым часто что-нибудь делается (ломкий, топкий, липкий, ковкий, цепкий ).

12. Суффикс -л - образует прилагательные со значением:

1. находящийся в состоянии, которое возникло в результате действия, названного исходным словом (гнилой, умелый, усталый );

2. обладания признаком, названным в исходном слове (светлый ).

13. Суффикс -лив - образует прилагательные, обозначающие 1) состояние, действие, свойство; 2) склонность к чему-нибудь; 3) или обладание каким-нибудь качеством (молчаливый, счастливый, крикливый ).

14. Сложный суффикс -ль-н - образует: прилагательные со значением предназначенности для выполнения действия (вязальный, родильный, сушильный ).

15. Суффикс -н (-шн ) образует прилагательные со значением:

1. признака или свойства, относящегося к предмету, явлению, действию, месту, времени или числу, названному исходным словом (весенний, дальний, вчерашний, домашний, тысячный );

2. подверженности какому-нибудь действию или результата какого-либо действия, которое названо исходным словом (отглагольные прилагательные рваный, читаный, званый, драный ).

16. Суффикс -оват - (-еват -) образует прилагательные со значением:

1. отчасти напоминающий кого-либо или имеющий некоторое свойство чего-либо (мужиковатый, плутоватый, молодцеватый );

2. оттенка ослабленного (несколько, слегка) качества (голубоватый, беловатый, сладковатый ).

17. Составной суффикс -тель-н - образует прилагательные со значением:

1. производящий или способный произвести действие (наблюдательный, удовлетворительный );

2. являющийся объектом действия или способный им стать (желательный, осязательный );

3. предназначенный для выполнения действия (плавательный, летательный );

4. указывающий на определенную связь с действием (избирательный. подготовительный ).

18. Суффикс -уч - (-юч -, -яч -) образует прилагательные со начением: склонный к какому-нибудь действию (певучий, вонючий, висячий ).

19. Суффикс -чат - образует прилагательные со значением:

1. обладающий чем-нибудь, имеющий в большом количестве или в большой степени что-нибудь (узорчатый, бревенчатый, бугорчатый );

2. наполняющий каким-нибудь качеством, свойством то, что обозначается исходным словом (дымчатый, дудчатый, репчатый ).

20. Суффикс -чив - образует прилагательные со значением: способный, склонный что-нибудь делать, проявлять какое-нибудь свойство (находчивый, сговорчивый, устойчивый ).

Для образования имён прилагательных от разных частей речи используются различные суффиксы. Наиболее употребительными из них являются суффиксы -н-, -они-, -екк-, -ин-, -к-, -ск-, -ов- (степн ой, станционн ый искусственн ый, орлин ый, веск ий, городск ой, берёзов ый и т. д.).

Часть суффиксов прилагательных передаёт дополнительные оттенки значения (неполноты качества, ласки и т. д.), например: беловат ый, рыжеват ый, стареньк ий, лёгоньк ий.

Правописание н и нн в прилагательных

1. Пишется нн :

а) в прилагательных, образованных при помощи суффикса -н- от существительных с основой на н , например: лимон - лимонный, машина - машинный;

б) в прилагательных, образованных от существительных при помощи суффиксов -енн- и -онн- , например: вещество - вещественный, утро - утренний, солома - соломенный, станция - станционный, лекция - лекционный.

2. Пишется н :

а) в непроизводных прилагательных (не образованных от других частей речи), например: юный, синий;

б) в прилагательных с суффиксами -ин-, -ан- (ян) , например: орлиный, лебединый, гостиный, кожаный, серебряный.

Исключения: оловянный, стеклянный, деревянный .

Примечания: 1. Следует различать прилагательные ветреный (= «с ветром»: ветреная погода, ветреный день; ветреная девушка), ветряной, ветряный (= «приводимый в движение ветром»: ветряной двигатель, ветряная мельница; см. также название болезни - ветряная оспа). Прилагательное ветреный имеет краткую форму (погода ветрена, девушка ветрена), а ветряной, ветряный не имеют.

2. Прилагательное ветреный пишется с одним н , а все приставочные образования от слова ветер - с двумя н , например: безветренный, подветренный.

3. В кратких прилагательных сохраняются два н , если они были в полной форме, например: пустынная дорога - дорога пустынна, но зелёные деревья - деревья зелены.

239. Спишите. Обозначьте суффиксы прилагательных.

I. Баше..ый кран, исти..ое происшествие, каме..ая ограда, пламе..ое чувство, име..ой список, племе..ой скот, болезне..ые явления, искре..яя радость, кожеве..ый завод, родстве..ые отношения, станцио..ый подъезд, дивизио..ый командир, стекля..ая посуда, серебря..ый портсигар, песча..ая почва, глиня..ая чашка, ю..ые спортсмены, румя..ые яблоки.

II. Ветр..ое утро, безветр..ый день, ветр..ая мельница, платя..ой шкаф, клюкве..ый морс, листве..ая аллея, дискуссио..ый вопрос, кожа..ый диван, петуши..ый крик, мыши..ая возня, маши..ый зал, стари..ый циферблат, конопля.. ое семя.

240. Спишите. Устно объясните правописание прилагательных с пропущенными буквами.

I. 1) Быстро лечу я по рельсам чугу..ым, думаю думу свою. (Н.) 2) Далеко видна жёлтая полоса песча..ого берега. (М. Г.) 3) Ледя..ое дыхание ветра напоминало о том, что теперь январь и что мы находимся в море. (Сераф.) 4) Дли..ые чистые сакли с плоскими земля..ыми крышами и красными трубами были расположены по неровным каменистым буграм. (Л. Т.) 5) Пол почти во всех комнатах был глиня..ый. (Г.) 6) Через минуту кибитка остановилась перед деревя..ым домиком. (П.) 7) Время от времени мы откачивали воду берестя..ым ковшом. (Арс.) 8) Около ветр..ой мельницы босой белоголовый мальчик лет семи пас гусей. (Шол.)

II. 1) Над Гремячим Логом уже поднимались выше тополей розовые утре..ие туманы. (Шол.) 2) Вагон остановился. Теперь слышались, кроме грачи..ых, человеческие голоса. (А. Н. Т.) 3) Волга была пусты..а. (А. Н. Т.) 4) На громоздком письме..ом столе стояли в шахматном порядке телефо..ые аппараты прямой связи с участками. (В. Аж.) 5) Голубая высь иногда затягивалась сплошным серым туманом, сеющим мелкую водя..ую пыль. (Нов.-Пр.) 6) Ра..им солнечным утром мы опять летим над серебря..ой лентой реки. (С.-М.) 7) Бесконечная каме..ая улица... была мертва, пуста. (Бун.)

241. Замените выделенные слова именами прилагательными и напишите словосочетания. Суффиксы прилагательных обозначьте. Когда признак выражен более конкретно - до или после замены?

Следы зверя , писк комара , лапы гуся , яйцо голубя , голова лошади , гнездо воробья , трели соловья , платье из шерсти , чашки из глины , ложки из серебра , рубашка из полотна , ножи из стали , изделия из железа , дом из дерева , укус муравья , масло из конопли , пуговицы /i>из олова, крыша из соломы , сок из клюквы , учение об эволюции , постройки при станции , изделия из кожи , день торжества , обязанности по хозяйству , день с ветром .

242. От данных слов при помощи суффикса -к- образуйте имена прилагательные. Составьте и запишите с ними словосочетания.

Честь, злость, община, корень, идеал, без предела, без призора, без страха, без заботы, под землёй, за рекой, за рубежом, по границе, перед выборами, при дороге, при береге, при городе, без времени, без имени, без облаков, перед юбилеем.

243. I. Спишите, ставя данные сочетания во множественном числе и подбирая к выделенным прилагательным синонимы.

Экстр..ное сообщение. Недюж..ное дарование. Рум..ное лицо. Подл..ный документ. Сокров..ное желание. Ист..ное происшествие. Традици..ная встреча. Багр..ное знамя.

II. Спишите, подбирая к выделенным прилагательным антонимы с н или нн .

Осе..яя погода. В..черняя з..ря. Пожилой шахматист. Обыкнове..ое явление. Постоя..ая работа. Естестве..ые препятствия. Прогрессив..ые силы.

244. Спишите, вставляя пропущенные буквы, недостающие знаки препинания, раскрывая скобки. Определите стиль речи. Какие средства выразительности языка использованы в тексте автором? Какие типы речи сочетаются в тексте? Подберите синонимы к слову (не)спешно . Дайте толкование слова рушник . В случае затруднения обращайтесь к словарям. Сделайте морфемный разбор выделенных слов.

В середине лета по Десне закипали сенокосы. Перед тем обычно (в)течени.. нескольких дней стояла (не)докучливая теплынь небо высокое ёмкое и тянутся по нему (в)разброд (не)заст..лая солнца белые кружевные облака. Раза два (три) над обрыв..стым берегом сходились облака в плотную син..ву и (от)туда, с высот, от деревень (не)спешно выплывала на луга туча в серебря..ых окаёмах. Вст..вала она высокая в..личавая в син..х рушниках дождей разгульно и благодатно р..котала и похохатывала громами и вдруг оглушительно весело шарахала в несколько разлом..стых колен и стекля..ым перезвоном отзывалась Десна под тёпл..ми водя..ыми струями. Пол..скались в весёлом спором дожде пр..брежные лозн..ки намокали песча..ые берега излучин пили травы пила земля наб..рала про запас влагу в кротовые норы и опустив голову покорно и охотно мокла среди лугов стреноженная лошадь. А в заречье куда св..лилась туча уже зависала над син..ми лесами оранжевая радуга. (От)туда т..нуло грибной прелью пря..ыми зап..хами .

Лесные зап..хи смеша..ые с медовыми зап..хами лугов становились похожими на зап..х крепко настоя..ого чая от которого делалось хмельно и (не)из..яснимо радос(?)но и молодо на душе. (По Е. Носову)

Прилагательные с суффиксами -к- и -ск-

1. Суффикс -к- пишется:

а) в качественных прилагательных (они имеют краткую форму), например: дерзкий (дерзок), плоский (плосок);

б) в относительных прилагательных, образованных от существительных с основой на к, ц, ч, например: рыбацкий (рыбак), немецкий (немец), ткацкий (ткач). В основе существительного, от которого образовано относительное прилагательное, к и ч чередуются с ц .

Примечание . В отдельных случаях относительные прилагательные образуются от существительных с основой на к и ч при помощи суффикса -ск- , например: узбекский, угличский (от Углич).

2. Суффикс -ск- пишется в относительных прилагательных с другими согласными в основе, например: киргизскии (киргиз), детский (дети), рязанский (Рязань), бунтарский (бунтарь).

Перед суффиксом -ск- буква ь пишется только после л (приятельский, уральский), а также в прилагательных, образованных от названий месяца на -нь и -рь (июньский, сентябрьский, октябрьский и т. д., кроме январский). Буква ь пишется также во фразеологизме день-деньской (целый день).

3. Прилагательные с суффиксом -ск- (-овск-) , образованные от собственных имён, пишутся со строчной буквы, например: онежские былины, пушкинские поэмы, левитановские пейзажи. С прописной буквы такие прилагательные пишутся лишь тогда, когда входят в состав наименований, имеющих значение «имени, памяти», например: Менделеевские чтения, Вахтанговский театр.

Примечание . От прилагательных с суффиксом -ск- (-овск-) , образованных от имён собственных, надо отличать образованные также от имён собственных притяжательные прилагательные с суффиксами -ев, -ов-, -ин-, -ын- , пишущиеся с прописной буквы, например: Далее словарь, Олины тетради.

Во фразеологических сочетаниях, в которых уже утратилась связь прилагательного с существительным, употребляется строчная буква, например: сизифов труд, ариаднина нить.

245. Спишите, вставляя пропущенные буквы. Суффиксы обозначьте, объясните (устно) их правописание.

1) Я вижу низ..ий домик с галереею из маленьких почерневших деревя..ых столбиков. (Г.) 2) Был ясный январский день, всюду сверкало серебря..ое солнце. (М. Г.) 3) Молодец..ий посвист слышится. (Н.) 4) У крыльца комендан..ого дома казак держал под уздцы прекрасную белую лошадь киргиз..ой породы. (П.) 5) За тележкой шёл её хозяин, покуривая из маленькой кабардин..ой трубочки. На нём был офицер..ий сюртук без эполет и черкес..ая мохнатая шапка. Смуглый цвет лица его показывал, что оно давно знакомо с закавказ..им солнцем. (Л.) 6) Вдруг видит бли..кие две тени. (П.) 7) Приятно дер..кой эпиграммой взбесить оплошного врага. (П.) 8) На лугах блестят горошинки росы, что бывает только ра..им утром. (Ч.) 9) Дли..ые тени домов, деревьев, заборов ложились красиво по светлой пыльной дороге. (Л. Т.) 10) Дробись, дробись, волна ночная, и пеной орошай брега в тума..ой мгле. (Л.)

246. Образуйте от данных слов имена прилагательные с суффиксом -к- или -ск- . Запишите их вместе с подходящими по смыслу существительными.

Матрос, казах, француз, молодец, Одесса, Казань, июль, ткач, казак, богатырь, январь, Русь, гавань, немец, Кавказ, декабрь, июнь, комендант, октябрь, киргиз, делегат, рыбак, Сибирь, конь, Урал, гигант, село, чех, поляк, институт, университет, горняк, Рига, кандидат, Прага, пассажир.

247. Спишите. Объясните употребление строчных или прописных букв.

Замечательная (Л, л)ермонтовская проза, (Г, гоголевская сатира, представитель (Ф, ф)амусовского общества, (Ф, ф)едорино горе, (И, и)ваново детство, (Ч, ч)еховский юмор, (Т, т)ургеневские романы, (Л, л)омоносовская премия, (П, п)ушкинские чтения, (С, с)онино счастье, (А, а)хиллесова пята.

Прилагательные с суффиксами -ов-, -ев-,
-чив-, -лив-, -ив-, -чат-, -онък-, -еньк-

1. После шипящих и ц под ударением пишется суффикс -ов- , без ударения - -ев- , например: ежовый, грошовый, перцовый, плюшевый, ключевой, ситцевый.

2. В суффиксах -чив- и -лив- пишется и , например: заносчивый, заботливый, настойчивый.

3. Для различения суффиксов -ев- и -ив- следует помнить, что суффикс -ив- бывает под ударением например: игривый, льстивый (но: милостивый, юродивый). Суффикс -ев- пишется в безударном положении, например: сиреневый, краевой.

4. Суффикс -чат- пишется с буквой а , например: ступенчатый.

Слово дощатый (от доска) необходимо запомнить.

5. В уменьшительно-ласкательных прилагательных после г, к, x потребляется суффикс -оньк- или -еньк- например: тихонький - тихенький, лёгонький - лёгенький; в остальных случаях - только -енък- , например: беленький.

248. От данных слов образуйте прилагательные с суффиксами. Составьте по два словосочетания с прилагательными каждой группы.

1) -ов- или -ев- : свинец, кумач, парча, ситец, песец, грош, камыш, груша, плюш, изразец, глянец, холст, вещь;

2) -чив- или -лив- : доверять, расчёт, услужить, задумать, изменить, устоять, засуха, угодить, увёртываться, уклониться;

3) -ев- или -ив- : поле, бой, огонь, лень, спесь, ложь, червь, яблоня, отрасль, никель (расставьте в прилагательных ударение);

4) -чат- : бревно, взрыв, узор, веснушка, рассыпать.

249. Спишите примеры, вставляя вместо точек нужные суффиксы (-чив-, -лив-, -чат-, -ов-, -ев-, -онък-, -еньк-, -ск-, -к-, -енн-, -оват- или -еват- ). Суффиксы обозначьте и объясните (устно) их правописание. Найдите метафоры и эпитеты.

I. 1) Взгляд Лизы теперь был просящий, мягкий, а вместе с тем довер..ый, ласк..ый. (Дост.) 2) Женщины оказались на редкость привет..ы, словоохот..ы. (Г. Н.) 3) У нас чиновник плох..ий и тот полов не выметет. (Н.) 4) Зимою здесь общество сер..ое, неинтересное. (Ч.) 5) У самых дверей стоял простой тесовый стол, покрытый син..ою скатертью. (Дост.)

II. 1) В сентябр..ие вечера бывают какие-то особенные, задум..ые закаты. 2) На рыж..ую щетину сжатых полей падает первый снег. 3) Синеватый утр..ий свет пробивался в продолг..ые щели сарая. 4) Петя был смет..ый и разговор..ый мальчик. 5) Мороз разукрасил окна причуд..ыми узорами. 6) Пройдя Риж..ий залив, теплоход вышел в открытое море. 7) Мы переехали по бревен..ому мосту через уз..ую речонку. 8) На склад привезли берёз..ые и осин..ые дрова. 9) Стадо охранялось сторож..ыми собаками. 10) У каждого за плечами был вещ..ой мешок.

250. Прочитайте, укажите уменьшительные существительные и прилагательные, определите их стилистическую роль. Спишите, расставляя недостающие знаки препинания.

1. Илья Ильич проснулся в своей маленькой постельке. Ему только семь лет... Какой он хорош..нький красив..нький полный... Щёчки такие кругл..нькие что иной шалун надуется нарочно а таких не сделает. (Гонч.)

2. - Но что такое господин Бенковский? - Он чернее..нький слад..нький тих..нький. У него есть ус..ки губки ручки и скрип..чка. Он любит нежные песе..ки и варень..це. Мне всегда хочется потрепать его по морд..чке. (М. Г.)

3. (Не)смотря на то что минуло более восьми лет их супружеству из них всё ещё каждый пр..носил другому или кусоч..к ябло..ка или конфетку или ореш..к и говорил трогательно-нежным голосом Разинь душе..ка свой ротик я тебе пол..жу этот кусоч..к. Само собой разумеется что рот..к раскрывался при этом случае очень грациозно. (Г.)

251. Спишите, вставляя вместо точек нужные по смыслу прилагательные, данные в скобках.

1) Одна из дверей была завешена огромными... портьерами из пунцового бархата. (Дост.) Фома унёс с собой от старика... чувство: Щуров и нравился ему, и в то же время был противен. (М. Г.) (двойной, двойственный) 2) Я увидел небольшого человека средних лет, с... немного болезненным лицом. (В. К.) Ярко светились голубые ставни трёх окон и... решётчатая ставня чердачного окна. (М. Г.) (ординарный, одинарный) 3) Мой приятель был самый простой и... человек, хотя и стихотворец. (П.) Карл Иванович с очками на носу и книгой в руке сидел на своём... месте. (Л. Т.) (обычный, обыкновенный) 4) Вокруг одиноких кустов саксаула возвышались... холмики. (С.-М.) Левинсон наблюдал, как возится в коре крепкоголовый, ... цвета жучок. (Ф.) (песчаный, песочный) 5) «Былое и думы» - замечательный памятник... литературы XIX века. На многих зданиях Москвы установлены... доски (мемуарный, мемориальный). 6) После войны я решил пойти на... работу. (Перв.) Варвара Дмитриевна оказалась женщиной чуткой и.... (Ф.) (дипломатичный, дипломатический) 7) ... репертуар театра пополнился новой пьесой. Он [Вернер] пришёл в такое отчаяние и... волнение, что я решительно не мог совладать с душившим меня смехом. (Л.) (комедийный, комический)

Дробно-линейная функция изучается в 9 классе после того, как изучены некоторые другие виды функций. Именно об этом говорится в начале урока. Здесь речь идет о функции y=k/x, где k>0. По словам автора, дана функция рассматривалась школьниками ранее. Поэтому с ее свойствами они знакомы. Но одно свойство с указанием особенностей графика этой функции автор предлагает вспомнить и рассмотреть подробно на этом уроке. Это свойство отражает прямую зависимость значения функции от значения переменной. А именно, при положительном x, стремящемся к бесконечности, значение функции также положительно и стремится к 0. При отрицательном x, стремящемся к минус бесконечности, значение y - отрицательно и стремится к 0.

Далее автор отмечает, как это свойство проявляется на графике. Так постепенно обучающиеся знакомятся с понятием асимптоты. После общего ознакомления с этим понятием следует его четкое определение, которое выделено яркой рамкой.

После того, как введено понятие асимптоты и после его определения автор обращает внимание на то, что гиперболы y=k/xпри k>0 имеет две асимптоты: это оси xи y. Точно такая же ситуация и с функцией y=k/xпри k<0: функция имеет две асимптоты.

Когда основные моменты подготовлены, знания актуализированы, автор предлагает перейти к непосредственному изучению нового вида функций: к изучению дробно-линейной функции. Для начала предлагается рассмотреть примеры дробно-линейной функции. На одном таком примере автор демонстрирует, что в качестве числителя и знаменателя выступают линейные выражения или, другими словами, многочлены первой степени. В случае числителя может выступать не только многочлен первой степени, но и любое число, отличное от нуля.

Далее автор переходит к демонстрации общего вида дробно-линейной функции. При этом он подробно расписывает каждый компонент записанной функции. Также поясняется, какие коэффициенты не могут быть равны 0. Эти ограничения автор расписывает и показывает, что может произойти, если эти коэффициенты окажутся нулевыми.

После этого автор повторяет, как получается график функции y=f(x)+nиз графика функции y=f(x). Урок на данную тему можно также найти в нашей базе. Здесь же отмечается то, как построить из этого же графика функции y=f(x) график функции y=f(x+m).

Все это демонстрируется на конкретном примере. Здесь предлагается построить график определенной функции. Все построение идет поэтапно. Для начала предлагается выделить из данной алгебраической дроби целую часть. Выполнив необходимые преобразования, автор получает целое число, которое прибавляется к дроби с числителем, равным числу. Так график функции, которая представляет собой дробь, можно построить из функции y=5/xпосредством двойного параллельного переноса. Здесь же автор отмечает, как переместятся асимптоты. После этого строится система координат, переносятся асимптоты на новое местоположение. Затем строятся две таблица значений для переменной x>0 и для переменной x<0. Согласно полученным в таблицах точкам, на экране ведется построение графика функции.

Далее рассматривается еще один пример, где перед алгебраической дробью в записи функции присутствует минус. Но это ничем не отличается от предыдущего примера. Все действия проводятся аналогичным образом: функция преобразовывается к виду, где выделяется целая часть. Затем переносятся асимптоты, и строится график функции.

На этом объяснение материала заканчивается. Длится этот процесс 7:28 минут. Примерно столько времени требуется учителю на обычном уроке для объяснения нового материала. Но для этого необходимо заранее хорошенько подготовится. Но если взять за основу данный видеоурок, то подготовка к уроку займет минимум времени и сил, а обучающимся понравится новый метод обучения, предлагающий просмотр видеоурока.

В данном уроке мы рассмотрим дробно-линейную функцию, решим задачи с использованием дробно-линейной функции, модуля, параметра.

Тема: Повторение

Урок: Дробно-линейная функция

Определение:

Дробно-линейной называется функция вида:

Например:

Докажем, что графиком данной дробно-линейной функции является гипербола.

Вынесем в числителе двойку за скобки, получим:

Имеем х и в числителе, и в знаменателе. Теперь преобразуем так, чтобы в числителе появилось выражение :

Теперь почленно сократим дробь:

Очевидно, что графиком данной функции является гипербола.

Можно предложить второй способ доказательства, а именно разделить в столбик числитель на знаменатель:

Получили:

Важно уметь легко строить график дробно-линейной функции, в частности находить центр симметрии гиперболы. Решим задачу.

Пример 1 - построить эскиз графика функции:

Мы уже преобразовали данную функцию и получили:

Для построения данного графика мы не будем сдвигать оси или саму гиперболу. Мы используем стандартный метод построения графиков функции, использующий наличие интервалов знакопостоянства.

Действуем согласно алгоритму. Сначала исследуем заданную функцию.

Таким образом, имеем три интервала знакопостоянства: на крайнем правом () функция имеет знак плюс, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень. Так, на интервале функция отрицательна, на интервале функция положительна.

Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. Когда знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится тройке, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности.

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Таким образом, имеем горизонтальную асимптоту и вертикальную , центр гиперболы точка (3;2). Проиллюстрируем:

Рис. 1. График гиперболы к примеру 1

Задачи с дробно-линейной функцией могут быть осложнены наличием модуля или параметра. Чтобы построить, например, график функции , необходимо следовать следующему алгоритму:

Рис. 2. Иллюстрация к алгоритму

В полученном графике есть ветви, которые находятся над осью х и под осью х.

1. Наложить заданный модуль. При этом части графика, находящиеся над осью х, остаются без изменений, а те, которые находятся под осью - зеркально отображаются относительно оси х. Получим:

Рис. 3. Иллюстрация к алгоритму

Пример 2 - построить график функции:

Рис. 4. График функции к примеру 2

Рассмотрим следующую задачу - построить график функции . Для этого необходимо следовать следующему алгоритму:

1. Построить график подмодульной функции

Предположим, получен следующий график:

Рис. 5. Иллюстрация к алгоритму

1. Наложить заданный модуль. Чтобы понять, как это сделать, раскроем модуль.

Таким образом, для значений функции при неотрицательных значениях аргумента изменений не произойдет. Касательно второго уравнения мы знаем, что оно получается путем симметричного отображения относительно оси у. имеем график функции:

Рис. 6. Иллюстрация к алгоритму

Пример 3 - построить график функции:

Согласно алгоритму, сначала нужно построить график подмодульной функции, мы его уже построили (см. рисунок 1)

Рис. 7. График функции к примеру 3

Пример 4 - найти число корней уравнения с параметром:

Напомним, что решить уравнение с параметром означает перебрать все значения параметра и для каждого из них указать ответ. Действуем согласно методике. Сначала строим график функции, это мы уже сделали в предыдущем примере (см. рисунок 7). Далее необходимо рассечь график семейством прямых при различных а, найти точки пересечения и выписать ответ.

Глядя на график, выписываем ответ: при и уравнение имеет два решения; при уравнение имеет одно решение; при уравнение не имеет решений.

Функция у = и её график.

ЦЕЛИ:

1) ввести определение функции у = ;

2) научить строить график функции у = , используя программу Agrapher;

3) сформировать умение строить эскизы графиков функции у = , используя свойства преобразования графиков функций;

I. Новый материал – развёрнутая беседа.

У: Рассмотрим функции, заданные формулами у = ; у = ; у = .

Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?

Д: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.

У: Такие функции принято задавать формулой вида

Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в) = .

(Если во втором случае учащиеся будут испытывать затруднения, то нужно попросить их выра зить с из заданной пропорции и затем подставить полученное выражение в формулу (1)).

Д1: Если с = 0, то у = х + в – линейная функция.

Д2: Если = , то с = . Подставив значение с в формулу (1) получим:

То есть у = - линейная функция.

У: Функция, которую можно задать формулой вида у =, где буквой х обозначена незави-

симая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с0 и аd – вс 0, называется дробно-линейной функцией.

Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.

Пример 1. Построим график функции у = . Выделим из дроби целую часть.

Имеем: = = = 1 + .

График функции у = +1 можно получить из графика функции у = с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у = : прямая х = 0 (т. е. ось У) – на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу вверх. Прежде чем строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а другую для х<2.

х	1	0	-1	-2	-4	-10
у	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
х	3	4	5	6	8	12
у	7	4	3	2,5	2	1,6

Отметим (с помощью программы Agrapher) в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы (рис. 1б).

Пример 2. Построим график функции у = -.Выделим из дроби целую часть, разделив двучлен 2х + 10 на двучлен х + 3. Получим = 2 + . Следовательно, у = --2.

График функции у = --2 можно получить из графика функции у = - с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево и сдвига на 2 единицы вниз. Асимптоты гиперболы – прямые х = -3 и у = -2. Составим (с помощью программы Agrapher) таблицы для х<-3 и для х>-3.

х	-2	-1	1	2	7
у	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
х	-4	-5	-7	-8	-11
у	2	0	-1	-1,2	-1,5

Построив (с помощью программы Agrapher) точки в координатной плоскости и проведя через них ветви гиперболы, получим график функции у = - (рис. 2).

У: Что является графиком дробно-линейной функции?

Д: Графиком любой дробно-линейной функции является гипербола.

У: Как построить график дробно-линейной функции?

Д: График дробно-линейной функции получается из графика функции у = с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки (-. Прямая х = - называется вертикальной асимптотой гиперболы. Прямая у = называется горизонтальной асимптотой.

У: Какова область определения дробно-линейной функции?

У: Какова область значений дробно-линейной функции?

Д: Е(у) = .

У: Есть ли у функции нули?

Д: Если х = 0, то f(0) = , d. То есть у функции есть нули – точка А.

У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х?

Д: Если у = 0, то х = -. Значит, если а , то точка пересечения с осью Х имеет координаты . Если же а = 0, в , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет.

У: Функция убывает на промежутках всей области определения, если bc-ad > 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если bc-ad < 0. Но это немонотонная функция.

У: Можно ли указать наибольшее и наименьшее значения функции?

Д: Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

У: Какие прямые являются асимптотами графика дробно-линейной функции?

Д: Вертикальной асимптотой является прямая х = -; а горизонтальной асимптотой – прямая y = .

(Все обобщающие выводы-определения и свойства дробно-линейной функции учащиеся записывают в тетрадь)

II. Закрепление.

При построении и “чтении” графиков дробно-линейных функций применяются свойства программы Agrapher

III. Обучающая самостоятельная работа.

Найдите центр гиперболы, асимптоты и постройте график функции:

а) у = б) у = в) у = ; г) у = ; д) у = ; е) у = ;

ж) у = з) у = -

Каждый учащийся работает в своём темпе. При необходимости учитель оказывает помощь, задавая вопросы, ответы на которые помогут ученику правильно выполнить задание.

Лабораторно-практическая работа по исследованию свойств функций у = и у = и особенностей графиков этих функций.

ЦЕЛИ: 1) продолжить формирование умений строить графики функций у = и у = , используя программу Agrapher;

2) закрепить навыки “чтения графиков” функций и способностей “предсказывать” изменения графиков при различных преобразованиях дробно – линейных функций.

I. Дифференцированное повторение свойств дробно–линейной функции.

Каждому учащемуся выдаётся карточка – распечатка c заданиями. Все построения выполняются с помощью программы Agrapher. Результаты выполнения каждого задания обсуждаются сразу же.

Каждый ученик с помощью самоконтроля может скорректировать результаты, полученные при выполнении задания и попросить помощи у учителя или ученика – консультанта.

Найдите значение аргумента Х, при котором f(x) =6 ; f(x) =-2.5.

3. Постройте график функции у = Определите, принадлежит ли графику данной функции точка: а) А(20;0.5); б) В(-30;-); в) С(-4;2.5); г) Д(25;0,4)?

4. Постройте график функции у = Найдите промежутки в которых у>0 и в которых у<0.

5. Постройте график функции у = . Найдите область определения и область значений функции.

6. Укажите асимптоты гиперболы – графика функции у = -. Выполните построение графика.

7. Постройте график функции у = . Найдите нули функции.

II.Лабораторно-практическая работа.

Каждому ученику выдаются 2 карточки: карточка №1 “Инструкция” с планом, по которому выполняется работа, и текстом с заданием и карточка №2 “Результаты исследования функции ”.