Что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников

Теорема 1. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть ABC и $А_1В_1С_1$ - треугольники, у которых $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , и, следовательно, $\angle C = \angle C_1$ . Докажем, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (рис.1).

Отложим на ВА от точки В отрезок $ВА_2$, равный отрезку $A_1B_1$ , и через точку $А_2$ проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке $С_2$ . Треугольники $А_1В_1С_1\text{ и }А_2ВС_2$ равны: $А_1В_1 = А_2В$ по построению, $\angle В = \angle В_1$ по условию и $\angle А_1 = \angle А_2$ , так как $\angle А_1 = \angle А$ по условию и $\angle А = \angle А_2$ как соответственные углы. По лемме 1 о подобных треугольниках имеем: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , и значит, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Теорема доказана.

По аналогичной схеме устанавливаются теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Теорема 3. Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Из теоремы 1 вытекает следующее.

Следствие 1. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, т. е. тем высотам, которые опущены на сходственные стороны.

Пример 1. Подобны ли два равносторонних треугольника?

Решение. Так как в равностороннем треугольнике каждый внутренний угол равен 60° (следствие 3), то два равносторонних треугольника подобны по первому признаку.

Пример 2. В треугольниках ABC и $А_1В_1С_1$ известно, что $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; АВ = 5 м, ВС = 7 м, А_1В_1 = 10 м, А_1С_1 = 8 м.$ Найти неизвестные стороны треугольников.

Решение. Треугольники, определенные условием задачи, подобны по первому признаку подобия. Из подобия треугольников следует: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \,\,\, (1) $$ Подставив в равенство (1) данные из условия задачи, получим: $$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1} = \frac{AC}{8} \,\,\, (2) $$ Из равенства (2) составим две пропорции $$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1} \\ \frac{5}{10} = \frac{AC}{8} \\ \text{ откуда }В_1С_1 = 14 (м), АС = 4 (м). $$

Пример 3. Углы В и $В_1$ треугольников ABC и $А_1В_1С_1$ равны. Стороны АВ и ВС треугольника ABC в 2,5 раза больше сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Найти АС и $A_1C_1$ , если их сумма равна 4,2 м.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2.

Из условия задачи: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 м. $$ Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle А_1В_1С_1$. Из подобия этих треугольников следует $$ \frac{AC}{A_1C_1} = 2,5\text{ , или }АС = 2,5\bullet А_1С_1 $$ Так как АС = 2,5 А 1 С 1 , то АС + А 1 C 1 = 2,5 А 1 С 1 + A 1 C 1 = 4,2, откуда A 1 C 1 = 1,2 (м), АС = 3 (м).

Пример 4. Подобны ли треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 , если АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = 7 см, А 1 В 1 = 4,5 см, B 1 C 1 = 7,5 см, A 1 C 1 = 10,5 см?

Решение. Имеем: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{3}{4,5} = \frac{1}{1,5} \\ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{5}{7,5} = \frac{1}{1,5} \\ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{7}{10,5} = \frac{1}{1,5} $$ Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку.

Пример 5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан $АА_1\text{ и }ВВ_1$ и проведем среднюю линию $A_1B_1$ этого треугольника (рис.3).

Отрезок $A_1B_1$ параллелен стороне АВ, поэтому $\angle 1 = \angle2 \text{ и } \angle 3 = \angle 4 $. Следовательно, треугольники АОВ и $A_1OB_1$ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: $$ \frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1} $$

Но $AB = 2A_1B_1$ , поэтому $AO = 2A_1O$ и $BO = 2B_1O$ .

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан $BB_1\text{ и }CC_1} делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Замечание. Ранее отмечалось, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. На основе последнего утверждения устанавливается, что и высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эти три точки и точка пересечения медиан называются замечательными точками треугольника.

Пример 6. Проектор полностью освещает экран А высотой 90 см, расположенный на расстоянии 240 см. На каком наименьшем расстоянии в см. от проектора нужно расположить экран Б, высотой 150 см, так, что бы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными.

Видео-решение.

Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.

Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Определение . Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Свойства

Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой. По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.

Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Геометрическая формулировка . В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка . В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: a 2 + b 2 = c 2 .

Обратная теорема Пифагора . Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

по катету и гипотенузе;

по двум катетам;

по катету и острому углу;

по гипотенузе и острому углу.

Признаки равенства и подобия треугольников признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (см. рис. 12).

ΔABC=Δ DEF по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны(см. рис. 13.

ΔABC=ΔDEF по стороне и прилежащим к ней углам.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (см. рис. 14

ΔABC=ΔDEF по трём сторонам.

Признаки подобия треугольников

Первый признак

Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (см. рис. 15).

Второй признак

Д
ва треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами в этих треугольниках, равны(см. рис. 16).

Третий признак

Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника (см. рис. 17).

Прямоугольные треугольники подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.

Итак, это треугольник с одной стороны.

Загадки треугольника

С другой стороны треугольник это - тайный оккультный знак, встречающийся во многих цивилизациях. Три угла, три грани - магическое число 3. Не удивительно, что треугольник можно найти на тайных письменах, символах, пентаграммах. И совсем не удивительно, что самые загадочные места и строения могут быть связаны тоже с треугольниками. Например, египетские пирамиды (в Египте треугольник символизировал триаду духовной воли, любви-интуиции и высшего разума человека, то есть его личность и душу.) Или звезда Давида (еврейский символ, образованный наложением двух треугольников). А еще Бермудский треугольник.

Платон утверждал, что вообще вся “Поверхность состоит из треугольников”. На самом деле треугольники используются везде и всюду. Уже со времён палеолита и неолита в древнем искусстве очень широко распространяются изображения равностороннего треугольника. Первобытные люди покрывали сферические сосуды сетью круглых равносторонних треугольников. Символическое изображение треугольника есть в архитектуре и строительстве (пирамиды и др.), во фрагментах одежды и украшениях. Вожди племен североамериканских индейцев носили на груди символ власти: равносторонний треугольник. В Африке женщины туарегов также украшали себя большими пластинами из равносторонних треугольников.

Один из самых загадочных и интересных треугольников– “ Бермудский треугольник”. Еще это место называют аномальной зоной.

Рис. 18

На самом деле это место, которое традиционно считается самым ужасным, самым жутким местом планеты. Здесь бесследно исчезало множество кораблей и самолетов - большинство из них после 1945 года. Здесь погибло более тысячи человек. Однако при поисках не удалось обнаружить ни одного трупа или обломка.

Над океаном плыл рассвет.

Светлело небо, голубея.

Фелюга* шла к Бермудам, нет

Таинственней загадки, злее.

Проникнув в эпицентр Бермуд,

мы видим розу из тумана.

В ней тени кораблей плывут,

"Мэри Селест" без капитана.

Ворота в рай иль ад, не знаем,

но мы войдем туда сейчас.

Сиянье ширится, сгораем...

Не поминайте лихом нас.

Бермудский треугольник не имеет четких границ, нельзя найти на карте его точное обозначение. Разные ученые определяют его местоположение на свое усмотрение. Самое распространенное его определение - это область в Атлантическом океане между Бермудами, Пуэрто-Рико и Майами. Общая площадь - 1 млн. квадратных километров. Однако название этой области тоже условное, поэтому название “Бермудский треугольник” не является географическим.

Древние говорили, что Земля поделена на правильные треугольники, а Платон заявлял, что “Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи”, т.е. 12 пентаграмм.

В свою очередь, каждая пентаграмма делится на треугольники большие и треугольники помельче. Таким образом, поверхность Земли предстает в виде в пересечении вершин треугольников, в которых образуются “энергетические узлы”. Эта идея разработана русскими исследователями Н. Гончаровым, В. Морозовым и В. в соответствии с которой цивилизации развивались в “энергетических узлах”. В пересечении вершин треугольников образуются особенно богатые запасы полезных ископаемых, в некоторых “узлах” порой исчезают материальные предметы (Бермудский треугольник).

Стихи о треугольнике

О, треугольник, как ты прекрасен.

Как красив и богат,

Ибо ты имеешь три стороны.

Три угла, три вершины.

Ты один можешь быть:

И равнобедренным, и равносторонним,

И прямоугольным…

Ибо ты могуч…

…По тебе судят теоремы,

Тебе посвятили три признака равенства.

Ведь, чтобы доказать, что ты равен,

Нужно приложить силы.

Ибо даже медиана, проведенная

К основанию равнобедренного треугольника

Является высотой и биссектрисой.

И не каждый знает, что в треугольнике

Медианы, высоты, биссектрисы

Пересекаются в одной точке.

И что бы мы знали без Великого треугольника!

Ибо даже стол не может стоять на двух ножках.

Ода треугольнику в стихах.

Вы всем известны,

Без вас не обойтись нигде,

Вы так чудесны,

Вы так нужны везде.

Вы - Геометрические фигуры,

Треугольники мои.

“Треугольник, треугольник”.

Самый лучший из фигур,

Ты родился из трех точек

И прекрасных трех прямых.

Но не думайте, ребята,

Треугольник не простой…

Он бывает и прямой,

Равнобедренный…любой!!!

О медиане и …

Медиана – она мышка Яна,

Зацепившись хвостом за вершину,

Спустилась к основанию

Прямо в середину!

Высота стоит столбом – вертикально.

Она измерит даже дом капитально.

Биссектриса - почему так назвали, не пойму…

Потому что, потому

Она ходит по углам

И делит угол пополам.

Биссектриса – это киска,

Которая ловит мышку по углам,

И делит угол пополам!

Медианка – хулиганка

Бросит вещи по углам и

Стороны делит пополам

В треугольнике она стоит

Прямо – как всегда.

Высота, высота!

С высоты глядит на нас:

“С медианой ты не путай,

Есть ведь разница у нас”.

Медиана – как лиана,

Только разница одна –

Из вершины в середину

Не промахнется никогда.

Ода признакам треугольников

О, треугольники, вы так прекрасны,

Три признака ваши для нас не сложны.

Вот первый из них:

Если две стороны и угол между ними

Одного треугольника равны

Двум сторонам и углу между ними другого треугольника,

То такие треугольники равны.

А теперь будьте умны…

Приставьте числительные одна и два

К словам “сторона” и “угла”

И пред ваши очи вмиг

Второй признак подбежит.

А у третьего признака нет углов,

А только три стороны равны.

Третий признак легче всех.

Ну, а вы, мной ободрены,

Додумайте его непременно.

Вы отроки – други, запомните ныне

Сии признаки равенства треугольников.

Представление

Учащиеся 7 и 8 класса приняли участие в создание проект «Что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников»

Краткое описание работы.

Проект «Что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников» представлен в номинации учебных проектов «Сделаем мир лучше» в создании проекта приняли участие учащиеся 7-8 класса. У каждого было свое задание защитить свои утверждения.

Цель работы:

Определить понятие необходимости изучения признаков равенства и подобие треугольников в жизни человека, и связь их с другими предметами.

Задачи исследовательской работы:

Формирование умение проектно-исследовательской деятельности.

Объяснение возникновения признаков равенства и дальнейшего появления подобия треугольников.

Развитие умения использовать дополнительные источники (интернет ресурсы. Справочники. Энциклопедии.)

Подготовить презентацию с картинками и дискуссию по теме: что важнее признаки равенства треугольника и подобие треугольников.

Показ презентация для 8-9 классов под девизом «Зачем нам признаки равенства треугольников и подобие, и какую роль они играю в жизни человека»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Орловская средняя общеобразовательная школа

Городищенского района Волгоградской области»

Районный конкурс

социальных и

учебных проектов

«Сделаем мир лучше!»

« Что важнее признаки равенства треугольника или

подобие треугольников »

Выполнили обучающиеся

7 класса

Кривогузова Мария

Карагичева Ирина

8класса

Киселева Юлия

Руководитель проекта:

Захарова

Луиза Александровна

2015

Паспорт исследователя-проектировщика

п/п

Этапы работы над проектом (исследованием)

Деятельность ученика

Деятельность учителя

Выявление проблемы.

Почему заинтересовала эта проблема.

Обсуждение с учителем темы проекта, что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников.

Обсуждение с учащимися темы проблемы проекта.

Определение цели и задач проекта.

Цель работы: выявить закономерность и зависимость рассматриваемых вопросов.

Определить понятие необходимости изучения признаков равенства треугольников и их подобие в жизни человека, и связь его с другими предметами.

Задачи:

Формирование и умение проектно-исследовательской деятельности.
Оценить важность исследуемого объекта.
Объяснение возникновения признаков равенства и подобия треугольников.
Проанализировать как человеком они могут применятся в жизни.
Развитие умения использовать дополнительные источники: Интернет ресурсы. Справочники. Энциклопедии
Приготовить картинки по разделам проекта.
Провести презентации в 8-9 классах «Что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников»

Помощь в постановке цели и определение задач.

Планирование самостоятельной деятельности.

Выработка плана действий.

Как можно это сделать?

Определение основных методов исследования.

Работа с учебниками, энциклопедией и интернет ресурсами.
Отобрать нужный материал по разделам: строительство, искусство, военное дело.
Сделать вывод: зачем нужно признаки равенства и подобие треугольников.
Создать презентацию «Что важнее признаки равенства треугольника или подобие треугольников» и ее защиту.

Познакомить обучающегося с разными средствами и приёмами познавательной, исследовательской деятельности.

Использование исследовательских методов. Сбор информации.

Проведение исследования:

Поиск и обработка необходимой информации.
Работа с различными источниками.
Подбор рисунков.
Создание презентации.

Наблюдения, совет, помощь в работе с компьютерными программами.

Оформление конечных результатов.

Оформление защиты:

План защиты по рубрикам.
Составление презентации.
Оформление страницы «Зачем нам признаки равенства и подобия треугольников?»

Знакомство с готовой работой.

Учитель помогает оформить проект «Путешествие в прошлое.»

Презентация своего исследования.

Участие в мероприятиях:

На уроках геометрии 8-9 классах во II полугодии.

Оценивание.

Вывод.

Участники сами анализируют свое творение. Дают своей работе самооценку.

Учащиеся класса высказывают свое мнение «Зачем нам признаки равенства и подобия треугольников?»

Самое главное заинтересовать обучающихся в изучение «Признаков равенства и подобия треугольников».

Участие в оценке путём коллективного обсуждения и самооценок.

Содержание.

Вступление. Актуальность проекта.
Историческая справка:
1. Подобия.
  Признаки равенства треугольников.

Признаки равенства и подобия треугольников.

Равенства треугольников по стороне и двум углам.
Подобие треугольников по двум углам.
Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Подобие треугольников по пропорциональности двух сторон одного треугольника к другому и равенству угла между ними.
Жесткий треугольник.
Подобие пропорциональности трех сторон одного треугольника к другому.
Признак равенства треугольников по трем углам.

Заключение:

Вывод.
Применение на практике.
Применение при возведение зданий.

Защита проекта.

Вступление

Меня зовут Кривогузова Мария, я ученица 7 класса будут вам представлять признаки равенства треугольников и их историю.

Меня зовут Киселева Юлия, я ученица 8 класса буду вам представлять признаки подобия треугольников их историю возникновения и необходимость их изучать.

Основной целью нашего исследования является определить важность изучения данных утверждений.

Для начала мы решили провести опрос в более старших классов. Вопросы с вариантами ответа были таковыми:

Что важнее равенство треугольников или подобие треугольников?

Равенство треугольников;

Подобие треугольников;

Важны оба утверждения.

Пригодились ли вам признаки равенства треугольников и подобие треугольников при дальнейшем изучении геометрии?

Да;

Нет.

Как вы думаете, где больше пригодится вам этот изученный материал?

Я думаю, что мне это пригодится при учебе в высшем учебном заведении;

Я изучал(а) для того чтобы в будущем не выглядеть тупым перед своими детьми.

Мне это совсем не как не нужно.

Поэтому мы сами решили выяснить, что важнее равенство или подобие треугольников, и как они применимы в жизни человека.

Актуальность.

Треугольник является центральной фигурой всей геометрии. При решении задач используют его самые разнообразные свойства. Свойства треугольника широко применяют на практике. Например, в архитектуре; при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности: при проектировании различны деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации: для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии, одним словом просто необходимо знать треугольник и все его свойства. Одно из важнейших свойств для пары треугольников, устанавливать их равенство или подобие. Существует ряд задач на тему установления равенства двух треугольников, а также множество задач на подобие треугольников.

Историческая справка подобия треугольников

Искусство изображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе внимание человека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта, различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобы изображение правильно отображало естественную форму предмета.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, очень много детских игрушек подобным предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше. В конце концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию.

Историческая справка о признаках равенства треугольников:

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC AB; в противоположном направлении восстанавливают CE AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С = A; EDС = BDA как вертикальные).

Признак подобия треугольников по двум углам.

Но так не удобно решать задачу для этого можно воспользоваться первым признаком подобия треугольников. И как не странно его создатель также Фалес Милетский

Давайте представим картину такую

Мы с вами в Египте сейчас оказались.

Стоим и смотрим на пирамиду большую

Её высотою большой восхищаясь.

И тут сам фараон задачу нам ставит

Измерить нам надо высоту пирамиды.

Как же рулетку к ней приставить

Ведь конца её даже не видно.

Но всё-таки задачу можно решить

Вспомнив подобие треугольников.

Фалес Милетский нам предложил

Пример преподавший для школьников.

Он подождал пока тень его

Точно совпадет с его ростом.

Как оказалось немного терпения

Задача решилась легко и просто.

В этот миг теорему применив

Высота пирамиды равна её тени.

Знай про подобие треугольников

И применяй её в жизни без лени.

Используя этот признак подобия мы можем измерить высоту любой башни и не только высоту, а спроектировать на чертежах любую постройку.

Равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Для исследования этого признака я решила взять практическую задачу на вычисление длины озера.

При измерении длины озера отметили на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы точка С оказалась серединой отрезков АК и В D . Измерив D К, получили 500 м и сделали вывод, что длина озера равна 500м.

Сколько же нужно много свободного пространства чтобы сделать эти измерения, а не легче ли применить второй признак подобия треугольников.

Подобия треугольника по пропорциональности двух сторон одного треугольника к другому и равенству угла между ними.

При измерении длины озера: так же можно отметить на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы отношения DC : CB и KC : AC оказалась равными.

Равенства треугольников по трем сторонам. Жесткий треугольник

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура. Потому, что: можно представим себе две рейки, (рис 1) у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой однако сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек.(рис 2) Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Если жесткий треугольник мы решим увеличить или уменьшить в несколько раз, то увечится или уменьшится в это число раз каждая его сторона, и тем самым получим третий признак подобия треугольника «Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны».

Если три стороны треугольника одного

Пропорциональны трём сторонам другого,

То эти треугольники будут абсолютно подобны

Даже если один маленький, а другой огромный.

Такого признака равенства треугольников нет. Это часть определение подобия треугольника. «Если углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны».

Вывод.

Наш спор был долгим и упорным что важнее: признаки равенства треугольников или подобия. Мы сделали следующий вывод – если бы не было признаков равенства треугольников, то не было бы и подобия. Такой вывод помог сделать нам древнегреческий филосов и математик Фалес Милетский, который доказал не толькоодин из признаки равенства треугольников, но а также один из основных признаков подобие.

«Природа формулирует свои законы языком математики» Г.Галилей.

В наше время чтобы измерить высоту здание, найти расстояние мы не обходимся без гениальных идей Фалеса Милетского.