Цели занятия: На этом занятии вы получите возможность актуализировать свои знания о простейших геометрических фигурах: точке, прямой, луче, отрезке, вспомнить, как измеряются отрезки, а также узнаете некоторые новые для вас геометрические факты.

Точка . Прямая . Отрезок. Аксиомы геометрии

Для первого знакомства с геометрией поработайте с материалами видеоурока «Прямая и отрезок».

Таким образом, вы должны знать несколько фактов:

1. Геометрия – наука об измерении земли, дословно – «землемерие».
2. Геометрия – одна из самых древних наук на земле, она возникла примерно за 300 лет до нашей эры.
3. Геометрия подразделяется на два раздела: планиметрия – геометрия на плоскости, и стереометрия – геометрия в пространстве.
4. Геометрия изучает геометрические фигуры и их свойства.
5. Примерами плоских геометрических фигур являются треугольник, прямоугольник, окружность, круг и т.д.; примерами пространственных фигур являются параллелепипед, шар, конус, цилиндр и т.д.
6. Простейшими, неопределяемыми геометрическими понятиями являются точка и прямая. Они не имеют размеров.
7. Точки обозначают большими буквами латинского алфавита, прямые могут обозначаться маленькими буквами латинского алфавита.
8. Геометрия строится на основных неопределяемых понятиях и на аксиомах, в которых фиксированы отношения простейших фигур.

Для того чтобы познакомиться с первыми аксиомами, поработайте со второй частью видеоурока «Прямая и отрезок».

Таким образом, вы должны знать следующие аксиомы:

Аксиома 1: каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация Аксиомы 1

Аксиома 2: имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой (рис.2).

Рис. 2. Иллюстрация Аксиомы 2

Аксиома 3: через любые две точки проходит прямая , и притом только одна.

Тот факт, что точка А лежит на прямой с фиксируется знаком принадлежности: А∈с . Если точка не принадлежит прямой с , то это записывается так: D∉c .

Теперь выполните задания практического электронного образовательного ресурса « ».

Аксиома 4: из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация Аксиомы 4

На рисунке отмечены три точки: А , В и D . Точка А лежит между точками В и D .

Эти точки, лежащие на прямой, образуют несколько новых фигур – отрезков.

На рисунке 3 изображены три отрезка: АВ, DA и DB .

Можно выделить несколько случаев взаимного расположения прямой и отрезка.

Рисунок 3 иллюстрирует случай, когда отрезок , например, АВ лежит на прямой , в этом случае отрезок и прямая имеют бесконечно много общих точек – это все точки отрезка АВ .

Рисунок 4 иллюстрирует другой случай: отрезок и прямая не имеют общих точек .

Рис. 4. Отрезок СЕ и прямая а не имеют общих точек

В этом случае точки С и Е лежат по одну сторону от прямой а .

Рисунок 5 иллюстрирует еще один случай: отрезок пересекает прямую . В этом случае отрезок и прямая имеют единственную общую точку, а концы отрезка CD лежат по разные стороны от прямой b .

Рис. 5. Отрезок и прямая имеют единственную общую точку:
отрезок СD пересекает прямую b Рис. 6. Отрезок и прямая имеют единственную общую точку:
один из концов отрезка MN (точка М) лежит на прямой c

Теперь поработайте со последней частью видеоурока «Прямая и отрезок».

Итак, вы познакомились с первой теоремой : две разные прямые не могут иметь более одной общей точки.

Также вы рассмотрели доказательство этой теоремы.

Рассмотрим пример выполнения задания.

Пример 1.

На рисунке изображена прямая с и шесть точек.

Рис. 7. Прямая и точки

Сколько всего отрезков изображено на прямой? Назовите эти отрезки.

Решение:

Сначала запишем все отрезки.

1. 1. Начнем с отрезков, одним из концов которых является точка А .
      Итак, это отрезки АВ, АС, АЕ, AD, AF . Их всего 5.
   2. Теперь перечислим отрезки, одним из концов которых является точка В .
      Это отрезки ВЕ, ВС, BD и BF . Их 4. Мы не включили сюда отрезок АВ , так как мы записали его в первом пункте.
   3. Продолжим записывать отрезки. И теперь перечислим отрезки с концом в очке С , за исключением тех, которые мы уже записали.
      Это отрезки СЕ, CD и CF . Их 3.
   4. Теперь запишем оставшиеся отрезки: сначала с концом в точке Е – ED и EF , и наконец, в точке F – FD .
      Таким образом, получили 15 отрезков.

Пример 2.

Сколько точек можно провести через 4 точки: А, В, С и К , никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Решение:

Будем рассуждать так же, как и в предыдущем задании.

1. 1. Сначала провеем все прямые, проходящие через точку А : это прямые АВ, АС и АК .
   2. Теперь проведем все прямые, проходящие через точку В , за исключением прямой АВ , так ее мы уже учли в первом пункте. Это прямые ВС и ВК .
   3. Осталась одна прямая СК .

Всего таких прямых проведено 6.

На рисунке 8 изображены 4 точки и прямые, проведенные через них.

Рис. 8. Иллюстрация к примеру 2

Измерение отрезков

Вы знаете, что длину отрезка можно измерить при помощи линейки с делениями.

Узнайте о свойствах длины отрезка, поработав с материалами видеоурока «Измерение отрезков».

Рассмотрим еще пример решения задачи.

Пример 3.

На прямой отмечены четыре точки: А, В, С и D произвольным образом. Известно, что длина отрезка АВ равна 10 см, BD = 12 см, CD = 6 см. Какой может быть длина отрезка АС ?

Решение:

Рассмотрим возможные случаи расположения точек на прямой.

Случай 1 изображен на рисунке 9.

Рис. 9. Первый случай взаимного расположения точек А, В, С и D на прямой

Видно, что в этом случае длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС .

На практике часто приходится измерять отрезки, т. е. находить их длины.

Измерить отрезок - это значит сравнить его с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком).

АВ = 2 см; АС = 3,4 см

Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рисунке 1 в отрезке АВ сантиметр укладывается ровно два раза. Это означает, что длина отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см» - и пишут: АВ = 2 см.

Может оказаться, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке - получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Например, на рисунке 1 в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза и в остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина отрезка АС равна 3,4 см. Но возможно, что и взятая часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток. Так будет, например, с отрезком AD на рисунке 1, в котором сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком случае говорят, что длина отрезка AD приближенно равна 3,8 см. Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно этот процесс можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка со все большей точностью. На практике, однако, пользуются приближенными значениями длин отрезков.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок.

Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.

Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

AC + CB = AB

На рисунке 2 изображен отрезок АВ. Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы видим, что АС = 3 см, СВ = = 2,7 см, АВ = 5,7 см. Таким образом, АС + СВ = АВ. Также и во всех случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.

Пример 1. Точка С - середина отрезка АВ. Найти длину отрезка АС, если длина отрезка АВ равна 32 см.

Решение. Имеем: АС + СВ = АВ или АС + СВ = 32. Так как С - середина отрезка АВ, то АС = С В и, значит, 2АС = 32, откуда АС = 16 (см).

Пример 2. Точка С - середина отрезка АВ, точка О - середина отрезка АС. Найти АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см.

Решение. Так как С - середина отрезка АВ, то, как и в предыдущем примере, АС = СВ = 1/2 АВ, или АС = СВ = 1/2 2 = 1 (см). Так как точка О - середина отрезка АС = 1 см, то АО= ОС = 0,5 см. Наконец, ОВ = ОС + СВ = 0,5 + 1 = 1,5 (см).

Пример 3. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?

Решение. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВУ ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Урок по геометрии в 7 классе

Выполнила учитель математики

200 9 г

Цели урока:

Познакомить учащихся с процедурой измерения отрезков, рассмотреть свойства длин отрезка, познакомить с различными единицами измерения и инструментами для измерения отрезков, узнать, как уметь измерять без инструментов.

Рассмотреть понятия оптико-геометрических иллюзий.

Тип : комбинированный.

Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!

Марсилио Сичино

План урока:

1. Организационный момент.

2. Тема и цель урока (поговорим об измерениях).

3. Объяснение нового материала:

§ Единицы измерения длины в разное время и странах;

§ Эталон;

§ Практическая работа «Живой метр»

§ Свойства длины отрезка;

§ Инструменты.

4. Закрепление изученного материала:

§ Решение задач.

5. Здоровьесберегающие технологии:

§ «Не верь глазам своим...» Геометрические иллюзии.

6. Подведение итогов:

§ Тест первичной проверки знаний.

7. Выставление оценок. Домашнее задание.

1. Организационный момент.

2. Поговорим об измерениях.

«...Потом Мэри Поппинс поставила градусник себе самой, подержала его одно мгновение и вытащила. «Полное совершенство во всех отношениях», - прочитала она, и самодовольная улыбка заиграла на ее лице...»

Трудно сказать, в каких единицах Мэри Поппинс измерила свое совершенство, поэтому мы поговорим о более простом и привычном, а именно об измерении...

И тема нашего сегодняшнего урока: Длина отрезка. Единицы измерения.

Откройте тетради и запишите сегодняшнее число и тему урока.

В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением длины высот, расстояний. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.

Один средневековый философ Марсилио Сичино сказал: «Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» Конечно, измерить самого себя и стать настоящим Геометром, настоящим Садовником, настоящим Поэтом и вообще Настоящим очень трудно. Но если говорить о чем-то более простом, то с уверенностью можно сказать что каждому человеку, научившемуся считать и писать, неоднократно приходилось что-то измерять: высоту дерева, собственный вес, длину прыжка, время бега и многое другое.

И все же давайте подумаем над вопросом: «что значит – измерить длину отрезка?»

3. Объяснение нового материала.

Единицы измерения длины в разное время и странах.

Учитель: Любые измерения производят в каких-то единицах: длины – измеряют в единицах длины, вес – в единицах веса и т. д. С незапамятных времен человеку приходилось измерять расстояния в связи с изготовлением простейших орудий труда, со строительством жилищ и с добыванием пищи.

За свою историю люди придумали огромное количество всевозможных единиц, причем каждый народ имел свои.

И к сегодняшнему уроку вам было дано задание: найти сведения о старинных единицах измерения. Свое выступление начнет 1 группа, которая расскажет об английских мерах длины.

1 группа : Правители разных стран любили устанавливать свои меры, часто связанные с собственной персоной. Например, английский король Генрих I в 1101 г. приказал измерить расстояние от кончика его носа до конца среднего пальца вытянутой руки. По этой мерке был изготовлен образец ЯРДа, который стал официальной единицей длины в Англии.

Более демократична по происхождению другая английская единица длины ФУТ, что по-английски означает «ступня». 16 англичан выстраивались в цепочку таким образом, что каждый следующий касался концами пальцев своих ног пяток предыдущего. 1/16 такой цепочки и составляла 1 фут.

2 группа: На Руси в старину мерами длины были ШАГ,

ПЯДЬ: Малая пядь равнялась расстоянию между концами растянутых пальцев, большего и указательного (~19 см), большая пядь – расстояние между раздвинутым большим пальцем и мизинцем (~ 23 см),

ЛАДОНЬ – ширина кисти руки, ЛОКОТЬ (0,45 м) – расстояние от локтя до конца среднего пальца..jpg" alt="img4.jpg (27326 bytes)" width="91 height=122" height="122">

3 группа: Большие расстояния измерялись ПОЛЕТОМ СТРЕЛЫ. Несколько позже появился АРШИН (0,71 м).

Аршин делился на 16 вершков, 3 аршина составляли косую сажень (248 см) - расстоя­ние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки. Еще существовала Маховая сажень (1,76 м) – расстояние между концами расставленных в стороны рук.

500 саженей – составляли ВЕРСТУ (или поприще), 7 верст – МИЛЮ.

Эталон.

Учитель: Таким образом, при раздроблении и превращении приходилось умножать, соответственно делить на разные числа: 16, 3, 500, 7...

Между тем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации.

Этим требованиям отвечает метрическая система мер. О происхождении метра нам расскажет 4 группа.

4 группа: Известно, что Земля почти шарообразна. Кратчайшая линия, которую можно провести по шарообразному телу от одного полюса к другому - это земной меридиан. 1/40 000 000 часть земного меридиана приняли во Франции за основную меру длины и назвали метром (от греческого слова «метрон» - мера).

Был изготовлен эталон (образец) метра в виде линейки из прочного сплава платины с иридием, а затем его копии разослали по разным странам. Эталон метра до сих пор хранится в Архиве Франции. Он является основной мерой длины.

Образцы мер в настоящее время называются эталонами.

На рисунке представлен - эталон метра.

Учитель: И давайте вспомним связь между единицами измерения.

1 см = 10 мм 1 мм = 0,1 см

1 дм = 10 см = 100 мм 1 см = 0,1 дм

1 м = 10 дм = 100 см 1 дм = 0,1 м

1 км = 1000 м = 10000 дм 1 м = 0,001 км

Задание: 1.Выразите в метрах: 8,4 км; 500 см; 270 дм; 5,002 км.

2. Выразите в сантиметрах: 9,6 дм; 11,3 дм; 44 мм; 0,75 м.

Практическая работа «Живой метр».

Вы заметили, что названия мер свидетельствуют об их происхождении от различных частей человеческого тела. Например, шаг, локоть, ладонь!

Хорошо бы каждому из нас обзавестись таким «живым метром», чтобы в случае нужды пользоваться им для измерения.

Полезно помнить, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту – правило, подмеченное гениальным художником и ученым Леонардо да Винчи.

А теперь давайте измерим некоторые старинные меры длины у себя.

У каждой группы на столе лежит задание: измерить определенную старинную меру длины, записать результат в тетрадь, а затем измерить в данной единице длину и ширину парты.

___________________________________________________________________

1 группа : 1.Измерить старинную меру длины – ладонь

2. Измерьте в ладонях длину и ширину парты.

Историческая справка .

Ладонь – это ширина кисти руки.

2 группа – Малая пядь в сантиметрах с помощью линейки и запишите в тетрадь.

2. Измерьте в малых пядях длину и ширину парты.

Историческая справка .

Малая пядь – это расстояние между концами растянутых пальцев, большого и указательного.

____________________________________________________________________

3 группа : 1.Измерить старинную меру длины – Большая пядь в сантиметрах с помощью линейки и запишите в тетрадь.

2. Измерьте в больших пядях длину и ширину парты.

https://pandia.ru/text/80/088/images/image013_19.gif" height="50 src=">Большая пядь – расстояние между концами растянутых большого и среднего пальцев.

_______________________________________________________

4 группа : 1.Измерьте старинную меру длины – Локоть в сантиметрах с помощью линейки и запишите в тетрадь.

2. Измерьте в локтях длину и ширину парты.

Историческая справка .

Локоть – это расстояние от локтя до конца среднего пальца.

______________________________________________________________________

Учитель: Какова длина парты в локтях? А в больших пядях?

Сколько ладоней вместилось в ширину парты? А сколько больших пядей?

Сейчас мы с вами убедились в том, что у разных людей длина локтя или ширина ладони разные, поэтому и понадобилась метрическая система мер.

Вернемся к вопросу, заданному в начале: «Что значит измерить?»

Коротко можно ответить так: «Измерить – значит сравнить заданный отрезок с выбранной единицей измерения».

Свойства длины отрезка.

Попробуем выяснить некоторые правила длины:

Начертите отрезки длиной 2,5 см, 5 см, -2 см.

Вот и первое правило : Длина отрезка выражается положительным числом.

У вас на столах лежат карточки с изображением отрезков. Измерьте их.

Какие отрезки у вас получились? (равные) А почему они равные? (потому что одинаковой длины)

Вот и второе правило : Равные отрезки имеют равные длины.

Начертите отрезок АВ, между точками А и В поставьте точку С. Сколько получилось отрезков? Измерьте АС и СВ, найдите сумму, измерьте АС. Что получили?

И третье : Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Инструменты.

А каким инструментом вы пользовались для измерения длины отрезка? А какие ещё измерительные инструменты вы знаете?

К древнейшим геометрическим инструментам относятся циркуль и линейка .

Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой .

4.Закрепление изученного материала.

Решение задач.

В книге Памелы Л. Трэверс «Мэри Поппинс» в одном из эпизодов Кошка задает вопрос Королю. «Высоко ли до неба?» Король удовлетворенно хмыкнул. Это был вопрос как раз в его вкусе, и он улыбнулся с видом превосходства.

Ну, конечно, - начал он, - это понятие относительное, если мы будем измерять высоту над уровнем моря – результат будет один. Если с вершины горы – другой. И приняв все это в расчет, а также определив широту и долготу, учитывая данные метеорологии, психологии, геологии, топологии и болтологии, а также астрономии и физиологии, статистики, лингвистики, беллетристики и мистики, мы можем...»

К сожалению, я вынуждена прервать цитату. Желающие могут прочесть книгу и узнать, чем закончился этот разговор. Как ни странно, но Король прав. Задача измерения весьма трудная, и одной изобретательности не достаточно. Надо многое знать.

Решим и мы несколько задач на измерение отрезков.

1) № 30 (стр. 17) (у доски 1 человек)

Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если АВ=7,8 см, ВС=25 мм.

Ответ: АС = 10,3 см

2) На отрезке LS лежат точки K и R так, что К лежит между L и R, LK=3,5 см, LS=9 см и LK=KR. Найти RS.

Ответ: LR= LK + KR = 3,5+3,5 = 7 см;

RS = LS – LR = 9 – 7 = 2 см.

3) На отрезке АВ лежит точка С. При этом АС=6,1 дм, АВ=8,7 дм. Найдите длину СВ. (самостоятельно с проверкой на зарытой доске )

Ответ: СВ = 8,7-6,1= 2,6 (дм)

5. «Не верь глазам своим...» Геометрические иллюзии.

Одна семиклассница делилась со своей подругой-шестиклассницей впечатлениями об уроках геометрии: «Вот чудеса, пришла учительница в класс, нарисовала на доске два равных треугольника, а потом целый урок доказывала нам, что они равны. Никак не пойму: зачем это нужно? Ведь, что фигуры равны, это и так видно». "Чего же тут рассуждать," – думают многие семиклассники, начиная изучать геометрию. «Посмотришь на чертеж, и сразу видно, что доказывать ничего не надо, всё и так видно. Глаз не обманет».

Но так ли это…

Сравним длины отрезков:

А вот два четырехугольника, в них противоположные вершины соединены отрезками.

Сравните длины этих отрезков .

А на этом рисунке?

Получается, наши глаза обманули нас?

А называется то, с чем мы столкнулись – оптико-геометрическими иллюзиями.

Геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур (в пространстве – стереометрия, на плоскости – планиметрия).

С давних пор люди пытались объемные тела изобразить на плоскости так, чтобы их сразу можно было отличить от плоских. Была разработана научная теория, позволяющая «обмануть» зрение. Эту теорию используют не только геометры, ими занимаются и физики, и психологи, и художники.

Рассмотрите, как венгерский художник Виктор Вазарели с помощью изгибов линий изобразил вмятины, выпуклости, капли на плоском листе.

Иллюзии – это искаженное, отражение свойств воспринимаемого объекта.

– результат работы зрительной системы. Очень часто люди видят то, что они хотят увидеть.

В переводе с латыни слово «иллюзия» означает «ошибка, заблуждение».

Ещё пример:

Смогла я хоть немного заставить вас сомневаться в виденном?

Русская поговорка «Лучше один раз увидеть...», как раз и дает возможность осуществляться зрительным иллюзиям.

6. Подведение итогов.

Тест Геометрия 7

Тема «Длина отрезов»

1. Найдите ошибку в записи длин отрезков:
а)АВ = 15 см; б) СО = -7 см; в) Е F = 9 см;
г) GH = 4 см; д) RQ = 13 см; е) NM = -4 см.

Ответ: Ошибка допущена в записи длин отрезков __________________________.

2. Найдите среди данных отрезов равные:

AB = 30 см; CD = 5 см; EF = 3 дм; SP = 60 мм;

GH = 6 см; KN = 9 мм; LM = 7 см; RQ = 0,3 м.

Ответ: ________________________________________________________.

3. Точа В лежит на прямой AF между точками A и F. Известно, что

AB = 4 см, BF = 11 см. определите длину отрезка AF. Сделайте рисунок.

Ответ: _________________________________________________________

7. Домашняя работа. Выставление оценок.

1.основное задание: п.7-8 (стр. 13-16), №24, 33;

2.творческое задание: - измерьте перечисленные на уроке старинные меры длины на себе и запишите в тетрадь в сантиметрах;

Найдите пословицы, поговорки, в которых фигурируют меры длины (можно проиллюстрировать и оформить на альбомном листе).

>>Геометрия: Измерение отрезков. Полные уроки

Измерение отрезков

Д.И. Менделеев писал: "Наука начинается с тех пор, как начинают измерять: точная наука немыслима без меры ".

Человек столкнулся с необходимостью измерений в глубокой древности, на раннем этапе своего развития – в практической жизни, в земледелии, строительстве своего жилья, дворцов своих властителей, храмов, в торговле. Людям потребовалось измерять расстояния, площади, объемы, веса, и, разумеется, время.

Первые единицы длины были весьма приблизительными. Они были связаны с размерами частей тела человека. В Англии и США до сих пор используются единицы длины "ступня " - фут (31 см), "большой палец " - дюйм (25,4 мм) и ярд (91 см.). Он был равен расстоянию от кончика носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки. 1фут=12 дюймам.

Изучение в курсе математики школы величин и их измерений имеет большое значение в плане развития младших школьников. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того знания и умения, связанные с величинами и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения математики.

ВЕЛИЧИНА - это особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть назвать количество величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами.
Например, длина стола и дли на комнаты - это однородные величины.
Величины - длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств.

• Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны , либо одна меньше (больше ) другой. То есть, для величин одного рода имеют место отношения «равно », «меньше », «больше » и для любых величин и справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника равны.
• Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b. Например, если a-длина отрезка AB, b - длина отрезка ВС, то длина отрезка АС - с, есть сумма длин отрезков АВ и ВС. (Рис.1)

• Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b= x а, величину b называют произведением величины а на число x. Например, если a - длину отрезка АВ умножить на x= 2, то получим длину нового отрезка АС.(Рис.2)

(Рис.2)

• Величины данного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например, если а - длина отрезка АB, b - длина отрезка BC, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков и АС и АВ. (Рис.1)
• Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное действительное число х, что а= х b. Чаще это число - называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b = х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2. (Рис.2).

Длина отрезка определена единственным образом и является неотрицательным числом, равным расстоянию между его концевыми точками.
Сейчас самое время восстановить в памяти четыре определения, которые помогут нам понять способ измерения отрезков.

1. Если точка A расположена на размеченной прямой, которая называется в этом случае "числовая прямая" (например линейка), то число, соответствующее этой точке, называется ее координатой.
2. Расстояние между точками А и В на прямой - это модуль разности их координат.
3. Длина отрезка, определенного A и B, есть модуль разности координат точек A и B.
4. Два отрезка равны, если они имеют одинаковую длину.

Пусть дан отрезок AB. Если считать линейку частью числовой прямой и расположить AB вдоль линейки так, чтобы точка А совпала с нулем, то точка В будет расположена напротив числа, равного длине AB. Длина AB обозначается АВ.
Из определений Вам должно быть известно, что если ни один из концов отрезка не совпадает с нулем, то для вычисления длины отрезка необходимо найти модуль разности координат концевых точек.
При измерении длины отрезка мы предполагаем, что она определена единственным образом. То есть существует единственное число на числовой прямой такое, что если один из концов отрезка совместить с нулем, то второй совпадет с этим число Это предположение оправдано следующими аксиомами.
Расстояние между двумя точками A и B на числовой прямой определяется единственным образом.

Если один из концов данного отрезка совпадает с нулем, то координата второго определяется единственным образом.

Следующая аксиома позволяет нам складывать длины двух отрезков, чтобы получить длину третьего.

Если точка Q расположена между точками A и B, тогда сумма длин AQ и QB равняется длине AB.

Точка Р, лежащая между точками А и В, называется серединой отрезка AB, если АР = PB.
Середина отрезка единственна.

Измерить отрезок - это значит установить его длину в определенных единицах. Единицы измерения длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), километр (км). Между единицами длины (единичными отрезками) принято такое соотношение:

• 1 см - 10 мм;
• 1 дм - 10 см - 100 мм;
• 1 м - 10 дм- 100 см- 1 000 мм;
• 1 км - 1 000 м.

Наиболее распространенными инструментами для измерения длин отрезков являются: линейка (с разметкой в сантиметрах и миллиметрах ) и рулетка (с сантиметровой, дециметровой и метровой разметкой ). Для построения отрезков школьники применяют линейки с миллиметровой и сантиметровой разметкой.
Чтобы построить отрезок заданной длины, необходимо совместить точку начала отрезка и цифру 0 на линейке. Затем по шкале разметки на линейке надо найти длину отрезка и отметить точку конца отрезка. Начало и конец отрезка соединяют с помощью карандаша, не убирая линейки.
отрезок заданной длины

На этой линейке цифрами обозначено количество отрезков в сантиметрах (единичные отрезки в 1 см), мелкие деления - это единичные отрезки в 5 мм. Длина построенного отрезка - 50 мм, или 5 см 0 мм.

Кроссворд

По горизонтали:
1. Луч, делящий угол пополам.
4. Элемент треугольника.
5, 6, 7. Виды треугольника (по углам).
11. Математик древности.
12. Часть прямой.
15. Сторона прямоугольного треугольника.
16. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

По вертикали:
2. Вершина треугольника.
3. Фигура в геометрии.
8. Элемент треугольника.
9. Вид треугольника (по сторонам).
10. Отрезок в треугольнике.
13. Треугольник, у которого две стороны равны.
14. Сторона прямоугольного треугольника.
17. Элемент треугольника.

Ответы:
По горизонтали:
1. Биссектриса.
4. Сторона.
5. Прямоугольный.
6. Остроугольный.
7. Тупоугольный.
11. Пифагор.
12. Отрезок.
15. Гипотенуза.
16. Медиана.

По вертикали:
2. Точка.
3. Треугольник.
8. Вершина.
9. Равносторонний.
10. Высота.
13. Равнобедренный.
14. Катет.
17. Угол.

Вопросы:

1. Что люди измеряли в глубокой древности?
2. Назовите еденицы длены в Англии и США.
3. Что такое длина отрезка?
4. Чему равен 1 децеметр?
5. Назовите приборы для измерения длены.