Пустовалова Ольга
Научно-исследовательская проектная работа, в которой рассматриваются показательная и логарифмическая функция, применение данных функций
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Староюрьевская средняя общеобразовательная школа
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:
«Изучение показательных и логарифмических функций»
работу выполнила:
ученица 11 класса
Пустовалова Ольга
руководитель:
Стребкова Наталия Сергеевна
учитель математики
Староюрьево,2012
1. Введение_________________________________________________3
2. Логарифмическая функция__________________________________4
3. Применение логарифмической функции_______________________7
4. Показательная функция___________________________________10
5. Применение показательной функции ________________________ 17
7. Заключение______________________________________________18
8. Список литературы_______________________________________19
ВВЕДЕНИЕ
На протяжении последних лет Единый Государственный Экзамен стал экзаменом, позволяющим проверить знания выпускников по тому или иному предмету. Успешная сдача единого государственного экзамена по математике является основным способом для поступления в высшее учебное заведение. Для того чтобы сдать этот, без сомнения, тяжелый экзамен нужно долго и упорно готовиться. А чтобы успешно сдать экзамен, нужно многое знать, что, собственно, требуется от экзаменующегося. В материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы предлагаются задания, содержащие показательные и логарифмические задачи. Такого типа задания вызывают затруднения у учащихся, популярность этой темы обусловлена удивительными свойствами логарифмических и показательных уравнений и функций, многие из которых совершенно не отражены в школьных учебниках. С понятиями показательнаые и логарифмические функции ученики начинают знакомиться в старших классах, где они проходят самые азы решения данных уравнений.
Меня заинтересовала эта тема, потому что она требует более глубокого и досконального исследования.
Цели моей работы - изучить методы решения уравнений, содержащих показательные и логарифмические функции и рассмотреть различные примеры их применения.
Задачи , необходимые для достижения поставленной цели:
Рассмотреть понятия логарифмической и показательной функций;
Рассмотреть методы решения уравнений данного вида;
Применить изученные методы к конкретным примерам;
Выяснить, какой способ наиболее рациональный.
Актуальность данной работы неоспорима. Мне, как и всем одиннадцатиклассникам, будет интересен данный вопрос и систематизация знаний по теме «Решение задач, содержащих показательную и логарифмическую функции» при подготовке к экзамену на уроках математики.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Вспомним, что log а b (логарифм числа b по основанию a) - это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. При этом b > 0, a > 0, a = 1 6.
Зафиксируем некоторое основание a. Тогда каждому положительному числу x можно поставить в соответствие число log а х- показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы
получить x. Иными словами, можно задать логарифмическую функцию y = log а x.
Свойства функции
Преобразование графика.
Симметричное преобразование оносительно оси х | ||
Построение графика функции |
При решении уравнений часто используется теорема :
Если log a х 1 = log a х 2 , где а > 0, а ≠ 1, х 1 > 0, х 2 >0, то х 1 = х 2 .
Предположим, что
х
1
≠ х
2
,
например
х
2
> х
1
. Если
а > 0,
то из неравенства
х
2
> х
1
следует, что
log
a
х
2
> log
a
х
1
; если
0 то из неравенства
х
2
> х
1
следует, что
log
a
х
2
a
х
1
.
В обоих случаях получилось противоречие с условием log
a
х
1
= log
a
х
2
. Следовательно, х
1
= х
2
.
Рассмотрим несколько задач.
Задача 1. Решить уравнение log 5 (3х– 2) = log 5 7.
Решение . Используя доказанную теорему, получаем 3х– 2 = 7, откуда 3х = 9, х = 3.
Ответ . х = 3.
Задача 2. Решить неравенство log 2 х
Решение . Пользуясь тем, что 3 = log 2 2 3 = log 2 8 , запишем данное неравенство так: log 2 х 2 8. Так как функция у = log 2 х определена при х > 0 и возрастает, то неравенство log 2 х 2 8 выполняется при х > 0 и х
Ответ . 0
Задача 3. Решить неравенство log 1/3 х ≤ – 2.
Решение. Запишем данное неравенство таким образом: log 1/3 х ≤ log 1/3 9. Функция у = log 1/3 х определена при х ≥ 0 и убывает, поэтому неравенство выполняется при х > 0 и х ≥ 9.
Ответ. х ≥ 9.
ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Широкое применение нашла логарифмическая функция
в астрономии
:
Например по ней изменяется величина блеска звезд, если сравнивать характеристики блеска отмеченные глазом и с помощью приборов, то можно составить следующий график:
Здесь по вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха (распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на горизонтальной - показания приборов.
По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией.
Ещё одно применение логарифмической функции можно найти, если рассматривать логарифмическую спираль.
Спираль, по определению - это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения
r = f(j)
, где
r
- радиус-вектор спирали,
j
- угол, откладываемый на полярной оси,
f(j)
- некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. В случае с логарифмической спиралью точка удаляется по экспоненциальному закону (, где
a
- произвольное положительное число).
- логарифмическая спираль.
Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали.
Галактика млечный путь - типичная спиральная галактика.
Но форму логарифмической спирали имеют не только объекты астрономии, но и например: ракушки многих улиток, рога козлов, паутина паука, семечки подсолнуха.
В физике
тоже есть немало примеров применения логарифмической функции и логарифмов.
Например, подобно оценки блеска звезд в предыдущем пункте, оценивается громкость шума. Единицей громкости служит «бел», практически его десятая доля – децибел. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела и т.д. – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая сила этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Разности громкости в 1 бел соответствует отношение силы шумов 10. Это значит, что выраженная в белах громкость шума, равна десятичному логарифму его физической силы.
Заметим, что в физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов показательная, логарифмическая функции, экспонента и логарифмы применяются очень широко, но как правило не как описание отдельного процесса или комплекса процессов, а входят в состав сложных уравнений и систем уравнений и
формул, описывающих данный процесс.
Также широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике : Например капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза, не слишком впечатляющее возрастание, если рассматривать его на небольшом промежутке времени (в несколько лет), а если рассмотреть размер этой суммы через десять, сто лет или даже более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Функция вида называется показательной функцией .
Замечание . Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:
Само аналитическое выражение a x в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения x y точка x = 1; y = 1 входит в область допустимых значений.
Построить графики функций: и .
График показательной функции | |
y = a x , a > 1 | y = a x , 0 |
Свойства показательной функции | y = a x , a > 1 | y = a x , 0 |
| ||
2. Область значений функции | ||
3.Промежутки сравнения с единицей | при x > 0, a x > 1 | при x > 0, 0x |
при
x
x
| при x x > 1 |
|
4. Чётность, нечётность. | Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). | |
5.Монотонность. | монотонно возрастает на R | монотонно убывает на R |
6. Экстремумы. | Показательная функция экстремумов не имеет. | |
7.Асимптота | Ось O x является горизонтальной асимптотой. | |
8. При любых действительных значениях x и y ; |
Когда заполняется таблица, то параллельно с заполнением решаются задания.
Задание № 1 . (Для нахождения области определения функции).
Какие значения аргумента
являются допустимыми для функций:
Задание № 2. (Для нахождения области значений функции).
На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:
Задание № 3 . (Для указания промежутков сравнения с единицей).
Каждую из следующих степеней сравните с единицей:
Задание № 4
Сравнить по величине действительные числа m и n если:
Задание № 5 . (Для исследования функции на монотонность).
Сделайте заключение относительно основания a , если:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4 x
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x
Вывод:
В одной координатной плоскости построены графики функций:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x
Вывод:
Число одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности при неограниченномвозрастании n . Обозначение e ввёл Леонард Эйлер в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи, а само число назвали в честь Непера «неперовым числом». Число e играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием e , называется экспонентой и обозначается y = e x . Первые знаки числа e запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого - два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять. |
ПРИМЕНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
Показательная функция, подобно линейной и квадратичной, очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. И это, конечно, не является случайностью. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине (размножение бактерий, ход химической реакции и т.д.). В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид: y =у 0 а х .
По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому –распространение Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 10 15 или приблизительно 2000 растений на 1 м 2 суши.
Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 10 14 . Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.
В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества –процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови, донора или раненого, потерявшего много крови, рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов. Закон органического роста выражается формулой: N = N 0 e kt . По этому же закону изменяется количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального ведения лесного хозяйства.
Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М 0 e kt , где: М0 –начальное количество радия, k –некоторый коэффициент. Пользуясь этой формулой, ученые смогли подсчитать возраст Земли, то есть время, в течение которого радий смог распадаться нормально.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Я думаю, что моя работа может послужить как справочное пособие по данному вопросу. Возможно, не всё подробно, но я попыталась отобразить основные положения данной темы.
В ходе моей работы, я сделала вывод, что речь не идёт о каком-то противопоставлении геометрических и аналитических методов решения. Напротив, наиболее успешным может быть именно их разумное сочетание. Тогда на экзаменах не будет случаев, когда с помощью головоломных вычислений решается простая задача.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. Колесникова С.И - М: Айрис-пресс, 2005.-272 с. (Домашний репетитор: Подготовка кЕГЭ
2.Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012: учебно-методическое пособие\Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова.=Ростов-на-Дону:Легион-М,2011.-416 с. – (Готовимся к ЕГЭ)
3. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа . Крамор В.С. М.: Просвещение, 1990.-416с
4.Математика для поступающих в вузы: Пособие.- Г.Дорофеев, М.Потапов,
Н.Розов.- М.:Дрофа,1999.-560
5.Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://prmat.ru/
Размер: px
Начинать показ со страницы:
Транскрипт
1
Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства В практике часто используются функции y=2 x,y=10 x,y=(1 2x),y=(0,1) x и т. д., т. е. функция вида y=a x, где a - заданное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени - заданное число. Функция, заданная формулой y=a x (где a>0,a 1), называется показательной функцией с основанием a. Сформулируем основные свойства показательной функции: 1. Область определения - множество R действительных чисел. 2. Область значений - множество R+ всех положительных действительных чисел. 3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0
2
2) для случая 0
3
График функции y=(1 2x), также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ox Если x>0 и возрастает, то график быстро приближается к оси Ox (не пересекая ее); если x<0 и убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции y=a x, если 0
4 q a p 4. a 4 = 1 a 4. Если p q -обыкновенная дробь (p>0,q 1) и a>0, то под a p q понимают p q, т.е. aq= a p = = 7 5,a = = (4 3) 2 =4 2 =16 Обрати внимание! Математики договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа (это оговорено в определении). Так что запись вида (8) 1 3 считается в математике лишенной смысла. Если p -обыкновенная дробь (q 1) и a>0, то под q a p q понимают 1, т.е. a p q = 1,a>0 p aq Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений, которые приводятся в следующих теоретических материалах данного раздела. 3. Функционально-графический метод Метод основан на использовании графических иллюстраций или какихлибо свойств функций. В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем, находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения. 1. Решить уравнение 5 x =6 x Построим в одной системе координат графики функций y=5 x и y=6 x p aq 4
5 Они пересекаются в одной точке (1; 5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 5) удовлетворяет и уравнению y=5 x, и уравнению y=6 x. Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения, поскольку y=5 x возрастающая функция, а y=6 x убывающая функция. Итак, уравнение 5 x =6 x имеет единственный корень x=1. 2. Решить уравнение: (1 3)x =3; Построив в одной системе координат графики функций y=(1 3)x и y=3, 5
6 замечаем (см. рис.), что они имеют одну общую точку (-1; 3). Значит, уравнение (1 3)x =3; имеет единственный корень x= 1. Итак, из уравнения (1 3)x =(1 3)-1 мы получили x= Метод уравнивания показателей Так как равенство a t =a s, где a>0,a 1 справедливо тогда и только тогда, когда t=s, то верно следующее утверждение: Показательное уравнение a f(x) =a g(x) (где a>0, a 1) равносильно уравнению f(x)=g(x). 1. Решить уравнение: 2 2x 4 =64 Представив 64 как 2 6, перепишем заданное уравнение в виде 2 2x 4 =2 6 Это уравнение равносильно уравнению 2x 4=6, откуда находим: x=5 2. Решить уравнение: (13) 2x 3,5 = 13; Представим 13 как, перепишем заданное уравнение в виде (13) 2x 3,5 =(13) 0,5. Это уравнение равносильно уравнению 2x 3,5=0,5, откуда находим: x=2. 6
7 5. Метод введения новой переменнойия: Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем. Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения, получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения. Рассмотрим способ подстановки на примерах. Решить уравнение: 9 x 4 3 x 45=0. Заменой 3 x =t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 4t 45=0. Решая это уравнение, находим его корни: t 1 =9, t 2 = 5, откуда 3 x =9, 3 x = 5. Уравнение 3 x =9 имеет корень x=2, а уравнение 3 x = 5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения. x=2. Решить уравнение: 4 x +2 x+1 24=0 Заметив, что 4 x =(2 2) x =2 2x, а 2 x+1 =2 2 x, перепишем заданное уравнение в виде (2 x)2+2 2 x 24=0. Введем новую переменную y=2 x ; тогда уравнение примет вид y 2 +2y 24=0. Решив квадратное уравнение относительно y, находим: y 1 =4, y 2 = 6. Но y=2 x значит, нам остается решить два уравнения: 2 x =4; 2 x = 6. Из первого уравнения находим x=2, а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях x выполняется неравенство 2 x >0. Ответ: Показательные неравенства Показательными неравенствами называют неравенства вида a f(x) >a g(x), где a - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. Неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции: - для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее аргумента - для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. 7
8
Показательная функция y=a x возрастает при a>1 и убывает при 0
9
Это неравенство равносильно неравенству того же смысла 2x 4>6, т.к. основание равно 2>1 (a>1), откуда находим x>5. Показательное неравенство a f(x) >a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла f(x)
10 Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом, вместо log 10 b пишут lgb. Логарифм по основанию е, где е - иррациональное число, приближенно равное 2,7, называют натуральным логарифмом. Вместо log e b пишут lnb. 8. Основное логарифмическое тождествоя: Определение логарифма можно еще записать так: a log a b =b, где b>0, a>0, a 1. Это равенство называют основным логарифмическим тождеством log 13 2 =2 9. Логарифмическая функция, ее свойства и график Функцию, заданную формулой y=log a x, называют логарифмической функцией с основанием a. (a>0, a 1) 10
11
Основные свойства логарифмической функции: 1. Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел. D(f)=(0;+); 2. Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел. E(f)=(;+); 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>1 или убывает при 0
12 2. y=log1 x основание 0<1/3<1 3 x /3 1/9 y=log13x Логарифмическая функция y=log a x и показательная функция y=a x, где (a>0,a 1), взаимно обратны. 12
13 10. Основные свойства логарифмов Рассмотрим основные свойства логарифмов, которые часто применяются при вычислениях, при решении логарифмических уравнений и неравенств. Свойства, приведенные ниже, выполняются если a>0,a 1,b>0,c>0,r - любое действительное число. 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел log a (bc)=log a b+log a c 1.log 3 45=log 3 (9 5)=log 3 9+log 3 5=2+log
14 2.log 6 4+log 6 9=log 6 36=2 3.lg2+lg5=lg(2 5)=lg10=1 2. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя log a bc=log a b log a c 1. log log1 3=log =log Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени log a b r =rlog a b 1.log =17log 2 2=17 1= Формулы перехода от одного основания логарифма к другому Если a>0,a 1,b>0,c>0,c 1, то верно равенство log a b= log c b log c a 1.log 2 3= lg3 lg2 2.log 3 2= log 7 2 log 7 3 Если a>0,a 1,b>0,b 1, то верно равенство log a b= 1 log b a log 7 2= 1 log 2 7 Если a>0,a 1,b>0,r 0, то верно равенство log a b=log a r b r 1.log 5 3=log Решение логарифмических уравнений по определению логарифма Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в основании логарифма), называются логарифмическими. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение log a x=b, где основание a>1,a 1, а выражение, стоящее под знаком логарифма, x>0. 14
15 Для любого действительного b это уравнение имеет единственное решение x=a b Решить уравнение log 2 x=3 Решение. Вначале находим область допустимых значений (ОДЗ): x>0, т.к. под знаком логарифма должно быть положительное выражение. Для решения данного уравнения, достаточно воспользоваться определением логарифма, то есть представить число x как степень основания 2 логарифма, причем показатель степени равен 3. log 2 x=3 x=2 3 x=8 Найденное значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения. Ответ: x=8 Решить уравнение log 3 (x 2 +72)=4 Решение. ОДЗ: x2+72>0 x R По определению логарифма получаем x 2 +72=3 4 x 2 +72=81 x =0 x 2 9=0 (x 3)(x+3)=0 x 1 =3, x 2 = 3 Ответ: x 1 =3, x 2 = 3 Решить уравнение: lg(x+1)+lg(x+4)=1. Решение. По свойству логарифма преобразуем левую часть ОДЗ lg(x+1)(x+4)=1 { x + 1 > 0 x + 4 > 0 lg(x+1)(x+4)=lg10 (x+1)(x+4)=10 { x > 1 x > 4 15
16 x 2 +5x+4=10 x (1;+) x 2 +5x+4 10=0 x 2 +5x 6=0 По теореме Виета x1 + x2 = 5 { x1 x2 = 6 x 1= 6, x 2 =1 x= 6 не является корнем этого уравнения, т.к. не принадлежит ОДЗ. Ответ: x=1 13. Потенцирование Решение логарифмических уравнений типа log a f(x)=log a g(x) сводится к решению уравнения f(x)=g(x). Это следует из монотонности логарифмической функции. Потенцирование это переход от уравнения вида log a f(x)=log a g(x) к уравнению f(x)=g(x), где a - отличное от единицы положительное число, f(x) и g(x) - элементарные алгебраические функции, f(x)>0, g(x)>0. Для решения рассматриваемого типа уравнений достаточно найти все решения уравнения f(x)=g(x) и среди полученных выбрать те, которые принадлежат ОДЗ уравнения log a f(x)=log a g(x) В случае, если уравнение f(x)=g(x) решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение. Реши уравнение: log 5 (x+1)=log 5 (2x 3) Решение. Находим ОДЗ: { x + 1 > 0 2x 3 > 0 { x > 12 2x > 3 { x > 1 x > 1,5 x (1,5;+) Решаем уравнение x+1=2x 3 x 2x= 3 1 x= 4 x=4 принадлежит интервалу x (1,5;+), значит, является корнем исходного логарифмического уравнения. Ответ: x=4 16
17 14. Метод введения новой переменнойия: Уравнения вида f(log a x)=0 решаются с помощью подстановки t=log a x, которая приводит уравнение к виду f(t)=0. Если t корень уравнения f(t)=0, то после возвращения к подстановке t=log a x, можно найти корень исходного логарифмического уравнения, т.е. x=a t (аналогично находятся и другие корни, если они есть). 15. Логарифмирование: Уравнения вида 2 x =3; x log 3 x 2 =27 решаются логарифмированием обеих частей уравнения. логарифмирование это переход от уравнения f(x)=g(x) к уравнению log a f(x)=log a g(x) Рассмотрим на примерах. Реши уравнение 2 x =3 Решение. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 log 2 2 x =log 2 3 xlog 2 2=log 2 3, т.к. log a b r =r log a b x 1=log 2 3 x=log 2 3 Ответ: x=log 2 3 Реши уравнение: x log 3 x 2 =27 Решение. ОДЗ: { x > 0 x 1 x (0;1) (1;+) Прологарифмируем обе части по основанию 3 log 3 x(log 3 x 2)=log 3 27 (log 3 x 2) log 3 x=3, т.к. log a b r =rlog a b Пусть log 3 x=t (t 2) t=3 t 2 2t 3=0 По теореме Виета t1 + t2 = 2 { t1 t2 = 3 t 1=3, t 2 = 1 17
18
Вернемся к обозначенному log 3 x=3 x 1 =3 3 =27 log 3 x= 1 x 2 =3 1 =1/3 Оба значения принадлежат ОДЗ. Ответ:1/3; Логарифмические неравенства Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции. Поэтому решение неравенств вида log a f(x)>log a g(x) сводится к решению соответствующих неравенств для функций f(x) и g(x). Обрати внимание! Если основание a>1, то переходят к неравенству f(x)>g(x) (знак неравенства не меняется), т.к. в этом случае логарифмическая функция возрастающая. Если основание 0
19
x (2,5;+) x (2,5; +) { x (; 3) 2,5 3 Ответ:x (2,5;3) Решить неравенство log 0,5 (x 2) log 0,5 (2x 12) Решение. ОДЗ: { x 2 > 0 2x 12 > { x > 2 2x > 12 { x > 2 x>6, x (6;+) x > 6 log0,5(x 2) log0,5(2x 12) x 2x x 12 x 2x 12+2 x 10 x 10 x }
