Вычислить интеграл ограниченный линиями онлайн. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. При вращении вокруг оси О y формула имеет вид

§ 129. Предварительные разъяснения.

Человек постоянно имеет дело с самыми разнообразными величинами. Служащий и рабочий стараются к определённому времени попасть на службу, на работу, пешеход спешит дойти до известного места кратчайшим путём, истопник парового отопления беспокоится о том, что температура в котле медленно поднимается, хозяйственник строит планы снижения стоимости продукции и т. д.

Таких примеров можно было бы привести сколько угодно. Время, расстояние, температура, стоимость - всё это разнообразные величины. В первой и во второй частях настоящей книги мы ознакомились с некоторыми особенно часто встречающимися величинами: площадью, объёмом, весом. Со многими величинами мы встречаемся при изучении физики и других наук.

Представьте себе, что вы едете в поезде. Время от времени вы смотрите на часы и замечаете, как долго вы уже находитесь в пути. Вы говорите, например, что со времени отправления вашего поезда прошло 2, 3, 5, 10, 15 часов и т. д. Эти числа обозначают различные промежутки времени; они называются значениями этой величины (времени). Или вы смотрите в окно и следите по дорожным столбам за расстоянием, которое проходит ваш поезд. Перед вами мелькают числа 110, 111, 112, 113, 114 км. Эти числа обозначают различные расстояния, которые прошёл поезд от места отправления. Они тоже называются значениями, на этот раз другой величины (пути или расстояния между двумя пунктами). Таким образом, одна величина, например время, расстояние, температура, может принимать сколько угодно различных значений.

Обратите внимание на то, что человек почти никогда не рассматривает только одну величину, а всегда с в я з ы в а е т её с какими-нибудь другими величинами. Ему приходится одновременно иметь дело с двумя, тремя и большим числом величин. Представьте себе, что вам нужно к 9 часам попасть в школу. Вы смотрите на часы и видите, что в вашем распоряжении 20 минут. Тогда вы быстро соображаете, стоит ли вам садиться в трамвай или вы успеете дойти до школы пешком. Подумав, вы решаете идти пешком. Заметьте, что в то время, когда вы думали, вы решали некоторую задачу. Эта задача стала простой и привычной, так как вы решаете такие задачи каждый день. В ней вы быстро сопоставили несколько величин. Именно вы посмотрели на часы, значит, учли время, затем вы мысленно представили себе р а с с т о я н и е от вашего дома до школы; наконец, вы сравнили две величины: скорость вашего шага и скорость трамвая, и сделали вывод, что за данное время (20 мин.) вы успеете дойти пешком. Из этого простого примера вы видите, что в нашей практике некоторые величины связаны между собой, т. е. зависят друг от друга

В главе двенадцатой было рассказано об отношении однородных величин. Например, если один отрезок равен 12 м, а другой 4 м, то отношение этих отрезков будет 12: 4.

Мы говорили, что это есть отношение двух однородных величин. Можно сказать иначе, что это есть отношение двух чисел одного наименования.

Теперь, когда мы больше познакомились с величинами и ввели понятие значения величины, можно по-новому высказать определение отношения. В самом деле, когда мы рассматривали два отрезка 12 м и 4 м, то мы говорили об одной величине - длине, а 12 м и 4 м - это были только два разных значения этой величины.

Поэтому в дальнейшем, когда мы станем говорить об отношении, то будем рассматривать при этом два значения одной какой-нибудь величины, а отношением одного значения величины к другому значению той же величины будем называть частное от деления первого значения на второе.

§ 130. Величины прямо пропорциональные.

Рассмотрим задачу, в условие которой входят две величины: расстояние и время.

Задача 1. Тело, движущееся прямолинейно и равномерно, проходит в каждую секунду 12 см. Определить путь, пройденный телом в 2, 3, 4, ..., 10 секунд.

Составим таблицу, по которой можно было бы следить за изменением времени и расстояния.

Таблица даёт нам возможность сопоставить эти два ряда значений. Мы видим из неё, что когда значения первой величины (времени) постепенно увеличиваются в 2, 3, ..., 10 раз, то и значения второй величины (расстояния) тоже увеличиваются в 2, 3,..., 10 раз. Таким образом, при увеличении значений одной величины в несколько раз значения другой величины увеличиваются во столько же раз, а при уменьшении значений одной величины в несколько раз значения другой величины уменьшаются во столько же раз.

Рассмотрим теперь задачу, в которую входят две такие величины: количество материи и стоимость её.

Задача 2. 15 м ткани стоят 120 руб. Вычислить стоимость этой ткани для нескольких других количеств метров, указанных в таблице.

По этой таблице мы можем проследить, каким образом постепенно возрастает стоимость товара в зависимости от увеличения его количества. Несмотря на то что в этой задаче фигурируют совсем другие величины (в первой задаче - время и расстояние, а здесь - количество товара и его стоимость), тем не менее в поведении этих величин можно обнаружить большое сходство.

В самом деле, в верхней строке таблицы идут числа, обозначающие число метров ткани, под каждым из них написано число, выражающее стоимость соответствующего количества товара. Даже при беглом взгляде на эту таблицу видно, что числа и в верхнем и в нижнем ряду возрастают ; при более же внимательном рассмотрении таблицы и при сравнении отдельных столбцов обнаруживается, что во всех случаях значения второй величины возрастают во столько же раз, во сколько возрастают значения первой, т. е. если значение первой величины возросло, положим, в 10 раз, то и значение второй величины увеличилось тоже в 10 раз.

Если мы станем просматривать таблицу справа налево , то обнаружим, что указанные значения величин будут уменьшаться в одинаковое число раз. В этом смысле между первой задачей и второй имеется безусловное сходство.

Пары величин, с которыми мы встретились в первой и второй задачах, называются прямо пропорциональными.

Таким образом, если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины называются прямо пропорциональными.

О таких величинах говорят также, что они связаны между собой прямо пропорциональной зависимостью.

В природе и в окружающей нас жизни встречается множество подобных величин. Приведём примеры:

1. Время работы (день, два дня, три дня и т. д.) и заработок , полученный за это время при подённой оплате труда.

2. Объём какого-нибудь предмета, сделанного из однородного материала, и вес этого предмета.

§ 131. Свойство прямо пропорциональных величин.

Возьмём задачу, в которую входят следующие две величины: рабочее время и заработок. Если ежедневный заработок 20 руб., то заработок за 2 дня будет 40 руб., и т. д. Удобнее всего составить таблицу, в которой определённому числу дней будет соответствовать определённый заработок.

Рассматривая эту таблицу, мы видим, что обе величины приняли 10 различных значений. Каждому значению первой величины соответствует определённое значение второй величины, например 2 дням соответствуют 40 руб.; 5 дням соответствуют 100 руб. В таблице эти числа написаны одно под другим.

Мы уже знаем, что если две величины прямо пропорциональны, то каждая из них в процессе своего изменения увеличивается во столько же раз, во сколько раз увеличивается и другая. Отсюда сразу следует: если мы возьмём отношение каких-нибудь двух значений первой величины, то оно будет равно отношению двух соответствующих значений второй величины. В самом деле:

Почему это происходит? А потому, что эти величины прямо пропорциональны, т. е. когда одна из них (время) увеличилась в 3 раза, то и другая (заработок) увеличилась в 3 раза.

Мы пришли, следовательно, к такому выводу: если взять два каких-нибудь значения первой величины и разделить их одно на другое, а потом разделить одно на другое соответствующие им значения второй величины, то в обоих случаях получится одно и то же число, т. е. одно и то же отношение. Значит, два отношения, которые мы выше написали, можно соединить знаком равенства, т. е.

Нет сомнения в том, что если бы мы взяли не эти отношения, а другие и не в том порядке, а в обратном, то также получили бы равенство отношений. В самом деле, будем рассматривать значения наших величин слева направо и возьмём третьи и девятые значения:

60:180 = 1 / 3 .

Значит, мы можем написать:

Отсюда вытекает такой вывод: если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

§ 132. Формула прямой пропорциональности.

Составим таблицу стоимости различных количеств конфет, если 1 кг их стоит 10,4 руб.

Теперь поступим таким образом. Возьмём любое число второй строки и разделим его на соответствующее число первой строки. Например:

Вы видите, что в частном всё время получается одно и то же число. Следовательно, для данной пары прямо пропорциональных величин частное от деления любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное (т. е. не изменяющееся). В нашем примере это частное равно 10,4. Это постоянное число называется коэффициентом пропорциональности. В данном случае оно выражает цену единицы измерения, т. е. одного килограмма товара.

Как найти или вычислить коэффициент пропорциональности? Чтобы это сделать, нужно взять любое значение одной величины и разделить его на соответствующее значение другой.

Обозначим это произвольное значение одной величины буквой у , а соответствующее значение другой величины - буквой х , тогда коэффициент пропорциональности (обозначим его К ) найдём посредством деления:

В этом равенстве у - делимое, х - делитель и К - частное, а так как по свойству деления делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:

y = Kx

Полученное равенство называется формулой прямой пропорциональности. Пользуясь этой формулой, мы можем вычислить сколько угодно значений одной из прямо пропорциональных величин, если знаем соответствующие значения другой величины и коэффициент пропорциональности.

Пример. Из физики мы знаем, что вес Р какого-либо тела равен его удельному весу d , умноженному на объём этого тела V , т. е. Р = d V .

Возьмём пять железных болванок различного объёма; зная удельный вес железа (7,8), можем вычислить веса этих болванок по формуле:

Р = 7,8 V .

Сравнивая эту формулу с формулой у = Кх , видим, что у = Р , х = V , а коэффициент пропорциональности К = 7,8. Формула та же, только буквы другие.

Пользуясь этой формулой, составим таблицу: пусть объем 1-й болванки равен 8 куб. см, тогда вес её равен 7,8 8 = 62,4 (г). Объём 2-й болванки 27 куб. см. Её вес равен 7,8 27 = 210,6 (г). Таблица будет иметь такой вид:

Вычислите сами числа, недостающие в этой таблице, пользуясь формулой Р = d V .

§ 133. Другие способы решения задач с прямо пропорциональными величинами.

В предыдущем параграфе мы решили задачу, в условие которой входили прямо пропорциональные величины. Для этой цели мы предварительно вывели формулу прямой пропорциональности и потом эту формулу применяли. Теперь мы покажем два других способа решения подобных задач.

Составим задачу по числовым данным, приведённым в таблице предыдущего параграфа.

Задача. Болванка объёмом 8 куб. см весит 62,4 г. Сколько будет весить болванка объёмом 64 куб. см?

Решение. Вес железа, как известно, пропорционален его объёму. Если 8 куб. см весят 62,4 г, то 1 куб. см будет весить в 8 раз меньше, т. е.

62,4: 8 = 7,8 (г).

Болванка объёмом 64 куб. см будет весить в 64 раза больше, чем болванка в 1 куб. см, т. е.

7,8 64 = 499,2(г).

Мы решили нашу задачу способом приведения к единице. Смысл этого названия оправдывается тем, что для её решения нам пришлось в первом вопросе найти вес единицы объёма.

2. Способ пропорции. Решим эту же задачу способом пропорции.

Так как вес железа и его объём - величины прямо пропорциональные, то отношение двух значений одной величины (объёма) равно отношению двух соответствующих значений другой величины (веса), т. е.

(буквой Р мы обозначили неизвестный вес болванки). Отсюда:

(г).

Задача решена способом пропорций. Это значит, что для её решения была составлена пропорция из чисел, входящих в условие.

§ 134. Величины обратно пропорциональные.

Рассмотрим следующую задачу: «Пять каменщиков могут сложить кирпичные стены дома в 168 дней. Определить, во сколько дней могли бы выполнить ту же работу 10, 8, 6 и т. д. каменщиков».

Если 5 каменщиков сложили стены дома за 168 дней, то (при одинаковой производительности труда) 10 каменщиков могли бы выполнить это вдвое скорее, так как в среднем 10 человек выполняют работу в два раза большую, чем 5 человек.

Составим таблицу, по которой можно было бы следить за изменением числа рабочих и рабочего времени.

Например, чтобы узнать, сколько дней потребуется 6 рабочим, надо сначала вычислить, сколько дней требуется одному рабочему (168 5 = 840), а затем - шести рабочим (840: 6 = 140). Рассматривая эту таблицу, мы видим, что обе величины приняли шесть различных значений. Каждому значению первой величины соответствует определённее; значение второй величины, например 10-ти соответствует 84, числу 8 - число 105 и т. д.

Если мы будем рассматривать значения обеих величин слева направо, то увидим, что значения верхней величины возрастают , a значения нижней убывают . Возрастание и убывание подчинено следующему закону: значения числа рабочих увеличиваются во столько же раз, во сколько раз уменьшаются значения затраченного рабочего времени. Ещё проще эту мысль можно выразить так: чем б о л ь ш е занято в каком-либо деле рабочих, тем меньше им нужно времени для выполнения определённой работы. Две величины, с которыми мы встретились в этой задаче, называются обратно пропорциональными.

Таким образом, если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой уменьшается (увеличивается) во столько же раз, то такие величины называются обратно пропорциональными.

В жизни встречается много подобных величин. Приведём примеры.

1. Если на 150 руб. нужно купить несколько килограммов конфет, то количество конфет будет зависеть от ц е н ы одного килограмма. Чем выше цена, тем меньше можно купить на эти деньги товара; это видно из таблицы:

С повышением в несколько раз цены конфет уменьшается во столько же раз число килограммов конфет, какое можно купить на 150 руб. В этом случае две величины (вес товара и его цена) обратно пропорциональны.

2. Если расстояние между двумя городами 1 200 км, то оно может быть пройдено в различное время в зависимости от скорости передвижения. Существуют разные способы передвижения: пешком, на лошади, на велосипеде, на пароходе, в автомобиле, поездом, на самолёте. Чем меньше скорость , тем больше нужно времени для передвижения. Это видно из таблицы:

С увеличением скорости в несколько раз время передвижения уменьшается во столько же раз. Значит, при данных условиях скорость и время - величины обратно пропорциональные.

§ 135. Свойство обратно пропорциональных величин.

Возьмём второй пример, который мы рассматривали в предыдущем параграфе. Там мы имели дело с двумя величинами - скоростью движения и временем. Если мы будем рассматривать по таблице значения этих величин слева направо, то увидим, что значения первой величины (скорости) возрастают, а значения второй (времени) убывают, причём скорость увеличивается во столько же раз, во сколько раз уменьшается время. Нетрудно сообразить, что если написать отношение каких-нибудь значений одной величины, то оно не будет равно отношению соответствующих значений другой величины. В самом деле, если мы возьмём отношение четвёртого значения верхней величины к седьмому значению (40: 80), то оно не будет равно отношению четвёртого и седьмого значений нижней величины (30: 15). Это можно написать так:

40: 80 не равно 30: 15, или 40: 80 =/= 30: 15.

Но если вместо одного из этих отношений взять обратное, то получится равенство, т. е. из этих отношений можно будет составить пропорцию. Например:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

На основании изложенного мы можем сделать такой вывод: если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

§ 136. Формула обратной пропорциональности.

Рассмотрим задачу: «Имеется 6 кусков шёлковой ткани разной величины и различных сортов. Стоимость всех кусков одинаковая. В одном куске 100 м ткани ценой по 20 руб. за метр. Сколько метров в каждом из остальных пяти кусков, если метр ткани в эгих кусках соответственно стоит 25, 40, 50, 80, 100 руб.?» Для решения этой задачи составим таблицу:

Нам нужно заполнить пустые клетки в верхней строке этой таблицы. Попробуем сначала определить, сколько метров во втором куске. Это можно сделать следующим образом. Из условия задачи известно, что стоимость всех кусков одинаковая. Стоимость первого куска определить легко: в нём 100 м и каждый метр стоит 20 руб., значит, в первом куске шёлка на 2 000 руб. Так как во втором куске шёлка на столько же рублей, то, разделив 2 000 руб. на цену одного метра, т. е. на 25, мы найдём величину второго куска: 2 000: 25 = 80 (м). Таким же образом мы найдём величину всех остальных кусков. Таблица примет вид:

Нетрудно видеть, что между числом метров и ценой существует обратно пропорциональная зависимость.

Если вы сами проделаете необходимые вычисления, то заметите, что каждый раз вам придётся делить число 2 000 на цену 1 м. Наоборот, если вы теперь начнёте умножать величину куска в метрах на цену 1 м, то всё время будете получать число 2 000. Этого и нужно было ожидать, так как каждый кусок стоит 2 000 руб.

Отсюда можно сделать такой вывод: для данной пары обратно пропорциональных величин произведение любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное (т. е. не изменяющееся).

В нашей задаче это произведение равно 2 000. Проверьте, что и в предыдущей задаче, где говорилось о скорости движения и времени, необходимом для переезда из одного города в другой, существовало также постоянное для той задачи число (1 200).

Принимая во внимание все сказанное, легко вывести формулу обратной пропорциональности. Обозначим некоторое значение одной величины буквой х , а соответствующее значение другой ве личины - буквой у . Тогда на основании изложенного произведение х на у должно быть равно некоторой постоянной величине, которую обозначим буквой К , т. е.

х у = К .

В этом равенстве х - множимое, у - множитель и K - произведение. По свойству умножения множитель равен произведению, делённому на множимое. Значит,

Это и есть формула обратной пропорциональности. Пользуясь ею, мы можем вычислить сколько угодно значений одной из обратно пропорциональных величин, зная значения другой и постоянное число К .

Рассмотрим ещё задачу: «Автор одного сочинения рассчитал, что если его книга будет иметь обычный формат, то в ней будет 96 страниц, если же карманный формат, то в ней окажется 300 страниц. Он испробовал разные варианты, начал с 96 страниц, и тогда у него на странице получилось 2 500 букв. Затем он взял те числа страниц, какие указаны ниже в таблице, и снова вычислил, сколько букв будет на странице».

Попробуем и мы вычислить, сколько будет букв на странице, если в книге будет 100 страниц.

Во всей книге 240 000 букв, так как 2 500 96 = 240 000.

Принимая это во внимание, воспользуемся формулой обратной пропорциональности (у - число букв на странице, х - число страниц):

В нашем примере К = 240 000, следовательно,

Итак, на странице 2 400 букв.

Подобно этому узнаем, что если в книге будет 120 страниц, то число букв на странице будет:

Наша таблица примет вид:

Остальные клетки заполните самостоятельно.

§ 137. Другие способы решения задач с обратно пропорциональными величинами.

В предыдущем параграфе мы решали задачи, в условия которых входили обратно пропорциональные величины. Мы предварительно вывели формулу обратной пропорциональности и потом эту формулу применяли. Теперь мы покажем для таких задач два других способа решения.

1. Способ приведения к единице.

Задача. 5 токарей могут сделать некоторую работу в 16 дней. Во сколько дней могут выполнить эту работу 8 токарей?

Решение. Между числом токарей и рабочим временем существует обратно пропорциональная зависимость. Если 5 токарей делают работу за 16 дней, то одному человеку для этого понадобится в 5 раз больше времени, т. е.

5 токарей выполняют работу в 16 дней,

1 токарь выполнит её в 16 5 = 80 дней.

В задаче спрашивается, во сколько дней выполнят работу 8 токарей. Очевидно, они справятся с работой в 8 раз скорее, чем 1 токарь, т. е. за

80: 8 = 10 (дней).

Это и есть решение задачи способом приведения к единице. Здесь пришлось прежде всего определить время выполнения работы одним рабочим.

2. Способ пропорции. Решим ту же задачу вторым способом.

Так как между числом рабочих и рабочим временем существует обратно пропорциональная зависимость, то можно написать: продолжительность работы 5 токарей новое число токарей (8) продолжительность работы 8 токарей прежнее число токарей (5) Обозначим искомую продолжительность работы буквой х и подставим в пропорцию, выраженную словами, необходимые числа:

Та же самая задача решена способом пропорций. Для её решения нам пришлось составить пропорцию из чисел, входящих в условие задачи.

Примечание. В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопрос о прямой и обратной пропорциональности. Природа и жизнь дают нам множество примеров прямой и обратной пропорциональной зависимости величин. Однако нужно заметить, что эти два вида зависимости являются только простейшими. Наряду с ними встречаются иные, более сложные зависимости между величинами. Кроме того, не нужно думать, что если какие-нибудь две величины одновременно возрастают, то между ними обязательно существует прямая пропорциональность. Это далеко не так. Например, плата за проезд по железной дороге возрастает в зависимости от расстояния: чем дальше мы едем, тем больше платим, ко это не значит, что плата пропорциональна расстоянию.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз.

Пропорциональность бывает прямой и обратной. В данном уроке мы рассмотрим каждую из них.

Содержание урока

Прямая пропорциональность

Предположим, что автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч. Мы помним, что скорость это расстояние, пройденное за единицу времени (1 час, 1 минуту или 1 секунду). В нашем примере автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч, то есть за один час он будет проезжать расстояние, равное пятидесяти километрам.

Изобразим на рисунке расстояние, пройденное автомобилем за 1 час

Пусть автомобиль проехал еще один час с той же скоростью, равной пятидесяти километрам в час. Тогда получится, что автомобиль проедет 100 км

Как видно из примера, увеличение времени в два раза привело к увеличению пройденного расстояния во столько же раз, то есть в два раза.

Такие величины, как время и расстояние называют прямо пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют прямой пропорциональностью .

Прямой пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.

и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая уменьшается во столько же раз.

Предположим, что изначально планировалось проехать на автомобиле 100 км за 2 часа, но проехав 50 км, водитель решил отдохнуть. Тогда получится, что уменьшив расстояние в два раза, время уменьшится во столько же раз. Другими словами, уменьшение пройденного расстояния приведет к уменьшению времени во столько же раз.

Интересная особенность прямо пропорциональных величин заключается в том, что их отношение всегда постоянно. То есть, при изменении значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние сначала было равно 50 км, а время одному часу. Отношение расстояния ко времени есть число 50.

Но мы увеличили время движения в 2 раза, сделав его равным двум часам. В результате пройденное расстояние увеличилось во столько же раза, то есть стало равно 100 км. Отношение ста километров к двум часам опять же есть число 50

Число 50 называют коэффициентом прямой пропорциональности . Он показывает сколько расстояния приходится на час движения. В данном случае коэффициент играет роль скорости движения, поскольку скорость это отношение пройденного расстояния ко времени.

Из прямо пропорциональных величин можно составлять пропорции. К примеру, отношения и составляют пропорцию:

Пятьдесят километров так относятся к одному часу, как сто километров относятся к двум часам.

Пример 2 . Стоимость и количество купленного товара являются прямо пропорциональными величинами. Если 1 кг конфет стоит 30 рублей, то 2 кг этих же конфет обойдутся в 60 рублей, 3 кг в 90 рублей. С увеличением стоимости купленного товара, его количество увеличивается во столько же раз.

Поскольку стоимость товара и его количество являются прямо пропорциональными величинами, то их отношение всегда постоянно.

Запишем чему равно отношение тридцати рублей к одному килограмму

Теперь запишем чему равно отношение шестидесяти рублей к двум килограммам. Это отношение опять же будет равно тридцати:

Здесь коэффициентом прямой пропорциональности является число 30. Этот коэффициент показывает сколько рублей приходится на килограмм конфет. В данном примере коэффициент играет роль цены одного килограмма товара, поскольку цена это отношение стоимости товара на его количество.

Обратная пропорциональность

Рассмотрим следующий пример. Расстояние между двумя городами 80 км. Мотоциклист выехал из первого города, и со скоростью 20 км/ч доехал до второго города за 4 часа.

Если скорость мотоциклиста составила 20 км/ч это значит, что каждый час он проезжал расстояние равное двадцати километрам. Изобразим на рисунке расстояние, пройденное мотоциклистом, и время его движения:

На обратном пути скорость мотоциклиста была 40 км/ч, и на тот же путь он затратил 2 часа.

Легко заметить, что при изменении скорости, время движения изменилось во столько же раз. Причем изменилось в обратную сторону — то есть, скорость увеличилась, а время наоборот уменьшилось.

Такие величины, как скорость и время называют обратно пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют обратной пропорциональностью .

Обратной пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой уменьшение другой во столько же раз.

и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая увеличивается во столько же раз.

К примеру, если на обратном пути скорость мотоциклиста составила бы 10 км/ч, то те же 80 км он преодолел бы за 8 часов:

Как видно из примера, уменьшение скорости привело к увеличению времени движения во столько же раз.

Особенность обратно пропорциональных величин заключается в том, что их произведение всегда постоянно. То есть, при изменении значений обратно пропорциональных величин, их произведение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние между городами было равно 80 км. При изменении скорости и времени движения мотоциклиста, это расстояние всегда оставалось неизменным

Мотоциклист мог проехать это расстояние со скоростью 20 км/ч за 4 часа, и со скоростью 40 км/ч за 2 часа, и со скоростью 10 км/ч за 8 часов. Во всех случаях произведение скорости и времени было равно 80 км

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла и знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл численно равен площади плоской фигуры (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице: .

Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что на отрезке . Площадь данной фигуры численно равна:

Изобразим область на чертеже:

Выберем первый способ обхода области:

Таким образом:

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности . Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции . Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла! Смотрите урок Вычисление площади с помощью определенного интеграла , там она на каждом шагу!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла! Фактически это одно и тоже!

Соответственно, никаких трудностей возникнуть не должно! Я рассмотрю не очень много примеров, так как вы, по сути, неоднократно сталкивались с данной задачей.

Пример 9

Решение: Изобразим область на чертеже:

Выберем следующий порядок обхода области:

Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход области, поскольку в первом параграфе были приведены очень подробные разъяснения.

Таким образом:

Как я уже отмечал, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я:

1) Сначала с помощью формулы Ньютона-Лейбница разбираемся с внутренним интегралом:

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:

Пункт 2 – фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла.

Ответ:

Вот такая вот глупая и наивная задача.

Любопытный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями , ,

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

В Примерах 9-10 значительно выгоднее использовать первый способ обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в заключение курса молодого ботана рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:

Пример 11

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: нас с нетерпением ждут две параболы с бзиком, которые лежат на боку. Улыбаться не нужно, похожие вещи в кратных интегралах встречаются частенько.

Как проще всего сделать чертёж?

Представим параболу в виде двух функций:
– верхняя ветвь и – нижняя ветвь.

Аналогично, представим параболу в виде верхней и нижней ветвей.

Далее рулит поточечное построение графиков, в результате чего получается вот такая причудливая фигура:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых, данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину: . Интегралы, конечно, не сверхсложного уровня, но… существует старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.

Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:

Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без всяких там листьев, желудей веток и корней.

Согласно второму способу, обход области будет следующим:

Таким образом:

Как говорится, ощутите разницу.

1) Расправляемся с внутренним интегралом:

Результат подставляем во внешний интеграл:

Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней. Хотя кто прочитал второй параграф урока Как вычислить объем тела вращения , тот уже не испытывает ни малейшей неловкости с интегрированием по «игрек».

Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция является чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Данный приём подробно закомментирован на уроке Эффективные методы вычисления определённого интеграла .

Что добавить…. Всё!

Ответ:

Для проверки своей технике интегрирования можете попробовать вычислить . Ответ должен получиться точно таким же.

Пример 12

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями

Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных интегралов. Бывает и такое.

Мастер класс подошел к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень – Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений . Постараюсь во второй статье так не маньячить =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Изобразим область на чертеже:

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:
Перейдём к обратным функциям:

Таким образом:
Ответ:

Пример 4: Решение: Перейдём к прямым функциям:

Выполним чертёж:

Изменим порядок обхода области:

Ответ:

Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла . Наконец-то все ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Не.

2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений . Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому актуальным вопросом будут также ваши знания и навыки построения чертежей. Как минимум, надо уметь строить прямую, параболу и гиперболу.

Начнем с криволинейной трапеции. Криволинейной трапеция - это плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции y = f (x ), осью OX и линиями x = a ; x = b .

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу

У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений мы говорили, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ . То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Рассмотрим определенный интеграл

Подынтегральная функция

задает на плоскости кривую (её при желании можно начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

, , , .

Это типовая формулировка задания. Важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. С техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций . Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение y = 0 задает ось OX ):

Штриховать криволинейную трапецию не будем, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке [-2; 1] график функции y = x 2 + 2 расположен над осью OX , поэтому:

Ответ: .

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница

обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений . После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 4, x = 2, x = 4 и осью OX .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью OX ?

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e - x , x = 1 и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX , то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае:

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2x – x 2 , y = -x .

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. При построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы y = 2x – x 2 и прямой y = -x . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования a = 0, верхний предел интегрирования b = 3. Часто выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

Повторимся, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматоматически».

А теперь рабочая формула:

Если на отрезке [a ; b ] некоторая непрерывная функция f (x ) больше либо равна некоторой непрерывной функции g (x ), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2x – x 2 необходимо вычесть –x .

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой y = 2x – x 2 сверху и прямой y = -x снизу.

На отрезке 2x – x 2 ≥ -x . По соответствующей формуле:

Ответ: .

На самом деле, школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. пример №3) – частный случай формулы

Поскольку ось OX задается уравнением y = 0, а график функции g (x ) расположен ниже оси OX , то

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

Пример 5

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но, по невнимательности,… найдена площадь не той фигуры.

Пример 7

Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике, по невнимательности, нередко решают, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке [-1; 1] над осью OX расположен график прямой y = x +1;

2) На отрезке над осью OX расположен график гиперболы y = (2/x ).

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Представим уравнения в «школьном» виде

и выполним поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: b = 1.

Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?

Может быть, a =(-1/3)? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что a =(-1/4). А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения графиков

Для этого решаем уравнение:

Следовательно, a =(-1/3).

Дальнейшее решение тривиально. Главное, не запутаться в подстановках и знаках. Вычисления здесь не самые простые. На отрезке

, ,

по соответствующей формуле:

Ответ:

В заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.

Пример 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.

Для поточечного построения чертежа необходимо знать внешний вид синусоиды. Вообще, полезно знать графики всех элементарных функций, а также некоторые значения синуса. Их можно найти в таблице значений тригонометрических функций . В ряде случаев (например, в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия:

– «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

На отрезке график функции y = sin 3 x расположен над осью OX , поэтому:

(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях, можно посмотреть на уроке Интегралы от тригонометрических функций . Отщипываем один синус.

(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде