• 1.6.5

  17 Dec 2017

  Задания формата 2018 года

• 1.6.4

  29 Nov 2017

  Добавлена совместимость с iOS 11.

• 1.6.2

  11 Nov 2017

  Добавлены задания и обновлены шкалы в соответствии с демоверсиями ЕГЭ−2018, настроена поддержка рисунков в векторных форматах.

• 1.6.1

  8 Aug 2017

  Уточнены шкалы по всем предметам.

• 1.6.0

  13 Feb 2017

  Исправлен баг с иностранными языками.

• 1.5.9

  18 Jan 2017

  Добавлена возможность регистрации на портале через приложение.

• 1.5.8

  9 Jan 2017

  Исправлена ошибка, приводящая к вылетам при загрузке обновлений заданий.

• 1.5.7

  2 Jan 2017

  Обновление безопасности

• 1.5.6

  4 Dec 2016

  Исправлена ошибка с вылетом при решении заголовочных тем в каталоге заданий.

• 1.5.5

  15 Nov 2016

  Добавлена возможность скачать сразу все задания по темам.

• 1.5.4

  28 Oct 2016

  Добавлена возможность записи статистики при решении в каталоге заданий и режиме экзамена.

• 1.5.3

  24 Oct 2016

• 1.5.2

  4 Jul 2016

  Добавлен поиск по номеру варианта и по номеру задания.
  Небольшие изменения в дизайне.

• 1.5.0

  14 Jun 2016

  Добавлен раздел новостей.
  Добавлен раздел просмотра статистики.
  Добавлен раздел об экзамене, шкала баллов.
  Добавлен раздел о проекте.
  Добавлена возможность проверки обновлений в ручную.
  Темы в разделе "Каталог заданий" разделены на подтемы.

• 1.4.0

  2 Jun 2016

• 1.3.0

  31 May 2016

  Добавлен поиск заданий по ключевым словам.

• 1.2.1

  18 May 2016

  Добавлена возможность решать задания оффлайн.
  Добавлена возможность скачивать задания по темам.

• 1.1.4

  2 May 2016

  Добавлено оповещение при проблемах на сервере.

• 1.1.3

  29 Apr 2016

  Исправлены ошибки, связанные с вылетами приложения.
  Для полной работоспособности вылетающие предметы требуется заново скачать по иконке справа.

• 1.1.1

  26 Apr 2016

  Исправлены некоторые ошибки с вылетами из приложения.
  Добавлена теория по русскому языку и математике.

О теореме Пифагора и способах ее доказательства

Г. Глейзер,
академик РАО, Москва

О теореме Пифагора и способах ее доказательства

Статья опубликована при поддержке компании «Мастер перевода». Хотите качественный и быстрый перевод? Обратитесь в бюро нотариальных переводов «Мастер перевода». Качество услуг гарантировано постоянными клиентами бюро, среди которых множество именитых российских компаний. Посетите официальный сайт компании www.masterperevoda.ru и ознакомьтесь подробнее с предоставляемыми им услугами.

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах...

Это одна из самых известных геометрических теорем древности, называемая теоремой Пифагора. Ее и сейчас знают практически все, кто когда-либо изучал планиметрию. Мне кажется, что если мы хотим дать знать внеземным цивилизациям о существовании разумной жизни на Земле, то следует посылать в космос изображение Пифагоровой фигуры. Думаю, что если эту информацию смогут принять мыслящие существа, то они без сложной дешифровки сигнала поймут, что на Земле существует достаточно развитая цивилизация.

Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. С его именем связано много легенд. Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет и Вавилон. В одной из греческих колоний Южной Италии им была основана знаменитая «Пифагорова школа», сыгравшая важную роль в научной и политической жизни древней Греции. Именно Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы. На основе преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и др.), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора.

Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. Мы не знаем, как он это сделал. Некоторыми историками математики предполагается, что все же доказательство Пифагора было не принципиальным, а лишь подтверждением, проверкой этого свойства на ряде частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого оно очевидно следует из рис. 1.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более полутора сотен, но стремление к преумножению их числа сохранилось. Думаю, что самостоятельное «открытие» доказательств теоремы Пифагора будет полезно и современным школьникам.

Рассмотрим некоторые примеры доказательств, которые могут подсказать направления таких поисков.

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.

• На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c 2 = a 2 + b 2 . Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Аддитивные доказательства.

Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.

Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; C О MN; CK ^ MN; PO||MN; EF||MN.

Самостоятельно докажите попарное равенство треугольников, полученных при разбиении квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.

• На рис. 4 приведено доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; DE = BF.

Докажите теорему с помощью этого разбиения.

• На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (рис. 5, здесь ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C).

• Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис. 6. Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.

• Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом. Может быть предложено много и других доказательств теоремы Пифагора с помощью разложения квадратов на фигуры.

Доказательства методом достроения.

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь C О EP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

отсюда c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c 2 ;

OBMP = OCLP + CBML;

отсюда

c 2 = a 2 + b 2 .

• Рис. 11 иллюстрирует еще одно более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом.
  Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим

Алгебраический метод доказательства.

На рис. 13 ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CM ^ AB, b 1 – проекция катета b на гипотенузу, a 1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

Из того, что D ABC подобен D ACM следует

b 2 = cb 1 ; (1)

из того, что D ABC подобен D BCM следует

a 2 = ca 1 . (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

откуда следует, что c 2 =a 2 +b 2 .

во втором

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

• Существует много доказательств теоремы Пифагора, проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов. Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис. 16 – 23). На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения – пунктирной.

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. М., 1982.
3. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.
4. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
5. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.

Анимационное доказательство теоремы Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что она доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого она названа (есть и другие версии, в частности альтернативное мнение, что эта теорема в общем виде была сформулирована математиком-пифагорейцем Гиппасом).
Теорема гласит:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Обозначив длину гипотенузы треугольника c, а длины катетов как a и b, получим следующую формулу:

Таким образом, теорема Пифагора устанавливает соотношение, которое позволяет определить сторону прямоугольного треугольника, зная длины двух других. Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, которая определяет соотношение между сторонами произвольного треугольника.
Также доказано обратное утверждение (называют также обратной теореме Пифагора):

Для любых трех положительных чисел a, b и c, таких что a ? + b ? = c ?, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Визуальное доказательство для треугольника (3, 4, 5) из книги «Чу Пэй» 500-200 до н.э. Историю теоремы можно разделить на четыре части: знание о Пифагоровы числа, знания об отношении сторон в прямоугольном треугольнике, знание об отношении смежных углов и доказательство теоремы.
Мегалитические сооружения около 2500 до н.э. в Египте и Северной Европе, содержат прямоугольные треугольники со сторонами из целых чисел. Бартель Леендерт ван дер Варден высказал гипотезу, что в те времена Пифагоровы числа были найдены алгебраически.
Написанный между 2000 и 1876 до н.э. папирус времен Среднего Египетского царства Berlin 6619 содержит задачу решением которой являются числа Пифагора.
Во время правления Хаммурапи Великого, вивилонська табличка Plimpton 322, написанная между 1790 и 1750 до н.э содержит много записей тесно связанных с числами Пифагора.
В сутрах Будхаяны, которые датируются по разным версиям восьмой или второй веками до н.э. в Индии, содержит Пифагоровы числа выведены алгебраически, формулировка теоремы Пифагора и геометрическое доказательство для ривнобедренного прямоугольного треугольника.
В сутрах Апастамба (около 600 до н.э.) содержится числовое доказательство теоремы Пифагора с использованием вычисления площади. Ван дер Варден считает, что оно было основано на традициях предшественников. Согласно Альбертом Бурко, это оригинальное доказательство теоремы и он предполагает, что Пифагор посетил Араконам и скопировал его.
Пифагор, годы жизни которого обычно указывают 569 – 475 до н.э. использует алгебраические методы расчета пифагоровых чисел, согласно Проклова комментариями к Евклида. Прокл, однако, жил между 410 и 485 годами н.э. Согласно Томасом Гизом, нет никаких указаний на авторство теоремы течение пяти веков после Пифагора. Однако, когда такие авторы как Плутарх или Цицерон приписывают теорему Пифагору, они делают это так, будто авторство широко известно и несомненно.
Около 400 до н. э соответствии Прокла, Платон дал метод расчета пифагоровых чисел, сочетавший алгебру и геометрию. Около 300 до н.э., в Началах Евклида имеем древнейшее аксиоматическое доказательство, которое сохранилось до наших дней.
Написанные где-то между 500 до н.э. и 200 до н.э., китайский математическая книга «Чу Пэй» (? ? ? ?), дает визуальное доказательство теоремы Пифагора, которая в Китае называется теорема гугу (????), для треугольника со сторонами (3, 4, 5). Во время правления династии Хань, с 202 до н.э. до 220 н.э. Пифагоровы числа появляются в книге «Девять разделов математического искусства» вместе с упоминанием о прямоугольные треугольники.
Впервые зафиксировано использование теоремы в Китае, где она известна как теорема гугу (????) и в Индии, где она известна как теорема Баскара.
Многие дискутируется была теорема Пифагора открыта один раз или многократно. Бойер (1991) считает, что знания обнаружены в Шульба Сутра могут быть месопотамского происхождения.
Алгебраическое доказательство
Квадраты образуются из четырех прямоугольных треугольников. Известно более ста доказательств теоремы Пифагора. Здесь представлены доказательства основан на теореме существования площади фигуры:

Разместим четыре одинаковые прямоугольные треугольники так, как это изображено на рисунке.
Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов , А развернутый угол – .
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной «a + b», а с другой – сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

Что и необходимо доказать.
По сходству треугольников
Использование подобных треугольников. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, в котором угол C прямой, как показано на рисунке. Проведем высоту с точки C, и назовем H точку пересечения со стороной AB. Образован треугольник ACH подобен треугольника ABC, поскольку они оба прямоугольные (по определению высоты), и у них общий угол A, очевидно третий угол будет в этих треугольников также одинаков. Аналогично миркуюючы, треугольник CBH также подобен треугольника ABC. С подобия треугольников: Если

Это можно записать в виде

Если добавить эти две равенства, получим

HB + c times AH = c times (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Другими словами, теорема Пифагора:

Доказательство Евклида
Доказательство Евклида в евклидовых «Началах», теорема Пифагора доказана методом параллелограммов. Пусть A, B, C вершины прямоугольного треугольника, с прямым углом A. Опустим перпендикуляр из точки A на сторону противоположную гипотенузы в квадрате построенном на гипотенузе. Линия делит квадрат на два прямоугольника, каждый из которых имеет такую же площадь, что и квадраты построены на катетах. Главная идея при доказательстве состоит в том, что верхние квадраты превращаются в параллелограммы такой же площади, а потом возвращаются и превращаются в прямоугольники в нижнем квадрате и снова при неизменной площади.

Проведем отрезки CF и AD, получим треугольники BCF и BDA.
Углы CAB и BAG – прямые; соответственно точки C, A и G – коллинеарны. Так же B, A и H.
Углы CBD и FBA – оба прямые, тогда угол ABD равен углу FBC, поскольку оба являются суммой прямого угла и угла ABC.
Треугольник ABD и FBC уровне по двум сторонам и углу между ними.
Поскольку точки A, K и L – коллинеарны, площадь прямоугольника BDLK равна двум площадям треугольника ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Аналогично миркуюючы получим CKLE = ACIH = AC 2
С одной стороны площадь CBDE равна сумме площадей прямоугольников BDLK и CKLE, а с другой стороны площадь квадрата BC 2, или AB 2 + AC 2 = BC 2.

Используя дифференциалы
Использование дифференциалов. Теореме Пифагора можно прийти, если изучать как прирост стороны влияет на ведичину гипотенузы как показано на рисунке справа и применить небольшое вычисления.
В результате прироста стороны a, из подобных треугольников для бесконечно малых приращений

Интегрируя получим

Если a = 0 тогда c = b, так что "константа" – b 2. Тогда

Как можно увидеть, квадраты получен благодаря пропорции между приращениями и сторонами, тогда как сумма является результатом независимого вклада приростов сторон, не очевидно из геометрических доказательств. В этих уравнениях da и dc – соответственно бесконечно малые приращения сторон a и c. Но вместо них мы используем? a и? c, тогда предел отношения, если они стремятся к нулю равна da / dc, производная, и также равен c / a, отношению длин сторон треугольников, в результате получаем дифференциальное уравнение.
В случае ортогональной системы векторов имеет место равенство, которую также называют теоремой Пифагора:

Если – Это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида и означает, что длина вектора равна корню квадратному суммы квадратов его компонентов.
Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов называется равенства Парсеваля.