Гравитационное взаимодействие проявляется в притяжении друг к другу тел. Объясняется это взаимодействие наличием гравитационного поля вокруг каждого тела.

Модуль силы гравитационного взаимодействия между двумя материальными точками массойm 1 иm 2 расположенными на расстоянииrдруг от друга

(2.49)

где F 1,2 ,F 2,1 – силы взаимодействия направленные вдоль прямой соединяющей материальные точки,G= 6,67
– гравитационная постоянная.

Соотношение (2.3) носит название закона всемирного тяготения открытого Ньютоном.

Гравитационное взаимодействие справедливо для материальных точек и тел со сферически-симметричным распределением масс, расстояние между которыми отсчитывается от их центров.

Если принять одно из взаимодействующих тел Землю, а второе – тело с массой m, находящееся вблизи или на её поверхности, то между ними действует сила притяжения

, (2.50)

где M 3 ,R 3 – масса и радиус Земли.

Соотношение
- постоянная величина равная 9,8 м/с 2 , обозначаетсяg, имеет размерность ускорения и называетсяускорением свободного падения.

Произведение массы тела mи ускорения свободного падения, называетсясилой тяжести

. (2.51)

В отличие от силы гравитационного взаимодействия модуль силы тяжести
зависит от географической широты места расположения тела на Земле. На полюсах
, а на экваторе уменьшается на 0,36%. Это различие обусловлено тем, что Земля вращается вокруг своей оси.

С удалением тела относительно поверхности Земли на высоту уменьшается сила тяжести

, (2.52)

где
– ускорение свободного падения на высотеhот Земли.

Масса в формулах (2.3-2.6) является мерой гравитационного взаимодействия.

Если подвесить тело или положить его на неподвижную опору, оно будет покоиться относительно Земли, т.к. сила тяжести уравновешивается силой реакции,действующей на тело со стороны опоры или подвеса.

Сила реакции – сила, с которой действуют на данное тело другие тела, ограничивающие его движение.

Сила нормальной реакции опоры приложена к телу и направлена перпендикулярно плоскости опоры.

Сила реакции нити (подвеса)направлена вдоль нити (подвеса)

Вес тела – сила, с которой тело давит на опору или растягивает нить подвеса и приложена к опоре или подвесу.

Вес численно равен силе тяжести если тело находится на горизонтальной поверхности опоры в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. В других случаях вес тела и сила тяжести не равны по модулю.

2.6.3.Силы трения

Силы трения возникают в результате взаимодействия движущихся и покоящихся тел, соприкасающихся друг с другом.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (вязкое) трение.

Внешнее сухое трение делится на:

Перечисленным видам внешнего трения соответствуют силы трения, покоя, скольжения, качения.

С

ила трения покоя
действует между поверхно­стями взаи­мо­действую­щих тел, когда величина внеш­них сил недостаточна, чтобы вызвать их от­носи­тель­ное перемещение.

Если к телу, находящемуся в соприкосновении с другим телом, приложить возрастающую внешнюю силу , параллельную плоскости соприкосновения (рис. 2.2.а), то при измененииот нуля до некоторого значения
движение тела не возникает. Тело начинает движение приFF тр. max .

Максимальная сила трения покоя

, (2.53)

где – коэффициент трения покоя,N– модуль силы нормальной реакции опоры.

Коэффициент трения покоя можно определить экспериментально, нахождением тангенса угла наклона к горизонту поверхности, с которой начинает скатываться тело под действием его силы тяжести.

При F>
происходит скольжение тел относительно друг друга с некоторой скоростью(рис. 2.11 б).

Сила трения скольжения направлена против скорости . Модуль силы трения скольжения при малых скоростях движения вычисляется в соответствии с законом Амонтона

, (2.54)

где – безразмерный коэффициент трения скольжения, зависящий от материала и состояния поверхности соприкасающихся тел, и всегда меньше.

Сила трения качения возникает тогда, когда тело, имеющее форму цилиндра или шара радиусом R, катится по поверхности опоры. Численное значение силы трения качения определяется в соответствии с законом Кулона

, (2.55)

где k[м] – коэффициент трения качения.

Сокол-Кутыловский О.Л.

О силах гравитационного взаимодействия

Если спросить любого студента или профессора физического или механико-математического факультетов любого университета о силах гравитационного взаимодействия, казалось бы, самого изученного из всех известных силовых взаимодействий, то все, что они смогут, – это написать формулы для силы Ньютона и для центробежной силы, что-то припомнят о непонятной силе Кориолиса и о существовании неких таинственных гироскопических сил. И все это притом, что все гравитационные силы можно получить из общих принципов классической физики.

1. Что известно о гравитационных силах

1.1. Известно, что сила, возникающая между телами в гравитационном взаимодействии, прямо пропорционально массе этих тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними (закон всемирного тяготения или закон Ньютона):

,

(1)

где G» 6.6720Ч 10 -11 НЧ м 2Ч кг -2 - гравитационная постоянная, m , M - массы взаимодействующих тел и r - кратчайшее расстояние между центрами масс взаимодействующих тел. Полагая, что тело массой М на расстоянии r создает гравитационное поле ускорений, направленное к его центру масс,

силу (1), действующую на тело массой m , представляют также в виде:

где w – угловая скорость вращения тела вокруг оси, не проходящей через центр масс тела, v – скорость прямолинейного движения тела и r – радиальный вектор, соединяющий ось вращения с частицей или с центром масс вращающегося тела. Первое слагаемое соответствует гравитационной силе тяготения (1), второе слагаемое в формуле (3) называют силой Кориолиса, а третье слагаемое – центробежной силой. Сила Кориолиса и центробежная сила считаются фиктивными, зависящими от системы отсчета , что абсолютно не соответствует опыту и элементарному здравому смыслу. Как можно считать силу фиктивной, если она может совершать реальную работу? Очевидно, что фиктивными являются не эти физические силы, а имеющиеся в настоящее время знания и представления об этих силах.

Происхождение численного коэффициента «2» в силе Кориолиса сомнительно, так как этот коэффициент получен для случая, когда мгновенная скорость точек тела во вращающейся системе отсчета совпадает со скоростью движущегося тела или направлена против нее, то есть при радиальном направлении силы Кориолиса . Второй случай, когда скорость тела ортогональна мгновенной скорости точек вращающейся системы отсчета, в не рассмотрен. По методу, изложенному в , величина силы Кориолиса во втором случае оказывается равной нулю, в то время как при заданных угловой и линейной скоростях она должна быть одинакова.

1.3. Угловая скорость является аксиальным вектором, то есть характеризуется некоторой величиной и направлена вдоль единственной выделенной оси. Знак направления угловой скорости определяется по правилу правого винта. Угловую скорость вращения определяют, как изменение угла поворота в единицу времени, ω(t )=¶ φ/¶ t . В этом определении φ(t ) – периодическая функция времени с периодом 2π радиан. В то же время угловая скорость является обратной функцией времени. Это следует, в частности, из ее размерности. По этим причинам производная угловой скорости по времени: ¶ ω/¶ t=- ω 2 . Производная угловой скорости по времени соответствует аксиальному вектору углового ускорения. Согласно условному определению, данному в физическом энциклопедическом словаре, аксиальный вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения, причем в ту же сторону, что и угловая скорость, если вращение ускоренное, и против угловой скорости, если вращение замедленное.

2. Гравитационные силы, действующие на центр масс тела

Гравитационные и механические силы различаются между собой по характеру взаимодействия: при «контактном» взаимодействии тел возникают механические силы, а при дистанционном гравитационном взаимодействии тел - гравитационные силы.

2.1. Определим все гравитационные силы, действующие на центр масс материального тела. Вращение тела вокруг собственной оси, проходящей через его центр масс, рассматривать пока не будем. Из общих принципов механики известно, что сила возникает при изменении мгновенного импульса тела. Поступим подобным образом как при определении сил, связанных с прямолинейным движением тела, так и при определении сил, связанных с его вращением относительно внешней оси:

или в развернутом виде:

где r =r ·[cos(ωt)· x + sin(ωt)·y ], x и y – единичные векторы в направлении соответствующих осей координат, r – модуль радиального вектора r , r 1 =r /r – единичный вектор в направлении радиального вектора r , t – время, а ось координат z совпадает с осью вращения. Величина производной единичного вектора r 1 по времени, ¶ r 1 /¶ t=ω·r 1^ , где r 1^ – единичный вектор, лежащий в плоскости вращения и ортогональный радиальному вектору r (Рис. 1).

Принимая во внимание возможные изменения радиального вектора, в соответствии с уравнением (7), формула (6) приобретает вид :

.

(8)

Рис. 1. Взаимное расположение радиального вектора r , угловой скоростиω и мгновенной скоростиv m тела массой m , в системе координат (x , y , z ) с осью вращения, направленной по оси z . Единичный вектор r 1 =r /r ортогонален единичному вектору r 1^ .

2.2. Все силы, входящие в уравнение (8), равноправны и складываются по правилу сложения векторов. Сумму сил (8) можно представить в виде четырех слагаемых:

F G =F a + F ω1 + F ω2 +F ω3 .

Сила F а возникает при прямолинейном ускоренном движении тела или при гравитационном статическом взаимодействии тела с другим телом. Сила F ω1 соответствует силе Кориолиса для случая, когда материальное тело движется во вращающейся системе в радиальном направлении (по радиусу вращения). Эта сила направлена в сторону мгновенной скорости тела или против нее. Сила F ω2 – это сила, действующая на любую точку вращающегося тела. Ее называют центробежной силой, но эту же силу называют силой Кориолиса, если тело во вращающейся системе перемещается по направлению мгновенной скорости, не изменяя величину радиуса вращения. Сила F ω2 всегда направлена радиально. Учитывая равенство ¶ r 1 /¶ t=ω·r 1^ , и направление результирующего вектора в векторном произведении, получаем, что при вращении каждой точки тела с угловой скоростью ω на нее действует сила F ω2 =m ·ω 2 ·r , что совпадает с центробежной силой в формуле (3).

Сила F ω3 – это сила инерции вращательного движения . Сила инерции вращательного движения возникает при изменении угловой скорости вращающейся системы и связанных с нею тел и направлена по вектору мгновенной скорости тела при dw /dt <0 и против вектора мгновенной скорости тела при dw /dt >0. Она возникает только при переходных процессах, а при равномерном вращении тела эта сила отсутствует. Направление гравитационной силы инерции вращательного движения

(9)

показано на Рис. 2. Здесь r – радиальный вектор, соединяющий по кратчайшему пути ось вращения с центром масс вращающегося тела, ω – аксиальный вектор угловой скорости.

Рис. 2. Направление гравитационной силы инерции вращательного движения, F ω3 , при перемещении тела из точки 1 к точке 2 при dw / dt <0; r – радиальный вектор, соединяющий ось вращения с центром масс движущегося тела; F T – сила притяжения или сила натяжения каната. Центробежная сила не показана.

Векторная сумма сил F ω1 и F ω2 создает результирующую силу (силу Кориолиса F K ) при движении тела в произвольном направлении во вращающейся системе:

3. Гравитационные и механические силы, возникающие при повороте оси вращения тела

Чтобы определить все гравитационные силы, действующие не только на центр масс, но и на любую другую точку материального тела, в том числе возникающие при повороте оси вращения этого тела вокруг другой оси, необходимо вернуться к формуле (5).

Общая формула для всех гравитационных и механических сил, полученная ранее, остается в силе, но до сих пор все полученные силы считались приложенными к центру масс тела. Влияние поворота собственной оси вращения на отдельные точки тела, не совпадающие с центром масс, не принималось во внимание. Тем не менее, полученная ранее из общих принципов механики формула (5) содержит в себе все силы, действующие на любую точку вращающегося тела, в том числе силы, возникающие при пространственном повороте собственной оси вращения этого тела. Поэтому из формулы (5) можно вывести в явном виде уравнение для силы, действующей на произвольную точку вращающегося материального тела при повороте его собственной оси вращения на некоторый угол в пространстве. Для этого представим уравнение (5) в следующем виде:

(12)

,

где Ѕ rґ w Ѕ – модуль вектора rґ w , а (rґ w ) 1 – единичный вектор, направленный по вектору rґ w . Как было показано, производная по времени от вектора rґ w при изменении величины этого вектора дает гравитационные и механические силы вращения, из которых получаются центробежная сила, сила Кориолиса и сила инерции вращательного движения:

где пятое слагаемое – это и есть сила, а точнее, – это множество сил, возникающих при пространственном повороте оси вращения тела во всех точках этого тела, причем сила, возникающая в каждой точке, зависит от расположения этой точки. В краткой записи полную сумму всех гравитационных сил удобно представить в виде:

,

(15)

где F a – сила Ньютона с гравитационным вектором ускорения a , Fw 1 – Fw 3 – силы вращательного движения с гравитационным вектором угловой скорости w и е Fw W i – множество сил, возникающих при повороте оси вращения тела во всех n точках, на которые равномерно разбито тело.

Представим пятое слагаемое в развернутом виде. По определению радиальный вектор r ортогонален вектору угловой скорости w , поэтому модуль вектора rґ w равен произведению модулей составляющих его векторов:

Производная по времени от единичного вектора (rґ w ) 1 при изменении его по направлению на угол j дает другой единичный вектор, r 1 , расположенный параллельно плоскости поворота S (x, z ) и ортогональный вектору rґ w (Рис. 3). Причем у него в качестве сомножителя появляется коэффициент, численно равный производной по времени от угла поворота, W =¶ j /¶ t :

.

(16)

Поскольку при повороте оси вращения движение точек материального тела является трехмерным, а поворот оси происходит в некоторой плоскости S (x, z ), то модуль единичного вектора относительно плоскости поворота не постоянен, и при вращении изменяется в пределах от нуля до единицы. Поэтому при дифференцировании такого единичного вектора должна учитываться его величина относительно плоскости, в которой происходит поворот этого единичного вектора. Длиной единичного вектора (rґ w ) 1 относительно плоскости поворота S (x, z ) является проекция этого единичного вектора на плоскость поворота. Производная единичного вектора (rґ w ) 1 в плоскости поворота S (x, z ) может быть представлена следующим образом:

,

(17)

где a – угол между векторомrґ w и плоскостью поворота S (x, z ).

Сила, действующая на любую точку вращающегося тела при повороте его оси вращения, приложена не к центру масс этого тела, а непосредственно к каждой данной точке. Поэтому тело необходимо разбить на множество точек, и считать, что каждая такая точка имеет массу m i . Под массой данной точки тела, m i , подразумевается масса, сосредоточенная в малом по отношению ко всему телу объеме V i так, что:

При равномерной плотности тела r масса , а точкой приложения силы является центр масс данного объема V i , занимаемого частью материального тела массой m i . Сила, действующая на i -тую точку вращающегося тела при повороте его оси вращения, приобретает следующий вид:

,

(18)

где m i – масса данной точки тела, r i – кратчайшее расстояние от данной точки (в которой определяется сила) до оси вращения тела, w – угловая скорость вращения тела, W – модуль угловой скорости поворота оси вращения, a – угол между векторомrґ w и плоскостью поворота S (x, z ), а r 1 – единичный вектор, направленный параллельно плоскости поворота и ортогональный вектору мгновенной скорости rґ w .

Рис. 3. Направление силы Fw W , возникающей при повороте оси вращения тела в плоскости S (x, z) с угловой скоростью поворота W . В точке а с радиус-вектором, исходящим из точки с оси вращения, сила Fw W =0; в точке b с радиус-вектором, исходящим из центра тела, сила Fw W имеет максимальную величину.

Сумма всех сил (18), действующих на все n точек, на которые равномерно разбито тело,

(19)

создает момент сил, поворачивающих тело в плоскости Y (y, z ), ортогональной плоскости поворота S (x, z ) (Рис. 4).

Из опытов с вращающимися телами само наличие сил (19) известно, но они не была четко определены. В частности, в теории гироскопа силы, действующие на опоры подшипников гироскопа, названы «гироскопическими» силами, но происхождение этих физических сил не раскрывается. В гироскопе при повороте его оси вращения на каждую его точку тела действует сила (18), полученная здесь из общих принципов классической физики и выраженная количественно в виде конкретного уравнения.

Из свойства симметрии следует, что каждой точке тела соответствует другая точка, расположенная симметрично относительно оси вращения, в которой действует такая же по величине, но имеющая противоположное направление, сила (18). Совместное действие таких симметричных пар сил при повороте оси вращающегося тела создает момент сил, поворачивающий это тело в третьей плоскости Y (y, z ), которая ортогональна плоскости поворота S (x, z ) и плоскостям L (x, y) , в которых происходит вращение точек тела:

.

(20)

Рис. 4. Возникновение момента сил под действием пар сил в точках тела, расположенных симметрично относительно центра масс. 1 и 2 – две симметричные точки вращающегося с угловой скоростью w тела, в которых, при повороте оси вращения тела с угловой скоростью W , возникают равные по величине силы Fw W 1 и Fw W 2 , соответственно.

При этом для единичных векторов угловых скоростей, характеризующих их направление, в любой из точек тела, не совпадающих с центром симметрии (центром масс), выполняется векторное тождество:

,

(21)

где Q 1 – единичный аксиальный вектор угловой скорости, возникающей в момент действия силы (18), w 1 – единичный аксиальный вектор угловой скорости вращения тела и W 1 – единичный аксиальный вектор угловой скорости поворота оси вращения (Рис. 2). Так как ось поворота, совпадающая с вектором угловой скорости поворота W , всегда ортогональна оси вращения, совпадающей с вектором угловой скорости вращения тела, w , то вектор угловой скорости Q всегда ортогонален векторам w и W : .

При помощи поворота системы координат в пространстве задачу нахождения силы (18) всегда можно свести к случаю, аналогичному рассмотренному на Рис. 3. Могут измениться только направление аксиального вектора угловой скорости w и направление аксиального вектора скорости поворота оси вращения, W ,и, как следствие их изменения, может измениться на противоположное направление силы Fw W .

Взаимосвязь абсолютных величин угловых скоростей при свободном вращении тела по трем взаимно ортогональным осям можно найти, применив закон сохранения энергии вращательного движения. В простейшем случае для однородного тела массой m в форме шара с радиусом r имеем:

,

откуда получаем:

.

4. Полная сумма первичных гравитационных и механических сил, действующих на тело

4.1. Принимая во внимание силы (19), возникающие при повороте оси вращения тела, полное уравнение для суммы всех гравитационных сил, действующих на любую точку материального тела, участвующего в прямолинейном и вращательном движении, в том числе с пространственным поворотом собственной оси вращения, имеет следующий вид :

(22)

где a – вектор прямолинейного ускорения тела массой m , r – радиальный вектор, соединяющий ось вращения тела с точкой приложения силы, r – модуль радиального вектораr ,r 1 – единичный вектор, совпадающий по направлению с радиус-вектором r , w – угловая скорость вращения тела, Ѕ rґ w Ѕ – модуль вектора мгновенной скорости rґ w , (rґ w ) 1 – единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором rґ w , r 1^ – единичный вектор, расположенный в плоскости вращения и ортогональный вектору r 1 , W – модуль угловой скорости поворота оси вращения, r 1 – единичный вектор, направленный параллельно плоскости поворота и ортогональный вектору мгновенной скорости rґ w , a – угол между вектором rґ w и плоскостью поворота, m i – масса i -той точки тела, сосредоточенная в малом объеме тела V i , центр которого является точкой приложения силы, и n – число точек, на которые разбито тело. В формуле (22) для второй, третьей и четвертой сил знак может быть взят положительным, так как эти силы в общей формуле находятся под знаком абсолютной величины. Знаки сил определяются с учетом направления каждой конкретной силы. С помощью сил, входящих в формулу (22), можно описать механическое движение любой точки материального тела при его движении по произвольной траектории, включая пространственный поворот его оси вращения.

4.2. Итак, в гравитационном взаимодействии имеется всего пять различных физических сил, действующих на центр масс и на каждую из точек материального тела при поступательном и вращательном движении этого тела, и только одна из этих сил (сила Ньютона) может действовать на неподвижное тело со стороны другого тела. Знание всех сил гравитационного взаимодействия позволяет понять причину устойчивости динамических механических систем (например, планетарных), а с учетом электромагнитных сил – объяснить устойчивость атома.

Литература:

1. Ландау Л. Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е. М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. — М.: Наука, 1969.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. 3-е изд., испр. — М.: Наука, 1987.

3. Сокол-Кутыловский О.Л. Гравитационные и электромагнитные силы. Екатеринбург, 2005 г.

Сокол-Кутыловский О.Л., О силах гравитационного взаимодействия // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13569, 18.07.2006

6.7 Потенциальная энергия гравитационного притяжения.

Все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу с силой, подчиняющейся закону всемирного тяготения И.Ньютона. Следовательно, притягивающиеся тела обладают энергией взаимодействия.

Покажем, что работа гравитационных сил не зависит от формы траектории, то есть гравитационные силы также являются потенциальными. Для этого рассмотрим движение небольшого тела массой m , взаимодействующего с другим массивным телом массы M , которое будем полагать неподвижным (рис. 90). Как следует из закона Ньютона сила \(~\vec F\) , действующая между телами, направлена вдоль линии, соединяющей эти тела. Поэтому при движении тела m по дуге окружности с центром в точке, где находится тело M , работа гравитационной силы равна нулю, так как векторы сил и перемещения все время остаются взаимно перпендикулярными. При движении вдоль отрезка, направленного к центру тела M , векторы перемещения и силы параллельны, поэтому в этом случае при сближении тел работа гравитационной силы положительна, а при удалении тел – отрицательна. Далее заметим, что при радиальном движении работа силы притяжения зависит только от начального и конечного расстояния между телами. Так при движении по отрезкам (см. рис.91) DE и D 1 E 1 совершенные работы равны, так как законы изменения сил от расстояния на обоих отрезках одинаковы. Наконец, произвольную траекторию тела m можно разбить на набор дуговых и радиальных участков (например, ломаная ABCDE ). При движении по дугам работа равна нулю, при движении по радиальным отрезкам работа не зависит от положения этого отрезка – следовательно, работа гравитационной силы зависит только от начального и конечного расстояния между телами, что и требовалось доказать.

Заметьте, что при доказательстве потенциальности мы воспользовались только тем фактом, что гравитационные силы являются центральными, то есть направленными вдоль прямой, соединяющей тела, и не упоминали о конкретном виде зависимости силы от расстояния. Следовательно, все центральные силы являются потенциальными .

Мы доказали потенциальность силы гравитационного взаимодействия между двумя точечными телами. Но для гравитационных взаимодействий справедлив принцип суперпозиции – сила, действующая на тело со стороны системы точечных тел, равна сумме сил парных взаимодействий, каждая из которых является потенциальной, следовательно, и их сумма также потенциальна. Действительно, если работа каждой силы парного взаимодействия не зависит от траектории, то и их сумма также не зависит от формы траектории. Таким образом, все гравитационные силы потенциальны .

Нам осталось получить конкретное выражение для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия.

Для вычисления работы силы притяжения между двумя точечными телами достаточно подсчитать эту работу при движении вдоль радиального отрезка при изменении расстояния от r 1 до r 2 (рис. 92).

Очередной раз воспользуемся графическим методом, для чего построим зависимость силы притяжения \(~F = G \frac{mM}{r^2}\) от расстояния r между телами, тогда площадь под графиком этой зависимости в указанных пределах и будет равна искомой работе (рис. 93). Вычисление этой площади представляет собой не слишком сложную задачу, требующее, однако, определенных математических знаний и навыков. Не вдаваясь в детали этого расчета, приведем конечный результат, для данной зависимости силы от расстояния площадь под графиком, или работа силы притяжения определяется формулой

\(~A_{12} = GmM \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)\) .

Так как мы доказали, что гравитационные силы являются потенциальными, эту работу равна уменьшению потенциальной энергии взаимодействия, то есть

\(~A_{12} = GmM \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right) = -\Delta U = -(U_2 - U_1)\) .

Из этого выражения можно определить выражение для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия

\(~U(r) = - G \frac{mM}{r}\) . (1)

При таком определении потенциальная энергия отрицательна и стремится к нулю при бесконечном расстоянии между телами \(~U(\infty) = 0\) . Формула (1) определяет работу, которую совершит сила гравитационного притяжения при увеличении расстояния от r до бесконечности, так как при таком движении векторы силы и перемещения направлены в противоположные стороны, то эта работа отрицательна. При противоположном движении, при сближении тел от бесконечного расстояния до расстояния, работа силы притяжения будет положительна. Эту работу можно подсчитать по определению потенциальной энергии \(~A_{\infty \to r}U(r) = - (U(\infty)- U(r)) = G \frac{mM}{r}\) .

Подчеркнем, что потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия, по меньшей мере, двух тел. Нельзя говорить о том, что энергия взаимодействия «принадлежит» одному из тел, или каким образом «разделить эту энергию между телами». Поэтому, когда мы говорим об изменении потенциальной энергии, мы подразумеваем изменение энергии системы взаимодействующих тел. Однако в некоторых случаях допустимо все же говорить об изменении потенциальной энергии одного тела. Так, при описании движения небольшого, по сравнению с Землей, тела в поле тяжести Земли, говорим о силе действующей на тело со стороны Земли, как правило, не упоминая и не учитывая равную силу, действующую со стороны тела на Землю. Дело в том, что при громадной массе Земли, изменение ее скорости исчезающее мало. Поэтому изменение потенциальной энергии взаимодействия приводит к заметному изменению кинетической энергии тела и бесконечно малому изменению кинетической энергии Земли. В такой ситуации допустимо говорить о потенциальной энергии тела вблизи поверхности Земли, то есть всю энергию гравитационного взаимодействия «приписать» небольшому телу. В общем случае можно говорить о потенциальной энергии отдельного тела, если остальные взаимодействующие тела неподвижны.

Мы неоднократно подчеркивали, что точка, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю, выбирается произвольно. В данном случае такой точкой оказалась бесконечно удаленная точка. В некотором смысле этот непривычный вывод, может быть признан разумным: действительно, на бесконечном расстоянии исчезает взаимодействие – исчезает и потенциальная энергия. С этой точки зрения логичным выглядит и знак потенциальной энергии. Действительно, чтобы разнести два притягивающиеся тела внешние силы должны совершить положительную работу, поэтому в таком процессе потенциальная энергия системы должна возрастать: вот она возрастает, возрастает и … становится равной нулю! Если притягивающиеся тела соприкасаются, то сила притяжения не может совершать положительную работу, если же тела разнесены, то такая работа может быть совершена при сближении тел. Поэтому часто говорят, о том, что притягивающиеся тела обладают отрицательной энергией, а энергия отталкивающихся тел положительна . Это утверждение справедливо, только в том случае, если нулевой уровень потенциальной энергии выбирается на бесконечности.

Так если два тела связаны пружиной, то при увеличении расстояния между телами, между ними будет действовать сила притяжения, тем не менее, энергия их взаимодействия является положительной. Не забывайте, что нулевому уровню потенциальной энергии соответствует состояние недеформированной пружины (а не бесконечность).

На вопрос «Что такое сила?» физика отвечает так: «Сила есть мера взаимодействия вещественных тел между собой или между телами и другими материальными объектами - физическими полями». Все силы в природе могут быть отнесены к четырем фундаментальным видам взаимодействий: сильному, слабому, электромагнитному и гравитационному. Наша статья рассказывает о том, что представляют собой гравитационные силы - мера последнего и, пожалуй, наиболее широко распространенного в природе вида этих взаимодействий.

Начнем с притяжения земли

Всем живущим известно, что существует сила, которая притягивает объекты к земле. Она обычно именуется гравитацией, силой тяжести или земным притяжением. Благодаря ее наличию у человека возникли понятия «верх» и «низ», определяющие направление движения или расположения чего-либо относительно земной поверхности. Так в частном случае, на поверхности земли или вблизи нее, проявляют себя гравитационные силы, которые притягивают объекты, обладающие массой, друг к другу, проявляя свое действие на любых как самых малых, так и очень больших, даже по космическим меркам, расстояниях.

Сила тяжести и третий закон Ньютона

Как известно, любая сила, если она рассматривается как мера взаимодействия физических тел, всегда приложена к какому-нибудь из них. Так и в гравитационном взаимодействии тел друг с другом, каждое из них испытывает такие виды гравитационных сил, которые вызваны влиянием каждого из них. Если тел всего два (предполагается, что действием всех других можно пренебречь), то каждое из них по третьему закону Ньютона будет притягивать другое тело с одинаковой силой. Так Луна и Земля притягивают друг друга, следствием чего являются приливы и отливы земных морей.

Каждая планета в Солнечной системе испытывает сразу несколько сил притяжения со стороны Солнца и других планет. Конечно, определяет форму и размеры ее орбиты именно сила притяжения Солнца, но и влияние остальных небесных тел астрономы учитывают в своих расчетах траекторий их движения.

Что быстрее упадет на землю с высоты?

Главной особенностью этой силы является то, что все объекты падают на землю с одной скоростью, независимо от их массы. Когда-то, вплоть до 16-го ст., считалось, что все наоборот - более тяжелые тела должны падать быстрее, чем легкие. Чтобы развеять это заблуждение Галилео Галилею пришлось выполнить свой знаменитый опыт по одновременному сбрасыванию двух пушечных ядер разного веса с наклонной Пизанской башни. Вопреки ожиданиям свидетелей эксперимента оба ядра достигли поверхности одновременно. Сегодня каждый школьник знает, что это произошло благодаря тому, что сила тяжести сообщает любому телу одно и то же ускорение свободного падения g = 9,81 м/с 2 независимо от массы m этого тела, а величина ее по второму закону Ньютона равна F = mg.

Гравитационные силы на Луне и на других планетах имеют разные значения этого ускорения. Однако характер действия силы тяжести на них такой же.

Сила тяжести и вес тела

Если первая сила приложена непосредственно к самому телу, то вторая к его опоре или подвесу. В этой ситуации на тела со стороны опор и подвесов всегда действуют силы упругости. Гравитационные силы, приложенные к тем же телам, действуют им навстречу.

Представьте себе груз, подвешенный над землей на пружине. К нему приложены две силы: сила упругости растянутой пружины и сила тяжести. Согласно третьему закону Ньютона груз действует на пружину с силой, равной и противоположной силе упругости. Эта сила и будет его весом. У груза массой 1 кг вес равен Р = 1 кг ∙ 9,81 м/с 2 = 9,81 Н (ньютон).

Гравитационные силы: определение

Первая количественная теория гравитации, основанная на наблюдениях движения планет, была сформулирована Исааком Ньютоном в 1687 году в его знаменитых "Началах натуральной философии". Он писал, что силы притяжения, которые действуют на Солнце и планеты, зависят от количества вещества, которое они содержат. Онираспространяются на большие расстояния и всегда уменьшаются как величины, обратные квадрату расстояния. Как же можно вычислить эти гравитационные силы? Формула для силы F между двумя объектами с массами m 1 и m 2 , находящимися на расстоянии r, такова:

• F=Gm 1 m 2 /r 2 ,
  где G — константа пропорциональности, гравитационная постоянная.

Физический механизм гравитации

Ньютон был не полностью удовлетворен своей теорией, поскольку она предполагала взаимодействие между притягивающимися телами на расстоянии. Сам великий англичанин был уверен, что должен существовать некий физический агент, ответственный за передачу действия одного тела на другое, о чем он вполне ясно высказался в одном из своих писем. Но время, когда было введено понятие гравитационного поля, которое пронизывает все пространство, наступило лишь через четыре столетия. Сегодня, говоря о гравитации, мы можем говорить о взаимодействии любого (космического) тела с гравитационным полем других тел, мерой которого и служат возникающие между каждой парой тел гравитационные силы. Закон всемирного тяготения, сформулированный Ньютоном в вышеприведенной форме, остается верным и подтверждается множеством фактов.

Теория гравитации и астрономия

Она была очень успешно применена к решению задач небесной механики во время XVIII и начале XIX века. К примеру, математики Д. Адамс и У. Леверье, анализируя нарушения орбиты Урана, предположили, что на него действуют гравитационные силы взаимодействия с еще неизвестной планетой. Ими было указано ее предполагаемое положение, и вскоре астрономом И. Галле там был обнаружен Нептун.

Хотя оставалась одна проблема. Леверье в 1845 году рассчитал, что орбита Меркурия прецессирует на 35"" за столетие, в отличие от нулевого значения этой прецессии, получаемого по теории Ньютона. Последующие измерения дали более точное значение 43"". (Наблюдаемая прецессия равна действительно 570""/век, но кропотливый расчет, позволяющий вычесть влияние от всех других планет, дает значение 43"".)

Только в 1915 г. Альберт Эйнштейн смог объяснить это несоответствие в рамках созданной им теории гравитации. Оказалось, что массивное Солнце, как и любое другое массивное тело, искривляет пространство-время в своей окрестности. Эти эффекты вызывают отклонения в орбитах планет, но у Меркурия, как самой малой и ближайшей к нашей звезде планете, они проявляются сильнее всего.

Инерционная и гравитационная массы

Как уже отмечалось выше, Галилей был первым, кто наблюдал, что объекты падают на землю с одинаковой скоростью, независимо от их массы. В формулах Ньютона понятие массы происходит от двух разных уравнений. Второй его закон говорит, что сила F, приложенная к телу с массой m, дает ускорение по уравнению F = ma.

Однако сила тяжести F, приложенная к телу, удовлетворяет формуле F = mg, где g зависит от другого тела, взаимодействующего с рассматриваемым (земли обычно, когда мы говорим о силе тяжести). В обоих уравнений m есть коэффициент пропорциональности, но в первом случае это инерционная масса, а во втором - гравитационная, и нет никакой очевидной причины, что они должны быть одинаковыми для любого физического объекта.

Однако все эксперименты показывают, что это действительно так.

Теория гравитации Эйнштейна

Он взял факт равенства инерционной и гравитационной масс как отправную точку для своей теории. Ему удалось построить уравнения гравитационного поля, знаменитые уравнения Эйнштейна, и с их помощью вычислить правильное значение для прецессии орбиты Меркурия. Они также дают измеренное значение отклонения световых лучей, которые проходят вблизи Солнца, и нет никаких сомнений в том, что из них следуют правильные результаты для макроскопической гравитации. Теория гравитации Эйнштейна, или общая теория относительности (ОТО), как он сам ее назвал, является одним из величайших триумфов современной науки.

Гравитационные силы - это ускорение?

Если вы не можете отличить инерционную массу от гравитационной, то вы не можете отличить и гравитацию от ускорения. Эксперимент в гравитационном поле вместо этого может быть выполнен в ускоренно движущемся лифте в отсутствии гравитации. Когда космонавт в ракете ускоряется, удаляясь от земли, он испытывает силу тяжести, которая в несколько раз больше земной, причем подавляющая ее часть приходит от ускорения.

Если никто не может отличить гравитацию от ускорения, то первую всегда можно воспроизвести путем ускорения. Система, в которой ускорение заменяет силу тяжести, называется инерциальной. Поэтому Луну на околоземной орбите также можно рассматривать как инерциальную систему. Однако эта система будет отличаться от точки к точке, поскольку изменяется гравитационное поле. (В примере с Луной гравитационное поле изменяет направление из одной точки в другую.) Принцип, согласно которому всегда можно найти инерциальную систему в любой точке пространства и времени, в которой физика подчиняется законам в отсутствии гравитации, называется принципом эквивалентности.

Гравитация как проявление геометрических свойств пространства-времени

Тот факт, что гравитационные силы можно рассматривать как ускорения в инерциальных системах координат, которые отличаются от точки к точке, означает, что гравитация - это геометрическое понятие.

Мы говорим, что пространство-время искривляется. Рассмотрим мяч на плоской поверхности. Он будет покоиться или, если нет никакого трения, равномерно двигаться при отсутствии действия каких-либо сил на него. Если поверхность искривляется, мяч ускорится и будет двигаться до самой низкой точки, выбирая кратчайший путь. Аналогичным образом теория Эйнштейна утверждает, что четырехмерное пространство-время искривлено, и тело движется в этом искривленном пространстве по геодезической линии, которой соответствует кратчайший путь. Поэтому гравитационное поле и действующие в нем на физические тела гравитационные силы - это геометрические величины, зависящие от свойств пространства-времени, которые наиболее сильно изменяются вблизи массивных тел.

Сила гравитации

СИЛА

Основу механики составляет второй закон Ньютона. При математической записи закона справа пишут причину, а слева - следствие. Причиной является сила, а следствием сил - ускорение. Поэтому второй закон записывается так:

Ускорение тела пропорционально результирующей силе, действующей на тело, и обратно пропорционально массе тела. Направлено ускорение по направлению результирующей силы. Результирующая сила равна векторной сумме всех сил, действующих на тело: .

Реальные силы характеризуют меру взаимодействия двух тел. В дальнейшем мы будем рассматривать несколько видов взаимодействий - гравитационное, электрическое, молекулярное. Каждому виду взаимодействий соответствует своя сила. Если взаимодействий нет, то нет и сил. Поэтому, прежде всего необходимо выяснить, какие тела взаимодействуют друг с другом.

Сила гравитации

Тело брошено и летит над Землей (рис. 1.1). Имеется только

Рис. 1.1. Силы, действующие на брошенный камень (а ), ускорение камня (б ) и его скорость (в )

взаимодействие тела с Землей, которое характеризуется гравитационной силой притяжения (тяготения). По закону всемирного тяготения гравитационная сила направлена к центру Земли и равна

где М - масса Земли, т - масса тела, r - расстояние от центра Земли до тела, γ - гравитационная постоянная. Других взаимодействий нет, поэтому нет и других сил.

Чтобы найти ускорение камня, гравитационную силу из формулы 1.2 подставляют в формулу 1.1 второго закона Ньютона. Очевидно, ускорение камня всегда направлено вниз (рис. 1,1,б ). В то же время скорость летящего камня меняется и в каждой точке траектории направлена по касательной к этой траектории (рис. 1.1, в ).

Второй закон Ньютона связывает векторные величины - ускорение а и результирующую силу . Любой вектор задается величиной (модулем) и направлением. Можно задать вектор тремя проекциями на координатные оси, то есть тремя числами. При этом выбор осей определяется удобством. На рис. 1.1 ось х можно направить вниз. Тогда проекции ускорения будут равны а х , 0, 0. Если же ось х направить вверх, то проекции ускорения станут равны -а х ,0,0. В дальнейшем мы будем выбирать направление оси х так, чтобы оно совпадало по направлению с ускорением и для простоты будем писать не величину а х , а просто а. Итак, ускорение, создаваемое гравитационной силой, равно

(1.3)

Для тел, находящихся вблизи поверхности Земли, r » R (радиус Земли R = 6400 км), поэтому

м/с 2 (1.4)

Следовательно, в вертикальном направлении брошенное тело движется равноускоренно.

Из формулы 1.3 следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы летящего (падающего) тела и определяется только массой планеты М и удаленностью тела от центра планеты r . Чем дальше от центра планеты находится тело, тем меньше ускорение свободного падения.