Рациональные выражения и действия над ними. Преобразование выражений. Подробная теория (2019). Основные виды преобразований рациональных выражений

АЛГЕБРА
Все уроки для 8 классов

Урок № 19

Тема. Тождественные преобразования рациональных выражений

Цель: закрепить знания учащихся об алгоритмах тождественных преобразований рациональных выражений, способы преобразования отношения двух дробных выражений и схемы применения свойств арифметических действий при преобразовании рациональных выражений.

Тип урока: коррекция знаний, отработка навыков.

Наглядность и оборудование: опорный конспект «Тождественные преобразования алгебраических выражений».

Ход урока

I. Организационный этап

II . Проверка домашнего задания

Тщательному разбору подлежат упражнения на применение приемов преобразования выражений, имеющих вид отношение двух рациональных выражений («четырехэтажные дроби»). Для того чтобы эта работа прошла более осознанно, можно предложить учащимся заполнить таблицу:

Понятно, что эффективной эта работа может быть только в случае дальнейшей коррекции.

Для учеников, которые хорошо освоили приемы работы с выражениями, которые выносятся на контроль на нем этапе урока, учитель может предложить дополнительные задания именно такого типа и оценить их выполнение.

III . Формулировка мсти и задач урока

Проведена проверка выполнения домашнего задания и анализ возможных ошибок сами по себе создают мотивацию учащихся к деятельности по устранению причины ошибок (коррекции знаний), а также совершенствования умений (формирование навыков). Достижения наилучших результатов этой деятельности - коррекция знаний и отработки умений учащихся выполнять преобразование рациональных выражений с применением изученных алгоритмов выполнения арифметических действий с рациональными дробями - и составляет основную дидактическую месть за урока.

IV . Актуализация опорных знаний и умений

@ С целью успешного восприятия учащимися учебного материала перед изучением материала урока следует активизировать такие знания. и умения учащихся: правила выполнения арифметических действий с рациональными числами и порядок выполнения действий в числовых выражениях, содержащих действия различной степени; тождественные преобразования целых выражений; преобразование суммы, разности, произведения и доли двух рациональных дробей на рациональный дробь, а также преобразование рационального дроби с применением основного свойства рационального дроби (возведение рациональной дроби к новому знаменателю, возведение нескольких рациональных дробей к новому наименьшего общего знаменателя).

Учитывая дидактическую цель (ударение на коррекционной работе) и с целью разнообразия форм работы на уроке, можно предложить ученикам на этом этане урока провести блицопрос (или провести интерактивное упражнение «Микрофон»); главное условие - четкий и краткий ответ на вопрос.

1. Как формулируется основное свойство дроби?

2. Что произойдет со знаком дроби, если заменить знак его числитель; знаменатель; числителя и знаменателя?

3. Как добавить дроби с одинаковыми знаменателями?

4. Как выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями?

5. Как добавить дроби с разными знаменателями? Расскажите на примере дроби: а) и ; б) и .

6. Как выполнить умножение двух дробей?

7. Какое вы знаете правило подъема дроби в степень?

8. Сформулируйте правило деления дробей.

9. Расскажите о порядке преобразования выражений: а) ; б) ; в) .

V . Формирование умений

Выполнение устных упражнений

1. Подайте в виде несократимый дроби выражение:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) .

2. Назовите наименьший общий знаменатель дробей (выражений):

а) и ; б) а; и ; в) и ; и ; г) и .

3. При каких значениях переменной значение дроби равно нулю?

Выполнение письменных упражнений

На уроке коррекции знаний и отработки навыков логично будет предложить учащимся решить упражнения примерно такого содержания:

1. Преобразование рационального выражения на рациональный дробь (по общей схеме, составленной на уроке 17).

1) Упростите выражение: а) ; б) ; в) .

2) Упростите выражение: а) ; б) ; в) .

3) Упростите выражение:
а) ; б) ; в) ; г) .

4) Выполните действия:
а) ; б) ; в) ; г) .

5) Упростите выражение:
а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

2. Представление отношения дробных рациональных выражений в виде отношения многочленов (с применением основного свойства дроби).

1) Представьте в виде рациональной дроби: .

2) Найдите значение выражения:

а) при а = , b = ; б) при а = -8, b = 0,6.

3) Представьте в виде рациональной дроби:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Доказательства того, что значение выражения не зависит от значения переменной.

1) Докажите, что при всех допустимых значениях букв значение выражения равно 0.

2) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения является натуральным числом.

4. Доказательства тождеств.
Докажите тождество:

а) ;

б) .

5. Упражнения на повторение (особенно на нахождение ОДЗ рационального выражения и отыскания значения переменных, при которых значение выражения равно нулю).

6. Логические упражнения и задачи повышенного уровня сложности для учащихся, имеющих достаточный и высокий уровни знаний.

1) Представьте в виде рациональной дроби выражение: а) ; б) .

2) Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значениевыражения не зависит от а и b .

3) выражение пропущено?

@ Как было сказано выше, задачи на преобразование рациональных выражений на рациональный дробь в общем случае является достаточно сложной задачей, поскольку предполагает свободное овладение алгоритмами выполнения различных арифметических действий с рациональными дробями, а также достаточно высокий уровень умений применять эти алгоритмы на практике и переключаться с одного алгоритма на другой. Поэтому уровень сложности заданий учитель выбирает в зависимости от уровня знаний и умений учащихся, не занижая требования к ученикам, но в то же время создавая ситуацию успеха. С целью подготовки учащихся к восприятию следующего раздела («Рациональные уравнения») следует продолжить решать упражнения на нахождение ОДЗ рационального выражения и отыскания значения переменных, при которых значение выражения равно нулю.

3. Повторить: определение рационального целого рационального и дробного рационального выражений ОДЗ рационального выражения; определение уравнения, свойства равносильности уравнений, понятие линейного уравнения с одной переменной и алгоритм решения линейного уравнения; решить линейные уравнения (в том числе и уравнения с параметрами); повторить содержание понятия «пропорция» и основное свойство пропорции, решить несколько уравнений на применение этого свойства (см. 6 класс).

Эта статья посвящена преобразованию рациональных выражений , преимущественно дробно рациональных, – одному из ключевых вопросов курса алгебры для 8 классов. Сначала мы напомним, выражения какого вида называют рациональными. Дальше остановимся на проведении стандартных преобразований с рациональными выражениями, таких как группировка слагаемых, вынесение за скобки общих множителей, приведение подобных слагаемых и т.п. Наконец, научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.

Навигация по странице.

Определение и примеры рациональных выражений

Рациональные выражения являются одним из видов выражений , изучаемых на уроках алгебры в школе. Дадим определение.

Определение.

Выражения, составленные из чисел, переменных, скобок, степеней с целыми показателями, соединенных с помощью знаков арифметических действий +, −, · и:, где деление может быть обозначено чертой дроби, называются рациональными выражениями .

Приведем несколько примеров рациональных выражений: .

Рациональные выражения начинают целенаправленно изучаться в 7 классе. Причем в 7 классе познаются основы работы с так называемыми целыми рациональными выражениями , то есть, с рациональными выражениями, которые не содержат деления на выражения с переменными. Для этого последовательно изучаются одночлены и многочлены , а также принципы выполнения действий с ними. Эти все знания в итоге позволяют выполнять преобразование целых выражений .

В 8 классе переходят к изучению рациональных выражений, содержащих деление на выражение с переменными, которые называют дробными рациональными выражениями . При этом особое внимание уделяется так называемым рациональным дробям (их также называют алгебраическими дробями ), то есть дробям, в числителе и знаменателе которых находятся многочлены. Это в итоге дает возможность выполнять преобразование рациональных дробей .

Полученные навыки позволяют перейти к преобразованию рациональных выражений произвольного вида. Это объясняется тем, что любое рациональное выражение можно рассматривать как выражение, составленное из рациональных дробей и целых выражений, соединенных знаками арифметических действий. А работать с целыми выражениями и алгебраическими дробями мы уже умеем.

Основные виды преобразований рациональных выражений

С рациональными выражениями можно проводить любые из основных тождественных преобразований , будь то группировка слагаемых или множителей, приведение подобных слагаемых, выполнение действий с числами и т.п. Обычно целью выполнения этих преобразований является упрощение рационального выражения .

Пример.

.

Решение.

Понятно, что данное рациональное выражение представляет собой разность двух выражений и , причем данные выражения являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть. Таким образом, мы можем выполнить приведение подобных слагаемых :

Ответ:

.

Понятно, что при проведении преобразований с рациональными выражениями, как, впрочем, и с любыми другими выражениями, нужно оставаться в рамках принятого порядка выполнения действий .

Пример.

Выполните преобразование рационального выражения .

Решение.

Мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках. Поэтому в первую очередь преобразуем выражение в скобках: 3·x−x=2·x .

Теперь можно подставить полученный результат в исходное рациональное выражение: . Так мы пришли к выражению, содержащему действия одной ступени – сложение и умножение.

Избавимся от скобок в конце выражения, применив свойство деления на произведение: .

Наконец, мы можем сгруппировать числовые множители и множители с переменной x, после чего выполнить соответствующие действия с числами и применить : .

На этом преобразование рационального выражения завершено, и в результате мы получили одночлен.

Ответ:

Пример.

Преобразуйте рациональное выражение .

Решение.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель. Такой порядок преобразования дробей объясняется тем, что черта дроби по своей сути есть другое обозначение деления, и исходное рациональное выражение по сути есть частное вида , а действия в скобках выполняются в первую очередь.

Итак, в числителе выполняем действия с многочленами, сначала умножение, затем – вычитание, а в знаменателе сгруппируем числовые множители, и вычислим их произведение: .

Еще представим числитель и знаменатель полученной дроби в виде произведения: вдруг возможно сокращение алгебраической дроби . Для этого в числителе воспользуемся формулой разности квадратов , а в знаменателе вынесем двойку за скобки, имеем .

Ответ:

.

Итак, начальное знакомство с преобразованием рациональных выражений можно считать состоявшимся. Переходим, так сказать, к самому сладкому.

Представление в виде рациональной дроби

Наиболее часто конечной целью преобразования выражений является упрощение их вида. В этом свете самым простым видом, к которому можно преобразовать дробно рациональное выражение, является рациональная (алгебраическая) дробь, и в частном случае многочлен, одночлен или число.

А любое ли рациональное выражение возможно представить в виде рациональной дроби? Ответ утвердительный. Поясним, почему это так.

Как мы уже сказали, всякое рациональное выражение можно рассматривать как многочлены и рациональные дроби, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Все соответствующие действия с многочленами дают многочлен или рациональную дробь. В свою очередь любой многочлен можно преобразовать в алгебраическую дробь, записав его со знаменателем 1 . А сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей в результате дают новую рациональную дробь. Следовательно, выполнив все действия с многочленами и рациональными дробями в рациональном выражении, мы получим рациональную дробь.

Пример.

Представьте в виде рациональной дроби выражение .

Решение.

Исходное рациональное выражение представляет собой разность дроби и произведения дробей вида . Согласно порядку выполнения действий мы сначала должны выполнить умножение, а уже потом – сложение.

Начинаем с умножения алгебраических дробей :

Подставляем полученный результат в исходное рациональное выражение: .

Мы пришли к вычитанию алгебраических дробей с разными знаменателями:

Итак, выполнив действия с рациональными дробями, составляющими исходное рациональное выражение, мы его представили в виде рациональной дроби .

Ответ:

.

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Пример.

Представьте рациональное выражение в виде рациональной дроби.

Торезский учебно-воспитательный комплекс

«Общеобразовательная школа І-ІІ ступеней № 1 – лицей «Спектр»

Тема. Тождественные преобразования рациональных выражений

Разработка урока в 8 классе

Кирилюк Наталья Анатольевна,

учитель математики высшей категории,

старший учитель

Торез – 2014

Цели:

Продолжить формирование у учащихся умений и навыков преобразования рациональных выражений; закрепить умение применять формулы сокращенного умножения, складывать, вычитать, умножать и делить рациональные выражения;

Способствовать развитию логического мышления;

Содействовать развитию у детей умений ставить цель и планировать свою деятельность; осуществлять самооценку и самокоррекцию учебной деятельности; умение работать во времени;

Способствовать воспитанию внимательности, активности, культуры общения.

Тип урока : учебно-развивающий урок с элементами деловой активности.

Оборудование : карточки для игры «Поле чудес», «акции предприятий», таблица рейтингового оценивания учащихся на уроке, материал с дифференцированными заданиями для игры «Биржа знаний»

Формы и метолы работы

I Мотивация учебной деятельности. Самопостановка целей и задач на урок.

II Актуализация опорных знаний:

1) Фронтальный опрос;

2) Устные упражнения;

3) Математическое домино.

1) Игра «Поле чудес» (работа в парах);

2) Логическое задание.

V Занимательная задача.

VI Домашнее задание.

I Мотивация учебного процесса. Сообщение темы. Самопостановка целей и задач на урок.

Многое было известно давно, но очень-очень многое не было. Как в капле воды можно увидеть все неисчислимые богатства океана, так и в школьном учебнике присутствует тысячелетний опыт. Прошлое ждет, что ты постигнешь те знания, которые были добыты с большим трудом, а будущее надеется, что ты внесешь что-то новое и передашь своим детям и внукам.

«Теория без практики мертва или бесплодна, а практика без теории невозможна или пагубна».

Для теории нужны знания, для практики нужны умения.

Алексей Николаевич Крылов

Сегодня на уроке мы приобретем умения для того, чтобы складывать, вычитать, умножать и делить рациональные выражения, применяя теорию: способы разложения многочленов на множители.

Исходя из поставленной темы и целей на урок, сформулируйте и свои задачи на урок.

Ожидаемый результат:

1.совершенствовать умения выполнять сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей;

2. проводить тождественные преобразования рациональных выражений.

Учитель: Перед каждым лежит таблица рейтингового оценивания. В эту таблицу вы будете заносить баллы, заработанные на уроке.

II Актуализация опорных знаний .

1. Фронтальный опрос (взаимопроверка «Учитель-ученик», по 1б.)

Какое выражение называется рациональным?

Как сложить две рациональные дроби с разными знаменателями?

Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

Как найти произведение рациональных выражений?

Каков порядок действий при выполнении тождественных преобразований?

2. Устные упражнения (самооценка, по 1б.)

3. Математическое домино (взаимопроверка, по 1б.)

Разложить на множители (выбрать правильный ответ)

III Активизация мыслительной деятельности:

1) Игра «Поле чудес» (работа в парах, по 2 б);

Учиться надо весело, чтобы поглощать знания,

нужно переваривать их с аппетитом.

Анатоль Франс

1)
15)

2)
16)

3)
17)

4)
18)

5)
19)

6)
20)

7)
21)

8)
22)

9)
23)

10)
24)

11)
25)

12)
26)

13)
27)

14)
28)

А

В

Д

Е

И

Л

М

Н

Х-У

b-4

a+b

5xy

С

Т

У

Ч

Ш

Ы

Я

9ab

Х-6

5

Учитель: В результате мы имеем выражение: «Мышление начинается с удивления». Так сказал 2500 лет тому назад Аристотель.

Наш соотечественник В. Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать. От удивления к знаниям – один шаг» , а математика – замечательный источник для удивления.

2) Логическое задание (2б.)

Учитель: Я попробую вас сейчас удивить, доказав, что 2 числа равны между собой, используя алгебраические законы и выполняя тождественные преобразования

5=6

Доказательство

35+10-45=42+12-54

5(7+2-9)=6(7+2-9)

5=6

Права ли я? Какой закон нарушен? Найдите ошибку.

IV Экономическая игра “Биржа знаний» (работа в группах).

Сейчас мы будем принимать участие в работе «фондовой биржи».

Справочные сведения «биржа знаний».

Биржа – коммерческое предприятие по производству посреднических услуг, где совершаются сделки купли – продажи.

Фондовая биржа – биржа, на которой торгуют основными видами ценных бумаг, акциями.

Трейдер – член биржи, который осуществляет операции за свой счет.

Брокер – член биржи, получающий вознаграждение за выполнение поручений клиентов.

Клерк – член биржи, владеющий торговой информацией, т.е. продающий акции.

Арбитражный комитет – орган, который регулирует споры по поводу сделки, и отношения между участниками биржевой торговли.

Инвестиции – вложение средств.

Акция – вид ценной бумаги, т.е. бумажный дубликат капитала.

Представьте себе, что вы члены «фондовой биржи» - «трейдеры», задача которых сохранить первоначальный капитал, приумножить его, сделав правильный выбор в «инвестировании».

Выполнив верно задание, вы получите «доход» и приобретете акции соответствующего предприятия.

При выполнении заданий можно пользоваться услугами консультанта-посредника.

У нас 5 брокерских групп. Каждая фирма покупает задание, определив наиболее выгодную «инвестицию».(приложение 1)

“Siesta”

2 таланта

«Живчик»

3 таланта

«Шоколад Украины»

4 таланта

№32(1)

Стр.13

№32(3)

Стр.13

№32(4)

Стр.13

№39(1)

Стр.14

№39(2)

Стр.14

№39(3)

Стр.14

Подводятся итоги, выделяется лучшая брокерская фирма. В качестве награды выдается лицензия, позволяющая оказывать брокерские услуги клиентам.

(приложение 2)

V Занимательная задача.

VI Домашнее задание . (повторить §8. выполнить тест)

VII Итоги урока (рейтинговое оценивание учащихся)

оценка

Кол-во баллов

9-10

11-12

13-14

15-16

17-18

19-20

21-22

23-24

Свыше 25

Учитель подбивает итоги урока, зачитывает результаты рейтингового оценивания

«Открытый микрофон»

1.Что было интересного на уроке?

2. Что было сложно?

Приложение 1. Акции предприятий

Приложение 2. Лицензия

>>Математика:Преобразование рациональных выражений

Преобразование рациональных выражений

Этот параграф подводит итог всему тому, что мы, начиная с 7-го класса, говорили о математическом языке, о математической символике, о числах, переменных, степенях, многочленах и алгебраических дробях . Но сначала совершим небольшой экскурс в прошлое.

Вспомните, как в младших классах обстояло дело с изучением чисел и числовых выражений.

А, скажем, к дроби можно приклеить только один ярлык - рациональное число.

Аналогично обстоит дело с алгебраическими выражениями: первый этап их изучения - числа, переменные, степени («цифры»); второй этап их изучения - одночлены («натуральные числа»); третий этап их изучения - многочлены («целые числа»); четвертый этап их изучения - алгебраические дроби
(«рациональные числа»). При этом каждый следующий этап как бы вбирает в себя предыдущий: так, числа, переменные, степени - частные случаи одночленов; одночлены - частные случаи многочленов; многочлены - частные случаи алгебраических дробей. Между прочим, в алгебре используют иногда и такие термины: многочлен - целое выражение , алгебраическая дробь - дробное выражение (это лишь усиливает аналогию).

Продолжим упомянутую аналогию. Вы знаете, что любое числовое выражение после выполнения всех входящих в его состав арифметических действий принимает конкретное числовое значение - рациональное число (разумеется, оно может оказаться и натуральным числом, и целым числом, и дробью - это неважно). Точно так же любое алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических операций и возведения в натуральную степень , после выполнения преобразований принимает вид алгебраической дроби и опять-таки, в частности, может получиться не дробь, а многочлен или даже одночлен). Для таких выражений в алгебре используют термин рациональное выражение.

Пример. Доказать тождество

Решение.
Доказать тождество - это значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части представляют собой тождественно равные выражения. В алгебре тождества доказывают различными способами:

1) выполняют преобразования левой части и получают в итоге правую часть;

2) выполняют преобразования правой части и получают в итоге левую часть;

3) по отдельности преобразуют правую и левую части и получают и в первом и во втором случае одно и то же выражение;

4) составляют разность левой и правой частей и в результате ее преобразований получают нуль.

Какой способ выбрать - зависит от конкретного вида тождества , которое вам предлагается доказать. В данном примере целесообразно выбрать первый способ.

Для преобразования рациональных выражений принят тот же порядок действий, что и для преобразования числовых выражений. Это значит, что сначала выполняют действия в скобках, затем действия второй ступени (умножение, деление, возведение в степень), затем действия первой ступени (сложение, вычитание).

Выполним преобразования по действиям, опираясь на те правила, алгоритмы , что были выработаны в предыдущих параграфах.

Как видите, нам удалось преобразовать левую часть проверяемого тождества к виду правой части. Это значит, что тождество доказано. Однако напомним, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных. Таковыми в данном примере являются любые значения а и b, кроме тех, которые обращают знаменатели дробей в нуль. Значит, допустимыми являются любые пары чисел (а; b), кроме тех, при которых выполняется хотя бы одно из равенств:

2а - b = 0, 2а + b = 0, b = 0.

Мордкович А. Г., Алгебра . 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с: ил.

Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике онлайн , видеоматериал по математике для 8 класса скачать

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Урок и презентация на тему: "Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К. Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н.

Понятие о рациональном выражении

Понятие "рациональное выражение" схоже с понятием "рациональная дробь". Выражение также представляется в виде дроби. Только в числители у нас - не числа, а различного рода выражения. Чаще всего этого многочлены. Алгебраическая дробь - дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.

При решении многих задач в младших классах после выполнения арифметических операций мы получали конкретные числовые значения, чаще всего дроби. Теперь после выполнения операций мы будем получать алгебраические дроби. Ребята, помните: чтобы получить правильный ответ, необходимо максимально упростить выражение, с которым вы работаете. Надо получить самую маленькую степень, какую возможно; одинаковые выражения в числители и знаменатели стоит сократить; с выражениями, которые можно свернуть, надо так и поступить. То есть после выполнения ряда действий мы должны получить максимально простую алгебраическую дробь.

Порядок действий с рациональными выражениями

Порядок действий при выполнении операций с рациональными выражениями такой же, как и при арифметических операциях. Сначала выполняются действия в скобках, потом – умножение и деление, возведение в степень и наконец – сложение и вычитание.

Доказать тождество – это значит показать, что при всех значениях переменных правая и левая части равны. Примеров с доказательством тождеств очень много.

К основным способам решения тождеств относятся.

• Преобразование левой части до равенства с правой.
• Преобразование правой части до равенства с левой.
• Преобразование левой и правой части по отдельности, до тех пор пока не получится одинаковое выражение.
• Из левой части вычитают правую, и в итоге должен получиться нуль.

Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач

Пример 1.
Докажите тождество:

$(\frac{a+5}{5a-1}+\frac{a+5}{a+1}):{\frac{a^2+5a}{1-5a}}+\frac{a^2+5}{a+1}=a-1$.

Решение.
Очевидно, нам надо преобразовать левую часть.
Сначала выполним действия в скобках:

1) $\frac{a+5}{5a-1}+\frac{a+5}{a+1}=\frac{(a+5)(a+1)+(a+5)(5a-1)}{(a+1)(5a-1)}=$
$=\frac{(a+5)(a+1+5a-1)}{(a+1)(5a-1)}=\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}$

.

Выносить общие множители надо стараться по максимуму.
2) Преобразуем выражение, на которое делим:

$\frac{a^2+5a}{1-5a}=\frac{a(a+5)}{(1-5a}=\frac{a(a+5)}{-(5a-1)}$

.
3) Выполним операцию деления:

$\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}:\frac{a(a+5)}{-(5a-1)}=\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}*\frac{-(5a-1)}{a(a+5)}=\frac{-6}{a+1}$.

4) Выполним операцию сложения:

$\frac{-6}{a+1}+\frac{a^2+5}{a+1}=\frac{a^2-1}{a+1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a+})=a-1$.

Правая и левая части совпали. Значит, тождество доказано.
Ребята, при решении данного примера нам понадобилось знание многих формул и операций. Мы видим, что после преобразования большое выражение превратилось совсем в маленькое. При решении почти всех задач, обычно преобразования приводят к простым выражениям.

Пример 2.
Упростите выражение:

$(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}):(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2})$.

Решение.
Начнем с первых скобок.

1. $\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}=\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{(a+b)^2}=\frac{a^2(a+b)-a^3}{(a+b)^2}=$
$=\frac{a^3+a^2 b-a^3}{(a+b)^2}=\frac{a^2b}{(a+b)^2}$.

2. Преобразуем вторые скобки.

$\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}=\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a(a-b)-a^2}{(a-b)(a+b)}=$
$=\frac{a^2-ab-a^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{-ab}{(a-b)(a+b)}$.

3. Выполним деление.

$\frac{a^2b}{(a+b)^2}:\frac{-ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2b}{(a+b)^2}*\frac{(a-b)(a+b)}{(-ab)}=$
$=-\frac{a(a-b)}{a+b}$

.

Ответ: $-\frac{a(a-b)}{a+b}$.

Пример 3.
Выполните действия:

$\frac{k-4}{k-2}:(\frac{80k}{(k^3-8}+\frac{2k}{k^2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k})-\frac{6k+4}{(4-k)^2}$.

Решение.
Как всегда надо начинать со скобок.

1. $\frac{80k}{k^3-8}+\frac{2k}{k^2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k}=\frac{80k}{(k-2)(k^2+2k+4)} +\frac{2k}{k^2+2k+4}+\frac{k-16}{k-2}=$

$=\frac{80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4)}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{80k+2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64}{(k-2)(k^2+2k+4)}=$

$=\frac{k^3-12k^2+48k-64}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{(k-4)^3}{(k-2)(k^2+2k+4)}$.

2. Теперь выполним деление.

$\frac{k-4}{k-2}:\frac{(k-4)^3}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{k-4}{k-2}*\frac{(k-2)(k^2+2k+4)}{(k-4)^3}=\frac{(k^2+2k+4)}{(k-4)^2}$.

3. Воспользуемся свойством: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Выполним операцию вычитания.

$\frac{(k^2+2k+4)}{(k-4)^2}-\frac{6k+4}{(k-4)^2}=\frac{k^2-4k}{(k-4)^2}=\frac{k(k-4)}{(k-4)^2}=\frac{k}{k-4}$.

Как мы раньше говорили, упрощать дробь надо максимально.
Ответ: $\frac{k}{k-4}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Докажите тождество:

$\frac{b^2-14}{b-4}-(\frac{3-b}{7b-4}+\frac{b-3}{b-4})*\frac{4-7b}{9b-3b^2}=b+4$.

2. Упростите выражение:

$\frac{4(z+4)^2}{z-2}*(\frac{z}{2z-4}-\frac{z^2+4}{2z^2-8}-\frac{2}{z^2+2z})$.

3. Выполните действия:

$(\frac{a-b}{a^2+2ab+b^2}-\frac{2a}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{(a-b)^2})*\frac{a^4-b^4}{8ab^2}+\frac{2b^2}{a^2-b^2}$.