Предел функции по. Калькулятор онлайн.Решение пределов. Определение предела по Гейне

СОЦИАЛ-ДЕМОКРАТИЧЕСКИЕ партии в России

националисты (черносотенцы): русское собрание 1900, комитет русских студентов1904, русская монархическая партия

Эсеры (нелегальная партия):социалисты революционеры. Существовали 1901-1902. Возникли в результате объединения народовольчеких групп. Левое крыло буржуазной демократии. Программа: демократическая республика, политические свободы, рабочее законодательство, социализация земли. Главное политическое средство - индивидуальный террор. Лидеры: чернов, Гоц, Гершуни. 1908 дело Азефа. течения: народные социалисты и максималисты

РСДРП : российская социал-демократическая партия. 1 съезд (1898 минск), 2 съезд (1903 Брюссель, Лондон; принята программа партии. Программа максимум - программа социалистической революции: замена частной собственности общественной, планомерная организация общественного производства, уничтожение деления общества на классы и ликвидация эксплуатации, установление диктатуры пролетариата. Программа-минимум: свержение самодержавия, установление демократической республики, 8-ми часовой рабочий день, полное равноправие наций с правом на самоопределение, уничтожение остатков крепостничества в деревне. Большевики - фракция РСДРП, понятие возникло на 2 съезде партии в связи с выбором руководящих органов партии (победили сторонники Ленина - большевики). Лидеры партии в целом: Ленин, Плеханов, Мартов, Аксельрод, Дан. Лидеры большевиков: Ленин, Красин, Кржижановский, Богданов, Луначарский.

Эсеры (Чернов) Громкой известностью были окружены эсеровские “экспроприации” (похищение казенных денег на нужды партии) и террор, жертвой которой стало не мало чиновников и полицейских. В аграрном вопросе эсеры выдвигали идею социализации земли (передачу земли в пользование крестьянских общин с запретом ее купли-продажи).Установление широкой демократии: республиканского строя со всеобщими выборами, с широкой автономией народов, областей и общин. 8-ми часовой день. Введение родного языка во всех местных общественных и государственных учреждениях, бесплатное образование, отделение церкви от государства и свобода вероисповедания, свобода слова, печати, собраний, стачек, неприкосновенность личности жилища, уничтожение постоянной армии и замена ее “народной милиции”, отмена всех налогов, “падающих на труд”, но установление прогрессивного налога на доходы предпринимателей. Тактика борьбы: пропаганда и агитация, организация стачек, восстаний. Террор – “крайнее” средств

Радикалы Образована в 1903 году на съезде. Тут же произошло разделение на большевиков и меньшевиков. Программа-минимум декларировала задачи буржуазно-демократической революции, которая признавалась необходимой ступенью на пути к социализму (введение республики, всеобщие выборы, право наций на самоопределение, 8-ми часовой рабочий день, возвращение крестьянам земель, отрезанных у них в 1861 году, отмена выкупных платежей за землю).Программа-максимум предполагала установление социалистического строя и диктатуры пролетариата. Меньшевики ориентировались на союз с либералами (Мартов, Плеханов – меньшевики – на выборах получили меньшинство). Они считали, что после демократической революции в России наступит длительный этап буржуазного развития, в процессе которого осталась Россия преобразуется в капиталистическую страну. За это время должна созреть материальная база социализма. Ленин и его сторонники, большевики , на первый план выдвигали конечную цель – социалистический переворот, стремились максимально приблизить его. Пролетариат должен блокироваться с беднейшим крестьянством. Т.е. главный союзник пролетариата – крестьянство. Большевики выступали за национализацию земли (передачу ее в общенародную собственность). После свержения старого строя должен утвердиться “революционно-демократическая диктатура” рабочего класса и крестьянства. Меньшевики – власть после революции перейдет к буржуазному правительству, которое будет находиться “под давлением” социальных партий. Они за муниципализацию земли (передача земли органам местного самоуправления для сдачи ее в аренду крестьянам).

2. Общественно-политические движения и партии конца 19 начала 20-х веков в России.

Процесс индустриализации шел противоречиво. Чрезвычайно возросшая при Александре Ш регулирующая роль государства, отвечавшая политической доктрине императора, имела своим следствием не только поддержку частной инициативы, но нередко становилась препятствием в естественном развитии отечес1венного предпринима­тельства. А начатая в 80-е гг. политическая реакция привела к контр­реформам., явившимся своеобразной формой застоя, когда реформы не только не развивались, а консервировались. Это вызывало беспо­койство значительной части общества, что могло послужить причи­ной социального взрыва в стране.

Наиболее видный поборник идеи либерального обновления самодержавия” составившей целую эпоху в истории русской политической мысли, К.Д. Кавелин писал в 1882 г.: Почти все убеждены, что самодержавие кончило свои дни... В болезнях и муках начинается новый период русской истории!

Действительно, пореформенная Россия стала школой гражданственности и новой политической культуры. Вера в историческое предназначение России в сочетании с усвоенным и переработанными идеями западноевропейской социалистической мысли послужила основой народничества - русской разновидности крестьянского социализма.

Основоположником русского-социализма, как известно, был А. И. Герцен, видевший в крестьянской общине зародыш справедливого устройства будущей жизни. Это положение получило дальнейшее развитие у П.Г. Чернышев­ского, во многом предвосхитившего появление "новых людей" России- разночинцев. Однако идеи общинного социализма нуждались в развитии в услови­ях возрастания оппозиционности интеллигенции /термин появился в России в б0-е гг. ХIX в./ и студенчества. Эту задачу и попыталось развить революционное народничество 60-70-х гг. Идеологи трех его направлений - П.Л. Лавров /пропагандисты/, "апостол анархизма" М.А. Бакунин /бун­тари/, П.Н. Ткачев /заговорщики/ искали новые подходы в разработке проблемы - осуществления социальной революции в России.

Зна­чительную роль в выработке теории народничества на долгие долы ставшей господствующей в освободительном движении, сыграла напряженная полемика между славянофилами и западниками. Их столкновение по кар­динальному вопросу того времени: каким путем должна идти Россия в буду­щее, - используя опыт своего тысячелетнего развития или взяв на вооружение достижения западной культуры, - послужило предпосылкой для синтеза народнических взглядов. Следует заметить, что при всем различии подходов к.данному вопросу и западники, и славянофилы были едины в одном - патриотизме, горячей любви к Родине, стремлении найти идеал общественного устройства.

Пройдя длительный и трудный процесс становления и развития, народничество внесло вклад в мировую общественно-политическую.

Идеи пролетарского социализма разрабатывали марксисты. Капиталисти­ческое развитие пореформенной России, разложение общины, забитость и бескультурье крестьянства побуждали думающих людей к изучению марксистском теории. В 1883 г. в Женеве возникает первая российская марксистская группа "Освобождение труда" под руководством Г.В. Плеханова, поставившая целью пропаганду и распространение марксизма в России. Число сторонников марксистской теории в стране все больше возрастало, что привело к организации первых социал-демократических кружков: в столице Д.Н. Благоевым была создана "Партия русской социал-демократии /1884-1885/. П.В. Точисским - "Товарищество Санкт-Петербург­ский мастеровых" /1885-1888/.

Наряду с этим в прессе стали появляться работы, вызвавшие оживленную полемику между марксистами и народниками. “Легальный марксист” П. Б. Струве написал откровенно аполегетическую статью, в которой призывал идти на выручку к капитализму. Наиболее обстоятельную критику “легального марксизма” с позиций левых народников дал Н. К. Михайловский на страницах журнала “Русское богатство” Он писал: "...Россия разовьет свое капиталистическое производство со всеми его внутренними противоречиями, с поеданием малых капиталов крупными” а тем временем, оторванный от земли мужик обратится в пролетария, “обобществится” и дело будет в шляпе, которую только и остается надеть на голову осчастливленному челове­честву". Вместе с тем Михайловский не исключал”, что “..этот русский марксизм в самом непродолжительном времени… уступит место другим, более здоровым течениям. И его предсказание оправдалось. Уже в конце 1894 г. со своей интерпретацией теории Маркса выступил молодой мало кому известный В. И. Ульянов. В центре его внимания оказались те же вопросы, которые в своё время были поставлены, но не разрешены Плехановым: капитализм в России, судьба различных классов, сословий, общественно-политических теорий в условиях капиталистического развития страны (а оно было объективной реальностью). В середине 90-х гг. Ленин создает в Санкт-Петербурге “Союз борьбы за освобождение рабочего класса”.

В 1898 г. на 1 съезде российских социал-демократов в Минске было объявлено о создании общероссийской партии вместо разрозненных социал-демократических кружков. Однако партия тактически организована не была, так как ее устав и программа не были разработаны и приняты. Поэтому за дело создания партии взялся Ленин, начав выпуск нелегальной общероссийской газеты "Искра", первый номер которой вышел за границей в Штутгарте в самый канун ХХ в., в декабре 1900 г. Вокруг "Искры" объединились группы единомышленников, которые и создали в 1903 г. “Российскую социал-демократическую рабочую партию (РСДРП).

В мае 1990 года на I Всероссийском монархическом съезде в Москве был легализован действовавший с 1924 года Православный российский монархический орден-союз (ПРАМОС). Его главной задачей в новых условиях стало «завоевание большинства сегодняшних структур политической власти мирным, ненасильственным путем для созыва Земского собора, который призовет «законного» Государя Российского Дома Романовых на Царства с наделением его всеми правами Верховной Власти». Под понятием «Россия» имеется в виду не совдеповская РСФСР, а единая и неделимая Российская Империя. В партию принимаются только православные верующие.

В тоже время, члены ПРАМОС не признают Русскую православную церковь, заявляя о приверженности право-монархической зарубежной православной церкви, «не запятнанной сотрудничеством с большевиками». Лидер ПРАМОС - С. Энгельгард - Юрков.

Параллельно с ПРАМОС была создана Православная конституционно-монархическая партия России (ПКМПР). Принятый на съезде Манифест выдвигает три основные задачи партии: возрождение русского православия, православного русского царства и единой и неделимой Российской империи. Руководящий орган партии - синклит. Печатный орган - журнал «Православное царство».

Политическое движение «Русь монархическая» возникло в июне 1991 года в Москве. Участники учредительного собрания - представители национально-патриотических и монархических группировок - в принятой декларации обратились к россиянам с призывом «поддержать движение по восстановлению исторической справедливости на Руси». На собрании ставился вопрос о приглашении великого князя Владимира Кирилловича (провозглашенного левоцентристским, радикальным блоком русским царем Владимиром I) приехать для коронации в Россию. Лидером движения был избран председатель Русской национальной монархической партии, «регент русской монархии» А. Брумель. В последующие годы деятельность движения свелась, в основном, к раздаче тем или иным политическим и общественным деятелям грамот о дворянском достоинстве.

Все сказанное выше требует глубокого и критического осмысления истории монархического движения, анализа объективных причин его ухода с исторической сцены.

Территориальными рамками исследования определена вся Россия. Существенные различия демографического, социально-экономического и административного характера отдельных ее регионов позволяют увидеть различную силу черносотенного движения в рамках каждого региона.

Хронологические рамки исследования охватывают период с 1903 года до Февральской революции 1917 года. В годы революции 1905-1907 годов создавались основные политические партии монархической ориентации от крайне правых до либерально-монархических. В указанный период шло становление сил черносотенной ориентации, выработка взаимодействия с царским правительством, разработка форм и методов воздействия на массы. С победой Февральской революции произошли существенные перемены в партийных формах черносотенства, его методах борьбы и тактических установках.

В средневековой Руси «черной сотней» называлось податное посадское население. Издревле торговое и ремесленное население русских городов делилось на сотни, представлявшие собою военно-административные единицы. Черными же они именовались оттого, что такое название носили владения, принадлежавшие великому князю как главе государства. Никакого негативного оттенка данное название не имело. Уничижительный нюанс появился в начале ХХ века, когда после почти двухвекового забвения это название появилось вновь. Черносотенцами стали звать себя представители право-монархических организаций, имевших разные программы, но главной своей целью ставивших сохранение российского самодержавия. Именуя себя «черной сотней», они тем самым подчеркивали, что защищают государственность.

Источники, из которых черносотенцы подчеркнули свою идеологию, не имели ни малейшего отношения к революционным идеям. Крайне правые опирались на известную трехчленную формулу-«православие, самодержавие, народность»-и использовали ряд постулатов славянофильства. Самое главное, что взяли крайне правые из славянофильского учения, - это резкое противопоставление России и Запада, под которым подразумевались католическая и протестантская цивилизации. Тогда как Россия, по их мнению, является созданием государей и народа, опиравшихся на учение православной церкви.

В разрез с политикой правительства, направленной на промышленную модернизацию страны, крайне правые утверждали, что «хозяйственная политика должна иметь своим руководящим началом взгляд на Россию, как на страну преимущественно крестьянскую и землевладельческую». Демократия представлялась черносотенцам самым ужасным злом, которое породил западный мир. Для крайне правых было характерно абсолютное недоверие к демократическим ценностям. Монархисты не разделяли убеждения о том, что индивидуальная свобода превыше всего. В их представлении человек всегда был частью общности - общины, сословия, народа. Скептически относились черносотенцы к социалистам всех направлений, которые критиковали буржуазные свободы и обещали победу истинного народовластия после социалистической революции. В противовес демократическим институтам черносотенцы выдвигали принцип абсолютной, единоличной власти.

Первые черносотенные организации появились в России в период назревания первой революции. Тогда они еще не называли себя черносотенцами, не были массовыми и существовали нелегально или полулегально. Свои листовки они, по примеру революционеров, размножали гектографическим способом. Сведения о нелегальных правых организациях встречаются в полицейских донесениях наряду со сведениями о революционных организациях и кружках. Как партия черносотенцы возникли в конце 1905 года, позже всех остальных партий. Таким образом, дворянство реагировало на консолидацию других классов.

Правительство не было заинтересовано в инициативе снизу, даже в инициативе правого толка. Министр внутренних дел В.К. Плеве не одобрял ни зубатовского энтузиазма, ни тем более энтузиазма никому не подотчетных организаций. Их не преследовали, но и не культивировали. Звездный час «черных сотен» пришелся на 1905-1906 года - времена массовых стихийных движений. Когда прежние методы - аресты, ссылки, тюрьмы, даже массовые расстрелы - уже не приносили нужных результатов, правительство решило задушить народное движение руками самого народа.

Ближайшими союзниками черносотенцев, а также их покровителями являлись консервативные правительственные круги, придворные, правые члены Государственного совета. Черносотенцы поддерживали тесные контакты с Постоянным советом объединенного дворянства, образованным в мае 1906 года, и его руководителем графом А.А. Бобринским. Также интенсивным было сотрудничество с националистами.

По мнению черносотенцев, у России было три врага, с которыми надо бороться, - инородец, интеллигент и инакомыслящий, причем воспринимались они неразрывно. В многонациональной империи невозможно бороться с революцией, не борясь с национально-освободительным движением. Невозможно ненавидеть интеллигенцию и при этом любить передовые идеи. Образ инородца поддерживался постоянно, но раньше это был поляк, а сейчас стал еврей. Правда и поляк считался «неблагонадежной» нацией, но доминирующим направлением правой идеологии стал антисемитизм.

В ХIХ веке в Польше прошло мощное освободительное движение, а на рубеже веков прошли массовые национально-освободительные движения многих народов. И в России наиболее бесправной оказалась та нация, которая в числе первых вступила в стадию капитализма. Даже В.В. Розанов, которого нельзя обвинить в любви к евреям, соглашался с невыносимым положением евреев. Именно из-за этого больше всего в национально-освободительное движение вовлекалось еврейской молодежи, что тоже объясняло их интересы: только после свержения самодержавия и завоевания демократических свобод евреи могли рассчитывать на равноправие с другими народами. В начале ХХ века ультраправый лагерь считал, что евреи были главными виновниками революционной смуты, а то, что в этом движении были русские, объяснялось сильным влиянием евреев. Однако надо учитывать, что приток евреев в передовые движения эпохи был напрямую связан с ассимиляционным процессом. Во время «Народной воли» революционеров еврейской национальности было не много, и все были людьми обрусевшими.

Ненависть к евреям была неразрывно связанна с ненавистью к собственной русской интеллигенции. Называя себя «русскими патриотами», на каждом шагу крича о своей любви к России, черносотенцы не могли смириться с тем, что наиболее ярко и талантливо служат отечеству как раз не они. В свою очередь интеллигенция с ее «мягкотелостью» и гуманностью не могла принять черносотенной идеологии. Известен даже случай, когда в одной из провинциальных гимназий ученики судили товарищеским судом двух старшеклассников, принявших участие в погроме. Их приговорили уйти из гимназии, и оба мальчика подчинились суровому решению, потому что это было делом чести.

Но тогда были люди, которые не могли поступиться принципами - интеллигенция. К черносотенцам не примкнул, не присоединился ни один из выдающихся деятелей русской культуры. Но зато и озлобление против них было сильное. «Христопродавцы, изменники России, интеллигентская шушера, жидолюбы» - такими «комплиментами» награждались в правой печати Л. Толстой, А. Чехов, М. Горький, Д. Мережковский, Л. Андреев.

Для черносотенной печати были характеры элементы возрастного консерватизма: недоверие к молодежи, неприязнь к ее вкусам и симпатиям. Черносотенцы выступали против увлечения прогрессивными идеями, против декадентства, а иногда и против образования, особенно заграничного. Возрастной консерватизм был присущ не только черносотенцам, но каждый последовательный черносотенец был невысокого мнения о современной ему молодежи. Простота, с которой все беды списывались на «внутреннего врага», делала черносотенную идеологию удобной для обывательского сознания. Черносотенцы ничего не предлагали и ничего не обещали, кроме как бить евреев, революционеров, либералов, интеллигентов. Поэтому русское крестьянство оказалось почти не затронутым черносотенным движением, так как они понимали, что, даже если они перебьют всех евреев поголовно, земля все равно останется в руках помещиков. К тому же, где их, евреев, взять на Псковщине или под Рязанью? Даже в западных губерниях, где была более благодатная почва для национальной розни, черносотенное движение пошло на убыль к концу революции 1905-1907 годов. Но все же главная ставка черносотенцев на примитивное разжигание межнациональной розни давала свои результаты - начались погромы.

В страшные дни погромов 1905-1907 годов русская интеллигенция не избежала удара, обрушившегося на «врагов России». Интеллигентов избивали и убивали на улицах подчас наравне с евреями. Опознать «предателей» было не трудно: молодежь носила ученическую форму, а взрослые форму ведомств. Например, в Екатеринбурге, в октябре 1905 года, толпа, враждебно настроенная к евреям и студентам, напала на группу молодежи, организовавшую очередной мирный митинг. В итоге побоища 2 человека были убиты,22 - ранены. Причем из 24 пострадавших было лишь 4 еврея. Известны мотивы нападения, которые свидетельствуют о стихийном характере действий толпы.

Вопреки распространенному мнению, не все погромы были подготовлены черносотенными организациями, которые были тогда еще весьма малочисленными. Ощущение подготовленности погромов возникало у современников вследствие массового характера беспорядков и бездействия властей, наблюдаемых повсеместно.

Хотя погромы проходили с одинаковой активностью не на всей территории России. Союз черносотенцев - Союз русского народа - был активен только в районах с многонациональным населением. В губерниях Центрального Черноземья лишь менее одной десятой процента населения входило в структуры СРН, так как там не было инородцев и, следовательно, объектов травли. Нечего было делать черносотенцам в Финляндии, Средней Азии, Прибалтике и Закавказье: там шовинистическая великорусская пропаганда была заведомо обречена на провал. Наиболее активно действовал СРН в регионах со смешанным населением - на Украине, в Белоруссии и в 15 губерниях «черты еврейской оседлости» было сосредоточенно более половины всех членов СРН. Тут в ход шли речи такого типа: «...Русский народ, развесив уши, слушает еврейских ораторов и раскрывает им широко свои объятия. Русская интеллигенция, ставящая себя руководителем народа русского, в особенности молодежь учащаяся, которая не имеет ничего общего с горьким фабричным тружеником и деревенским пахарем, но подпавшая под еврейское воздействие, вовлекли и молодежь из народа в среду смутьянов...»

Истоком всех российских бед, по мнению СРН, была деятельность Петра Первого, завезенная им иностранная зараза». Через прорубленное окно в Европу повеял с Запада сквозной ветер старейшего европейского отрицания, язычества и рассудочности... Нет или не должно быть народности, единокровцев и единоверцев, своеплеменности...- а есть космополитизм; и миллионы листков, и тысячеустная пропаганда европействующих и еврействующих темнят и туманят русское народное сознание... Кругом отныне не все в твоем доме стали тебе братьями, сыновьями, отцами и дедами: тебя надувает иновер, давит инородец, обижает иностранец. Настало время защищаться у себя дома...» Иначе говоря - покончить с «паутиной, в которой задыхаются, выбиваясь из сил, монархи и народы, империи и республики - жизненные соки коих высасывают безжалостные и жадные пауки: жидомасоны.»

Как известно, все партии и движения славились особой полюбившейся тактикой: эсеры - индивидуальным террором, социал-демократы - стачками, кадеты - выступлениями в Государственной думе. Черносотенцам принадлежит монополия погромной тактики. Именно погромы были кульминационными моментами всех их действий, главным смотром сил и наиболее радикальным средством борьбы с революцией.

Совершенно погасить народный гнев в 1905-1906 годах было невозможно, однако подменить объект ненависти, направить гнев в другую сторону было спасительным для монархии. Погромы происходили в России и раньше, но только в ХХ веке они приобрели политическую окраску, и только в ХХ веке они превратились в тактику политического движения. Наиболее распространенными были еврейские погромы, но на Кавказе «обязанности» евреев выполняли армяне, а в глубинной России - русские интеллигенты и учащиеся. Так, например, в начале февраля 1905 года в Баку вспыхнул жестокий армянский погром, а вслед за ним произошли избиения студентов и гимназистов в Москве, Тамбове, Казани, Курске, Пскове и других городах.

Партия социалистов-революционеров занимала одно из ведущих мест в системе российских политических партий. Она была наиболее многочисленной и самой влиятельной немарксистской социалистической партией. Ее судьба была более драматичной, чем судьба других партий. Триумфом и трагедией для эсеров стал 1917г. В короткий срок после Февральской революции партия превратилась в крупней­шую политическую силу, достигла по своей численности миллионного рубежа, приобрела господствующее положение в местных органах са­моуправления и большинстве общественных организаций, победила на выборах в Учредительное собрание. Ее представителям принадлежал ряд ключевых постов в правительстве.

Привлекательными были ее идеи демократического социализма и мирного перехода к нему. Одна­ко, несмотря на все это, эсеры оказались неспособными противостоять захвату власти большевиками и организовать успешную борьбу против их диктаторского режима.

Вывод: Таким образом, революционно-демократические партии в России, оформились раньше, чем политические органи­зации и партии консервативного либерального направлений. Хотя как общественно-политические течения все они складывались, начиная с 20-х гг. ХIХ в., и прошли сложный путь развития. Но в России в конце XIX в., приобрели популярность именно революционно-демократическое направление. Причины этого коренились в глубоком неудовлетворении общества положением дел в стране и желанием как можно скорее изменить сложившийся порядок вещей.

3. Особенности охраны памятников истории рубежа 19-20 веков.

Охрана памятников истории рубежа 19-20 веков имеет немаловажное значение в деле сохранения культурного наследия нашей страны. Исторические и архитектурные памятники той эпохи в настоящее время находятся в опасности. Урбанизация, экологические проблемы, интенсивное строительство, «туристическая нагрузка» подчас ставят под удар само существование исторических памятников.

Многие исторические памятники рубежа 19-20 веков пострадали в результате мировых и гражданских войн, локальных конфликтов и террористических актов.

Некоторые архитектурные памятники часто оказываются в зоне активной застройки, сноса и перепланировки, либо используются в качестве жилого и нежилого фонда, что также ставит под угрозу сохранность.

Исторические документы и материальные ценности той эпохи в основном находятся в музеях, но тоже часто уходят в частные руки через аукционы и антикварные магазины.

Вывод: Охрана памятников рубежа 19-20 веков является очень важным моментом в деле сохранения культурного наследия нашего Отечества, сохранении культурно-исторических корней русского народа, знания особенностей формирования и истории культуры Отечества.

Общий вывод: Россия и мир на рубеже 19-20 веков перешагнули важный этап развития, заложивший основы формирования современной новейшей истории и передела мира.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. История политических партий России./Под ред. Зевелева А.И. -М.:Высш.шк.,1994.

2. История России с древнейших времен до конца XX века: Учебное пособие для студентов вузов. – 5-е изд., стереотипное – М.: Дрофа, 2004. – 656 с;

3. История России ХХ в. Справочные материалы./Данилов А.А. - М.,1996.

4. История России в 2-х т.: Учеб. пособие для вузов / М.М. Горинов, А.А. Горский, А.А. Данилов; Под ред. А.А. Данилова. - М. : ВЛАДОС, 1998, Т.1. - 256 с.

5. История России под общей ред. Рыбкина А.А., Саратов, 1997 – 215 с;

6. Крушение помещичьих и буржуазных партий в России (начало ХХ века 1920 год)./Спирин Л.М. - М.,1977.

7. Михайлова Н.В. Отечественная история. Учебное пособие. Гриф МВД. М. «Щит-М», 2003. 165 с.;

8. Михайлова Н.В. Познание истории – ключ к прошлому, настоящему и будущему. Пособие для студентов юридических вузов. М. «Щит-М», 2003. 217 с.;

9. Многопартийность в России: распад и возрождение (1917-1992годы)./Под ред. док. ист. наук проф. А.А. Данилова. - М.,1992.

10. Политические партии торгово-промышленной буржуазии на Урале(1905-1916)./Лоскутов С.А. - Челябинск, ЧГУ, 1996.

11. Пособие по истории отечества для поступающих в Вузы под ред. Орлова А.С., Полунова А.Ю., Шестова Т.Л., Щетинова Ю.А., 4-е издание: Учеб. Пособие. – М.; Простор, 2004 – 479 с.;

12. Революционеры "справа": черносотенцы на Урале в1905- 1916 гг./Нарский И.В. - Екатеринбург,1994.

13. Сидоренко Надежда Семеновна "Монархическое движение на Урале (1905 - февраль 1917 гг.)./Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук. - Оренбург,1997.

Нередко сочетаются с элементарным незнанием практической стороны дела. Вместе со стремлением к победе духа над миром, разумного идеала над постылой действительностью в душе типичного интеллигента в России на рубеже XIX-ХХ веков имело место чувство оторванности от подлинно народной жизни, вины перед идеализируемым "народом-страдальцем" и вытекающие отсюда желания слиться с ним, проникнуться его...

Отношений на рубеже XIX-XX веков, следует отметить, что этот период стал самым блестящим в развитии русского востоковедения, центром которого был Петербург. Ориентализм в России на рубеже XIX – XX веков Восток с его бытом, поэзией, музыкой, изобразительным и прикладным искусством привлекал внимание многих русских художников разной ориентации, по-разному претворявших его богатое, ...

Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.

Определение функции

Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной .
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной .

Множество X называется областью определения функции .
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы в множестве X , называется областью или множеством значений функции .

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу) , если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной , если существует такое число M , что для всех :
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Соответственно нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Определение предела функции

Определение предела функции по Коши

Конечные пределы функции в конечных точках

Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки . в точке , если для любого существует такое , зависящее от , что для всех x , для которых , выполняется неравенство
.
Предел функции обозначается так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.

Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
; .

Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках

Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Их часто обозначают так:
; ; .

Использование понятия окрестности точки

Если ввести понятие проколотой окрестности точки , то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
; ;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
; ; .

Бесконечные пределы функции

Определение
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). f(x) при x → x 0 равен бесконечности , если для любого, сколь угодно большого числа M > 0 , существует такое число δ M > 0 , зависящее от M , что для всех x , принадлежащих проколотой δ M - окрестности точки : , выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Универсальное определение предела функции

Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек:
.

Определение предела функции по Гейне

Пусть функция определена на некотором множестве X : .
Число a называется пределом функции в точке :
,
если для любой последовательности , сходящейся к x 0 :
,
элементы которой принадлежат множеству X : ,
.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

Если в качестве множества X взять левостороннюю окрестность точки x 0 , то получим определение левого предела. Если правостороннюю - то получим определение правого предела. Если в качестве множества X взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности.

Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство

Свойства и теоремы предела функции

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.

Основные свойства

Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция f(x) ограничена:
.

Пусть функция имеет в точке x 0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для ,
, если ;
, если .

Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .

Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .

Если , и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .

Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0 :
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.

Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства пределов функции ».

Арифметические свойства предела функции

Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C - постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства пределов функции ».

Критерий Коши существования предела функции

Теорема
Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0 , имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x 0 , что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.

Предел сложной функции

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.

Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку :
.

Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(t) при t → t 0 , и он равен x 0 :
.
Здесь точка t 0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x) непрерывна в точке x 0 .
Тогда существует предел сложной функции f(g(t)) , и он равен f(x 0) :
.

Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

Определение
Функция называется бесконечно малой при , если
.

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .

Для того, чтобы функция имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .

«Свойства бесконечно малых функций ».

Бесконечно большие функции

Определение
Функция называется бесконечно большой при , если
.

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .

Если функция является бесконечно большой при , а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки , то
.

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
, и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.

Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
.

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».

Пределы монотонных функций

Определение
Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей , если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей :
.
Для невозрастающей :
.

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Теорема
Пусть функция не убывает на интервале , где .
Если она ограничена сверху числом M : , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m : , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .

Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b :
;
.

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.

Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколотых окрестностей, в которых были определены наши функции и которые возникали в процессе доказательств, кроме свойств указанных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделения следующего математического объекта.

а. База; определение и основные примеры

Определение 11. Совокупность В подмножеств множества X будем называть базой в множестве X, если выполнены два условия:

Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из той же совокупности.

Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы.

Если то вместо пишут и говорят, что х стремится к а справа или со стороны больших значений (соответственно, слева или со стороны меньших значений). При принята краткая запись вместо

Запись будет употребляться вместо Она означает, что а; стремится по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а.

то вместо пишут и говорят, что х стремится к плюс бесконечности (соответственно, к минус бесконечности).

Запись будет употребляться вместо

При вместо мы (если это не ведет к недоразумению) будем, как это принято в теории предела последовательности, писать

Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью, что пересечение любых двух элементов базы само является элементом этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой оси.

Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть краткое обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра», а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная для анализа часть созданного современным французским математиком А. Картаном понятия предела по фильтру

b. Предел функции по базе

Определение 12. Пусть - функция на множестве X; В - база в X. Число называется пределом функции по базе В, если для любой окрестности точки А найдется элемент базы, образ которого содержится в окрестности

Если А - предел функции по базе В, то пишут

Повторим определение предела по базе в логической символике:

Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значениями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного определения:

В этой формулировке вместо произвольной окрестности V (А) берется симметричная (относительно точки А) окрестность (е-окрестность). Эквивалентность этих определений для вещественнозначных функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрестности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же точки (проведите доказательство полностью!).

Мы дали общее определение предела функции по базе. Выше были рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В конкретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо уметь расшифровать общее определение и записать его для конкретной базы.

Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрестности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответствии с общим определением предела разумно принять следующие соглашения:

или, что то же самое,

Обычно под подразумевают малую величину. В приведенных определениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми соглашениями, например, можем записать

Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы доказали в пункте 2 для специальной базы , необходимо дать соответствующие определения: финально постоянной, финально ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций.

Определение 13. Функция называется финально постоянной при базе В, если существуют число и такой элемент базы, в любой точке которого

В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они избавляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей нынешней терминологии, для каждого конкретного вида баз.

Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по произвольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции мы проведем в общем виде.

Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции , а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.

За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна . И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)

Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.

Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:

– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)

– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:

В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций , в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей , на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.

Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?

– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что» , в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;

– для всех «эн», бОльших чем ;

– знак модуля означает расстояние , т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.

Ну как, убийственно сложно? =)

После освоения практики жду вас в следующем параграфе:

И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия : «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».

Хорошо, распишем последовательность :

Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице».

А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный .

Примечание : у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.

Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров) , но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.

Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.

Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро , который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями , чем значительно продвинул теорию.

Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:

Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно . Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля : .

Определение : число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:

Или короче: , если

Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.

Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой .

Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт » – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.

Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .

Закрепим материал практикой:

Пример 1

Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .

Примечание : у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .

Решение : рассмотрим произвольную найдётся ли номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:

Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .

Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:

Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции . При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:

Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:

Примечание : иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.

А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.

Вывод : для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение . Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать .

К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.

Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.

Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:

Пример 2

Решение : по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух!!!) .

Рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, существует ли натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:

Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:

Модуль уничтожает знак «минус»:

Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:

Перетасовка:

Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим неравенство модулем:

Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону.

Извлекаем корень:

И округляем результат:

Вывод : т.к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать .

Советую особо разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство ни в коем случае нельзя ослаблять , вычитая, скажем, единицу:

Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Используя определение последовательности, доказать, что

Краткое решение и ответ в конце урока.

Если последовательность бесконечно велика , то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность» :

Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.

Дежурный пример:

И сокращённая запись: , если

Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.

После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно) . Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.

Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!

Строгое определение предела функции

Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа) , соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж) . Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.

Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не определена:

Такой выбор подчёркивает суть предела функции : «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение , при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.

Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.

Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют) , принадлежащих промежутку и отличных от , которая сходится к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.

Предел функции по Гейне для любой последовательности точек (принадлежащих и отличных от ) , которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)

Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность) . По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.

Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз) . Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.

Предел функции по Коши : число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой) , существует -окрестность точки , ТАКАЯ , что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки) .

Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)

Короткая запись: , если

В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.

! Внимание : если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши , пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки » . Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.

Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!) , который также называют «предел на языке »:

Пример 4

Используя определение предела, доказать, что

Решение : функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.

Примечание : величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение

Рассмотрим произвольную -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ , что из неравенства следует неравенство .

Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен )