Теория хаоса
Диаграмма раздвоения логистической карты, где x → r x (1 - x). Каждый вертикальный сектор показывает аттрактор определённого значения r. Диаграмма отображает удвоение периода когда r увеличивается, что в конечном итоге производит хаос
Тео́рия ха́оса - математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем , подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос . Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной .
Примерами подобных систем являются атмосфера , турбулентные потоки , биологические популяции , общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием , эффект Коновала - распределение частот выпадения положительных результатов, или принятия правильных решений.
Теория хаоса - область исследований, связывающая математику и физику.
Основные сведения
Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.
Пионерами теории считаются французский физик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд и немецкий математик Ю. К. Мозер , построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова - Арнольда - Мозера). Теория вводит понятие аттракторов (в том числе, странных аттракторов как притягивающих канторовых структур), устойчивых орбит системы (т. н. КАМ-торов).
Понятие хаоса
Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что все точки, первоначально близко приближенные между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории . Таким образом, произвольно небольшое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка).
Чувствительность к начальным условиям более известна как «Эффект бабочки ». Термин возник в связи со статьёй «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в Вашингтоне . Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой, что в принципе доказывает определённую линейность системы. Но мелкие изменения в первоначальном состоянии системы могут и не вызывать цепочку событий.
Топологическое смешивание
Топологическое смешивание в динамике хаоса означает такую схему расширения системы, что одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание», как пример хаотической системы, соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкости.
Тонкости определения
Пример топологического смешивания, где x → 4 x (1 - x) и y → x + y, если x + y <1 (иначе x + y - 1). Здесь синий регион в процессе развития был преобразован сначала в фиолетовый, потом в розовый и красный регионы и в конечном итоге выглядит как облако точек, разбросанных поперек пространства
В популярных работах чувствительность к первоначальным условиям часто путается с самим хаосом. Грань очень тонкая, поскольку зависит от выбора показателей измерения и определения расстояний в конкретной стадии системы. Например, рассмотрим простую динамическую систему , которая неоднократно удваивает первоначальные значения. Такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде, так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии случайным образом будут на значительном расстоянии друг от друга. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию к бесконечности , и это не топологическое смешивание. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием.
Даже для закрытых систем, чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше. Например, рассмотрим тор (геометрическая фигура, поверхность вращения окружности вокруг оси лежащей в плоскости этой окружности - имеет форму бублика), заданный парой углов (x, y) со значениями от нуля до 2π . Отображение любой точки (x, y) определяется как (2x, y+a), где значение a/2π является иррациональным . Удвоение первой координаты в отображении указывает на чувствительность к первоначальным условиям. Однако, из-за иррационального изменения во второй координате, нет никаких периодических орбит - следовательно отображение не является хаотическим согласно вышеупомянутому определению.
Аттракторы
Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор - это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности , это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора. Например, в системе описывающей маятник - пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая . График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов .
Странные аттракторы
Аттрактор Лоренца как диаграмма хаотической системы. Эти два графика демонстрируют чувствительную зависимость от первоначальных условий в пределах занятого аттрактором региона
Простые хаотические системы
Хаотическими могут быть и простые системы без дифференциальных уравнений . Примером может быть логистическое отображение, которое описывает изменение количества населения с течением времени. Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений . Ещё один пример - это модель Рикера, которая также описывает динамику населения.
Хронология
Фрактальный папоротник, созданный благодаря игре хаоса. Природные формы (папоротники, облака, горы и т. д.) могут быть воссозданы через систему повторяющихся функций
Первым исследователем хаоса был Анри Пуанкаре . В 1880-х, при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты , которые постоянно и не удаляются и не приближаются к конкретной точке. В 1898 Жак Адамар издал влиятельную работу о хаотическом движении свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны. В своей работе «бильярд Адамара» он доказал, что все траектории непостоянны и частицы в них отклоняются друг от друга с положительной экспонентой Ляпунова .
Почти вся более ранняя теория, под названием эргодическая теория, была разработана только математиками. Позже нелинейные дифференциальные уравнения изучали Г. Биргхоф , A. Колмогоров , M. Каретник, Й. Литлвуд и Стивен Смэйл. Кроме С. Смэйла, на изучение хаоса всех их вдохновила физика: поведение трёх тел в случае с Г. Биргхофом, турбуленция и астрономические исследования в случае с А. Колмогоровым, радиотехника в случае с М. Каретником и Й. Литлвудом. Хотя хаотическое планетарное движение не изучалось, экспериментаторы столкнулись с турбуленцией в жидкости и непериодическими колебаниями в радиосхемах, не имея достаточной теории чтобы это объяснить.
Несмотря на попытки понять хаос в первой половине двадцатого столетия, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия. Тогда для некоторых учёных стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты подобно логистическому отображению. Чтобы заранее исключить неточности при изучении - простые «помехи» в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы. Основным катализатором для развития теории хаоса стала электронно-вычислительная машина . Большая часть математики в теории хаоса выполняет повторную итерацию простых математических формул, которые делать вручную непрактично. Электронно-вычислительные машины делали такие повторные вычисления достаточно быстро, тогда как рисунки и изображения позволяли визуализировать эти системы.
Одним из пионеров в теории хаоса был Эдвард Лоренц , интерес которого к хаосу появился случайно, когда он работал над предсказанием погоды в 1961 году. Погодное Моделирование Лоренц выполнял на простом цифровом компьютере McBee LGP-30. Когда он захотел увидеть всю последовательность данных, тогда, чтобы сэкономить время, он запустил моделирование с середины процесса. Хотя это можно было сделать введя данные с распечатки, которые он вычислил в прошлый раз.
К его удивлению погода, которую машина начала предсказывать, полностью отличалась от погоды, рассчитанной прежде. Лоренц обратился к компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но распечатка округлила переменные до 3 цифр, например значение 0.506127 было напечатано как 0.506. Это несущественное отличие не должно было иметь фактически никакого эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что Метеорология не может точно предсказать погоду на период более недели. Годом ранее, Бенуа Мандельброт нашёл повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что Структура помех подобна набору Регента: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них была константа - значит ошибки неизбежны и должны быть запланированы. Мандельброт описал два явления: «эффект Ноя », который возникает, когда происходят внезапные прерывистые изменения, например, изменение цен после плохих новостей, и «эффект Иосифа » в котором значения постоянны некоторое время, но все же внезапно изменяются впоследствии. В 1967 он издал работу «Какой длины побережье Великобритании? Статистические данные подобностей и различий в измерениях» доказывая, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора. Он утверждал, что клубок бечевки кажется точкой, если его рассматривать издалека (0-мерное пространство), он же будет клубком или шаром, если его рассматривать достаточно близко (3-мерное пространство) или может выглядеть замкнутой кривой линией сверху (1-мерное пространство). Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения.
Объект, изображения которого являются постоянными в различных масштабах («самоподобие») является фракталом (например кривая Коха или «снежинка»). В 1975 году Мандельброт опубликовал работу «Фрактальная геометрия природы», которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.
Турбулентные потоки воздуха от крыла самолета, образующиеся во время его посадки. Изучение критической точки, после которой система создает турбулентность, были важны для развития теории Хаоса. Например, советский физик Лев Ландау разработал Ландау-Хопф теорию турбулентности. Позже, Дэвид Руелл и Флорис Тейкнс предсказали, вопреки Ландау, что турбулентность в жидкости могла развиться через странный аттрактор, то есть основную концепцию теории хаоса
Явления хаоса наблюдали многие экспериментаторы ещё до того, как его начали исследовать. Например, в 1927 году Ван дер Поль, а в 1958 году П. Ивес. 27 ноября 1961 Й. Уэда, будучи аспирантом в лаборатории Киотского университета, заметил некую закономерность и назвал её «случайные явления превращений», когда экспериментировал с аналоговыми вычислительными машинами. Тем не менее его руководитель не согласился тогда с его выводами и не позволил ему представить свои выводы общественности до 1970 года. В декабре 1977 Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум о теории хаоса, который посетили Дэвид Руелл, Роберт Мей, Джеймс А. Иорк, Роберт Шоу , Й. Даян Фермер, Норман Пакард и метеоролог Эдвард Лоренц . В следующем году, Митчелл Феидженбом издал статью «Количественная универсальность для нелинейных преобразований», где он описал логистические отображения. М. Феидженбом применил рекурсивную геометрию к изучению естественных форм, таких как береговые линии. Особенность его работы в том, что он установил универсальность в хаосе и применял теорию хаоса ко многим явлениям. В 1979 Альберт Дж. Либчейбр на симпозиуме в Осине, представил свои экспериментальные наблюдения каскада раздвоения, который ведет к хаосу. Его наградили премией Вольфа в физике вместе с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом в 1986 «за блестящую экспериментальную демонстрацию переходов к хаосу в динамических системах ». Тогда же в 1986 Нью-Йоркская Академия Наук вместе с национальным Институтом Мозга и центром Военно-морских исследований организовали первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Уберман продемонстрировал математическую модель глаза и нарушений его подвижности среди шизофреников . Это привело к широкому применению теории хаоса в физиологии в 1980-х, например в изучении патологии сердечных циклов . В 1987 Пер Бак, Чао Тан и Курт Висенфелд напечатали статью в газете, где впервые описали систему самодостаточности (СС), которая является одним из природных механизмов. Многие исследования тогда были сконцентрированы вокруг крупномасштабных естественных или социальных систем. CC стала сильным претендентом на объяснение множества естественных явлений, включая землетрясения, солнечные всплески, колебания в экономических системах, формирование ландшафта, лесные пожары, оползни, эпидемии и биологическую эволюцию . Учитывая нестабильное и безмасштабное распределение случаев возникновения, странно, что некоторые исследователи предложили рассмотреть как пример CC возникновение войн. Эти «прикладные» исследования включали в себя две попытки моделирования: разработка новых моделей и приспособление существующих к данной естественной системе.
В тот же самый год Джеймс Глеик издал работу «Хаос: создание новой науки», которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса и её хронологию. Теория хаоса прогрессивно развивалась как межпредметная и университетская дисциплина, главным образом под названием «анализ нелинейных систем». Опираясь на концепцию Томаса Куна о парадигме сдвига, много «учёных-хаотиков» (так они сами назвали себя) утверждали, что эта новая теория и есть пример сдвига.
Доступность более дешевых, более мощных компьютеров расширяет возможности применения теории хаоса. В настоящее время, теория хаоса продолжает быть очень активной областью исследований, вовлекая много разных дисциплин (математика, топология , физика, биология, метеорология, астрофизика, теория информации, и т.д.).
Применение
Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника. В лаборатории хаотическое поведение можно наблюдать в разных системах, например электрические схемы , лазеры, химические реакции, динамика жидкостей и магнитно-механических устройств. В природе хаотическое поведение наблюдается в движении спутников солнечной системы , эволюции магнитного поля астрономических тел, приросте населения в экологии, динамике потенциалов в нейронах и молекулярных колебаниях . Есть сомнения о существовании динамики хаоса в тектонике плит и в экономике.
Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы похожие на модель Рикера использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности. В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении эпилепсии для предсказаний приступов, учитывая первоначальное состояние организма. Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом и квантовой механикой . Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законам общей теории относительности .
Различия между случайными и хаотическими данными
Только по исходным данным трудно сказать, каким является наблюдаемый процесс - случайным или хаотическим, потому что практически не существует явного чистого "сигнала" отличия. Всегда будут некоторые помехи, даже если их округлять или не учитывать. Это значит, что любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей. Чтобы отличить детерминированный процесс от стохастического, нужно знать, что детерминированная система всегда развивается по одному и тому же пути от данной отправной точки. Таким образом, чтобы проверить процесс на детерминизм необходимо:
- выбрать тестируемое состояние;
- найти несколько подобных или почти подобных состояний; и
- сравнить их развитие во времени.
Погрешность определяется как различие между изменениями в тестируемом и подобном состояниях. Детерминированная система будет иметь очень маленькую погрешность (устойчивый, постоянный результат) или она будет увеличиваться по экспоненте со временем (хаос). Стохастическая система будет иметь беспорядочно распределенную погрешность.
По существу все методы определения детерминизма основываются на обнаружении состояний, самых близких к данному тестируемому (то есть, измерению корреляции , экспоненты Ляпунова, и т.д.). Чтобы определить состояние системы обычно полагаются на пространственные методы определения стадии развития. Исследователь выбирает диапазон измерения и исследует развитие погрешности между двумя близлежащими состояниями. Если она выглядит случайной, тогда нужно увеличить диапазон, чтобы получить детерминированную погрешность. Кажется, что это сделать просто, но на деле это не так. Во-первых, сложность состоит в том, что, при увеличении диапазона измерения, поиск близлежащего состояния требует намного большего количества времени для вычислений чтобы найти подходящего претендента. Если диапазон измерения выбран слишком маленьким, то детерминированные данные могут выглядеть случайными, но если диапазон слишком большой, то этого не случится - метод будет работать.
При этом, до сих пор не существует четкого математической формулировки понятия «хаоса». В этой связи некоторые исследователи теории нередко формулируют хаос как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, которое возникает в динамической системе.
Однако, хаос не случаен. Подтверждением тому могут служить некоторые аспекты астрономии, астрологии и религиозных течений, которые мы не станем затрагивать в нашем тексте. И, более того, несмотря на кажущуюся непредсказуемость, он динамически детерминирован (т.е. определен) и не выходит за рамки четких закономерностей. И, хотя на первый взгляд, непредсказуемость
хаоса граничит со случайностью - это обманчивое впечатление. Согласно Теории Хаоса, когда речь заходит о хаотичном движении цен, то имеется в виду не их случайное движение, а упорядоченное определенным способом движение. И, если динамика рынка и хаотична, это не говорит о ее случайности. Т.е., случайность и непредсказуемость - понятия не однозначные, и это важно понимать.
Непредсказуемость хаоса, как правило, объясняется существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые незначительные просчеты в определении параметров изучаемого объекта могут привести к абсолютно неверному прогнозу. Такие ошибки могут возникнуть в результате незнания или непонимания изначально предлагаемых условий. Неважные на первый взгляд моменты, которым трейдер может по неопытности или лени не придать значения, дадут неверно поставленную задачу, и, как следствие, приведут к неправильному прогнозу. Например, касательно невозможности делать правильные долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий называют "эффектом бабочки". "Эффект бабочки" указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе.
Также отметим, что факторы воздействия могут быть экзогенные (внешние), и эндогенные (внутренние). В качестве характерного примера хаотичного движения и влияния экзогенных и эндогенных факторов можно привести движение бильярдного шара. Кто хоть раз играл в бильярд, прекрасно знает, насколько на конечный результат - попадание шара в лузу - влияет направление удара кием, сила удара, расположение шара относительно других шаров и некоторые другие вводные данные. Малейший просчет в одном из этих факторов приведет к абсолютно непредсказуемой траектории движения шара по столу. Однако, даже при всех правильных действиях игрока движение шара может стать непредсказуемым на одном из этапов движения: после соприкосновения с бортом стола, другими шарами, лузой.
Исходя из вышесказанного можно утверждать, что будущее предсказать невозможно, так как всегда существуют изначальные ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий. Как итог: мелкие недочеты и/или ошибки порождают крупные последствия, которые, как правило, развиваются лавинообразно, или в геометрической прогрессии.
Существует утверждение, что Хаос - более высокая форма порядка. Однако, более правильно считать Хаос другой формой порядка: с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом - порядок. И, если определять Хаос как беспорядок, то внутри него формируется своя, особенную форму порядка. К примеру, дым от сигарет, поднимающийся сначала в виде упорядоченного столба далее под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными. Другой пример хаотичности в природе - лист дерева или рисунок кожи пальца человека: ученые доказали, что абсолютной идентичности не бывает НИКОГДА.
Движение от порядка к Хаосу и обратно является сущностью Вселенной, какие бы проявления ее мы не рассматривали. Даже в мозгу человека одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе - правому. Левое полушарие отвечает сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется "если…, то…". В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга. Не зря древняя китайская мудрость гласит, что мысли человека подобны обезьянам, прыгающим с ветки на ветку.
изучает порядок хаотичной системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом Теория Хаоса дает возможность построить модель такой системы, не ставя задачу точного прогнозирования поведения хаотичнойой системы в будущем.
Теория Хаоса начала зарождаться еще в XIX веке, однако действительное научное развитие она получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot).
Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал причины трудности прогнозирования погоды. Заметим, что до появления работы Лоренца в научной среде господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.
Первый подход был сформулирован в 1776 году французским математиком Пьером Симоном Лапласом. Он утверждал, что "…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем". Направление его мыслей повторяли знаменитое изречение Архимеда: "Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир". Таким образом, Лаплас и приверженцы его теории говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.д. Лаплас считал, что чем больше человек будет иметь информации, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.
Второй подход относительно возможности прогнозирования погоды был сформулирован другим французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: "Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем.
Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".
В этом высказывании Пуанкаре и состоит постулат Теории Хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм теории Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются детерминизму Лапласа. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется - невозможно.
Таким образом, мы подошли вплотную к самой Теории Хаоса, изучение которой основано на таких инструментах, как аттракторы и фракталы.
Аттрактор
Аттрактор (англ. to attract - притягивать) - геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.
Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотичным) образом.
Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения - разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.
Наряду с этим, любой аттрактор имеет определенные размеры границ, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее и маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.
Сходимость-расходимость (или складывание и вытягивание соответственно) хаотичного аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости - возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации (этот подход применил в своей Теории Пассионарности Л. Н. Гумилев, назвав такие явления «оберрацией близости» и «оберрацией дальности»).
В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука - способностью устанавливать связи между причинами и следствиями - в хаотичных системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в Хаосе не существует.
Также надо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой Хаоса, т.е. численным выражением хаотичности самой системы. Другой статистической мерой Хаоса служит размерность аттрактора.
Подводя промежуточный итог, заметим, что основным свойством хаотичных аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются.
На этом этапе поговорим о пересечении фрактальной геометрии и Теории Хаоса. А парадокс заключен в том, что хотя фрактал и является одним из инструментов Теории Хаоса, по сути он - противоположность Хаоса.
Главное различие между Хаосом и Фракталом состоит в том, что первый является динамическим явлением, а второй - статическим. Под динамическим свойством Хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий.
Фрактал
Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова. Отсюда проявляется одно из свойств фрактала - самоподобие.
Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.
Фактически все, что кажется случайным и неправильным, может быть фракталом (очертания океанов и морей, облака, деревья, биение сердца, популяции и миграции животных, дым от костра или языки пламени).
В итоге, Теория Хаоса предполагает три основных принципа для изучения рынка :
Все в мире следует путем наименьшего сопротивления. Рынок подобен реке, выбирающей свое русло.
Путь наименьшего сопротивления определяется структурой, которая всегда обусловлена причинами и обычно не видна. Если русло реки глубоко и широко, течение медленное, если неглубокое и узкое - на реке образовываются буруны и стремнины. Поведение течения можно предсказать путем исследования русла реки.
Основная и обычно невидимая структура всегда может быть определена и изменена. Структура определяет поведение. Вы можете изменить поток вашей жизни и вашей торговли, распознавая основную структуру вашей торговли.
ТЕОРИЯ ХАОСА
ТЕОРИЯ ХАОСА , теория, цель которой - описание и объяснение крайне сложного поведения систем; они лишь на первый взгляд кажутся беспорядочными и непредсказуемыми, однако, основаны на определенном порядке. Поведение некоторых физических система невозможно описать с помощью обычных законов физики. Это связано с тем, что математический аппарат, необходимый для описания таких систем, слишком сложен даже для сверхмощных компьютеров. Подобные системы иногда называют нелинейными либо хаотическими; к ним относятся сложные механизмы, электрические цепи, а также такие природные явления, как погода. Упорядоченные системы то же могут стать хаотическими, как, например, равномерный поток воды, когда он ударяется о скалу и становится турбулентным. Отсутствие адекватных описаний означает, что стандартное прогнозирование их поведения также невозможно. Теория хаоса предлагает такие математические методы, которые позволяют описывать хаотические системы и даже делать некоторые обобщенные прогнозы их вероятного поведения. Однако она также показывает, что даже малейшее изменение в исходных условиях системы может привести к огромной разнице спустя некоторое время. Таким образом, из-за невозможности узнать точные начальные условия системы невозможно сделать точный прогноз.
Теория хаоса служит для описания явлений, кажущихся сложными, которые можно смоделировать математически простыми численными формулами, многократно повторяемыми. Некоторые хаотичные системы являются фрактальными, т е. содержат взаимно подобные геометрические структуры или компоненты. Другими словами, небольшая часть такой системы будет напоминать всю систему в целом, и потому возможность дать математическое описание части системы означает возможность описания системы в целом. Примером фрактальной структуры служит «губка» Сер-пинского (1): она состоит из многократно повторенных равносторонних треугольников(2-3). Кажущаяся сложной структура живых организмов, например, цветной капусты,также содержит подобные элементы, и потому отдельное со цветие (4) дает представление обо всей головке (5). Движение дыма от погасшей свечи (6) описывается сложным рисунком, который трудно уловить, но оно моделируется с применением понятий ламинарного и турбулентного течений (7). Климат Земли - чрезвычайно сложное явление, однако в основе его лежаг простые законы (8). Солнечный нагрев вызывает испарение воды (9) с поверхности моря,в результате чего образуются облака (10), отражающие солнечный свет и препятствующие его проникно вению к поверхности моря или суши Температура падает, и может выпасть дождь (11). Если бы мы могли осуществить измерения погодных параметров в достаточно широком масштабе и создать чрезвычайно подробную математическую модель,тогда стало бы возможно безошибочное прогнозирование погоды.
Научно-технический энциклопедический словарь .
Смотреть что такое "ТЕОРИЯ ХАОСА" в других словарях:
- (chaos theory) Математическая теория, занимающаяся анализом случайных, непредсказуемых последствий отдельных небольших отклонений от состояния равновесия (equilibrium) в сложной системе. На нее часто ссылаются в связи с различными вариантами… … Политология. Словарь.
У этого термина существуют и другие значения, см. Теория хаоса (значения). Диаграмма раздвоения логистической карт … Википедия
- … Википедия
Теория хаоса Chaos Theory Сериал «CSI. Место преступления» Номер серии Сезон 2 Серия № Авторы сценария Джош Берман, Эли Талберт Режиссёр {{{Режиссёр}}} … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Теория хаоса (значения). Теория хаоса Chaos Theory … Википедия
Теория хаоса: Теория хаоса математический аппарат. Теория хаоса фильм 2007 года. См. также Tom Clancy s Splinter Cell: Chaos Theory компьютерная игра … Википедия
Может ссылаться на: Изучение сложных систем Теория хаоса Теория сложности вычислений Теоретическое рассмотрение Колмогоровской сложности строки, изучаемое в теории алгоритмов, определяемое по длине кратчайшей двоичной программы, которая может… … Википедия
- (catastrophe theory) Систематизированная классификация внезапных переходов от одного устойчивого состояния к другому. Применима к таким разным экстремальным явлениям, как замерзание жидкости и падение империи, закаливание металла и тюремный бунт … Политология. Словарь.
Раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими… … Энциклопедия Кольера
Теория хаоса математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных, при определённых условиях, явлению, известному как хаос, которое характеризуется сильной чувствительностью поведения системы к… … Википедия
Книги
- Джек Райан: теория хаоса (DVD) , Брана Кеннет. Продолжение истории культового персонажа Тома Клэнси! Финансовый аналитик ЦРУ Райан (Крис Пайн) приезжает на задание в Москву и оказывается в паутине интриг и заговоров, в которую вовлечены…
Изучение комплексных и динамических систем для выявления закономерностей порядка (нехаоса) из очевидных хаотичных явлений. Объяснение Chaos Theory (Теория хаоса) Lorenz ("60) и Poincaré. (ca 1900)
Что такое Chaos Theory (Теория хаоса) ? Описание
Методом Chaos Theory (Теория хаоса) от Lorenz и Poincaré будет методика можно использовать для систем изучать сложных и динамических для того чтобы показать закономерности порядка (нехаоса) из по-видимому хаотичных поведений.
«Chaos Theory (Теория хаоса) - Качественное изучение неустойчивого апериодического поведения в детерминистических нелинейных динамичных системах» (Kellert, 1993, P. 2). Апериодическое поведение наблюдается, когда нет ни одной переменной, описывающей состояние системы, которое испытывает регулярное повторение значений. Неустойчивое апериодическое поведение очень сложно: оно никогда не повторяется и проявляет эффект любого небольшого возмущения.
Согласно сегодняшней математической теории хаотичная система характеризуется «чувствительностью к начальным условиям». Другими словами, для того чтобы предсказать будущее состояние системы с определенностью, вам необходимо знать начальные условия с огромной точностью, в виду того что ошибки увеличиваются быстро из-за даже самой небольшой неточности.
Поэтому погоду настолько трудно прогнозировать. Теория также применялась к экономическим циклам, динамике животных популяций, в движении текучей среды, области планетарных орбит, электрического тока в полупроводниках, медицинских состояний (например, эпилептический припадок) и моделировании гонки вооружений.
Во 1960-х Edward Lorenz, метеоролог из MIT, работал над проектом по имитации закономерностей погоды на компьютере. Он случайно столкнулся с Эффектом бабочки (butterfly effect) после того, как отклонения в вычислениях на тысячные доли в значительной степени меняли процесс имитации. Эффект бабочки показывает, как изменения небольшого маштаба могут оказывать влияние на вещи большого масштаба. Это классический пример хаоса, где небольшие изменения могут повлечь большие изменения. Бабочка, хлопая своими крыльями в Гон Конге, может изменить закономерности торнадо в Техасе.
Chaos Theory (Теория хаоса) рассматривает организации/бизнес группы как сложные, динамические, нелинейные, созидательные и далекие от состояния равновесия системы. Их будущие результаты нельзя предсказать на основе прошлых и текущих событий и действий. В состоянии хаоса, организации одновременно ведут себя непредсказуемо (хаотично) и систематично (упорядоченно).
Происхождение Теории хаоса. История
Ilya Prigogine, лауреат Нобелевской премии, показал, что сложные структуры могут происходить от более простых. Это как порядок исходящий из хаоса. Henry Adams ранее описал данное явление цитатой «Chaos often breeds life, when order breeds habit». Однако Henri Poincaré был настоящим «отцом-основателем теории хаоса» . Планета Нептун была открыта в 1846 и была предсказана на основе наблюдений отклонений в орбите Урана. Король Норвегии Oscar II был готов дать награду любому, кто бы смог доказать или опровергнуть то, что солнечная система устойчива. Poincaré предложил свое решение, но когда его друг нашел ошибку в его вычислениях, награду отобрали до тех пор, пока он не смог придумать новое решение. Poincaré пришел к выводу, что решения не было. Даже законы Isaac Newton не помогали в решении этой огромной проблемы. Poincaré пытался найти порядок в системе, где его не было. Теория хаоса была сформулирована в 1960-х. Значительная и более практическая работа была проделана Edward Lorenz в 1960-х. Название хаос было придуманно Jim Yorke, ученым в области прикладной математики в университете Maryland (Ruelle, 1991).
Вычисление Chaos Theory (Теория хаоса)? Формула
В применении Теории хаоса, одиночная переменная x (n) = x (t0 + nt) с начальным временем, t0, и временем задержки, t, обеспечивает n-мерное пространство, или фазовое пространство, которое представляет собой все многомерное пространство состояния системы; может потребоваться до 4 измерений для того, чтобы представить фазовое пространство хаотичной системы. Таким образом, в течение длительного периода времени, анализируемая система выработает закономерности в рамках нелинейного временного ряда, что можно использовать для предсказания будущих состояний (Solomatine et al, 2001).
Применение Теории хаоса. Формы применения
Принципы Теории хаоса были успешно использованы для описания и объяснения разнообразных естественных и искусственных явлений. Such as:
- Предсказание эпилептических припадков. Предсказание финансовых рынков. Моделирование систем производства. Прогнозы погоды. Создание фракталов. Сгенерированные компьютером изображения с использованием принципов Chaos Theory (Теория хаоса) . (См. на этой странице.)
В условиях, когда Бизнес работает в неустойчивой, сложной и непредсказуемой среде, принципы Теории хаоса могут быть весьма ценны. Области применения могут включать:
- Бизнес стратегия/Корпоративная стратегия. Сложный процесс принятия решений. Социальные науки. Организационное поведение и организационное изменение. Сравните: Causal Model of Organizational Performance and Change (Причинно-следственная модель организационной деятельности и изменения) Поведение на фондовой биржи, инвестирование.
Стадии в Теории хаоса. Процесс
Для того, чтобы контролировать хаос, необходимо контролировать систему или процесс хаоса. Для контролирования системы, необходимы:
Цель, задача, которые система должна достигнуть и выполнить. Для системы с предсказуемым поведением (детерминистическим) это может быть определенное состояние системы. Система способная достигать цель или выполнять поставленные задачи. Некоторое способы оказания влияния на поведение системы. Включают Параметры контроля/control inputs (решения, правила принятия решений или начальные состояния).
Преимущества Теории хаоса. Преимущества
Теория хаоса имеет широкое применение в современном науке и технике. Коммуникация и менеджмент могут стать свидетелями смещения парадигмы, как и некоторые другие области бизнеса. Исследования и изучение этой области в академической среде могут быть весьма полезны для бизнеса и финансового мира.
Ограничения Теории хаоса. Недостатки
Ограничения применения Теории хаоса связаны, главным образом, с выбором вводных параметров. Методы, выбранные для вычисления этих параметров зависят от динамики, лежащей в основе данных и вида анализа, которая в большинстве случаев очень сложна и не всегда точна.
Непросто найти непосредственное и прямое применение теории хаоса в деловой среде, однако определенно стоит применять анализ деловой среды с использованием знаний о хаосе.
Предположения Теории хаоса). Условия
- Небольшие действия приводят к достаточно большим последствиям, создавая хаотичную атмосферу.
Введение в теорию хаоса
Что такое теория хаоса?
Теория хаоса — это учение о сложных нелинейных динамических системах.
Формально, теория хаоса определяется как учение о сложных нелинейных динамических системах. Под термином сложные это и понимается, а под термином нелинейные понимается рекурсия и алгоритмы из высшей математики, и, наконец, динамические - означает непостоянные и непериодические. Таким образом, теория хаоса это учение о постоянно изменяющихся сложных системах, основанное не математических концепциях рекурсии, в форме ли рекурсивного процесса или набора дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему.
Неправильные представления о теории хаоса
Широкая общественность обратила внимание на теорию хаоса благодаря таким фильмам, как Парк юрского периода, и благодаря им же, постоянно увеличивается опасение теории хаоса со стороны общества. Однако, как и в отношении любой вещи, освещаемой средствами массовой информации, в отношении теории хаоса возникло много неправильных представлений.
Наиболее часто встречающееся несоответствие состоит в том, что люди полагают, что теория хаоса - это теория о беспорядке. Ничто не могло бы быть так далеко от истины! Это не опровержение детерминизма и не утверждение о том, что упорядоченные системы невозможны; это не отрицание экспериментальных подтверждений и не заявление о бесполезности сложных систем. Хаос в теории хаоса и есть порядок - и даже не просто порядок, а сущность порядка.
Это правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут породить огромные последствия. Но одной из центральных концепций в теории является невозможность точного предсказания состояния системы. В общем, задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы - наследственной непредсказуемости системы - а на унаследованном ей порядке - общем в поведении похожих систем.
Таким образом, было бы неправильным сказать, что теория хаоса о беспорядке. Чтобы пояснить это на примере, возьмем аттрактор Лоренца. Он основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях.
Теория хаоса о беспорядке
Аттрактор представляет поведение газа в любое заданное время, и его состояние в определенный момент зависит от его состояния в моменты времени, предшествовавшие данному. Если исходные данные изменить даже на очень маленькие величины, скажем, эти величины малы настолько, что соизмеримы с вкладом отдельных атомов в число Авогадро (что является очень маленьким числом по сравнению со значениями порядка 1024), проверка состояния аттрактора покажет абсолютно другие числа. Это происходит потому, что маленькие различия увеличиваются в результате рекурсии.
Однако, несмотря на это, график аттрактора будет выглядеть достаточно похоже. Обе системы будут иметь абсолютно разные значения в любой заданный момент времени, но график аттрактора останется тем же самым, т.к. он выражает общее поведение системы.
Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время, теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы - в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается, в то же время, наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах.
Применение теории хаоса в реальном мире
При появлении новых теорий, все хотят узнать что же в них хорошего. Итак что хорошего в теории хаоса? Первое и самое важное - теория хаоса - это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому. Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые - вместо того, чтобы описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени - представляют общее поведение системы. Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные - т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.
Однако, согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.
Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего - от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.
В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована - рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов в отличие от точных соотношений; процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.
Фракталы находятся везде, наиболее заметны в графических программах как например очень успешная серия продуктов Fractal Design Painter. Техники фрактального сжатия данных все еще разрабатываются, но обещают удивительные результаты как например коэффициента сжатия 600:1. Индустрия специальных эффектов в кино, имела бы горазда менее реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени) без технологии фрактальной графики.
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
И, конечно, теория хаоса дает людям удивительно интересный способ того, как приобрести интерес к математике, одной из наиболее мало-популярной области познания на сегодняшний день.
