В середине мая в лесу между деревьями, словно волшебные жемчужины появляются белоснежные душистые цветы. Это расцветают ландыши .
В России о появлении этих волшебных цветов рассказывает легенда, главной героиней которой является водяная царевна Волхова. Она страстно полюбила прекрасного юношу и замечательного певца Садко. Но узнала водяная царевна о том, что Садко любит простую земную девушку-красавицу Любаву. Поняла Волхова, что не сможет стать соперницей Любавы, не сможет влюбить в себя Садко. Страдая от неразделенной любви, решила Волхова последний раз выйти из воды на берег, чтобы еще раз увидеть любимого, попрощаться с ним, а самой навсегда остаться в речных водах. На берегу, где она часто видела Садко, его не было. В поисках возлюбленного Волхова долго блуждала прибрежными лугами и лесными тропами, внимательно вслушивалась к голосам людей. И вдруг ей послышался голос любимого. Среди белеющих в темноте березовых стволов она увидела две крепко обнявшиеся фигуры, которые шли по лесной тропинке. Это были Садко и Любава. Хотела ринуться к любимому Волхова, но гордость не позволила ей этого. Отвернулась гордая царевна морская от влюбленных, решила вернуться в речные воды и навеки там остаться. Из глаз влюбленной Волховы капали слезы и падали на лесную траву. К утру превратились они на душистые цветы ландыша, которые символизируют любовь и грусть от безответной любви.
Какой же ты душистый!
Какой же ты красивый!
Но почему дрожишь ты?
Ты что такой пугливый?
Тебя я рвать не буду,
Не надо мне букета.
Ведь ты – лесное чудо!
С тобой приходит лето.
Тебя не унесу я,
Расти себе под елью.
Тебя я нарисую
В альбоме акварелью.
В. Золотарева
Возле леса, на опушке,
Листья, как у зайца ушки.
Очень гладкие, большие
И блестящие такие.
Стебелёк довольно тонкий,
А на нём бубенчик звонкий,
Как жемчужные горошки-
Белые цветочки-крошки.
Запах нежный, ароматный,
И душистый и приятный…
Только брать в букет не стоит
Украшение лесное –
Ландыш, — он красив на вид.
Но, представьте,- ядовит!
Р. Новикова
Что там за горошины
Белые в садочке?
На снежок похожие,
Что там за цветочки?
Ландыши, ландыши,
Ландыши раскрылись.
Ландыши, ландыши
Так нам полюбились.
Сколько колокольчиков,
А не слышно звона.
Сладко пахнут очень,
Листья, как короны.
Ландыши, ландыши,
Ландыши раскрылись.
Белые ландыши,
Так нам полюбились.
Т. Крячко
А вот еще одна легенда о ландыше . Весна на делила юношу по имени Ландыш любовью к жизни, и он всегда благодарил ее теплыми, ласковыми словами. Весна полюбила Ландыша, но ненадолго. Вечно молодая, она очень непоседлива. Всю свою жизнь путешествуя с юга на север, она не находит себе покоя и, рассыпая всем ласки, ни с кем долго не задерживается. Мимоходом она приласкала и Ландыша. Однако вскоре ушла и оставила весенний цветок жаркому лету. Юноша Ландыш так плакал о покинувшей его любимой Весне, что слезы превратились в белые цветочки, а кровь сердца окрасила ягоды.
Также существует легенда, согласно которой цветы ландыша являются жемчужинами, появившимися от счастливого смеха влюбленной Нимфы. С детства памятна многим сказка о Белоснежке. Когда Белоснежка спасалась от злой мачехи, она случайно рассыпала свое ожерелье, превратившееся в душистые цветы. Они служат фонариками для гномов. В них живут маленькие лесные человечки – эльфы. В ландышах прячутся на ночь солнечные зайчики.
Много поэтов в своих произведениях воспевают цветы ландыша. В этих стихотворениях цветы чаще всего символизируют лучшие человеческие качества: душевную чистоту и невинность, нежность, верность и любовь.
На поле цветастом все радуги света.
И Катя, играя, на поле нашла
Цветочек один – он маленький, белый,
А пахнет!.. Как вкусно! В росе был с утра.
Не стала тревожить его стебелёчек,
А встала с коленок и к маме бегом:
Спросить про один неизвестный цветочек-
Как называть? Других нету кругом.
А мама сказала: «Он ландыш весенний.
И, кто, вдруг сегодня найдёт, тот тогда
Закружиться с радостью танцем веселья.
И много таких будет дней навсегда».
А. Саломонов
Пойдем за ландышами в лес,
Найдем волшебную полянку,
С тобою вместе спозаранку
Вдруг окунемся в мир чудес.
Какая радость!Что за краски!
Как весело ручьи звенят!
А запах ландышей меня
Уводит в мир волшебной сказки.
Пускай кончается весна,
И ландыши-начало лета.
Поляна сказок,где ты? где ты?
Да здесь же, в ландышах она.
Я принесу домой букет
И чудный аромат лесной.
Они останутся со мной,
Как феи сказочной привет.
Чернеет лес, теплом разбуженный,
Весенней сыростью объят.
А уж на ниточках жемчужины
От ветра каждого дрожат.
Бутонов круглые бубенчики
Еще закрыты и плотны,
Но солнце раскрывает венчики
У колокольчиков весны.
Природой бережно спеленатый,
Завернутый в широкий лист,
Растет цветок в глуши нетронутой,
Прохладен, хрупок и душист.
Томится лес весною раннею,
И всю счастливую тоску,
И все свое благоухание
Он отдал горькому цветку.
С. Маршак
Существует поверье, что в светлые лунные ночи, когда вся земля объята глубоким сном, Пресвятая Дева, окруженная венцом из серебристых ландышей, появляется иногда тем из счастливых смертных, которым готовит нечаянную радость. Когда ландыш отцветает, вырастает маленькая круглая ягодка — горючие, огненные слезы, которыми ландыш оплакивает весну, кругосветную путешественницу, рассыпающую всем свои ласки и нигде не останавливающуюся. Влюбленный ландыш также безмолвно перенес свое горе, как нес и радость любви. В связи с этим языческим преданием, возможно, возникло христианское сказание о происхождении ландыша из горючих слез Пресвятой Богородицы у креста ее распятого сына.
Кельты полагали, что это — ни больше, ни меньше, как сокровища эльфов. По их легенде, молодые охотники, устроив засаду на диких зверей в лесной чаще, увидели эльфа, летевшего с тяжелой ношей в руках, и выследили его путь. Оказалось, что он нес жемчужину на гору перлов, высившуюся под старым раскидистым деревом. Не устояв перед искушением, один из охотников решил взять себе крохотный перламутровый шарик, но при прикосновении к нему гора сокровищ рассыпалась. Люди кинулись собирать жемчужины, забыв о предосторожности, и на шум их возни прилетел эльфийский король, обративший весь жемчуг в душистые белые цветы. И с тех пор эльфы мстят алчным людям за потерю своего клада, а ландыши любят настолько, что каждый раз натирают их салфетками, сотканными из лунного света…
Ландыши принадлежат к теневыносливым растениям, поэтому хорошо растут в лесных массивах. Часто ландышевые куртины встречаются на полянах и лесных опушках. Иногда его цветы можно увидеть и на лугах.
В естественных условиях ландыши встречаются практически по всей Европе, на Кавказе, в Китае, на территории Малой Азии и на североамериканском континенте. В России дикорастущие ландыши встречаются в лесных массивах Европейской части страны, а также на просторах Сибири и Дальнего Востока.
В лесу, где только снег растаял
И солнце бликами в тиши
Играет с первыми листами,
Недавно ландыши взошли.
Их белоснежные соцветья
Так целомудренно чисты.
Они совсем, совсем, как дети,
Без нашей взрослой суеты.
Сжимают их в своих объятьях
Ещё зелёные листы
И колокольчики от счастья
Звенят от этой красоты.
Ю. Соловьев
О первый ландыш! Из-под снега
Ты просишь солнечных лучей;
Какая девственная нега
В душистой чистоте твоей!
Как первый луч весенний ярок!
Какие в нем нисходят сны!
Как ты пленителен, подарок
Воспламеняющей весны!
Так дева в первый раз вздыхает —
О чем — неясно ей самой, —
И робкий вздох благоухает
Избытком жизни молодой.
О ландыш, отчего так радуешь ты взоры?
Другие есть цветы роскошней и пышней,
И ярче краски в них, и веселей узоры, —
Но прелести в них нет таинственной твоей.
В чём тайна чар твоих? Что ты душе вещаешь?
Чем манишь так к себе и сердце веселишь?
Иль радостей былых ты призрак воскрешаешь!
Или блаженство нам грядущее сулишь?
Не знаю. Но меня твоё благоуханье,
Как винная струя, и греет и пьянит,
Как музыка, оно стесняет мне дыханье
И, как огонь любви, питает жар ланит.
П.Чайковский
Растение имеет несколько необычный вид. На хрупком, на вид цветоносе расположен целый ряд цветочных бутонов, которые начинают раскрываться снизу. Таким образом, нижние цветы уже открыты, а верхние еще только собираются зацветать. Пчелы и шмели активно прилетают к цветкам ландышей, чтобы собрать первый весенний нектар, а вместе с тем и опылить цветки. Позже на месте опыленного цветка вырастает плод, сначала зеленого цвета, а созревший — оранжево-красного. Созревшие плоды ландыша с удовольствием едят птицы, таким образом, семена ландыша далеко разносятся от материнского растения. Цвет зрелых плодов ландыша тоже отображен в легенде, согласно которой, ландыш так сильно грустил за уходящей весной, что кровь, которая проступила из его печалящегося сердца, окрасила его слезы в красный цвет.
Надземная часть ландыша состоит из цветоноса и двух жестких крупных листьев, а в почве расположены длинные тонкие корневища, в которых содержатся питательные вещества, необходимые растению для активного развития и цветения ранней весной.
Хотя растение и ядовитое, но имеет и лечебные свойства. Фармацевтическая промышленность использует листья и цветы ландыша для изготовления лекарств, которые регулируют работу сердца и снижают нервное возбуждение.
Девочка кричала
В толпе шумливой:
— Ландыши! Ландыши!-
Взял букетик, подал любимой.
— На! Дыши!
Залюбовалась букетом белесым,
Лучшим из моих подношений.
— Пахнут,- сказала, —
И лугом, и лесом,
И холодком
Наших с тобой отношений.
Я об этом подумал тоже
И, подумав, взгрустнул от души.
А девочка кричала,
Кричала прохожим:
— Ландыши! Ландыши!
В. Фёдоров
Белоснежный ландыш на полянке
Россыпью расцвёл среди травы,
И на нём как бусинки на нитке
Засверкали капельки росы.
Ландыш — символ нежности и мая
Юной не порочной красоты,
В нём играет солнце, излучая,
Тонкий аромат проснувшейся весны,
Он цветёт, овеян свежим ветром,
И умытый утренним дождём,
Весь пронизан и теплом и светом,
Красота природы воплотилась в нем.
Б. Афанасьев.
Ландыш милый, ландыш нежный,
Белый ландыш, ландыш снежный.
Наш цветок!
Встал ты меж зеленых створок,
Чтоб тебя, кто только зорок,
Видеть мог.
Колокольчики качая
В воздухе веселом мая,
Бел и чист,
Ты, как звезды, в травах светишь,
Ты узором тонким метишь
Полный лист.
Восковой и весь нездешний
Ты блаженней, ты безгрешней
Всех цветов.
Белый, белый, белый, белый
Беспорочный, онемелый
Тайный зов!…
Из-за небольшого количества активного вещества натуральные компоненты ландыша не используется в парфюмерно-косметической промышленности. Для изготовления косметических средств используются искусственно синтезированные вещества с запахом ландыша.
Ландыши хорошо приживаются на приусадебном участке . Для выращивания в саду прекрасно подходят дикорастущие ландыши. Для получения посадочного материала необходимо ранней осенью прийти в лес и среди кустов и стволов деревьев отыскать растение с пожелтевшими широкими листьями, свисающими с крепкого невысокого стебля. Ландыши необходимо выкапывать осторожно, вместе с комом земли. В земле остаются молодые периферийные корни, из которых позже смогут вырасти новые растения. Вернувшись домой, ком земли с корневищами ландышей прикапывают в саду, так, чтобы растения в течение лета находилось в легкой полутени.
Кроме выращивания на улице многие цветоводы выращивают ландыши как комнатные растения. Посадку проводят осенью. Для выращивания в комнате отбирают корневища с хорошо сформированными дво- или трехлетними побегами. Отобранные корневища высаживают в широкие невысокие горшки, наполненные лесной землей, в смесь желательно добавить немного песка. Высажены растения в течение двух или три недель несколько раз поливают, а затем горшки с ландышами переносят в прохладное, затемненное помещение. В конце января горшки переносят в теплое помещение и расставляют на подоконниках, защищая растения от прямых солнечных лучей. Ландыши изредка поливают, не допуская пересыхания почвы. Уже через несколько недель вы сможете любоваться душистыми цветами, невзирая на мороз и метель за окном. Кроме того, цветы ландыша наполняют воздух в комнате фитонцидами тонизирующе действующими на нервную систему людей. У человека дышащего воздухом с такими фитонцидами улучшается настроение, и повышается работоспособность.
Ты унесешь за собой
Вчера мы ландышей нарвали,
Их много на поле цвело;
Лучи заката догорали,
И было так тепло, тепло!
Обыкновенная картина:
Кой-где берёзовый лесок,
Необозримая равнина,
Болото, глина и песок.
Пускай всё это и уныло,
И некрасиво, и бедно;
Пусть хорошо всё это было
Знакомо нам давным-давно,
Налюбоваться не могли мы
На эти ровные поля…
О, север, север мой родимый,
О, север, родина моя!
К. Романов
Если ландыша листья средь жаркого лета
Мне в тени попадутся лесной,
Я не вижу на них благовонного цвета,
Облетевшего ранней весной.
Затаённою грустью и радостью ясной
Сердце сладко заноет в груди:
Много счастья изведано в жизни прекрасной,
Мне не знать уж весны впереди.
Пусть земле возвращает она ежегодно
Белоснежного ландыша цвет, —
Призрак старости манит рукою холодной:
Юным дням повторения нет.
Но не жаль мне покинуть земное жилище:
Там, в неведомой сердцу дали
Расцветают красы и светлее, и чище
Милых ландышей бедной земли.
В этом коротком видеоуроке мы научимся решать задачи на проценты с помощью специальной формулы, которая так и называется: формула простого процента. Давайте оформим эту формулу в виде теоремы.
Теорема о простом проценте. Предположим, что есть некая исходная величина x , которая затем меняется на k %, и получается новая величина y . Тогда все три числа связаны формулой:
Плюс или минус перед коэффициентом k ставится в зависимости от условия задачи. Если по условию величина x возрастает, то перед k стоит плюс. Если же величина уменьшается, то перед коэффициентом k стоит минус.
Несмотря на кажущуюся мудреность этой формулы, многие задачи с ее помощью решаются очень быстро и красиво. Давайте попробуем.
Задача. Цена на товар была повышена на 10% и составила 2970 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?
Чтобы решить эту задачу с помощью формулы простых процентов, нам необходимы три числа: исходное значение x , проценты k и итоговое значение y . Из всех трех чисел нам известны проценты k = 10 и итоговое значение y = 2970. Обратите внимание: 2970 — это именно итоговая цена, т.е. y . Потому что по условию задачи исходная цена на товар неизвестна (ее как раз требуется найти). Но затем она была повышена, и только тогда составила 2970 рублей.
Итак, нам нужно найти x , т.е. исходное значение. Что ж, подставляем наши числа в формулу и получаем:
Складываем числа в числителе и получаем:
Сокращаем по одному нулю в числителе и знаменателе, а затем умножаем обе части уравнения на 10. Получим:
11x = 29 700
Чтобы найти x из этого простейшего линейного уравнения, нужно разделить обе стороны на 11:
x = 29 700: 11 = 2700
Как видите, это довольно большие числа, поэтому в уме такие вычисления не провести. В случае, если такая задача встретится вам на ЕГЭ, придется делить уголком. При этом все разделилось без остатка, и мы получили значение x :
x = 2700
Именно столько стоил товар до повышения цены. И именно это число нам требовалось найти по условию задачи. Поэтому все: задача решена. Причем решена не «напролом», а с помощью формулы простого процента — быстро, красиво и наглядно.
Разумеется, эту задачу можно было решать по-другому. Например, через пропорции. Или экзотическим методом коэффициентов. Но будет гораздо лучше и надежнее, если у вас на вооружении будет несколько приемов для решения любой задачи на проценты. Так что обязательно попрактикуйтесь в использовании данной формулы.
Анонимный Число А на 56% меньше числа В, которое в 2,2 раза меньше числа С. Какой процент числа С относительно числа А? NMitra A = B - 0,56 ⋅ B = B ⋅ (1 - 0,56) = 0,44 ⋅ B B = A: 0,44 С = 2,2 ⋅ B = 2,2 ⋅ A: 0,44 = 5 ⋅ A C в 5 раз больше A C на 400% больше A Анонимный Помогите. В 2001 выручка возросла по сравнению с 2000 на 2 процента, хотя планировали в 2 раза. На сколько процентов недовыполнен план? NMitra А - 2000 год Б - 2001 год Б = A + 0,02A = A ⋅ (1 + 0,02) = 1,02 ⋅ A Б = 2 ⋅ А (план) 2 - 100% 1,02 - х% х = 1,02 ⋅ 100: 2 = 51% (выполнен план) 100 - 51 = 49% (недовыполнен план) Анонимный Помогите ответить на вопрос. Арбуз содержит 99% влажность, но после усушки (положить на солнышко на несколько дней) влажность его составляет 98%. На сколько % изменится ВЕС арбуза после усушки? Если рассчитывать математическим путем, то получается, что у меня арбуз совсем усох. Например: при весе в 20 кг вода составляет 99% массы, то есть сухой вес равен 1% = 0,2 кг. Тут арбуз теряет жидкость, и состоит уже на 98%, следовательно, сухой вес равен 2%. Но сухой вес не может измениться из-за потери воды, поэтому он как и прежде равен 0,2 кг. 2%=0,2 => 100%=10 кг. Анонимный Подскажите, пожалуйста, как вычислить сам процент в диапазоне 2-ух значений? Скажем, какой процент у числа 37 в диапазоне значений 22-63? Мне нужна формула для приложения, раньше решал такие задачи за пару минут, а сейчас мозг усох). Выручайте. NMitra У меня так выходит: процент = (число - z0) ⋅ 100: (z1-z0) z0 - начальное значение диапазона z1 - конечное значение диапазона Например, х = (37-22) ⋅ 100: (63-22) = 1500: 41 = 37% Для примера ниже сходится
| 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 35 | 50% | 10 | 45 |
| 16 | 23% | 4,6 | 20,6 |
| 18 | 26% | 5,2 | 23,2 |
| 1 | 1% | 0,2 | 1,2 |
| 70 | 100% | 20 | 90 |
| 35 | 50% | 10 | 45 | 67,5 |
| 16 | 23% | 4,6 | 20,6 | 30,9 |
| 18 | 26% | 5,2 | 23,2 | 34,8 |
| 1 | 1% | 0,2 | 1,2 | 1,8 |
| 70 | 100% | 20 | 90 | 135 |
Проценты - одно из понятий прикладной математики, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно прочитать или услышать, что, например, в выборах приняли участие 56,3% избирателей, рейтинг победителя конкурса равен 74%, промышленное производство увеличилось на 3,2%, банк начисляет 8% годовых, молоко содержит 1,5% жира, ткань содержит 100% хлопка и т.д. Ясно, что понимание такой информации необходимо в современном обществе.
Одним процентом от любой величины - денежной суммы, числа учащихся школы и т.д. - называется одна сотая ее часть.
Обозначается
процент знаком %, Таким образом,
1% - это 0,01, или \(\frac{1}{100} \) часть величины
Приведем примеры:
- 1% от минимальной заработной платы 2300 р. (сентябрь 2007 г.) - это 2300/100 = 23 рубля;
- 1% от населения России, равного примерно 145 млн. человек (2007 г.), - это 1,45 млн. человек;
- 3%-я концентрация раствора соли - это 3 г соли в 100 г раствора (напомним, что концентрация раствора - это часть, которую
составляет масса растворенного вещества от массы всего раствора).
Понятно, что вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100% от самой себя. Поэтому, например, надпись на этикетке "хлопок 100%" означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников.
Слово "процент" происходит от латинского pro centum, означающего "от сотни" или "на 100". Это словосочетание можно встретить и в современной речи. Например, говорят: "Из каждых 100 участников лотереи 7 участников получили призы". Если понимать это выражение буквально, то это утверждение, разумеется, неверно: ясно, что можно выбрать 100 человек, участвующих в лотерее и не получивших призы. В действительности точный смысл этого выражения состоит в том, что призы получили 7% участников лотереи, и именно такое понимание соответствует происхождению слова "процент": 7% - это 7 из 100, 7 человек из 100 человек.
Знак "%" получил распространение в конце XVII века. В 1685 году в Париже была издана книга "Руководство по коммерческой арифметике" Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали "cto" (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это "с/о" за дробь и напечатал "%". Так из-за опечатки этот знак вошел в обиход.
Любое число процентов можно записать в виде десятичной дроби, выражающей часть величины.
Чтобы выразить проценты числом, нужно количество процентов разделить на 100. Например:
\(58\% = \frac{58}{100} = 0,58; \;\;\; 4,5\% = \frac{4,5}{100} = 0,045; \;\;\; 200\% = \frac{200}{100} = 2 \)Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить
на 100:
В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, пятая часть - 20%, три пятых - 60% и т.д.
Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов. Например, в сообщениях "Минимальная заработная плата повышена с февраля на 50%" и "Минимальная заработная плата повышена с февраля в 1,5 раз" говорится об одном и том же. Точно так же увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза - это значит увеличить на 200%, уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%.
Аналогично
- увеличить на 300% - это значит увеличить в 4 раза,
- уменьшить на 80% - это значит уменьшить в 5 раз.
Задачи на проценты
Поскольку проценты можно выразить дробями, то задачи на проценты являются, по существу, теми же задачами на дроби. В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% ("целое"), а ее часть b выражается числом p%.
В зависимости от того, что неизвестно - а, b или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и соответствующие задачи на дроби, но перед их решением число р% выражается дробью.
1. Нахождение процента от числа.
Чтобы найти \(\frac{p}{100} \) от a, надо a умножить на \(\frac{p}{100} \):
Итак, чтобы найти р% от числа, надо это число умножить на дробь \(\frac{p}{100} \). Например, 20% от 45 кг равны 45 0,2 = 9 кг, а 118% от х равны 1,18x
2. Нахождение числа по его проценту.
Чтобы найти число по его части b, выраженной дробью \(\frac{p}{100} , \; (p \neq 0) \), надо b разделить на \(\frac{p}{100} \):
\(a = b: \frac{p}{100} \)
3. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а \((a \neq 0) \), надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а
затем эту часть выразить в процентах:
Например, 9 г соли в растворе массой 180 г составляют \(\frac{9 \cdot 100}{180} = 5\% \) раствора.
Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих чисел. Поэтому последнее правило называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел.
Нетрудно заметить, что формулы
\(b = a \cdot \frac{p}{100}, \;\; a = b: \frac{p}{100}, \;\; p = \frac{b}{a} \cdot 100\% \;\; (a,b,p \neq 0) \) взаимосвязаны, а именно, две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее значения a и p. Поэтому первую формулу считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби, и, при желании, можно ею пользоваться, чтобы найти любую из неизвестных величин a, b и p.Составные задачи на проценты решаются аналогично задачам на дроби.
Простой процентный рост
Когда человек не вносит своевременную плату за квартиру, на него налагается штраф, который называется "пеня" (от латинского роеnа - наказание). Так, если пеня составляет 0,1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки, то, например, за 19 дней просрочки сумма составит 1,9% от суммы квартплаты. Поэтому вместе, скажем, с 1000 р. квартплаты человек должен будет внести пеню 1000 0,019 = 19 р., а всего 1019 р.
Ясно, что в разных городах и у разных людей квартплата, размер пени и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл составить общую формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.
Пусть S - ежемесячная квартплата, пеня составляет р% квартплаты за каждый день просрочки, а n - число просроченных дней. Сумму,
которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим S n .
Тогда за n дней просрочки пеня составит рn% от S, или \(\frac{pn}{100}S \), а всего придется заплатить
\(S + \frac{pn}{100}S = \left(1+ \frac{pn}{100} \right) S \)
Таким образом:
\(S_n = \left(1+ \frac{pn}{100} \right) S \)
Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.
Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов.
Как и выше, нетрудно убедиться, что в этом случае
\(S_n = \left(1- \frac{pn}{100} \right) S \)
Эта формула также называется формулой простого процентного роста, хотя заданная величина в действительности убывает. Рост в этом случае "отрицательный".
Сложный процентный рост
В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем через определенный договором срок, например, через год) принята следующая система выплаты доходов: за первый год нахождения внесенной суммы на счете доход составляет, например, 10% от нее. В конце года вкладчик может забрать из банка вложенные деньги и заработанный доход - "проценты", как его обычно называют.
Если же вкладчик этого не сделал, то проценты присоединяются к начальному вкладу (капитализируются), и поэтому в конце следующего года 10% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются "проценты на проценты", или, как их обычно называют, сложные проценты.
Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк 1000 р. и ни разу в течение трех лет не будет брать деньги со счета.
10% от 1000 р. составляют 0,1 1000 = 100 р., следовательно, через год на его счете будет
1000 + 100 = 1100 (р.)
10% от новой суммы 1100 р. составляют 0,1 1100 = 110 р., следовательно, через 2 года на его счете будет
1100 + 110 = 1210 (р.)
10% от новой суммы 1210 р. составляют 0,1 1210 = 121 р., следовательно, через 3 года на его счете будет
1210 + 121 = 1331 (р.)
Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, "лобовом" подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 20 лет. Между тем подсчет можно вести значительно проще.
А именно, через год начальная сумма увеличится на 10%, то есть составит 110% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,1 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 = 1,1 2 раз.
Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 2 = 1,1 3 раз. При таком способе рассуждений получаем решение нашей задачи значительно более простое: 1,1 3 1000 = 1,331 1000 - 1331 (р.)
Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет доход в размере р% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счете через n лет, равна S n р.
Величина p% от S составляет \(\frac{p}{100}S \) р., и через год на счете окажется сумма
\(S_1 = S+ \frac{p}{100}S = \left(1+ \frac{p}{100} \right)S \)
то есть начальная сумма увеличится в \(1+ \frac{p}{100} \) раз.
За следующий год сумма S 1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма
\(S_2 = \left(1+ \frac{p}{100} \right)S_1 = \left(1+ \frac{p}{100} \right) \left(1+ \frac{p}{100} \right)S = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^2 S \)
Аналогично \(S_3 = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^3 S \) и т.д. Другими словами, справедливо равенство
\(S_n = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^n S \)
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста , или просто формулой сложных процентов.
