Конус все формулы и свойства. Конус. Усеченный конус. Объяснение нового материала

Мегагаплогруппы определяются исходной "снип" (SNP) - мутацией. Напомним, что «снип» (однонуклеотидный полиморфизм - single nucleotide polymorphism, SNP) - однонуклеотидные позиции в геномной ДНК, для которых в некоторой популяции имеются различные варианты последовательностей (аллели). Последовательности AAGCCTA и AAGCTTA отличаются на один нуклеотид, и тогда говорят о существовании двух аллелей C и T. Точечная замена одного нуклеотида другим и называется SNP-мутацией. Значительно чаще встречается «старп» (полиморфизм короткого тандемного повтора - short tandem repeat polymorphism, STRP) – изменение-мутация повтора двух или более пар непосредственно примыкающих друг к другу нуклеотидов в последовательности ДНК. Например, когда в каком-либо локусе вместо ожидаемых по предыдущим измерениям 12 повторов из четырех нуклеотидов... TCTA TCTA TCTA TCTA TCTA TCTA TCTA TCTA TCTA TCTA TCTA TCTA ... имеем 13, то это изменение аллеля c 12 повторов на 13 повторов является мутацией. «Снипы» и «старпы», привязанные к локусам ДНК, служат генетическими маркерами. В лабораториях замеры производятся по 12, 25, 67 и больше маркерам. «Снипы» определяют «фамилию», а «старпы» – более индивидуализированные «имя» первое, второе и т.д., а вместе они определяют генетический аналог "отпечатка пальцев" - "генетический паспорт" человека или его гаплотип. Гаплогруппа – это группа схожих гаплотипов, которые разделяют общий снип. Поскольку снипы (SNP-мутации) происходят значительно реже, чем старпы (STRP-мутации), то гаплогруппы - как бы часовая стрелка эволюции, а гаплотипы – минутная. Субгаплогруппы иногда определяются необычными комбинациями старп-мутаций. Иногда же открываются новые снип-мутации, что приводит к переименованию одной или нескольких гаплогрупп. Исследования нарастают, коррекции неизбежны. Ниже учтены результаты исследований по февраль 2010 года.

CF
55-60 тысяч лет; Юго-Западная Азия; определяется «снипом» SNP P143; предок CT, потомки C, F; считается гипотетической, ибо пока не обнаружен ни один мужчина с парагаплогруппой CF*.

CF-M168
CF-M294
CF-P9.1

C
60 тысяч лет; Средний Восток или Южная Азия; предок CF, потомки C1, C2, C3, C4, C5, C6; родственна гаплогруппе F; полагают, что С вместе с гаплогруппой D распространялась путем Великой Прибрежной Миграции от Аравии до Юго-Восточной Азии и далее к северу - Индия (наибольшее разнообразие), Монголия (наибольшая концентрация), Корея, Маньчжурия, российский Дальний Восток, Полинезия, Австралия, 6-8 тысяч лет назад миграция в Америку (народ Na-Dené на северо-западном побережье Америки); носителем одной из гаплогрупп С был Чингисхан, ген которого распространился в правящих и аристократических родах Китая, Центральной Азии и Европы, включaя Польшу и Россию.

C* - относятся к мегагаплогруппе С, но не к какой-нибудь из её идентифицированных гаплогрупп; распространена с низкой чвстотой по южному побережью Азии от Индии и Шри Ланки до Вьетнама и далее в провинцию Юннань в юго-западном Китае, а также в Индонезию, Филиппины и Микронезию; ещё реже встречается среди популяций прибрежной Новой Гвинеи и на островах Меланезии, то есть ассоциируется с носителями австронезийской культурной традиции, в то время как производная от C* гаплогруппа С4 домирует среди аборигенов Австралии; очень редко встречается также среди центральноазиатских тюрок, полиморфизм C* обнаружен среди ливанцев (1/31 = 3,2%).
C-M130/RPS4Y711 обнаружена среди аборигенов Австралии (16/33 = 48,5%), Микронезии (1/17 = 5,9%), Папуа Новой Гвинеи (1/46 = 2,2%), восточных индонезийцев (3/55 = 5,5%), западных индонезийцев (1/25 = 40%), малайцев (1/32 = 3,1%), шриланкийцев (3/91 = 3,3%), индийцев (10/405 = 2,5%), мяо из Южного Китая (1/58 = 1,7%), яо из китайской провинции Гуанси (12/60 = 20%) китайскоговорящих мусульман Hui (4/35 = 11%), уйгуров (2/70 = 3%), проживающих в районе центральнокитайских гор Вулинга народности Tujia (3/49 = 6,1%), китайских тунгусо-маньчжурских нанайцев Hezhe (3/49 = 6,1%) и эвенков (1/26 = 4%)
C-M216 обнаружена среди жителей Катманду (Непал) 3/77 = 3,9%.
C-P184
C-P255
C-P260
C1-M8 редко встречается только в Японии – префектура Токушима 10%, Окинава 6.8%, Хонсю 4.9% (префектура Аомори 7.7%, Шизуока 4.9%), Кюсю 3.8%, Рюкю около 5%.
C1-M105
C1-M131
C1-P122
C1* -
C1a-P121
C2-M38 преимущественно встречается в Новой Гвинее, Меланезии и Полинезии (на некоторых островах она является модальной гаплогруппой, что объясняется, видимо, эффектом основателя и генетическим дрейфом).
C2* -
C2a-M208
C2a* -
C2a1-P33
C2a2-P54
C3-M217 самая распространенная в мегагаплогруппе С, её носителями являются около 8% мужчин Азии и 0,5% мужчин мира; считается, что она возникла в Юго-Восточной или в Центральной Азии, откуда распространилась по Северной Азии (эвены, коряки) и Америке, а также попала в Восточную и Центральную Европу (возможно, с гуннами); в Монголии и среди ряда аборигенных этнических групп российского Дальнего Востока она является модальной гаплогруппой; орочи 61-91%, эвены 5-74%, эвенки 44-71%, буряты 60-84%, монголы 52-54%, танана 42%, казахи 40%, хазара 40%, нивхи 38%, коряки 33%, дауры 31%, юкагиры 31%, тунгусская этническая группа в Маньчжурии Sibe 27%, маньчжуры 26-27%, алтайцы 22-24%, нанайцы Hezhe 22%, узбеки 20%, центральнокитайская народность Tujia 18%, хани Южного Китая и Вьетнама 18%, индейцы шайены 16%, апачи 15%, тувинцы 15%, айны 12,5-25%, корейцы 11-16%, китайскоговорящие мусульмане Hui 11%, индейцы сиуксы 11%, китайцы-ханьцы 5-20%; в Америке она - единственная из мегагаплогруппы С, наибольшая её концентрация - среди популяций Na-Dené, встречается также среди атабасков Аляски и западной Канады и популяций Wayuu в Колумбии и Венесуэле; одна из аллелей С3, предположительно свойственная роду Чингисхана, благодаря социальнлому отбору вслед за монгольскими завоеваниями распространилась по всей Евразии и попала в гены многих аристократических династий России, Польши, Валахии, Центральной и Западной Европы.
C3-P44
C3-PK2
C3* -
C3a-M93
C3b-P39 C3b эта гаплогруппа, судя по всему, распространена только в Америке.
C3c-M48
C3c-M77
C3c-M86
C3d-M407
C3e-P53.1
C3f -P62
C4-M347 эта гаплогруппа распространена исключительно среди австралийских аборигенов и доминирует в этой популяции.
C4-P309
C4* -
C4a-M210
C5-M356 очень редко встречается в Индии, Непале, Пакистане и Аравии.
C5* -
C5a-P92
C6-P55 эта гаплогруппа открыта недавно, и география её распространения пока неясна.

F
50 тысяч лет; Юго-Западная или Южная Азия; иногда эту мегагаплогруппу связывают со «второй волной» Исхода из Африки; предок CF, потомки F1, F2, F3, F4, G, H, I, J, K; носителями этой мегагаплогруппы и её производных являются более 90% мужчин в мире (почти все вне Африки); распространение - южная окраина Евразии от Португалии на западе до гор Айлао в Юннани и Кореи на востоке (в Японии нет).

F-M89
F-M213/P137
F-M235
F-P14
F-P133
F-P134
F-P135
F-P136
F-P138
F-P139
F-P140
F-P141
F-P142. P145
F-P146
F-P148
F-P149
F-P151
F-P157
F-P158
F-P159
F-P160
F-P161
F-P163
F-P166
F-P187
F* эта парагаплогруппа недостаточно изучена, изредка встречается в Индостане, а также среди охотников-собирателей “желтых лаху” (Lahu Shi) в Юго-Восточной Азии и Южном Китае(горы Айлао в Юннани) и корейцев (но не японцев), была обнаружена у двух особей в Португалии, что отражает, возможно, контакты Португалии с Индией в 15-16 веках.
F1 эта гаплогруппа недостаточно изучена, изредка встречается в Индостане.
F1-P104
F2-M427 эта гаплогруппа недостаточно изучена, изредка встречается в Индостане.
F2-M428
F3-P96
F4-P254

G
9,500-20,000 лет; Турция, Кавказ, Иран и шире Средний Восток или Юго-Западная Азия; исходная «снип»-мутация – М201, другие более-менее эквивалентные SNP-мутации - P257, L240, U2, U3, U6, U7, U12, U17, U20, U21, U23 и U33; предок F, потомки G1, G2 и их подгруппы; пять наиболее часто встречающихся гаплогрупп и их «снип»-мутаций - G1 (M285), G2a1 (P16) G2a3a (M406), G2a3b1 (P303) and G2c (M377); распространилась из Закавказья (грузины и азербайджанцы около 30%) на Северный Кавказ и далее (аланы-асы-осетины 50%, дигорцы 74%) в Южную (Испания, Италия, Греция, Турция 8-10%) и Западную Европу (4%), сравнительно высокая констатиция в Тироле (8%), Сардинии (11%, а в городе Тампио даже 21%), в хорватском городе Осижек (14%), на Крите (7-11%), но в Скандинавии, Польше, Прибалтике носители G встречаются редко (в России, Украине и Центральной Азии около 1%), евреи мира около 10%, иногда связывается с экспансией «неолитической волны», встречается в Западной и Северной Азии, Северной Африке (Египет 6-9%, евреи Марокко 20%), Индостане (пуштуны 11,5%), Шри Ланке и Малайзии (6%), старейший (7 в.) скелет носителя G идентифицирован в Баварии, носителем G был Сталин (гаплогруппа G2a1a).
G-M201 основоположник этой мегагаплогруппы (мутация М201) жил около 30 тысяч лет назад на севере Среднего Востока.
G-P257
G-U2
G-U3
G-U6
G-U7
G-U12
G-U17
G-U20
G-U21
G-U23
G-U33
G* -
G1-M285 север Среднего Востока, особенно Иран, редко в Европе и на Северном Кавказе, выше концентрация среди евреев.
G1-M342 центральный Казахстан среди казахского субэтноса мадиары (мажары) до 87%.
G1* -
G1a-P20
G1b-P76
G2-P287 открыта в 2007 году, распространена незначительно.
G2* -
G2a-L31/S149 наиболее распространенная G-гаплогруппа в Западной Европе, говорящие на каталонском языке северные сардинцы и друзы до 18%.
G2a-P15 встречается в Турции и восточнее, редко в Европе.
G2a-U5
G2a* -
G2a1-P16 распространена на Северном и Южном Кавказе, особенно среди осетин, редка в Европе (обычно среди евреев-ашкенази).
G2a1* -
G2a1a-P18 Сталин
G2a2-M286 встречается на Британских островах и в Турции.
G2a3-L30/S126
G2a3->L32/S148/U8 самая большая в гаплогруппе G2a, но всё равно очень малочисленная.
G2a3* -
G2a3a-M406 Турция, Греция, Иран и восточное Средиземноморье (до 50% носителей G), распространена в еврейской диаспоре, реже в остальной Европе.
G2a3a* -
G2a3a1-L14/S130/U16 относительно чвще встречается, чем G2a3a2.
G2a3a1-L90/S133
G2a3a2-L184 идентифицирована в 2009 году, чвстотность пока неизвестна.
G2a3a2-L185
G2a3b-L141 идентифицирована в 2009 году у нескольких особей Британских островов и Турции.
G2a3b* -
G2a3b1-P303/S135 распространена на Северном и Южном Кавказе («кавказский тип»), в России (часто большинство среди G-носителей), среди евреев-ашкенази, реже в Иране, Индии и Европе (наибольшая концентрация – в популяции испанского острова Ибица).
G2a3b1-L140 распространена особенно среди кабардинцев, доминирует среди G-носителей в Уэллсе (Великобритания).
G2a3b1* распространена особенно среди кабардинцев.
G2a3b1a-U1
G2a3b1a* -
G2a3b1a1-L13/S131/U13 Иран или южнокавказский регион или развилась в Европе.
G2a3b1a1-L78 кавказский регион, реже в Европе.
G2a3b1b-L43/S147
G2a3b1b* -
G2a3b1b1-L42/S146
G2a3b1c-L139
G2a3b2-L177
G2a4-L91 идентифицирована в 2009 году, ареал распространения пока не очерчен.
G2b-M287
G2c-M377 встречается на севере Среднего Востока и далее к востоку до Центральной и Южной Азии, а в Западной Европе распространена в основном среди евреев-ашкенази (если G-носители среди евреев-ашкенази составляют около 10%, то на долю этой гаплогруппы приходится 8%, а 2% - на долю носителей G2a плюс небольшое число носителей G1; в Израиле среди евреев – 3,7% носителей G2c).
G2c* -
G2c1-M283

H
20-45 тысяч лет; Южная или Юго-Западная Азия (вероятно, палеолитические аборигены Индостана, ибо чаще встречается среди племён /25-35%/, тогда как в высших кастах менее 10%); предок F, основная мутация М69; Индостан (Южная Индия 110/405 = 27,2%, другой замер выборки из разных регионов, этносов и каст Индии 192/728 = 26,4%), Шри Ланка (23/91 = 25,3%, среди сингалезцев 10,3% = 4/39), Пакистан немного Средняя Азия, Индокитай, Тибет, Аравийский полуостров, Украина (1/50 = 2%), цыгане.

H-M69 Непал (Катманду) 12%, Тибет (3/156 = 1,9%), Монголия (1/149 = 0,7%), Индонезия (балийцы 19/551 = 3,45%).
H-M370 турки 3/523 = 0,6%.
H* -
H1-M52 Пакистан 4,1% бурушо (хунза), 20,5% калаши, 4,2% пуштуны, 2,5% остальные пакистанцы; Таджикистан (таджики Дюшанбе 2/16 = 12,5%), курды Туркменистана 1/17 = 6%.
H1* - Непал (Катманду) 4/77.
H1a-M82 цыгане Балкан 60%, Непал (Катманду) 4/77, невары 4/66 = 6%., балкарцы 1/38 = 3%
H1a* - бурушо (хунза) в Пакистане 2/38 = 5%.
H1a1-M36 бурушо (хунза) в Пакистане 1/38 = 3%.
H1a1-M197
H1a2-M97 бурушо (хунза) в Пакистане 2/38 = 5%.
H1a3-M39 бурушо (хунза) в Пакистане 2/38 = 5%, камбоджийцы 1/6 и 1/18 в другой выборке.
H1a3-M138 бурушо (хунза) в Пакистане 2/38 = 5%.
H2-Apt Непал (Катманду) 1/77 = 1,3%, греки 1/77 = 1,3%.
H2* -
H2a-P80
H2a-P314
H2b P266

IJK
40-45 тысяч лет; Юго-Западная Азия; предок F, потомки IJ, K; определяющие «снип»-мутации L15/S137, L16/S138, L69.1(=G)/S163.1.
IJK-L15/S137
IJK-L16/S138
IJK-L69.1(=G)/S163.1

Определения:
Определение 1. Конус
Определение 2. Круговой конус
Определение 3. Высота конуса
Определение 4. Прямой конус
Определение 5. Прямой круговой конус
Теорема 1. Образующие конуса
Теорема 1.1. Осевое сечение конуса

Объем и площади :
Теорема 2. Объем конуса
Теорема 3. Площадь боковой поверхности конуса

Усеченный конус :
Теорема 4. Сечение, параллельное основанию
Определение 6. Усеченный конус
Теорема 5. Объем усеченного конуса
Теорема 6. Площадь боковой поверхности усеченного конуса

Определние
Тело ограниченное с боков конической поверхностью, взятой между её вершиной и плоскостью направляющей, и плоским основанием направляющей, образованным замкнутой кривой, называется конусом.

Основные понятия
Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.

Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.

Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную)(например, l ), лежащую в некоторой плокости, и произвольную точку (например, М), не лежащую в этой плоскости. Всевозможные прямые, соединяющие точку М со всеми точками данной линии l , образуют поверхность, называемую канонической . Точка М является вершиной такой поверхности, а заданная линия l - направляющей . Все прямые соединяющие точку М со всеми точками линии l , называют образующими . Каноническая поверхность не ограничивается ни её вершиной, ни направляющей. Она простирается неограниченно в обе стороны от вершины. Пусть теперь направляющая - замкнутая выпуклая линия. Если направляющая - ломаная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется пирамидой .
Если же направляющая - кривая или смешанная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется конусом или
Определение 1 . Конусом называют тело, состоящее из основания - плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией (кривой или смешанной), вершины - точки, не лежащей в плокости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину со всевозможными точками основания.
Все прямые, проходящие через вершину конуса и любую из точек кривой, ограничивающей фигуру основания конуса, называются образующими конуса. Чаще всего в геометрических задачах под образующей прямой имеется ввиду отрезок этой прямой, заключенный между вершиной и плоскостью основания конуса.
Основание ограниченной смешанной линией - это очень редкий случай. Он сдесь указан только потому, что он может быть рассмотрен в геометрии. Чаще рассматривается случай с криволинейной направляющей. Хотя, что случай с произвольной кривой, что случай со смешанной направляющей, мало чем полезен и в них сложно вывести какие-любо закономерности. Из числа конусов в курсе элементарной геометрии изучается прямой круговой конус.

Известно, что окружность есть частный случай замкнутой кривой линии. Круг - плоская фигура, ограниченная окружностью. Принимая окружность за направляющую, можно определеить круговой конус.
Определение 2 . Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.
Определение 3 . Высота конуса - перпендикуляр, опущенный из вершины на плокость основания конуса. Можно выделить конус, высота которого падает в центр плоской фигуры основания.
Определение 4 . Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.
Если связать эти два определения, мы получим конус, основание котрого есть круг, а высота падает в центр этого круга.
Определение 5 . Прямым круговым конусом называют конус, основание котрого есть круг, а высота его соединяет вершину и центр основания данного конуса. Такой конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Поэтому прямой круговой конус является телом вращения и называется также конусом вращения. Если не оговорено противное, то для краткости в дальнейшем говорим просто конус.
Итак приведем некоторые свойства конуса:
Теорема 1 . Все образующие конуса равны. Доказательство. Высота МО перпендикулярна всем прямым основания по определению перпендикулярной прямой к плокости. Поэтому треугольники МОА, МОВ и МОС являются прямоугольными и равны по двум катетам (МО - общая, ОА=ОВ=ОС - радиусы основания. Поэтому равны и гипотенузы, т.е. образующие.
Радиус основания конуса иногда называют радиусом конуса . Высота конуса называется также осью конуса , поэтому любое сечение, проходящее через высоту называется осевым сечением . Любое осевое сечение пересекает основание по диаметру (т.к. прямая, по которой пересекаются осевое сечение и плокость основания, проходит через центр окружности) и образует равнобедренный треугольник.
Теорема 1.1. Осевое сечение конуса есть равнобедренный треугольник. Так треугольник АМВ является равнобедренным, т.к. две его стороны МВ и МА есть образующие. Угол АМВ является углом при вершине осевого сечения.

Конус (с греческого «konos») – сосновая шишка. Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Конус (круговой конус) – тело, которое состоит из круга – основание конуса, точки, не принадлежащей плоскости этого круга, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса и точки окружности основания. Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, которая соединяет вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

Объём конуса равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S бок = πRl,

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:

S кон = πRl + πR 2 ,

где R – радиус основания, l – длина образующей.

Объём кругового конуса равен

V = 1/3 πR 2 H,

где R – радиус основания, Н – высота конуса

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S бок = π(R + r)l,

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S кон = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей.

Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Класс: 11 Урок №14 Дата проведения: ____________

Тема урока: «Прямой круговой конус, его элементы. Осевые сечения конуса. Сечения конуса плоскостью, параллельной основанию. Развертка конуса»

Цель урока:

Ввести понятия конической поверхности, конуса, элементов конуса (боковая поверхность, основание, вершина, образующая, ось, высота), понятие усеченного конуса;

Вывести формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса;

Учить обучающихся решать задачи по этой теме.

Содействовать творческому восприятию учащимися учебного материала и их желание самосовершенствоваться.

Воспитывать организованность, дисциплинированность, ответственность за свой труд и труд одноклассников.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование урока: интерактивная доска, таблицы, модели конусов, материал для изготовления моделей: спицы, модель плоскости (пенопласт), бумага, клей, ножницы, циркуль, транспортир, линейка.

Форма организации деятельности учащихся : г рупповая.

Ход урока

1. Фронтальная работа

Из предложенных геометрических фигур выбрать конус

Знакомство с конической поверхностью

Определение №1 Коническая поверхность называется поверхность, образованная движением прямой, которая проходит через данную точку и пересекает данную плоскую линию.

Прямая а - образующая;

Плоская линия MN - направляющая.

Незамкнутая коническая поверхность

Если направляющая - замкнутая, то коническая поверхность – замкнутая.

Определение №2 Конусом называется тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью и пересекающей её плоскостью.

Знакомство с конусом и его элементами

А ) Конус

SO a (SO= Н , SO=h)

SO - высота конуса

SA - образующая

S - вершина конуса

Кривая ABA - направляющая .

Б) Пусть прямоугольный прямоугольник SOA вращается вокруг катета SO; при полном обороте гипотенуза AS описывает коническую поверхность, катет OA описывает круг.

Такое тело называется конусом вращения . (прямой круговой конус).

Прямой круговой конус

S - вершина конуса

SA - образующая

SO=h - высота конуса

(ось конуса - а)

Основание конуса – круг (О; r)

О - центр основания,

AO=OB=r - радиус основания круга

D SAB - осевое сечение

a||b, b SO, a SO

Круг (о;r) ~ Круг (о1; r1)

Понятие боковой (полной) поверхности.

II. Работа в группах (3-5 человек)

(задания раздается каждой группе на карточке)

Задание по теме «Конус»

1) Изобразите конус. По рисунку определите все элементы конуса.

2) По заданной модели конуса постройте развертку этого конуса. Определите соответствие элементов развертки конуса, чертежа и модели конуса.

3) Из листа плотной бумаги изготовить конус, чтобы его полная поверхность: S 110 см2 при радиусе основания r 3.1 см.

Определите какие инструменты вам для этого понадобятся, какие расчеты необходимы сделать, какие формулы придется вспомнить, а какие вывести новые?

4) Оформите работу на месте по плану:

А) Какие у вас распределились обязанности в группе в процессе выполнения заданий:

генератор идей;

конструктор;

расчетчик;

оформитель;

изготовитель.

Б) Опишите способы и подходы к решению задачи.

Необходимые расчеты для изготовления модели конуса. (Чертеж. Формулы. Вывод)

Изготовление конуса.

5) Модель конуса готова.

6) Составьте формулу для расчета площади сечения, параллельного основанию конуса и делящего высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины

7) Составьте формулу для расчета площади сечения, проходящего через ось конуса. Чему равен угол при вершине данного сечения?

8) Каким образом можно из вашей модели получить усеченный конус? Рассчитать его полную поверхность используя задания (6).

9) Составьте и решите еще три задачи на данную тему.

Замечание: учитель выступает в роли консультанта при решении задач, пользуясь вопросами- подсказками и опираясь на ключевые слова.

Одной из групп были даны более легкие задания:

№1. Заполнить пропуски:

Прямая, которая при движении образует коническую поверхность, называется…;

Линия, которую пересекает образующая, называется…..;

Конус вращения - частный случай…, когда основание конуса - .., а основание высоты - ..;

Сечение конуса вращения плоскостью, параллельной основанию, - …. Найдите площадь сечения.

Если осевое сечение конуса- равносторонний треугольник, то конус…..Сделать чертеж:

№2. Решите задачу, заполняя пропуски.

В развертке боковой поверхности конуса центральный угол равен 200 o . Найти угол между образующей и основанием конуса.

Дано: ВSB=200 o , SA=L, ОВ=r

Найти SAO

Решение:

1) a =360 o …..| cos x=…

2) 200 o =…

3) cos x =… , x -

А) … образующей;

Б) … направляющей;

В) …конус, …. Круг…, центр основания

Г) …круг, …расстояния сечения от вершины конуса;

Д) … называется равносторонним

А)

Б) 200 o = 360 o *cos x;

Задание на дом.

Изучить усеченный конус, решить задачи №

Итог урока.

В результате работы ученики

Сами вывели формулы для вычисления боковой и полной поверхностей конуса

Нарисовали развертку

Сделали необходимые расчеты

Группы

L(см)

9,2

3,1

21,1754

89,5528

110,7282

7,8

28,26

73,476

101,74

9,4

28,26

88,548

116,808

10,4

4,9

75,3914

160,0144

235,4058

Провели исследовательскую работу,

Решили задачи,

Постоянно общались между собой, учились мыслить и мотивировать своих товарищей по работе.

Получили не только необходимые знания, но и большое удовольствие.

Выяснили, что слово «Конус» произошло от греческого слова «xwnos», что означает шишка.