В открытом банке заданий ЕГЭ по математике есть два типа упражнений на тему "Конференции".
Задача 1. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов - первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение.
Получается, что в первые три дня будет прочитано 17 ⋅ 3 = 51 докладов. Тогда на последние два дня останется 75 - 51 = 24 доклада, по 24: 2 = 12 докладов в день.
Профессор М. мог попасть в любой из 75 докладов равновероятно. В последний день запланировано 12 докладов, т.е. вероятность, что профессор М. будет выступать в последний день равна 12/75 = 0,16.
Проверка:
Вероятность того, что профессор М. будет выступать в первый день равна 17/75;
во второй день - 17/75;
в третий день - 17/75;
в четвертый день - 0,16;
в пятый день - 0,16.
Найдем сумму 17/75 + 17/75 + 17/75 + 0,16 + 0,16 = 17/25 + 0,32 = 0,68 + 0,32 = 1. Задача решена верно, так как суммарная вероятность должна быть равна единице.
Ответ: 0,16.
Задача 2. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.
Решение 1.
Любой из выступающих может оказаться первым, вторым, третьим, четвертым, пятым, шестым, седьмым, восьмым, девятым или десятым. Всего десять вариантов (по количеству выступающих). Событие "Восьмым окажется доклад ученого из России" наступает в трех случая (число ученных из Росси).
Следовательно, вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России 3/10 = 0,3.
Ответ: 0,3.
Задачи для самостоятельного решения
1. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 80 докладов – первые два дня по 25 докладов, остальные в последний день конференции. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланирован на последний день?
2. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов – первые три дня по 15 докладов, остальные в последний день конференции. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланирован на последний день?
3. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 80 докладов – первые два дня по 35 докладов, остальные в последний день конференции. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланирован на последний день?
4. На семинар приехали 4 ученых из Венгрии, 5 из Италии и 11 из Германии. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что последним окажется доклад ученого из Германии.
5. На семинар приехали 5 ученых из Канады, 7 из Великобритании и 8 из США. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что последним окажется доклад ученого из Великобритании.
6.На семинар приехали 13 ученых из Сингапура, 8 из Таиланда и 9 из Малайзии. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что последним окажется доклад ученого из Малайзии.
N.B. При решении задачи о выборе бракованных предметов я рассказывал как в Интернете можно можно найти аналогичные задания (возможно и с решениями), рассмотренным ранее. Покажу еще один путь реализации этого поиска:
Шаг 1. Заходим на сайт
1 . Задание B5 (№ 285924) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.
Решение.
Заметим, что поскольку порядок докладов определяется жеребьевкой, вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России такая же, как вероятность того, что доклад ученого из России окажется первым. То есть эта вероятность не зависит от номера выступления.
Вероятность события определятся по формуле:
k - число событий, которые нас "устраивают", на языке теории вероятностей они называются благоприятными исходами .
n - число всех возможных событий, или число всех возможных исходов .
В нашей задаче на семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании, то есть всего 10 человек.
Значит, число всех возможных исходов равно 10. Из России приехали 3 ученых, значит, число благоприятных исходов, то есть тех событий, которые нас устраивают, равно 3.
Следовательно, вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России равна 3/10=0,3
Ответ: 0,3
2 . Задание B5 (№ 285925) Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
Решение. "Зафиксируем" Руслана Орлова. Теперь осталось найти вероятность того, что в паре с ним окажется бадминтонист из России. Если мы исключили Руслана Орлова из списка спортсменов (мы его "зафиксировали"), то нам осталось выбрать ему пару из 25 спортсменов, из которых 9 участников из России.
То есть число всех возможных исходов равно 25, а число благоприятных исходов равно 9 .
Следовательно, p=9/25=0,36
Ответ: 0,36
3 . Задание B5 (№ 285922) Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов - первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение. Заметим, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции с той же вероятностью, что и доклад любого другого участника конференции. Поэтому вопрос задачи можно переформулировать так: с какой вероятностью любой участник конференции выступит в последний день.
1. Найдем, какое количество докладчиков должно выступить в последний день конференции.
Так как всего запланировано 75 докладов - первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями, на два последних дна запланировано
75-17х3=24 доклада .
Значит, на последний день запланировано 12 докладов, то есть количество благоприятных исходов равно 12 .
Число всех возможных исходов равно 75 , так как всего запланировано 75 докладов.
Итак, р=12/75=0,16
Ответ: 0,16.
4 . Задание B5 (№ 283471) В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Решение. Чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить правило умножения вероятностей . Так как результат каждого бросания монеты не зависит от результата бросания монеты в другие разы, мы имеем дело с независимыми событиями .
Вероятность того, что произойдут независимые события А и В, равна произведению вероятностей события А и события В.
В нашей задаче орел не выпадет ни разу, если в результате бросания монеты каждый раз будет выпадать решка. Вероятность выпадения решки в каждом случае равна 1/2. Значит, вероятность того, что решка выпадет в результате всех четырех бросаний равна
ххх=1/16=0,0625
Ответ: 0,0625
5 . Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?
Частота события x
-- отношение N(x) / N числа N(x) наступлений этого
события в N испытаниях к числу испытаний N.
Если орел выпал 532 раза, то решка выпала 1000-532=468
Частота этого события равна 
Вероятность выпадения решки равна 0,5
Следовательно, частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события на |0,5-0,468|=0,032
Ответ: 0,032
И, в заключение, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с решением задачи:
Вася выбирает трехзначное число. Найти вероятность того, что оно делится на 6. Ответ округлите до сотых.
Определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
3.
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают.
Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
4.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
5.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 -
из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Швеции.
6.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано
75 докладов
-
первые три дня по 17
докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьѐвкой.
Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
7.
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80
выступлений
-
по одному от каждой страны. В первый день 8
выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьѐвкой. Какова вероятность, что выступление представителя
России состоится в третий день конкурса?
8.
На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании.
Порядок докладов определяется жеребьѐвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.
9.
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким
- либо бадминтонистом из России?
10.
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.
11.
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.
12.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьѐвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.
13.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45
этих стекол, вторая
––
55
. Первая фабрика выпускает
3
бракованных стекол, а вторая
––
1
. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
14.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью
0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
15.
Вася, Петя, Коля и Лѐша бросили жребий
-
кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.
16.
В чемпионате мира участвуют 16
команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того , что команда
России окажется во второй группе?
17.
На экзамене по геометрии школьнику достаѐтся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
18.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.
Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
19.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
20.
В магазине стоят два платѐжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
21.
Помещение освещается фонарѐм с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
22.
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89.
Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
23.
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства
-
яйца высшей категории, а из второго хозяйства
-
20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
24.
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чѐтной?
25.
Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число.
Какова вероятность того, что оно делится на 3?
26.
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнѐтся.
27.
В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдѐт в магазин?
28.
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку , чтобы определить, какая из команд начнѐт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
29.
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию
«А = сумма очков равна 5»?
30.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орѐл, во второй
-
решка).
31.На рок
- фестивале выступают группы
-
по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из
Норвегии? Результат округлите до сотых.
32.
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность
уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем
-
0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
33.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей
-
1 очко, если проигрывает
-
0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований.
Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
34.
В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков.
Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
35.
На борту самолѐта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолѐте 300 мест.
36.
На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трѐм аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчѐте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
37.
В классе 26 человек, среди них два близнеца
-
Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
38.
В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чѐрные с жѐлтыми надписями на бортах, остальные
-
жѐлтые с чѐрными надписями.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жѐлтого цвета с чѐрными надписями.
39.
В группе туристов 30 человек. Их вертолѐтом в несколько приѐмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолѐт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолѐта.
40.
Вероятность того, что новый DVD
- проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт , равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD
- проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука.
На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт»
от его вероятности в этом городе?
41.
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965.
Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм.
42.
Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше
11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
43.
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трѐх предметов
-
математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность
«Коммерция»,
нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трѐх предметов
-
математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку
-
0,8, по иностранному языку
-
0,7 и по обществознанию
-
0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
44.
На фабрике керамической посуды 10% произведѐнных тарелок имеют дефект.
При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок.
Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
45.
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3.
Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
46.
По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надѐжность двух интернет
- магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8.
Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван
Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет
- магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
47.
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94.
Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
48.
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнѐт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
49.
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причѐм погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в
Волшебной стране будет отличная погода.
50.
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется
положительным
. У больных
гепатитом пациентов анализ даѐт положительный результат с вероятностью 0,9.
Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
51.
В кармане у Миши было четыре конфеты
-
«Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
52.
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой
- то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла , достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
53.
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
54.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
В7.
1.
Найдите корень уравнения
2.
Найдите корень уравнения
3.
Найдите корень уравнения
4.
Найдите корень уравнения
5.
Найдите корень уравнения
6.
Найдите корень уравнения
7.
Найдите корень уравнения
8.
Найдите корень уравнения
9.
Найдите корень уравнения
10.
Найдите корень уравнения
11.
Найдите корень уравнения
12.
Найдите корень уравнения
13.
Найдите корень уравнения
14.
Найдите корень уравнения
15.
Найдите корень уравнения
16.
Найдите корень уравнения
17.
Найдите корень уравнения
18.
Найдите корень уравнения
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
19.
Найдите корень уравнения
20.
Найдите корень уравнения
21.
Найдите корень уравнения
Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
22.
Найдите корень уравнения
В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
23.
Найдите корень уравнения
24.
Найдите корень уравнения
25.
Найдите корень уравнения
26.
Найдите корень уравнения
27.
Найдите корень уравнения
28.
Найдите корень уравнения
29. Найдите корень уравнения
30.
Найдите корень уравнения
31.
Найдите корень уравнения
32.
Найдите корень уравнения
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
33. Найдите корень уравнения
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
34.
Найдите корень уравнения
35. Найдите корень уравнения
36.
Найдите корень уравнения
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
37.
Найдите корень уравнения
. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
38.
Найдите корень уравнения
. В ответе напишите наименьший положительный корень.
39.
Найдите корень уравнения
40.
Найдите корень уравнения
41.
Найдите корень уравнения
42.
Найдите корень уравнения
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
43.
Найдите корень уравнения
44.
Найдите корень уравнения
45.
Найдите корень уравнения
46.
Найдите корень уравнения
47.
Найдите корень уравнения
48.
Найдите корень уравнения
49.
Найдите корень уравнения
В8.
1.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
BH
.
2.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
,
,
. Найдите высоту
CH
.
3.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
AH
.
4. В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
BH
.
5. В треугольнике
ABC
угол
C
равен
,
,
. Найдите высоту
CH
.
6.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
AH
.
7.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
BH
.
8.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
,
,
. Найдите высоту
CH
.
9.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
BH
.
10.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
BH
.
11.
В треугольнике
ABC
,
. Найдите
AB
.
12.
В треугольнике
ABC
,
,
. Найдите
AC
.
13.
В треугольнике
ABC
,
. Найдите
AB
.
14.
В треугольнике
ABC
,
,
. Найдите
AC
.
15.
В треугольнике
ABC
,
. Найдите
AB
.
16.
В треугольнике
ABC
,
,
. Найдите
AC
.
17.
В треугольнике
ABC
,
,
. Найдите высоту
AH
.
18.
В треугольнике
ABC
, AH
-
высота,
,
Найдите
BH
.
19.
В треугольнике
ABC
,
,
. Найдите высоту
AH
.
20.
В треугольнике
ABC
, AH
-
высота,
,
Найдите
BH
.
21.
В треугольнике
ABC
,
,
. Найдите высоту
AH
.
22.
В треугольнике
ABC
, AH
-
высота,
,
Найдите
BH
.
23.
В треугольнике
ABC
,
. Найдите высоту
AH
.
24.
В треугольнике
ABC
, AH
-
высота,
. Найдите
BH
25.
В треугольнике
ABC
,
. Найдите высоту
AH
.
26.
В треугольнике
ABC
, AH
-
высота,
Найдите
BH
.
27.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
28.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
29.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
30.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, высота
CH
равна 20,
Найдите
31.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, высота
CH
равна 4,
Найдите
32.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, высота
CH
равна 4,
Найдите
33.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, высота
CH
равна 24,
Найдите
34.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, высота
CH
равна 7,
Найдите
35.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, высота
CH
равна 8,
Найдите
36.
В тупоугольном треугольнике
ABC
, высота
AH
равна 4.
Найдите
37.
В тупоугольном треугольнике
ABC
, высота
AH
равна 20.
Найдите
38.
В тупоугольном треугольнике
ABC
, высота
AH
равна 4.
Найдите
39.
В тупоугольном треугольнике
ABC
, AH
-
высота,
Найдите
40.
В тупоугольном треугольнике
ABC
, AH
-
высота,
Найдите
41.
В тупоугольном треугольнике
ABC
, высота
AH
равна 7,
Найдите
42.
В тупоугольном треугольнике
ABC
, высота
AH
равна 24,
Найдите
43.
В тупоугольном треугольнике
ABC
, высота
AH
равна 4,
Найдите
44.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
BH
.
45.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
AH
.
46.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
AB
.
47.
В треугольнике
ABC
угол
C
равен
, CH
-
высота,
,
Найдите
AB
.
48.
В параллелограмме
ABCD
,
,
. Найдите большую высоту параллелограмма.
49.
Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны
25. Найдите синус острого угла трапеции.
50.
Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен
. Найдите боковую сторону.
51.
Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен
. Найдите меньшее основание.
Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.
Определение в математике
Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) "b" по его основанию "a" считается степень "c", в которую необходимо возвести основание "a", чтобы в итоге получить значение "b". Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.
Разновидности логарифмов
Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное - понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:
- Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
- Десятичный a, где основанием служит число 10.
- Логарифм любого числа b по основанию a>1.
Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.
Правила и некоторые ограничения
В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:
- основание "a" всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь "1" и "0" в любой степени всегда равны своим значениям;
- если а > 0, то и а b >0, получается, что и "с" должно быть больше нуля.
Как решать логарифмы?
К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.
А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.
Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:
Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел - это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!
Уравнения и неравенства
Получается, что при определенных условиях показатель степени - это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема "логарифмы". Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.
Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 - оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение "х" находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.
Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример - логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.
Основные теоремы о логарифмах
При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.
- Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
- Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
- Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.
Называется эта формула "свойством степени логарифма". Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.
Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;
но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.
Примеры задач и неравенств
Самые распространенные типы задач на тему логарифмов - примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.
К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.
При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.
Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.
Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями
Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.
- Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.
Задания из ЕГЭ
Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы "Натуральные логарифмы".
Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.
Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.
- Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
- Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.
