Perhatikan ekspresi berikut dengan pangkat (a + b) n, di mana a + b adalah sembarang binomial dan n adalah bilangan bulat.
Setiap ekspresi adalah polinomial. Anda dapat melihat fitur di semua ekspresi.
1. Dalam setiap ekspresi ada satu suku lebih banyak dari eksponen n.
2. Pada setiap suku, jumlah pangkatnya sama dengan n, yaitu. pangkat binomial yang dipangkatkan.
3. Pangkatnya dimulai dari pangkat binomial n dan menurun menuju 0. Suku terakhir tidak mempunyai faktor a. Suku pertama tidak memiliki faktor b, yaitu. derajat b dimulai dari 0 dan meningkat menjadi n.
4. Koefisien dimulai dari 1 dan meningkat dengan nilai tertentu hingga “setengah jalan”, dan kemudian menurun dengan nilai yang sama kembali ke 1.
Mari kita lihat lebih dekat koefisiennya. Katakanlah kita ingin mencari nilai (a + b) 6 . Menurut fitur yang baru kita perhatikan, seharusnya ada 7 anggota di sini
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Namun bagaimana kita dapat menentukan nilai setiap koefisien c i ? Kita dapat melakukan ini dengan dua cara. Metode pertama melibatkan penulisan koefisien dalam segitiga, seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Ini dikenal sebagai segitiga Pascal
:
Ada banyak fitur dalam segitiga. Temukan sebanyak yang Anda bisa.
Anda mungkin telah menemukan cara untuk menulis rangkaian angka berikutnya menggunakan angka pada baris di atas. Unitnya selalu terletak di samping. Setiap angka yang tersisa merupakan penjumlahan dari dua angka di atas angka tersebut. Mari kita coba mencari nilai ekspresi (a + b) 6 dengan menambahkan baris berikut, menggunakan fitur yang kami temukan: 
Kita melihatnya di baris terakhir
angka pertama dan terakhir 1
;
bilangan kedua adalah 1 + 5, atau 6
;
angka ketiga adalah 5 + 10, atau 15
;
bilangan keempat adalah 10 + 10, atau 20
;
bilangan kelima adalah 10 + 5, atau 15
; Dan
bilangan keenam adalah 5+1, atau 6
.
Jadi ekspresi (a + b) 6 akan sama dengan
(a + b) 6 = 1
sebuah 6 + 6
sebuah 5b+ 15
a 4 b 2 + 20
a 3 b 3 + 15
a 2 b 4 + 6
sekitar 5+ 1
b 6.
Untuk menaikkan pangkat (a + b) 8, kita tambahkan dua garis pada segitiga Pascal: 
Kemudian
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .
Kami dapat merangkum hasil kami sebagai berikut.
Binomial Newton menggunakan segitiga Pascal
Untuk sembarang binomial a+ b dan sembarang bilangan asli n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n,
dimana bilangan c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n diambil dari deret (n+1) segitiga Pascal.
Contoh 1 Naikkan pangkat : (u - v) 5 .
Larutan Kita mempunyai (a + b)n, dimana a = u, b = -v, dan n = 5. Kita menggunakan baris ke-6 dari segitiga Pascal:
1 5 10 10 5 1
Lalu kita punya
(kamu - v) 5 = 5 = 1
(kamu)5+ 5
(kamu) 4 (-v) 1 + 10
(kamu) 3 (-v) 2 + 10
(kamu) 2 (-v) 3 + 5
(kamu)(-v) 4 + 1
(-v) 5 = kamu 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5.
Perhatikan bahwa tanda-tanda suku berfluktuasi antara + dan -. Jika pangkat -v bilangan ganjil maka tandanya adalah -.
Contoh 2 Naikkan pangkat: (2t + 3/t) 4 .
Larutan Kita mempunyai (a + b)n, dimana a = 2t, b = 3/t, dan n = 4. Kita menggunakan baris ke-5 dari segitiga Pascal:
1 4 6 4 1
Lalu kita punya
Ekspansi binomial menggunakan nilai faktorial
Misalkan kita ingin mencari nilai (a + b) 11. Kerugian menggunakan segitiga Pascal adalah kita harus menghitung semua baris segitiga sebelumnya untuk mendapatkan deret yang dibutuhkan. Metode berikut menghindari hal ini. Ini juga memungkinkan Anda menemukan baris tertentu - misalnya baris ke-8 - tanpa harus menghitung semua baris lainnya. Metode ini berguna dalam perhitungan, statistik dan penggunaannya notasi koefisien binomial
.
Binomial Newton dapat kita rumuskan sebagai berikut.
Binomial Newton menggunakan notasi faktorial
Untuk sembarang binomial (a + b) dan sembarang bilangan asli n, 
.
Binomial Newton dapat dibuktikan dengan induksi matematika. Ini menunjukkan mengapa disebut demikian koefisien binomial .
Contoh 3 Naikkan pangkat: (x 2 - 2y) 5 .
Larutan Kita mempunyai (a + b) n , dimana a = x 2 , b = -2y, dan n = 5. Kemudian, dengan menggunakan binomial Newton, kita mendapatkan 
Terakhir, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .
Contoh 4 Pangkatkan: (2/x + 3√x) 4.
Larutan Kita mempunyai (a + b)n, dengan a = 2/x, b = 3√x, dan n = 4. Kemudian, dengan menggunakan binomial Newton, kita memperoleh 
Akhirnya (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .
Menemukan anggota tertentu
Mari kita asumsikan bahwa kita ingin menentukan satu atau beberapa suku dari suatu ekspresi. Metode yang kami kembangkan akan memungkinkan kami mencari suku ini tanpa menghitung semua baris segitiga Pascal atau semua koefisien sebelumnya.
Perhatikan bahwa dalam binomial Newton menghasilkan suku ke-1, suku ke-2, suku ke-3, dan seterusnya. Hal ini dapat diringkas sebagai berikut.
Menemukan suku (k + 1).
(k + 1) suku ekspresi (a + b) n adalah .
Contoh 5 Tentukan suku ke-5 pada persamaan (2x - 5y) 6 .
Larutan Pertama, perhatikan bahwa 5 = 4 + 1. Maka k = 4, a = 2x, b = -5y, dan n = 6. Maka suku ke-5 dari persamaan tersebut adalah
Contoh 6 Tentukan suku ke-8 pada persamaan (3x - 2) 10.
Larutan Pertama, kita perhatikan bahwa 8 = 7 + 1. Maka k = 7, a = 3x, b = -2 dan n = 10. Maka suku ke-8 dari persamaan tersebut adalah
Jumlah total himpunan bagian
Misalkan suatu himpunan mempunyai n objek. Banyaknya himpunan bagian yang mengandung k elemen adalah . Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan adalah banyaknya himpunan bagian yang mempunyai 0 unsur, banyaknya himpunan bagian yang mempunyai 1 unsur, dan juga banyaknya himpunan bagian yang mempunyai 2 unsur, dan seterusnya. Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan yang mempunyai n anggota adalah 
.
Sekarang mari kita lihat pangkat (1 + 1) n: 
.
Jadi. jumlah himpunan bagian adalah (1 + 1) n, atau 2 n. Kami telah membuktikannya sebagai berikut.
Jumlah total himpunan bagian
Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan dengan n elemen adalah 2n.
Contoh 7 Berapa banyak himpunan bagian yang dimiliki himpunan tersebut (A, B, C, D, E)?
Larutan Himpunan tersebut mempunyai 5 anggota, maka banyaknya himpunan bagiannya adalah 2 5 atau 32.
Contoh 8 Jaringan restoran Wendy menawarkan topping hamburger berikut:
{saus tomat, mustard, mayones, tomat, selada, bawang bombay, jamur, zaitun, keju}.
Berapa banyak jenis hamburger yang dapat ditawarkan Wendy, tidak termasuk ukuran dan jumlah hamburger?
Larutan Topping pada setiap hamburger adalah anggota himpunan bagian dari himpunan semua topping yang mungkin, dan himpunan kosong hanyalah sebuah hamburger. Jumlah total hamburger yang mungkin akan sama dengan
. Dengan demikian, Wendy's dapat menawarkan 512 hamburger berbeda.
Kemajuan umat manusia sebagian besar terkait dengan penemuan-penemuan yang dilakukan oleh para genius. Salah satunya adalah Blaise Pascal. Biografi kreatifnya sekali lagi menegaskan kebenaran ungkapan Lion Feuchtwanger, “Orang yang berbakat, berbakat dalam segala hal.” Semua pencapaian ilmiah ilmuwan besar ini sulit dihitung. Ini termasuk salah satu penemuan paling elegan di dunia matematika – segitiga Pascal.
Beberapa kata tentang kejeniusan
Blaise Pascal meninggal lebih awal menurut standar modern, pada usia 39 tahun. Namun, selama hidupnya yang singkat ia membedakan dirinya sebagai fisikawan, matematikawan, filsuf, dan penulis yang luar biasa. Keturunan yang bersyukur menamai unit tekanan dan bahasa pemrograman populer Pascal untuk menghormatinya. Telah digunakan selama hampir 60 tahun untuk mengajarkan cara menulis berbagai kode. Misalnya dengan bantuannya, setiap anak sekolah dapat menulis program menghitung luas segitiga dalam Pascal, serta mendalami sifat-sifat rangkaian yang akan dibahas di bawah ini.
Aktivitas ilmuwan dengan pemikiran luar biasa ini mencakup berbagai bidang ilmu pengetahuan. Secara khusus, Blaise Pascal adalah salah satu pendiri hidrostatika, analisis matematika, beberapa bidang geometri dan teori probabilitas. Selain itu, dia:
- menciptakan kalkulator mekanis yang dikenal sebagai roda Pascal;
- menyajikan bukti eksperimental bahwa udara bersifat elastis dan mempunyai berat;
- menemukan bahwa barometer dapat digunakan untuk memprediksi cuaca;
- menemukan gerobak dorong;
- menemukan omnibus - kereta kuda dengan rute tetap, yang kemudian menjadi jenis angkutan umum reguler pertama, dll.
Segitiga aritmatika Pascal
Seperti telah disebutkan, ilmuwan besar Perancis ini memberikan kontribusi yang sangat besar terhadap ilmu matematika. Salah satu karya ilmiahnya yang tak terbantahkan adalah “Risalah tentang Segitiga Aritmatika”, yang terdiri dari koefisien binomial yang disusun dalam urutan tertentu. Sifat-sifat skema ini sangat mencolok dalam keragamannya, dan skema ini sendiri menegaskan pepatah “Segala sesuatu yang cerdik itu sederhana!”
Sedikit sejarah
Agar adil, harus dikatakan bahwa sebenarnya segitiga Pascal sudah dikenal di Eropa pada awal abad ke-16. Secara khusus, gambarnya dapat dilihat di sampul buku teks aritmatika astronom terkenal Peter Apian dari Universitas Ingoltstadt. Segitiga serupa juga disajikan sebagai ilustrasi dalam buku matematikawan Tiongkok Yang Hui, terbitan 1303. Penyair dan filsuf Persia yang luar biasa Omar Khayyam juga menyadari sifat-sifatnya pada awal abad ke-12. Selain itu, diyakini bahwa ia mengetahuinya dari risalah para ilmuwan Arab dan India yang ditulis sebelumnya.
Keterangan
Sebelum menjelajahi sifat-sifat paling menarik dari segitiga Pascal, yang indah dalam kesempurnaan dan kesederhanaannya, ada baiknya mencari tahu apa itu segitiga Pascal.
Dalam istilah ilmiah, skema numerik ini merupakan tabel tak terhingga berbentuk segitiga yang dibentuk dari koefisien binomial yang disusun dalam urutan tertentu. Di bagian atas dan sampingnya terdapat angka 1. Posisi selebihnya ditempati oleh angka-angka yang sama dengan jumlah dua angka yang terletak di sebelahnya. Selain itu, semua baris segitiga Pascal simetris terhadap sumbu vertikalnya.
Properti dasar
Segitiga Pascal mencolok dalam kesempurnaannya. Untuk setiap baris bernomor n (n = 0, 1, 2...) pernyataan berikut ini benar:
- angka pertama dan terakhir adalah 1;
- kedua dan kedua dari belakang - n;
- bilangan ketiga sama dengan bilangan segitiga (banyaknya lingkaran yang dapat disusun bentuknya yaitu 1, 3, 6, 10): T n -1 = n (n - 1) / 2.
- bilangan keempat adalah tetrahedral, yaitu limas yang alasnya berbentuk segitiga.
Selain itu, baru-baru ini, pada tahun 1972, properti lain dari segitiga Pascal ditemukan. Untuk mendeteksinya, Anda perlu menuliskan elemen skema ini dalam bentuk tabel dengan baris-barisnya digeser 2 posisi. Kemudian tandai angka-angka yang habis dibagi nomor baris tersebut. Ternyata kolom bilangan yang semua bilangannya ditonjolkan adalah bilangan prima.
Trik yang sama bisa dilakukan dengan cara lain. Untuk melakukan ini, dalam segitiga Pascal, angka-angka diganti dengan sisa pembagiannya dengan nomor baris dalam tabel. Kemudian garis-garis tersebut ditempatkan pada segitiga yang dihasilkan sehingga segitiga berikutnya dimulai 2 kolom di sebelah kanan elemen pertama elemen sebelumnya. Maka kolom-kolom yang berisi bilangan prima hanya akan terdiri dari nol, dan kolom-kolom yang berisi bilangan komposit akan memiliki paling sedikit satu nol.
Kaitannya dengan binomial Newton
Seperti yang Anda ketahui, ini adalah nama rumus untuk menguraikan jumlah dua variabel menjadi pangkat bilangan bulat non-negatif, yang berbentuk:
Koefisien yang ada di dalamnya sama dengan C n m = n! / (m! (n - m)!), dimana m adalah bilangan urut dari bilangan pada baris n segitiga Pascal. Dengan kata lain, dengan memiliki tabel ini, Anda dapat dengan mudah menaikkan bilangan apa pun menjadi pangkat, setelah terlebih dahulu menguraikannya menjadi dua suku.
Jadi, segitiga Pascal dan binomial Newton saling berhubungan erat.
Keajaiban matematika
Sebuah studi yang cermat terhadap segitiga Pascal mengungkapkan bahwa:
- jumlah semua bilangan pada satu baris dengan nomor urut n (dihitung dari 0) sama dengan 2 n;
- jika garis-garisnya sejajar ke kiri, maka jumlah bilangan-bilangan yang terletak sepanjang diagonal-diagonal segitiga Pascal, dari bawah ke atas dan dari kiri ke kanan, sama dengan bilangan Fibonacci;
- “diagonal” pertama terdiri dari bilangan asli, berurutan;
- setiap unsur segitiga Pascal dikurangi satu sama dengan jumlah semua bilangan yang terletak di dalam jajar genjang, yang dibatasi oleh diagonal kiri dan kanan yang berpotongan pada bilangan tersebut;
- pada setiap baris diagram, jumlah bilangan-bilangan di tempat genap sama dengan jumlah unsur-unsur di tempat ganjil.
Segitiga Sierpinski
Skema matematika yang menarik, cukup menjanjikan dari sudut pandang penyelesaian masalah yang kompleks, diperoleh dengan mewarnai bilangan genap gambar Pascal dalam satu warna, dan bilangan ganjil dalam warna lain.
Segitiga Sierpinski dapat dibangun dengan cara lain:
- dalam skema Pascal yang diarsir, segitiga tengah, yang dibentuk dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisi aslinya, dicat ulang dengan warna berbeda;
- lakukan hal yang sama dengan tiga yang tidak dicat yang terletak di sudut;
- jika prosedur dilanjutkan tanpa batas waktu, maka hasilnya akan berupa gambar dua warna.
Sifat yang paling menarik dari segitiga Sierpinski adalah kemiripan dirinya, karena ia terdiri dari 3 salinan dirinya sendiri, yang dikurangi 2 kali lipat. Hal ini memungkinkan kita untuk mengklasifikasikan skema ini sebagai kurva fraktal, dan seperti yang ditunjukkan oleh penelitian terbaru, skema ini paling cocok untuk pemodelan matematika awan, tumbuhan, delta sungai, dan Alam Semesta itu sendiri.
Beberapa tugas menarik
Dimana segitiga Pascal digunakan? Contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan bantuannya cukup beragam dan berhubungan dengan berbagai bidang ilmu pengetahuan. Mari kita lihat beberapa yang paling menarik.
Soal 1. Suatu kota besar yang dikelilingi tembok benteng hanya mempunyai satu gerbang masuk. Di persimpangan pertama, jalan utama terbelah menjadi dua. Hal yang sama terjadi pada orang lain. 210 orang memasuki kota. Di setiap persimpangan yang mereka temui, mereka terbagi dua. Berapa banyak orang yang akan ada di setiap persimpangan ketika berbagi tidak lagi dapat dilakukan? Jawabannya adalah baris ke-10 segitiga Pascal (rumus koefisien disajikan di atas), dimana angka 210 terletak di kedua sisi sumbu vertikal.
Tugas 2. Ada 7 nama warna. Anda perlu membuat buket 3 bunga. Kita perlu mencari tahu berapa banyak cara berbeda yang dapat dilakukan. Masalah ini berasal dari bidang kombinatorik. Untuk menyelesaikannya, kita kembali menggunakan segitiga Pascal dan mendapatkan angka 35 pada baris ke-7 di posisi ketiga (penomoran dalam kedua kasus dari 0).
Sekarang Anda tahu apa yang ditemukan oleh filsuf dan ilmuwan besar Perancis Blaise Pascal. Segitiga terkenalnya, bila digunakan dengan benar, dapat menjadi penyelamat nyata dalam memecahkan banyak masalah, terutama di bidang kombinatorik. Selain itu, dapat digunakan untuk memecahkan berbagai teka-teki yang berkaitan dengan fraktal.
Untuk menerima segitiga Pascal, kami menulis ulang Tabel 1 dari bagian “Rumus perkalian yang disingkat: derajat penjumlahan dan derajat selisih” dalam bentuk berikut (Tabel P.):
Tabel P. – Pangkat natural binomial x + y
| № | Derajat | Ekspansi ke dalam jumlah monomial |
| 0 | (X + kamu) 0 = | 1 |
| 1 | (X + kamu) 1 = | 1X + 1kamu |
| 2 | (X + kamu) 2 = | 1X 2 + 2xy + 1kamu 2 |
| 3 | (X + kamu) 3 = | 1X 3 + 3X 2 kamu + 3Xkamu 2 + 1kamu 3 |
| 4 | (X + kamu) 4 = | 1X 4 + 4X 3 kamu + 6X 2 kamu 2 + 4Xkamu 3 + 1kamu 4 |
| 5 | (X + kamu) 5 = | 1X 5 + 5X 4 kamu + 10X 3 kamu 2 + 10X 2 kamu 3 + 5Xkamu 4 + 1kamu 5 |
| 6 | (X + kamu) 6 = | 1X 6 + 6X 5 kamu + 15X 4 kamu 2 + 20X 3 kamu 3 + + 15X 2 kamu 4 + 6Xkamu 5 + 1kamu 6 |
| … | … | … |
Sekarang, dengan menggunakan kolom ketiga Tabel P., kita akan membuat Tabel berikut - segitiga Pascal:
Tingkat 0: (X + kamu) 0 = |
Tingkat 1: (X + kamu) 1 = Perluasan ke dalam jumlah monomial: 1X + 1kamu |
Derajat 2: (X + kamu) 2 = Perluasan ke dalam jumlah monomial: 1X 2 + 2xy + 1kamu 2 |
Tingkat 3: (X + kamu) 3 = Perluasan ke dalam jumlah monomial: 1X 3 + 3X 2 kamu + 3Xkamu 2 + 1kamu 3 |
Derajat 4: (X + kamu) 4 = Perluasan ke dalam jumlah monomial: 1X 4 + 4X 3 kamu + 6X 2 kamu 2 + |
Tingkat 5: (X + kamu) 5 = Perluasan ke dalam jumlah monomial: 1X 5 + 5X 4 kamu + 10X 3 kamu 2 + |
Derajat 6: (X + kamu) 6 = Perluasan ke dalam jumlah monomial: 1X 6 + 6X 5 kamu + 15X 4 kamu 2 + |
Sekarang, dengan menuliskan hanya koefisien muai pangkat binomial ke dalam jumlah monomial, kita memperoleh Tabel berikut - segitiga Pascal:
Tabel - Segitiga Pascal
Untuk berjaga-jaga, mari kita ingat bahwa Blaise Pascal adalah seorang fisikawan dan matematikawan terkenal yang tinggal di Perancis lebih dari tiga abad yang lalu.
Dalam segitiga Pascal, setiap baris berhubungan dengan garis dengan nomor yang sama pada Tabel P. Namun, pada setiap baris segitiga Pascal, tidak seperti Tabel P, hanya koefisien ekspansi menjadi jumlah monomial dengan derajat binomial yang sesuai x + y.
Setelah terlebih dahulu mengisi garis segitiga Pascal dengan angka 0 dan 1, perhatikan garis dengan angka 2 dan selanjutnya.
Properti utama segitiga Pascal, memungkinkan Anda mengisi barisnya secara berurutan, dimulai dengan baris nomor 2, adalah properti berikutnya :
Masing-masing baris , dimulai dari baris nomor 2, pertama, dimulai dan diakhiri dengan angka 1, dan kedua, di antara angka 1 ada angka, setiap di antaranya sama dengan jumlah dua bilangan diatasnya di baris sebelumnya.
Memang benar, angka 2 pada baris nomor dua sama dengan jumlah angka 1 ditambah 1 pada baris pertama. Demikian pula, angka 3 dan 3 pada baris nomor tiga masing-masing sama dengan jumlah angka 1 ditambah 2 dan jumlah angka 2 ditambah 1 pada baris kedua.
Sama untuk jalur lainnya.
Jadi, sifat segitiga Pascal memungkinkan, setelah mengisi salah satu garis, dengan mudah mengisi garis berikutnya, yaitu. dapatkan koefisien muai yang diperlukan ke dalam jumlah monomial derajat berikutnya dari binomial x + y.
Contoh. Tulislah dekomposisi dari bentuk:
(X + kamu) 7 .
Solusi. Dengan menggunakan garis segitiga Pascal dengan angka 6 dan menerapkan sifat utama segitiga Pascal, kita mendapatkan garis dengan angka 7:
Di situs web kami, Anda juga dapat membiasakan diri dengan materi pendidikan yang dikembangkan oleh para guru dari pusat pelatihan Resolventa untuk persiapan Ujian Negara Bersatu dan Ujian Negara Bersatu dalam matematika.
Bagi anak sekolah yang ingin mempersiapkan diri dengan baik dan lulus Ujian Negara Bersatu
Pendahuluan 3
1. Pengertian segitiga Pascal 4
2.Konstruksi segitiga Pascal 6
3.Sifat-sifat segitiga Pascal dan penerapannya7
4. Penerapan sifat-sifat segitiga Pascal 13
Kesimpulan 16
Referensi 17
Segitiga Pascal sangat sederhana
bahkan dia bisa menuliskannya
anak berumur sepuluh tahun.
Pada saat yang sama, dia bersembunyi di dalam dirinya sendiri
harta dan ikatan yang tidak ada habisnya
menyatukan berbagai aspek matematika,
tidak memiliki pandangan pertama di antara keduanya
tidak ada kesamaan.
Properti yang tidak biasa memungkinkan
skema paling elegan
dalam semua matematika."
Martin Gardner
"Novel Matematika"
Perkenalan
Kursus aljabar sekolah mencakup rumus perkalian pangkat kedua dan ketiga yang disingkat, tetapi saya tertarik dengan masalah menaikkan binomial ke pangkat yang lebih tinggi.
Mempelajari segitiga Pascal kita mengenal banyak sifat menarik dan mengejutkan. Penggunaan properti ini akan membantu dalam menyelesaikan masalah kombinatorik. Studi tentang sifat-sifat ini dan penerapannya dibahas dalam makalah ini.
Definisi segitiga Pascal
Segitiga Pascal adalah segitiga aritmatika yang dibentuk oleh koefisien binomial. Dinamakan setelah Blaise Pascal, segitiga ini ditunjukkan pada Gambar 1.
Jika Anda menguraikan segitiga Pascal, Anda mendapatkan segitiga sama kaki. Pada segitiga ini ada yang di atas dan di samping. Setiap angka sama dengan jumlah dua angka di atasnya. Segitiga dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Garis-garis segitiga simetris terhadap sumbu vertikal. Ia memiliki penerapan dalam teori probabilitas dan memiliki sifat menarik.
Gambar 1 Segitiga Pascal
Dari sejarah.
Penyebutan pertama barisan segitiga koefisien binomial yang disebut meru-prastaara muncul dalam komentar matematikawan India abad ke-10 Halayudha atas karya matematikawan lain, Pingala. Segitiga ini juga dieksplorasi oleh Omar Khayyam sekitar tahun 1100, itulah sebabnya di Iran pola ini disebut segitiga Khayyam. Pada tahun 1303, buku “Jasper Mirror of the Four Elements” oleh ahli matematika Tiongkok Zhu Shijie diterbitkan, di mana salah satu ilustrasinya menggambarkan segitiga Pascal; Hal ini diyakini telah ditemukan oleh ahli matematika Tiongkok lainnya, Yang Hui (itulah sebabnya orang Tiongkok menyebutnya segitiga Yang Hui). Segitiga ini ditunjukkan pada Gambar 2. Pada halaman judul buku teks aritmatika yang ditulis pada tahun 1529 oleh Peter Apian, seorang astronom di Universitas Ingoltstadt, juga digambarkan segitiga Pascal. Dan pada tahun 1653 (dalam sumber lain pada tahun 1655) buku Blaise Pascal “Treatise on the Arithmetic Triangle” diterbitkan. 
Gambar 2 Segitiga Yang Hui dalam naskah abad pertengahan Tiongkok, 1303
Konstruksi segitiga Pascal
Segitiga Pascal sering ditulis dalam bentuk segitiga sama kaki, Gambar 3 yang di atas dan di samping ada satu, masing-masing bilangan sisanya sama dengan jumlah dua bilangan di atasnya sebelah kiri dan tepat di baris sebelumnya. Segitiga dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Bentuknya simetris terhadap sumbu vertikal yang melewati puncaknya.
Gambar 3 Segitiga Pascal
Sifat-sifat segitiga Pascal dan penerapannya
1 - Angka kedua dari setiap baris sesuai dengan nomornya.
2 - Angka ketiga setiap baris sama dengan jumlah baris sebelumnya.
3 – Segitiga Pascal mewakili berbagai sistem untuk mengukur ruang:
satu dimensi, dua dimensi, tiga dimensi, empat dimensi, dan seterusnya. Pada Gambar 4, setiap garis hijau mewakili sebuah spasi, mis. jumlah bola yang dapat ditempatkan satu di bawah yang lain.
Gambar 4 Segitiga Pascal
3.1 – Ruang satu dimensi - garis hijau pertama
Ini adalah bilangan segitiga dalam ruang satu dimensi - tidak peduli berapa banyak bola yang kita ambil, kita tidak akan dapat menyusun lebih dari satu.
3.2. – Ruang dua dimensi – garis hijau kedua
Bilangan segitiga adalah banyaknya lingkaran yang dapat disusun membentuk segitiga sama sisi, lihat Gambar 5. 
Gambar 5 Bilangan segitiga
Barisan bilangan segitiga untuk n = 0, 1, 2, ... dimulai seperti ini:
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120
Contoh klasik bilangan segitiga yang banyak ditemui dalam kehidupan sehari-hari adalah susunan awal bola dalam permainan bilyar, ditunjukkan pada Gambar 6.
Gambar 6 Angka segitiga pada meja billiard
3.3 – Ruang tiga dimensi adalah garis hijau ketiga.
Ini adalah bilangan segitiga dalam ruang tiga dimensi yaitu. Kita bisa memasang satu bola di atas tiga - totalnya ada empat; kita bisa memasang enam di bawah tiga, ditunjukkan pada Gambar 7.
Gambar 7 Letak empat bola dalam ruang tiga dimensi
4 - Jumlah bilangan diagonal naik ke-n yang ditarik melalui baris segitiga bernomor n − 1 adalah bilangan Fibonacci ke-n:
Angka Fibonacci - elemen deret angka
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,…
dimana setiap bilangan berikutnya sama dengan jumlah dua bilangan sebelumnya. Dinamakan setelah ahli matematika abad pertengahan Leonardo dari Pisa (dikenal sebagai Fibonacci).
Secara lebih formal, barisan bilangan Fibonacci diberikan oleh hubungan perulangan linier:
Terkadang bilangan Fibonacci juga dianggap untuk bilangan negatif n sebagai barisan tak hingga dua arah yang memenuhi hubungan perulangan yang sama. Suku-suku dengan bilangan seperti itu dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan rumus “mundur” yang setara: F n = F n + 2 − F n + 1
| N | -10 | -9 | -8 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Fn | -55 | 34 | -21 | 13 | -8 | 5 | -3 | 2 | -1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
5 - Jika Anda mengurangi angka yang berdekatan dari baris yang sama dari angka pusat dalam satu baris dengan angka genap, Anda mendapatkan angka Catalan.
Bilangan Catalan adalah barisan bilangan yang ditemukan dalam banyak soal kombinatorik. Nama barisan ini diambil dari nama ahli matematika Belgia, Catalan, meskipun sudah diketahui oleh L. Euler.
Beberapa nomor Catalan pertama adalah:
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430,…
Nomor Catalan memenuhi hubungan perulangan
Dan untuk
6 - Jumlah bilangan pada baris ke-n segitiga Pascal adalah 2 n.
7 - Pembagi prima bilangan segitiga Pascal membentuk struktur serupa diri yang simetris.
Perhatikan sebuah segitiga yang dibangun “relatif” terhadap bilangan 7, yaitu bilangan yang tidak habis dibagi 7 tanpa sisa digambar dengan warna hitam, bilangan yang habis dibagi digambar dengan warna putih, dan mari kita coba melihat polanya.
Gambar 8 Segitiga Pascal terhadap pembagi 7
8 - Jika pada segitiga Pascal semua bilangan ganjil berwarna hitam dan bilangan genap berwarna putih, maka terbentuklah segitiga Sierpinski. Segitiga ini ditunjukkan pada Gambar 9. 
Gambar 9 Segitiga Sierpinski
Menerapkan sifat-sifat segitiga Pascal
Misalkan Anda memasuki kota seperti yang ditunjukkan pada diagram dengan panah biru, dan Anda hanya dapat bergerak maju, atau lebih tepatnya, terus-menerus memilih, maju ke kiri, atau maju ke kanan. Node yang hanya dapat dicapai dengan satu cara ditandai dengan emotikon hijau; titik yang dapat dicapai dengan dua cara ditunjukkan dengan warna merah, dan dengan tiga cara, masing-masing, dengan warna merah jambu. Ini adalah salah satu opsi untuk membangun segitiga, yang diusulkan oleh Hugo Steinhaus dalam "Kaleidoskop Matematika" klasiknya.
Arti praktis dari segitiga Pascal terletak pada kenyataan bahwa dengan bantuannya Anda dapat dengan mudah merekonstruksi dari ingatan tidak hanya rumus terkenal untuk kuadrat jumlah dan selisih, tetapi juga rumus pangkat tiga dari jumlah (selisih), derajat keempat dan lebih tinggi.
Alternatif segitiga Pascal:
kalikan empat tanda kurung suku demi suku:
ingat perluasan binomial Newton derajat keempat:
suku umum ekspansi binomial derajat ke-n: ,
dimana T adalah istilah ekspansi; – nomor seri masa ekspansi. 
Dengan menggunakan sifat-sifat segitiga Pascal, kita dapat menghitung jumlah bilangan pada deret natural. Contoh: kita perlu menghitung jumlah deret natural dari 1 sampai 9. “Turun” secara diagonal ke angka 9, kita akan melihat angka 45 di kiri bawah.
Kesimpulan
Karya tersebut menyajikan segitiga Pascal, sifat-sifatnya yang menarik dan mengejutkan. Segitiga Pascal digunakan dalam menyelesaikan berbagai masalah aljabar.Karya ini memungkinkan Anda mempelajari cara menaikkan binomial ke pangkat bilangan bulat positif dan mengenal binomial Newton.
Daftar literatur bekas
V.A. Uspensky Kuliah populer tentang matematika “Segitiga Pascal” Kantor editorial utama literatur fisika dan matematika Moskow “Sains” 1979.
Kuantum "Segitiga Pascal".
V. Baidikova Variasi pada tema “Segitiga Pascal”
Ensiklopedia seorang ahli matematika muda.
Segitiga O. V. Kuzmin dan piramida Pascal: sifat dan generalisasi
Koefisien binomial adalah koefisien perluasan (1 + x)n pangkat x (yang disebut binomial Newton): Dengan kata lain, (1 + x)n adalah fungsi pembangkit koefisien binomial. Nilai koefisien binomial ditentukan untuk semua bilangan bulat... ... Wikipedia
Wiktionary memiliki artikel “segitiga” Segitiga dalam arti luas adalah suatu benda yang berbentuk segitiga, atau trio benda yang dihubungkan berpasangan ... Wikipedia
Tabel bilangan yang merupakan koefisien binomial. Pada tabel ini, terdapat bilangan-bilangan yang terletak pada sisi-sisi segitiga sama kaki, dan masing-masing bilangan yang tersisa sama dengan jumlah dua bilangan di atasnya di kiri dan kanan: Pada garis bernomor n+1... .. . Ensiklopedia Matematika
Fraktal segitiga Sierpinski, salah satu analog dua dimensi dari himpunan Cantor, diusulkan oleh ahli matematika Polandia Sierpinski ... Wikipedia
Konstruksi segitiga Reuleaux Segitiga Reuleaux [* 1] diwakili oleh ... Wikipedia
Tabel bilangan segitiga untuk menyusun koefisien binomial (lihat binomial Newton). P. t. diusulkan oleh B. Pascal (Lihat Pascal). Lihat segitiga aritmatika...
Segitiga Pascal, tabel bilangan segitiga untuk membangun koefisien binomial (lihat binomial Newton). Di sisi A. t. ada satuan, di dalam jumlah dua angka teratas. Pada baris ke (n + 1) dari koefisien binomial A.T. Ensiklopedia Besar Soviet
Sama seperti segitiga Pascal... Ensiklopedia Matematika
Dalam matematika, koefisien binomial adalah koefisien perluasan binomial Newton dalam pangkat x. Koefisien untuk dilambangkan atau dan dibaca “koefisien binomial dari n ke k” (atau “ze dari n ke k”): Dalam ... Wikipedia
Koefisien pemuaian (1 + x)n pangkat x (yang disebut binomial Newton): Dengan kata lain, (1 + x)n adalah fungsi pembangkit koefisien binomial. Nilai koefisien binomial ditentukan untuk semua bilangan bulat n dan k. Rumus eksplisit... Wikipedia
Buku
- segitiga Pascal. Buku 102, V.A.Uspensky. Kuliah ini membahas salah satu tabel numerik penting (yang disebut segitiga Pascal), berguna dalam menyelesaikan sejumlah masalah komputasi. Seiring dengan pemecahan masalah seperti itu...
- segitiga Pascal. Buku No. 102, V.A. Uspensky. Kuliah ini membahas salah satu tabel numerik penting (yang disebut segitiga Pascal), berguna dalam menyelesaikan sejumlah masalah komputasi. Seiring dengan pemecahan masalah seperti itu...
