Pilihan untuk ujian sebenarnya mulai 2 Juni. Persiapan Ujian Negara Bersatu Matematika (tingkat profil): tugas, solusi dan penjelasan

Pendidikan umum menengah

Jalur UMK G.K. Aljabar dan prinsip analisis matematika (10-11) (mendalam)

jalur UMK Merzlyak. Aljabar dan permulaan analisis (10-11) (U)

Matematika

Persiapan Ujian Negara Bersatu Matematika (tingkat profil): tugas, solusi dan penjelasan

Kami menganalisis tugas dan memecahkan contoh dengan guru

Pekerjaan ujian tingkat profil berlangsung 3 jam 55 menit (235 menit).

Ambang batas minimum- 27 poin.

Kertas ujian terdiri dari dua bagian, yang berbeda isi, kompleksitas dan jumlah tugas.

Ciri khas setiap bagian pekerjaan adalah bentuk tugas:

  • bagian 1 berisi 8 tugas (tugas 1-8) dengan jawaban singkat berupa bilangan bulat atau pecahan desimal akhir;
  • bagian 2 berisi 4 tugas (tugas 9-12) dengan jawaban singkat berupa bilangan bulat atau pecahan desimal akhir dan 7 tugas (tugas 13–19) dengan jawaban rinci (catatan lengkap penyelesaian dengan justifikasi untuk tindakan yang diambil).

Panova Svetlana Anatolevna, guru matematika sekolah kategori tertinggi, pengalaman kerja 20 tahun:

“Untuk mendapatkan ijazah sekolah, seorang lulusan harus lulus dua ujian wajib berupa Unified State Examination, salah satunya matematika. Sesuai dengan Konsep Pengembangan Pendidikan Matematika di Federasi Rusia, Ujian Negara Bersatu dalam matematika dibagi menjadi dua tingkatan: dasar dan khusus. Hari ini kita akan melihat opsi tingkat profil.”

Tugas No.1- menguji kemampuan peserta UN Unified State dalam menerapkan keterampilan yang diperoleh pada mata pelajaran matematika dasar kelas 5 sampai dengan 9 dalam kegiatan praktek. Peserta harus memiliki kemampuan komputasi, mampu bekerja dengan bilangan rasional, mampu membulatkan desimal, dan mampu mengubah satuan ukuran ke satuan ukuran lainnya.

Contoh 1. Pengukur aliran air dingin (meter) dipasang di apartemen tempat tinggal Peter. Pada tanggal 1 Mei, meteran menunjukkan konsumsi 172 meter kubik. m air, dan pada tanggal 1 Juni - 177 meter kubik. m.Berapa jumlah yang harus dibayar Peter untuk air dingin pada bulan Mei, jika harganya 1 meter kubik? m air dingin adalah 34 rubel 17 kopek? Berikan jawaban Anda dalam rubel.

Larutan:

1) Temukan jumlah air yang dihabiskan per bulan:

177 - 172 = 5 (m kubik)

2) Cari tahu berapa banyak uang yang harus mereka keluarkan untuk air terbuang:

34,17 5 = 170,85 (gosok)

Menjawab: 170,85.


Tugas No.2- adalah salah satu tugas ujian yang paling sederhana. Mayoritas lulusan berhasil mengatasinya, yang menunjukkan pengetahuan tentang definisi konsep fungsi. Jenis tugas no 2 menurut persyaratan kodifier adalah tugas pemanfaatan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dalam kegiatan praktek dan kehidupan sehari-hari. Tugas No. 2 terdiri dari mendeskripsikan, menggunakan fungsi, berbagai hubungan nyata antara besaran dan menafsirkan grafiknya. Tugas No. 2 menguji kemampuan mengekstrak informasi yang disajikan dalam tabel, diagram, dan grafik. Lulusan harus mampu menentukan nilai suatu fungsi dari nilai argumennya dengan berbagai cara dalam menentukan fungsi tersebut serta mendeskripsikan perilaku dan sifat-sifat fungsi tersebut berdasarkan grafiknya. Anda juga harus dapat mencari nilai terbesar atau terkecil dari suatu grafik fungsi dan membuat grafik dari fungsi yang dipelajari. Kesalahan yang dilakukan bersifat acak dalam membaca kondisi soal, membaca diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Contoh 2. Gambar tersebut menunjukkan perubahan nilai tukar satu saham perusahaan pertambangan pada paruh pertama April 2017. Pada 7 April, pengusaha tersebut membeli 1.000 saham perusahaan tersebut. Pada 10 April, dia menjual tiga perempat saham yang dibelinya, dan pada 13 April, dia menjual seluruh sisa sahamnya. Berapa kerugian pengusaha akibat operasi tersebut?


Larutan:

2) 1000 · 3/4 = 750 (saham) - merupakan 3/4 dari seluruh saham yang dibeli.

6) 247500 + 77500 = 325000 (gosok) - pengusaha menerima 1000 saham setelah penjualan.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (gosok) - pengusaha rugi akibat semua operasi.

Menjawab: 15000.

Tugas No.3- Merupakan tugas tingkat dasar bagian pertama, menguji kemampuan melakukan tindakan dengan bangun geometri sesuai dengan isi mata kuliah Planimetri. Tugas 3 menguji kemampuan menghitung luas suatu bangun di atas kertas kotak-kotak, kemampuan menghitung besaran derajat sudut, menghitung keliling, dll.

Contoh 3. Temukan luas persegi panjang yang digambar di atas kertas kotak-kotak dengan ukuran sel 1 cm kali 1 cm (lihat gambar). Berikan jawaban Anda dalam sentimeter persegi.

Larutan: Untuk menghitung luas suatu bangun, Anda dapat menggunakan rumus Puncak:

Untuk menghitung luas persegi panjang tertentu, kita menggunakan rumus Peak:

S= B+

 G
2
dimana B = 10, G = 6, oleh karena itu

S = 18 +

 6
2
Menjawab: 20.

Baca juga: Ujian Negara Terpadu Fisika: Menyelesaikan Masalah Tentang Osilasi
Tugas No.4- tujuan mata kuliah “Teori Probabilitas dan Statistika”. Kemampuan menghitung probabilitas suatu kejadian dalam situasi paling sederhana diuji.

Contoh 4. Ada 5 titik merah dan 1 titik biru yang ditandai pada lingkaran. Tentukan poligon mana yang lebih besar: poligon yang semua simpulnya berwarna merah, atau poligon yang salah satu simpulnya berwarna biru. Dalam jawaban Anda, tunjukkan berapa banyak yang lebih banyak daripada yang lain.

Larutan: 1) Mari kita gunakan rumus banyaknya kombinasi N elemen oleh k:

yang simpulnya semuanya berwarna merah.

3) Satu segi lima dengan semua simpul berwarna merah.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligon dengan semua simpul berwarna merah.

yang memiliki atasan merah atau dengan satu atasan biru.

yang memiliki atasan merah atau dengan satu atasan biru.

8) Satu segi enam dengan simpul merah dan satu simpul biru.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 poligon dengan semua simpul berwarna merah atau dengan satu simpul berwarna biru.

10) 42 – 16 = 26 poligon menggunakan titik biru.

11) 26 – 16 = 10 poligon – berapa banyak lebih banyak poligon yang salah satu simpulnya berupa titik biru dibandingkan poligon yang semua simpulnya hanya berwarna merah.

Menjawab: 10.

Tugas No.5- Tingkat dasar bagian pertama menguji kemampuan menyelesaikan persamaan sederhana (irasional, eksponensial, trigonometri, logaritma).

Contoh 5. Selesaikan persamaan 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Larutan. Bagilah kedua ruas persamaan ini dengan 5 3 + X≠ 0, kita dapatkan

2 3 + X = 0,4 atau 2 3 + X = 2 ,
5 3 + X 5 5

maka dari itu 3 + X = 1, X = –2.

Menjawab: –2.

Tugas No.6 dalam planimetri untuk mencari besaran geometri (panjang, sudut, luas), memodelkan situasi nyata dalam bahasa geometri. Kajian model yang dibangun menggunakan konsep dan teorema geometri. Sumber kesulitannya, sebagai suatu peraturan, adalah ketidaktahuan atau penerapan yang salah dari teorema planimetri yang diperlukan.

Luas segitiga ABC sama dengan 129. DE– garis tengah sejajar dengan samping AB. Temukan luas trapesium TEMPAT TIDUR.


Larutan. Segi tiga CDE mirip dengan segitiga TAKSI pada dua sudut, karena sudut pada titik sudut C umum, sudut CDE sama dengan sudut TAKSI sebagai sudut-sudut yang bersesuaian di DE || AB garis potong AC. Karena DE adalah garis tengah segitiga menurut syarat, lalu menurut sifat garis tengah | DE = (1/2)AB. Artinya koefisien kemiripannya adalah 0,5. Oleh karena itu, luas bangun-bangun yang serupa dihubungkan sebagai kuadrat dari koefisien kemiripan

Karena itu, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tugas No.7- memeriksa penerapan turunan untuk mempelajari suatu fungsi. Implementasi yang sukses memerlukan pengetahuan non-formal yang bermakna tentang konsep turunan.

Contoh 7. Ke grafik fungsi kamu = F(X) pada titik absis X 0 ditarik garis singgung yang tegak lurus terhadap garis yang melalui titik (4; 3) dan (3; –1) pada grafik ini. Menemukan F′( X 0).

Larutan. 1) Mari kita gunakan persamaan garis yang melalui dua titik tertentu dan cari persamaan garis yang melalui titik (4; 3) dan (3; –1).

(kamu – kamu 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(kamu 2 – kamu 1)

(kamu – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(kamu – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–kamu + 3 = –4X+16| · (-1)

kamu – 3 = 4X – 16

kamu = 4X– 13, dimana k 1 = 4.

2) Temukan kemiringan garis singgungnya k 2 yang tegak lurus terhadap garis kamu = 4X– 13, dimana k 1 = 4, menurut rumus:

3) Sudut singgung merupakan turunan fungsi pada titik singgung tersebut. Cara, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Menjawab: –0,25.

Tugas No.8- menguji pengetahuan peserta ujian tentang stereometri dasar, kemampuan menerapkan rumus mencari luas permukaan dan volume bangun, sudut dihedral, membandingkan volume bangun sejenis, mampu melakukan tindakan dengan bangun geometri, koordinat dan vektor, dll.

Volume kubus yang dikelilingi bola adalah 216. Tentukan jari-jari bola tersebut.


Larutan. 1) V kubus = A 3 (di mana A– panjang rusuk kubus), oleh karena itu

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Karena bola berada di dalam kubus, maka panjang diameter bola sama dengan panjang rusuk kubus, maka D = A, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tugas No.9- mengharuskan lulusannya memiliki keterampilan mentransformasikan dan menyederhanakan ekspresi aljabar. Tugas No. 9 peningkatan tingkat kesulitan dengan jawaban singkat. Tugas pada bagian “Perhitungan dan Transformasi” pada UN Unified State dibagi menjadi beberapa jenis:

    transformasi ekspresi rasional numerik;

    mengkonversi ekspresi aljabar dan pecahan;

    konversi ekspresi irasional numerik/huruf;

    tindakan dengan derajat;

    mengubah ekspresi logaritma;

  1. mengonversi ekspresi trigonometri numerik/huruf.

Contoh 9. Hitung tanα jika diketahui cos2α = 0,6 dan

3π < α < π.
4

Larutan. 1) Mari kita gunakan rumus argumen ganda: cos2α = 2 cos 2 α – 1 dan temukan

tan 2 = 1 – 1 = 1 – 1 = 10 – 1 = 5 – 1 = 1 1 – 1 = 1 = 0,25.
karena 2 α 0,8 8 4 4 4

Artinya tan 2 α = ± 0,5.

3) Dengan syarat

3π < α < π,
4

ini berarti α adalah sudut kuarter kedua dan tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Menjawab: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tugas No.10- menguji kemampuan siswa untuk menggunakan pengetahuan dan keterampilan awal yang diperoleh dalam kegiatan praktis dan kehidupan sehari-hari. Kita dapat mengatakan bahwa ini adalah masalah dalam fisika, dan bukan dalam matematika, tetapi semua rumus dan besaran yang diperlukan diberikan dalam kondisi tersebut. Masalahnya bermuara pada penyelesaian persamaan linier atau kuadrat, atau pertidaksamaan linier atau kuadrat. Oleh karena itu, persamaan dan pertidaksamaan tersebut harus mampu diselesaikan dan ditentukan jawabannya. Jawabannya harus diberikan sebagai bilangan bulat atau pecahan desimal hingga.

Dua benda bermassa M= masing-masing 2 kg, bergerak dengan kecepatan yang sama ay= 10 m/s dengan sudut 2α satu sama lain. Energi (dalam joule) yang dilepaskan selama tumbukan tidak lenting mutlak ditentukan oleh persamaan Q = mv 2 dosa 2 α. Pada sudut terkecil 2α (dalam derajat) berapakah benda harus bergerak agar sedikitnya 50 joule terlepas akibat tumbukan?
Larutan. Untuk menyelesaikan soal tersebut, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan Q ≥ 50, pada interval 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 dosa 2 α ≥ 50

2 10 2 dosa 2 α ≥ 50

200 dosa 2 α ≥ 50

Karena α ∈ (0°; 90°), kita hanya akan menyelesaikannya

Mari kita nyatakan solusi pertidaksamaan secara grafis:


Karena dengan kondisi α ∈ (0°; 90°), berarti 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tugas No.11- tipikal, tapi ternyata menyulitkan siswa. Sumber kesulitan utama adalah konstruksi model matematika (menyusun persamaan). Tugas No. 11 menguji kemampuan memecahkan masalah cerita.

Contoh 11. Selama liburan musim semi, Vasya, siswa kelas 11, harus menyelesaikan 560 soal latihan untuk mempersiapkan Ujian Negara Bersatu. Pada tanggal 18 Maret, di hari terakhir sekolah, Vasya menyelesaikan 5 soal. Kemudian setiap hari dia memecahkan jumlah masalah yang sama lebih banyak dari hari sebelumnya. Tentukan berapa banyak masalah yang diselesaikan Vasya pada tanggal 2 April, hari terakhir liburan.

Larutan: Mari kita tunjukkan A 1 = 5 – banyaknya soal yang diselesaikan Vasya pada tanggal 18 Maret, D– jumlah tugas harian yang diselesaikan oleh Vasya, N= 16 – jumlah hari dari 18 Maret hingga 2 April inklusif, S 16 = 560 – jumlah total tugas, A 16 – jumlah masalah yang diselesaikan Vasya pada tanggal 2 April. Mengetahui bahwa setiap hari Vasya memecahkan jumlah soal yang sama lebih banyak dibandingkan hari sebelumnya, kita dapat menggunakan rumus untuk mencari jumlah perkembangan aritmatika:

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Menjawab: 65.

Tugas No.12- menguji kemampuan siswa dalam melakukan operasi fungsi, mampu menerapkan turunan dalam pembelajaran suatu fungsi.

Temukan titik maksimum dari fungsi tersebut kamu= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Larutan: 1) Temukan domain definisi fungsi: X + 9 > 0, X> –9, yaitu x ∈ (–9; ∞).

2) Temukan turunan dari fungsi tersebut:

4) Titik yang ditemukan termasuk dalam interval (–9; ∞). Mari kita tentukan tanda-tanda turunan suatu fungsi dan gambarkan perilaku fungsi tersebut pada gambar:


Titik maksimum yang diinginkan X = –8.

Download gratis program kerja matematika untuk materi ajar G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Unduh alat peraga aljabar secara gratis

Tugas No.13-peningkatan tingkat kerumitan dengan jawaban terperinci, menguji kemampuan menyelesaikan persamaan, yang paling berhasil diselesaikan di antara tugas-tugas dengan jawaban terperinci dengan tingkat kerumitan yang meningkat.

a) Selesaikan persamaan 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2ko X) + 2 = 0

b) Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen tersebut.

Larutan: a) Misalkan log 3 (2cos X) = T, lalu 2 T 2 – 5T + 2 = 0,


 catatan 3(2kos X) = 2 ⇔
2cos X = 9 ⇔
karena X = 4,5 ⇔ karena |karena X| ≤ 1,
catatan 3(2kos X) = 1 2cos X = √3 karena X = √3
2 2
lalu karena X = √3
2

X = π + 2π k
6
X = – π + 2π k, k ∈ Z
6

b) Temukan akar-akar yang terletak pada ruas tersebut.


Gambar tersebut menunjukkan bahwa akar-akar dari segmen tertentu termasuk dalam

11π Dan 13π .
6 6
Menjawab: A) π + 2π k; – π + 2π k, k ∈ Z; B) 11π ; 13π .
6 6 6 6
Tugas No.14-tingkat lanjutan mengacu pada tugas di bagian kedua dengan jawaban terperinci. Tugas tersebut menguji kemampuan melakukan tindakan dengan bentuk geometris. Tugas tersebut berisi dua poin. Poin pertama tugasnya harus dibuktikan, dan poin kedua harus dihitung.

Diameter lingkaran alas silinder adalah 20, generatrix silinder adalah 28. Bidang tersebut memotong alasnya sepanjang tali busur yang panjangnya 12 dan 16. Jarak antar tali busur adalah 2√197.

a) Buktikan bahwa pusat alas silinder terletak pada salah satu sisi bidang tersebut.

b) Tentukan sudut antara bidang ini dan bidang alas silinder.

Larutan: a) Sebuah tali busur dengan panjang 12 berada pada jarak = 8 dari pusat lingkaran alas, dan tali busur dengan panjang 16 juga berada pada jarak 6. Jadi, jarak antara proyeksinya pada bidang yang sejajar dengan alas silinder adalah 8 + 6 = 14, atau 8 − 6 = 2.

Maka jarak antar akordnya adalah salah satu

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Sesuai dengan kondisi tersebut, kasus kedua terealisasi, dimana proyeksi tali busur terletak pada salah satu sisi sumbu silinder. Artinya sumbu tidak memotong bidang ini di dalam silinder, yaitu alasnya terletak pada salah satu sisinya. Apa yang perlu dibuktikan.

b) Mari kita nyatakan pusat alasnya sebagai O 1 dan O 2. Mari kita menggambar dari pusat alas dengan tali busur yang panjangnya 12 sebuah garis bagi yang tegak lurus terhadap tali busur ini (memiliki panjang 8, seperti yang telah disebutkan) dan dari pusat alas lainnya ke tali busur lainnya. Mereka terletak pada bidang β yang sama, tegak lurus terhadap tali busur ini. Sebut saja titik tengah tali busur kecil B, tali busur besar A, dan proyeksi A ke alas kedua - H (H ∈ β). Maka AB,AH ∈ β dan oleh karena itu AB,AH tegak lurus terhadap tali busur, yaitu garis lurus perpotongan alas dengan bidang tertentu.

Artinya sudut yang dibutuhkan sama dengan

∠ABH = arctan AH. = arctan 28 = arctg14.
B.H. 8 – 6

Tugas No.15- peningkatan tingkat kerumitan dengan jawaban terperinci, menguji kemampuan menyelesaikan pertidaksamaan, yang paling berhasil diselesaikan di antara tugas-tugas dengan jawaban terperinci dengan tingkat kerumitan yang meningkat.

Contoh 15. Selesaikan ketimpangan | X 2 – 3X| catatan 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Larutan: Daerah definisi pertidaksamaan ini adalah interval (–1; +∞). Pertimbangkan tiga kasus secara terpisah:

1) Biarkan X 2 – 3X= 0, yaitu X= 0 atau X= 3. Dalam hal ini pertidaksamaan tersebut menjadi benar, oleh karena itu nilai-nilai tersebut termasuk dalam penyelesaiannya.

2) Biarkan sekarang X 2 – 3X> 0, yaitu X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Selain itu, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang menjadi ( X 2 – 3X) catatan 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 dan bagi dengan ekspresi positif X 2 – 3X. Kami mendapatkan log 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 atau X≤ –0,5. Dengan mempertimbangkan domain definisi, kita punya X ∈ (–1; –0,5].

3) Terakhir, mari kita pertimbangkan X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). Dalam hal ini, pertidaksamaan awal akan ditulis ulang menjadi (3 X – X 2) catatan 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Setelah dibagi dengan positif 3 X – X 2 , kita mendapatkan log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Dengan mempertimbangkan wilayah yang kita miliki X ∈ (0; 1].

Menggabungkan solusi yang diperoleh, kita memperoleh X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Menjawab: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tugas No.16- Tingkat lanjutan mengacu pada tugas-tugas di bagian kedua dengan jawaban terperinci. Tugas tersebut menguji kemampuan melakukan tindakan dengan bentuk geometris, koordinat, dan vektor. Tugas tersebut berisi dua poin. Poin pertama tugasnya harus dibuktikan, dan poin kedua harus dihitung.

Pada segitiga sama kaki ABC dengan sudut 120°, garis bagi BD digambar di titik sudut A. Persegi panjang DEFH terdapat pada segitiga ABC sehingga sisi FH terletak pada ruas BC, dan titik sudut E terletak pada ruas AB. a) Buktikan bahwa FH = 2DH. b) Hitunglah luas persegi panjang DEFH jika AB = 4.

Larutan: A)


1) ΔBEF – persegi panjang, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, maka EF = BE berdasarkan sifat kaki yang berhadapan dengan sudut 30°.

2) Misalkan EF = DH = X, maka MENJADI = 2 X, BF = X√3 menurut teorema Pythagoras.

3) Karena ΔABC sama kaki, maka ∠B = ∠C = 30˚.

BD adalah garis bagi ∠B, artinya ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Pertimbangkan ΔDBH – persegi panjang, karena DH⊥BC.

2X = 4 – 2X
2X(√3 + 1) 4
1 = 2 – X
√3 + 1 2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Menjawab: 24 – 12√3.


Tugas No.17- tugas dengan jawaban rinci, tugas ini menguji penerapan pengetahuan dan keterampilan dalam kegiatan praktek dan kehidupan sehari-hari, kemampuan membangun dan mengeksplorasi model matematika. Tugas ini merupakan soal teks dengan muatan ekonomi.

Contoh 17. Setoran 20 juta rubel rencananya akan dibuka selama empat tahun. Pada setiap akhir tahun, bank meningkatkan simpanannya sebesar 10% dibandingkan ukurannya pada awal tahun. Selain itu, pada awal tahun ketiga dan keempat, investor setiap tahun mengisi kembali depositnya sebesar X juta rubel, di mana X - utuh nomor. Temukan nilai terbesar X, di mana bank akan memperoleh kurang dari 17 juta rubel pada deposito selama empat tahun.

Larutan: Pada akhir tahun pertama, kontribusinya akan menjadi 20 + 20 · 0,1 = 22 juta rubel, dan pada akhir tahun kedua - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 juta rubel. Pada awal tahun ketiga, kontribusinya (dalam juta rubel) akan menjadi (24,2 + X), dan pada akhirnya - (24.2+ X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Pada awal tahun keempat kontribusinya adalah (26,62 + 2,1 X), dan pada akhirnya - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Berdasarkan syarat, Anda perlu mencari bilangan bulat x terbesar yang memenuhi pertidaksamaan tersebut

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X < 7718
310
X < 3859
155
X < 24 139
155

Solusi bilangan bulat terbesar dari pertidaksamaan ini adalah angka 24.

Menjawab: 24.


Tugas No.18- tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban yang terperinci. Tugas ini dimaksudkan untuk seleksi kompetitif ke universitas dengan peningkatan persyaratan untuk persiapan matematika pelamar. Suatu tugas dengan tingkat kompleksitas yang tinggi bukanlah tugas yang menggunakan satu metode penyelesaian, tetapi pada kombinasi berbagai metode. Untuk berhasil menyelesaikan tugas 18, selain pengetahuan matematika yang kuat, juga diperlukan budaya matematika yang tinggi.

Pada apa A sistem ketidaksetaraan

X 2 + kamu 2 ≤ 2ay – A 2 + 1
kamu + A ≤ |X| – A

memiliki tepat dua solusi?

Larutan: Sistem ini dapat ditulis ulang dalam bentuk

X 2 + (kamu– A) 2 ≤ 1
kamu ≤ |X| – A

Jika kita menggambar himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertama pada bidang datar, kita memperoleh bagian dalam lingkaran (yang berbatas) berjari-jari 1 dan berpusat di titik (0, A). Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kedua adalah bagian bidang yang terletak di bawah grafik fungsi kamu = | X| – A, dan yang terakhir adalah grafik fungsinya
kamu = | X| , digeser ke bawah sebesar A. Penyelesaian sistem ini adalah perpotongan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan.

Akibatnya, sistem ini akan memiliki dua solusi hanya dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 1.


Titik potong lingkaran dan garis merupakan dua penyelesaian sistem. Setiap garis lurus miring terhadap sumbu dengan sudut 45°. Jadi itu segitiga PQR– persegi panjang sama kaki. Dot Q memiliki koordinat (0, A), dan intinya R– koordinat (0, – A). Selain itu, segmennya PR Dan PQ sama dengan jari-jari lingkaran sama dengan 1. Artinya

Qr= 2A = √2, A = √2 .
2
Menjawab: A = √2 .
2


Tugas No.19- tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban yang terperinci. Tugas ini dimaksudkan untuk seleksi kompetitif ke universitas dengan peningkatan persyaratan untuk persiapan matematika pelamar. Suatu tugas dengan tingkat kompleksitas yang tinggi bukanlah tugas yang menggunakan satu metode penyelesaian, tetapi pada kombinasi berbagai metode. Agar berhasil menyelesaikan tugas 19, Anda harus dapat mencari solusi, memilih pendekatan yang berbeda dari pendekatan yang diketahui, dan memodifikasi metode yang dipelajari.

Membiarkan sn jumlah P suku barisan aritmatika ( sebuah hal). Diketahui bahwa S n + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Berikan rumusnya P jangka waktu perkembangan ini.

b) Temukan jumlah absolut terkecil S n.

c) Temukan yang terkecil P, di mana S n akan menjadi kuadrat dari bilangan bulat.

Larutan: a) Jelas sekali sebuah = S n – S n- 1 . Dengan menggunakan rumus ini, kita mendapatkan:

S n = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

S n – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

Cara, sebuah = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) Sejak S n = 2N 2 – 25N, lalu pertimbangkan fungsinya S(X) = | 2X 2 – 25x|. Grafiknya dapat dilihat pada gambar.


Jelasnya, nilai terkecil dicapai pada titik bilangan bulat yang terletak paling dekat dengan nol dari fungsi tersebut. Jelas ini adalah poinnya X= 1, X= 12 dan X= 13. Karena, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, maka nilai terkecilnya adalah 12.

c) Dari paragraf sebelumnya berikut ini sn positif, dimulai dari N= 13. Sejak S n = 2N 2 – 25N = N(2N– 25), maka kasus yang jelas, ketika ekspresi ini adalah kuadrat sempurna, terwujud ketika N = 2N– 25, yaitu pada P= 25.

Tetap memeriksa nilai dari 13 hingga 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Ternyata untuk nilai yang lebih kecil P kuadrat lengkap tidak tercapai.

Menjawab: A) sebuah = 4N– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Sejak Mei 2017, grup penerbitan bersatu "DROFA-VENTANA" telah menjadi bagian dari perusahaan Buku Teks Rusia. Korporasi juga mencakup penerbit Astrel dan platform pendidikan digital LECTA. Alexander Brychkin, lulusan Akademi Keuangan di bawah Pemerintah Federasi Rusia, Kandidat Ilmu Ekonomi, kepala proyek inovatif penerbit DROFA di bidang pendidikan digital (buku teks bentuk elektronik, Sekolah Elektronik Rusia, platform pendidikan digital LECTA) diangkat sebagai Direktur Jenderal. Sebelum bergabung dengan penerbit DROFA, beliau menjabat sebagai wakil presiden untuk pengembangan strategis dan investasi di penerbit EKSMO-AST. Saat ini, perusahaan penerbitan Buku Teks Rusia memiliki portofolio buku teks terbesar yang termasuk dalam Daftar Federal - 485 judul (sekitar 40%, tidak termasuk buku teks untuk sekolah luar biasa). Penerbit korporasi memiliki kumpulan buku teks paling populer di sekolah-sekolah Rusia dalam bidang fisika, menggambar, biologi, kimia, teknologi, geografi, astronomi - bidang pengetahuan yang diperlukan untuk pengembangan potensi produktif negara. Portofolio korporasi meliputi buku pelajaran dan alat peraga untuk sekolah dasar, yang dianugerahi Penghargaan Presiden di bidang pendidikan. Ini adalah buku teks dan manual dalam bidang studi yang diperlukan untuk pengembangan potensi ilmiah, teknis dan produksi Rusia.

Latihan 1

Jika \(74\) orang membuat \(40\%\) , maka \(74:2=37\) orang membuat \(20\%\) . Oleh karena itu, \(100\%\) adalah \(37\cdot 5=185\) orang.

Jawaban: 185

Tugas 2

Grafik menunjukkan ketergantungan suhu air, yang dinyatakan dalam derajat Celcius, pada waktu yang dihitung sejak awal pemanasannya. Sumbu absis menunjukkan waktu dalam menit, dan sumbu ordinat menunjukkan suhu. Tentukan dari grafik berapa derajat perubahan suhu air dari \(3\) menit menjadi \(8\) menit. Berikan jawaban Anda dalam derajat Celcius.

Grafik menunjukkan bahwa \(3\) menit setelah dimulainya pemanasan suhu air sama dengan \(40^\circ C\), setelah \(8\) menit suhunya sama dengan \(90^\circ C \), oleh karena itu, dari \(3\) ke \(8\) menit suhu berubah sebesar \(90-40=50^\circ C\) .

Jawaban: 50

Tugas 3

Kertas kotak-kotak menunjukkan segitiga \(ABC\) . Tentukan garis tengah segitiga ini yang sejajar dengan sisi \(AB\) .

Karena garis tengah suatu segitiga sama dengan setengah sisi yang sejajar, maka garis tengah yang sejajar \(AB\) akan sama dengan \(0,5 AB\) . Karena \(AB=5\) , maka garis tengahnya sama dengan \(2.5\) .

Jawaban: 2.5

Tugas 4

\(500\) anak sekolah datang ke Olimpiade Matematika. Mereka ditempatkan di empat ruang kelas: di tiga ruang kelas masing-masing berisi \(150\) orang, di ruang kelas keempat – \(50\) orang. Tentukan peluang bahwa seorang siswa yang dipilih secara acak akan menulis olimpiade di ruang kelas kecil.

Kita akan mencari probabilitas sebagai rasio jumlah hasil yang sesuai dengan jumlah seluruh hasil. Karena terdapat \(50\) kursi di auditorium kecil, jumlah kursi yang sesuai adalah \(50\). Total tempat \(500\) . Oleh karena itu, probabilitasnya sama dengan \[\dfrac(50)(500)=0,1.\]

Jawaban: 0,1

Tugas 5

Tugas 6

Diberikan jajar genjang dengan sisi \(21\) dan \(28\) . Sebuah tinggi ditarik ke sisi yang lebih pendek, yang panjangnya sama dengan \(20\) . Carilah panjang tinggi yang ditarik ke sisi yang lebih panjang.


Mari kita lihat gambarnya. Karena luas jajar genjang sama dengan hasil kali salah satu sisi dan tinggi yang ditarik ke sisi tersebut, maka luas jajar genjang tertentu sama dengan \(21\cdot 20\) atau \(28\cdot H\) . Karena itu, \

Jawaban: 15

Tugas 7

Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi \(y = f(x)\) . Ada tujuh titik yang ditandai pada sumbu absis: \(x_1\) , \(x_2\) , \(x_3\) , \(x_4\) , \(x_5\) , \(x_6\) , \(x_7\ ) . Pada berapa titik tersebut fungsi \(f(x)\) bertambah?

Fungsi tersebut meningkat pada titik-titik yang nilai turunannya positif. Oleh karena itu, karena gambar tersebut menunjukkan grafik turunan, maka titik-titik di mana grafik turunan terletak DI ATAS sumbu x adalah titik yang cocok untuk kita. Ini adalah poin \(x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\) . Total ada 5 poin seperti itu.

Jawaban: 5

Tugas 8

Air dituangkan ke dalam bejana berbentuk silinder setinggi \(32\) cm. Berapa tinggi air yang akan dicapai jika dituangkan ke dalam bejana berbentuk silinder lain yang jari-jari alasnya 4 kali jari-jari alasnya? dari kapal pertama? Berikan jawabannya dalam cm.


Misalkan jari-jari alas kapal pertama sama dengan \(R_1\) , dan jari-jari alas kapal kedua sama dengan \(R_2\) . Kemudian \(R_2=4R_1\) . Perhatikan bahwa ketika air dituangkan dari satu bejana ke bejana lain, volume air tetap konstan. Ketika air berada di bejana pertama, volumenya sama dengan volume silinder dengan tinggi \(32\) dan jari-jari alas \(R_1\) : \(V=\pi R_1^2\cdot 32\) . Ketika dituangkan ke dalam bejana kedua, volumenya sama dengan volume silinder dengan tinggi \(h\) (nilai ini perlu dicari) dan jari-jari alas \(R_2\), yaitu \(V= \pi R_2^2\cdot h\ ) . Tapi kemudian: \[\pi R_1^2\cdot 32=\pi R_2^2\cdot h \quad\Panah Kanan\quad h=\kiri(\dfrac(R_1)(R_2)\kanan)^2\cdot 32=\kiri( \dfrac14\kanan)^2\cdot 32=2.\]

Jawaban: 2

Tugas 9

Temukan arti dari ekspresi tersebut \

Mari kita tulis ulang ekspresi tersebut dalam bentuk \ Dengan menggunakan rumus kosinus sudut ganda \(2\cos^2x-1=\cos 2x\), persamaannya akan ditulis ulang sebagai \

Jawaban: -3

Tugas 10

Ketika sumber dan penerima sinyal suara saling mendekat, bergerak dalam medium tertentu dalam garis lurus satu sama lain, frekuensi sinyal suara yang direkam oleh penerima tidak sesuai dengan frekuensi sinyal aslinya \(f_0=140 \) Hz dan ditentukan oleh ekspresi berikut: \ dimana \(c\) adalah kecepatan rambat sinyal dalam medium (dalam m/s), dan \(u=15\) m/s dan \(v=14\) m/s adalah kecepatan penerima dan sumber relatif terhadap mediumnya. Pada kecepatan maksimum perambatan sinyal \(c\) (dalam m/s) dalam medium, frekuensi sinyal pada penerima \(f\) paling sedikit \(145\) Hz?

Karena kita perlu mencari \(c\) sehingga \(f\geqslant 145\) , kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan tersebut \ Menyelesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan metode interval, kita memperoleh \(c\in \) . Oleh karena itu, untuk nilai \(c\), nilai \(f\) setidaknya adalah \(145\) . Maka nilai terbesar dari \(c\) adalah \(826\) .

Jawaban: 826

Tugas 11

Sebuah kapal motor yang kecepatannya di air tenang \(27\) km/jam, bergerak mengikuti arus dari titik A ke titik B. Sesampainya di titik B, kapal motor tersebut berhenti di \(5\) jam, kemudian kembali ke titik A. Diketahui kapal kembali ke titik A \(32\) jam setelah berangkat dari A. Berapa kilometer jarak yang ditempuh kapal jika kecepatan sungai \(1\) km /H?

Misalkan jarak antara titik A dan B sama dengan \(S\) . Kemudian kapal menempuh perjalanan dari A ke B \[\dfrac(S)(27+1)\quad (\small(\text(jam)))\] Selanjutnya ia berhenti di titik B selama 5 jam, dan dalam perjalanan dari B ke A ia menghabiskan waktu \[\dfrac(S)(27-1)\quad (\small(\text(jam)))\] Total dia menghabiskan 32 jam, oleh karena itu, \[\dfrac S(27+1)+5+\dfrac S(27-1)=32 \quad\Panah Kanan\quad 54S=26\cdot 27\cdot 28\quad\Panah Kanan\quad S=13\cdot 28 \] Kemudian kapal tersebut menempuh perjalanan total \(2S\) kilometer, atau \

Jawaban: 728

Tugas 12

Temukan titik minimum dari fungsi tersebut\

Fungsi ODZ: \((x+10)^7> 0 \quad\Leftrightarrow\quad x>-10.\)

Titik minimum suatu fungsi adalah titik di mana turunan berubah tandanya dari “\(-\)” menjadi “\(+\)” (bila dilihat dari kiri ke kanan). Mari kita cari turunannya, angka nolnya, dan titik-titik yang tidak ada, dan hitung tanda-tanda pada interval yang dihasilkan. \ Nol dari turunannya: \ Tanda turunan pada ODZ:

Oleh karena itu, \(x=-9\) adalah titik minimum.

Jawaban: -9

Tugas 13

a) Selesaikan persamaannya \[\log_4(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]

b) Sebutkan semua akar persamaan yang termasuk dalam segmen tersebut \(\kiri[-\dfrac(\pi)2;\dfrac(3\pi)2\kanan].\)

a) persamaan ODZ: \(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\). Mari selesaikan persamaan menggunakan ODZ. Itu dapat dikonversi: \[\begin(sejajar) &2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Panah Kanan\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Panah Kanan \\ &\Panah Kanan\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Panah Kanan\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end(sejajar)\] Solusi persamaan ini adalah \(\cos x=0\) dan \(\sin x=-\dfrac(\sqrt3)2\) : \[\kiri[\begin(berkumpul)\begin(sejajar) &x=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(\pi)3+ 2\pi m, m\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(2\pi)3+2\pi k, k\in\mathbb(Z) \end(sejajar)\end(berkumpul) \Kanan.\] Mari kita periksa apakah root ini cocok untuk ODZ. Karena akar-akar ini diperoleh dari persamaan \((*)\) , dan \(4^x>0\) untuk semua \(x\) , maka ketika mensubstitusikan akar-akar ini ke dalam persamaan, ruas kiri \(( *)\) juga akan selalu \(>0\) . Dan ini ODZ. Akibatnya, semua akar memenuhi ODZ.

b) Mari kita pilih akarnya. \[\begin(selaras) &-\dfrac(\pi)2\leqslant \dfrac(\pi)2+\pi n\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n \leqslant 1\quad\Panah Kanan \quad n=-1; 0; 1\quad\Panah Kanan\quad x=-\dfrac(\pi)2; \dfrac(\pi)2; \dfrac(3\pi)2\\ & -\dfrac(\pi)2\leqslant -\dfrac(\pi)3+2\pi m\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1(12)\leqslant m\leqslant \dfrac(11)(12)\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac(\pi)3\\ &-\dfrac (\pi)2\leqslant -\dfrac(2\pi)3+2\pi k\leqslant \dfrac(3\pi)2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1(12)\leqslant k\leqslant \dfrac( 13)(12)\quad\Panah Kanan\quad k=1\quad\Panah Kanan\quad x=\dfrac(4\pi)3 \end(sejajar)\]

Menjawab:

A) \(x=\dfrac(\pi)2+\pi n, -\dfrac(\pi)3+2\pi m, -\dfrac(2\pi)3+2\pi k, n,m,k \di\mathbb(Z)\)

B) \(-\dfrac(\pi)2; -\dfrac(\pi)3; \dfrac(\pi)2; \dfrac(4\pi)3; \dfrac(3\pi)2\)

Tugas 14

Alas limas segi empat \(SABCD\) adalah persegi panjang \(ABCD\) , dan \(AB=3\sqrt2\) , \(BC=6\) . Alas tinggi limas adalah titik pusat persegi panjang. Dari simpul \(A\) dan \(C\) garis tegak lurus \(AP\) dan \(CQ\) dijatuhkan ke tepi \(SB\) .

a) Buktikan bahwa \(P\) adalah titik tengah segmen \(BQ\) .

b) Tentukan sudut antara permukaan \(SBA\) dan \(SBC\) jika \(SD=9\) .

a) Misalkan \(O\) adalah titik potong diagonal-diagonal persegi panjang \(ABCD\) . Maka \(SO\) adalah tinggi limas. Karena diagonal-diagonal persegi panjang sama besar dan dibagi dua oleh titik potong, maka \(AO=BO=CO=DO\) . Karena itu, \(\segitiga AOS=\segitiga BOS=\segitiga COS=\segitiga DOS\), dari mana \(AS=BS=CS=DS\) . Mari kita nyatakan \(AS=x\) .
Pertimbangkan wajahnya \(ASB\) . Mari kita lakukan \(SK\perp AB\) . Kemudian \(KB=0.5 AB=1.5\sqrt2\) . Kemudian \[\dfrac(KB)(SB)=\cos \angle SBA=\dfrac(BP)(BA) \quad\Panah Kanan\quad BP=\dfrac 9x\] Pertimbangkan wajahnya \(CSB\) . Ayo lakukan \(SH\perp CB\) . Kemudian \(HB=0,5 CB=3\) . Kemudian \[\dfrac(HB)(SB)=\cos \angle SBC=\dfrac(BQ)(BC) \quad\Panah Kanan\quad BQ=\dfrac (18)x\] Oleh karena itu, \Chtd.

b) Dengan syarat \(x=9\) . Perhatikan bahwa pada wajah \(CSB\) \(PH\parallel CQ\) (karena \(PH\) adalah garis tengah dalam \(\triangle CQB\) ) Oleh karena itu, \(PH\perp SB\) . Oleh karena itu, menurut definisi, \(\angle APH\) adalah sudut linier dari sudut dihedral antara permukaan \(SBC\) dan \(SBA\) . Mari kita cari menggunakan teorema kosinus dari \(\triangle APH\) .


\(BP=\frac9(x)=1\) . Oleh karena itu, dengan teorema Pythagoras dari \(\triangle ABP\) : \(AP^2=18-1=17\) .
Dengan teorema Pythagoras dari \(\triangle HBP\) : \(HP^2=9-1=8\) .
Dengan teorema Pythagoras dari \(\segitiga ABH\) : \(AH^2=18+9=27\) .
Oleh karena itu, berdasarkan teorema kosinus dari \(\triangle APH\) : \[\cos \angle APH=\dfrac(AP^2+HP^2-AH^2)(2\cdot AP\cdot HP)= -\dfrac1(2\sqrt(34))\] Oleh karena itu, sudut antara sisi \(SAB\) dan \(SCB\) adalah sama dengan \[\angle APH=\arccos\left(-\dfrac1(2\sqrt(34))\right)\]

Menjawab:

B) \(\arccos\kiri(-\frac1(2\sqrt(34))\kanan)\)

Tugas 15

Selesaikan ketimpangan tersebut \[\dfrac(2^x)(2^x-8)+\dfrac(2^x+8)(2^x-4) +\dfrac(66)(4^x-12\cdot 2^x +32)\leqslant 0\]

Mari kita lakukan perubahan \(2^x=t\) , maka pertidaksamaan akan berbentuk \[\begin(sejajar) &\dfrac(t)(t-8)+\dfrac(t+8)(t-4)+\dfrac(66)(t^2-12t+32)\leqslant 0 \ segi empat\Panah kanan kiri\quad \dfrac(t(t-4)+(t^2-8^2)+66)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Panah Kiri\\ &\ Panah kanan kiri\quad \dfrac(2t^2-4t+2)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Panah kanan kiri\quad \dfrac(2(t-1)^2)((t -8)(t-4))\leqslant 0 \end(sejajar)\] Mari selesaikan pertidaksamaan ini menggunakan metode interval:


Maka solusinya adalah \[\kiri[\begin(berkumpul)\begin(sejajar) &t=1\\ &4 Maka jawabannya adalah: \

Menjawab:

\(\(0\)\cangkir(2;3)\)

Tugas 16

Titik \(E\) adalah titik tengah sisi \(CD\) trapesium \(ABCD\) . Pada sisinya \(AB\) diambil sebuah titik \(K\) sehingga garis \(CK\) dan \(AE\) sejajar. Segmen \(CK\) dan \(BE\) berpotongan di titik \(O\) .

a) Buktikan bahwa \(CO=OK\) .

b) Tentukan perbandingan alas trapesium \(BC:AD\) jika luas segitiga \(BCK\) adalah \(\dfrac9(64)\) luas seluruh trapesium \ (ABCD\) .

a) Perluas \(AE\) dan \(BC\) hingga perpotongan di titik \(P\) :


Kemudian \(\angle AED=\angle CEP\) sebagai vertikal, \(\angle ADE=\angle PCE\) melintang pada garis potong \(AD\paralel BP\) dan \(CD\). Oleh karena itu, sepanjang sisi dan dua sudut yang berdekatan \(\segitiga AED=\segitiga CEP\). Kemudian \(AD=CP\) , \(AE=EP\) .
Karena \(CK\parallel AP\) , maka \(\segitiga BKO\sim \segitiga ABE\) dan \(CBO\sim \segitiga PBE\) oleh karena itu, \[\dfrac(KO)(AE)=\dfrac(BO)(BE)=\dfrac(OC)(EP) \quad\Panah Kanan\quad \dfrac(KO)(OC)=\dfrac(AE)(EP )=1\] Jadi, \(KO=OC\) , hd.

b) Sejak \(\segitiga AED=\segitiga CEP\), lalu \(S_(ABCD)=S_(ABP)\) . Jadi, \Sejak \(\segitiga BCK\sim \segitiga ABP\), maka luasnya dihubungkan sebagai kuadrat koefisien kemiripan, oleh karena itu, \ Oleh karena itu, \(BC:BP=3:8\) , yang berarti \(BC:AD=BC:CP=3:5\) .

Menjawab:

b) \(3:5\)

Tugas 17

Pada Juli 2020 direncanakan akan mengambil pinjaman bank dengan jumlah tertentu. Syarat pengembaliannya adalah sebagai berikut:
- setiap bulan Januari utang bertambah \(30\%\) dibandingkan akhir tahun sebelumnya;
- dari bulan Februari sampai Juni setiap tahun perlu membayar sebagian hutang dalam satu pembayaran.
Berapa rubel yang diambil dari bank jika diketahui bahwa pinjaman telah dilunasi seluruhnya dalam tiga pembayaran yang sama (yaitu, selama 3 tahun) dan jumlah pembayaran melebihi jumlah yang diambil dari bank sebesar \(156\,060\ ) rubel?

Misalkan \(A\) rubel adalah jumlah yang dipinjam. Perhatikan bahwa pinjaman akan dilunasi dalam pembayaran anuitas. Mari kita nyatakan dengan \(t=1.3\) dan buatlah tabel: \[\begin(array)(|l|l|l|c|) \hline \text(Nomor tahun) & \text(Hutang sebelum akrual)\% & \text(Hutang setelah akrual)\% & \text( Pembayaran)\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA- x)-x) &x\\ \hline \end(array)\] Kemudian setelah pembayaran terakhir utangnya akan sama \ Berdasarkan kondisi \(3x-A=156\,060\), oleh karena itu, \[\dfrac(3At^3)(t^2+t+1)-A=156\.060 \quad\Panah Kanan\quad 3\cdot 2.197A-3.99A=156060\cdot 3.99 \quad\ Panah Kanan\quad A=\dfrac(156060\cdot 3990)(2601)=60\cdot 3990=239\,400\]\(x_3\) memuaskan \((2)\) . Perhatikan juga bahwa root \(x_1\) termasuk dalam segmen \(\) .
Mari kita pertimbangkan tiga kasus:

1) \(a>0\) . Kemudian \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) memenuhi \((2)\) , \(x_3\) tidak memenuhi \((1)\) , atau bertepatan dengan \(x_1\) , atau memenuhi \((1)\) , tetapi tidak termasuk dalam segmen \(\) (yaitu, kurang dari \(0\) );
- \(x_1\) tidak memenuhi \((2)\) , \(x_3\) memenuhi \((1)\) dan tidak sama dengan \(x_1\) .
Perhatikan bahwa \(x_3\) tidak boleh kurang dari nol dan memenuhi \((1)\) (yaitu, lebih besar dari \(\frac35\) ). Berdasarkan pernyataan ini, kasus-kasus tersebut dicatat dalam kumpulan berikut: \[\kiri[ \begin(berkumpul)\begin(sejajar) &\begin(kasus) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ akhir(kasus)\\ &\begin(kasus) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Memecahkan himpunan ini dan memperhitungkan bahwa \(a>0\) , kita mendapatkan: \

2) \(a=0\) . Kemudian \(x_2=x_3=3\in .\) Perhatikan bahwa dalam kasus ini \(x_1\) memenuhi \((2)\) dan \(x_2=3\) memenuhi \((1)\) , lalu di sana adalah persamaan yang mempunyai dua akar pada \(\) . Nilai \(a\) ini tidak cocok untuk kita.

3)\(sebuah<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) dan \(x_3\notin \) . Dengan alasan yang mirip dengan poin 1), Anda perlu menyelesaikan himpunan: \[\kiri[ \begin(berkumpul)\begin(sejajar) &\begin(kasus) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(kasus)\\ &\begin(kasus) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(kasus) \end(sejajar) \end(berkumpul)\kanan.\] Menyelesaikan populasi tertentu dan memperhitungkan bahwa \(1, 2, 3, \dots, 99\) . Maka jumlah semua seratus bilangan adalah jumlah terkecil yang mungkin jika di antara bilangan-bilangan tersebut terdapat \(230\) . Mari kita hitung: \[\dfrac(1+99)2\cdot 99+230=5180>5120\] Kami mendapat kontradiksi dengan kondisi tersebut, maka jawabannya adalah: tidak.

b) Misalkan tidak ada angka \(14\) di papan tulis. Mari kita urutkan kembali angka-angka dalam urutan menaik dan lihat angka-angkanya: \(1, 2, \titik, 13, 15, \titik, 101\). Kami mengambil nilai sekecil mungkin untuk angka pertama, untuk angka kedua, dan seterusnya. Maka jumlah semua bilangan tersebut adalah jumlah terkecil yang mungkin terjadi di antara jumlah seratus bilangan asli yang berubah-ubah. Itu sama dengan: \[\dfrac(1+101)2\cdot 101-14=5137>5120\] Kami kembali mendapat kontradiksi dengan kondisi tersebut, oleh karena itu jawabannya: tidak.

c) Mari kita beri contoh jika di antara suatu bilangan ada empat bilangan yang merupakan kelipatan \(14\) (inilah bilangan \(14, 28, 42, 56\)): \ Mari kita buktikan bahwa tidak boleh ada kurang dari empat bilangan yang merupakan kelipatan \(14\) .
Mari kita ambil satu set angka dari \(1\) hingga \(100\) . Jumlah bilangan pada himpunan ini adalah \(5050\) . Ini adalah jumlah minimum yang mungkin dari seratus bilangan asli berbeda. Sebut saja bilangan yang merupakan kelipatan \(14\) ganjil. Ada 7 angka aneh pada set ini. Kami akan mengurangi jumlah angka ganjil di set kami sambil mempertahankan jumlah minimum angka di set.
Jadi, agar jumlah bilangannya menjadi minimal, kita harus menghilangkan bilangan ganjil terbesar - ini \(98\) . Kemudian dia harus menambahkan nomor lain (tidak aneh!) Sebagai imbalannya. Angka terkecil adalah \(101\) . Setelah ini kita mendapatkan jumlah minimum yang sama dengan \(5053\) . Ini kurang dari \(5120\) , jadi kami akan melanjutkan lebih jauh.
Dengan melakukan hal yang sama, mari hilangkan bilangan ganjil \(98, 84, 70\) . Sebagai gantinya, mari tambahkan \(101, 102, 103\) . Dalam hal ini, kita memperoleh jumlah minimum yang sama dengan \(5104\) . Setelah melakukan operasi ini lagi, yaitu menghapus \(56\) dan menambahkan \(104\), kita mendapatkan jumlah minimum \(5152\), yang lebih besar dari \(5120\). Karena minimalnya jumlah angka dalam himpunan kita, kita memperoleh kontradiksi.

Lulus ujian negara terpadu tidak hanya menjadi keharusan di akhir pendidikan menengah umum, tetapi juga bagian dari ujian masuk perguruan tinggi. Anak sekolah yang memutuskan untuk mendaftar pada jurusan dengan fokus matematika atau teknik tidak hanya mengambil matematika tingkat dasar, tetapi juga matematika tingkat khusus. Mari kita pertimbangkan fitur-fiturnya, waktu implementasi dan pengujian, serta beberapa poin terkait hasilnya.

Prosedur untuk melakukan Ujian Negara Bersatu ditetapkan oleh Undang-Undang Federal No. 273 “Tentang Pendidikan di Federasi Rusia”.

Kapan hasil ujiannya akan diketahui?

Jadwal resmi menentukan pengiriman Ujian Negara Terpadu Matematika 2018 arah profil pada hari Jumat, 1 Juni. Sebagai hari cadangan di loop utama tanggalnya disorot 25 Juni, dan tanggal 2 Juli tetap menjadi hari cadangan untuk lulus semua mata pelajaran.

Pemisahan ujian matematika ke tingkat yang terjadi tahun lalu. Mereka berbeda menurut beberapa tanda:

  • Sistem penilaian. Tingkat dasar pengetahuan subjek dinilai pada skala lima poin (minimal 3 poin). Nilai mata pelajaran inti dinilai pada skala 100 poin;
  • Perbedaan berikutnya adalah dalam mengikuti ujian tingkat dasar dan khusus untuk masuk ke lembaga pendidikan tingkat profesional yang lebih tinggi dan menengah. Dengan demikian, tingkat dasar cukup untuk perguruan tinggi, sekolah, dan spesialisasi kemanusiaan di universitas. Kehadiran matematika dalam ujian masuk spesialisasi teknis mengharuskan pelamar untuk lulus tingkat profil;
  • Bervariasi struktur ujian. Database terdiri dari 20 soal dengan jawaban singkat. Ujian profil jauh lebih sulit dan terdiri dari 2 bagian.

Sistem Unified State Examination memungkinkan lulusan sekolah untuk mengambil bagian dasar dan khusus dari mata pelajaran tersebut tanpa batasan. Ini secara signifikan meningkatkan peluang Anda untuk masuk universitas.

Pemrosesan hasil Ujian Negara Bersatu mempunyai tenggat waktu dan prosedur tertentu:

  • Pemindaian dan pemrosesan formulir di wilayah – hingga 4 hari;
  • Pemrosesan hasil di tingkat federal – hingga 7 hari;
  • Pengiriman hasil ke daerah – 1 hari;
  • Konfirmasi hasil oleh komisi ujian negara – tidak lebih dari 1 hari;
  • Pengumuman hasil – 1 hari.

Dengan demikian, jangka waktu verifikasi dan publikasi hasil tidak lebih dari 2 minggu. Hasil UN Unified State 2018 bidang matematika tingkat profil akan diketahui paling lambat tanggal 17 Juni.

Bagaimana cara mengetahui hasil Anda?

Cari tahu hasil ujian sebelumnya dapat dilakukan dengan beberapa cara:

  • Portal resmi Ujian Negara Bersatu www.ege.edu.ru;
  • Di stand informasi di sekolah atau lembaga lain tempat diadakannya ujian;
  • Di departemen regional atau komite pendidikan;
  • Sejumlah daerah membuat situs web khusus atau hotline telepon.

Periksa hasil Anda mungkin jika tersedia:

  • Nama lengkap orang yang menyerahkan barang tersebut;
  • Nomor paspor atau dokumen lain yang digunakan selama ujian untuk identifikasi;
  • Kode identifikasi yang diberikan kepada setiap peserta ujian.

Informasi hasil ujian tidak dipungut biaya dan diberikan secara cuma-cuma kepada peserta UN Unified State dan orang tuanya.

Ujian Negara Terpadu Awal Matematika

Sejumlah anak sekolah telah lulus Ujian Negara Bersatu bidang matematika yang disebut periode awal. Partisipasi di dalamnya diperbolehkan jika siswa tidak dapat mengikuti tahap utama. Alasannya mungkin termasuk:

  • Perawatan yang direncanakan;
  • Rekreasi di institusi kesehatan;
  • Partisipasi dalam kompetisi, olimpiade, dan acara pendidikan atau kreatif lainnya.

Pada tahun 2017 terjadi penyelesaian awal matematika 31 Maret dan 14 April(hari cadangan). 4,8 ribu anak sekolah lulus tingkat dasar, dan sekitar 17 ribu anak lulus tingkat khusus.

Rencananya, hasil ujian awal matematika tahun 2017 seharusnya sudah tersedia pada 11 April, namun dipublikasikan jauh lebih awal yakni pada tanggal 7.

Tempat melihat karya Anda

Anda dapat melihat pekerjaan Anda secara elektronik setelah lulus ujian. Pemindaiannya tersedia di akun pribadi Anda di portal Ujian Negara Bersatu. Akses ke sana diberikan ketika:

  • tersedianya kode identifikasi peserta ujian negara kesatuan;
  • Nama lengkap dan nomor paspor.

Jika setelah pengumuman hasil, peserta tidak setuju dengan poin yang diberikan, maka ia setuju 2 hari untuk mengajukan banding kepada Panitia Pemeriksa. Permohonan ditulis dalam 2 rangkap dan diserahkan kepada komisi untuk dipertimbangkan. Hingga tanggal 5 Juni, solusi atas permasalahan tersebut akan ditinjau kembali dan akan diambil keputusan untuk mengubah penilaian atau mengonfirmasinya.

Bagaimana penilaian ujiannya? Sistem Ujian Negara Terpadu menggunakan nilai dasar dan nilai ujian, serta skala khusus untuk mengubahnya satu sama lain, untuk mengevaluasi hasil. Solusi CMM (bahan kontrol dan pengukuran) dievaluasi pada poin utama dan kemudian diubah sesuai tabel menjadi nilai ujian. Hasil akhir ujian adalah jumlah nilai ujian yang diperoleh.

Pengembangan skala konversi nilai dasar menjadi nilai ujian dilakukan setiap tahun dengan memperhatikan tingkat persiapan anak sekolah secara umum.

Untuk sukses lulus matematika khusus pada tahun 2018 Anda perlu menghubungi minimum:

  • 6 poin utama;
  • 27 titik tes.

Tanggal pengambilan kembali Unified State Examination bidang matematika tahun 2018

Ada sejumlah tenggat waktu tambahan untuk lulus Ujian Negara Bersatu. Mereka tersedia jika, karena alasan yang baik, siswa tidak dapat lulus mata pelajaran pada hari utama. Untuk matematika khusus ini adalah:

  • 25 Juni– hari cadangan dalam tahap utama;
  • 2 Juli– hari cadangan untuk bagian utama Ujian Negara Bersatu, ketika Anda dapat mengambil mata pelajaran apa pun.

Kesempatan mengikuti kembali mata pelajaran matematika khusus pada bulan September memiliki beberapa syarat:

  • Jika seorang siswa telah lulus matematika dasar, maka ia tidak diperbolehkan mengambil kembali jenjang spesialisasi tahun ini. Kesempatan untuk mengikuti kembali Ujian Negara Bersatu baru akan muncul tahun depan;
  • Jika kedua ujian matematika (dasar dan lanjutan) gagal, siswa dapat memutuskan ujian mana yang akan diambilnya kembali.

Ambil kembali matematika dijadwalkan pada bulan September 7 September. Hari cadangan adalah 15 September.

Kelas 11

Kondisi masalah

  1. Harga ketel listrik dinaikkan sebesar 14% menjadi 1.596 rubel. Berapa rubel harga ketel sebelum harganya naik?
  2. Grafik menunjukkan ketergantungan torsi mesin pada jumlah putaran per menit. Jumlah putaran per menit diplot pada sumbu absis, dan torsi dalam N∙m diplot pada sumbu ordinat. Kecepatan kendaraan (dalam km/jam) kira-kira dinyatakan dengan rumus dimana n adalah jumlah putaran mesin per menit. Pada kecepatan minimum berapa mobil harus bergerak agar torsinya sama dengan 120 N∙m? Berikan jawaban Anda dalam kilometer per jam.
  3. Pada kertas kotak-kotak berukuran persegi x digambarkan segitiga ABC. Hitunglah panjang tingginya jika diturunkan ke sisi BC.
  4. Konferensi ilmiah ini diadakan selama 5 hari. Sebanyak 75 laporan direncanakan - tiga hari pertama berisi 17 laporan, sisanya didistribusikan secara merata antara hari keempat dan kelima. Laporan oleh Profesor M direncanakan pada konferensi tersebut. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa probabilitas laporan Profesor M. akan dijadwalkan pada hari terakhir konferensi?
  5. Temukan akar persamaannya
  6. Segi empat ABCD ditulis dalam lingkaran. Sudut ABC 105 o, sudut CAD 35 o. Carilah sudut ABD. Berikan jawaban Anda dalam derajat.
  7. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan suatu fungsi yang didefinisikan pada interval. Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi yang termasuk dalam segmen tersebut.
  8. Bola itu tertulis di dalam silinder. Luas permukaan bola adalah 111. Hitunglah luas permukaan seluruh silinder.
  9. Temukan arti dari ekspresi tersebut
  10. Untuk memperoleh gambar bola lampu yang diperbesar pada layar di laboratorium, digunakan lensa konvergen dengan panjang fokus utama cm. Jarak lensa ke bola lampu dapat bervariasi dari 30 hingga 50 cm, dan jaraknya dari lensa ke layar dapat bervariasi dari 150 hingga 180 cm. Gambar di layar akan jelas jika rasionya terpenuhi. Tunjukkan pada jarak minimum dari lensa bola lampu dapat ditempatkan sehingga gambarnya di layar terlihat jelas. Nyatakan jawaban Anda dalam sentimeter.
  11. Jarak antara dermaga A dan B adalah 120 km. Sebuah rakit berangkat dari A ke B menyusuri sungai, dan satu jam kemudian sebuah kapal pesiar berangkat mengejarnya, yang setelah sampai di titik B, segera berbalik dan kembali ke A. Saat itu, rakit tersebut telah menempuh jarak 24 km. Hitunglah kecepatan kapal pesiar di air tenang jika kecepatan sungai 2 km/jam. Berikan jawaban Anda dalam km/jam.
  12. Temukan titik maksimum dari fungsi tersebut.
  13. a) Selesaikan persamaannya ; b) Tunjukkan akar-akar persamaan yang termasuk dalam segmen tersebut.
  14. Pada rusuk AB dan BC piramida segitiga ABCD diberi tanda titik M dan N berturut-turut dengan AM:MB = CN:NB = 3:1. Titik P dan Q masing-masing merupakan titik tengah sisi DA dan DC.
    a) Buktikan bahwa titik P,Q,M dan N terletak pada bidang yang sama;
    b) Tentukan perbandingan bidang ini membagi volume limas.
  15. Selesaikan ketimpangan tersebut
  16. Titik E merupakan titik tengah sisi lateral CD trapesium ABCD. Pada sisi AB kita ambil titik K sehingga garis SK dan AE sejajar. Ruas SC dan BE berpotongan di titik O.
    a) Buktikan bahwa CO=KO.
    b) Tentukan perbandingan alas trapesium BC : AD jika luas segitiga BC adalah 9/64 dari luas seluruh trapesium ABCD.
  17. Pada bulan Juli direncanakan untuk mengambil pinjaman bank dengan jumlah tertentu. Syarat pengembaliannya adalah sebagai berikut:
    - setiap bulan Januari utang meningkat sebesar r% dibandingkan akhir tahun sebelumnya;
    - Dari bulan Februari sampai Juni setiap tahun perlu membayar sebagian utangnya.
    Temukan r jika diketahui bahwa jika Anda membayar 777.600 rubel, pinjaman akan dilunasi dalam 4 tahun, dan jika Anda membayar 1.317.600 rubel setiap tahun, maka pinjaman akan dilunasi seluruhnya dalam 2 tahun?
  18. Temukan semua nilai parameter yang masing-masing persamaannya memiliki tepat satu akar pada intervalnya.
  19. Masing-masing dari 32 siswa menulis salah satu dari dua tes, atau menulis kedua tes. Untuk setiap pekerjaan, Anda bisa mendapatkan sejumlah poin bilangan bulat dari 0 hingga 20 inklusif. Untuk masing-masing dari dua kertas ujian secara terpisah, nilai rata-ratanya adalah 14. Kemudian setiap siswa menyebutkan nilai tertingginya (jika siswa tersebut menulis satu makalah, maka dia menyebutkan nilainya). Rata-rata aritmatika dari titik-titik yang disebutkan ternyata sama dengan S.
    a) Berikan contoh ketika S<14
    b) Mungkinkah nilai S sama dengan 17?
    c) Berapakah nilai terkecil yang dapat diambil S jika kedua tes tersebut ditulis oleh 12 siswa?