Dalam artikel ini, metode tersebut dianggap sebagai metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SLAE). Metode ini bersifat analitis, yaitu memungkinkan Anda untuk menulis algoritma solusi dalam bentuk umum, dan kemudian mengganti nilai dari contoh spesifik di sana. Berbeda dengan metode matriks atau rumus Cramer, saat menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss, Anda juga dapat mengerjakan persamaan yang memiliki jumlah solusi tak terhingga. Atau mereka tidak memilikinya sama sekali.
Apa yang dimaksud dengan penyelesaian dengan metode Gaussian?
Pertama, kita perlu menulis sistem persamaan kita pada tampilannya seperti ini. Ambil sistemnya:
Koefisien ditulis dalam bentuk tabel, dan suku bebasnya ditulis pada kolom tersendiri di sebelah kanan. Kolom dengan anggota bebas dipisahkan untuk memudahkan. Matriks yang memuat kolom ini disebut diperluas.
Selanjutnya, matriks utama dengan koefisien harus direduksi menjadi bentuk segitiga atas. Inilah inti penyelesaian sistem dengan metode Gaussian. Sederhananya, setelah manipulasi tertentu, matriks akan terlihat sedemikian rupa sehingga bagian kiri bawahnya hanya berisi angka nol:
Kemudian, jika Anda menulis matriks baru lagi sebagai sistem persamaan, Anda akan melihat bahwa baris terakhir sudah berisi nilai salah satu akar, yang kemudian disubstitusikan ke persamaan di atas, ditemukan akar lain, dan seterusnya.
Berikut adalah penjelasan solusi metode Gaussian secara paling umum. Apa yang terjadi jika tiba-tiba sistem tidak mempunyai solusi? Atau apakah jumlah mereka sangat banyak? Untuk menjawab pertanyaan ini dan banyak pertanyaan lainnya, perlu dipertimbangkan secara terpisah semua elemen yang digunakan dalam menyelesaikan metode Gaussian.
Matriks, sifat-sifatnya
Tidak ada makna tersembunyi dalam matriks tersebut. Ini hanyalah cara mudah untuk merekam data untuk operasi selanjutnya dengannya. Bahkan anak sekolah pun tidak perlu takut pada mereka.
Matriksnya selalu berbentuk persegi panjang, karena lebih nyaman. Bahkan dalam metode Gauss, di mana semuanya bermuara pada pembuatan matriks berbentuk segitiga, sebuah persegi panjang muncul di entri, hanya dengan nol di tempat yang tidak ada angkanya. Angka nol mungkin tidak tertulis, tetapi tersirat.
Matriks memiliki ukuran. “Lebar” adalah jumlah baris (m), “panjang” adalah jumlah kolom (n). Maka ukuran matriks A (biasanya huruf latin kapital digunakan untuk menyatakannya) akan dinotasikan sebagai A m×n. Jika m=n, maka matriks tersebut berbentuk persegi, dan m=n adalah ordenya. Oleh karena itu, setiap elemen matriks A dapat dilambangkan dengan nomor baris dan kolomnya: a xy ; x - nomor baris, perubahan, y - nomor kolom, perubahan.
B bukanlah poin utama keputusan. Pada prinsipnya, semua operasi dapat dilakukan secara langsung dengan persamaan itu sendiri, tetapi notasinya akan jauh lebih rumit, dan akan lebih mudah untuk menjadi bingung.
Penentu
Matriks juga mempunyai determinan. Ini adalah karakteristik yang sangat penting. Tidak perlu mencari tahu maknanya sekarang; Anda cukup menunjukkan cara penghitungannya, lalu mengetahui properti matriks apa yang ditentukannya. Cara termudah untuk mencari determinan adalah melalui diagonal. Diagonal imajiner digambar dalam matriks; elemen-elemen yang terletak pada masing-masingnya dikalikan, dan kemudian produk yang dihasilkan ditambahkan: diagonal dengan kemiringan ke kanan - dengan tanda plus, dengan kemiringan ke kiri - dengan tanda minus.
Penting untuk diperhatikan bahwa determinan hanya dapat dihitung untuk matriks persegi. Untuk matriks persegi panjang, Anda dapat melakukan hal berikut: pilih yang terkecil dari jumlah baris dan jumlah kolom (biarkan k), lalu tandai secara acak k kolom dan k baris dalam matriks. Elemen-elemen pada perpotongan kolom dan baris yang dipilih akan membentuk matriks persegi baru. Jika determinan matriks tersebut adalah bilangan bukan nol, maka disebut basis minor matriks persegi panjang asal.
Sebelum Anda mulai menyelesaikan suatu sistem persamaan dengan metode Gaussian, tidak ada salahnya untuk menghitung determinannya. Jika ternyata nol, maka kita dapat langsung mengatakan bahwa matriks tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga atau tidak ada solusi sama sekali. Dalam kasus yang menyedihkan ini, Anda perlu melangkah lebih jauh dan mencari tahu tentang peringkat matriks.
Klasifikasi sistem
Ada yang namanya pangkat suatu matriks. Ini adalah orde maksimum dari determinan bukan nolnya (jika kita mengingat tentang basis minor, kita dapat mengatakan bahwa pangkat suatu matriks adalah orde dari basis minor).
Berdasarkan situasi peringkatnya, SLAE dapat dibagi menjadi:
- Persendian. kamu Dalam sistem gabungan, pangkat matriks utama (hanya terdiri dari koefisien) bertepatan dengan pangkat matriks yang diperluas (dengan kolom suku bebas). Sistem seperti itu mempunyai solusi, tetapi belum tentu satu, oleh karena itu sistem gabungan juga dibagi menjadi:
- - yakin- memiliki solusi tunggal. Dalam sistem tertentu, pangkat matriks dan jumlah yang tidak diketahui (atau jumlah kolom, yang merupakan hal yang sama) adalah sama;
- - belum diartikan - dengan jumlah solusi yang tidak terbatas. Pangkat matriks dalam sistem seperti itu lebih kecil dari jumlah matriks yang tidak diketahui.
- Tidak kompatibel. kamu Dalam sistem seperti itu, barisan matriks utama dan matriks yang diperluas tidak berhimpitan. Sistem yang tidak kompatibel tidak memiliki solusi.
Metode Gauss bagus karena selama penyelesaiannya memungkinkan seseorang memperoleh bukti yang jelas tentang ketidakkonsistenan sistem (tanpa menghitung determinan matriks besar), atau solusi dalam bentuk umum untuk sistem dengan jumlah solusi tak terbatas.
Transformasi dasar
Sebelum melanjutkan langsung ke penyelesaian sistem, Anda dapat membuatnya tidak terlalu rumit dan lebih nyaman untuk perhitungan. Hal ini dicapai melalui transformasi dasar - sehingga implementasinya tidak mengubah jawaban akhir dengan cara apa pun. Perlu dicatat bahwa beberapa transformasi dasar di atas hanya berlaku untuk matriks yang bersumber dari SLAE. Berikut adalah daftar transformasi tersebut:
- Menata ulang garis. Jelasnya, jika Anda mengubah urutan persamaan dalam catatan sistem, hal ini tidak akan mempengaruhi penyelesaian dengan cara apa pun. Oleh karena itu, baris-baris dalam matriks sistem ini juga dapat dipertukarkan, tentu saja tidak melupakan kolom suku bebas.
- Mengalikan semua elemen string dengan koefisien tertentu. Sangat membantu! Ini dapat digunakan untuk mengurangi angka besar dalam matriks atau menghilangkan angka nol. Banyak keputusan, seperti biasa, tidak akan berubah, namun pengoperasian selanjutnya akan menjadi lebih nyaman. Yang utama adalah koefisiennya tidak sama dengan nol.
- Menghapus baris dengan faktor proporsional. Ini sebagian mengikuti paragraf sebelumnya. Jika dua baris atau lebih dalam suatu matriks mempunyai koefisien proporsional, maka ketika salah satu baris dikalikan/dibagi dengan koefisien proporsionalitas, diperoleh dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang benar-benar identik, dan baris tambahannya dapat dihilangkan, sehingga menyisakan hanya satu.
- Menghapus garis nol. Jika, selama transformasi, diperoleh suatu baris yang semua elemennya, termasuk suku bebasnya, adalah nol, maka baris tersebut dapat disebut nol dan dikeluarkan dari matriks.
- Menjumlahkan elemen-elemen dari satu baris dengan elemen-elemen lainnya (di kolom yang sesuai), dikalikan dengan koefisien tertentu. Transformasi yang paling tidak terlihat dan paling penting dari semuanya. Ada baiknya membahasnya lebih detail.
Menambahkan string dikalikan dengan faktor
Untuk memudahkan pemahaman, ada baiknya menguraikan proses ini langkah demi langkah. Dua baris diambil dari matriks:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Katakanlah Anda perlu menambahkan yang pertama ke yang kedua, dikalikan dengan koefisien "-2".
sebuah" 21 = sebuah 21 + -2×sebuah 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Kemudian baris kedua dalam matriks diganti dengan yang baru, dan baris pertama tetap tidak berubah.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Perlu dicatat bahwa koefisien perkalian dapat dipilih sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil penjumlahan dua baris, salah satu elemen baris baru sama dengan nol. Akibatnya, adalah mungkin untuk memperoleh persamaan dalam suatu sistem di mana terdapat satu persamaan yang lebih sedikit yang tidak diketahui. Dan jika Anda mendapatkan dua persamaan seperti itu, maka operasi dapat dilakukan lagi dan mendapatkan persamaan yang berisi dua persamaan yang lebih sedikit. Dan jika setiap kali Anda mengubah satu koefisien menjadi nol untuk semua baris yang berada di bawah koefisien awal, maka Anda dapat, seperti tangga, turun ke bagian paling bawah matriks dan mendapatkan persamaan dengan satu koefisien yang tidak diketahui. Ini disebut penyelesaian sistem menggunakan metode Gaussian.
Secara umum
Biarlah ada sistem. Ia mempunyai m persamaan dan n akar yang tidak diketahui. Anda dapat menulisnya sebagai berikut:
Matriks utama disusun dari koefisien sistem. Kolom suku bebas ditambahkan ke matriks yang diperluas dan, untuk memudahkan, dipisahkan oleh sebuah garis.
- baris pertama matriks dikalikan dengan koefisien k = (-a 21 /a 11);
- baris pertama yang diubah dan baris kedua matriks ditambahkan;
- sebagai ganti baris kedua, hasil penjumlahan dari paragraf sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
- sekarang koefisien pertama pada baris kedua yang baru adalah a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Sekarang rangkaian transformasi yang sama dilakukan, hanya baris pertama dan ketiga yang terlibat. Oleh karena itu, pada setiap langkah algoritma, elemen a 21 digantikan oleh 31. Kemudian semuanya diulangi untuk 41, ... a m1. Hasilnya adalah matriks yang elemen pertama pada barisnya adalah nol. Sekarang Anda harus melupakan baris nomor satu dan melakukan algoritma yang sama, mulai dari baris kedua:
- koefisien k = (-a 32 /a 22);
- baris kedua yang diubah ditambahkan ke baris "saat ini";
- hasil penjumlahan tersebut disubstitusikan pada baris ketiga, keempat, dan seterusnya, sedangkan baris pertama dan kedua tidak berubah;
- pada baris-baris matriks, dua elemen pertama sudah sama dengan nol.
Algoritma harus diulang sampai koefisien k = (-am,m-1 /a mm) muncul. Artinya terakhir kali algoritma dieksekusi hanya untuk persamaan yang lebih rendah. Sekarang matriksnya tampak seperti segitiga, atau berbentuk berundak. Intinya ada persamaan a mn × x n = b m. Koefisien dan suku bebasnya diketahui, dan akarnya dinyatakan melaluinya: x n = b m /a mn. Akar yang dihasilkan disubstitusikan ke baris paling atas untuk mencari x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))±a m-1,n-1. Dan seterusnya dengan analogi: di setiap baris berikutnya ada root baru, dan, setelah mencapai "puncak" sistem, Anda dapat menemukan banyak solusi. Itu akan menjadi satu-satunya.
Ketika tidak ada solusi
Jika dalam salah satu baris matriks semua elemen kecuali suku bebas sama dengan nol, maka persamaan yang bersesuaian dengan baris tersebut terlihat seperti 0 = b. Tidak ada solusi. Dan karena persamaan seperti itu termasuk dalam sistem, maka himpunan solusi seluruh sistem adalah kosong, yaitu merosot.
Ketika terdapat solusi yang jumlahnya tak terhingga
Mungkin saja dalam matriks segitiga tertentu tidak ada baris dengan satu elemen koefisien persamaan dan satu suku bebas. Hanya ada garis yang jika ditulis ulang akan terlihat seperti persamaan dengan dua variabel atau lebih. Artinya sistem mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga. Dalam hal ini jawabannya dapat diberikan dalam bentuk solusi umum. Bagaimana cara melakukannya?
Semua variabel dalam matriks dibagi menjadi dasar dan bebas. Yang dasar adalah yang berdiri “di tepi” baris-baris dalam matriks langkah. Sisanya gratis. Dalam solusi umum, variabel dasar dituliskan melalui variabel bebas.
Untuk memudahkan, matriks terlebih dahulu ditulis ulang menjadi sistem persamaan. Kemudian pada variabel terakhir, yang hanya tersisa satu variabel dasar, variabel tersebut tetap berada di satu sisi, dan semua variabel lainnya dipindahkan ke sisi lainnya. Hal ini dilakukan untuk setiap persamaan dengan satu variabel dasar. Kemudian, dalam persamaan lainnya, jika memungkinkan, ekspresi yang diperoleh diganti dengan variabel dasar. Jika hasilnya lagi-lagi merupakan ekspresi yang hanya berisi satu variabel dasar, maka hasilnya akan dinyatakan lagi dari sana, dan seterusnya, hingga setiap variabel dasar ditulis sebagai ekspresi dengan variabel bebas. Ini adalah solusi umum SLAE.
Anda juga dapat menemukan solusi dasar sistem - berikan nilai apa pun pada variabel bebas, lalu untuk kasus khusus ini hitung nilai variabel dasar. Ada banyak sekali solusi khusus yang dapat diberikan.
Solusi dengan contoh spesifik
Berikut adalah sistem persamaan.
Untuk kenyamanan, lebih baik segera membuat matriksnya
Diketahui bahwa jika diselesaikan dengan metode Gaussian, persamaan yang bersesuaian dengan baris pertama akan tetap tidak berubah pada akhir transformasi. Oleh karena itu, akan lebih menguntungkan jika elemen kiri atas matriks adalah yang terkecil - maka elemen pertama dari baris yang tersisa setelah operasi akan menjadi nol. Artinya, dalam matriks yang dikompilasi, akan lebih menguntungkan jika baris kedua ditempatkan di tempat baris pertama.
baris kedua: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
baris ketiga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Sekarang, agar tidak bingung, Anda perlu menuliskan matriks dengan hasil antara transformasinya.
Jelasnya, matriks seperti itu dapat dibuat lebih nyaman untuk dilihat dengan menggunakan operasi tertentu. Misalnya, Anda dapat menghapus semua “minus” dari baris kedua dengan mengalikan setiap elemen dengan “-1”.
Perlu juga dicatat bahwa pada baris ketiga semua elemen adalah kelipatan tiga. Kemudian Anda dapat mempersingkat string dengan angka ini dengan mengalikan setiap elemen dengan "-1/3" (dikurangi - sekaligus menghilangkan nilai negatif).
Terlihat jauh lebih bagus. Sekarang kita perlu meninggalkan baris pertama dan bekerja dengan baris kedua dan ketiga. Tugasnya adalah menambahkan baris kedua ke baris ketiga, dikalikan dengan koefisien sedemikian rupa sehingga elemen a 32 menjadi sama dengan nol.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jika pada beberapa transformasi jawabannya tidak berupa bilangan bulat, disarankan untuk menjaga keakuratan perhitungan untuk meninggalkan itu “sebagaimana adanya”, dalam bentuk pecahan biasa, dan baru setelah itu, ketika jawabannya sudah diterima, putuskan apakah akan dibulatkan dan diubah ke bentuk pencatatan lain)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matriksnya ditulis lagi dengan nilai baru.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Seperti yang Anda lihat, matriks yang dihasilkan sudah berbentuk bertahap. Oleh karena itu, transformasi sistem lebih lanjut menggunakan metode Gaussian tidak diperlukan. Yang dapat Anda lakukan di sini adalah menghilangkan koefisien keseluruhan "-1/7" dari baris ketiga.
Sekarang semuanya indah. Yang perlu dilakukan hanyalah menuliskan kembali matriks tersebut dalam bentuk sistem persamaan dan menghitung akar-akarnya
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritme yang digunakan untuk menemukan akar-akarnya sekarang disebut langkah terbalik dalam metode Gaussian. Persamaan (3) mengandung nilai z:
kamu = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Dan persamaan pertama memungkinkan kita mencari x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Kita berhak menyebut sistem seperti itu gabungan, dan bahkan pasti, yaitu memiliki solusi unik. Jawabannya ditulis dalam bentuk berikut:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Contoh sistem yang tidak pasti
Varian penyelesaian sistem tertentu dengan menggunakan metode Gauss telah dianalisis; sekarang perlu untuk mempertimbangkan kasus jika sistem tersebut tidak pasti, yaitu, banyak solusi yang dapat ditemukan untuk sistem tersebut.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Kemunculan sistem itu sendiri sudah memprihatinkan, karena banyaknya yang tidak diketahui adalah n = 5, dan rank matriks sistem sudah tepat lebih kecil dari bilangan tersebut, karena banyaknya barisnya adalah m = 4, yaitu, orde tertinggi dari determinan-kuadrat adalah 4. Artinya, terdapat jumlah solusi yang tak terhingga, dan Anda perlu mencari tampilan umumnya. Metode Gauss untuk persamaan linier memungkinkan Anda melakukan hal ini.
Pertama, seperti biasa, matriks yang diperluas dikompilasi.
Baris kedua: koefisien k = (-a 21 /a 11) = -3. Pada baris ketiga, elemen pertama ada sebelum transformasi, jadi Anda tidak perlu menyentuh apa pun, Anda harus membiarkannya apa adanya. Baris keempat: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Dengan mengalikan elemen-elemen baris pertama dengan masing-masing koefisiennya secara bergantian dan menambahkannya ke baris-baris yang diperlukan, kita memperoleh matriks dengan bentuk berikut:
Seperti yang Anda lihat, baris kedua, ketiga dan keempat terdiri dari elemen-elemen yang sebanding satu sama lain. Yang kedua dan keempat umumnya identik, jadi salah satunya bisa langsung dihilangkan, dan sisanya bisa dikalikan dengan koefisien “-1” dan mendapatkan garis nomor 3. Dan lagi, dari dua garis yang identik, sisakan satu.
Hasilnya adalah matriks seperti ini. Meskipun sistemnya belum ditulis, variabel dasar perlu ditentukan di sini - variabel yang berada pada koefisien a 11 = 1 dan a 22 = 1, dan variabel bebas - sisanya.
Dalam persamaan kedua hanya ada satu variabel dasar - x 2. Artinya dapat dinyatakan dari sana dengan menuliskannya melalui variabel x 3 , x 4 , x 5 , yang bebas.
Kami mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan pertama.
Hasilnya adalah persamaan yang variabel dasarnya hanya x 1 . Mari kita lakukan hal yang sama seperti pada x 2.
Semua variabel dasar, yang ada dua, dinyatakan dalam tiga variabel bebas; sekarang kita dapat menuliskan jawabannya dalam bentuk umum.
Anda juga dapat menentukan salah satu solusi tertentu dari sistem. Untuk kasus seperti itu, angka nol biasanya dipilih sebagai nilai variabel bebas. Maka jawabannya adalah:
16, 23, 0, 0, 0.
Contoh sistem non kooperatif
Menyelesaikan sistem persamaan yang tidak kompatibel menggunakan metode Gauss adalah yang tercepat. Ini berakhir segera setelah pada salah satu tahap diperoleh persamaan yang tidak memiliki solusi. Artinya, tahap penghitungan akar yang cukup panjang dan melelahkan dihilangkan. Sistem berikut dipertimbangkan:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Seperti biasa, matriks dikompilasi:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Dan itu direduksi menjadi bentuk bertahap:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Setelah transformasi pertama, baris ketiga berisi persamaan bentuk
tanpa solusi. Akibatnya, sistem menjadi tidak konsisten dan jawabannya adalah himpunan kosong.
Keuntungan dan kerugian dari metode ini
Jika Anda memilih metode penyelesaian SLAE di atas kertas dengan pena, maka metode yang dibahas dalam artikel ini terlihat paling menarik. Jauh lebih sulit untuk menjadi bingung dalam transformasi dasar dibandingkan jika Anda harus mencari determinan atau matriks invers yang rumit secara manual. Namun jika Anda menggunakan program untuk bekerja dengan data jenis ini, misalnya spreadsheet, maka ternyata program tersebut sudah berisi algoritma untuk menghitung parameter utama matriks - determinan, minor, invers, dan sebagainya. Dan jika yakin mesin akan menghitung sendiri nilai-nilai tersebut dan tidak melakukan kesalahan, lebih disarankan menggunakan metode matriks atau rumus Cramer, karena penggunaannya diawali dan diakhiri dengan perhitungan determinan dan matriks invers.
Aplikasi
Karena solusi Gaussian adalah sebuah algoritma, dan matriksnya sebenarnya adalah array dua dimensi, maka solusi tersebut dapat digunakan dalam pemrograman. Namun karena artikel tersebut memposisikan dirinya sebagai panduan “untuk orang bodoh”, maka harus dikatakan bahwa tempat termudah untuk menerapkan metode ini adalah spreadsheet, misalnya Excel. Sekali lagi, setiap SLAE yang dimasukkan ke dalam tabel dalam bentuk matriks akan dianggap oleh Excel sebagai array dua dimensi. Dan untuk operasi dengan mereka ada banyak perintah yang bagus: penjumlahan (Anda hanya dapat menjumlahkan matriks dengan ukuran yang sama!), perkalian dengan angka, perkalian matriks (juga dengan batasan tertentu), mencari matriks invers dan transposisi dan, yang paling penting , menghitung determinannya. Jika tugas yang memakan waktu ini diganti dengan satu perintah, maka dimungkinkan untuk menentukan peringkat matriks lebih cepat dan, oleh karena itu, menetapkan kompatibilitas atau ketidakcocokan.
Dalam hal ini, selain memenuhi persyaratan A kk0 ketika menerapkan rumus (6), persyaratan tambahan diberlakukan agar elemen utama (utama) pada kolom saat ini dalam proses transformasi matriks asli memiliki nilai absolut maksimum. Hal ini juga dicapai dengan menata ulang baris-baris matriks.
Contoh. Untuk mengilustrasikan keuntungan metode Gaussian yang dimodifikasi, pertimbangkan sistem orde ketiga:
Pukulan langsung dari metode Gaussian
Kami mengecualikan X 1 dari persamaan kedua dan ketiga. Caranya, kalikan persamaan pertama dengan 0,3 dan tambahkan dengan persamaan kedua, lalu kalikan persamaan pertama dengan (–0,5) dan tambahkan dengan persamaan ketiga. Hasilnya kita dapatkan
(B)
Persamaan kedua tidak digantikan oleh persamaan ketiga, karena perhitungan dilakukan dalam kerangka aritmatika eksak.
Mengalikan persamaan kedua dengan 25 dan menjumlahkannya dengan persamaan ketiga, kita mendapatkan
(V)
Metode Gaussian terbalik
Kami melakukan perhitungan mulai dari persamaan terakhir dalam sistem yang dihasilkan:
Mengganti solusi yang dihasilkan ke dalam sistem asli, kami yakin akan kebenarannya.
Sekarang kita akan mengubah koefisien sistem sedemikian rupa untuk mempertahankan solusi sebelumnya, tetapi selama perhitungan kita akan menggunakan pembulatan dalam kerangka aritmatika floating point, dengan mempertahankan lima digit. Sistem berikut akan sesuai dengan hal ini
(G)
Metode langsung untuk sistem ( G) kami akan mengulangi menggunakan teknologi serupa dengan sistem aslinya ( A).
(D)
Setelah eliminasi X 2, persamaan ketiga akan berbentuk (sisanya tidak berubah)
15005 X 3 = 15004. (e)
Melakukan langkah sebaliknya, kita dapatkan
Jelas bahwa solusi yang diperoleh dan [–0,35; –1.4; 0,99993] berbeda. Alasannya adalah kecilnya nilai elemen utama pada persamaan transformasi kedua di ( D). Untuk menghilangkan ini, kami mengatur ulang di ( D) baris kedua dan ketiga
(Dan)
Untuk sistem ini setelah pengecualian X 2 dari persamaan ketiga akan berbentuk sebagai berikut
6,002 X 3 = 6,002. (H)
Dalam hal ini, lakukan gerakan sebaliknya
kami mendapatkan solusi untuk sistem ( G) yang sama persis dengan solusi sistem aslinya.
Memecahkan sistem ( G) kami menggunakan metode Gaussian yang dimodifikasi, di mana elemen maksimum pada kolom saat ini harus berada pada diagonal.
Mari kita perhatikan diagram blok metode Gaussian yang dimodifikasi (Gbr. 2.1).
Beras. 2.1. Diagram blok metode Gaussian yang dimodifikasi
Mari kita menganalisis skema yang diusulkan menggunakan contoh suatu sistem N=3 (=0,001)
(8)
;
.
(*)
Memblokir 1. Memasukkan data awal: N– urutan sistem, A– matriks koefisien untuk hal yang tidak diketahui, B– vektor suku bebas.
Memblokir 2. Siklus pukulan ke depan ke-I (untuk k, bervariasi dari 1 hingga nilai kedua dari belakang, mis. sebelum N–1) memberikan pengecualian dari diagonal utama matriks A elemen A kk=0 berkat pencarian elemen maksimum A kk pada kolom saat ini, dilakukan pada blok 36 menggunakan loopII.
Kemudian dilakukan perhitungan dengan menggunakan rumus (6) gerak maju Gaussian pada blok siklus IV dan V.
Mari kita melakukan analisis blok demi blok di lingkungan siklus IV yang dipertimbangkan menggunakan contoh (8).
Memblokir 3P =k = 1
Memasuki Siklus II
Memblokir 4M =k+1 = 2 sampai N = 3
Memblokir 5A 11 = 2 <A 21 = 4 dari (*)
Memblokir 6P= 2
Memblokir 4M= 2+1 = 3
Memblokir 5A 21 = 4 <A 31 = 6 dari (*)
Memblokir 6P= 3
Keluar dari siklus II dan memasuki siklus III, blok 710 melakukan permutasi baris matriks A elemen demi elemen
Memblokir 7J= 1 (J dari 1 hingga 3)
Memblokir 8 R = A 11 = 2 dari (*)
Memblokir 9 A 11 = A 31 = 6
Memblokir 10 A 31 = R
Memblokir 7 J = 2
Memblokir 8 R = A 12 = 1
Memblokir 9 A 12 = A 32 = 5
Memblokir 10 A 32 = R = 1
Memblokir 7J= 3 dan dengan analogi R=A 13 ;A 13 =A 33 ;A 33 =R= −1.
Keluar dari siklus III dan masuk Memblokir 11 dan selanjutnya 1213 melakukan penataan ulang serupa terhadap nilai suku bebas
R=B 1 = 1;B 1 = B 3 = 14;B 3 =r= 1.
Memasuki siklus IV dengan sistem yang dimodifikasi
;
;
(**)
untuk perhitungan ulang B 2 vektor 
M=k+1 = 1+1 = 2 sampai N= 3
C = A mk / A kk = A 21 / A 11 = 4/6 dari (**)
B 2 =B 2 –C B 1 = 6 – 4/614 = −20/6 dari (**)
Memasuki loop bersarang V untuk menghitung ulang baris kedua
Saya = 1 (Saya dari 1 sampai 3); A 21 = A 21 – Dengan A 11 = 4 – 4/6 6 = 0;
Saya = 2; A 22 = A 22 – Dengan A 12 = 6 – 4/6 5 = 16/6;
Saya = 3; A 23 = A 23 – Dengan A 13 = 2 – 4/6 8 = −20/6.
Keluar dari siklus V dan masuk ke siklus IV
M= 3;C=A 31 /A 11 = 2/6.
Gabung Memblokir 16
B 3 =B 3 –C B 1 = 1 – 2/614 = −22/6.
Keluar dari siklus IV dan masuk ke siklus V dan masuk Memblokir 17
Saya = 1 (Saya dari 1 sampai 3); A 31 = A 31 – Dengan A 11 = 2 – 2/6 6 = 0;
Saya = 2; A 32 = A 32 – Dengan A 12 = 1 – 2/6 5 = −4/6;
Saya = 3; A 33 = A 33 – Dengan A 13 = −1 – 2/6 8 = −22/6.
Keluar dari siklus V dengan sistem transformasi
;
;
(***)
dan entri garis A pada siklus I
k = 2;P =k = 2;M =k+1 = 3; pintu masuk ke Memblokir 5
| A 22 | < |A 32 | = | 16/6 | > | 4/6 | dari (***).
Keluar dari siklus II dan memasuki siklus III
J = 2 (J dari 2 hingga 3);
R = A kj = A 22 = 16/6; A 22 = A 22 ; A 22 = R= 16/6; dari (***)
R=A 23 = −20/6;A 23 =A 23 ;A 23 =R= −20/6; dari (***)
Dalam hal ini, terdapat elemen maksimum pada diagonal, sehingga pertukaran baris ke-2 dan ke-3 tidak dilakukan.
Keluar dari siklus III dan masuk ke siklus Ic Memblokir 11
R=B 2 ;B 2 = B 2 ;B 2 =r= −20/6.
Anggota gratis B 2 tetap di tempatnya.
Memasuki Siklus IV
M=k+1 = 2+1 = 3;
C = A mk / A kk = A 32 / A 22 = (–4/6) / (16/6); dari (***)
B 3 =B 3 –C B 2 = −22/6 – (–1/4)(–20/6) = −27/6 dari (***)
Keluar dari siklus IV dan masuk ke siklus V
Saya = 2 (Saya dari 2 hingga 3); A 32 = A 32 – Dengan A 22 = −4/6 – (–1/4) 16/6 = 0;
Saya= 3;A 33 =A 33 –DenganA 23 = −22/6 – (–1/4)(–20/6) = −27/6.
Keluar dari siklus V dan keluar dari siklus I.
Metode Gaussian terbalik
DI DALAM Blok 1924 rumus (7) diterapkan.
DI DALAM Memblokir 19 dari persamaan terakhir nilainya ditemukan X N (N= 3)
X 3 =B N / A nn =B 3 / A 33 = (–27/6) / (–27/6) = 1.
Memasuki siklus VI( Memblokir 20), di mana nilai variabel loop k bervariasi dari N–1 banding 1 dalam langkah (–1)
Memblokir 21 detik = 0
Memasuki siklus VII( Memblokir 22)
Saya = k+1 = 2+1 = 3; N = 3; S = S + A ki X Saya = 0 + A 23 X 3 = −20/6 1 = −20/6.
Keluar dari siklus VII Memblokir 24 per siklusVI:
k = 2; X 2 = (B k-S)/ A nn = (B 2 – s)/ A 22 = (–20/6 +20/6)/A 22 = 0.
k=k–1 = 2–1 = 1;
Saya = k + 1 = 2; S = 0 + A 12 X 2 = 5 0 = 0;
Saya = k + 1 = 3; S = 0 + A 13 X 3 = 8 1 = 8;
X 1 = (B 1 –s)/ A 11 = (14 – 8) / 6 = 1.
Keluar dari siklus VII yang terakhir.
DI DALAM Memblokir 25 (siklus dihilangkan) solusi yang dihasilkan dari SLAE - vektor ditampilkan di layar 
itu. X Saya ,Saya=1, ...,N. Dalam kasus kami (1; 0; 1).
metode Gauss adalah metode menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara berurutan.
Inti dari metode Gauss adalah mengubah (1) menjadi sistem dengan matriks segitiga, yang kemudian diperoleh nilai semua yang tidak diketahui secara berurutan (terbalik). Mari kita pertimbangkan salah satu skema komputasi. Rangkaian ini disebut rangkaian pembagian tunggal. Jadi mari kita lihat diagram ini. Misalkan a 11 ≠0 (elemen utama) membagi persamaan pertama dengan 11. Kita mendapatkan
(2)
Dengan menggunakan persamaan (2), mudah untuk menghilangkan yang tidak diketahui x 1 dari persamaan sistem yang tersisa (untuk melakukan ini, cukup dengan mengurangi persamaan (2) dari setiap persamaan, yang sebelumnya dikalikan dengan koefisien yang sesuai untuk x 1) , yaitu pada langkah pertama yang kita peroleh
.
Dengan kata lain, pada langkah 1, setiap elemen baris berikutnya, mulai dari baris kedua, sama dengan selisih antara elemen asli dan hasil kali “proyeksinya” ke kolom pertama dan baris pertama (yang diubah).
Setelah ini, dengan membiarkan persamaan pertama saja, kami melakukan transformasi serupa pada sisa persamaan sistem yang diperoleh pada langkah pertama: kami memilih persamaan dengan elemen utama di antara persamaan tersebut dan, dengan bantuannya, mengecualikan x 2 dari yang tersisa persamaan (langkah 2).
Setelah n langkah, alih-alih (1), kita memperoleh sistem ekuivalen 
(3)
Jadi, pada tahap pertama kita memperoleh sistem segitiga (3). Tahap ini disebut pukulan ke depan.
Pada tahap kedua (terbalik), kita mencari secara berurutan dari (3) nilai x n, x n -1, ..., x 1.
Mari kita nyatakan solusi yang dihasilkan sebagai x 0 . Maka selisihnya ε=b-A x 0 disebut sisa.
Jika ε=0, maka solusi yang ditemukan x 0 benar.
Perhitungan menggunakan metode Gaussian dilakukan dalam dua tahap:
- Tahap pertama disebut metode maju. Pada tahap pertama, sistem asli diubah menjadi bentuk segitiga.
- Tahap kedua disebut pukulan terbalik. Pada tahap kedua, sistem segitiga yang setara dengan sistem aslinya diselesaikan.
Pada setiap langkah, elemen utama diasumsikan bukan nol. Jika tidak demikian, maka elemen lain dapat digunakan sebagai elemen utama, seolah-olah menata ulang persamaan sistem.
Tujuan dari metode Gauss
Metode Gauss dirancang untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Mengacu pada metode solusi langsung.Jenis metode Gaussian
- Metode Gaussian klasik;
- Modifikasi metode Gauss. Salah satu modifikasi metode Gaussian adalah skema dengan pemilihan elemen utama. Ciri metode Gauss dengan pemilihan elemen utama adalah penataan ulang persamaan sehingga pada langkah ke-k elemen utama menjadi elemen terbesar pada kolom ke-k.
- metode Jordano-Gauss;
Mari kita ilustrasikan perbedaannya Metode Jordano-Gauss dari metode Gaussian dengan contoh.
Contoh penyelesaian menggunakan metode Gauss
Mari kita selesaikan sistemnya: 
Untuk memudahkan penghitungan, mari kita tukar barisnya: 
Mari kalikan baris ke-2 dengan (2). Tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2 
Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1 
Dari baris pertama kita nyatakan x 3:
Dari baris ke-2 kita nyatakan x 2:
Dari baris ke-3 kita nyatakan x 1: 
Contoh penyelesaian dengan metode Jordano-Gauss
Mari kita selesaikan SLAE yang sama menggunakan metode Jordano-Gauss. 
Kami akan memilih elemen penyelesaian RE secara berurutan, yang terletak pada diagonal utama matriks.
Elemen resolusi sama dengan (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - elemen penyelesaian (1), A dan B - elemen matriks yang membentuk persegi panjang dengan elemen STE dan RE.
Mari kita sajikan perhitungan setiap elemen dalam bentuk tabel:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Elemen penyelesaiannya sama dengan (3).
Sebagai ganti elemen penyelesaian kita mendapatkan 1, dan di kolom itu sendiri kita menulis nol.
Semua elemen matriks lainnya, termasuk elemen kolom B, ditentukan oleh aturan persegi panjang.
Untuk melakukan ini, kami memilih empat angka yang terletak di titik sudut persegi panjang dan selalu menyertakan elemen penyelesaian RE.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Elemen resolusinya adalah (-4).
Sebagai ganti elemen penyelesaian kita mendapatkan 1, dan di kolom itu sendiri kita menulis nol.
Semua elemen matriks lainnya, termasuk elemen kolom B, ditentukan oleh aturan persegi panjang.
Untuk melakukan ini, kami memilih empat angka yang terletak di titik sudut persegi panjang dan selalu menyertakan elemen penyelesaian RE.
Mari kita sajikan perhitungan setiap elemen dalam bentuk tabel:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Menjawab: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Implementasi metode Gaussian
Metode Gaussian diimplementasikan dalam banyak bahasa pemrograman, khususnya: Pascal, C++, php, Delphi, dan ada juga implementasi metode Gaussian secara online.Menggunakan metode Gaussian
Penerapan metode Gauss dalam teori permainan
Dalam teori permainan, ketika menemukan strategi maksimal maksimal pemain, sistem persamaan disusun, yang diselesaikan dengan metode Gaussian.Penerapan metode Gauss dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Untuk mencari solusi khusus suatu persamaan diferensial, pertama-tama carilah turunan yang derajatnya sesuai untuk penyelesaian parsial tertulis (y=f(A,B,C,D)), yang disubstitusikan ke dalam persamaan awal. Selanjutnya untuk mencari variabel A, B, C, D disusun sistem persamaan yang diselesaikan dengan metode Gaussian.Penerapan metode Jordano-Gauss dalam pemrograman linier
Dalam pemrograman linier, khususnya metode simpleks, aturan persegi panjang yang menggunakan metode Jordano-Gauss digunakan untuk mengubah tabel simpleks pada setiap iterasi.Jadi, metode Gauss dapat diterapkan pada sistem persamaan linier apa pun, sangat ideal untuk menyelesaikan sistem yang mengandung lebih dari tiga persamaan linier. Karena kesederhanaan dan keseragaman operasi yang dilakukan, metode Gauss untuk menyelesaikan SLAE dengan koefisien numerik cocok untuk perhitungan pada komputer elektronik.
Keuntungan dari metode ini:
a) kurang padat karya dibandingkan metode lain;
B) memungkinkan Anda menentukan dengan jelas apakah sistem tersebut kompatibel atau tidak, dan jika kompatibel, temukan solusinya;
c) memungkinkan Anda menemukan jumlah maksimum persamaan bebas linier - peringkat matriks sistem.
Kerugian signifikan dari metode ini adalah ketidakmampuan untuk merumuskan kondisi konsistensi dan kepastian sistem tergantung pada nilai koefisien dan suku bebas. Di sisi lain, bahkan dalam kasus sistem tertentu, metode ini tidak memungkinkan seseorang menemukan rumus umum yang menyatakan solusi sistem melalui koefisien dan suku bebasnya, yang diperlukan untuk studi teoretis.
Selain solusi analitik SLAE, metode Gaussian juga digunakan untuk:
a) mencari invers matriks dari matriks yang diberikan (matriks satuan yang berukuran sama dengan matriks asli dimasukkan ke dalam matriks di sebelah kanan: , setelah itu direduksi menjadi bentuk matriks satuan menggunakan metode Gauss-Jordan ; akibatnya, sebagai ganti matriks identitas asli, muncul matriks yang berbanding terbalik dengan matriks asli di sebelah kanan :) ;
b) menentukan rank suatu matriks (menurut akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli, rank suatu matriks sama dengan banyaknya variabel utamanya);
c) solusi numerik SLAE dalam teknologi komputer (karena kesalahan perhitungan, digunakan Metode Gauss dengan pemilihan elemen utama, yang intinya adalah memilih sebagai variabel utama pada setiap langkah yang mana, di antara baris dan kolom yang tersisa setelah dihapus, terdapat koefisien modulus maksimum).
Ada metode lain untuk menyelesaikan dan mempelajari sistem persamaan linear yang tidak memiliki kekurangan. Metode-metode ini didasarkan pada teori matriks dan determinan.
Kombinatorik.
Dalam berapa cara tiga anak laki-laki - Almas, Bolat, Sabyr - dapat berdiri pada barisan yang sama? - Tidak sulit, mari kita tulis semua kemungkinan kasus (kombinasi): ABS, ASB, BAS, BSA, SAB, SBA. Ada total enam kombinasi.
Katakanlah anak laki-laki lain Dauren bergabung dengan mereka. Apa metode pengaturan dalam kasus ini? Dalam enam kemungkinan kasus, Dauren bisa menjadi yang pertama, kedua, ketiga, atau terakhir:
DABS, DASB, DBAS, DBSA, DSAB, DSBA;
ADBS, ADSB, BDAS, BDSA, SDAB, SDBA;
ABDS, ASDB, BADS, BSDA, SADB, SBDA;
ABSD, ASBD, BASD, BSAD, SABD, SBAD.
Ada total 24 cara berbeda. Bagaimana jika kita menambah jumlah anak? Sulit untuk menulis dan menampilkan jumlah total setiap saat. Kita perlu mendefinisikan jumlah cara, bukan jenis cara. Apakah ada metode lain untuk menentukan angka ini? - Makan. Dan dalam teori probabilitas kita lebih tertarik pada banyaknya cara penyusunan daripada jenis susunannya. Cabang matematika yang disebut kombinatorik memungkinkan untuk segera menentukan banyaknya cara tersebut. Mari berkenalan dengan konsep dasar kombinatorik yang diperlukan untuk memecahkan masalah dalam teori probabilitas. Yaitu permutasi, penempatan dan kombinasi. Mari kita lihat masing-masing secara terpisah.
1. Penataan Ulang. Pertimbangkan jumlah kasus pada soal sebelumnya. Kita susun ulang huruf A, B, C dan hitung banyaknya kemungkinan kombinasi menjadi 6. Dan ketika jumlah anak laki-laki bertambah satu, susun ulang huruf A, B, C, D, kita temukan banyaknya kemungkinan kombinasi, saat itu tanggal 24.
DEFINISI. Permutasi n unsur berbeda adalah gabungan yang terdiri dari n unsur dan berbeda satu sama lain hanya pada urutan susunannya saja.
Banyaknya permutasi n unsur berbeda dilambangkan dengan P n dan dihitung dengan rumus:
di sini n! (dibaca "en faktorial") berarti hasil kali semua bilangan asli dari 1 sampai n:
Jelas bahwa satu faktorial sama dengan satu, 1! = 1, sedangkan dalam matematika secara umum diterima bahwa faktorial nol sama dengan satu. Jadi 0! = 1.
Mari kita kembali ke contoh. Di sini n=3. Oleh karena itu, Anda dapat mencari banyaknya permutasi yang diperlukan menggunakan rumus (1): P 3 =3!=1 2 3=6. Begitu pula banyaknya permutasi empat huruf adalah: P 4 =4!=1 2 3 4=24
Contoh 7. Carilah nilai ekspresi dengan faktorial 8!/6! 2!
Pertama kita transformasikan 8!=1 2 3 4 5 6 7 8=6! 7 8
Mari kita gantikan transformasi ini ke dalam ekspresi dan sederhanakan. 8!/6! 2=6! 7 8/6! 2=7 8/2=28
2. Penempatan. Mari kita lihat sebuah contoh. Berapa banyak bilangan dua angka (angka yang tidak berulang) yang dapat ditulis dengan menggunakan bilangan 7, 8, 9. Hal ini dapat dilakukan dengan dua tahap: tahap pertama menentukan banyaknya pilihan puluhan tempat bilangan tersebut, yaitu sama dengan 3 (salah satu dari 3 digit ini dapat menempati tempat puluhan); tahap kedua adalah menentukan banyaknya pilihan satuan digit suatu bilangan, sama dengan 2 (setiap digit dari dua sisanya dapat menempati digit satuan). Menurut aturan perkalian, dari tiga bilangan dapat dibuat total 3 2 = 6 bilangan dua angka yang berbeda. Memang, Anda dapat memverifikasi ini dengan langsung menuliskan angka-angka ini 78, 79, 87, 89, 97, 98. Saat menyelesaikan soal, kami menyusun dua elemen dari tiga, dan kombinasi ini berbeda dalam komposisi (78, 98) atau sesuai urutan susunannya (78, 87).
DEFINISI. Susunan n unsur oleh m unsur (mn) adalah gabungan yang terdiri dari m unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda, berbeda satu sama lain baik dalam unsur itu sendiri maupun dalam urutan susunannya.
Banyaknya penempatan n elemen oleh m elemen dilambangkan dan dibaca sebagai berikut: “A dari en ke em.” Untuk mencarinya gunakan rumus:
(15)
Mari kita lihat contoh lainnya. Di kelas 5 mereka mempelajari 10 mata pelajaran. Ada berapa cara untuk membuat jadwal jika ada 4 pelajaran yang berbeda pada hari itu?
Untuk mencari banyaknya susunan 10 benda yang masing-masing terdiri dari empat benda, kita menggunakan rumus (15) untuk mencari banyaknya susunan 10 benda yang masing-masing terdiri dari 4 benda:
Jadi, 10 item dari 4 item dapat disusun dengan 5040 cara berbeda.
3. Kombinasi. Contoh. Anda perlu membuat hasil kali dua bilangan berbeda dari tiga bilangan yang diberikan 7, 8, 9.
Dengan memperhitungkan sifat komutatif perkalian, kita memperoleh: 7 8=56, 7 9=63, 8 9=72. Saat memecahkan masalah, kami memilih dua dari tiga elemen, dan kombinasi ini hanya berbeda dalam komposisi (78, 98), dan lokasinya tidak mempengaruhi produk.
DEFINISI. Gabungan n unsur dari m unsur (mn) adalah gabungan yang terdiri dari m unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda, yang satu sama lain hanya berbeda komposisinya.
Banyaknya kombinasi n unsur dengan m unsur dilambangkan dan dibaca sebagai berikut: “tse dari en ke em.” Untuk mencarinya gunakan rumus:
(16)
Dalam contoh kita, n=3 dan m=2. Kemudian 
Mari kita lihat contoh lainnya. Ada 25 siswa di kelas, 12 di antaranya laki-laki. a) Perlu dibentuk suatu tugas yang terdiri dari dua orang, dan berpasangan harus terdiri dari laki-laki atau perempuan. b) Berapa kelompok yang dapat dibentuk untuk bertugas, dari dua laki-laki dan satu perempuan?
Larutan. a) Saat menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan penjumlahan dan rumus kombinasi. Pertama, mari kita hitung berapa banyak pasangan yang dapat dibuat dari anak laki-laki (m 1) dan anak perempuan (m 2), lalu cari jumlah keduanya (m=m 1 +m 2).
Untuk menentukan berapa banyak pasangan yang dapat dibuat dari 12 anak laki-laki, kita akan menggunakan rumus menghitung banyaknya kombinasi 12 unsur dari 2 unsur.
Anda dapat membuat 78 pasang gadis berbeda. Kemudian, dua anak laki-laki dan dua perempuan, total m=66+78=144 pasangan berbeda dapat dibuat.
b) Saat menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan perkalian dan rumus kombinasi. Ada dua laki-laki dan satu perempuan dalam kelompok. Pertama, mari kita hitung berapa cara kita dapat memilih dua anak laki-laki dari 12 anak laki-laki (m 1) dan satu anak perempuan dari 13 anak perempuan (m 2), lalu kalikan hasilnya (m=m 1 m 2).
Dari 12 anak laki-laki, 2 anak laki-laki dapat dipilih dengan 66 cara berbeda. Dan dari 13 anak perempuan, dapat dipilih 1 anak perempuan sebagai berikut:
Kemudian sekelompok dua laki-laki dan satu perempuan dapat dibuat m=66 13=856 dengan berbagai cara.
Definisi matriks. Penentu orde kedua dan ketiga, sifat utamanya. Minor dan penjumlahan aljabar, perluasan determinan dalam satu baris (kolom). Metode untuk menghitung determinan. Konsep determinan orde ke-n.
Definisi 1.1. Matriks disebut tabel angka berbentuk persegi panjang.
Sebutan: A – matriks, - elemen matriks, nomor baris di mana elemen ini berada, nomor kolom yang bersesuaian; m adalah jumlah baris matriks, n adalah jumlah kolomnya.
Definisi 1.2. Bilangan m dan n dipanggil ukuran matriks.
Definisi 1.3. Matriksnya disebut persegi, jika m = n. Nomor n dalam hal ini disebut dalam urutan matriks persegi.
Setiap matriks persegi dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang ditentukan secara unik dengan menggunakan semua elemen matriks. Angka ini disebut determinan.
Definisi 1.4 . Penentu orde kedua adalah bilangan yang diperoleh dengan menggunakan elemen matriks persegi orde 2 sebagai berikut:
.
Dalam hal ini, dari hasil kali unsur-unsur yang terletak pada apa yang disebut diagonal utama matriks (dari kiri atas ke sudut kanan bawah), hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal kedua, atau sekunder, dikurangi. .
1. 
2.
Definisi 1.5. Penentu orde ketiga adalah bilangan yang ditentukan dengan menggunakan unsur-unsur matriks persegi orde 3 sebagai berikut:
A`, dipanggil dialihkan relatif terhadap matriks A, yang elemen-elemennya terhubung ke elemen-elemen tersebut A perbandingan a` ij = a ji .
metode Gauss Sangat cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE). Ini memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan metode lain:
- pertama, tidak perlu memeriksa konsistensi sistem persamaan terlebih dahulu;
- kedua, metode Gauss tidak hanya dapat menyelesaikan SLAE yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan matriks utama sistemnya non-tunggal, tetapi juga sistem persamaan yang jumlah persamaannya tidak sama. jumlah variabel yang tidak diketahui atau determinan matriks utama sama dengan nol;
- ketiga, metode Gaussian memberikan hasil dengan jumlah operasi komputasi yang relatif kecil.
Ikhtisar singkat artikel tersebut.
Pertama, kami memberikan definisi yang diperlukan dan memperkenalkan notasi.
Selanjutnya akan dijelaskan algoritma metode Gauss untuk kasus yang paling sederhana, yaitu untuk sistem persamaan aljabar linier, banyaknya persamaan yang berimpit dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem tersebut adalah tidak sama dengan nol. Saat menyelesaikan sistem persamaan seperti itu, inti dari metode Gauss terlihat paling jelas, yaitu eliminasi variabel yang tidak diketahui secara berurutan. Oleh karena itu, metode Gaussian disebut juga metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui. Kami akan menunjukkan solusi terperinci dari beberapa contoh.
Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan penyelesaian sistem persamaan aljabar linier dengan metode Gauss, yang matriks utamanya berbentuk persegi panjang atau tunggal. Solusi untuk sistem tersebut memiliki beberapa fitur, yang akan kita bahas secara rinci menggunakan contoh.
Navigasi halaman.
Definisi dan notasi dasar.
Pertimbangkan sistem persamaan linear p dengan n yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n):
Dimana merupakan variabel yang tidak diketahui, merupakan bilangan (nyata atau kompleks), dan merupakan suku bebas.
Jika 
, maka sistem persamaan aljabar linier disebut homogen, jika tidak - heterogen.
Himpunan nilai variabel yang tidak diketahui yang seluruh persamaan sistemnya menjadi identitas disebut keputusan SLAU.
Jika terdapat paling sedikit satu penyelesaian pada suatu sistem persamaan aljabar linier, maka disebut persendian, jika tidak - non-bersama.
Jika SLAE mempunyai solusi unik, maka SLAE disebut yakin. Jika terdapat lebih dari satu solusi, maka sistem disebut tidak pasti.
Mereka mengatakan bahwa sistem itu tertulis bentuk koordinat, jika memiliki bentuk
.
Sistem ini masuk bentuk matriks catatan memiliki bentuk di mana 
- matriks utama SLAE, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks suku bebas.
Jika kita menambahkan kolom matriks suku bebas ke matriks A sebagai kolom ke-(n+1), kita memperoleh apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya matriks yang diperluas dilambangkan dengan huruf T, dan kolom suku bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom yang tersisa, yaitu, 
Matriks persegi A disebut merosot, jika determinannya nol. Jika , maka matriks A disebut tidak merosot.
Hal berikut perlu diperhatikan.
Jika Anda melakukan tindakan berikut dengan sistem persamaan aljabar linier
- tukar dua persamaan,
- mengalikan kedua ruas persamaan apa pun dengan bilangan real (atau kompleks) sembarang dan bukan nol k,
- ke kedua ruas persamaan apa pun tambahkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan lain, dikalikan dengan bilangan sembarang k,
maka Anda mendapatkan sistem ekuivalen yang memiliki solusi yang sama (atau, sama seperti sistem aslinya, tidak memiliki solusi).
Untuk matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier, tindakan berikut berarti melakukan transformasi elementer dengan baris:
- bertukar dua baris,
- mengalikan semua elemen dari setiap baris matriks T dengan bilangan bukan nol k,
- menambahkan elemen-elemen dari setiap baris matriks elemen-elemen yang bersesuaian dari baris lain, dikalikan dengan bilangan sembarang k.
Sekarang kita dapat melanjutkan ke penjelasan metode Gauss.
Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui dan matriks utama sistemnya non-tunggal, menggunakan metode Gauss.
Apa yang akan kita lakukan di sekolah jika kita diberi tugas untuk menemukan solusi sistem persamaan? 
.
Beberapa orang akan melakukan itu.
Perhatikan bahwa dengan menambahkan ruas kiri persamaan pertama ke ruas kiri persamaan kedua, dan ruas kanan ke ruas kanan, Anda dapat menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 2 dan x 3 dan segera mencari x 1: 
Kami mengganti nilai yang ditemukan x 1 =1 ke dalam persamaan pertama dan ketiga sistem: 
Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan ketiga sistem dengan -1 dan menjumlahkannya ke ruas persamaan pertama yang bersesuaian, kita menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 3 dan dapat menemukan x 2: 
Kami mengganti nilai yang dihasilkan x 2 = 2 ke dalam persamaan ketiga dan menemukan sisa variabel x 3 yang tidak diketahui: 
Orang lain akan melakukan hal yang berbeda.
Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem terhadap variabel yang tidak diketahui x 1 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke persamaan kedua dan ketiga sistem untuk mengecualikan variabel ini dari persamaan tersebut: 
Sekarang mari kita selesaikan persamaan kedua sistem untuk x 2 dan substitusikan hasilnya ke persamaan ketiga untuk menghilangkan variabel x 2 yang tidak diketahui dari persamaan tersebut: 
Dari persamaan ketiga sistem tersebut jelas bahwa x 3 =3. Dari persamaan kedua kita temukan 
, dan dari persamaan pertama kita peroleh .
Solusi yang familier, bukan?
Hal yang paling menarik di sini adalah bahwa metode penyelesaian kedua pada dasarnya adalah metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui, yaitu metode Gaussian. Ketika kami menyatakan variabel yang tidak diketahui (pertama x 1, pada tahap berikutnya x 2) dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan sistem yang tersisa, kami mengecualikannya. Kami melakukan eliminasi hingga hanya tersisa satu variabel yang tidak diketahui pada persamaan terakhir. Proses menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan langkah maju, kita mempunyai kesempatan untuk menghitung variabel yang tidak diketahui yang ditemukan pada persamaan terakhir. Dengan bantuannya, kita menemukan variabel yang tidak diketahui berikutnya dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya. Proses mencari variabel yang tidak diketahui secara berurutan sambil berpindah dari persamaan terakhir ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.
Perlu dicatat bahwa ketika kita menyatakan x 1 dalam bentuk x 2 dan x 3 pada persamaan pertama, dan kemudian mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, tindakan berikut akan menghasilkan hasil yang sama:
Memang, prosedur seperti itu juga memungkinkan untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari persamaan kedua dan ketiga sistem: 
Nuansa penghapusan variabel yang tidak diketahui menggunakan metode Gaussian muncul ketika persamaan sistem tidak memuat beberapa variabel.
Misalnya saja di SLAU 
pada persamaan pertama tidak ada variabel yang tidak diketahui x 1 (dengan kata lain koefisien di depannya adalah nol). Oleh karena itu, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan pertama sistem untuk x 1 untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui ini dari persamaan lainnya. Jalan keluar dari situasi ini adalah dengan menukar persamaan sistem. Karena kita mempertimbangkan sistem persamaan linier yang determinan matriks utamanya berbeda dari nol, selalu ada persamaan yang memiliki variabel yang kita butuhkan, dan kita dapat mengatur ulang persamaan ini ke posisi yang kita butuhkan. Sebagai contoh kita, cukup menukar persamaan pertama dan kedua dari sistem 
, maka Anda dapat menyelesaikan persamaan pertama untuk x 1 dan mengecualikannya dari persamaan sistem lainnya (walaupun x 1 tidak lagi ada di persamaan kedua).
Kami harap Anda memahami intinya.
Mari kita jelaskan Algoritma metode Gaussian.
Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem n persamaan aljabar linier dengan n variabel yang bentuknya tidak diketahui 
, dan biarkan determinan matriks utamanya berbeda dari nol.
Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Mari kita hilangkan variabel x 1 yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Caranya, pada persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , pada persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana dan 
.
Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Jadi, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan mulai dari persamaan kedua.
Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar 
Caranya, pada persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , pada persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana dan 
. Jadi, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.
Selanjutnya, kita melanjutkan untuk menghilangkan x 3 yang tidak diketahui, sementara kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar 
Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk 
Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , dengan menggunakan nilai x n yang diperoleh, kita mencari x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita mencari x 1 dari persamaan pertama .
Mari kita lihat algoritmanya menggunakan sebuah contoh.
Contoh.
metode Gauss.
Larutan.
Koefisien a 11 bukan nol, jadi mari kita lanjutkan ke perkembangan langsung metode Gaussian, yaitu mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem kecuali yang pertama. Caranya, pada ruas kiri dan kanan persamaan kedua, ketiga, dan keempat, tambahkan ruas kiri dan kanan persamaan pertama, masing-masing dikalikan dengan . 
Dan : 
Variabel yang tidak diketahui x 1 telah dihilangkan, mari kita lanjutkan ke penghapusan x 2 . Ke ruas kiri dan kanan persamaan ketiga dan keempat sistem kita tambahkan ruas kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan masing-masing 
Dan 
:
Untuk menyelesaikan kemajuan metode Gaussian, kita perlu menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Mari kita jumlahkan ruas kiri dan kanan persamaan keempat berturut-turut, ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, dikalikan dengan 
:
Anda dapat memulai kebalikan dari metode Gaussian.
Dari persamaan terakhir yang kita miliki 
,
dari persamaan ketiga kita peroleh,
dari yang kedua,
dari yang pertama.
Untuk memeriksanya, Anda dapat mengganti nilai yang diperoleh dari variabel yang tidak diketahui ke dalam sistem persamaan aslinya. Semua persamaan berubah menjadi identitas, yang menunjukkan bahwa solusi menggunakan metode Gauss telah ditemukan dengan benar.
Menjawab:
Sekarang mari kita berikan solusi untuk contoh yang sama menggunakan metode Gaussian dalam notasi matriks.
Contoh.
Temukan solusi sistem persamaan metode Gauss.
Larutan.
Matriks yang diperluas dari sistem memiliki bentuk 
. Di bagian atas setiap kolom terdapat variabel yang tidak diketahui yang sesuai dengan elemen matriks.
Pendekatan langsung metode Gaussian di sini melibatkan reduksi matriks yang diperluas dari sistem menjadi bentuk trapesium menggunakan transformasi dasar. Proses ini mirip dengan penghapusan variabel yang tidak diketahui yang kita lakukan dengan sistem dalam bentuk koordinat. Sekarang Anda akan melihat ini.
Mari kita transformasikan matriksnya sehingga semua elemen pada kolom pertama, mulai dari kolom kedua, menjadi nol. Untuk melakukan ini, ke elemen baris kedua, ketiga dan keempat kita tambahkan elemen baris pertama yang sesuai dikalikan dengan , dan karenanya: 
Selanjutnya kita transformasikan matriks yang dihasilkan sehingga pada kolom kedua semua elemen, mulai dari kolom ketiga, menjadi nol. Ini sama dengan menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 2 . Untuk melakukan ini, ke elemen baris ketiga dan keempat kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris pertama matriks, dikalikan dengan masing-masing Dan :
Tetap mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Untuk melakukan ini, ke elemen baris terakhir dari matriks yang dihasilkan, kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris kedua dari belakang, dikalikan dengan :
Perlu dicatat bahwa matriks ini sesuai dengan sistem persamaan linier 
yang diperoleh sebelumnya setelah bergerak maju.
Saatnya untuk kembali. Dalam notasi matriks, kebalikan dari metode Gaussian melibatkan transformasi matriks yang dihasilkan sedemikian rupa sehingga matriks yang ditandai pada gambar 
menjadi diagonal, yaitu mengambil bentuk 
di mana beberapa angka.
Transformasi ini mirip dengan transformasi maju metode Gaussian, tetapi dilakukan bukan dari baris pertama ke baris terakhir, melainkan dari baris terakhir ke baris pertama.
Tambahkan ke elemen baris ketiga, kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris terakhir, dikalikan dengan 
, terus menerus 
masing-masing: 
Sekarang mari kita tambahkan elemen baris kedua dan pertama ke elemen baris ketiga yang bersesuaian, masing-masing dikalikan dengan dan dengan: 
Pada langkah terakhir dari metode Gaussian terbalik, ke elemen baris pertama kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris kedua, dikalikan dengan: 
Matriks yang dihasilkan sesuai dengan sistem persamaan 
, dari mana kita menemukan variabel yang tidak diketahui.
Menjawab:
CATATAN.
Saat menggunakan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, perhitungan perkiraan harus dihindari, karena hal ini dapat menyebabkan hasil yang salah sepenuhnya. Kami menyarankan untuk tidak membulatkan desimal. Lebih baik beralih dari pecahan desimal ke pecahan biasa.
Contoh.
Memecahkan sistem tiga persamaan menggunakan metode Gauss 
.
Larutan.
Perhatikan bahwa dalam contoh ini variabel yang tidak diketahui memiliki sebutan berbeda (bukan x 1, x 2, x 3, tetapi x, y, z). Mari beralih ke pecahan biasa: 
Mari kita kecualikan x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem: 
Dalam sistem yang dihasilkan, variabel y yang tidak diketahui tidak ada di persamaan kedua, tetapi y ada di persamaan ketiga, oleh karena itu, mari kita tukar persamaan kedua dan ketiga: 
Ini melengkapi perkembangan langsung metode Gauss (tidak perlu mengecualikan y dari persamaan ketiga, karena variabel yang tidak diketahui ini sudah tidak ada lagi).
Mari kita mulai langkah sebaliknya.
Dari persamaan terakhir kita temukan 
,
dari yang kedua dari belakang 
dari persamaan pertama yang kita miliki 
Menjawab:
X = 10, y = 5, z = -20.
Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya tidak sesuai dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui atau matriks utama sistemnya berbentuk tunggal, menggunakan metode Gauss.
Sistem persamaan, yang matriks utamanya berbentuk persegi panjang atau persegi tunggal, mungkin tidak mempunyai solusi, mungkin mempunyai solusi tunggal, atau mungkin mempunyai jumlah solusi tak terhingga.
Sekarang kita akan memahami bagaimana metode Gauss memungkinkan kita menetapkan kompatibilitas atau inkonsistensi suatu sistem persamaan linier, dan dalam kasus kompatibilitasnya, menentukan semua solusi (atau satu solusi tunggal).
Pada prinsipnya, proses menghilangkan variabel yang tidak diketahui dalam kasus SLAE tersebut tetap sama. Namun, ada baiknya menjelaskan secara detail beberapa situasi yang mungkin timbul.
Mari kita beralih ke tahap yang paling penting.
Jadi, mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan aljabar linier, setelah menyelesaikan perkembangan maju metode Gauss, mengambil bentuk 
dan tidak ada satu persamaan pun yang direduksi menjadi (dalam hal ini kita akan menyimpulkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel). Sebuah pertanyaan logis muncul: “Apa yang harus dilakukan selanjutnya”?
Mari kita tuliskan variabel-variabel tak dikenal yang muncul lebih dulu dalam semua persamaan sistem yang dihasilkan: 
Dalam contoh kita ini adalah x 1, x 4 dan x 5. Di ruas kiri persamaan sistem kita hanya menyisakan suku-suku yang mengandung variabel yang tidak diketahui tertulis x 1, x 4 dan x 5, suku-suku yang tersisa dipindahkan ke ruas kanan persamaan yang bertanda berlawanan: 
Mari kita berikan nilai arbitrer pada variabel yang tidak diketahui yang berada di sisi kanan persamaan, di mana 
- nomor sewenang-wenang: 
Setelah ini, ruas kanan semua persamaan SLAE kita berisi angka dan kita dapat melanjutkan ke kebalikan dari metode Gaussian.
Dari persamaan terakhir sistem yang kita miliki, dari persamaan kedua dari belakang kita temukan, dari persamaan pertama yang kita dapatkan 
Penyelesaian sistem persamaan adalah himpunan nilai variabel yang tidak diketahui 
Pemberian Angka nilai yang berbeda, kita akan memperoleh solusi yang berbeda untuk sistem persamaan tersebut. Artinya, sistem persamaan kita mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.
Menjawab:
Di mana - angka sewenang-wenang.
Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis secara rinci solusi dari beberapa contoh lagi.
Contoh.
Memecahkan sistem persamaan aljabar linier yang homogen 
metode Gauss.
Larutan.
Mari kita kecualikan variabel x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, ke ruas kiri dan kanan persamaan kedua, kita tambahkan masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan ke ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, kita tambahkan kiri dan ruas kanan persamaan pertama, dikalikan dengan: 
Sekarang mari kita kecualikan y dari persamaan ketiga dari sistem persamaan yang dihasilkan: 
SLAE yang dihasilkan setara dengan sistem 
.
Kita tinggalkan di sisi kiri persamaan sistem hanya suku-suku yang mengandung variabel x dan y yang tidak diketahui, dan pindahkan suku-suku dengan variabel z yang tidak diketahui ke ruas kanan: 
