Apa teknik Gaussian? Metode Gaussian untuk menyelesaikan matriks. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss. Metode Gauss terdiri dari dua tahap

Metode Gaussian itu mudah! Mengapa? Matematikawan Jerman terkenal Johann Carl Friedrich Gauss, semasa hidupnya, mendapat pengakuan sebagai ahli matematika terhebat sepanjang masa, jenius, dan bahkan mendapat julukan “Raja Matematika”. Dan segala sesuatu yang cerdik, seperti yang Anda tahu, itu sederhana! Ngomong-ngomong, tidak hanya orang bodoh yang mendapat uang, tapi juga orang jenius - potret Gauss ada di uang kertas 10 Deutschmark (sebelum diperkenalkannya euro), dan Gauss masih tersenyum misterius pada orang Jerman dari prangko biasa.

Metode Gauss sederhana karena PENGETAHUAN SISWA KELAS KELIMA CUKUP untuk menguasainya. Anda harus tahu cara menjumlahkan dan mengalikan! Bukan suatu kebetulan bahwa guru sering mempertimbangkan metode pengecualian berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui dalam mata pelajaran pilihan matematika sekolah. Ini adalah sebuah paradoks, tetapi siswa menganggap metode Gaussian adalah yang paling sulit. Tidak ada yang mengejutkan - ini semua tentang metodologi, dan saya akan mencoba berbicara tentang algoritma metode dalam bentuk yang dapat diakses.

Pertama, mari kita sistematiskan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dapat:

1) Miliki solusi unik.
2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga.
3) Tidak mempunyai solusi (menjadi non-bersama).

Metode Gauss adalah alat yang paling ampuh dan universal untuk menemukan solusi setiap sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat, Aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem mempunyai banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. Dan metode penghapusan berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui Bagaimanapun akan membawa kita pada jawabannya! Dalam pelajaran ini, kita akan kembali mempertimbangkan metode Gauss untuk kasus No. 1 (satu-satunya solusi untuk sistem), artikel ini dikhususkan untuk situasi poin No. 2-3. Saya perhatikan bahwa algoritme metode itu sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus.

Mari kita kembali ke sistem paling sederhana dari pelajaran ini Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear?
dan menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian.

Langkah pertama adalah menulis matriks sistem yang diperluas:
. Saya rasa semua orang dapat melihat berdasarkan prinsip apa koefisien ditulis. Garis vertikal di dalam matriks tidak memiliki arti matematis apa pun - garis ini hanyalah coretan untuk kemudahan desain.

Referensi :Saya sarankan Anda mengingatnya ketentuan aljabar linier. Matriks Sistem adalah matriks yang hanya terdiri dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui, dalam contoh ini matriks sistem: . Matriks Sistem yang Diperluas– ini adalah matriks yang sama dari sistem ditambah kolom suku bebas, dalam hal ini: . Agar singkatnya, matriks mana pun dapat dengan mudah disebut matriks.

Setelah matriks sistem yang diperluas ditulis, beberapa tindakan perlu dilakukan dengannya, yang juga disebut transformasi dasar.

Ada transformasi dasar berikut:

1) string matriks Bisa mengatur kembali di beberapa tempat. Misalnya, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, Anda dapat mengatur ulang baris pertama dan kedua tanpa kesulitan:

2) Jika ada (atau muncul) baris proporsional (dalam kasus khusus - identik) dalam matriks, maka Anda harus menghapus Semua baris ini berasal dari matriks kecuali satu. Misalnya matriks . Dalam matriks ini, tiga baris terakhir adalah proporsional, sehingga cukup menyisakan satu saja: .

3) Jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus. Saya tidak akan menggambar, tentu saja, garis nol adalah garis di dalamnya semua nol.

4) Baris matriksnya dapat berupa kalikan (bagi) ke nomor mana pun bukan nol. Misalnya matriks. Di sini disarankan untuk membagi baris pertama dengan –3, dan mengalikan baris kedua dengan 2: . Tindakan ini sangat berguna karena menyederhanakan transformasi matriks lebih lanjut.

5) Transformasi ini paling banyak menimbulkan kesulitan, namun nyatanya tidak ada yang rumit juga. Ke deretan matriks Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol. Mari kita lihat matriks kita dari contoh praktis: . Pertama saya akan menjelaskan transformasi dengan sangat rinci. Kalikan baris pertama dengan –2: , Dan ke baris kedua kita tambahkan baris pertama dikalikan –2: . Sekarang baris pertama dapat dibagi “kembali” dengan –2: . Seperti yang Anda lihat, garis yang DITAMBAHKAN LI – belum berubah. Selalu garis YANG DITAMBAHKAN berubah UT.

Dalam praktiknya tentu saja mereka tidak menulisnya secara detail, melainkan menulisnya secara singkat:

Sekali lagi: ke baris kedua menambahkan baris pertama dikalikan –2. Sebuah garis biasanya dikalikan secara lisan atau dalam rancangan, dengan proses perhitungan mental berlangsung seperti ini:

“Saya menulis ulang matriks dan menulis ulang baris pertama: »

“Kolom pertama. Di bagian bawah saya perlu mendapatkan nol. Oleh karena itu, saya mengalikan yang di atas dengan –2: , dan menambahkan yang pertama ke baris kedua: 2 + (–2) = 0. Saya tulis hasilnya di baris kedua: »

“Sekarang kolom kedua. Di bagian atas, saya mengalikan -1 dengan -2: . Saya menambahkan yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Hasilnya saya tulis di baris kedua: »

“Dan kolom ketiga. Di atas saya kalikan -5 dengan -2: . Saya menambahkan yang pertama ke baris kedua: –7 + 10 = 3. Hasilnya saya tulis di baris kedua: »

Harap pahami contoh ini dengan cermat dan pahami algoritma perhitungan sekuensial, jika Anda memahaminya, maka metode Gaussian praktis ada di saku Anda. Namun tentunya kami akan tetap mengupayakan transformasi ini.

Transformasi dasar tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan

! PERHATIAN: dianggap manipulasi tidak dapat digunakan, jika Anda ditawari tugas yang matriksnya diberikan "sendiri". Misalnya, dengan “klasik” operasi dengan matriks Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh mengatur ulang apa pun di dalam matriks!

Mari kita kembali ke sistem kita. Praktisnya hancur berkeping-keping.

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, kurangi menjadi pandangan melangkah:

(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Dan lagi: mengapa kita mengalikan baris pertama dengan –2? Agar mendapat angka nol di bagian bawah, artinya menghilangkan salah satu variabel di baris kedua.

(2) Bagilah baris kedua dengan 3.

Tujuan dari transformasi dasar – kurangi matriks menjadi bentuk bertahap: . Dalam perancangan tugas, mereka hanya menandai “tangga” dengan pensil sederhana, dan juga melingkari angka-angka yang terletak pada “anak tangga” tersebut. Istilah “pandangan bertahap” sendiri tidak sepenuhnya teoretis; dalam literatur ilmiah dan pendidikan sering disebut demikian pandangan trapesium atau pandangan segitiga.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, kami memperoleh setara sistem persamaan asli:

Sekarang sistem perlu "dilepaskan" ke arah yang berlawanan - dari bawah ke atas, proses ini disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Dalam persamaan yang lebih rendah kita sudah memiliki hasil yang siap pakai: .

Mari kita perhatikan persamaan pertama sistem dan substitusikan nilai “y” yang sudah diketahui ke dalamnya:

Mari kita pertimbangkan situasi yang paling umum, ketika metode Gaussian memerlukan penyelesaian sistem tiga persamaan linear dengan tiga persamaan yang tidak diketahui.

Contoh 1

Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gauss:

Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem:

Sekarang saya akan segera menggambar hasil yang akan kita peroleh selama penyelesaian:

Dan saya ulangi, tujuan kita adalah membawa matriks ke bentuk bertahap menggunakan transformasi dasar. Di mana memulainya?

Pertama, lihat nomor kiri atas:

Seharusnya hampir selalu ada di sini satuan. Secara umum, –1 (dan terkadang angka lainnya) bisa digunakan, namun secara tradisi, angka tersebut biasanya ditempatkan di sana. Bagaimana cara mengatur unit? Kami melihat kolom pertama - kami memiliki unit yang sudah jadi! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga:

Sekarang baris pertama tidak akan berubah hingga akhir solusi. Ini sudah lebih mudah.

Unit di pojok kiri atas terorganisir. Sekarang Anda perlu mendapatkan angka nol di tempat-tempat ini:

Kami mendapatkan angka nol menggunakan transformasi "sulit". Pertama kita berurusan dengan baris kedua (2, –1, 3, 13). Apa yang perlu dilakukan untuk mendapatkan angka nol pada posisi pertama? Perlu ke baris kedua tambahkan baris pertama dikalikan –2. Secara mental atau pada draft, kalikan baris pertama dengan –2: (–2, –4, 2, –18). Dan kami secara konsisten melakukan (sekali lagi secara mental atau dalam rancangan), ke baris kedua kita tambahkan baris pertama yang sudah dikalikan –2:

Kami menulis hasilnya di baris kedua:

Kami menangani baris ketiga dengan cara yang sama (3, 2, –5, –1). Untuk mendapatkan angka nol di posisi pertama, Anda perlu ke baris ketiga tambahkan baris pertama dikalikan –3. Secara mental atau pada draft, kalikan baris pertama dengan –3: (–3, –6, 3, –27). DAN ke baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan –3:

Kami menulis hasilnya di baris ketiga:

Dalam praktiknya, tindakan berikut biasanya dilakukan secara lisan dan tertulis dalam satu langkah:

Tidak perlu menghitung semuanya sekaligus dan bersamaan. Urutan perhitungan dan “memasukkan” hasilnya konsisten dan biasanya begini: pertama kita tulis ulang baris pertama, dan kita kembangkan sedikit demi sedikit - KONSISTEN dan DENGAN PERHATIAN:

Dan proses mental dari perhitungan itu sendiri sudah saya bahas di atas.

Dalam contoh ini, hal ini mudah dilakukan; kita membagi baris kedua dengan –5 (karena semua bilangan di sana habis dibagi 5 tanpa sisa). Pada saat yang sama, kita membagi baris ketiga dengan –2, karena semakin kecil angkanya, semakin sederhana penyelesaiannya:

Pada tahap akhir transformasi dasar, Anda perlu mendapatkan nol lagi di sini:

Untuk ini ke baris ketiga kita tambahkan baris kedua dikalikan –2:

Cobalah untuk mencari tahu sendiri tindakan ini - kalikan secara mental baris kedua dengan –2 dan lakukan penjumlahan.

Tindakan terakhir yang dilakukan adalah gaya rambut hasilnya, bagi baris ketiga dengan 3.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, sistem persamaan linear yang setara diperoleh:

Dingin.

Sekarang kebalikan dari metode Gaussian mulai berlaku. Persamaannya “melepas” dari bawah ke atas.

Pada persamaan ketiga kita sudah mempunyai hasil yang siap:

Mari kita lihat persamaan kedua: . Arti kata "zet" sudah diketahui, sebagai berikut:

Dan terakhir, persamaan pertama: . “Igrek” dan “zet” sudah diketahui, hanya masalah kecil saja:

Menjawab:

Seperti yang telah berulang kali dicatat, untuk sistem persamaan apa pun, dimungkinkan dan perlu untuk memeriksa solusi yang ditemukan, untungnya, ini mudah dan cepat.

Contoh 2

Ini adalah contoh solusi mandiri, contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa Anda kemajuan keputusan tersebut mungkin tidak sesuai dengan proses pengambilan keputusan saya, dan ini adalah fitur dari metode Gauss. Tapi jawabannya harus sama!

Contoh 3

Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita harus memilikinya di sana. Soalnya kolom pertama tidak ada satuannya sama sekali, jadi menata ulang baris-barisnya tidak akan menyelesaikan apa pun. Dalam kasus seperti itu, unit tersebut harus diorganisasikan menggunakan transformasi dasar. Hal ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Saya melakukan ini:
(1) Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan –1. Artinya, secara mental kita mengalikan baris kedua dengan –1 dan menjumlahkan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan gerakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya).

(2) Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

(3) Baris pertama dikalikan –1, prinsipnya untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke posisi kedua, sehingga pada “langkah” kedua kami memiliki unit yang dibutuhkan.

(4) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 2.

(5) Baris ketiga dibagi 3.

Pertanda buruk yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang, salah ketik) adalah hasil yang “buruk”. Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti , di bawah, dan, karenanya, , maka dengan tingkat probabilitas yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa telah terjadi kesalahan selama transformasi dasar.

Kami mengenakan biaya sebaliknya, ketika merancang contoh, sistem itu sendiri sering kali tidak ditulis ulang, tetapi persamaannya “diambil langsung dari matriks yang diberikan”. Saya ingatkan Anda, pukulan terbalik bekerja dari bawah ke atas. Ya, ini hadiahnya:

Menjawab: .

Contoh 4

Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Ini adalah contoh untuk Anda selesaikan sendiri, ini agak lebih rumit. Tidak apa-apa jika ada yang bingung. Solusi lengkap dan contoh desain di akhir pelajaran. Solusi Anda mungkin berbeda dari solusi saya.

Pada bagian terakhir kita akan melihat beberapa fitur dari algoritma Gaussian.
Ciri pertama adalah terkadang beberapa variabel hilang dari persamaan sistem, misalnya:

Bagaimana cara menulis matriks sistem yang diperluas dengan benar? Saya sudah membicarakan hal ini di kelas. aturan Cramer. Metode matriks. Dalam matriks yang diperluas dari sistem, kami menempatkan angka nol sebagai pengganti variabel yang hilang:

Omong-omong, ini adalah contoh yang cukup mudah, karena kolom pertama sudah memiliki satu nol, dan transformasi dasar yang harus dilakukan lebih sedikit.

Fitur kedua adalah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami menempatkan –1 atau +1 pada “langkah”. Mungkinkah ada nomor lain di sana? Dalam beberapa kasus, mereka bisa. Pertimbangkan sistemnya: .

Di sini, di "langkah" kiri atas kita memiliki dua. Namun kita memperhatikan fakta bahwa semua bilangan di kolom pertama habis dibagi 2 tanpa sisa - dan bilangan lainnya adalah dua dan enam. Dan dua di kiri atas cocok untuk kita! Pada langkah pertama, Anda perlu melakukan transformasi berikut: tambahkan baris pertama dikalikan –1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambahkan baris pertama dikalikan –3. Dengan cara ini kita akan mendapatkan angka nol yang diperlukan di kolom pertama.

Atau contoh konvensional lainnya: . Di sini tiga pada “langkah” kedua juga cocok untuk kita, karena 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan nol) habis dibagi 3 tanpa sisa. Transformasi berikut perlu dilakukan: tambahkan baris kedua ke baris ketiga, dikalikan dengan –4, sehingga diperoleh nol yang kita butuhkan.

Metode Gauss bersifat universal, tetapi ada satu kekhasan. Anda dapat dengan percaya diri belajar menyelesaikan sistem menggunakan metode lain (metode Cramer, metode matriks) untuk pertama kalinya - metode tersebut memiliki algoritma yang sangat ketat. Namun untuk merasa yakin dengan metode Gaussian, Anda harus menguasainya dan menyelesaikan setidaknya 5-10 sistem. Oleh karena itu, pada awalnya mungkin ada kebingungan dan kesalahan dalam perhitungan, dan tidak ada yang aneh atau tragis dalam hal ini.

Cuaca musim gugur yang hujan di luar jendela.... Oleh karena itu, bagi semua orang yang menginginkan contoh yang lebih kompleks untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 5

Selesaikan sistem empat persamaan linier dengan empat variabel yang tidak diketahui menggunakan metode Gauss.

Tugas seperti itu tidak jarang terjadi dalam praktiknya. Saya pikir bahkan seorang teko yang telah mempelajari halaman ini secara menyeluruh akan memahami algoritma untuk menyelesaikan sistem seperti itu secara intuitif. Pada dasarnya, semuanya sama - hanya ada lebih banyak tindakan.

Kasus ketika sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten) atau memiliki banyak solusi yang tak terhingga dibahas dalam pelajaran Sistem yang tidak kompatibel dan sistem dengan solusi umum. Di sana Anda dapat memperbaiki algoritma metode Gaussian yang dipertimbangkan.

Saya berharap Anda sukses!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Larutan : Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap.

Transformasi dasar yang dilakukan:
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1. Perhatian! Di sini Anda mungkin tergoda untuk mengurangi baris pertama dari baris ketiga; saya sangat menyarankan untuk tidak menguranginya - risiko kesalahan sangat meningkat. Lipat saja!
(2) Tanda baris kedua diubah (dikalikan –1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar. Harap dicatat, bahwa pada “langkah” kita puas tidak hanya dengan satu, tetapi juga dengan –1, yang bahkan lebih nyaman.
(3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 5.
(4) Tanda baris kedua diubah (dikalikan –1). Baris ketiga dibagi 14.

Balik:

Menjawab: .

Contoh 4: Larutan : Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Konversi yang dilakukan:
(1) Baris kedua ditambahkan ke baris pertama. Dengan demikian, unit yang diinginkan disusun di “langkah” kiri atas.
(2) Baris pertama dikalikan 7 ditambahkan pada baris kedua. Baris pertama dikalikan 6 ditambahkan pada baris ketiga.

Dengan “langkah” kedua, segalanya menjadi lebih buruk , “kandidatnya” adalah nomor 17 dan 23, dan kita membutuhkan salah satu atau –1. Transformasi (3) dan (4) ditujukan untuk memperoleh satuan yang diinginkan

(3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1.
(4) Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –3.
(3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 4. Baris kedua ditambahkan ke baris keempat, dikalikan –1.
(4) Tanda baris kedua diubah. Baris keempat dibagi 3 dan ditempatkan di tempat baris ketiga.
(5) Baris ketiga ditambahkan ke baris keempat, dikalikan –5.

Balik:

Misalkan diberikan sistem persamaan aljabar linier yang perlu diselesaikan (temukan nilai xi yang tidak diketahui yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).

Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:

1) Tidak punya solusi (jadilah non-bersama).
2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga.
3) Miliki solusi tunggal.

Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. metode Gauss – alat paling ampuh dan serbaguna untuk menemukan solusi terhadap sistem persamaan linear apa pun, yang dalam setiap kasus akan membawa kita pada jawabannya! Algoritma metodenya sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus tersebut. Jika metode Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang determinan, maka untuk menerapkan metode Gauss hanya diperlukan pengetahuan tentang operasi aritmatika, sehingga dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.

Transformasi matriks yang diperbesar ( ini adalah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, ditambah kolom suku bebas) sistem persamaan aljabar linier dalam metode Gauss:

1) Dengan troki matriks Bisa mengatur kembali di beberapa tempat.

2) jika baris proporsional (sebagai kasus khusus – identik) muncul (atau ada) dalam matriks, maka Anda harus melakukannya menghapus Semua baris ini berasal dari matriks kecuali satu.

3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus.

4) suatu baris matriks dapat berupa kalikan (bagi) ke angka apa pun selain nol.

5) ke deretan matriks yang Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.

Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.

Metode Gauss terdiri dari dua tahap:

"Gerakan langsung" - dengan menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah). Misalnya untuk tipe ini:

Untuk melakukannya, lakukan langkah-langkah berikut:

1) Mari kita perhatikan persamaan pertama dari sistem persamaan aljabar linier dan koefisien untuk x 1 sama dengan K. Persamaan kedua, ketiga, dan seterusnya. kita ubah persamaannya sebagai berikut: kita membagi setiap persamaan (koefisien yang tidak diketahui, termasuk suku bebas) dengan koefisien yang tidak diketahui x 1, yang ada di setiap persamaan, dan mengalikannya dengan K. Setelah itu, kita kurangi yang pertama dari yang kedua persamaan (koefisien untuk yang tidak diketahui dan suku bebas). Untuk x 1 pada persamaan kedua kita memperoleh koefisien 0. Dari persamaan transformasi ketiga kita kurangi persamaan pertama sampai semua persamaan kecuali persamaan pertama, untuk x 1 yang tidak diketahui, memiliki koefisien 0.

2) Mari kita lanjutkan ke persamaan berikutnya. Misalkan ini adalah persamaan kedua dan koefisien untuk x 2 sama dengan M. Kita lanjutkan dengan semua persamaan “lebih rendah” seperti yang dijelaskan di atas. Jadi, “di bawah” x 2 yang tidak diketahui akan ada nol di semua persamaan.

3) Lanjutkan ke persamaan berikutnya dan seterusnya hingga tersisa satu persamaan terakhir yang tidak diketahui dan suku bebas yang ditransformasikan.

“Pergerakan terbalik” dari metode Gauss adalah memperoleh solusi terhadap sistem persamaan aljabar linier (“pergerakan “bottom-up”).

Dari persamaan "bawah" terakhir kita memperoleh satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan persamaan dasar A * x n = B. Dalam contoh yang diberikan di atas, x 3 = 4. Kita substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan “atas” berikutnya dan selesaikan dengan memperhatikan persamaan berikutnya yang tidak diketahui. Misalnya, x 2 – 4 = 1, yaitu. x 2 = 5. Begitu seterusnya hingga kita menemukan semua yang belum diketahui.

Contoh.

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss, seperti saran beberapa penulis:
Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita harus memilikinya di sana. Soalnya kolom pertama tidak ada satuannya sama sekali, jadi menata ulang baris-barisnya tidak akan menyelesaikan apa pun. Dalam kasus seperti itu, unit tersebut harus diorganisasikan menggunakan transformasi dasar. Hal ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Ayo lakukan ini: 1 langkah

. Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan –1. Artinya, secara mental kita mengalikan baris kedua dengan –1 dan menjumlahkan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya). Langkah 2

. Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga. Langkah 3

. Baris pertama dikalikan –1, prinsipnya untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke posisi kedua, sehingga pada “langkah” kedua kami memiliki unit yang dibutuhkan. Langkah 4

. Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan 2. Langkah 5

. Baris ketiga dibagi 3.

Tanda yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang salah ketik) adalah garis bawah yang “buruk”. Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti (0 0 11 |23) di bawah ini, dan karenanya, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tingkat kemungkinan yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa telah terjadi kesalahan pada saat dasar transformasi.

Mari kita lakukan yang sebaliknya; dalam merancang contoh, sistem itu sendiri sering kali tidak ditulis ulang, namun persamaannya “diambil langsung dari matriks yang diberikan”. Saya ingatkan Anda, langkah sebaliknya bekerja dari bawah ke atas. Dalam contoh ini, hasilnya adalah hadiah:
x 3 = 1
x 2 = 3

Menjawab x 1 + x 2 – x 3 = 1, maka x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Mari selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kami mengerti

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Mengalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bagilah persamaan ketiga dengan 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan ketiga, kita memperoleh matriks yang diperluas “bertingkat”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Jadi, karena kesalahan terakumulasi selama perhitungan, kita memperoleh x 3 = 0,96 atau sekitar 1.

x 2 = 3 dan x 1 = –1.

Dengan menyelesaikan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungannya dan meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.

Metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ini mudah diprogram dan tidak memperhitungkan ciri-ciri khusus koefisien yang tidak diketahui, karena dalam praktiknya (dalam perhitungan ekonomi dan teknis) kita harus berurusan dengan koefisien non-bilangan bulat.

Saya berharap Anda sukses! Sampai jumpa di kelas! guru.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Hari ini kita melihat metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier. Anda dapat membaca tentang sistem ini di artikel sebelumnya yang ditujukan untuk menyelesaikan SLAE yang sama menggunakan metode Cramer. Metode Gauss tidak memerlukan pengetahuan khusus, yang dibutuhkan hanya perhatian dan konsistensi. Meskipun dari segi matematika, pelatihan di sekolah sudah cukup untuk menerapkannya, namun seringkali siswa merasa kesulitan untuk menguasai metode ini. Pada artikel ini kami akan mencoba meniadakannya!

metode Gauss

M metode Gaussian– metode paling universal untuk menyelesaikan SLAE (dengan pengecualian sistem yang sangat besar). Berbeda dengan pembahasan sebelumnya metode Cramer, ini cocok tidak hanya untuk sistem yang memiliki solusi tunggal, tetapi juga untuk sistem yang memiliki jumlah solusi tak terbatas. Ada tiga opsi yang memungkinkan di sini.

Sistem mempunyai solusi unik (determinan matriks utama sistem tidak sama dengan nol);
Sistem ini mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga;
Tidak ada solusi, sistem tidak kompatibel.

Jadi kita punya sistem (biarkan ada satu solusi) dan kita akan menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian. Bagaimana cara kerjanya?

Metode Gauss terdiri dari dua tahap - maju dan mundur.

Pukulan langsung dari metode Gaussian

Pertama, mari kita tuliskan matriks perluasan sistem. Untuk melakukan ini, tambahkan kolom anggota bebas ke matriks utama.

Inti dari metode Gauss adalah membawa matriks ini ke bentuk bertahap (atau, seperti yang juga dikatakan, segitiga) melalui transformasi dasar. Dalam bentuk ini, hanya boleh ada angka nol di bawah (atau di atas) diagonal utama matriks.

Apa yang dapat Anda lakukan:

Anda dapat mengatur ulang baris-baris matriks;
Jika terdapat baris-baris yang sama (atau proporsional) dalam suatu matriks, Anda dapat menghapus semuanya kecuali satu;
Anda dapat mengalikan atau membagi string dengan angka apa pun (kecuali nol);
Baris kosong dihapus;
Anda dapat menambahkan string yang dikalikan dengan angka selain nol ke sebuah string.

Metode Gaussian terbalik

Setelah kami mengubah sistem dengan cara ini, ada yang tidak diketahui Xn menjadi diketahui, dan Anda dapat menemukan semua sisa yang tidak diketahui dalam urutan terbalik, dengan mensubstitusikan x yang sudah diketahui ke dalam persamaan sistem, hingga persamaan pertama.

Ketika Internet selalu tersedia, Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gaussian on line. Anda hanya perlu memasukkan koefisien ke dalam kalkulator online. Namun harus Anda akui, jauh lebih menyenangkan untuk menyadari bahwa contoh tersebut diselesaikan bukan oleh program komputer, tetapi oleh otak Anda sendiri.

Contoh penyelesaian sistem persamaan dengan metode Gauss

Dan sekarang - sebuah contoh agar semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti. Biarkan sistem persamaan linear diberikan, dan Anda perlu menyelesaikannya menggunakan metode Gauss:

Pertama kita menulis matriks yang diperluas:

Sekarang mari kita lakukan transformasi. Kita ingat bahwa kita perlu mendapatkan tampilan matriks yang berbentuk segitiga. Mari kalikan baris pertama dengan (3). Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1 dan dapatkan:

Kemudian kalikan baris ke-3 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:

Mari kalikan baris pertama dengan (6). Kalikan baris ke-2 dengan (13). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:

Voila - sistem dibawa ke bentuk yang sesuai. Masih menemukan hal yang tidak diketahui:

Sistem dalam contoh ini memiliki solusi unik. Kami akan mempertimbangkan penyelesaian sistem dengan jumlah solusi tak terbatas dalam artikel terpisah. Mungkin pada awalnya Anda tidak tahu harus mulai dari mana untuk mengubah matriks, tetapi setelah latihan yang tepat Anda akan terbiasa dan akan memecahkan SLAE menggunakan metode Gaussian seperti orang gila. Dan jika Anda tiba-tiba menemukan SLAE yang ternyata terlalu sulit untuk dipecahkan, hubungi penulis kami! Anda dapat memesan esai murah dengan meninggalkan permintaan di Kantor Korespondensi. Bersama-sama kita akan menyelesaikan masalah apa pun!

Kami terus mempertimbangkan sistem persamaan linear. Pelajaran ini adalah topik ketiga. Jika Anda memiliki gambaran yang samar-samar tentang apa itu sistem persamaan linier secara umum, jika Anda merasa seperti teko, maka saya sarankan untuk memulai dengan dasar-dasarnya di halaman Selanjutnya, berguna untuk mempelajari pelajarannya.

Pertama, mari kita sistematiskan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dapat:

1) Miliki solusi unik. 2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga. 3) Tidak mempunyai solusi (menjadi non-bersama).

Metode Gauss adalah alat yang paling ampuh dan universal untuk menemukan solusi setiap sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat, Aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem mempunyai banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. Dan metode penghapusan berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui Bagaimanapun akan membawa kita pada jawabannya! Dalam pelajaran ini, kita akan kembali mempertimbangkan metode Gauss untuk kasus No. 1 (satu-satunya solusi untuk sistem), sebuah artikel dikhususkan untuk situasi poin No. 2-3. Saya perhatikan bahwa algoritme metode itu sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus.

Mari kita kembali ke sistem paling sederhana dari pelajaran ini Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear? dan menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian.

Langkah pertama adalah menulis matriks sistem yang diperluas: . Saya rasa semua orang dapat melihat berdasarkan prinsip apa koefisien ditulis. Garis vertikal di dalam matriks tidak memiliki arti matematis apa pun - garis ini hanyalah coretan untuk kemudahan desain.

Referensi : Saya sarankan Anda mengingatnya ketentuan aljabar linier. Matriks Sistem adalah matriks yang hanya terdiri dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui, dalam contoh ini matriks sistem: . Matriks Sistem yang Diperluas – ini adalah matriks yang sama dari sistem ditambah kolom suku bebas, dalam hal ini: . Agar singkatnya, matriks mana pun dapat dengan mudah disebut matriks.

Setelah matriks sistem yang diperluas ditulis, beberapa tindakan perlu dilakukan dengannya, yang juga disebut transformasi dasar.

Ada transformasi dasar berikut:

1) string matriks Bisa mengatur kembali di beberapa tempat. Misalnya, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, Anda dapat mengatur ulang baris pertama dan kedua tanpa kesulitan:

3) Jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus. Saya tidak akan menggambar, tentu saja, garis nol adalah garis di dalamnya semua nol.

Dalam praktiknya tentu saja mereka tidak menulisnya secara detail, melainkan menulisnya secara singkat: Sekali lagi: ke baris kedua menambahkan baris pertama dikalikan –2. Sebuah garis biasanya dikalikan secara lisan atau dalam rancangan, dengan proses perhitungan mental berlangsung seperti ini:

“Saya menulis ulang matriks dan menulis ulang baris pertama: »

“Sekarang kolom kedua. Di bagian atas, saya mengalikan -1 dengan -2: . Saya menambahkan yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Hasilnya saya tulis di baris kedua: »

“Dan kolom ketiga. Di atas saya kalikan -5 dengan -2: . Saya menambahkan yang pertama ke baris kedua: –7 + 10 = 3. Hasilnya saya tulis di baris kedua: »

Transformasi dasar tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, kurangi menjadi pandangan melangkah:

(2) Bagilah baris kedua dengan 3.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, kami memperoleh setara sistem persamaan asli:

Sekarang sistem perlu "dilepaskan" ke arah yang berlawanan - dari bawah ke atas, proses ini disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Dalam persamaan yang lebih rendah kita sudah memiliki hasil yang siap pakai: .

Mari kita perhatikan persamaan pertama sistem dan substitusikan nilai “y” yang sudah diketahui ke dalamnya:

Mari kita pertimbangkan situasi yang paling umum, ketika metode Gaussian memerlukan penyelesaian sistem tiga persamaan linear dengan tiga persamaan yang tidak diketahui.

Contoh 1

Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gauss:

Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem:

Sekarang saya akan segera menggambar hasil yang akan kita peroleh selama penyelesaian: Dan saya ulangi, tujuan kita adalah membawa matriks ke bentuk bertahap menggunakan transformasi dasar. Di mana memulainya?

Pertama, lihat nomor kiri atas: Seharusnya hampir selalu ada di sini satuan. Secara umum, –1 (dan terkadang angka lainnya) bisa digunakan, namun secara tradisi, angka tersebut biasanya ditempatkan di sana. Bagaimana cara mengatur unit? Kami melihat kolom pertama - kami memiliki unit yang sudah jadi! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga:

Sekarang baris pertama tidak akan berubah hingga akhir solusi. Ini sudah lebih mudah.

Unit di pojok kiri atas terorganisir. Sekarang Anda perlu mendapatkan angka nol di tempat-tempat ini:

Kami menulis hasilnya di baris kedua:

Kami menulis hasilnya di baris ketiga:

Dalam praktiknya, tindakan berikut biasanya dilakukan secara lisan dan tertulis dalam satu langkah:

Tidak perlu menghitung semuanya sekaligus dan bersamaan. Urutan perhitungan dan “memasukkan” hasilnya konsisten dan biasanya begini: pertama kita tulis ulang baris pertama, dan kita kembangkan sedikit demi sedikit - KONSISTEN dan DENGAN PERHATIAN:
Dan proses mental dari perhitungan itu sendiri sudah saya bahas di atas.

Pada tahap akhir transformasi dasar, Anda perlu mendapatkan nol lagi di sini:

Untuk ini ke baris ketiga kita tambahkan baris kedua dikalikan –2:
Cobalah untuk mencari tahu sendiri tindakan ini - kalikan secara mental baris kedua dengan –2 dan lakukan penjumlahan.

Tindakan terakhir yang dilakukan adalah gaya rambut hasilnya, bagi baris ketiga dengan 3.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, sistem persamaan linear yang setara diperoleh: Dingin.

Sekarang kebalikan dari metode Gaussian mulai berlaku. Persamaannya “melepas” dari bawah ke atas.

Pada persamaan ketiga kita sudah mempunyai hasil yang siap:

Mari kita lihat persamaan kedua: . Arti kata "zet" sudah diketahui, sebagai berikut:

Dan terakhir, persamaan pertama: . “Igrek” dan “zet” sudah diketahui, hanya masalah kecil saja:

Menjawab:

Seperti yang telah berulang kali dicatat, untuk sistem persamaan apa pun, dimungkinkan dan perlu untuk memeriksa solusi yang ditemukan, untungnya, ini mudah dan cepat.

Contoh 2

Ini adalah contoh solusi mandiri, contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa Anda kemajuan keputusan tersebut mungkin tidak sesuai dengan proses pengambilan keputusan saya, dan ini adalah fitur dari metode Gauss. Tapi jawabannya harus sama!

Contoh 3

Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita harus memilikinya di sana. Soalnya kolom pertama tidak ada satuannya sama sekali, jadi menata ulang baris-barisnya tidak akan menyelesaikan apa pun. Dalam kasus seperti itu, unit tersebut harus diorganisasikan menggunakan transformasi dasar. Hal ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Saya melakukan ini: (1) Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan –1. Artinya, secara mental kita mengalikan baris kedua dengan –1 dan menjumlahkan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan gerakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya).

(2) Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

(3) Baris pertama dikalikan –1, prinsipnya untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke posisi kedua, sehingga pada “langkah” kedua kami memiliki unit yang dibutuhkan.

(4) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 2.

(5) Baris ketiga dibagi 3.

Menjawab: .

Contoh 4

Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Pada bagian terakhir kita akan melihat beberapa fitur dari algoritma Gaussian. Ciri pertama adalah terkadang beberapa variabel hilang dari persamaan sistem, misalnya: Bagaimana cara menulis matriks sistem yang diperluas dengan benar? Saya sudah membicarakan hal ini di kelas. aturan Cramer. Metode matriks. Dalam matriks yang diperluas dari sistem, kami menempatkan angka nol sebagai pengganti variabel yang hilang: Omong-omong, ini adalah contoh yang cukup mudah, karena kolom pertama sudah memiliki satu nol, dan transformasi dasar yang harus dilakukan lebih sedikit.

Metode Gauss bersifat universal, tetapi ada satu kekhasan. Anda dapat dengan percaya diri belajar menyelesaikan sistem menggunakan metode lain (metode Cramer, metode matriks) untuk pertama kalinya - metode tersebut memiliki algoritma yang sangat ketat. Namun untuk merasa percaya diri dengan metode Gaussian, Anda harus “memahami” dan menyelesaikan setidaknya 5-10 sepuluh sistem. Oleh karena itu, pada awalnya mungkin ada kebingungan dan kesalahan dalam perhitungan, dan tidak ada yang aneh atau tragis dalam hal ini.

Cuaca musim gugur yang hujan di luar jendela.... Oleh karena itu, bagi semua orang yang menginginkan contoh yang lebih kompleks untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 5

Selesaikan sistem 4 persamaan linier dengan empat persamaan yang tidak diketahui menggunakan metode Gauss.

Kasus-kasus ketika sistem tidak mempunyai solusi (tidak konsisten) atau mempunyai banyak solusi yang tak terhingga dibahas dalam pelajaran Sistem dan sistem yang tidak kompatibel dengan solusi umum. Di sana Anda dapat memperbaiki algoritma metode Gaussian yang dipertimbangkan.

Saya berharap Anda sukses!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Larutan : Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap.
Transformasi dasar yang dilakukan: (1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1. Perhatian! Di sini Anda mungkin tergoda untuk mengurangi baris pertama dari baris ketiga; saya sangat menyarankan untuk tidak menguranginya - risiko kesalahan sangat meningkat. Lipat saja! (2) Tanda baris kedua diubah (dikalikan –1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar. Harap dicatat , bahwa pada “langkah” kita puas tidak hanya dengan satu, tetapi juga dengan –1, yang bahkan lebih nyaman. (3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 5. (4) Tanda baris kedua diubah (dikalikan –1). Baris ketiga dibagi 14.

Balik:

Menjawab : .

Contoh 4: Larutan : Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Konversi yang dilakukan: (1) Baris kedua ditambahkan ke baris pertama. Dengan demikian, unit yang diinginkan disusun di “langkah” kiri atas. (2) Baris pertama dikalikan 7 ditambahkan pada baris kedua. Baris pertama dikalikan 6 ditambahkan pada baris ketiga.

Dengan “langkah” kedua, segalanya menjadi lebih buruk , “kandidatnya” adalah nomor 17 dan 23, dan kita membutuhkan salah satu atau –1. Transformasi (3) dan (4) ditujukan untuk memperoleh satuan yang diinginkan (3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1. (4) Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –3. Item yang dibutuhkan pada langkah kedua telah diterima. . (5) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 6. (6) Baris kedua dikalikan –1, baris ketiga dibagi -83.

Balik:

Menjawab :

Contoh 5: Larutan : Mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Konversi yang dilakukan: (1) Baris pertama dan kedua telah ditukar. (2) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris keempat, dikalikan –3. (3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 4. Baris kedua ditambahkan ke baris keempat, dikalikan –1. (4) Tanda baris kedua diubah. Baris keempat dibagi 3 dan ditempatkan di tempat baris ketiga. (5) Baris ketiga ditambahkan ke baris keempat, dikalikan –5.

Balik:

Menjawab :

Metode Gauss dikemukakan oleh matematikawan terkenal Jerman Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) dan merupakan salah satu metode paling universal untuk menyelesaikan SLAE. Inti dari metode ini adalah melalui eliminasi yang tidak diketahui secara berurutan, sistem tertentu diubah menjadi sistem bertahap (khususnya, segitiga) yang setara dengan sistem tertentu. Dalam penyelesaian praktis masalah ini, matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk bertahap menggunakan transformasi dasar pada baris-barisnya. Selanjutnya, semua hal yang tidak diketahui ditemukan secara berurutan, dimulai dari bawah ke atas.

Prinsip metode Gauss

Metode Gauss mencakup pergerakan maju (mengurangi matriks yang diperluas ke bentuk langkah, yaitu memperoleh nol di bawah diagonal utama) dan membalikkan (mendapatkan nol di atas diagonal utama matriks yang diperluas). Pergerakan maju disebut metode Gauss, pergerakan sebaliknya disebut metode Gauss-Jordan, yang berbeda dari yang pertama hanya pada urutan eliminasi variabelnya.

Metode Gauss ideal untuk menyelesaikan sistem yang mengandung lebih dari tiga persamaan linier, dan untuk menyelesaikan sistem persamaan yang bukan kuadrat (yang tidak dapat dikatakan tentang metode Cramer dan metode matriks). Artinya, metode Gauss adalah metode yang paling universal untuk menemukan solusi terhadap sistem persamaan linear apa pun; metode ini dapat digunakan jika sistem tersebut memiliki banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten.

Contoh penyelesaian sistem persamaan

Contoh

Latihan. Selesaikan SLAE menggunakan metode Gaussian.

Larutan. Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar pada baris-barisnya, bawa matriks ini ke bentuk bertahap (gerakan maju) dan kemudian lakukan gerakan kebalikan dari metode Gaussian (mari kita buat angka nol di atas diagonal utama). Pertama, mari kita ubah baris pertama dan kedua sehingga elemennya sama dengan 1 (kita melakukan ini untuk menyederhanakan perhitungan):