Kandidat Ilmu Pedagogis Natalya Karpushina.

Untuk menguasai perkalian bilangan multi angka, Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian dan bisa menjumlahkan bilangan. Intinya, seluruh kesulitannya terletak pada bagaimana menempatkan hasil antara perkalian (perkalian parsial) dengan benar. Dalam upaya mempermudah perhitungan, orang telah menemukan banyak cara untuk mengalikan angka. Selama berabad-abad sejarah matematika, ada beberapa lusin di antaranya.

Perkalian menggunakan metode kisi. Ilustrasi dari buku cetak pertama tentang aritmatika. 1487

tongkat Napier. Alat hitung sederhana ini pertama kali dijelaskan dalam esai "Rhabdology" karya John Napier. 1617

John Napier (1550-1617).

Model mesin hitung Schickard. Perangkat komputasi ini, yang belum sampai kepada kita, dibuat oleh penemunya pada tahun 1623 dan dijelaskan olehnya setahun kemudian dalam sebuah surat kepada Johannes Kepler.

Wilhelm Schickard (1592-1635).

Warisan Hindu - Metode Kisi

Umat ​​​​Hindu yang mengetahui sistem bilangan desimal sejak zaman dahulu lebih menyukai penghitungan lisan daripada penghitungan tertulis. Mereka menemukan beberapa cara untuk berkembang biak dengan cepat. Kemudian metode ini dipinjam oleh orang Arab, dan dari mereka metode ini diteruskan ke orang Eropa. Namun mereka tidak membatasi diri pada mereka dan mengembangkan yang baru, khususnya yang dipelajari di sekolah - perkalian dengan kolom. Metode ini telah dikenal sejak awal abad ke-15; pada abad berikutnya metode ini mulai digunakan di kalangan ahli matematika, dan saat ini digunakan di mana-mana. Namun apakah perkalian kolom merupakan cara terbaik untuk melakukan operasi aritmatika ini? Sebenarnya masih ada metode perkalian lain yang kini terlupakan dan tidak kalah pentingnya, misalnya metode kisi.

Metode ini digunakan pada zaman kuno, pada Abad Pertengahan menyebar luas di Timur, dan pada zaman Renaisans - di Eropa. Metode grid juga disebut metode India, Muslim atau “perkalian kuadrat”. Dan di Italia disebut "gelosia", atau "perkalian kisi" (gelosia diterjemahkan dari bahasa Italia - "tirai", "jendela kisi"). Memang, angka-angka yang dihasilkan dari angka-angka tersebut bila dikalikan serupa dengan kerai-kerai yang menghalangi jendela-jendela rumah-rumah Venesia dari sinar matahari.

Mari kita jelaskan inti dari metode perkalian sederhana ini dengan sebuah contoh: mari kita hitung hasil kali 296 × 73. Mari kita mulai dengan menggambar tabel dengan sel persegi, yang akan memiliki tiga kolom dan dua baris, sesuai dengan jumlah digit faktornya. . Bagilah sel menjadi dua secara diagonal. Di atas tabel kita menulis angka 296, dan di sisi kanan secara vertikal - angka 73. Kalikan setiap digit angka pertama dengan setiap digit angka kedua dan tulis hasil perkaliannya di sel yang sesuai, letakkan puluhan di atas diagonal dan di atas diagonal. yang di bawahnya. Kami memperoleh digit produk yang diinginkan dengan menambahkan digit pada garis miring. Dalam hal ini, kita akan bergerak searah jarum jam, mulai dari sel kanan bawah: 8, 2+1+7, dst. Mari kita tuliskan hasilnya di bawah tabel, juga di sebelah kirinya. (Jika hasil penjumlahan menghasilkan penjumlahan dua angka, kita hanya menunjukkan angka satu, dan menambahkan puluhan ke jumlah angka pada strip berikutnya.) Jawaban: 21,608. Jadi, 296 x 73 = 21,608.

Metode kisi sama sekali tidak kalah dengan perkalian kolom. Ini bahkan lebih sederhana dan lebih dapat diandalkan, meskipun jumlah tindakan yang dilakukan dalam kedua kasus adalah sama. Pertama, Anda hanya perlu bekerja dengan angka satu dan dua digit, dan angka tersebut mudah dioperasikan di kepala Anda. Kedua, tidak perlu mengingat hasil antara dan mencatat urutan pencatatannya. Memori diturunkan dan perhatian dipertahankan, sehingga kemungkinan kesalahan berkurang. Selain itu, metode kisi memungkinkan Anda mendapatkan hasil lebih cepat. Setelah Anda menguasainya, Anda bisa melihatnya sendiri.

Mengapa metode kisi menghasilkan jawaban yang benar? Apa “mekanismenya”? Mari kita cari tahu menggunakan tabel yang dibuat mirip dengan tabel pertama, hanya saja dalam kasus ini faktor-faktornya disajikan sebagai jumlah dari 200 + 90 + 6 dan 70 + 3.

Seperti yang Anda lihat, di garis miring pertama ada satuan, di garis kedua ada puluhan, di garis ketiga ada ratusan, dan seterusnya. Jika dijumlahkan akan memberikan jawaban masing-masing banyaknya satuan, puluhan, ratusan, dan seterusnya. Yang jelas berikut ini:

Dengan kata lain, sesuai dengan hukum aritmatika, hasil kali bilangan 296 dan 73 dihitung sebagai berikut:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14.000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10.000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21.608.

Tongkat Makasar

Perkalian dengan metode kisi adalah dasar dari alat hitung yang sederhana dan orisinal - tongkat Napier. Penemunya, John Napier, seorang baron Skotlandia dan pecinta matematika, bersama dengan para profesional, berupaya meningkatkan cara dan metode perhitungan. Dalam sejarah ilmu pengetahuan, ia dikenal terutama sebagai salah satu pencipta logaritma.

Perangkat ini terdiri dari sepuluh penggaris tempat tabel perkalian ditempatkan. Di setiap sel, dibagi dengan diagonal, dituliskan hasil kali dua angka satu digit dari 1 hingga 9: jumlah puluhan ditunjukkan di bagian atas, jumlah satuan ditunjukkan di bagian bawah. Satu penggaris (yang kiri) tidak bergerak, sisanya dapat diatur ulang dari satu tempat ke tempat lain, dengan menyusun kombinasi angka yang diinginkan. Dengan menggunakan tongkat Napier, mudah untuk mengalikan angka multi-digit, mengurangi operasi ini menjadi penjumlahan.

Misalnya, untuk menghitung hasil kali angka 296 dan 73, Anda perlu mengalikan 296 dengan 3 dan 70 (pertama dengan 7, lalu dengan 10) dan menjumlahkan angka-angka yang dihasilkan. Mari kita lampirkan tiga lainnya ke penggaris tetap - dengan angka 2, 9 dan 6 di atas (mereka harus membentuk angka 296). Sekarang mari kita lihat baris ketiga (nomor baris ditunjukkan di garis terluar). Angka-angka yang ada di dalamnya membentuk suatu himpunan yang sudah tidak asing lagi bagi kita.

Jika dijumlahkan seperti pada metode kisi, kita mendapatkan 296 x 3 = 888. Begitu pula dengan baris ketujuh, kita mendapatkan 296 x 7 = 2072, lalu 296 x 70 = 20,720.
296 x 73 = 20.720 + 888 = 21.608.

Tongkat Napier juga digunakan untuk operasi yang lebih kompleks - pembagian dan ekstraksi akar kuadrat. Mereka telah berulang kali mencoba meningkatkan perangkat penghitung ini dan membuatnya lebih nyaman dan efisien dalam pengoperasiannya. Memang dalam beberapa kasus, untuk mengalikan bilangan, misalnya dengan bilangan berulang, diperlukan beberapa set tongkat. Namun masalah ini diselesaikan dengan mengganti penggaris dengan silinder berputar dengan tabel perkalian diterapkan pada permukaan masing-masing dalam bentuk yang sama seperti yang disajikan Napier. Alih-alih satu set tongkat, ada sembilan tongkat sekaligus.

Trik semacam itu sebenarnya mempercepat dan menyederhanakan perhitungan, namun tidak mempengaruhi prinsip utama pengoperasian perangkat Napier. Dengan demikian, metode kisi memperoleh kehidupan kedua, yang berlangsung selama beberapa abad lagi.

mobil Chiccard

Para ilmuwan telah lama bertanya-tanya bagaimana cara mentransfer pekerjaan komputasi yang sulit ke perangkat mekanis. Langkah pertama yang berhasil dalam penciptaan mesin hitung baru dilakukan pada abad ke-17. Diyakini bahwa matematikawan dan astronom Jerman Wilhelm Schickard adalah orang pertama yang menciptakan mekanisme seperti itu. Namun ironisnya, hanya segelintir orang yang mengetahui hal ini, dan penemuan bermanfaat seperti itu belum diketahui dunia selama lebih dari 300 tahun. Oleh karena itu, hal ini sama sekali tidak mempengaruhi perkembangan alat komputasi selanjutnya. Deskripsi dan sketsa mesin Schickard ditemukan hanya setengah abad yang lalu di arsip Johannes Kepler, dan beberapa saat kemudian, berdasarkan dokumen yang masih ada, model kerjanya dibuat.

Pada dasarnya, mesin Schickard adalah kalkulator mekanis enam digit yang melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian angka. Ini memiliki tiga bagian: perangkat penggandaan, perangkat penjumlahan dan mekanisme untuk menyimpan hasil antara. Dasar dari yang pertama adalah, seperti yang Anda duga, tongkat Napier digulung menjadi silinder. Mereka dipasang pada enam sumbu vertikal dan diputar menggunakan pegangan khusus yang terletak di bagian atas mesin. Di depan silinder ada panel dengan sembilan baris jendela, masing-masing enam baris, yang dibuka dan ditutup dengan baut samping jika diperlukan untuk melihat nomor yang diperlukan dan menyembunyikan sisanya.

Mesin hitung Schickard sangat sederhana dalam pengoperasiannya. Untuk mengetahui hasil kali 296 x 73, Anda perlu mengatur silinder pada posisi di mana faktor pertama muncul di baris atas jendela: 000296. Kita mendapatkan hasil kali 296 x 3 dengan membuka jendela dari baris ketiga dan menjumlahkan angka-angka yang terlihat, seperti pada metode kisi. Dengan cara yang sama, dengan membuka jendela baris ketujuh, kita mendapatkan hasil kali 296 x 7, yang kita tambahkan 0 di sebelah kanan.

Metode perkalian bilangan multi-digit yang cepat dan andal, yang pernah ditemukan oleh umat Hindu dan digunakan selama berabad-abad dalam perhitungan, sayangnya kini telah dilupakan. Tapi dia bisa membantu kita hari ini jika kalkulator yang begitu familiar bagi semua orang tidak ada.

Alat pertama untuk melakukan perkalian adalah seperangkat balok kayu yang disebut tongkat Napier. Mereka ditemukan oleh orang Skotlandia John Napier (1550-1617). Sebuah tabel perkalian ditempatkan pada sekumpulan balok kayu tersebut. Selain itu, John Napier menemukan logaritma.

Penemuan ini meninggalkan jejak nyata dalam sejarah dengan penemuan logaritma oleh John Napier, yang dilaporkan dalam sebuah publikasi pada tahun 1614. Tabelnya, yang memerlukan banyak waktu untuk menghitung, kemudian “dibangun menjadi” perangkat praktis yang sangat mempercepat meningkatkan proses perhitungan - mistar hitung; itu ditemukan pada akhir tahun 1620-an. Pada tahun 1617, Napier menemukan cara lain untuk mengalikan angka. Alat yang diberi nama “Napier's knuckles” ini terdiri dari sekumpulan batang beruas-ruas yang dapat diposisikan sedemikian rupa sehingga dengan menjumlahkan angka-angka pada ruas-ruas yang berdekatan secara horizontal, kita memperoleh hasil perkaliannya.

Teori logaritma Napier ditakdirkan untuk diterapkan secara luas. Namun, "buku-buku jarinya" segera digantikan oleh mistar hitung dan perangkat komputasi lainnya - terutama yang berjenis mekanis - penemu pertamanya adalah orang Prancis yang brilian, Blaise Pascal.

Penguasa logaritmik

Perkembangan alat hitung sejalan dengan kemajuan ilmu matematika. Tak lama setelah penemuan logaritma pada tahun 1623, mistar hitung ditemukan.

Pada tahun 1654, Robert Bissacar, dan pada tahun 1657, secara mandiri, S. Patridge (Inggris) mengembangkan mistar hitung persegi panjang - ini adalah alat hitung untuk menyederhanakan perhitungan, yang dengannya operasi pada bilangan diganti dengan operasi pada logaritma tersebut angka. Desain garis tersebut sebagian besar bertahan hingga hari ini.

Mistar hitung ditakdirkan untuk berumur panjang: dari abad ke-17 hingga saat ini. Penghitungan menggunakan mistar hitung sederhana, cepat, namun bersifat perkiraan. Oleh karena itu, ini tidak cocok untuk perhitungan yang akurat, misalnya keuangan.

Tongkat Napier ditakdirkan berumur panjang. Mereka telah digunakan secara luas dan lama untuk perhitungan di bidang astronomi, artileri, dan bidang lainnya. Sebuah film luar biasa dari tahun 70-an tentang filsuf Inggris abad ke-16 Thomas More berjudul “A Man for All Seasons”, tetapi jika sebuah film dibuat tentang rekan senegaranya yang hidup beberapa dekade kemudian, mungkin film itu akan diberi judul “The Manusia yang Lebih Maju dari Zamannya.” Kita berbicara tentang Sir John Napier, yang namanya dapat disejajarkan dengan, misalnya, nama Galileo Galilei atau Nicolaus Copernicus, dan mungkin Leonardo da Vinci.

Napier, seorang matematikawan Skotlandia dan teolog Protestan, adalah seorang bangsawan keturunan, lahir pada tahun 1550 di Kastil Merchiston dekat Edinburgh, dan meninggal di sana pada tanggal 4 April 1617. Ia belajar di Universitas Edinburgh, dan kemudian melakukan perjalanan lama untuk mencari ilmu ke seluruh Eropa. Akibat pengembaraannya, seperti kebanyakan ilmuwan pada masanya, Napier menjadi seorang generalis, seorang generalis. Napier mengabdikan sebagian besar hidupnya selanjutnya untuk teologi dan secara aktif berpartisipasi dalam perdebatan teosofis, di mana, seperti orang Skotlandia sejati, ia dibedakan oleh semangatnya.

Sebagai seorang teolog, ia terkenal karena pada tahun 1593 ia menerbitkan A Simple Explanation of the Whole Revelation of John the Evangelist, interpretasi pertama Kitab Suci dalam bahasa Skotlandia, tetapi pada saat yang sama Napier tidak asing dengan buku tersebut. kemudian ilmu-ilmu modis - astrologi dan alkimia. Seiring dengan hobinya tersebut, ia juga seorang insinyur, dan menemukan berbagai macam mesin untuk mengolah tanah dan pompa air untuk irigasi. Ia juga membuat beberapa penemuan “rahasia”, antara lain cermin untuk membakar kapal musuh, alat untuk berenang di bawah air (peralatan selam), kereta yang tidak tertembus peluru (tank), dan sesuatu yang menyerupai proyektil roket yang tidak terarah. .

Namun, sangat mungkin bahwa semua kegiatan yang sukses pada waktu itu, yang penting bagi orang-orang sezamannya, akan tetap tidak diketahui oleh anak cucu jika bukan karena karya-karya utamanya, yang diselesaikan pada dekade ketujuh, tak lama sebelum kematiannya. Secara kronologis, yang pertama adalah karya matematika - sistem logaritma "Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan (Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614)", ia mengusulkan (tanpa mengungkapkan metode konstruksinya) tabel logaritma pertama, serta istilah “logaritma” itu sendiri. Belakangan, metode konstruksi tersebut terungkap dalam esai “Konstruksi tabel logaritma yang menakjubkan (Mirifici logarithmorum canonisstructio),” yang diterbitkan pada tahun 1619, setelah kematian penulisnya. Henry Briggs, seorang profesor di Gresham College London, yang kemudian menjadi penerbit, penerus dan penulis biografi Napier, berhubungan langsung dengan kemunculan karya-karya tersebut. Kebetulan, setelah mengenal "Deskripsi ...", Briggs menjadi pengikut setia ide Napier, oleh karena itu, didorong oleh keinginan untuk membantunya, dia pergi ke Skotlandia untuk bertemu secara pribadi dengan penulis dan kemudian mendedikasikan karyanya hidup untuk mengakhiri pekerjaannya. Keturunannya memainkan peran penting dalam melestarikan kenangan Napier.

Kedua karya ini lebih menarik untuk sejarah matematika, dan untuk sejarah komputer, penemuan teknis yang paling penting dan sekilas sangat sederhana dari ilmuwan Skotlandia, yang kemudian dikenal sebagai tongkat (atau tulang) Napier, sangat penting. Ini menjadi perangkat praktis kedua dalam sejarah umat manusia, setelah sempoa, untuk memudahkan perhitungan. Agar adil, harus dikatakan bahwa ada gambar da Vinci sebelumnya, yang dianggap sebagai gambar mesin hitung, bahkan ada upaya modern untuk merekonstruksinya, tetapi tidak ada bukti dokumenter tentang karya dan praktiknya. penggunaan kalkulator da Vinci. Dan dengan stik Napier, terlepas dari segala kesederhanaannya, serangkaian perangkat dimulai yang akhirnya mengarah ke PC modern.

Rupanya menyadari pentingnya penemuannya, Napier mengabdikan tahun terakhir hidupnya untuk mempersiapkan penerbitan risalah yang akan mengakhiri karir kreatifnya - “Rhabdology, atau Dua Buku tentang Menghitung dengan Tongkat,” dalam kata pengantar yang dia tulis : “Sekarang kami juga telah menemukan variasi logaritma yang jauh lebih baik dan bermaksud (jika Tuhan menganugerahkan umur panjang dan kesehatan yang baik) untuk mempublikasikan baik cara penghitungannya maupun cara penggunaannya. Namun, karena kelemahan tubuh kami, kami menyerahkan perhitungan tabel-tabel baru ini kepada orang-orang yang berpengalaman dalam pekerjaan semacam ini, dan terutama kepada suami terpelajar Henry Briggs, profesor geometri dan sahabat karib kami.

Dalam “Rabdologi…” Napier menjelaskan metode mengalikan angka menggunakan batang tongkat khusus dengan angka yang tercetak di atasnya, terlihat seperti tulang domino, tetapi dengan banyak bidang di masing-masingnya; Ide otomatisasi menggunakan tongkat yang sudah diberi tanda jelas berasal dari salah satu metode perkalian tertua, yang disebut gelosia. Saat ini, tidak ada yang memikirkan kompleksitas internal operasi aritmatika ini; bahkan frasa “metode perkalian” terdengar aneh, karena satu-satunya algoritma yang diketahui kebanyakan orang, “dalam kolom”, diajarkan di kelas tiga. Dan di masa-masa yang jauh itu, perkalian adalah ilmu yang menjadi dasar seluruh risalah. Yang paling terkenal adalah karya Luca Pacioli Summa de arithmetica, yang antara lain menjelaskan metode gelosia yang ditemukan di India dan pada abad ke-14 datang ke Eropa melalui perantaraan Persia dan Arab. Bagi yang tertarik dengan metode perkalian, saya merekomendasikan artikel Metode Perkalian ( www.ex.ac.uk/cimt/res2/trolfg.pdf), di mana berbagai teknik kuno dijelaskan dengan indah.

Algoritme gelosia sangat elegan dengan caranya sendiri; intinya adalah bahwa faktor-faktor ditulis di sebelah kanan dan atas matriks penghitungan khusus yang terdiri dari bidang persegi, yang masing-masing dibagi dengan diagonal, dan segitiga-segitiga yang terletak bersama di sepanjang garis tersebut. bentuk diagonal baris dan kolom “miring”. Jadi, faktor-faktornya ditulis di atas dan di sebelah kanan, dan hasil kali antara setiap pasangan angka, dari satu hingga yang tertinggi, ditulis dalam kotak, memisahkan satuan dan puluhan di dalamnya, yang ada di segitiga bawah, dan puluhan di atas. Bila menjumlahkan “miring”, hasilnya harus dibaca dari atas ke bawah dan dari kiri ke kanan. Ide Napier sendiri pada pandangan pertama sangat sederhana: Anda perlu memotong tabel menjadi kolom dan melakukan tindakan, memilih tongkat yang diperlukan sesuai dengan komposisi nomornya. Tentu saja, untuk “memasukkan” suatu angka, harus ada lebih banyak tongkat dalam set tersebut; Jadi, perkalian menjadi tugas yang sepele, tetapi hal ini tidak menguras potensi tongkat; dengan tongkat tersebut Anda dapat melakukan pembagian, eksponensial, dan ekstraksi akar, berdasarkan penjumlahan dan pengurangan logaritma.

Ide tongkat dikembangkan di Jerman. Sepuluh tahun setelah penerbitan Rhabdology..., profesor bahasa oriental Wilhelm Schickard dari Universitas Tübingen menemukan mekanisme yang menyederhanakan pekerjaan dengan tongkat, yang ia jelaskan dalam korespondensi dengan Johannes Kepler. Seperti diketahui, surat merupakan satu-satunya bentuk publikasi pada masa itu. Sekarang sulit untuk mengatakan apakah mesin ini dibuat atau tidak, tetapi bagaimanapun juga, ini adalah model kalkulator pertama yang dibuktikan secara matematis. Sekarang di Jerman beberapa contoh kerja mekanisme Schickard telah diciptakan kembali. Sejarah penciptaan kalkulator dan biografi penulis berhasil dijelaskan dalam artikel Yuri Polunov ( http://museum.iu4.bmstu.ru/ firststeps/ letter.shtml).

Tongkat Napier ditakdirkan berumur panjang. Mereka telah lama digunakan secara luas untuk perhitungan dalam astronomi, artileri dan bidang lainnya, tongkat mempengaruhi penciptaan mistar hitung, yang menjadi alat teknik klasik abad ke-19 dan ke-20, dan di Inggris Raya, hingga pertengahan tahun 60an, Tongkat Napier digunakan untuk mengajarkan aritmatika kepada anak sekolah.

Salinan

1 TONGKAT NEPER Baca teks dan selesaikan tugas John Napier Pada tahun 1617, Napier menerbitkan sebuah risalah berjudul “Rhabdology, atau Seni Menghitung dengan Tongkat” (Gbr. 1). Di dalamnya, dia menjelaskan sebuah metode dimana angka dapat dikalikan tanpa kesulitan. Saat ini, tidak ada yang berpikir tentang kerumitan operasi aritmatika ini, bahkan kombinasi kata “metode perkalian” terdengar aneh, karena satu-satunya algoritma perkalian yang diketahui paling banyak adalah “kolom” dan diajarkan di kelas tiga. Dan di masa-masa yang jauh itu, perkalian adalah ilmu yang menjadi dasar seluruh risalah. Perangkat perhitungan yang dijelaskan oleh Neper (Gbr. 2) meliputi: satu tongkat. Saya selalu berusaha, sejauh kekuatan dan kemampuan saya memungkinkan, untuk membebaskan orang dari kesulitan dan kebosanan perhitungan, yang kebosanannya biasanya membuat banyak orang enggan melakukannya. mempelajari matematika. John Napier, teolog Skotlandia dan pecinta matematika Gambar. 1. Salah satu edisi pertama risalah Napier dengan angka dari 1 sampai 9 (ini adalah indeks garis) dan dilengkapi dengan tabel perkalian untuk semua angka dari 1 sampai 9 (digit pada Gambar 2. Inilah yang disebut himpunan Bentuk tongkat Napier. Gambar 3. Pada gambar ini, sebuah garis indeks ditempatkan pada dudukan yang di atasnya ditempatkan tongkat untuk angka 7 dan 6 1.

2 perkalian). Angka dari 1 sampai 9 ditulis di atas setiap tongkat, dan sepanjang panjangnya hasil perkalian angka ini dengan angka dari 1 sampai 9, dan untuk mencatat hasilnya, sel dibagi secara diagonal menjadi dua bagian: tempat puluhan adalah ditulis di atas, dan satuannya ditempatkan di bawah (Gbr. .3). Tongkatnya tampak seperti tulang domino, dan sering kali digunakan gading untuk membuatnya. Untuk perkalian, batang-batang yang sesuai dengan nilai digit perkalian dipilih dan disusun berjajar sehingga angka-angka di atas setiap batang merupakan perkalian. Indeks garis ditempatkan di sebelah kiri dan garis yang sesuai dengan digit pengali dipilih. Angka-angka tersebut kemudian dijumlahkan sepanjang garis diagonal. Penjumlahan dilakukan secara bitwise dengan overflow dipindahkan ke digit paling signifikan. Misalnya, untuk mengalikan 187 dengan 3, Anda perlu memilih tiga batang yang sesuai dengan angka 1, 8 dan 7, dan menyusunnya seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4. Baris ketiga menunjukkan hal berikut: Gambar. 4 Kita menjumlahkan dua bilangan, salah satunya berada di bawah diagonal, dan yang lainnya berada di atas diagonal, tetapi bukan persegi ini, melainkan persegi yang berdekatan di sebelah kanan (Gbr. 5). Beras. 5 Jumlah ini menghasilkan digit hasil perkaliannya: 561. Napier mendasarkan alat hitungnya pada prinsip perkalian kisi, yang tersebar luas pada masanya. Untuk perkalian kisi, dibuat tabel yang berisi kolom sebanyak jumlah digit pada pengali, dan baris sebanyak jumlah digit pada pengali. Perkaliannya ditulis di atas kolom tabel sehingga menjadi angka 2

3 Perkalian dengan kisi = Gambar. 6 angka masing-masing terletak di atas kolomnya sendiri. Pengganda ditulis di sebelah kanan tabel (Gbr. 6). Kemudian sel-sel tabel tersebut diisi dengan hasil perkalian angka pengali yang terletak di atas sel tersebut dan angka pengali yang terletak di sebelah kanan sel tersebut. Tindakan inilah yang disederhanakan Napier dengan meletakkan tabel perkalian pada tongkat. Kemudian produk-produknya dirangkum, seperti halnya tongkat. Batang Napier ditakdirkan untuk berumur panjang: selama beberapa abad digunakan untuk perhitungan di berbagai bidang aktivitas manusia. Mereka mempengaruhi penciptaan mistar hitung, yang menjadi alat teknik klasik abad ke-19 dan ke-20, dan bertahan hingga era komputer dan kalkulator. 19. Apa tujuan utama John Napier ketika mengerjakan pembuatan alat penghitung yang diberi namanya? Lingkari nomor jawaban. 1) menarik minat masyarakat untuk mempelajari matematika 2) meletakkan dasar bagi ilmu baru matematika komputasi 3) membebaskan masyarakat dari kesulitan berhitung 4) mengembangkan metode penghitungan baru, berbeda dengan perkalian “dalam kolom” 20. Bagaimana caranya Susunan batang-batang makam tersebut tertuang pada teks paragraf kedua. Bacalah kembali dan jawab pertanyaannya: Nomor berapa yang harus ditulis pada kotak atas tongkat seperti pada gambar? 3

4 21. Dengan menggunakan tongkat Napier, Anda perlu melakukan perkalian: Tongkat yang sesuai dengan angka apa yang harus Anda pilih? Tandai dengan huruf P di kotak yang terletak di bawah tongkat yang sesuai. 22. Nama kedua alat penghitung tulang Makasar yang dijelaskan. Apa arti nama ini? Garis bawahi kata-kata dalam teks yang berisi jawaban atas pertanyaan ini. 23. Dengan menggunakan tongkat Napier, kalikan 187 dengan 4. Dengan menggunakan Gambar 4 dan 5, selesaikan tugas A B. A. Baris manakah yang harus Anda pilih? B. Tuliskan semua jumlah yang diperlukan. B. Tuliskan hasilnya. 4

5 24. Bayangkan Anda perlu memberi tahu adik laki-laki Anda, siswa kelas tiga, cara mengalikan angka dua digit dengan angka satu digit menggunakan hash. Langkah-langkah individual dari algoritma ini dijelaskan di bawah ini. Dengan menggunakan Gambar 6 dan deskripsi dalam teks, tunjukkan nomor serinya untuk setiap langkah. Langkah pertama telah ditunjukkan. Tuliskan nomor yang dihasilkan. Kami mengalikan digit satuan perkalian dengan faktor dan menulis hasilnya di sel kedua. Kami menjumlahkan angka-angka dalam sel secara diagonal, sedikit demi sedikit. 1 Gambarlah sebuah tabel dengan dua kolom dan satu baris. Kita mengalikan tempat puluhan perkalian dengan faktornya, tulis hasilnya di sel pertama. Kami membagi setiap sel tabel secara diagonal menjadi dua sel. 25. Bagaimana angka-angka dikalikan dengan angka 0 sebagai gantinya? Bagaimana cara mengalikan 1807 dengan 3 menggunakan tongkat Napier? Tunjukkan pada diagram dan tuliskan jawabannya = 5

6 26. Tanya membaca di ensiklopedia bahwa tongkat Napier telah lama digunakan untuk perhitungan di bidang astronomi, artileri dan bidang lainnya, dan di tanah air penulis di Skotlandia selama beberapa abad digunakan untuk mengajar aritmatika kepada anak-anak sekolah. Dia mencoba memahami mengapa metode ini begitu menarik pada masa itu. Ia mempunyai beberapa asumsi: 1) Pada saat itu, harga kertas dan tinta mahal, dan tongkat memungkinkan untuk dihemat. 2) Algoritma menjadi lebih pendek, perkalian diganti dengan penjumlahan yang lebih sederhana. 3) Dengan menggunakan tongkat Napier, Anda dapat mengalikan bilangan multi-digit tanpa mengetahui tabel perkaliannya. Bantu Tanya memilih satu, alasan terpenting. Lingkari nomor jawaban. 27. Gambar menunjukkan cara menggunakan tongkat Napier untuk mencari hasil kali bilangan 493 dan 85. Perkalian dengan tongkat Napier (=) Dengan menggunakan gambar, carilah hasil kali bilangan 493 dan 74. Penyelesaian: 6

Pekerjaan penelitian Perkalian dengan penuh semangat Diselesaikan oleh: Daniil Nikolaevich Nedorezov, siswa kelas 7, sekolah menengah dasar MBOU 6 Kepala: Lidiya Iosifovna Zalyaeva guru

Perencanaan tematik matematika untuk kelas SD (sistem buku teks “Calon Sekolah Dasar”) 4 jam per minggu, 36 jam per tahun (penulis buku teks A.L. Chekin) Bagian Pengulangan “Bulat” dua digit

Konsep sistem bilangan Bilangan digunakan untuk mencatat informasi tentang jumlah suatu benda. Bilangan ditulis dengan menggunakan sistem tanda khusus yang disebut sistem bilangan (s/s). Alfabet

BUKU KERJA SEKOLAH INOVATIF Standar Pendidikan Negara Bagian Federal untuk buku teks “Matematika. kelas 6” diedit oleh Akademisi Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia V.V. Kozlov dan akademisi Akademi Pendidikan Rusia A.A. Nikitina DALAM EMPAT BAGIAN Bagian 1 ARAH "Kata Rusia" Moskow 2013

1 Pemodelan matematika dan komputer dalam memecahkan masalah konstruksi, teknologi, manajemen dan pendidikan Konferensi Ilmiah dan Teknis Internasional XVI, Penza, 2011 ISBN 978-5-94338-519-3 A.V.

Kuliah 5 Dasar-dasar Penyajian Informasi pada Mesin Digital Sistem Bilangan Posisi Sistem bilangan adalah seperangkat teknik dan aturan penulisan bilangan dalam tanda digital. Apa pun yang dimaksudkan

Pekerjaan diagnostik (kelas 2, akhir tahun) Tugas 1 Nomor manakah yang harus dimasukkan ke dalam bingkai agar perhitungan dapat dilakukan dengan benar? Garis bawahi jawaban yang benar. _61 2 37 a) 0 b) 6 c) 4 d) 3 Tugas

Persyaratan Matematika untuk hasil mata pelajaran. Bilangan dan besaran membaca, menulis, membandingkan, mengurutkan bilangan dari nol sampai satu juta; menetapkan suatu pola, aturan yang digunakan untuk menyusun bilangan numerik

B3 (tingkat lanjutan, waktu 7 menit) Topik: pemrograman dinamis. Yang perlu Anda ketahui: Pemrograman dinamis adalah cara memecahkan masalah kompleks dengan mereduksinya menjadi masalah yang lebih sederhana.

Konferensi ilmiah dan praktis mahasiswa tingkat III “KINEL VECTOR” Bagian: MATEMATIKA Metode perkalian.

Lingkungan materi pelajaran matematika di sekolah dasar Bukan rahasia lagi bahwa anak-anak usia sekolah dasar paling baik mempelajari pola-pola yang mereka “temukan” dalam aktivitas atau permainan.

TEKNIK MENGHITUNG LISAN NON STANDAR 1. PERKALIKAN ANGKA DUA DIGITUAL 10 SAMPAI 20 2. PERKALIKAN ANGKA DUA DIGITUAL 20 SAMPAI 30 3. PERKALIAN DUA ANGKA YANG PULUHAN DIGITNYA SAMA DAN JUMLAHNYA E DINITZ

PEMERIKSAAN KERJA MASUK Fokus guru: menciptakan kondisi untuk menguji kemampuan menjumlahkan dan mengurangi bilangan satu digit tanpa melewati sepuluh. RENCANA

Institusi Pendidikan Anggaran Kota "Sekolah Menengah Dasar Dobrinskaya dinamai Nikolai Semenovich Spiridonov" PROGRAM KERJA matematika untuk siswa kelas 2 "B"

PERSYARATAN DASAR MATEMATIKA tingkat persiapan siswa kelas 1 Pada akhir kelas 1 siswa harus: suatu benda yang terletak di kiri (ke kanan), di atas (di bawah) suatu benda tertentu, di atas (di bawah, di belakang) suatu benda tertentu obyek

O. A. Ivashova E. E. Ostanina Belajar menghitung Perkalian dan pembagian ekstra tabel Buku Kerja matematika untuk kelas sekolah Moscow LLC "Cyril and Methodius" 2007 UDC 373.167.1:51 BBK 74.262 I Edisi 24

Rencana hasil belajar mata pelajaran akademik Pada jenjang pendidikan umum dasar, dalam rangka penguasaan muatan matematika dalam buku teks matematika, telah diciptakan kondisi yang dapat dicapai siswa.

Sistem bilangan dan aritmatika komputer Daftar Isi Pendahuluan... 3 I. Pengkodean informasi numerik.... 4 1.1. Penyajian informasi numerik menggunakan sistem bilangan... 4 1.2. Sistem non-posisi

Peta teknologi untuk mengerjakan set untuk MATEMATIKA "PERSPEKTIF" sekolah dasar Kelas 3 II setengah tahun 1 Peta teknologi 7 Bagian Topik Tujuan Isi utama topik Syarat dan konsep Angka

Lembaga Pendidikan Anggaran Kota Abakan “Sekolah Menengah Pertama 4” PROGRAM KERJA mata pelajaran “Matematika” untuk kelas 1-4 Program kerja mata pelajaran “Matematika”

Tujuan pembelajaran: Ringkasan pelajaran matematika di kelas 2 dengan topik “Tabel perkalian dengan 8.” Berusahalah menghafal kasus-kasus perkalian bilangan 9 yang dipelajari. Analisis kasus tabel perkalian bilangan 8 (8x8,

Pilihan I Matematika Kelas 2 “PEMBIMBINGAN DAN PERBANDINGAN ANGKA DUA DIGIT” 1. Tulislah bilangan-bilangan yang terdiri dari: 5 puluhan dan 2 satuan; 3 puluhan dan 6 satuan; 1 sepuluh dan 8 satuan; 8 puluhan dan 7 satuan. 2. Baca

Kuliah Sistem Bilangan Pikirkan tentang berapa banyak cara yang berbeda untuk menulis angka “sepuluh”. Salah satu cara telah disajikan dalam kalimat sebelumnya. Anda dapat menyebutkan beberapa cara penulisan lainnya

Topik proyek: Metode perhitungan lisan Penulis: Nikita Akulenko Sekolah: 536 Kelas: 5 “B” Pemimpin: Voronova S.N. RELEVANSI: Setelah mempelajari cara-cara baru yang tidak standar dalam mengalikan bilangan dua digit, kita bisa

Menyelesaikan masalah dengan topik “Representasi bilangan pada komputer” Jenis soal : 1. Bilangan bulat. Representasi angka dalam format titik tetap. 2. Bilangan pecahan. Representasi angka dalam format floating point.

A. V. AFONINA E. E. IPATOVA PERKEMBANGAN PELAJARAN MATEMATIKA UNTUK UMK A.L. Chekina (M.: Akademkniga/Buku Teks) Sekolah Dasar yang Menjanjikan Kelas 4 MOSKOW "VAKO" 2011 UDC 372.851 BBK 74.262.21 A94 A94 Afonina

Catatan penjelasan. Program matematika untuk kelas 6 dikembangkan berdasarkan program sekolah pendidikan umum khusus (pemasyarakatan) tipe VIII, diedit oleh V.V Voronkova, 00.

O. A. Ivashova E. E. Ostanina Saya sedang belajar menghitung tabel perkalian dan pembagian. Pembagian dengan sisa Buku kerja Matematika untuk kelas sekolah Moscow LLC "Cyril and Methodius" 2007 UDC 373.167.1:51 BBK 74.262

Opsi 1 Wilayah Kota / kota / desa Kelas Sekolah Nama belakang, nama depan Petunjuk bagi siswa diberikan waktu 90 menit (dengan istirahat) untuk menyelesaikan pekerjaan. Setiap bagian dari karya berisi satu atau lebih teks dan

ÓÄÊ 373.167.1:51*01/04 ÁÁÊ 22.1ÿ71 Ì 30 Ì 30 Måíkî N. S. Modifikasi : 1 4 kg /È. S. Mama-Mik. M. : Eznim, 2012. 144 hal. (dalam bahasa Rusia). ISBN 978-5-699-51255-3

Sistem bilangan Sistem bilangan adalah cara penulisan bilangan dengan menggunakan sekumpulan karakter khusus (digit) tertentu. Dalam komputasi, sistem bilangan posisi digunakan, di mana nilai suatu digit adalah

Lembaga Anggaran Negara Federal Pendidikan Profesi Tinggi "SibGUTI" Departemen Disiplin Sistem Komputer "BAHASA PEMROGRAMAN" "PEMROGRAMAN" Pelajaran praktis Bekerja dengan tempat desimal Guru: Associate Professor Departemen Ilmu Komputer, Ph.D. Polandia

Topik Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional Tes Masuk Jawaban setiap tugas adalah pecahan desimal berhingga, bilangan bulat, atau barisan angka. Tuliskan jawaban tugas pada kolom jawaban pada teks karya,

Institusi pendidikan kota "Sekolah menengah di desa Pinerovka, distrik Balashov, wilayah Saratov" PROGRAM KERJA GURU Tatyana Nikolaevna Shvetsova kualifikasi pertama

CATATAN PENJELASAN Tujuan Matematika: o Pengembangan pemikiran figuratif dan logis, imajinasi, pembentukan keterampilan mata pelajaran yang diperlukan untuk keberhasilan pemecahan masalah pendidikan dan praktis,

Peta teknologi untuk mengerjakan set untuk MATEMATIKA "PERSPEKTIF" sekolah dasar Kelas 3 I setengah tahun Peta teknologi 4 Bagian Tujuan Topik Isi utama topik Syarat dan konsep Angka

Elena Gennadievna Koroleva, guru matematika, Lembaga Pendidikan Negara Federal "Sekolah Angkatan Laut Nakhimov dari Kementerian Pendidikan Federasi Rusia"

Lampiran program pendidikan utama NOO Federal State Educational Institution MAOU Secondary School 85, disetujui atas perintah 552-OD tanggal 30 Agustus 206 PROGRAM KERJA MATA PELAJARAN KURIKULUM “MATEMATIKA” PENDIDIKAN UMUM DASAR Kelas 3 A, B

Olimpiade "Kurchatov" 2013 Tahap internet dalam ilmu komputer Putaran pertama Kami mengundang Anda untuk mengambil bagian dalam serangkaian Olimpiade yang tidak biasa dalam ilmu komputer. Setiap Olimpiade akan didedikasikan untuk satu atau lebih

“Matematika” Siswa kelas satu akan mempelajari: suatu benda yang terletak di kiri (ke kanan), di atas (di bawah) suatu benda tertentu, di atas (di bawah, di belakang) suatu benda tertentu, di antara dua benda; bilangan asli dari 1 sampai 20 pada garis lurus dan

SPESIFIKASI pekerjaan diagnostik matematika untuk siswa kelas 4 organisasi pendidikan umum di Moskow. Pekerjaan diagnostik dilakukan pada 19 Januari 2017. 1. Tujuan pekerjaan diagnostik

Kuliah 3. Sistem bilangan “mesin”. Representasi bilangan bulat di komputer. Maksud dan tujuan: Mengetahui: Konsep dasar: overflow, discreteness, sistem bilangan mesin. Fitur presentasi

Catatan Penjelasan Program kerja dikembangkan berdasarkan program penulis pendidikan umum dasar sesuai dengan persyaratan Standar Pendidikan Negara Federal untuk Sekolah Dasar

ABSTRAK PROGRAM KERJA Mata Pelajaran: Kelas Bahasa Rusia: 2 Jumlah jam menurut kurikulum: total - 136 jam per tahun (4 jam per minggu) Bahan ajar: 1. Program penulis “Calon Sekolah Dasar” berdasarkan

Universitas Teknik Negeri Moskow dinamai NE Bauman Fakultas Ilmu Dasar Departemen Pemodelan Matematika A. K. K. K., A. Kremenko AP

RENCANA HASIL PENGUASAAN PROGRAM MATEMATIKA PADA AKHIR KELAS 2 PRIBADI Siswa akan berkembang: sikap dan minat positif terhadap pelajaran matematika; kemampuan untuk mengakui kesalahannya sendiri;

Pertanyaan: Bilangan apa yang disebut bilangan asli? Jawaban Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk berhitung. Apa yang dimaksud dengan kelas dan pangkat dalam notasi bilangan? Apa yang disebut angka saat menjumlahkan? Merumuskan konsonan

Kalender perencanaan tematik pelajaran matematika di kelas 3 136 jam Sistem pendidikan pelajaran “Sekolah dasar abad XXI” Mata pelajaran pelajaran Jenis kegiatan pendidikan dalam pelajaran Pendidikan universal

Peta teknologi untuk mengerjakan set untuk MATEMATIKA “PERSPEKTIF” sekolah dasar Kelas 3 I setengah tahun 1 Bagian Topik Nomor dari 1 hingga 100 (90 jam) Peta teknologi 5 Perkalian dan pembagian bilangan

Catatan penjelasan Program kerja matematika disusun berdasarkan dokumen peraturan dan rekomendasi metodologis berikut: 1. Standar pendidikan negara bagian federal untuk dasar

Krylova A.V., Varchenko V.I. Workshop Komputer MATEMATIKA SD Kumpulan Bahan Ajar Kelas DAFTAR ISI Bagian 1. NOMOR... 1.1. Pengulangan... 1.. Satuan hitung baru yaitu puluhan.

“Tongkat Napere” menandai dimulainya era baru - “zaman ilmu pengetahuan”, yang menggantikan bisnis perdagangan yang sebelumnya populer. Tongkat hitung adalah penemuan ahli matematika Skotlandia John Napier, yang tercatat dalam sejarah berkat penemuan logaritma. Dengan bantuan teknologi komputer pertama, perkembangan ilmu hitung mengalami kemajuan pesat, dan tongkat Napier masih dianggap sebagai prototipe teknologi komputer pertama, misalnya kalkulator.

John Napier adalah seorang ahli matematika Skotlandia, yang dikenal sebagai penemu alat komputasi jenis baru - logaritma, yang pendorongnya adalah "tongkat Napear". Pada abad ke-16, ilmu pengetahuan merasakan kebutuhan untuk melakukan perhitungan yang rumit, tetapi pada saat itu kondisi yang diperlukan untuk pengembangan lebih lanjut belum tercipta. Oleh karena itu, John Napier menyarankan untuk menggunakan proses penjumlahan daripada operasi perkalian kompleks, yang berhasil ia bandingkan menggunakan tabel khusus. Berkat skema ini, proses pembagian yang memakan waktu juga dapat digantikan dengan operasi pengurangan. Penemuan ini sangat memudahkan pekerjaan komputer.

Tongkat Napier - apa itu?

John Napier menerbitkan sebuah buku pada tahun 1617 di mana ia mengusulkan metode baru untuk melakukan operasi perkalian dengan menggunakan tongkat khusus. Pada saat itu, metode perkalian kisi sangat populer, sehingga ilmuwan memutuskan untuk membuat tekniknya sendiri berdasarkan metode tersebut.

Tongkat Napere adalah seperangkat tongkat khusus yang terdiri dari papan bertanda satu sampai sembilan dan sisa tongkat yang di atasnya diletakkan tabel perkalian dengan tanda angka yang sama. Di bagian atas setiap tablet terdapat angka-angka dalam urutan menaik, dan di sepanjang tabel yang ditata, Napier menempatkan hasil sebenarnya dari mengalikan angka dengan angka dari satu hingga sembilan. Dengan kata lain, tabel tersebut memungkinkan untuk melakukan operasi mengalikan angka 123456789 dengan angka 123456789. Grid itu sendiri dibagi menjadi beberapa kolom.

Untuk mendapatkan hasil perkalian, perlu untuk memilih tongkat yang sesuai dengan digit perkalian, dan menyusunnya dalam satu garis, serangkaian angka yang menunjukkan angka itu sendiri. Karena angka-angka dalam perkalian dapat diulang, himpunan tersebut selalu menyertakan tongkat tambahan yang bertanggung jawab untuk setiap digit. Sebuah papan dengan nomor yang disusun vertikal dari satu sampai sembilan ditempatkan di sebelah kiri. Dengan menggunakannya, dimungkinkan untuk memilih garis yang sesuai dengan digit pengali.

John Napier memutuskan bahwa jika dia membagi sel menjadi 2 bagian menggunakan garis diagonal, maka hasil operasi dapat ditulis secara kompak: di kompartemen atas, catat digit paling signifikan dari angka yang dihasilkan, dan di kompartemen kompartemen bawah, angka paling penting. Untuk mendapatkan hasil akhir operasi, Anda perlu menjumlahkan angka-angka di "tabel" dari kanan ke kiri - jumlah angka-angka tersebut akan menjadi jawaban yang diperlukan.

“Tongkat Napier” dapat digunakan untuk perkalian dan pembagian, dan untuk menghitung akar kuadrat suatu bilangan. Jika bilangan dapat dibagi menurut prinsip yang mirip dengan perkalian, maka untuk mengekstrak akar kuadrat, batang lain yang terdiri dari tiga kolom ditambahkan ke dalam himpunan. Kolom pertama berisi angka kuadrat yang sesuai dengan nilai tablet yang menunjukkan baris, kolom kedua berisi angka yang diperoleh dengan mengalikan indeks baris dengan dua, dan kolom ketiga berisi angka dari satu hingga sembilan.

Modernisasi "tongkat Napere"

Setelah penemuan metode aritmatika ini, banyak ahli matematika mencoba memperkenalkan beberapa inovasi ke dalam mekanisme yang dikembangkan sebelumnya. Misalnya, pada tahun 1666, seorang ilmuwan-penemu Inggris mencoba memindahkan seluruh tabel dari stick ke disk. Pengalaman ini dimahkotai dengan kesuksesan, karena teknik ini menyederhanakan pekerjaan dengan penemuan pendahulunya. Dan di akhir tahun 60an, ahli matematika Jerman Kaspar Schot mengemukakan ide untuk mengganti tablet dengan silinder, di kedua sisinya harus ditempatkan semua nilai numerik bersama dengan kotak perkalian dari satu hingga sembilan. Jika silinder ditempatkan sedemikian rupa sehingga sisi atasnya yang berisi angka membentuk pengali, maka operasi perkalian dapat dilakukan dengan prinsip yang sama seperti menggunakan “tongkat Napeer”.

Sudah di abad ke-19, untuk memudahkan penggunaan perangkat, alih-alih papan datar biasa, mereka mulai membuat palang dengan sudut 65 derajat. Hasilnya, segitiga-segitiga yang memuat angka-angka untuk operasi tersebut dapat digunakan secara berurutan, karena letaknya sekarang berada di bawah satu sama lain. Pada akhir abad tersebut, beberapa perubahan lagi dilakukan terkait penggantian tongkat dengan potongan tipis, yang dipasang dalam wadah khusus yang menyerupai buku catatan. Potongan-potongan itu harus dipindahkan menggunakan tongkat tajam.

Tongkat Napier banyak diminati pada saat itu. Penemuan yang tampaknya sederhana ini memberikan terobosan besar dalam perkembangan ilmu aritmatika.