Garis pada suatu bidang adalah kumpulan titik-titik pada bidang tersebut yang mempunyai sifat-sifat tertentu, sedangkan titik-titik yang tidak terletak pada suatu garis tidak mempunyai sifat-sifat tersebut. Persamaan suatu garis mendefinisikan hubungan yang dinyatakan secara analitis antara koordinat titik-titik yang terletak pada garis tersebut. Biarkan hubungan ini diberikan oleh persamaan

F( x, y)=0. (2.1)

Sepasang bilangan yang memuaskan (2.1) tidak sembarangan: jika X diberikan, kalau begitu pada tidak bisa apa-apa, maksudnya pada berkaitan dengan X. Ketika itu berubah X perubahan pada, dan sebuah titik dengan koordinat ( x, y) menjelaskan baris ini. Jika koordinat titik M 0 ( X 0 ,pada 0) memenuhi persamaan (2.1), yaitu. F( X 0 ,pada 0)=0 adalah persamaan sejati, maka titik M 0 terletak pada garis tersebut. Hal sebaliknya juga benar.

Definisi. Persamaan garis pada bidang adalah persamaan yang dipenuhi oleh koordinat suatu titik yang terletak pada garis tersebut, dan tidak dipenuhi oleh koordinat titik-titik yang tidak terletak pada garis tersebut..

Jika persamaan garis tertentu diketahui, maka studi tentang sifat-sifat geometris garis ini dapat direduksi menjadi studi persamaannya - ini adalah salah satu gagasan utama geometri analitik. Untuk mempelajari persamaan, terdapat metode analisis matematis yang dikembangkan dengan baik yang menyederhanakan studi tentang sifat-sifat garis.

Saat mempertimbangkan garis, istilah ini digunakan titik saat ini garis – titik variabel M( x, y), bergerak sepanjang garis ini. Koordinat X Dan pada titik saat ini disebut koordinat saat ini titik garis.

Jika dari persamaan (2.1) dapat kita nyatakan secara eksplisit pada
melalui X, yaitu menulis persamaan (2.1) dalam bentuk , maka kurva yang ditentukan oleh persamaan tersebut disebut jadwal fungsi f(x).

1. Persamaannya diberikan: , atau . Jika X mengambil nilai sewenang-wenang, kalau begitu pada mengambil nilai yang sama dengan X. Akibatnya, garis yang ditentukan oleh persamaan ini terdiri dari titik-titik yang berjarak sama dari sumbu koordinat Ox dan Oy - ini adalah garis bagi sudut koordinat I–III (garis lurus pada Gambar 2.1).

Persamaan, atau, menentukan garis bagi sudut koordinat II–IV (garis lurus pada Gambar 2.1).

0 x 0 x C 0 x

beras. 2.1 gambar. 2.2 gambar. 2.3

2. Persamaannya diberikan: , di mana C adalah suatu konstanta. Persamaan ini dapat ditulis secara berbeda: . Persamaan ini dipenuhi oleh titik-titik tersebut dan hanya titik-titik tersebut, ordinat pada yang sama dengan C untuk setiap nilai absis X. Titik-titik ini terletak pada garis lurus yang sejajar dengan sumbu Ox (Gbr. 2.2). Demikian pula, persamaan tersebut mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu Oy (Gbr. 2.3).

Tidak semua persamaan berbentuk F( x, y)=0 mendefinisikan garis pada bidang: persamaan dipenuhi oleh satu titik – O(0,0), dan persamaan tidak dipenuhi oleh titik mana pun pada bidang.

Dalam contoh yang diberikan, kami menggunakan persamaan tertentu untuk membuat garis yang ditentukan oleh persamaan ini. Mari kita pertimbangkan soal kebalikannya: buat persamaannya menggunakan garis tertentu.

3. Buatlah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P( a,b) Dan
radius R .

○ Lingkaran yang berpusat di titik P dan berjari-jari R adalah himpunan titik-titik yang terletak pada jarak R dari titik P. Artinya, untuk sembarang titik M yang terletak pada lingkaran maka MP = R, tetapi jika titik M tidak terletak pada lingkaran lingkaran, lalu MP ≠ R.. ●

10.1. Konsep dasar

Garis pada suatu bidang dianggap (ditentukan) sebagai sekumpulan titik yang memiliki sifat geometris tertentu yang melekat pada titik tersebut. Misalnya, lingkaran berjari-jari R adalah himpunan semua titik pada bidang yang terletak pada jarak - R dari suatu titik tetap O (pusat lingkaran).

Pengenalan sistem koordinat pada bidang memungkinkan seseorang untuk menentukan posisi suatu titik pada bidang dengan menentukan dua angka - koordinatnya, dan posisi garis pada bidang ditentukan dengan menggunakan persamaan (yaitu persamaan yang menghubungkan koordinat titik-titik pada garis).

Persamaan garis(atau kurva) pada bidang Oxy adalah persamaan F(x;y) = 0 dengan dua variabel, yang dipenuhi oleh koordinat x dan y setiap titik pada garis dan tidak dipenuhi oleh koordinat titik mana pun yang tidak berbaring di baris ini.

Variabel x dan y pada persamaan garis disebut koordinat titik-titik garis saat ini.

Persamaan garis memungkinkan studi tentang sifat-sifat geometri suatu garis digantikan dengan studi tentang persamaannya.

Jadi, untuk menentukan apakah titik A(x 0 ; y 0) terletak pada suatu garis tertentu, cukup dengan memeriksa (tanpa menggunakan konstruksi geometri) apakah koordinat titik A memenuhi persamaan garis tersebut pada koordinat yang dipilih sistem.

Soal mencari titik potong dua garis yang diberikan oleh persamaan F 1 (x 1 ;y 1) = 0 dan F 2 (x 2 ;y) = 0, direduksi menjadi mencari titik-titik yang koordinatnya memenuhi persamaan keduanya garis, yaitu, direduksi menjadi penyelesaian sistem dua persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui:

Jika sistem ini tidak mempunyai solusi nyata, maka garis-garisnya tidak berpotongan.

Konsep persamaan garis dalam sistem koordinat kutub diperkenalkan dengan cara yang sama.

Persamaan F(r; φ)=O disebut persamaan garis tertentu dalam sistem koordinat kutub jika koordinat titik mana pun yang terletak pada garis ini, dan hanya titik tersebut, memenuhi persamaan ini.

Garis pada suatu bidang dapat didefinisikan dengan menggunakan dua persamaan:

dimana x dan y adalah koordinat titik sembarang M(x; y) yang terletak pada garis tertentu, dan t adalah variabel yang disebut parameter; parameter t menentukan posisi titik (x; y) pada bidang.

Misalnya, jika x = t + 1, y = t 2, maka nilai parameter t = 1 sesuai dengan titik (3; 4) pada bidang, karena x = 1 + 1 = 3, y = 22 - 4.

Jika parameter t berubah, maka titik pada bidang bergerak, menggambarkan garis ini. Cara mendefinisikan garis ini disebut parametrik, dan persamaan (10.1) - persamaan parametrik garis.

Untuk berpindah dari persamaan parametrik sebuah garis ke persamaan berbentuk F(x;y) = 0, parameter t dari kedua persamaan tersebut perlu dihilangkan.

Misalnya dari persamaan dengan mensubstitusi t = x

ke dalam persamaan kedua, mudah untuk mendapatkan persamaan y = x 2 ; atau y-x 2 = 0, yaitu dalam bentuk F(x; y) = 0. Namun, perhatikan bahwa transisi seperti itu tidak selalu memungkinkan.

Sebuah garis pada suatu bidang dapat ditentukan dengan persamaan vektor r =r(t), di mana t adalah parameter variabel skalar. Setiap nilai t 0 berhubungan dengan vektor tertentu r =r(t) pesawat. r =r(t) Ketika parameter t berubah, ujung vektor

akan menggambarkan garis tertentu (lihat Gambar 31). r =r(t) Persamaan garis vektor

dalam sistem koordinat Oxy terdapat dua persamaan skalar (10.1), yaitu persamaan proyeksi pada sumbu koordinat persamaan vektor suatu garis merupakan persamaan parametriknya. I Persamaan vektor dan persamaan parametrik garis I mempunyai arti mekanis. Jika suatu titik bergerak pada suatu bidang, maka persamaan yang ditunjukkan disebut persamaan gerak, dan garis tersebut disebut lintasan titik, parameter t adalah waktu; Jadi, setiap garis pada bidang berhubungan dengan persamaan berbentuk F(x; y) = 0.

Untuk persamaan apa pun yang berbentuk F(x; y) = 0, secara umum bersesuaian dengan suatu garis tertentu, yang sifat-sifatnya ditentukan oleh persamaan ini (pernyataan “secara umum” berarti bahwa persamaan di atas memperbolehkan pengecualian. Jadi, persamaan tersebut persamaan (x-2) 2 + (y- 3) 2 = 0 tidak berhubungan dengan garis, tetapi dengan titik (2; 3); persamaan x 2 + y 2 + 5 = 0 tidak berhubungan dengan bayangan geometri apa pun di pesawat).

Gambar 32-40 menunjukkan contoh beberapa kurva dan persamaannya.

10.2. Persamaan garis pada bidang datar

Garis yang paling sederhana adalah garis lurus. Dalam sistem koordinat persegi panjang, berbagai cara untuk mendefinisikan sebuah garis berhubungan dengan berbagai jenis persamaannya.

Persamaan garis lurus dengan kemiringan

Misalkan suatu garis lurus sembarang diberikan pada bidang Oxy, tidak sejajar dengan sumbu Oy. Posisinya ditentukan sepenuhnya oleh ordinat b dari titik N(0; b) perpotongan dengan sumbu Oy dan sudut a antara sumbu Ox dan garis lurus (lihat Gambar 41).

Pada sudut a (0

Dari pengertian garis singgung suatu sudut maka berikut ini

Mari kita perkenalkan notasi tg a=k , kita memperoleh persamaannya

(10.2)

yang dipenuhi oleh koordinat titik mana pun M(x;y) pada garis. Anda dapat memastikan bahwa koordinat titik mana pun P(x;y) yang terletak di luar garis ini tidak memenuhi persamaan (10.2).

Bilangan k = tga disebut kemiringan garis, dan persamaan (10.2) adalah persamaan garis dengan kemiringan.

Jika sebuah garis melalui titik asal, maka b = 0 dan oleh karena itu, persamaan garis tersebut akan berbentuk y=kx.

Jika garis lurus sejajar sumbu Ox maka a = 0, maka k = tga = 0 dan persamaan (10.2) berbentuk y = b.

Jika garis lurus sejajar dengan sumbu Oy, maka persamaan (10.2) kehilangan maknanya, karena koefisien sudutnya tidak ada.

Dalam hal ini persamaan garis lurus akan berbentuk

Di mana A- absis titik potong garis lurus dengan sumbu Sapi. Perhatikan bahwa persamaan (10.2) dan (10.3) merupakan persamaan derajat pertama.

Persamaan umum garis lurus.

Mari kita perhatikan persamaan derajat pertama untuk x dan y dalam bentuk umum

(10.4)

dimana A, B, C adalah bilangan sembarang, dan A dan B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Mari kita tunjukkan bahwa persamaan (10.4) adalah persamaan garis lurus. Ada dua kemungkinan kasus.

Jika B = 0, maka persamaan (10.4) berbentuk Ax + C = O, dan A ¹ 0 yaitu. Ini adalah persamaan garis lurus yang sejajar sumbu Oy dan melalui suatu titik

Jika B ¹ 0, maka dari persamaan (10.4) kita peroleh . Ini adalah persamaan garis lurus dengan koefisien sudut |.

Jadi persamaan (10.4) adalah persamaan garis lurus disebut persamaan umum garis.

Beberapa kasus khusus persamaan umum suatu garis:

1) jika A = 0, maka persamaannya direduksi menjadi bentuk. Ini adalah persamaan garis lurus yang sejajar dengan sumbu Sapi;

2) jika B = 0, maka garis lurus tersebut sejajar dengan sumbu Oy;

3) jika C = 0, maka kita peroleh . Persamaan tersebut dipenuhi oleh koordinat titik O(0;0), garis lurus yang melalui titik asal.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu dan arah tertentu

Misalkan suatu garis lurus melalui suatu titik dan arahnya ditentukan oleh kemiringan k. Persamaan garis ini dapat ditulis dalam bentuk , dimana b adalah besaran yang belum diketahui. Karena garis melalui suatu titik, maka koordinat titik tersebut memenuhi persamaan garis :. Dari sini.

(10.5)

Mengganti nilai b ke dalam persamaan, kita memperoleh persamaan garis yang diinginkan: , yaitu.

Persamaan (10.5) dengan nilai k yang berbeda disebut juga persamaan pensil garis yang berpusat di titik. Dari pensil ini tidak mungkin menentukan hanya garis lurus yang sejajar sumbu Oy.

Persamaan garis yang melalui dua titik

(10.6)

Biarkan garis melalui titik dan . Persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berbentuk

dimana k adalah koefisien yang masih belum diketahui. Karena garis lurus melalui suatu titik, maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan (10.6): . Di sini kita menemukannya. Mengganti nilai k yang ditemukan ke dalam persamaan (10.6), kita memperoleh persamaan garis lurus yang melalui titik-titik

(10.7)

M 1 dan M 2.

Diasumsikan bahwa dalam persamaan ini

Jika x 2 = x 1 adalah garis lurus yang melalui titik-titik dan sejajar dengan ordinat. Persamaannya terlihat seperti. Jika y 2 = y 1 maka persamaan garis dapat dituliskan dalam bentuk garis M 1 M 2

sejajar dengan sumbu x.

Persamaan garis dalam segmen

Misalkan garis lurus tersebut memotong sumbu Ox di titik tersebut dan sumbu Oy di titik tersebut (lihat Gambar 42). Dalam hal ini, persamaan (10.7) akan berbentuk Persamaan ini disebut persamaan garis lurus dalam segmen

, karena angka α dan b menunjukkan ruas mana yang dipotong oleh garis lurus pada sumbu koordinat.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu

Mari kita cari persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor bukan nol tertentu.

Mari kita ambil titik sembarang M(x;y) pada garis dan perhatikan vektornya (lihat Gambar 43). Karena vektor-vektor dan tegak lurus, hasil kali skalarnya sama dengan nol: , yaitu Persamaan (10.8) disebut

persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu.

(10.9)

Vektor yang tegak lurus suatu garis disebut vektor normal garis tersebut. Persamaan (10.8) dapat ditulis ulang menjadi

dimana A dan B adalah koordinat vektor normal, dan merupakan suku bebas. Persamaan (10.9) merupakan persamaan umum garis lurus (lihat (10.4)).

Persamaan kutub suatu garis Mari kita cari persamaan garis lurus dalam koordinat kutub. Posisinya dapat ditentukan dengan menunjukkan jarak ρ dari kutub O ke garis lurus tertentu dan sudut α antara sumbu kutub OP dan sumbu aku

Untuk setiap titik pada garis tertentu kita mempunyai:

Di sisi lain,

Karena itu,

(10.10)

Persamaan yang dihasilkan (10.10) adalah persamaan garis lurus pada koordinat kutub.

Persamaan garis normal

Biarkan garis lurus ditentukan dengan menentukan p dan α (lihat Gambar 45). Pertimbangkan sistem koordinat persegi panjang. Mari kita perkenalkan sistem kutub, dengan mengambil kutub dan sumbu kutub. Persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai

Namun, karena rumus yang menghubungkan koordinat persegi panjang dan kutub, kita mendapatkan: , . Oleh karena itu, persamaan (10.10) garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang berbentuk

(10.11)

Persamaan (10.11) disebut persamaan garis normal.

Mari kita tunjukkan cara mereduksi persamaan (10.4) garis lurus menjadi bentuk (10.11).

Mari kita kalikan semua suku persamaan (10.4) dengan beberapa faktor. Kami akan mendapatkannya. Persamaan ini harus berubah menjadi persamaan (10.11). Oleh karena itu, persamaan harus dipenuhi: , , . Dari dua persamaan pertama kita temukan, yaitu. e. . Faktor λ disebut faktor normalisasi. Menurut persamaan ketiga, tanda faktor normalisasi berlawanan dengan tanda suku bebas C persamaan umum garis.

Target: Perhatikan konsep garis pada bidang, berikan contohnya. Berdasarkan pengertian garis, perkenalkan konsep persamaan garis pada bidang. Perhatikan jenis-jenis garis lurus, berikan contoh dan cara mendefinisikan garis lurus. Memperkuat kemampuan menerjemahkan persamaan garis lurus dari bentuk umum ke persamaan garis lurus “dalam ruas-ruas”, dengan koefisien sudut.

Persamaan garis pada bidang datar.
Persamaan garis lurus pada bidang datar. Jenis persamaan.
Metode untuk menentukan garis lurus.

1. Misalkan x dan y adalah dua variabel sembarang.

Definisi: Relasi berbentuk F(x,y)=0 disebut persamaan , jika tidak benar untuk sembarang pasangan bilangan x dan y.

Contoh: 2x + 7kamu – 1 = 0, x 2 + kamu 2 – 25 = 0.

Jika persamaan F(x,y)=0 berlaku untuk sembarang x, y, maka F(x,y) = 0 adalah suatu identitas.

Contoh: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Dikatakan bahwa bilangan x adalah 0 dan y adalah 0 memenuhi persamaan tersebut , jika ketika disubstitusikan ke dalam persamaan ini ternyata menjadi persamaan yang benar.

Konsep geometri analitik yang paling penting adalah konsep persamaan garis.

Definisi: Persamaan suatu garis adalah persamaan F(x,y)=0, yang dipenuhi oleh koordinat semua titik yang terletak pada garis tersebut, dan tidak dipenuhi oleh koordinat semua titik yang tidak terletak pada garis tersebut.

Garis yang dibatasi oleh persamaan y = f(x) disebut grafik f(x). Variabel x dan y disebut koordinat saat ini, karena merupakan koordinat suatu titik variabel.

Beberapa contoh definisi garis.

1) x – kamu = 0 => x = kamu. Persamaan ini mendefinisikan garis lurus:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => titik harus memenuhi persamaan x - y = 0, atau persamaan x + y = 0, yang bersesuaian pada bidang ke sepasang garis lurus berpotongan yang merupakan garis bagi sudut koordinat:

3) x 2 + y 2 = 0. Persamaan ini hanya dipenuhi oleh satu titik O(0,0).

2. Definisi: Setiap garis lurus pada bidang dapat ditentukan dengan persamaan orde pertama

Kapak + Wu + C = 0,

Selain itu, konstanta A dan B tidak sama dengan nol pada waktu yang sama, yaitu. A 2 + B 2 ¹ 0. Persamaan orde pertama ini disebut persamaan umum garis lurus.

Bergantung pada nilai konstanta A, B, dan C, kasus khusus berikut mungkin terjadi:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – garis lurus melalui titik asal

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (Oleh + C = 0) - garis lurus sejajar sumbu Sapi

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – garis lurus sejajar sumbu Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – garis lurus berimpit dengan sumbu Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – garis lurus berimpit dengan sumbu Sapi

Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada kondisi awal tertentu.

Persamaan garis lurus dengan koefisien sudut.

Jika persamaan umum garis lurus Ax + By + C = 0 direduksi menjadi bentuk:

dan menunjukkan , maka persamaan yang dihasilkan disebut persamaan garis lurus dengan kemiringan k.

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika pada persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, maka dibagi dengan –С kita peroleh: atau , dimana

Arti geometri dari koefisien adalah koefisien A adalah koordinat titik potong garis dengan sumbu Sapi, dan B– koordinat titik potong garis lurus dengan sumbu Oy.

Persamaan garis normal.

Jika kedua ruas persamaan Ax + By + C = 0 dibagi dengan suatu bilangan disebut faktor normalisasi, lalu kita dapatkan

xcosj + ysinj - p = 0 – persamaan normal garis lurus.

Tanda ± faktor normalisasi harus dipilih sehingga m×С< 0.

p adalah panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke garis lurus, dan j adalah sudut yang dibentuk oleh garis tegak lurus tersebut dengan arah positif sumbu Ox.

3. Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kemiringan.

Misalkan koefisien sudut garis sama dengan k, garis tersebut melalui titik M(x 0, y 0). Maka persamaan garis lurus dicari dengan rumus: y – y 0 = k(x – x 0)

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Misalkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis yang melalui titik-titik tersebut adalah:

Jika salah satu penyebutnya nol, maka pembilangnya harus sama dengan nol.

Pada bidang datar, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1 ¹ x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2.

Pecahan = k disebut lereng lurus.

Unduh dari Depositfiles

GEOMETRI ANALITIK

Kuliah No. 7. Topik 1 : Garis-garis pada bidang dan persamaannya

1.1. Garis dan persamaannya dalam sistem koordinat kartesius

Dalam geometri analitik, garis pada suatu bidang dianggap sebagai tempat kedudukan titik-titik geometri (g.m.t.) yang mempunyai sifat umum yang sama pada semua titik pada garis tersebut.

Definisi. Persamaan garis
adalah persamaan dengan dua variabelX Dan pada, yang dipenuhi oleh koordinat titik mana pun pada garis dan tidak dipenuhi oleh koordinat titik lain yang tidak terletak pada garis tersebut.

Hal sebaliknya juga berlaku, yaitu. persamaan apa punpada

bentuk, secara umum, dalam Cartesian

sistem koordinat (DSC) mendefinisikan garis

sebagai g.m.t., yang koordinatnya memuaskan

persamaan ini. TENTANG X

Catatan 1. Tidak semua persamaan bentuk mendefinisikan garis. Misalnya untuk persamaan
tidak ada titik yang koordinatnya memenuhi persamaan ini. Kami tidak akan mempertimbangkan kasus seperti ini lebih lanjut.Inilah yang disebut dengan garis imajiner.

P Contoh 1.Tuliskan persamaan lingkaran yang berjari-jariR terpusat pada suatu titik
.

Untuk hal apa pun berbohongpadaM

pada lingkaran, menurut definisiR

lingkaran sebagai g.m.t., berjarak sama

dari titik tersebut, kita mendapatkan persamaannyaX

1.2. Persamaan parametrik garis

Ada cara lain untuk mendefinisikan garis pada bidang dengan menggunakan persamaan yang disebutparametrik:

Contoh 1. Garis diberikan oleh persamaan parametrik

Diperlukan untuk mendapatkan persamaan garis ini di DSC.

Mari kita kecualikan parameternyaT . Untuk melakukannya, kita kuadratkan kedua ruas persamaan ini dan menjumlahkannya

Contoh 2. Garis diberikan oleh persamaan parametrik

Hal ini diperlukan untuk mendapatkan persamaan

baris ini di DSK. —A A

Mari kita lakukan hal yang sama, lalu kita dapatkan

— A

Catatan 2. Perlu diperhatikan bahwa parameternyaT dalam mekanika adalah waktu.

1.3. Persamaan garis dalam sistem koordinat kutub

DSC bukan satu-satunya cara untuk menentukan posisi suatu titik dan, oleh karena itu, menentukan persamaan suatu garis. Di pesawat seringkali disarankan untuk menggunakan apa yang disebut sistem koordinat kutub (PCS).

P CS akan ditentukan jika Anda menentukan poin O – tiang dan balok ATAU berasal dari titik ini, yang disebut sumbu kutub. Kemudian posisi suatu titik ditentukan oleh dua angka: jari-jari kutub
dan sudut kutub – sudut antara

sumbu kutub dan jari-jari kutub.

Arah referensi positif

sudut kutub dari sumbu kutub

dihitung berlawanan arah jarum jam.

Untuk semua titik pesawat
, ATAU

dan untuk kejelasan sudut kutub hal ini dipertimbangkan
.

Jika awal DSC digabungkan dengan

kutub, dan sumbu O X dikirim oleh

sumbu kutub, mudah untuk memverifikasipada

dalam hubungan antara kutub dan

Koordinat Kartesius:

TENTANG X R

Kembali,

(1)

Jika persamaan garis pada DSC berbentuk , maka pada PSC - Maka dari persamaan tersebut diperoleh persamaan berupa

Contoh 3. Tuliskan persamaan lingkaran dalam UCS jika pusat lingkaran berada di kutub.

Dengan menggunakan rumus transisi (1) dari DSC ke PSC, kita peroleh

P contoh 4.Tulis persamaan lingkaran,

jika kutub berada pada lingkaran dan sumbu kutubpada

melewati diameter.

Mari kita lakukan hal yang sama

HAI 2 R X

Persamaan ini juga dapat diperoleh

dari konsep geometris (lihat gambar).

P contoh 5.Buatlah garis

Mari kita beralih ke PSK. Persamaannya

akan mengambil formulir tersebut
TENTANG

Mari kita buat grafik garis denganA

dengan mempertimbangkan simetri dan ODZ-nya

Fitur:

Baris ini disebutlemniscate Bernoulli.

1.4. Transformasi sistem koordinat.

Persamaan garis pada sistem koordinat baru

1. Transfer paralel DSC.pada

Pertimbangkan dua DSC yang memilikiM

arah sumbu yang sama, tetapi

asal usul yang berbeda.

Dalam sistem koordinat TENTANG xy dot

relatif terhadap sistem
TENTANG X

memiliki koordinat
. Lalu kita punya

Dan

Dalam bentuk koordinat, persamaan vektor yang dihasilkan berbentuk

atau
. (2)

Rumus (2) merupakan rumus transisi dari sistem koordinat “lama”. TENTANG xyke sistem koordinat “baru” dan sebaliknya.

Contoh 5. Dapatkan persamaan lingkaran dengan melakukan translasi paralel sistem koordinatke tengah lingkaran.

DAN rumus (2) menyiratkan
pada TENTANG

1 0 . Sistem koordinat kutub. Kita akan mengatakan bahwa sistem koordinat kutub diperkenalkan pada bidang jika sebuah titik dipilih di atasnya HAI– tiang, sinar yang muncul dari tiang HAI– sumbu kutub dan segmen skala.

Membiarkan M– titik sembarang pada bidang yang tidak berimpit dengan kutub HAI(Gbr. 3.4xx). Koordinat kutub pertama suatu titik M(jari-jari kutub) adalah jarak dari suatu titik M ke tiang HAI. koordinat kutub kedua dari titik tersebut M(atau amplitudo) adalah sudut dari sumbu kutub (sinar
) ke balok OM. Untuk satu hal HAI mempertimbangkan
,– nomor sewenang-wenang.

Dari pengertian koordinat kutub dan makna geometriknya dapat disimpulkan bahwa

Nilai koordinat kedua terletak di dalamnya
disebut nilai sudut utama .

Komentar. Dalam sistem koordinat kutub tidak ada korespondensi satu-satu antara titik-titik pada bidang dan pasangan bilangan terurut ( ,):(,) berhubungan dengan satu titik pada bidang, tetapi
sesuai dengan jumlah pasangan yang tak terbatas ( ,+
).

Set point M dalam sistem koordinat kutub berarti menentukan dua angka Dan :M(,).

Mari kita buat hubungan antara koordinat Cartesian dan koordinat kutub dari titik (yang sama). M.

Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan sumbu
Dan
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.5 xx. Bagian skala dari sistem kutub
mari kita juga menganggapnya sebagai segmen skala dari sistem Cartesian
.

Membiarkan
– Kartesius,
– koordinat kutub suatu titik M. Kemudian

dan kembali,

Dengan menggunakan rumus (3.2), seseorang berpindah dari koordinat kutub ke koordinat Cartesian, dan menurut (3.2') – dari koordinat Cartesian ke koordinat kutub.

2 0 . Konsep garis dan persamaannya. Konsep garis merupakan salah satu konsep tersulit dalam matematika. Definisi umum garis diberikan dalam topologi (salah satu cabang matematika). Itu diperoleh pada tahun dua puluhan abad terakhir oleh ahli matematika Soviet P.S.

Kami tidak akan berurusan di sini definisi garis ; Mari kita berikan definisi tentang apa yang disebut persamaan garis .

Definisi 1. Persamaan garis (dilambangkan dengan ( L), atau L– tanpa tanda kurung) dalam sistem koordinat kartesius disebut persamaan

, (3.3)

yang koordinatnya terpenuhi
semua poin
dan hanya koordinat titik-titik tersebut (yaitu koordinat titik-titik yang tidak terletak pada garis L, jangan memuaskan (3.3) – jangan mengubahnya menjadi identitas).

Khususnya persamaan garis L mungkin terlihat seperti:

. (3.3’)

Definisi 2. Persamaan garis pada sistem koordinat kutub adalah persamaan

, (3.4)

yang memenuhi koordinat kutub
semua poin
dan hanya koordinat titik-titik tersebut.

Khususnya persamaan garis L dalam koordinat kutub dapat terlihat seperti:

. (3.4’)

Definisi 3. Persamaan garis parametrik L dalam sistem koordinat kartesius disebut persamaan bentuk

(3.5)

dimana fungsinya
Dan
memiliki domain definisi yang sama - interval T.
sesuai dengan suatu titik
baris yang dimaksud L Dan
sesuai dengan beberapa nilai
(itu adalah

seperti yang
Dan
akan menjadi koordinat titik tersebut M).

Catatan 1. Persamaan parametrik suatu garis dalam koordinat kutub ditentukan dengan cara yang sama.

Catatan 2. Dalam pembelajaran geometri analitik (pada bidang datar), ada dua masalah utama yang dipertimbangkan:

1) diketahui sifat-sifat geometri suatu garis tertentu pada bidang; buat persamaannya;

2) persamaan garisnya diketahui L; buat garis ini, tetapkan sifat geometrisnya.

Mari kita lihat contohnya.

Contoh 1. Temukan persamaan lingkaran L radius R, yang pusatnya berada pada titik
(Gbr. 3.6xx).

Komentar. Sebelum melanjutkan ke penyelesaian masalah, kami akan membuat catatan (yang harus diikuti di masa depan): penyelesaian masalah penentuan letak geometris suatu titik dimulai dengan memperkenalkan titik sembarang (“saat ini”) dengan koordinat
lokasi geometris ini.

Larutan. Biarkan intinya
– titik sembarang lingkaran L. Menurut definisi, lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap - pusatnya: CM= R. Menurut rumus (2.31) (di dalamnya kita harus memasukkan
) kami menemukan:

(3.6)

.– persamaan lingkaran yang diinginkan.

Jika pusat DENGAN terletak pada titik asal, kalau begitu
dan persamaan

(3.6’)

ada persamaan lingkaran seperti itu.

Contoh 2. Biarkan kurva L diberikan oleh persamaan:
. Buatlah kurva ini; menentukan apakah ia melewati suatu titik
? melalui titik tersebut
?

Larutan. Mari kita ubah ruas kiri persamaan ini dengan menyorot kuadrat sempurna di dalamnya: atau
– persamaan ini mendefinisikan lingkaran yang berpusat di suatu titik
radius
.

Koordinat titik
memenuhi persamaan lingkaran: – titik HAI terletak pada lingkaran; koordinat titik yang sama
tidak memenuhi persamaan lingkaran.

Contoh 3. Temukan tempat kedudukan titik-titik yang jauh dari suatu titik
dua kali lebih jauh dari titik tersebut
.

Larutan. Membiarkan
– titik saat ini dari lokasi geometris (yang dicari). Kemudian dari kondisi soal kita tulis persamaannya :.

Mari kita kuadratkan persamaan ini dan ubah:

– lokasi yang diinginkan adalah lingkaran yang berpusat di suatu titik
dan radius R=10.

Mari kita beri contoh penentuan persamaan garis pada sistem koordinat kutub.

Contoh 4. Tuliskan persamaan lingkaran yang berjari-jari R berpusat di tiang HAI.

Larutan. Membiarkan
adalah titik sembarang pada lingkaran L(Gbr. 3.7xx). Kemudian
atau

(3.7)

– persamaan ini dipenuhi oleh titik-titik yang terletak pada lingkaran L, dan poin yang tidak terletak di atasnya tidak memuaskan.

Contoh 5. Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik
sejajar dengan sumbu kutub (Gbr. 3.8 xx).

Larutan. Dari segitiga siku-siku OAM mengikuti itu
– kita memiliki persamaan garis lurus dalam sistem koordinat kutub.

Komentar. Persamaan garis lurus pada sistem koordinat kartesius:
; menggantikan
dari (3.2), kita peroleh
atau
.

Contoh 6. Buatlah sebuah kurva.

Larutan. Perhatikan bahwa kurvanya simetris terhadap sumbu kutub:
=
=
=
. Oleh karena itu, jika intinya
, maka itulah intinya
.

Berikan sudut kutubnya arti yang berbeda dari =0 sampai =dan tentukan nilai yang sesuai dengan sudut-sudut tersebut . Mari kita tuliskan di Tabel 1.

Tabel 1.

Dari intinya HAI menggambar sinar
,
,…,
,
dan letakkan segmen di atasnya
,
,…,
,
. Melalui poin yang diterima
,
,…,
,
menggambar garis halus - kita mendapatkan bagian atas kurva. Kami melengkapi bagian bawah dengan refleksi simetris dari bagian atas relatif terhadap sumbu kutub.

Kurva tertutup yang dihasilkan (Gbr. 3.9 xx) disebut cardioid (berbentuk hati).

Contoh 7. Tulis persamaan garisnya
(hiperbola sama sisi) dalam sistem koordinat kutub.

Larutan. Mengganti X Dan kamu menurut rumus (3.2), kita memperoleh, dan
adalah persamaan garis tertentu dalam sistem koordinat kutub.

Contoh 8. Tulis persamaan kurvanya
dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang.

Larutan. Mari kita tulis persamaan kurva dalam bentuk
. Dengan menggunakan rumus (3.2'), kita ubah ke bentuk
; mengkuadratkan persamaan ini, setelah transformasi sederhana kita sampai pada persamaannya
– kurva ini disebut parabola (lihat di bawah).

Contoh 9. Mari kita beri contoh definisi parametrik suatu kurva. Biarkan lingkaran berjari-jari diberikan R dengan pusat di titik asal dan biarkan
– Koordinat kartesius dari titik saat ini M:M
. Biarkan, lebih lanjut,
– koordinat kutub dari titik yang sama. Menurut rumus (3.2) maka