Sudut antara vektor-vektor tersebut adalah 0. Menghitung sudut dalam ruang berdimensi n. Cara mencari sudut antar vektor

Sudut antara dua vektor , :

Jika sudut antara dua vektor lancip, maka hasil kali skalarnya positif; jika sudut antara vektor-vektor tersebut tumpul, maka hasil kali skalar vektor-vektor tersebut adalah negatif. Hasil kali skalar dua vektor bukan nol sama dengan nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut ortogonal.

Latihan. Temukan sudut antara vektor dan

Larutan. Kosinus sudut yang diinginkan

16. Perhitungan sudut antara garis lurus, garis lurus dan bidang

Sudut antara garis lurus dan bidang, yang memotong garis ini dan tidak tegak lurus terhadapnya, adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang ini.

Menentukan sudut antara garis dan bidang memungkinkan kita menyimpulkan bahwa sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara dua garis yang berpotongan: garis lurus itu sendiri dan proyeksinya ke bidang. Oleh karena itu, sudut antara garis lurus dan bidang merupakan sudut lancip.

Sudut antara garis lurus tegak lurus dan bidang dianggap sama dengan , dan sudut antara garis lurus sejajar dan bidang tidak ditentukan sama sekali atau dianggap sama dengan .

§ 69. Perhitungan sudut antara garis lurus.

Masalah menghitung sudut antara dua garis lurus dalam ruang diselesaikan dengan cara yang sama seperti pada bidang (§ 32). Mari kita nyatakan dengan φ besar sudut antar garis aku 1 dan aku 2, dan melalui ψ - besarnya sudut antara vektor arah A Dan B garis lurus ini.

Lalu jika

ψ 90° (Gbr. 206.6), maka φ = 180° - ψ. Jelasnya, dalam kedua kasus persamaan cos φ = |cos ψ| adalah benar. Dengan rumus (1) § 20 kita punya

karena itu,

Biarkan garis-garis tersebut diberikan oleh persamaan kanoniknya

Kemudian sudut φ antar garis ditentukan dengan menggunakan rumus

Jika salah satu garis (atau keduanya) diberikan oleh persamaan non-kanonik, maka untuk menghitung sudut Anda perlu mencari koordinat vektor arah garis-garis tersebut, dan kemudian menggunakan rumus (1).

17. Garis sejajar, Teorema garis sejajar

Definisi. Dua garis pada suatu bidang disebut paralel, jika mereka tidak memiliki kesamaan.

Dua garis dalam ruang tiga dimensi disebut paralel, jika keduanya terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik yang sama.

Sudut antara dua vektor.

Dari definisi perkalian titik:

Syarat ortogonalitas dua vektor:

Syarat kolinearitas dua vektor:

Mengikuti dari Definisi 5 - . Memang dari definisi hasil kali vektor dan bilangan berikut ini. Oleh karena itu, berdasarkan aturan persamaan vektor, kita menulis , , , yang menyiratkan . Tetapi vektor hasil perkalian vektor dengan bilangan tersebut segaris terhadap vektor tersebut.

Proyeksi vektor ke vektor:

Contoh 4. Poin yang diberikan , , , .

Temukan produk titiknya.

Larutan. kita temukan menggunakan rumus perkalian skalar vektor-vektor yang ditentukan oleh koordinatnya. Karena

, ,

Contoh 5. Poin yang diberikan , , , .

Temukan proyeksi.

Larutan. Karena

, ,

Berdasarkan rumus proyeksi yang kita miliki

Contoh 6. Poin yang diberikan , , , .

Tentukan sudut antara vektor dan .

Larutan. Perhatikan bahwa vektor

, ,

tidak segaris karena koordinatnya tidak proporsional:

Vektor-vektor ini juga tidak tegak lurus karena hasil kali skalarnya adalah .

Ayo temukan

Sudut kita temukan dari rumus:

Contoh 7. Tentukan pada vektor apa dan segaris.

Larutan. Dalam kasus kolinearitas, koordinat vektor-vektor yang bersesuaian dan harus proporsional, yaitu:

Oleh karena itu dan.

Contoh 8. Tentukan pada nilai vektor berapa Dan tegak lurus.

Larutan. Vektor dan tegak lurus jika hasil kali skalarnya nol. Dari kondisi ini diperoleh : . Itu adalah, .

Contoh 9. Menemukan , Jika , , .

Larutan. Karena sifat produk skalar, kita mempunyai:

Contoh 10. Temukan sudut antara vektor dan , di mana dan - vektor satuan dan sudut antara vektor dan sama dengan 120°.

Larutan. Kita punya: , ,

Akhirnya kami memiliki: .

5B. Karya seni vektor.

Definisi 21.Karya seni vektor vektor demi vektor disebut vektor, atau, ditentukan oleh tiga kondisi berikut:

1) Modulus vektor sama dengan , dimana adalah sudut antara vektor dan , yaitu. .

Oleh karena itu, modulus perkalian vektor secara numerik sama dengan luas jajar genjang yang dibangun pada vektor dan kedua sisinya.

2) Vektor tegak lurus terhadap masing-masing vektor dan ( ; ), yaitu. tegak lurus terhadap bidang jajar genjang yang dibangun pada vektor dan .

3) Vektor diarahkan sedemikian rupa sehingga jika dilihat dari ujungnya, putaran terpendek dari vektor ke vektor adalah berlawanan arah jarum jam (vektor , , membentuk rangkap tiga kanan).

Bagaimana cara menghitung sudut antar vektor?

Saat mempelajari geometri, banyak pertanyaan yang muncul pada topik vektor. Siswa mengalami kesulitan tertentu ketika perlu mencari sudut antar vektor.

Istilah dasar

Sebelum membahas sudut antar vektor, ada baiknya kita mengenal terlebih dahulu pengertian vektor dan konsep sudut antar vektor.

Vektor adalah suatu segmen yang mempunyai arah, yaitu suatu segmen yang awal dan akhirnya ditentukan.

Sudut antara dua vektor pada suatu bidang yang mempunyai titik asal yang sama adalah sudut yang lebih kecil dengan besarnya salah satu vektor harus dipindahkan mengelilingi titik yang sama sampai arahnya bertepatan.

Formula untuk solusi

Setelah Anda memahami apa itu vektor dan cara menentukan sudutnya, Anda dapat menghitung sudut antar vektor. Rumus penyelesaiannya cukup sederhana, dan hasil penerapannya adalah nilai kosinus sudut. Menurut definisinya, itu sama dengan hasil bagi hasil kali skalar vektor dan hasil kali panjangnya.

Produk skalar vektor dihitung sebagai jumlah koordinat vektor faktor yang bersesuaian dikalikan satu sama lain. Panjang suatu vektor, atau modulusnya, dihitung sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya.

Setelah mendapat nilai kosinus sudut, Anda dapat menghitung nilai sudut itu sendiri menggunakan kalkulator atau menggunakan tabel trigonometri.

Contoh

Setelah Anda mengetahui cara menghitung sudut antar vektor, penyelesaian masalah terkait akan menjadi sederhana dan jelas. Sebagai contoh, ada baiknya mempertimbangkan masalah sederhana dalam mencari nilai sudut.

Pertama-tama, akan lebih mudah untuk menghitung nilai panjang vektor dan produk skalarnya yang diperlukan untuk penyelesaiannya. Dengan menggunakan uraian yang disajikan di atas, kita mendapatkan:

Mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus, kami menghitung nilai kosinus sudut yang diinginkan:

Angka ini bukan salah satu dari lima nilai kosinus yang umum, jadi untuk mendapatkan sudutnya, Anda harus menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri Bradis. Namun sebelum mendapatkan sudut antar vektor, rumusnya dapat disederhanakan untuk menghilangkan tanda negatif tambahan:

Untuk menjaga keakuratan, jawaban akhir dapat dibiarkan apa adanya, atau Anda dapat menghitung nilai sudut dalam derajat. Menurut tabel Bradis, nilainya kira-kira 116 derajat 70 menit, dan kalkulator akan menunjukkan nilai 116,57 derajat.

Menghitung sudut dalam ruang berdimensi n

Saat mempertimbangkan dua vektor dalam ruang tiga dimensi, akan jauh lebih sulit untuk memahami sudut mana yang dimaksud jika keduanya tidak terletak pada bidang yang sama. Untuk menyederhanakan persepsi, Anda dapat menggambar dua segmen berpotongan yang membentuk sudut terkecil di antara keduanya, ini yang diinginkan. Meskipun terdapat koordinat ketiga pada vektor, proses penghitungan sudut antar vektor tidak akan berubah. Hitung hasil kali skalar dan modulus vektor-vektor, kosinus busur hasil bagi mereka akan menjadi jawaban untuk soal ini.

Dalam geometri, seringkali terdapat permasalahan pada ruang yang mempunyai lebih dari tiga dimensi. Namun bagi mereka, algoritma untuk menemukan jawabannya terlihat serupa.

Perbedaan antara 0 dan 180 derajat

Salah satu kesalahan umum dalam menulis jawaban soal yang dirancang untuk menghitung sudut antar vektor adalah keputusan untuk menulis bahwa vektor-vektor tersebut sejajar, yaitu sudut yang diinginkan sama dengan 0 atau 180 derajat. Jawaban ini salah.

Setelah menerima nilai sudut 0 derajat sebagai hasil penyelesaian, jawaban yang benar adalah dengan menyatakan vektor-vektor tersebut sebagai searah, yaitu vektor-vektor tersebut akan mempunyai arah yang sama. Jika diperoleh 180 derajat, maka vektor-vektornya akan berlawanan arah.

Vektor tertentu

Setelah menemukan sudut antar vektor, Anda dapat menemukan salah satu tipe khusus, selain tipe searah dan berlawanan arah yang dijelaskan di atas.

Beberapa vektor yang sejajar pada satu bidang disebut koplanar.
Vektor-vektor yang sama panjang dan arahnya disebut sama besar.
Vektor-vektor yang terletak pada suatu garis lurus yang sama tanpa memandang arahnya disebut segaris.
Jika panjang suatu vektor sama dengan nol, yaitu awal dan akhir vektor sama, maka disebut nol, dan jika satu maka disebut satuan.

Bagaimana cara mencari sudut antar vektor?

tolong bantu aku! Aku tahu rumusnya, tapi aku tidak bisa menghitungnya ((
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Sudut antara vektor yang ditentukan oleh koordinatnya ditemukan menggunakan algoritma standar. Pertama, Anda perlu mencari hasil kali skalar vektor a dan b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Kami mengganti koordinat vektor-vektor ini di sini dan menghitung:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Selanjutnya kita tentukan panjang masing-masing vektor. Panjang atau modulus suatu vektor adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya:
|sebuah| = akar dari (x1^2 + y1^2 + z1^2) = akar dari (8^2 + 10^2 + 4^2) = akar dari (64 + 100 + 16) = akar dari 180 = 6 akar dari 5
|b| = akar dari (x2^2 + y2^2 + z2^2) = akar dari (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = akar dari (25 + 400 + 100) = akar dari 525 = 5 akar dari 21.
Kami mengalikan panjangnya. Kami mendapatkan 30 akar dari 105.
Dan terakhir, kita membagi hasil kali skalar vektor dengan hasil kali panjang vektor tersebut. Kita mendapatkan -200/(30 akar dari 105) atau
- (4 akar dari 105) / 63. Ini adalah kosinus sudut antar vektor. Dan sudutnya sendiri sama dengan kosinus busur dari bilangan ini
f = arccos(-4 akar dari 105) / 63.
Jika saya menghitung semuanya dengan benar.

Cara menghitung sinus sudut antar vektor dengan menggunakan koordinat vektor

Mikhail Tkachev

Mari kalikan vektor-vektor ini. Hasil kali skalarnya sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor ini dan kosinus sudut di antara keduanya.
Sudutnya tidak kita ketahui, tetapi koordinatnya diketahui.
Mari kita tuliskan secara matematis seperti ini.
Misalkan vektor a(x1;y1) dan b(x2;y2) diberikan
Kemudian

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Mari kita bicara.
a*b-hasil kali skalar vektor-vektor sama dengan jumlah hasil kali koordinat-koordinat yang bersesuaian dari koordinat-koordinat vektor-vektor tersebut, yaitu sama dengan x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-hasil kali panjang vektor sama dengan √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Artinya kosinus sudut antar vektor sama dengan:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Dengan mengetahui cosinus suatu sudut, kita dapat menghitung sinusnya. Mari kita bahas cara melakukan ini:

Jika kosinus suatu sudut positif, maka sudut tersebut terletak pada 1 atau 4 kuadran, artinya sinusnya positif atau negatif. Tetapi karena sudut antar vektor kurang dari atau sama dengan 180 derajat, maka sinusnya positif. Kami beralasan serupa jika cosinusnya negatif.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Itu saja)))) semoga berhasil mengetahuinya)))

Dmitry Levishchev

Fakta bahwa tidak mungkin untuk membuat sinus secara langsung tidaklah benar.
Selain rumus:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Ada juga yang ini:
||=|a|*|b|*dosa A
Artinya, alih-alih perkalian skalar, Anda dapat mengambil modul perkalian vektor.

instruksi

Misalkan dua vektor bukan nol diberikan pada bidang, diplot dari satu titik: vektor A dengan koordinat (x1, y1) B dengan koordinat (x2, y2). Sudut di antara mereka ditetapkan sebagai θ. Untuk mencari besar derajat sudut θ, Anda perlu menggunakan definisi hasil kali skalar.

Hasil kali skalar dua vektor bukan nol adalah bilangan yang sama dengan hasil kali panjang kedua vektor tersebut dan kosinus sudut antara keduanya, yaitu (A,B)=|A|*|B|*cos(θ ). Sekarang Anda perlu menyatakan kosinus sudut dari ini: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Hasil kali skalar juga dapat dicari dengan rumus (A,B)=x1*x2+y1*y2, karena hasil kali dua vektor bukan nol sama dengan jumlah hasil kali vektor-vektor yang bersesuaian. Jika hasil kali skalar vektor-vektor bukan nol sama dengan nol, maka vektor-vektor tersebut tegak lurus (sudut antara vektor-vektor tersebut adalah 90 derajat) dan perhitungan lebih lanjut dapat dihilangkan. Jika hasil kali skalar dua vektor adalah positif, maka sudut antara vektor-vektor tersebut adalah vektor lancip, dan jika negatif maka sudutnya tumpul.

Sekarang hitung panjang vektor A dan B menggunakan rumus: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Panjang suatu vektor dihitung sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya.

Substitusikan nilai hasil kali skalar dan panjang vektor yang ditemukan ke dalam rumus sudut yang diperoleh pada langkah 2, yaitu cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Sekarang, mengetahui nilai , mencari besaran sudut antara vektor Anda perlu menggunakan tabel Bradis atau mengambil dari ini: θ=arccos(cos(θ)).

Jika vektor A dan B diberikan dalam ruang tiga dimensi dan masing-masing memiliki koordinat (x1, y1, z1) dan (x2, y2, z2), maka ketika mencari kosinus sudut, ditambahkan satu koordinat lagi. Dalam hal ini, cosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Saran yang bermanfaat

Jika dua vektor tidak diplot dari titik yang sama, maka untuk mencari sudut di antara keduanya dengan translasi paralel, Anda perlu menggabungkan titik asal vektor-vektor tersebut.
Sudut antara dua vektor tidak boleh lebih dari 180 derajat.

Sumber:

cara menghitung sudut antar vektor
Sudut antara garis lurus dan bidang

Untuk menyelesaikan banyak masalah, baik terapan maupun teoritis, dalam fisika dan aljabar linier perlu dilakukan perhitungan sudut antar vektor. Tugas yang tampaknya sederhana ini dapat menimbulkan banyak kesulitan jika Anda tidak memahami dengan jelas esensi produk skalar dan nilai apa yang muncul sebagai hasil dari produk tersebut.

instruksi

Sudut antar vektor dalam ruang linier vektor adalah sudut minimum yang dicapai dalam arah searah vektor. Menggambar salah satu vektor di sekitar titik awalnya. Dari definisi tersebut menjadi jelas bahwa nilai sudut tidak boleh melebihi 180 derajat (lihat langkah).

Dalam hal ini, diasumsikan dengan tepat bahwa dalam ruang linier, ketika vektor-vektor dipindahkan secara paralel, sudut di antara vektor-vektor tersebut tidak berubah. Oleh karena itu, untuk perhitungan analitis sudut, orientasi spasial vektor tidak menjadi masalah.

Hasil perkalian titik adalah bilangan, jika tidak maka hasil perkalian titik adalah skalar. Ingat (ini penting untuk diketahui) untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan selanjutnya. Rumus hasil kali skalar yang terletak pada bidang atau ruang vektor mempunyai bentuk (lihat gambar langkahnya).

Jika vektor-vektor tersebut terletak di ruang angkasa, maka lakukan perhitungan dengan cara yang sama. Satu-satunya kemunculan istilah dalam dividen adalah istilah penerapannya, yaitu. komponen ketiga dari vektor. Oleh karena itu, ketika menghitung modulus vektor, komponen z juga harus diperhitungkan, kemudian untuk vektor-vektor yang terletak di ruang angkasa, ekspresi terakhir diubah sebagai berikut (lihat Gambar 6 untuk langkahnya).

Vektor adalah suatu segmen yang mempunyai arah tertentu. Sudut antar vektor mempunyai arti fisis, misalnya ketika mencari panjang proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu.

instruksi

Sudut antara dua vektor bukan nol dengan menghitung perkalian titik. Menurut definisi, hasil kali sama dengan hasil kali panjang dan sudut di antara keduanya. Sebaliknya, hasil kali skalar dua vektor a dengan koordinat (x1; y1) dan b dengan koordinat (x2; y2) dihitung: ab = x1x2 + y1y2. Dari kedua metode ini, perkalian titik dengan mudah adalah sudut antara vektor.

Temukan panjang atau besar vektor. Untuk vektor kita a dan b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Temukan hasil kali skalar vektor dengan mengalikan koordinatnya secara berpasangan: ab = x1x2 + y1y2. Dari definisi hasil kali skalar ab = |a|*|b|*cos α, dimana α adalah sudut antar vektor. Maka kita mendapatkan x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Maka cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Temukan sudut α menggunakan tabel Bradis.

Video tentang topik tersebut

catatan

Produk skalar adalah karakteristik skalar dari panjang vektor dan sudut di antara keduanya.

Bidang merupakan salah satu konsep dasar dalam geometri. Bidang adalah suatu permukaan yang pernyataan berikut ini benar: setiap garis lurus yang menghubungkan dua titiknya seluruhnya termasuk dalam permukaan tersebut. Bidang biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani α, β, γ, dst. Dua bidang selalu berpotongan sepanjang garis lurus milik kedua bidang tersebut.

instruksi

Mari kita perhatikan setengah bidang α dan β yang dibentuk oleh perpotongan . Sudut yang dibentuk oleh garis lurus a dan dua setengah bidang α dan β oleh sudut dihedral. Dalam hal ini, setengah bidang yang membentuk sudut dihedral dengan mukanya, garis lurus a yang dilalui bidang-bidang tersebut disebut tepi sudut dihedral.

Sudut dihedral, seperti sudut planar, dinyatakan dalam derajat. Untuk membuat sudut dihedral, Anda perlu memilih titik sembarang O pada sisinya, dua sinar a ditarik melalui titik O. Sudut yang dibentuk AOB disebut sudut dihedral linier a.

Jadi, misalkan vektor V = (a, b, c) dan bidang A x + B y + C z = 0, dimana A, B dan C adalah koordinat garis normal N. Maka kosinus sudutnya α antara vektor V dan N sama dengan: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Untuk menghitung sudut dalam derajat atau radian, Anda perlu menghitung invers fungsi kosinus dari ekspresi yang dihasilkan, yaitu. arccosine:α = arsco ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Contoh: temukan sudut di antara vektor(5, -3, 8) dan pesawat, diberikan oleh persamaan umum 2 x – 5 y + 3 z = 0. Penyelesaian: tuliskan koordinat vektor normal bidang N = (2, -5, 3). Gantikan semua nilai yang diketahui ke dalam rumus yang diberikan: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video tentang topik tersebut

Buat persamaan dan pisahkan kosinus darinya. Menurut salah satu rumus, hasil kali skalar vektor sama dengan panjangnya dikalikan satu sama lain dan dengan kosinus sudut, dan di sisi lain - jumlah produk koordinat di sepanjang masing-masing sumbu. Menyamakan kedua rumus tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa kosinus sudut harus sama dengan perbandingan jumlah hasil kali koordinat dengan hasil kali panjang vektor.

Tuliskan persamaan yang dihasilkan. Untuk melakukan ini, Anda perlu menentukan kedua vektor. Misalkan mereka diberikan dalam sistem Cartesian tiga dimensi dan titik awalnya berada dalam kotak koordinat. Arah dan besar vektor pertama akan ditentukan oleh titik (X₁,Y₁,Z₁), vektor kedua - (X₂,Y₂,Z₂), dan sudutnya akan dilambangkan dengan huruf γ. Maka panjang masing-masing vektor dapat ditentukan, misalnya dengan menggunakan teorema Pythagoras untuk , yang dibentuk dari proyeksinya ke setiap sumbu koordinat: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) dan √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Gantikan ekspresi ini ke dalam rumus yang dirumuskan pada langkah sebelumnya dan Anda akan mendapatkan persamaan: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Gunakan fakta bahwa jumlah kuadrat sinus dan rekan sinus dari sudut dengan jumlah yang sama selalu menghasilkan satu. Artinya dengan menaikkan apa yang diperoleh pada langkah sebelumnya sinus kuadrat dan dikurangi satu, lalu akar kuadrat akan menyelesaikan soal. Tulis rumus yang diperlukan dalam bentuk umum: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁² ) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂² ) )).

Saat mempelajari geometri, banyak pertanyaan yang muncul pada topik vektor. Siswa mengalami kesulitan tertentu ketika perlu mencari sudut antar vektor.

Istilah dasar

Sebelum membahas sudut antar vektor, ada baiknya kita mengenal terlebih dahulu pengertian vektor dan konsep sudut antar vektor.

Vektor adalah suatu segmen yang mempunyai arah, yaitu suatu segmen yang awal dan akhirnya ditentukan.

Formula untuk solusi

Produk skalar vektor dihitung sebagai jumlah koordinat vektor faktor yang bersesuaian dikalikan satu sama lain. Panjang vektor, atau modulusnya, dihitung sebagai Akar pangkat dua dari jumlah kuadrat koordinatnya.

Setelah mendapat nilai kosinus sudut, Anda dapat menghitung nilai sudut itu sendiri menggunakan kalkulator atau menggunakan tabel trigonometri.

Contoh

Pertama-tama, akan lebih mudah untuk menghitung nilai panjang vektor dan produk skalarnya yang diperlukan untuk penyelesaiannya. Dengan menggunakan uraian yang disajikan di atas, kita mendapatkan:

Mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus, kami menghitung nilai kosinus sudut yang diinginkan:

Menghitung sudut dalam ruang berdimensi n

Ketika mempertimbangkan dua vektor di ruang tiga dimensi, Jauh lebih sulit untuk memahami sudut mana yang dimaksud jika sudut tersebut tidak terletak pada bidang yang sama. Untuk menyederhanakan persepsi, Anda dapat menggambar dua segmen berpotongan yang membentuk sudut terkecil di antara keduanya, ini yang diinginkan. Meskipun terdapat koordinat ketiga pada vektor, proses penghitungan sudut antar vektor tidak akan berubah. Hitung hasil kali skalar dan modulus vektor-vektor, kosinus busur hasil bagi mereka akan menjadi jawaban untuk soal ini.

Dalam geometri, seringkali terdapat permasalahan pada ruang yang mempunyai lebih dari tiga dimensi. Namun bagi mereka, algoritma untuk menemukan jawabannya terlihat serupa.

Perbedaan antara 0 dan 180 derajat

Vektor tertentu

Setelah menemukan sudut antar vektor, Anda dapat menemukan salah satu tipe khusus, selain tipe searah dan berlawanan arah yang dijelaskan di atas.

Beberapa vektor yang sejajar pada satu bidang disebut koplanar.
Vektor-vektor yang sama panjang dan arahnya disebut sama besar.
Vektor-vektor yang terletak pada suatu garis lurus yang sama tanpa memandang arahnya disebut segaris.
Jika panjang suatu vektor sama dengan nol, yaitu awal dan akhir vektor sama, maka disebut nol, dan jika satu maka disebut satuan.

KGB dan UFO - informasi yang dideklasifikasi dokumen rahasia KGB dan UFO

Persamaan garis dalam ruang adalah persamaan dua bidang yang berpotongan