Tabel dengan semua fungsi dasar. Konsep fungsi. Fungsi dasar dasar, sifat dan grafiknya. Sifat dasar suatu fungsi

Bengkel

Menurut analisis matematis

Untuk siswa malam

Wah tentu saja

(Bagian I)

Manual pendidikan dan metodologi

Moskow, 2006

UDC 512.8:516

BBK S42

Peninjau:

Kandidat Ilmu Fisika dan Matematika, Associate Professor Karolinskaya S.N. (Institut Penerbangan Moskow dinamai S. Ordzhonikidze);

Ph.D., Profesor Madya Krasnoslobodtseva T.P. (MITHT dinamai M.V. Lomonosov).

Skvortsova M.I., Mudrakova O.A., Krotov G.S., Workshop analisis matematis untuk mahasiswa malam tahun pertama (Bagian I), Panduan pendidikan dan metodologi - M.: MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006 – 44 hal.: sakit. 29 .

Disetujui oleh Komisi Perpustakaan dan Penerbitan MITHT. M.V. Lomonosov sebagai alat bantu pengajaran. Pos. ___/2006.

Manual ini merupakan rangkuman dari 6 pembelajaran praktek pada mata kuliah analisis matematis untuk mahasiswa jurusan malam MITHT. M.V. Lomonosov. Bagian I mencakup bagian berikut: “Fungsi dan sifat dasarnya”, “Batas suatu fungsi”, “Titik kontinuitas dan diskontinuitas suatu fungsi”.

Setiap pelajaran dikhususkan untuk topik yang terpisah. Catatan untuk 5 pelajaran berisi ringkasan singkat teori yang relevan, contoh umum dan masalah untuk solusi mandiri (dengan jawaban). Catatan pelajaran untuk pelajaran No. 6 memberikan contoh versi tes (dengan solusi) yang dilakukan dalam pelajaran ini.

Manual ini ditujukan untuk mahasiswa malam universitas kimia.

Pelajaran 1.

Konsep fungsi. Fungsi dasar dasar, sifat-sifatnya dan grafiknya…………………………

Pelajaran 2. Sistem koordinat kutub. Membuat grafik fungsi dengan menggunakan metode pergeseran dan peregangan sepanjang sumbu koordinat……………………………………….

Pelajaran 3. Batas fungsi. Kontinuitas fungsi. Perhitungan limit fungsi kontinu, rasional dan beberapa irasional……......

Pelajaran 4. Yang pertama dan kedua adalah batasan yang luar biasa. Menghitung batas fungsi eksponensial pangkat. Sangat kecil dan sangat besar
jumlah………………………………………………….

Pelajaran 5. Titik kontinuitas dan titik diskontinuitas suatu fungsi. Klasifikasi titik istirahat. Investigasi suatu fungsi untuk kontinuitas…………………………

Pelajaran 6. Tes No.1 dengan topik “Penghitungan limit fungsi. Kajian fungsi kontinuitas”…………………………………………………………………….

literatur……………………………………………….

Pelajaran 1.

Konsep fungsi. Fungsi dasar dasar, sifat dan grafiknya.

Definisi 1. Ketergantungan suatu variabel pada suatu variabel disebut fungsi, jika setiap nilai berhubungan dengan satu nilai.

Kami menulis: Dan kita bicara, yang merupakan fungsi dari . Dalam hal ini disebut variabel bebas(atau argumen), dan – variabel tak bebas.

Definisi 2. Domain Fungsi(dilambangkan dengan ) adalah semua nilai yang . Beberapa Nilai Fungsi(dilambangkan dengan ) adalah semua nilai yang .

Definisi 3. Fungsinya disebut meningkat (menurun) pada interval numerik jika untuk salah satu dari , sehingga , pertidaksamaan berlaku:

Definisi 4. Fungsinya disebut membosankan pada interval jika hanya berkurang atau hanya bertambah sebesar .

Definisi 5. Fungsinya disebut bahkan (aneh), jika simetris terhadap nol dan untuk salah satu dari:

Bagian tersebut berisi bahan referensi tentang fungsi dasar dasar dan sifat-sifatnya. Klasifikasi fungsi dasar diberikan. Di bawah ini adalah tautan ke subbagian yang membahas sifat-sifat fungsi tertentu - grafik, rumus, turunan, antiturunan (integral), perluasan deret, ekspresi melalui variabel kompleks.

Halaman referensi untuk fungsi dasar

Klasifikasi fungsi dasar

Fungsi aljabar adalah fungsi yang memenuhi persamaan:
,
dimana adalah polinomial pada variabel terikat y dan variabel bebas x. Itu dapat ditulis sebagai:
,
di mana polinomialnya.

Fungsi aljabar dibagi menjadi polinomial (seluruh fungsi rasional), fungsi rasional, dan fungsi irasional.

Seluruh fungsi rasional, yang juga disebut polinomial atau polinomial, diperoleh dari variabel x dan sejumlah bilangan berhingga dengan menggunakan operasi aritmatika penjumlahan (pengurangan) dan perkalian. Setelah membuka tanda kurung, polinomial direduksi menjadi bentuk kanonik:
.

Fungsi rasional pecahan, atau sederhananya Fungsi rasional, diperoleh dari variabel x dan sejumlah bilangan berhingga dengan menggunakan operasi aritmatika penjumlahan (pengurangan), perkalian, dan pembagian. Fungsi rasional dapat direduksi menjadi bentuk
,
di mana dan adalah polinomial.

Fungsi tidak rasional adalah fungsi aljabar yang tidak rasional. Biasanya, fungsi irasional dipahami sebagai akar dan komposisinya dengan fungsi rasional. Akar derajat n didefinisikan sebagai solusi persamaan
.
Ini ditetapkan sebagai berikut:
.

Fungsi transendental disebut fungsi non-aljabar. Ini adalah fungsi eksponensial, trigonometri, hiperbolik dan kebalikannya.

Ikhtisar fungsi dasar dasar

Semua fungsi dasar dapat direpresentasikan sebagai operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dalam jumlah terbatas, yang dilakukan sesuai dengan ekspresi dalam bentuk:
zt.
Fungsi invers juga dapat dinyatakan dalam logaritma. Fungsi dasar dasar tercantum di bawah ini.

Fungsi daya:
kamu(x) = x p ,
di mana p adalah eksponen. Itu tergantung pada dasar derajat x.
Kebalikan dari fungsi pangkat juga merupakan fungsi pangkat:
.
Untuk nilai bilangan bulat non-negatif dari eksponen p, itu adalah polinomial. Untuk nilai integer p - fungsi rasional. Dengan arti rasional - fungsi irasional.

Fungsi transendental

Fungsi eksponensial :
kamu(x) = ax ,
dimana a adalah dasar derajat. Itu tergantung pada eksponen x.
Fungsi inversnya adalah logaritma ke basis a:
x = log ay.

Eksponen, e pangkat x:
kamu(x) = e x ,
Ini adalah fungsi eksponensial yang turunannya sama dengan fungsi itu sendiri:
.
Basis eksponennya adalah bilangan e:
≈ 2,718281828459045... .
Fungsi inversnya adalah logaritma natural - logaritma ke basis bilangan e:
x = ln y ≡ log e y.

Fungsi trigonometri:
Sinus: ;
Kosinus: ;
Garis singgung: ;
Kotangen: ;
Di sini i adalah satuan imajiner, i 2 = -1.

Fungsi trigonometri terbalik:
Busur: x = arcsin y, ;
Kosinus busur: x = arccos y, ;
Garis singgung busur: x = arctan y, ;
Garis singgung busur: x = arcctg y, .

Definisi: Fungsi numerik adalah korespondensi yang menghubungkan setiap bilangan x dari suatu himpunan tertentu dengan satu bilangan y.

Penamaan:

dimana x adalah variabel bebas (argumen), y adalah variabel terikat (fungsi). Himpunan nilai x disebut domain fungsi (dilambangkan D(f)). Himpunan nilai y disebut domain fungsi (dilambangkan E(f)). Grafik suatu fungsi adalah himpunan titik-titik pada bidang dengan koordinat (x, f(x))

Metode untuk menentukan suatu fungsi.

metode analisis (menggunakan rumus matematika);
metode tabel (menggunakan tabel);
metode deskriptif (menggunakan deskripsi verbal);
metode grafis (menggunakan grafik).

Sifat dasar fungsi.

1. Genap dan ganjil

Suatu fungsi dipanggil meskipun
– daerah definisi fungsi simetris terhadap nol
f(-x) = f(x)

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbunya 0 tahun

Suatu fungsi disebut ganjil jika
– daerah definisi fungsi simetris terhadap nol
– untuk setiap x dari domain definisi f(-x) = –f(x)

Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.

2. Frekuensi

Suatu fungsi f(x) disebut periodik dengan periode jika untuk sembarang x dari domain definisi f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Grafik fungsi periodik terdiri dari fragmen identik yang berulang tanpa batas.

3. Monoton (bertambah, berkurang)

Fungsi f(x) meningkat pada himpunan P jika untuk sembarang x 1 dan x 2 dari himpunan ini sedemikian sehingga x 1

Fungsi f(x) berkurang pada himpunan P jika untuk sembarang x 1 dan x 2 dari himpunan ini, sehingga x 1 f(x 2) .

4. Ekstrem

Titik X max disebut titik maksimum fungsi f(x) jika untuk semua x dari suatu lingkungan X max pertidaksamaan f(x) f(X max) terpenuhi.

Nilai Y max =f(X max) disebut maksimum dari fungsi ini.

X max – titik maksimum
Maks – maksimal

Suatu titik X min disebut titik minimum dari fungsi f(x) jika untuk semua x dari suatu lingkungan X min, pertidaksamaan f(x) f(X min) terpenuhi.

Nilai Y min =f(X min) disebut nilai minimum dari fungsi ini.

X mnt – poin minimum
Y mnt – minimal

X min , X max – titik ekstrem
Y min , Y max – ekstrim.

5. Nol dari fungsi tersebut

Nol suatu fungsi y = f(x) adalah nilai argumen x di mana fungsi tersebut menjadi nol: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – nol dari fungsi y = f(x).

Tugas dan tes pada topik "Sifat dasar suatu fungsi"

Properti Fungsi - Fungsi numerik kelas 9
Pelajaran: 2 Tugas: 11 Tes: 1
Sifat-sifat logaritma - Fungsi eksponensial dan logaritma kelas 11
Pelajaran: 2 Tugas: 14 Tes: 1
Fungsi akar kuadrat, sifat-sifatnya dan grafiknya - Fungsi akar kuadrat. Sifat-sifat akar kuadrat kelas 8
Pelajaran: 1 Tugas: 9 Tes: 1
Fungsi - Topik penting untuk review Unified State Examination dalam matematika
Tugas: 24
Fungsi pangkat, sifat dan grafiknya - Derajat dan akar. Fungsi daya kelas 11
Pelajaran: 4 Tugas: 14 Tes: 1

Setelah mempelajari topik ini, Anda seharusnya dapat menemukan domain definisi berbagai fungsi, menentukan interval monotonisitas suatu fungsi menggunakan grafik, dan memeriksa kegenapan dan keanehan fungsi. Mari kita pertimbangkan untuk memecahkan masalah serupa dengan menggunakan contoh berikut.

Contoh.

1. Temukan domain definisi fungsi.

Larutan: domain definisi fungsi ditemukan dari kondisi

oleh karena itu, fungsinya f(x) genap.

Menjawab: bahkan

D(f) = [-1; 1] – simetris terhadap nol.

maka fungsinya bukan genap atau ganjil.

Menjawab: tidak genap dan tidak rata.

1) Domain fungsi dan rentang fungsi.

Domain suatu fungsi adalah himpunan semua nilai argumen valid yang valid X(variabel X), yang fungsinya kamu = f(x) bertekad. Kisaran suatu fungsi adalah himpunan semua nilai riil kamu, yang diterima fungsi tersebut.

Dalam matematika dasar, fungsi hanya dipelajari pada himpunan bilangan real.

2) Fungsi nol.

Fungsi nol adalah nilai argumen yang nilai fungsinya sama dengan nol.

3) Interval tanda konstan suatu fungsi.

Interval tanda konstan suatu fungsi adalah himpunan nilai argumen yang nilai fungsinya hanya positif atau negatif saja.

4) Monotonisitas fungsi.

Fungsi meningkat (dalam interval tertentu) adalah fungsi di mana nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.

Fungsi menurun (dalam interval tertentu) adalah fungsi di mana nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

5) Fungsi genap (ganjil)..

Fungsi genap adalah fungsi yang domain definisinya simetris terhadap titik asal dan untuk sembarang X dari domain definisi kesetaraan f(-x) = f(x). Grafik fungsi genap simetris terhadap ordinat.

Fungsi ganjil adalah fungsi yang domain definisinya simetris terhadap titik asal dan untuk sembarang X dari domain definisi persamaan itu benar f(-x) = - f(x). Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.

6) Fungsi terbatas dan tidak terbatas.

Suatu fungsi disebut terbatas jika terdapat bilangan positif M sehingga |f(x)| ≤ M untuk semua nilai x. Jika bilangan tersebut tidak ada, maka fungsinya tidak terbatas.

7) Periodisitas fungsi.

Suatu fungsi f(x) bersifat periodik jika terdapat bilangan T yang bukan nol sehingga untuk sembarang x dari domain definisi fungsi tersebut berlaku: f(x+T) = f(x). Bilangan terkecil ini disebut periode fungsi tersebut. Semua fungsi trigonometri bersifat periodik. (Rumus trigonometri).

19. Fungsi dasar dasar, sifat-sifatnya dan grafiknya. Penerapan fungsi dalam perekonomian.

Fungsi dasar dasar. Properti dan grafiknya

1. Fungsi linier.

Fungsi linear disebut fungsi dengan bentuk , dimana x adalah variabel, a dan b adalah bilangan real.

Nomor A disebut kemiringan garis, sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis tersebut terhadap arah positif sumbu x. Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Hal ini ditentukan oleh dua poin.