Konsep garis tengah segitiga
Mari kita perkenalkan konsep garis tengah segitiga.
Definisi 1
Ini adalah segmen yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga (Gbr. 1).
Gambar 1. Garis tengah segitiga
Teorema Garis Tengah Segitiga
Teorema 1
Garis tengah suatu segitiga sejajar dengan salah satu sisinya dan sama dengan setengahnya.
Bukti.
Misalkan kita diberi segitiga $ABC$. $MN$ adalah garis tengah (seperti pada Gambar 2).
Gambar 2. Ilustrasi Teorema 1
Karena $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, maka segitiga $ABC$ dan $MBN$ sebangun menurut kriteria keserupaan kedua segitiga . Cara
Selain itu, $\angle A=\angle BMN$, yang berarti $MN||AC$.
Teorema tersebut terbukti.
Akibat wajar dari teorema garis tengah segitiga
Akibat wajar 1: Median suatu segitiga berpotongan di satu titik dan dibagi dengan titik potong tersebut dengan perbandingan $2:1$ dimulai dari titik sudut.
Bukti.
Misalkan segitiga $ABC$, dengan $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ adalah mediannya. Karena median membagi sisi-sisinya menjadi dua. Mari kita perhatikan garis tengah $A_1B_1$ (Gbr. 3).
Gambar 3. Ilustrasi Akibat Akibat 1
Berdasarkan Teorema 1, $AB||A_1B_1$ dan $AB=2A_1B_1$, maka $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Artinya segitiga $ABM$ dan $A_1B_1M$ sebangun menurut kriteria keserupaan segitiga yang pertama. Kemudian
Demikian pula terbukti
Teorema tersebut terbukti.
Akibat wajar 2: Tiga garis tengah segitiga membaginya menjadi 4 segitiga sebangun dengan segitiga asal dengan koefisien kemiripan $k=\frac(1)(2)$.
Bukti.
Perhatikan segitiga $ABC$ dengan garis tengah $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (Gbr. 4)
Gambar 4. Ilustrasi Akibat Akibat 2
Perhatikan segitiga $A_1B_1C$. Karena $A_1B_1$ adalah garis tengah, maka
Sudut $C$ adalah sudut persekutuan segitiga-segitiga ini. Akibatnya, segitiga $A_1B_1C$ dan $ABC$ sebangun menurut kriteria keserupaan kedua segitiga dengan koefisien kemiripan $k=\frac(1)(2)$.
Demikian pula dibuktikan bahwa segitiga $A_1C_1B$ dan $ABC$, serta segitiga $C_1B_1A$ dan $ABC$ sebangun dengan koefisien kemiripan $k=\frac(1)(2)$.
Perhatikan segitiga $A_1B_1C_1$. Karena $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ adalah garis tengah segitiga, maka
Oleh karena itu, menurut kriteria keserupaan segitiga yang ketiga, segitiga $A_1B_1C_1$ dan $ABC$ sebangun dengan koefisien kemiripan $k=\frac(1)(2)$.
Teorema tersebut terbukti.
Contoh soal konsep garis tengah segitiga
Contoh 1
Diketahui sebuah segitiga dengan panjang sisi $16$ cm, $10$ cm, dan $14$ cm. Tentukan keliling segitiga yang titik sudutnya terletak di titik tengah sisi-sisi segitiga tersebut.
Larutan.
Karena titik sudut segitiga yang diinginkan terletak pada titik tengah sisi-sisi segitiga tersebut, maka sisi-sisinya merupakan garis tengah segitiga asal. Berdasarkan Akibat wajar 2, kita menemukan bahwa sisi-sisi segitiga yang diinginkan sama dengan $8$ cm, $5$ cm, dan $7$ cm.
Menjawab:$20$ lihat
Contoh 2
Diberikan sebuah segitiga $ABC$. Titik $N\ dan\ M$ masing-masing merupakan titik tengah sisi $BC$ dan $AB$ (Gbr. 5).
Gambar 5.
Keliling segitiga $BMN=14$cm. Hitunglah keliling segitiga $ABC$.
Larutan.
Karena $N\ dan\ M$ adalah titik tengah sisi $BC$ dan $AB$, maka $MN$ adalah garis tengahnya. Cara
Berdasarkan Teorema 1, $AC=2MN$. Kita mendapatkan:
Tujuan pelajaran:
1) mengenalkan siswa pada konsep garis tengah trapesium, memperhatikan sifat-sifatnya dan membuktikannya;
2) mengajarkan cara membuat garis tengah trapesium;
3) mengembangkan kemampuan siswa dalam menggunakan definisi garis tengah trapesium dan sifat-sifat garis tengah trapesium ketika menyelesaikan masalah;
4) terus mengembangkan kemampuan berbicara siswa secara kompeten, dengan menggunakan istilah-istilah matematika yang diperlukan; buktikan sudut pandang Anda;
5) mengembangkan pemikiran logis, ingatan, perhatian.
Selama kelas
1. Pekerjaan rumah diperiksa selama pelajaran. Pekerjaan rumahnya bersifat lisan, ingat:
a) pengertian trapesium; jenis trapesium;
b) menentukan garis tengah segitiga;
c) sifat garis tengah segitiga;
d) tanda garis tengah segitiga.
2. Mempelajari materi baru.
a) Papan menunjukkan ABCD berbentuk trapesium.
b) Guru meminta kalian mengingat pengertian trapesium. Setiap meja memiliki diagram petunjuk untuk membantu Anda mengingat konsep dasar dalam topik “Trapesium” (lihat Lampiran 1). Lampiran 1 diterbitkan untuk setiap meja.
Siswa menggambar trapesium ABCD di buku catatannya.
c) Guru meminta Anda mengingat pada topik apa konsep garis tengah ditemui (“Garis tengah segitiga”). Siswa mengingat kembali pengertian garis tengah segitiga dan sifat-sifatnya.
e) Tuliskan definisi garis tengah trapesium dengan menggambarnya di buku catatan.
Garis tengah Trapesium adalah segmen yang menghubungkan titik tengah sisi-sisinya.
Sifat-sifat garis tengah trapesium masih belum terbukti pada tahap ini, sehingga tahap pelajaran selanjutnya melibatkan upaya membuktikan sifat-sifat garis tengah trapesium.
Dalil. Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya dan sama dengan jumlah setengahnya.
Diberikan: ABCD – trapesium,
MN – garis tengah ABCD
Membuktikan, Apa:
1. SM || MN || IKLAN.
2. MN = (AD + SM).
Kita dapat menuliskan beberapa akibat wajar yang mengikuti ketentuan teorema:
AM = MB, CN = ND, SM || IKLAN.
Tidak mungkin membuktikan apa yang diperlukan hanya berdasarkan properti yang terdaftar. Sistem soal dan latihan harus mengarahkan siswa pada keinginan untuk menghubungkan garis tengah trapesium dengan garis tengah suatu segitiga, yang sifat-sifatnya telah mereka ketahui. Jika tidak ada usulan, maka Anda dapat mengajukan pertanyaan: bagaimana cara membuat segitiga yang garis tengahnya adalah ruas MN?
Mari kita tuliskan konstruksi tambahan untuk salah satu kasus.
Mari kita tarik garis lurus BN yang memotong kelanjutan sisi AD di titik K.
Elemen tambahan muncul - segitiga: ABD, BNM, DNK, BCN. Jika kita buktikan BN = NK, berarti MN adalah garis tengah ABD, kemudian kita dapat menggunakan sifat garis tengah segitiga dan membuktikan perlunya.
Bukti:
1. Perhatikan BNC dan DNK, yang mengandung:
a) CNB =DNK (sifat sudut vertikal);
b) BCN = NDK (sifat sudut melintang dalam);
c) CN = ND (akibat wajar dari kondisi teorema).
Artinya BNC =DNK (sisi dan dua sudut yang berdekatan).
Q.E.D.
Pembuktiannya dapat dilakukan secara lisan di kelas, dan disampaikan kembali di rumah serta dituliskan dalam buku catatan (sesuai kebijaksanaan guru).
Perlu disebutkan cara lain yang mungkin untuk membuktikan teorema ini:
1. Gambarlah salah satu diagonal trapesium dan gunakan tanda dan sifat garis tengah segitiga.
2. Melaksanakan CF || BA dan perhatikan jajar genjang ABCF dan DCF.
3. Melaksanakan EF || BA dan pertimbangkan kesetaraan FND dan ENC.
g) Pada tahap ini, pekerjaan rumah diberikan: paragraf 84, buku teks ed. Atanasyan L.S. (pembuktian sifat garis tengah trapesium dengan metode vektor), tuliskan di buku catatanmu.
h) Kita menyelesaikan masalah dengan menggunakan definisi dan sifat-sifat garis tengah trapesium menggunakan gambar yang sudah jadi (lihat Lampiran 2). Lampiran 2 diberikan kepada setiap siswa, dan penyelesaian soal dituliskan pada lembar yang sama dalam bentuk singkat.
Segi empat yang hanya dua sisinya sejajar disebut trapesium.
Sisi-sisi sejajar trapesium disebut sisi-sisinya alasan, dan sisi-sisi yang tidak sejajar disebut sisi. Jika sisi-sisinya sama panjang, maka trapesium tersebut adalah sama kaki. Jarak antar alas disebut tinggi trapesium.
Trapesium Garis Tengah
Garis tengah adalah ruas yang menghubungkan titik tengah sisi lateral trapesium. Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya.
Dalil:
Jika garis lurus yang memotong bagian tengah salah satu sisinya sejajar dengan alas trapesium, maka garis tersebut membagi dua sisi trapesium yang kedua.
Dalil:
Panjang garis tengah sama dengan rata-rata aritmatika dari panjang alasnya
MN || AB || DCSAYA = MD; BN=NC
Garis tengah MN, AB dan CD - alas, AD dan BC - sisi lateral
MN = (AB + DC)/2
Dalil:
Panjang garis tengah trapesium sama dengan rata-rata aritmatika panjang alasnya.
Tugas utama: Buktikan bahwa garis tengah trapesium membagi dua ruas yang ujung-ujungnya terletak di tengah alas trapesium.
Garis Tengah Segitiga
Ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisi suatu segitiga disebut garis tengah segitiga. Letaknya sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan setengah panjang sisi ketiga.
Dalil: Jika suatu garis yang memotong titik tengah salah satu sisi suatu segitiga sejajar dengan sisi segitiga yang lain, maka garis tersebut membagi dua sisi ketiganya.
AM = MC dan BN = NC =>
Menerapkan sifat-sifat garis tengah segitiga dan trapesium
Membagi suatu segmen menjadi beberapa bagian yang sama besar.
Tugas: Bagilah ruas AB menjadi 5 bagian sama besar.
Larutan:
Misalkan p adalah suatu sinar acak yang asal titik A dan tidak terletak pada garis AB. Kita sisihkan 5 ruas yang sama besar secara berurutan pada p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Kita menghubungkan A 5 ke B dan menarik garis-garis tersebut melalui A 4, A 3, A 2 dan A 1 yang sejajar dengan A 5 B. Garis-garis tersebut masing-masing memotong AB di titik B 4, B 3, B 2 dan B 1. Titik-titik tersebut membagi ruas AB menjadi 5 bagian yang sama besar. Memang dari trapesium BB 3 A 3 A 5 kita melihat bahwa BB 4 = B 4 B 3. Dengan cara yang sama, dari trapesium B 4 B 2 A 2 A 4 kita peroleh B 4 B 3 = B 3 B 2
Sedangkan dari trapesium B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Maka dari B 2 AA 2 diperoleh B 2 B 1 = B 1 A. Kesimpulannya kita peroleh:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jelas bahwa untuk membagi segmen AB menjadi beberapa bagian yang sama, kita perlu memproyeksikan jumlah segmen yang sama ke sinar p. Dan kemudian lanjutkan dengan cara yang dijelaskan di atas.
