masalah: memahami jenis-jenis perkalian
Target: pengenalan berbagai metode perkalian bilangan asli yang tidak digunakan dalam pelajaran, dan penerapannya dalam menghitung ekspresi numerik.
Tugas:
1. Temukan dan analisis berbagai metode perkalian.
2. Belajar mendemonstrasikan beberapa metode perkalian.
3. Bicarakan tentang cara-cara baru perkalian dan ajari siswa cara menggunakannya.
4. Mengembangkan keterampilan kerja mandiri: mencari informasi, memilih dan menyiapkan bahan yang ditemukan.
5. Eksperimen “metode mana yang lebih cepat”
Hipotesa:Apakah saya perlu mengetahui tabel perkalian?
Relevansi: Akhir-akhir ini, siswa lebih percaya pada gadget daripada diri mereka sendiri. Inilah sebabnya mengapa mereka hanya mengandalkan kalkulator. Kami ingin menunjukkan bahwa ada berbagai cara perkalian, sehingga siswa lebih mudah berhitung dan menarik untuk dipelajari.
PERKENALAN
Anda tidak akan bisa mengalikan bilangan-bilangan yang banyak angkanya—bahkan yang dua angka sekalipun—jika Anda tidak hafal semua hasil perkalian bilangan satu angka, itulah yang disebut dengan tabel perkalian.
Pada waktu yang berbeda, orang yang berbeda memiliki cara yang berbeda dalam mengalikan bilangan asli.
Mengapa semua orang sekarang menggunakan satu metode perkalian “kolom”?
Mengapa orang meninggalkan metode perkalian lama dan memilih metode modern?
Apakah metode perkalian yang terlupakan masih ada di zaman kita?
Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini saya melakukan pekerjaan berikut:
1. Dengan menggunakan internet, saya menemukan informasi tentang beberapa metode perkalian yang pernah digunakan sebelumnya.;
2. Mempelajari literatur yang disarankan guru;
3. Saya memecahkan beberapa contoh menggunakan semua metode yang dipelajari untuk mengetahui kekurangannya;
4) Mengidentifikasi yang paling efektif di antara mereka;
5. Melakukan percobaan;
6. Menarik kesimpulan.
1. Temukan dan analisis berbagai metode perkalian.
Perkalian dengan jari.
Metode perkalian Rusia Kuno dengan jari adalah salah satu metode yang paling umum digunakan, yang berhasil digunakan oleh pedagang Rusia selama berabad-abad. Mereka belajar mengalikan angka satu digit dari 6 hingga 9 dengan jari mereka, dalam hal ini, cukup memiliki keterampilan dasar menghitung jari dalam “satuan”, “pasangan”, “tiga”, “empat”, “lima” dan “lima” dan. "puluhan". Jari-jari di sini berfungsi sebagai alat bantu komputasi.
Untuk melakukan ini, di satu sisi mereka mengulurkan jari sebanyak faktor pertama melebihi angka 5, dan di sisi lain mereka melakukan hal yang sama untuk faktor kedua. Jari-jari yang tersisa tertekuk. Kemudian diambil jumlah (jumlah) jari yang terulur dan dikalikan 10, kemudian angka tersebut dikalikan, menunjukkan berapa jari yang tertekuk, dan hasilnya dijumlahkan.
Misalnya, kalikan 7 dengan 8. Pada contoh yang dibahas, 2 dan 3 jari akan ditekuk. Jika Anda menjumlahkan jumlah jari yang tertekuk (2+3=5) dan mengalikan jumlah jari yang tidak tertekuk (2 3=6), Anda akan mendapatkan bilangan puluhan dan satuan dari hasil perkalian yang diinginkan masing-masing 56. Dengan cara ini Anda dapat menghitung hasil kali bilangan satu digit yang lebih besar dari 5.
Metode mengalikan angka di berbagai negara
Kalikan dengan 9.
Perkalian angka 9 - 9 1, 9 2 ... 9 10 - lebih mudah dilupakan dari ingatan dan lebih sulit dihitung ulang secara manual menggunakan metode penjumlahan, namun khusus untuk angka 9, perkalian mudah dilakukan “dengan jari ”. Rentangkan jari-jari Anda pada kedua tangan dan putar tangan dengan telapak tangan menghadap menjauhi Anda. Tetapkan secara mental angka dari 1 hingga 10 ke jari Anda, dimulai dengan jari kelingking tangan kiri Anda dan diakhiri dengan jari kelingking tangan kanan Anda (ini ditunjukkan pada gambar). 
Siapa yang menemukan perkalian dengan jari
Katakanlah kita ingin mengalikan 9 dengan 6. Kita membengkokkan jari dengan angka yang sama dengan angka yang akan kita gunakan untuk mengalikan sembilan. Pada contoh kita, kita perlu menekuk jari yang bernomor 6. Jumlah jari di sebelah kiri jari yang ditekuk menunjukkan jumlah jawaban puluhan, jumlah jari di sebelah kanan menunjukkan jumlah satu. Di sebelah kiri kita memiliki 5 jari yang tidak tertekuk, di sebelah kanan - 4 jari. Jadi, 9·6=54. Gambar di bawah menunjukkan secara rinci keseluruhan prinsip “perhitungan”. 
Berkembang biak dengan cara yang tidak biasa
Contoh lain: Anda perlu menghitung 9·8=?. Secara sepintas, katakanlah jari tidak serta merta berfungsi sebagai “mesin penghitung”. Ambil contoh, 10 sel di buku catatan. Coret sel ke-8. Ada 7 sel tersisa di kiri, 2 sel di kanan. Jadi 9·8=72. Semuanya sangat sederhana.
7 sel 2 sel.
Cara perkalian India.
Kontribusi paling berharga bagi perbendaharaan pengetahuan matematika dibuat di India. Umat Hindu mengusulkan metode yang kita gunakan untuk menulis angka dengan menggunakan sepuluh tanda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Dasar dari metode ini adalah gagasan bahwa angka yang sama mewakili satuan, puluhan, ratusan, atau ribuan, tergantung di mana angka tersebut berada. Ruang yang ditempati, jika tidak ada angka apa pun, ditentukan oleh angka nol yang ditetapkan pada angka tersebut.
Orang India pandai berhitung. Mereka menemukan cara yang sangat sederhana untuk mengalikan. Mereka melakukan perkalian mulai dari angka paling signifikan, dan menuliskan hasil perkalian yang tidak lengkap tepat di atas perkalian, sedikit demi sedikit. Dalam hal ini, digit paling signifikan dari produk lengkap segera terlihat dan, sebagai tambahan, penghilangan digit apa pun dihilangkan. Tanda perkaliannya belum diketahui, sehingga menyisakan jarak yang kecil antar faktornya. Misalnya, mari kita kalikan menggunakan metode 537 dengan 6:
(5 ∙ 6 =30) 30
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
6
Perkalian dengan metode “SMALL CASTLE”.
Perkalian bilangan sekarang dipelajari di kelas satu sekolah. Namun pada Abad Pertengahan, sangat sedikit yang menguasai seni perkalian. Jarang ada bangsawan yang bisa membanggakan mengetahui tabel perkalian, bahkan jika dia lulus dari universitas Eropa.
Selama ribuan tahun perkembangan matematika, banyak cara mengalikan bilangan telah ditemukan. Matematikawan Italia Luca Pacioli, dalam risalahnya “Summa of Arithmetic, Ratios and Proportionality” (1494), memberikan delapan metode perkalian yang berbeda. Yang pertama disebut "Kastil Kecil", dan yang kedua tidak kalah romantisnya disebut "Kecemburuan atau penggandaan kisi".
Keuntungan metode perkalian “Kastil Kecil” adalah digit paling signifikan telah ditentukan sejak awal, dan ini penting jika Anda perlu memperkirakan suatu nilai dengan cepat.
Angka-angka dari bilangan atas, dimulai dari angka yang paling penting, dikalikan satu per satu dengan bilangan yang lebih rendah dan ditulis dalam kolom dengan jumlah nol yang diperlukan ditambahkan. Hasilnya kemudian dijumlahkan. 
Metode mengalikan angka di berbagai negara
Mengalikan angka dengan metode “cemburu”.
“Metode perkalian Metode kedua mempunyai nama romantis cemburu,” atau “perkalian kisi.”
Pertama, sebuah persegi panjang digambar, dibagi menjadi persegi, dan dimensi sisi persegi panjang sesuai dengan jumlah tempat desimal dari pengali dan pengali. Kemudian sel-sel persegi tersebut dibagi secara diagonal, dan “...hasilnya adalah gambar yang mirip dengan kisi-kisi jendela,” tulis Pacioli. “Penutup jendela seperti itu digantung di jendela rumah-rumah Venesia, mencegah orang yang lewat melihat wanita dan biarawati duduk di jendela.”
Mari kita kalikan 347 dengan 29 dengan cara ini. Mari kita menggambar tabel, tuliskan angka 347 di atasnya, dan angka 29 di sebelah kanan.
Pada setiap baris kita akan menulis hasil perkalian angka-angka di atas dan di sebelah kanannya, sedangkan angka puluhan dari hasil kali tersebut akan kita tuliskan di atas garis miring, dan angka satuan di bawahnya. Sekarang kita menambahkan angka di setiap garis miring, melakukan operasi ini, dari kanan ke kiri. Jika jumlahnya kurang dari 10, maka kita tuliskan di bawah nomor strip paling bawah. Jika ternyata lebih besar dari 10, maka kita tuliskan angka satuannya saja, dan angka puluhannya kita tambahkan pada jumlah berikutnya. Hasilnya, kami memperoleh produk yang diinginkan 10063.
Metode perkalian petani.
Cara perkalian yang paling “asli” dan termudah, menurut saya, adalah metode yang digunakan oleh petani Rusia. Teknik ini sama sekali tidak memerlukan pengetahuan tentang tabel perkalian di luar angka 2. Intinya adalah bahwa perkalian dua angka direduksi menjadi serangkaian pembagian satu angka menjadi dua sekaligus menggandakan angka lainnya. Pembagian menjadi dua terus dilakukan hingga hasil bagi mencapai 1, sekaligus menggandakan bilangan lainnya. Angka dua kali lipat terakhir memberikan hasil yang diinginkan.
Jika jumlahnya ganjil, hilangkan satu dan bagi sisanya menjadi dua; tetapi ke angka terakhir kolom kanan Anda perlu menambahkan semua angka di kolom ini yang berseberangan dengan angka ganjil di kolom kiri: jumlahnya akan menjadi hasil kali yang diperlukan
Hasil kali semua pasangan bilangan yang bersesuaian adalah sama, jadi
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
Jika salah satu bilangan ganjil atau kedua bilangan ganjil, lakukan sebagai berikut:
384 ∙ 1 = 384
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
Cara baru untuk berkembang biak.
Sebuah metode perkalian baru yang menarik baru-baru ini dilaporkan. Penemu sistem penghitungan mental baru, Kandidat Filsafat Vasily Okoneshnikov, mengklaim bahwa seseorang mampu mengingat sejumlah besar informasi, yang utama adalah bagaimana mengatur informasi tersebut. Menurut ilmuwan itu sendiri, yang paling menguntungkan dalam hal ini adalah sistem sembilan kali lipat - semua data ditempatkan di sembilan sel, terletak seperti tombol pada kalkulator.
Sangat mudah untuk menghitung menggunakan tabel seperti itu. Misalnya, kalikan angka 15647 dengan 5. Di bagian tabel yang sesuai dengan lima, pilih angka yang sesuai dengan digit angka tersebut secara berurutan: satu, lima, enam, empat, dan tujuh. Kita mendapatkan: 05 25 30 20 35
Kita membiarkan digit kiri (dalam contoh kita nol) tidak berubah, dan menjumlahkan angka-angka berikut secara berpasangan: lima dengan dua, lima dengan tiga, nol dengan dua, nol dengan tiga. Digit terakhir juga tidak berubah.
Hasilnya adalah: 078235. Angka 78235 adalah hasil perkalian.
Jika pada penjumlahan dua angka diperoleh angka yang lebih besar dari sembilan, maka angka pertamanya dijumlahkan dengan angka sebelumnya dari hasil tersebut, dan angka kedua ditulis di tempat “sendiri”.
Kesimpulan.
Saat mengerjakan topik ini, saya belajar bahwa ada sekitar 30 cara berbeda, menyenangkan dan menarik untuk berkembang biak. Beberapa masih digunakan di berbagai negara. Saya telah memilih beberapa cara menarik untuk diri saya sendiri. Namun tidak semua cara mudah digunakan, terutama saat mengalikan bilangan multi-digit.
Metode perkalian
Mengirimkan karya bagus Anda ke basis pengetahuan itu sederhana. Gunakan formulir di bawah ini
Pelajar, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.
Diposting pada http://www.allbest.ru/
Cara orisinal mengalikan bilangan multi-digit dan kemungkinan menggunakannya dalam pelajaran matematika
Pengawas:
Shashkova Ekaterina Olegovna
Perkenalan
1. Sedikit sejarah
2. Perkalian dengan jari
3. Kalikan dengan 9
4. Cara perkalian India
5. Perkalian dengan metode “Kastil Kecil”.
6.Perkalian dengan metode “Cemburu”.
7. Metode perkalian petani
8. Cara baru untuk berkembang biak
Kesimpulan
literatur
Perkenalan
Tidak mungkin seseorang bisa hidup tanpa perhitungan dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, dalam pelajaran matematika pertama-tama kita diajarkan untuk melakukan operasi bilangan, yaitu berhitung. Kita mengalikan, membagi, menambah dan mengurangi dengan cara yang biasa kita pelajari di sekolah.
Suatu hari saya tidak sengaja menemukan sebuah buku karya S.N. Olekhnika, Yu.V. Nesterenko dan M.K. Potapov "Masalah lama yang menghibur". Saat membuka-buka buku ini, perhatian saya tertuju pada halaman berjudul “Perkalian dengan Jari”. Ternyata mengalikan tidak hanya bisa dilakukan seperti yang disarankan kepada kita di buku teks matematika. Saya ingin tahu apakah ada metode perhitungan lain. Bagaimanapun, kemampuan untuk melakukan perhitungan dengan cepat sungguh mengejutkan.
Penggunaan teknologi komputer modern yang terus-menerus menyebabkan kesulitan bagi siswa untuk melakukan perhitungan apa pun tanpa memiliki tabel atau mesin hitung. Pengetahuan tentang teknik perhitungan yang disederhanakan memungkinkan tidak hanya melakukan perhitungan sederhana dengan cepat dalam pikiran, tetapi juga untuk mengontrol, mengevaluasi, menemukan dan memperbaiki kesalahan sebagai hasil perhitungan mekanis. Selain itu, penguasaan keterampilan komputasi mengembangkan daya ingat, meningkatkan tingkat budaya berpikir matematis, dan membantu penguasaan penuh mata pelajaran siklus fisika dan matematika.
Tujuan pekerjaan:
Tampilkan yang tidak biasa metode perkalian.
Tugas:
SH Temukan sebanyak mungkin metode perhitungan yang tidak biasa.
Ш Belajar menggunakannya.
Ш Pilih sendiri yang paling menarik atau lebih mudah daripada yang ditawarkan di sekolah, dan gunakan saat menghitung.
1. Sedikit sejarah
Metode perhitungan yang kita gunakan sekarang tidak selalu sederhana dan nyaman. Di masa lalu, teknik yang lebih rumit dan lambat digunakan. Dan jika seorang anak sekolah di abad ke-21 dapat melakukan perjalanan ke lima abad yang lalu, dia akan membuat nenek moyang kita takjub dengan kecepatan dan keakuratan perhitungannya. Desas-desus tentang dia akan menyebar ke seluruh sekolah dan biara di sekitarnya, melampaui kejayaan kalkulator paling terampil pada masa itu, dan orang-orang akan datang dari berbagai penjuru untuk belajar dengan guru besar yang baru.
Operasi perkalian dan pembagian sangat sulit dilakukan di masa lalu. Maka tidak ada satu metode pun yang dikembangkan melalui latihan untuk setiap tindakan. Sebaliknya, ada hampir selusin metode perkalian dan pembagian berbeda yang digunakan pada saat yang sama - teknik yang satu lebih rumit dari yang lain, yang tidak dapat diingat oleh orang dengan kemampuan rata-rata. Setiap guru berhitung berpegang teguh pada teknik favoritnya, setiap “ahli divisi” (ada spesialis seperti itu) memuji caranya sendiri dalam melakukan tindakan ini.
Dalam buku V. Bellustin “Bagaimana orang secara bertahap mencapai aritmatika nyata,” 27 metode perkalian diuraikan, dan penulis mencatat: “sangat mungkin bahwa ada metode lain yang tersembunyi di relung penyimpanan buku, tersebar di banyak tempat, terutama tulisan tangan. koleksi.”
Dan semua metode perkalian ini - "catur atau organ", "melipat", "silang", "kisi", "belakang ke depan", "berlian" dan lainnya bersaing satu sama lain dan dipelajari dengan susah payah.
Mari kita lihat cara perkalian yang paling menarik dan sederhana.
2. Perkalian dengan jari
Metode perkalian Rusia Kuno dengan jari adalah salah satu metode yang paling umum digunakan, yang berhasil digunakan oleh pedagang Rusia selama berabad-abad. Mereka belajar mengalikan angka satu digit dari 6 hingga 9 dengan jari mereka, dalam hal ini, cukup memiliki keterampilan dasar menghitung jari dalam “satuan”, “pasangan”, “tiga”, “empat”, “lima” dan “lima” dan. "puluhan". Jari-jari di sini berfungsi sebagai alat bantu komputasi.
Untuk melakukan ini, di satu sisi mereka mengulurkan jari sebanyak faktor pertama melebihi angka 5, dan di sisi lain mereka melakukan hal yang sama untuk faktor kedua. Jari-jari yang tersisa tertekuk. Kemudian diambil jumlah (jumlah) jari yang terulur dan dikalikan 10, kemudian angka tersebut dikalikan, menunjukkan berapa jari yang tertekuk, dan hasilnya dijumlahkan.
Misalnya, kalikan 7 dengan 8. Pada contoh yang dibahas, 2 dan 3 jari akan ditekuk. Jika Anda menjumlahkan jumlah jari yang tertekuk (2+3=5) dan mengalikan jumlah jari yang tidak tertekuk (2*3=6), Anda akan mendapatkan bilangan puluhan dan satuan dari hasil perkalian yang diinginkan masing-masing 56. Dengan cara ini Anda dapat menghitung hasil kali bilangan satu digit yang lebih besar dari 5.
3. Kalikan dengan 9
Perkalian untuk angka 9- 9·1, 9·2…9·10 - lebih mudah dilupakan dari ingatan dan lebih sulit dihitung ulang secara manual menggunakan metode penjumlahan, namun khusus untuk angka 9, perkaliannya mudah dilakukan “dengan jari”. Rentangkan jari-jari Anda pada kedua tangan dan putar tangan dengan telapak tangan menghadap menjauhi Anda. Tetapkan secara mental angka dari 1 hingga 10 ke jari Anda, dimulai dengan jari kelingking tangan kiri Anda dan diakhiri dengan jari kelingking tangan kanan Anda (ini ditunjukkan pada gambar).
Katakanlah kita ingin mengalikan 9 dengan 6. Kita membengkokkan jari dengan angka yang sama dengan angka yang akan kita gunakan untuk mengalikan sembilan. Pada contoh kita, kita perlu menekuk jari yang bernomor 6. Jumlah jari di sebelah kiri jari yang ditekuk menunjukkan jumlah jawaban puluhan, jumlah jari di sebelah kanan menunjukkan jumlah satu. Di sebelah kiri kita memiliki 5 jari yang tidak tertekuk, di sebelah kanan - 4 jari. Jadi, 9·6=54. Gambar di bawah menunjukkan secara rinci keseluruhan prinsip “perhitungan”.
Contoh lain: Anda perlu menghitung 9·8=?. Secara sepintas, katakanlah jari tidak serta merta berfungsi sebagai “mesin penghitung”. Ambil contoh, 10 sel di buku catatan. Coret sel ke-8. Ada 7 sel tersisa di kiri, 2 sel di kanan. Jadi 9·8=72. Semuanya sangat sederhana. metode perkalian yang disederhanakan dan menarik
4. Cara perkalian India
Kontribusi paling berharga bagi perbendaharaan pengetahuan matematika dibuat di India. Umat Hindu mengusulkan metode yang kita gunakan untuk menulis angka dengan menggunakan sepuluh tanda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Dasar dari metode ini adalah gagasan bahwa angka yang sama mewakili satuan, puluhan, ratusan, atau ribuan, tergantung di mana angka tersebut berada. Ruang yang ditempati, jika tidak ada angka apa pun, ditentukan oleh angka nol yang ditetapkan pada angka tersebut.
Orang India pandai berhitung. Mereka menemukan cara yang sangat sederhana untuk mengalikan. Mereka melakukan perkalian mulai dari angka paling signifikan, dan menuliskan hasil perkalian yang tidak lengkap tepat di atas perkalian, sedikit demi sedikit. Dalam hal ini, digit paling signifikan dari produk lengkap segera terlihat dan, sebagai tambahan, penghilangan digit apa pun dihilangkan. Tanda perkaliannya belum diketahui, sehingga menyisakan jarak yang kecil antar faktornya. Misalnya, mari kita kalikan menggunakan metode 537 dengan 6:
5. Dikalikanmustahil"benteng kecil"
Perkalian bilangan sekarang dipelajari di kelas satu sekolah. Namun pada Abad Pertengahan, sangat sedikit yang menguasai seni perkalian. Jarang ada bangsawan yang bisa membanggakan mengetahui tabel perkalian, bahkan jika dia lulus dari universitas Eropa.
Selama ribuan tahun perkembangan matematika, banyak cara mengalikan bilangan telah ditemukan. Matematikawan Italia Luca Pacioli, dalam risalahnya “The Summa of Arithmetic, Ratios and Proportionality” (1494), memberikan delapan metode perkalian yang berbeda. Yang pertama disebut "Kastil Kecil", dan yang kedua tidak kalah romantisnya disebut "Kecemburuan atau penggandaan kisi".
Keuntungan metode perkalian “Kastil Kecil” adalah digit paling signifikan telah ditentukan sejak awal, dan ini penting jika Anda perlu memperkirakan suatu nilai dengan cepat.
Angka-angka dari bilangan atas, dimulai dari angka yang paling penting, dikalikan satu per satu dengan bilangan yang lebih rendah dan ditulis dalam kolom dengan jumlah nol yang diperlukan ditambahkan. Hasilnya kemudian dijumlahkan.
6. Cerdasangka-angkametode "Kecemburuan»
Metode kedua memiliki nama romantis “kecemburuan”, atau “perkalian kisi”.
Pertama, sebuah persegi panjang digambar, dibagi menjadi persegi, dan dimensi sisi persegi panjang sesuai dengan jumlah tempat desimal dari pengali dan pengali. Kemudian sel-sel persegi tersebut dibagi secara diagonal, dan “... hasilnya adalah gambar yang mirip dengan kisi-kisi jendela,” tulis Pacioli. “Penutup jendela seperti itu digantung di jendela rumah-rumah Venesia, mencegah orang yang lewat melihat wanita dan biarawati duduk di jendela.”
Mari kita kalikan 347 dengan 29 dengan cara ini. Mari kita menggambar tabel, tuliskan angka 347 di atasnya, dan angka 29 di sebelah kanan.
Pada setiap baris kita akan menulis hasil perkalian angka-angka di atas dan di sebelah kanannya, sedangkan angka puluhan dari hasil kali tersebut akan kita tuliskan di atas garis miring, dan angka satuan di bawahnya. Sekarang kita menambahkan angka di setiap garis miring, melakukan operasi ini, dari kanan ke kiri. Jika jumlahnya kurang dari 10, maka kita tuliskan di bawah nomor strip paling bawah. Jika ternyata lebih besar dari 10, maka kita tuliskan angka satuannya saja, dan angka puluhannya kita tambahkan pada jumlah berikutnya. Hasilnya, kami memperoleh produk yang diinginkan 10063.
7 . KEmetode perkalian petani
Cara perkalian yang paling “asli” dan termudah, menurut saya, adalah metode yang digunakan oleh petani Rusia. Teknik ini sama sekali tidak memerlukan pengetahuan tentang tabel perkalian di luar angka 2. Intinya adalah bahwa perkalian dua angka direduksi menjadi serangkaian pembagian satu angka menjadi dua sekaligus menggandakan angka lainnya. Pembagian menjadi dua terus dilakukan hingga hasil bagi mencapai 1, sekaligus menggandakan bilangan lainnya. Angka dua kali lipat terakhir memberikan hasil yang diinginkan.
Jika jumlahnya ganjil, hilangkan satu dan bagi sisanya menjadi dua; tetapi ke angka terakhir kolom kanan Anda perlu menambahkan semua angka di kolom ini yang berseberangan dengan angka ganjil di kolom kiri: jumlahnya akan menjadi hasil kali yang diperlukan
Hasil kali semua pasangan bilangan yang bersesuaian adalah sama, jadi
37 32 = 1184 1 = 1184
Jika salah satu bilangan ganjil atau kedua bilangan ganjil, lakukan sebagai berikut:
24 17 = 24 (16+1)=24 16 + 24 = 384 + 24 = 408
8 . Cara baru untuk berkembang biak
Sebuah metode perkalian baru yang menarik baru-baru ini dilaporkan. Penemu sistem penghitungan mental baru, Kandidat Filsafat Vasily Okoneshnikov, mengklaim bahwa seseorang mampu mengingat sejumlah besar informasi, yang utama adalah bagaimana mengatur informasi tersebut. Menurut ilmuwan itu sendiri, yang paling menguntungkan dalam hal ini adalah sistem sembilan kali lipat - semua data ditempatkan di sembilan sel, terletak seperti tombol pada kalkulator.
Sangat mudah untuk menghitung menggunakan tabel seperti itu. Misalnya, kalikan angka 15647 dengan 5. Di bagian tabel yang sesuai dengan lima, pilih angka yang sesuai dengan digit angka tersebut secara berurutan: satu, lima, enam, empat, dan tujuh. Kita mendapatkan: 05 25 30 20 35
Kita membiarkan digit kiri (dalam contoh kita nol) tidak berubah, dan menjumlahkan angka-angka berikut secara berpasangan: lima dengan dua, lima dengan tiga, nol dengan dua, nol dengan tiga. Digit terakhir juga tidak berubah.
Hasilnya adalah: 078235. Angka 78235 adalah hasil perkalian.
Jika pada penjumlahan dua angka diperoleh angka yang lebih besar dari sembilan, maka angka pertamanya dijumlahkan dengan angka sebelumnya dari hasil tersebut, dan angka kedua ditulis di tempat “sendiri”.
Dari semua metode penghitungan tidak biasa yang saya temukan, metode “perkalian kisi atau kecemburuan” tampaknya lebih menarik. Saya menunjukkannya kepada teman sekelas saya dan mereka juga sangat menyukainya.
Bagi saya, metode yang paling sederhana adalah “penggandaan dan pemisahan”, yang digunakan oleh para petani Rusia. Saya menggunakannya saat mengalikan angka yang tidak terlalu besar (sangat nyaman menggunakannya saat mengalikan angka dua digit).
Saya tertarik dengan metode perkalian yang baru, karena metode ini memungkinkan saya “melemparkan” bilangan-bilangan besar dalam pikiran saya.
Menurut saya, metode perkalian dengan kolom kami tidaklah sempurna dan kami dapat menemukan metode yang lebih cepat dan lebih andal.
literatur
1. Depman I. “Cerita tentang Matematika.” - Leningrad: Pendidikan, 1954. - 140 hal.
2. Korneev A.A. Fenomena perkalian Rusia. Cerita. http://numbernautics.ru/
3. OlehnikS. N., Nesterenko Yu.V., Potapov M. K. “Masalah lama yang menghibur.” - M.: Sains. Edisi Utama Sastra Fisika dan Matematika, 1985. - 160 hal.
4. Perelman Ya.I. Hitung cepat. Tiga puluh teknik penghitungan mental sederhana. L., 1941 - 12 hal.
5. Perelman Ya.I. Aritmatika yang menarik. M. Rusanova, 1994--205 hal.
6. Ensiklopedia “Saya menjelajahi dunia. Matematika". - M.: Astrel Ermak, 2004.
7. Ensiklopedia untuk anak-anak. "Matematika". - M.: Avanta+, 2003. - 688 hal.
Diposting di Allbest.ru
...Dokumen serupa
Bagaimana orang belajar berhitung, munculnya bilangan, bilangan dan sistem bilangan. Tabel perkalian pada “jari”: teknik perkalian angka 9 dan 8. Contoh penghitungan cepat. Cara mengalikan bilangan dua angka dengan 11, 111, 1111, dst. dan angka tiga digit untuk 999.
tugas kursus, ditambahkan 22/10/2011
Penerapan metode saringan Eratosthenes untuk mencari dari rangkaian bilangan prima tertentu ke beberapa nilai bilangan bulat. Pertimbangan masalah bilangan prima kembar. Bukti tak terhingga bilangan prima kembar pada polinomial asli derajat pertama.
tes, ditambahkan 10/05/2010
Pengenalan operasi perkalian dan pembagian. Pertimbangan kasus penggantian jumlah dengan produk. Penyelesaian contoh dengan suku yang sama dan berbeda. Metode komputasi pembagian, pembagian menjadi bagian yang sama. Mengajar tabel perkalian dengan cara yang menyenangkan.
presentasi, ditambahkan 15/04/2015
Ciri-ciri sejarah mempelajari pengertian bilangan prima dalam matematika dengan menjelaskan cara mencarinya. Kontribusi Pietro Cataldi terhadap perkembangan teori bilangan prima. Metode Eratosthenes dalam menyusun tabel bilangan prima. Keramahan bilangan asli.
tes, ditambahkan 24/12/2010
Tujuan, komposisi dan struktur perangkat logika aritmatika, klasifikasinya, cara penyajiannya. Prinsip konstruksi dan pengoperasian komputer ALU. Pembuatan diagram blok algoritma perkalian, penentuan sekumpulan sinyal kontrol, desain rangkaian.
tugas kursus, ditambahkan 25/10/2014
Konsep "matriks" dalam matematika. Operasi mengalikan (membagi) matriks berukuran berapa pun dengan bilangan sembarang. Operasi dan sifat perkalian dua matriks. Matriks yang ditransposisikan adalah matriks yang diperoleh dari matriks asal yang baris-barisnya digantikan oleh kolom.
tes, ditambahkan 21/07/2010
Fakta sejarah kajian bilangan prima pada zaman dahulu, keadaan permasalahan saat ini. Distribusi bilangan prima pada deret bilangan asli, sifat dan alasan perilakunya. Analisis distribusi bilangan prima kembar berdasarkan hukum umpan balik.
artikel, ditambahkan 28/03/2012
Konsep dasar dan definisi persamaan kubik, metode penyelesaiannya. Rumus Cardano dan rumus trigonometri Vieta, inti dari metode enumerasi. Penerapan rumus perkalian disingkat selisih kubus. Penentuan akar trinomial persegi.
tugas kursus, ditambahkan 21/10/2013
Pertimbangan berbagai contoh masalah kombinatorial dalam matematika. Deskripsi metode pencarian melalui opsi yang memungkinkan. Menggunakan aturan perkalian kombinatorial. Menggambar pohon pilihan. Permutasi, kombinasi, penempatan sebagai kombinasi paling sederhana.
presentasi, ditambahkan 17/10/2015
Menentukan vektor eigen suatu matriks sebagai hasil penerapan transformasi linier yang ditentukan oleh matriks tersebut (mengalikan vektor dengan nilai eigen). Daftar tindakan utama dan deskripsi diagram blok algoritma metode Leverrier-Faddeev.
Lembaga pendidikan anggaran kota
Sekolah menengah dengan. dengan malu-malu
Distrik kota Distrik Aurgazinsky di Republik Belarus
Pekerjaan penelitian
"CARA MULTIPLIKASI YANG LUAR BIASA"
Vasiliev Nikolay
Pengawas -
tahun ajaran 2013-2014 G.
1. Perkenalan……………………………………………………………......
2. Cara perkalian yang tidak biasa………………………………………...
1) Sedikit sejarah………..………..……………………………..
2) Perkalian dengan 9 ……………………………………………......
3) Perkalian dengan jari..................................................................................
4) Tabel Pythagoras ………………………………………………………
5) Tabel Okoneshnikov……………………………………….
6) Cara perkalian petani………………….………....
7) Perkalian dengan metode “Kastil Kecil”…….……………….
8) Perkalian dengan metode “Cemburu”………………………………………………….
9) Cara perkalian Cina ……………………………………………
10) Cara perkalian Jepang ……………………………………………
3. Kesimpulan……………………………..…………………………………...
4. Daftar referensi………………………………………………….
Perkenalan
Tidak mungkin seseorang bisa hidup tanpa perhitungan dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, dalam pelajaran matematika pertama-tama kita diajarkan untuk melakukan operasi bilangan, yaitu berhitung. Kita mengalikan, membagi, menambah dan mengurangi dengan cara yang biasa kita pelajari di sekolah.
Suatu hari saya tidak sengaja menemukan halaman di Internet dengan metode perkalian yang tidak biasa yang digunakan anak-anak di Tiongkok (seperti yang tertulis di sana). Saya membaca, mempelajari dan menyukai metode ini. Ternyata mengalikan tidak hanya bisa dilakukan seperti yang disarankan kepada kita di buku teks matematika. Saya bertanya-tanya apakah ada metode perhitungan lain. Bagaimanapun, kemampuan untuk melakukan perhitungan dengan cepat sungguh mengejutkan.
Penggunaan teknologi komputer modern yang terus-menerus menyebabkan kesulitan bagi siswa untuk melakukan perhitungan apa pun tanpa memiliki tabel atau mesin hitung. Pengetahuan tentang teknik perhitungan yang disederhanakan memungkinkan tidak hanya melakukan perhitungan sederhana dengan cepat dalam pikiran, tetapi juga untuk mengontrol, mengevaluasi, menemukan dan memperbaiki kesalahan sebagai hasil perhitungan mekanis. Selain itu, penguasaan keterampilan komputasi mengembangkan daya ingat, meningkatkan tingkat budaya berpikir matematis, dan membantu penguasaan penuh mata pelajaran siklus fisika dan matematika.
Tujuan pekerjaan:
Tunjukkan cara perkalian yang tidak biasa.
Tugas:
Ø Temukan sebanyak mungkin metode penghitungan yang tidak biasa.
Ø Belajar menggunakannya.
Ø Pilih sendiri yang paling menarik atau lebih mudah daripada yang ditawarkan di sekolah, dan gunakan saat menghitung.
Saya bertanya-tanya apakah anak sekolah modern, teman sekelas saya, dan lainnya, mengetahui cara lain untuk melakukan operasi aritmatika selain perkalian dengan kolom dan pembagian dengan “sudut” dan ingin mempelajari cara baru? Saya melakukan survei lisan. 20 siswa di kelas 5-7 disurvei. Survei ini menunjukkan bahwa anak sekolah modern tidak mengetahui cara lain untuk melakukan suatu tindakan, karena mereka jarang mengacu pada materi di luar kurikulum sekolah.
Hasil survei:
https://pandia.ru/text/80/266/images/image002_6.png" align="left" width="267" height="178 src=">
2) a) Tahukah kamu cara mengalikan, menjumlahkan,
https://pandia.ru/text/80/266/images/image004_2.png" align="left" width="264 height=176" height="176">
3) apakah kamu ingin tahu?
Cara perkalian yang tidak biasa.
Sedikit sejarah
Metode perhitungan yang kita gunakan sekarang tidak selalu sederhana dan nyaman. Di masa lalu, teknik yang lebih rumit dan lambat digunakan. Dan jika seorang anak sekolah di abad ke-21 dapat melakukan perjalanan ke lima abad yang lalu, dia akan membuat nenek moyang kita takjub dengan kecepatan dan keakuratan perhitungannya. Desas-desus tentang dia akan menyebar ke seluruh sekolah dan biara di sekitarnya, melampaui kejayaan kalkulator paling terampil pada masa itu, dan orang-orang akan datang dari berbagai penjuru untuk belajar dengan guru besar yang baru.
Operasi perkalian dan pembagian sangat sulit dilakukan di masa lalu. Maka tidak ada satu metode pun yang dikembangkan melalui latihan untuk setiap tindakan. Sebaliknya, ada hampir selusin metode perkalian dan pembagian berbeda yang digunakan pada saat yang sama - teknik yang satu lebih rumit dari yang lain, yang tidak dapat diingat oleh orang dengan kemampuan rata-rata. Setiap guru berhitung berpegang teguh pada teknik favoritnya, setiap “ahli divisi” (ada spesialis seperti itu) memuji caranya sendiri dalam melakukan tindakan ini.
Dalam buku V. Bellustin “Bagaimana orang secara bertahap mencapai aritmatika nyata,” 27 metode perkalian diuraikan, dan penulis mencatat: “sangat mungkin bahwa ada metode lain yang tersembunyi di relung penyimpanan buku, tersebar di banyak tempat, terutama tulisan tangan. koleksi.”
Dan semua metode perkalian ini - "catur atau organ", "melipat", "silang", "kisi", "belakang ke depan", "berlian" dan lainnya bersaing satu sama lain dan dipelajari dengan susah payah.
Mari kita lihat cara perkalian yang paling menarik dan sederhana.
Kalikan dengan 9
Perkalian untuk angka 9- 9·1, 9·2…9·10 - lebih mudah dilupakan dari ingatan dan lebih sulit dihitung ulang secara manual menggunakan metode penjumlahan, namun khusus untuk angka 9, perkaliannya mudah dilakukan “dengan jari”. Rentangkan jari-jari Anda pada kedua tangan dan putar tangan dengan telapak tangan menghadap menjauhi Anda. Tetapkan secara mental angka dari 1 hingga 10 ke jari Anda, dimulai dengan jari kelingking tangan kiri Anda dan diakhiri dengan jari kelingking tangan kanan Anda (ini ditunjukkan pada gambar).
perhitungan."
mesin hitung" jari belum tentu menonjol. Ambil contoh 10 sel di buku catatan. Coret sel ke 8. Ada 7 sel kiri di kiri, 2 sel di kanan. Jadi 9 8 = 72. Semuanya sangat sederhana.
7 sel 2 sel.
Perkalian dengan jari
Metode perkalian Rusia Kuno dengan jari adalah salah satu metode yang paling umum digunakan, yang berhasil digunakan oleh pedagang Rusia selama berabad-abad. Mereka belajar mengalikan angka satu digit dari 6 hingga 9 dengan jari mereka, dalam hal ini, cukup memiliki keterampilan dasar menghitung jari dalam “satuan”, “pasangan”, “tiga”, “empat”, “lima” dan “lima” dan. "puluhan". Jari-jari di sini berfungsi sebagai alat bantu komputasi.
Untuk melakukan ini, di satu sisi mereka mengulurkan jari sebanyak faktor pertama melebihi angka 5, dan di sisi lain mereka melakukan hal yang sama untuk faktor kedua. Jari-jari yang tersisa tertekuk. Kemudian diambil jumlah (jumlah) jari yang terulur dan dikalikan 10, kemudian angka tersebut dikalikan, menunjukkan berapa jari yang tertekuk, dan hasilnya dijumlahkan.
Misalnya, kalikan 7 dengan 8. Pada contoh yang dibahas, 2 dan 3 jari akan ditekuk. Jika Anda menjumlahkan jumlah jari yang tertekuk (2+3=5) dan mengalikan jumlah jari yang tidak tertekuk (2 3=6), Anda akan mendapatkan bilangan puluhan dan satuan dari hasil perkalian yang diinginkan masing-masing 56. Dengan cara ini Anda dapat menghitung hasil kali bilangan satu digit yang lebih besar dari 5.
tabel Pythagoras
Mari kita mengingat kembali aturan utama matematika Mesir kuno, yang menyatakan bahwa perkalian dilakukan dengan menggandakan dan menjumlahkan hasil yang diperoleh; artinya, setiap penggandaan adalah penambahan suatu bilangan pada bilangan itu sendiri. Oleh karena itu, menarik untuk melihat hasil penggandaan angka dan angka tersebut, tetapi diperoleh dengan metode lipat “dalam kolom” modern, yang dikenal bahkan di kelas-kelas dasar sekolah.
Meja Okoneshnikov
Siswa akan dapat belajar menjumlahkan dan mengalikan jutaan, milyaran, bahkan sextillions dan kuadriliun secara verbal. Dan Kandidat Ilmu Filsafat Vasily Okoneshnikov, yang juga penemu sistem penghitungan mental baru, akan membantu mereka dalam hal ini. Ilmuwan mengklaim bahwa seseorang mampu mengingat sejumlah besar informasi, yang utama adalah bagaimana mengatur informasi tersebut.
Menurut ilmuwan itu sendiri, yang paling menguntungkan dalam hal ini adalah sistem sembilan kali lipat - semua data ditempatkan di sembilan sel, terletak seperti tombol pada kalkulator.
Menurut ilmuwan tersebut, sebelum menjadi “komputer” komputasi, perlu menghafal tabel yang dibuatnya. Angka-angka di dalamnya didistribusikan dalam sembilan sel dengan cara yang tidak mudah. Menurut Okoneshnikov, mata manusia dan ingatannya dirancang dengan sangat cerdik sehingga informasi yang disusun menurut metodenya dapat diingat, pertama, lebih cepat, dan kedua, dengan kuat.
Tabel ini dibagi menjadi 9 bagian. Letaknya sesuai dengan prinsip kalkulator mini: “1” di pojok kiri bawah, “9” di pojok kanan atas. Setiap bagian adalah tabel untuk mengalikan angka dari 1 sampai 9 (sekali lagi di pojok kiri bawah dengan 1, di sebelah kanan dengan 2, dst., menggunakan sistem “tombol” yang sama). Bagaimana cara menggunakannya?
Misalnya, Anda perlu mengalikannya 9
pada 842
. Kita langsung ingat “tombol” besar 9 (ada di kanan atas dan di atasnya kita secara mental menemukan tombol kecil 8,4,2 (letaknya juga seperti di kalkulator). Mereka sesuai dengan angka 72, 36, 18 . Kami menambahkan angka-angka yang dihasilkan secara terpisah: digit pertama adalah 7 ( tetap tidak berubah), 2 secara mental ditambahkan ke 3, kita mendapatkan 5 - ini adalah digit kedua dari hasilnya, 6 ditambahkan ke 1, kita mendapatkan digit ketiga -. 7, dan digit terakhir dari angka yang diinginkan tetap - 8. Hasilnya adalah 7578.
Jika pada penjumlahan dua angka diperoleh angka yang lebih besar dari sembilan, maka angka pertamanya dijumlahkan dengan angka sebelumnya dari hasil tersebut, dan angka kedua ditulis di tempat “sendiri”.
Dengan menggunakan tabel matriks Okoneshnikov, menurut penulisnya sendiri, Anda dapat mempelajari bahasa asing dan bahkan tabel periodik. Teknik baru ini telah diuji di beberapa sekolah dan universitas Rusia. Kementerian Pendidikan Federasi Rusia telah mengizinkan penerbitan tabel perkalian baru di buku catatan kotak-kotak bersama dengan tabel Pythagoras biasa - untuk saat ini, hanya untuk referensi.
Contoh : 15647x5
https://pandia.ru/text/80/266/images/image015_0.jpg" alt="Gambar5" width="220 height=264" height="264"> 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.!}
Perkalian dengan metode “SMALL CASTLE”.
Perkalian bilangan sekarang dipelajari di kelas satu sekolah. Namun pada Abad Pertengahan, sangat sedikit yang menguasai seni perkalian. Jarang ada bangsawan yang bisa membanggakan mengetahui tabel perkalian, bahkan jika dia lulus dari universitas Eropa.
Selama ribuan tahun perkembangan matematika, banyak cara mengalikan bilangan telah ditemukan. Matematikawan Italia Luca Pacioli, dalam risalahnya “Summa of Arithmetic, Ratios and Proportionality” (1494), memberikan delapan metode perkalian yang berbeda. Yang pertama disebut "Kastil Kecil", dan yang kedua tidak kalah romantisnya disebut "Kecemburuan atau penggandaan kisi".
Keuntungan metode perkalian “Kastil Kecil” adalah digit paling signifikan telah ditentukan sejak awal, dan ini penting jika Anda perlu memperkirakan suatu nilai dengan cepat.
Angka-angka dari bilangan atas, dimulai dari angka yang paling penting, dikalikan satu per satu dengan bilangan yang lebih rendah dan ditulis dalam kolom dengan jumlah nol yang diperlukan ditambahkan. Hasilnya kemudian dijumlahkan.
Mengalikan angka dengan metode “cemburu”.
https://pandia.ru/text/80/266/images/image018.jpg" width="303" height="192 id=">.jpg" width="424 height=129" height="129">
3. Ini adalah tampilan grid dengan semua sel terisi.
kisi 1
4. Terakhir, jumlahkan angka-angka yang mengikuti garis diagonal. Jika jumlah salah satu diagonalnya berjumlah puluhan, maka jumlahkan diagonal-diagonal tersebut ke diagonal berikutnya.
Kotak1
Dari hasil penjumlahan angka-angka sepanjang diagonalnya (ditandai dengan warna kuning), terbentuklah suatu bilangan 2355315 , yang merupakan hasil kali bilangan 6827 dan 345, itu adalah 6827 x 345 = 2355315.
Cara perkalian Cina
Sekarang mari kita bayangkan metode perkalian yang sedang ramai diperbincangkan di Internet, yang disebut metode Cina. Saat mengalikan angka, titik potong garis dihitung, yang sesuai dengan jumlah digit setiap digit kedua faktor.
https://pandia.ru/text/80/266/images/image024_0.png" width="92" height="46"> Contoh : mari kita perbanyak 21 pada 13 . Faktor pertama berisi 2 puluhan dan 1 satuan, artinya kita membuat 2 garis sejajar dan 1 garis lurus pada jarak.
Garis-garis tersebut berpotongan di titik-titik yang bilangan jawabannya adalah 21 x 13 = 273
Ini lucu dan menarik, tetapi menggambar 9 garis lurus saat mengalikannya dengan 9 entah bagaimana panjang dan tidak menarik, lalu menghitung titik potongnya... Secara umum, Anda tidak dapat melakukannya tanpa tabel perkalian!
Cara perkalian Jepang
Metode perkalian Jepang adalah metode grafis yang menggunakan lingkaran dan garis. Tidak kalah lucu dan menarik dari bahasa Mandarin. Bahkan agak mirip dengannya.
Contoh: mari kita perbanyak 12 pada 34. Karena faktor kedua adalah bilangan dua angka, dan angka pertama dari faktor pertama 1 , kita membuat dua lingkaran tunggal di baris atas dan dua lingkaran biner di baris bawah, karena digit kedua dari faktor pertama sama dengan 2 .
12 x 34
Banyaknya bagian yang membagi lingkaran itulah jawabannya, yaitu 12x34 = 408.
Dari semua metode penghitungan tidak biasa yang saya temukan, metode “perkalian kisi atau kecemburuan” tampaknya lebih menarik. Saya menunjukkannya kepada teman sekelas saya dan mereka juga sangat menyukainya.
Bagi saya, metode yang paling sederhana adalah “penggandaan dan pemisahan”, yang digunakan oleh para petani Rusia. Saya menggunakannya saat mengalikan angka yang tidak terlalu besar (sangat nyaman menggunakannya saat mengalikan angka dua digit).
Menurut saya, metode perkalian dengan kolom kami tidaklah sempurna dan kami dapat menemukan metode yang lebih cepat dan lebih andal.
literatur
1. “Cerita tentang matematika.” – Leningrad: Pendidikan, 1954. – 140 hal.
2. Fenomena perkalian Rusia. Cerita. http://numbernautics. ru/
3. “Masalah kuno yang menghibur.” – M.: Sains. Kantor redaksi utama literatur fisika dan matematika, 1985. – 160 hal.
4. Akun Perelman. Tiga puluh teknik penghitungan mental sederhana. L., 1941 - 12 hal.
5. Aritmatika Perelman. M. Rusanova, 1994--205 hal.
6. Ensiklopedia “Saya menjelajahi dunia. Matematika". – M.: Astrel Ermak, 2004.
7. Ensiklopedia untuk anak-anak. "Matematika". – M.: Avanta +, 2003. – 688 hal.
Cara perkalian India
Kontribusi paling berharga bagi perbendaharaan pengetahuan matematika dibuat di India. Umat Hindu mengusulkan metode yang kita gunakan untuk menulis angka dengan menggunakan sepuluh tanda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Dasar dari metode ini adalah gagasan bahwa angka yang sama mewakili satuan, puluhan, ratusan, atau ribuan, tergantung di mana angka tersebut berada. Ruang yang ditempati, jika tidak ada angka apa pun, ditentukan oleh angka nol yang ditetapkan pada angka tersebut.
Orang India pandai berhitung. Mereka menemukan cara yang sangat sederhana untuk mengalikan. Mereka melakukan perkalian mulai dari angka paling signifikan, dan menuliskan hasil perkalian yang tidak lengkap tepat di atas perkalian, sedikit demi sedikit. Dalam hal ini, digit paling signifikan dari produk lengkap segera terlihat dan, sebagai tambahan, penghilangan digit apa pun dihilangkan. Tanda perkaliannya belum diketahui, sehingga menyisakan jarak yang kecil antar faktornya. Misalnya, mari kita kalikan menggunakan metode 537 dengan 6:
Perkalian dengan metode “SMALL CASTLE”.
Perkalian bilangan sekarang dipelajari di kelas satu sekolah. Namun pada Abad Pertengahan, sangat sedikit yang menguasai seni perkalian. Jarang ada bangsawan yang bisa membanggakan mengetahui tabel perkalian, bahkan jika dia lulus dari universitas Eropa.
Selama ribuan tahun perkembangan matematika, banyak cara mengalikan bilangan telah ditemukan. Matematikawan Italia Luca Pacioli, dalam risalahnya “The Summa of Arithmetic, Ratios and Proportionality” (1494), memberikan delapan metode perkalian yang berbeda. Yang pertama disebut "Kastil Kecil", dan yang kedua tidak kalah romantisnya disebut "Kecemburuan atau penggandaan kisi".
Keuntungan metode perkalian “Kastil Kecil” adalah digit paling signifikan telah ditentukan sejak awal, dan ini penting jika Anda perlu memperkirakan suatu nilai dengan cepat.
Angka-angka dari bilangan atas, dimulai dari angka yang paling penting, dikalikan satu per satu dengan bilangan yang lebih rendah dan ditulis dalam kolom dengan jumlah nol yang diperlukan ditambahkan. Hasilnya kemudian dijumlahkan.
Pepatah Agafurov
Review makalah penelitian siswa.
- Pekerjaan penelitian dilakukan oleh Maxim Agafurov, siswa kelas 7 “A” MBOU “Sekolah Menengah No. 2”.
- Pemimpin penelitian: guru matematika – Lukyanova O.A.
- Topik: “Metode perkalian yang tidak biasa.” Jenis pekerjaan: abstrak. Pekerjaan ini relevan saat ini, karena pengetahuan tentang metode perhitungan mental yang disederhanakan tetap diperlukan bahkan dengan mekanisasi lengkap dari semua proses komputasi yang paling memakan waktu. Perhitungan mental memungkinkan tidak hanya melakukan perhitungan mental dengan cepat, tetapi juga memantau, mengevaluasi, menemukan dan memperbaiki kesalahan dalam hasil perhitungan yang dilakukan dengan menggunakan kalkulator. Selain itu, penguasaan keterampilan komputasi mengembangkan daya ingat dan membantu anak sekolah menguasai sepenuhnya mata pelajaran fisika dan matematika.
- Bagian penelitian dari pekerjaan telah selesai. Penjelasan untuk contoh-contoh ini disajikan dan kesimpulan yang tepat diambil.
- Maksud dan tujuan penelitian dirumuskan dengan benar dan sesuai dengan topik yang dikemukakan.
- Literatur khusus telah dikaji secara kualitatif dengan kedalaman yang cukup.
- Kesimpulan dari penelitian ini logis dan dapat dibenarkan secara teoritis.
- Karya tersebut menyajikan bagian penelitian pada tingkat yang memadai. Deskripsinya cocok dengan temuannya. Sebagian besar pekerjaan dilakukan secara mandiri, dengan sedikit bimbingan dan masukan dari supervisor.
Unduh:
Pratinjau:
Perkenalan | |
Cara mengalikan bilangan multi digit | |
1.1. “Kecemburuan, atau penggandaan kisi”……………………………..4 | |
1.2. “Cara petani Rusia”……………………………………5 1.3. “Cara perkalian Cina”……………………………………...6 | |
Bagian penelitian. | |
2.1. Mengkuadratkan sembarang bilangan dua angka…………………...6 2.2. Kuadrat suatu bilangan yang mendekati “bulat”……………………………7 | |
2.4. Cara baru mengkuadratkan bilangan dari 40 hingga 60………………7 2.5. Mengkuadratkan suatu bilangan yang berakhiran 5…………………8 2.6 Mengkuadratkan suatu bilangan yang berakhiran 1…………………8 2.7. Mengkuadratkan suatu bilangan yang berakhiran 6…………………8 2.8. Mengkuadratkan suatu bilangan yang berakhiran 9…………………8 2.9. Mengkuadratkan suatu bilangan yang berakhiran 4…………………8 Kesimpulan. Bibliografi. | |
Perkenalan " Menghitung dan menghitung –
Dasar-dasar keteraturan di kepala."
Johann Heinrich Pestalozzi (1746 - 1827)
Siapa pun yang mempelajari matematika sejak kecil mengembangkan perhatian, melatih otak, kemauan, dan mengembangkan ketekunan dan ketekunan dalam mencapai tujuan.
Relevansi: Matematika adalah salah satu ilmu yang paling penting di dunia dan dengannya seseorang bertemu setiap hari dalam hidupnya. Aritmatika mental adalah metode perhitungan tertua dan paling sederhana. Pengetahuan tentang metode perhitungan mental yang disederhanakan tetap diperlukan bahkan dengan mekanisasi lengkap dari semua proses komputasi yang paling memakan waktu. Perhitungan mental memungkinkan tidak hanya melakukan perhitungan mental dengan cepat, tetapi juga memantau, mengevaluasi, menemukan dan memperbaiki kesalahan dalam hasil perhitungan yang dilakukan dengan menggunakan kalkulator. Selain itu, penguasaan keterampilan komputasi mengembangkan daya ingat dan membantu anak sekolah menguasai sepenuhnya mata pelajaran fisika dan matematika.
Tidak mungkin seseorang bisa hidup tanpa perhitungan dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, dalam pelajaran matematika pertama-tama kita diajarkan untuk melakukan operasi bilangan, yaitu berhitung. Kita mengalikan, membagi, menambah dan mengurangi dengan cara yang biasa kita pelajari di sekolah.
Saya ingin tahu apakah ada metode perhitungan lain? Ternyata Anda bisa mengalikan tidak hanya dengan cara yang ditawarkan kepada kita di buku teks matematika, tetapi juga dengan cara lain. Dengan menggunakan sumber daya online, saya mempelajari banyak cara yang tidak biasa untuk mengalikan. Bagaimanapun, kemampuan untuk melakukan perhitungan dengan cepat sungguh mengejutkan.
Tujuan penelitian :
- Temukan sebanyak mungkin metode penghitungan yang tidak biasa.
- Belajar menggunakannya.
- Pilih sendiri yang paling menarik daripada yang ditawarkan di sekolah, dan gunakan saat menghitung.
Tujuan penelitian:
1. Kenali metode perkalian kuno, seperti: “Kecemburuan, atau perkalian kisi”, “Kastil Kecil”, “Metode petani Rusia”, “Metode linier”.
2. Jelajahi teknik mengkuadratkan bilangan secara verbal dan menerapkannya dalam praktik.
Sedikit sejarah.
Metode perhitungan yang kita gunakan sekarang tidak selalu sederhana dan nyaman. Di masa lalu, teknik yang lebih rumit dan lambat digunakan. Dan jika seorang anak sekolah di abad ke-21 dapat melakukan perjalanan ke lima abad yang lalu, dia akan membuat nenek moyang kita takjub dengan kecepatan dan keakuratan perhitungannya. Desas-desus tentang dia akan menyebar ke seluruh sekolah dan biara di sekitarnya, melampaui kejayaan kalkulator paling terampil pada masa itu, dan orang-orang akan datang dari berbagai penjuru untuk belajar dengan guru besar yang baru.
Operasi perkalian dan pembagian sangat sulit dilakukan di masa lalu. Maka tidak ada satu metode pun yang dikembangkan melalui latihan untuk setiap tindakan.Sebaliknya, ada hampir selusin metode perkalian dan pembagian berbeda yang digunakan pada saat yang sama - teknik yang satu lebih rumit dari yang lain, yang tidak dapat diingat oleh orang dengan kemampuan rata-rata. Setiap guru berhitung berpegang teguh pada teknik favoritnya, setiap “ahli divisi” (ada spesialis seperti itu) memuji caranya sendiri dalam melakukan tindakan ini.Selama ribuan tahun perkembangan matematika, banyak metode perkalian telah ditemukan. Selain tabel perkalian, semuanya rumit, rumit, dan sulit diingat. Diyakini bahwa menguasai seni perkalian cepat membutuhkan bakat alami yang khusus. Seni ini tidak dapat diakses oleh orang awam yang tidak memiliki bakat matematika khusus.
Dan semua metode perkalian ini - "catur atau organ", "melipat", "silang", "kisi", "belakang ke depan", "berlian" dan lainnya bersaing satu sama lain dan dipelajari dengan susah payah.
Mari kita lihat cara perkalian yang paling menarik dan sederhana.
1.1. "Kecemburuan, atau penggandaan kisi"
Matematikawan Italia abad ke-15 Luca Pacioli memberikan 8 cara perkalian. Menurut saya, yang paling menarik di antaranya adalah “kecemburuan atau penggandaan kisi” dan “benteng kecil”.
Kalikan 347 dengan 29.
Gambarlah sebuah persegi panjang, bagilah menjadi persegi, bagilah persegi secara diagonal. Hasilnya adalah gambar yang mirip dengan kisi-kisi daun jendela rumah-rumah Venesia. Dari sinilah nama metode ini berasal.
Di bagian atas tabel kita menulis angka 347, dan di kanan dari atas ke bawah - 29
Di setiap kotak kita memasukkan produk dari angka-angka yang terletak di satu baris dan satu kolom dengan kotak ini. Puluhan terletak di segitiga atas, dan satuan terletak di segitiga bawah. Angka-angka tersebut ditambahkan di sepanjang setiap diagonal. Hasilnya ditulis di kiri dan kanan tabel.
Jawabannya adalah 10063.
Kekurangan dari cara ini adalah pembuatan tabel persegi panjang membutuhkan banyak tenaga, namun proses perkaliannya sendiri menarik dan pengisian tabelnya menyerupai permainan.
1.2. "cara petani Rusia"
Di Rusia, sebuah metode umum di kalangan petani yang tidak memerlukan pengetahuan tentang seluruh tabel perkalian. Yang Anda butuhkan hanyalah kemampuan mengalikan dan membagi angka dengan 2.
Kita akan menuliskan satu angka di kiri dan angka lainnya di kanan dalam satu baris. Kita akan membagi angka kiri dengan 2, dan mengalikan angka kanan dengan 2 dan menuliskan hasilnya dalam satu kolom. Jika ada sisa pada saat pembagian, maka sisa tersebut dibuang. Perkalian dan pembagian dengan 2 terus dilakukan hingga tersisa angka 1 di sebelah kiri.
Kemudian kita coret garis-garis tersebut dari kolom yang di sebelah kirinya terdapat bilangan genap. Sekarang jumlahkan sisa angka di kolom kanan.
Jawabannya adalah 1972026.
1.3.Metode perkalian Cina.
Sekarang mari kita perkenalkan metode perkalian yang sedang ramai dibicarakan di Internet, yang disebut metode Cina. Saat mengalikan angka, titik potong garis dihitung, yang sesuai dengan jumlah digit setiap digit kedua faktor.
Di selembar kertas kita menggambar garis satu per satu, yang jumlahnya ditentukan dari contoh ini.
32 pertama: 3 garis merah dan sedikit lebih rendah - 2 garis biru. Lalu 21: tegak lurus dengan yang sudah digambar, gambar dulu 2 yang hijau, lalu 1 merah. PENTING: garis angka pertama digambar dari sudut kiri atas ke kanan bawah, angka kedua - dari kiri bawah ke kanan atas. Kemudian kita hitung jumlah titik potong pada masing-masing ketiga luas tersebut (pada gambar, luasnya ditunjukkan sebagai lingkaran). Jadi, di wilayah pertama (wilayah ratusan) ada 6 poin, di wilayah kedua (wilayah puluhan) - 7 poin, di wilayah ketiga (wilayah satuan) - 2 poin. Oleh karena itu, jawabannya adalah 672.
2. Bagian penelitian
Teknik berhitung cepat mengembangkan daya ingat. Hal ini berlaku tidak hanya pada matematika, tetapi juga pada mata pelajaran lain yang dipelajari di sekolah.
Saya juga ingin menambahkan cara kerja mengkuadratkan angka secara verbal tanpa menggunakan kalkulator dan, yang diperlukan saat menyelesaikan soal GIA dan Ujian Negara Bersatu, juga merupakan pelatihan mental yang baik.
A Sekarang mari kita beralih ke beberapa cara menarik dan saya menyukai cara mengkuadratkan angka secara verbal,digunakan dalam pelajaran aljabar dan geometri.
2.1. Mengkuadratkan bilangan dua digit apa pun.
Jika Anda menghafal kuadrat semua angka dari 1 hingga 25, maka mudah untuk menemukan kuadrat dari dua digit angka apa pun yang lebih besar dari 25.
Untuk menemukan kuadrat bilangan dua digit apa pun, Anda perlu mengalikan selisih antara bilangan ini dan 25 dengan 100 dan ke hasil perkalian tambahkan kuadrat komplemen dari bilangan tersebut dengan 50 atau kuadrat kelebihannya. 50.
Mari kita lihat sebuah contoh:
37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369
(L–25)*100+ (50-M) 2 =100M-2500+2500–100M+M 2 =M 2 .
2.2.Kuadrat dari suatu bilangan yang mendekati “bulat”.
Perhitungan luas persegi pada contoh yang dibahas didasarkan pada rumus
A² = (a + b) (a – b) + b²,
Di mana pemilihan nomor berhasil V sangat menyederhanakan perhitungan: pertama, salah satu faktornya harus berupa bilangan “bulat” (diinginkan hanya digit pertama yang bukan nol), kedua, bilangan itu sendiri V harus mudah dikuadratkan, yaitu harus kecil. Kondisi ini diwujudkan justru dalam angka A , dekat dengan "bulat".
192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/
412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/
2.3. Mengkuadratkan angka dari 40 hingga 50.
2.4. Mengkuadratkan angka dari 50 hingga 60.
Mengkuadratkan bilangan keenam sepuluh (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
Anda perlu menambahkan 25 ke jumlah satuan dan menambahkan kuadrat jumlah satuan ke jumlah ini.
Misalnya:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249
2.5. Mengkuadratkan angka yang diakhiri dengan 5.
Kalikan bilangan puluhan dengan bilangan puluhan berikutnya dan tambahkan 25.
15*15 = 10*20+ 25=225 atau (1*2 dan tambahkan 25 ke kanan)
35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 dan tambahkan 25 ke kanan)
65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 dan tambahkan 25 ke kanan)
2.6. Kuadrat suatu bilangan yang berakhiran 1.
Saat mengkuadratkan suatu bilangan yang berakhiran 1, Anda perlu mengganti satuannya dengan 0, mengkuadratkan bilangan baru, dan menambahkan bilangan asli ke dalam kuadrat tersebut dan bilangan yang diperoleh dengan mengganti 1 dengan 0.
Contoh No.6.71 2 = ?
71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .
2.7. Kuadrat suatu bilangan yang berakhiran 6.
Saat mengkuadratkan suatu bilangan yang berakhiran 6, Anda perlu mengganti angka 6 dengan 5, mengkuadratkan bilangan baru (seperti dijelaskan sebelumnya) dan menambahkan bilangan asli dan bilangan yang diperoleh dengan mengganti 6 dengan 5 ke dalam kuadrat ini.
Contoh No.7. 56 2 =?
56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .
2.8.Kuadrat suatu bilangan yang berakhiran 9.
Saat mengkuadratkan suatu bilangan yang berakhiran 9, Anda perlu mengganti angka 9 ini dengan 0 (kita mendapatkan bilangan asli berikutnya), mengkuadratkan bilangan baru dan mengurangi bilangan asli dari kuadrat ini dan bilangan yang diperoleh dengan mengganti 9 dengan 0.
Contoh No.8. 59 2 =?
59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .
2.9.Kuadrat suatu bilangan yang berakhiran 4.
Saat mengkuadratkan suatu bilangan yang berakhiran 4, Anda perlu mengganti angka 4 dengan 5, mengkuadratkan bilangan baru, dan dari kuadrat ini kurangi bilangan asli dan bilangan yang diperoleh dengan mengganti 4 dengan 5.
Contoh No.9.84 2 =?
84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .
2.10. Saat mengkuadratkan, sering kali lebih mudah menggunakan rumus (a b) 2 =a 2 +b 2 2ab.
Contoh No.10.
41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.
Kesimpulan
Saat melakukan pekerjaan penelitian, saya tidak hanya membutuhkan pengetahuan yang saya miliki, tetapi juga pekerjaan yang diperlukan dengan literatur tambahan.
1. Selama pekerjaan saya, saya menemukan dan menguasai berbagai cara mengalikan bilangan multi-digit dan saya dapat menyatakan sebagai berikut - sebagian besar metode mengalikan bilangan multi-digit didasarkan pada pengetahuan tentang tabel perkalian
Metode “perkalian kisi” tidak lebih buruk dari metode yang diterima secara umum. Bahkan lebih sederhana lagi, karena angka dimasukkan ke dalam sel tabel langsung dari tabel perkalian tanpa penambahan simultan seperti yang ada dalam metode standar;
- metode perkalian “petani Rusia” jauh lebih sederhana daripada metode yang telah dibahas sebelumnya. Tapi itu juga sangat besar.
Dari semua metode penghitungan tidak biasa yang saya temukan, metode “perkalian kisi atau kecemburuan” tampaknya lebih menarik. Saya menunjukkannya kepada teman sekelas saya dan mereka juga sangat menyukainya.
Menurut saya metode yang paling sederhana adalah metode perkalian Cina, yang digunakan oleh orang Cina, karena tidak memerlukan pengetahuan tentang tabel perkalian. Setelah belajar berhitung dengan semua cara yang disajikan, saya sampai pada kesimpulan bahwa metode yang paling sederhana adalah yang kita pelajari di sekolah, mungkin lebih familiar bagi kita.
2. Saya mempelajari beberapa teknik penghitungan mental yang akan membantu saya dalam hidup. Saya sangat tertarik untuk mengerjakan proyek tersebut. Saya mempelajari cara-cara perkalian yang baru bagi saya, dan mempelajari berbagai teknik mengkuadratkan bilangan. Banyak perhitungan yang melibatkan rumus perkalian yang disingkat yang saya pelajari di kelas aljabar. Dengan menggunakan teknik perhitungan mental yang disederhanakan, saya sekarang dapat melakukan operasi aritmatika yang paling memakan waktu tanpa menggunakan kalkulator atau komputer. Bukan hanya saya yang tertarik, tapi juga orang tua saya. Saya menunjukkan teknik perkalian lisan kepada teman dan teman sekelas saya. Pengetahuan tentang teknik perhitungan mental yang disederhanakan sangat penting terutama jika Anda tidak memiliki tabel atau kalkulator. Saya memiliki keinginan untuk melanjutkan pekerjaan ini dan mempelajari lebih banyak teknik penghitungan mental. Saya rasa jerih payah saya tidak akan sia-sia bagi saya, saya akan bisa memanfaatkan segala ilmu yang didapat ketika lulus Ujian Negara dan Ujian Negara Bersatu.
Donskoy, 2013
Pratinjau:
Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google dan masuk:
