KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN FEDERASI RUSIA

LEMBAGA PENDIDIKAN PUBLIK

PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI

"LEMBAGA PEDAGOGIS NEGARA USSURI"

Fakultas Fisika dan Matematika

Kursus dalam analisis matematika

Topik: “Fungsi kontinu tetapi tidak dapat terdiferensiasi”

Diselesaikan oleh: Plyasheshnik Ksenia

siswa kelompok 131

Ketua: Delyukova Y.V.

Ussuriysk - 2011

Perkenalan................................................. ....... ................................................... 3

Referensi sejarah................................................. ................................ 4

Definisi dasar dan teorema.................................................. ................... ....... 5

Contoh fungsi kontinu tanpa turunan................................ 10

Penyelesaian latihan.................................................. ..... ........................ 13

Kesimpulan................................................. ................................... 21

Daftar Pustaka................................................ . ........................ 22

Perkenalan

Mata kuliah ini dikhususkan untuk mempelajari hubungan antara kontinuitas dan keberadaan turunan suatu fungsi suatu variabel. Berdasarkan tujuannya, tugas-tugas berikut ditetapkan:

1. Mempelajari literatur pendidikan;

2. Pelajari contoh fungsi kontinu yang tidak mempunyai turunan di titik mana pun, yang dibangun oleh van der Waerden;

3. Tentukan sistem latihannya.

Referensi sejarah

Bartel Leendert van der Waerden (Belanda Bartel Leendert van der Waerden, 2 Februari 1903, Amsterdam, Belanda - 12 Januari 1996, Zurich, Swiss) - ahli matematika Belanda.

Dia belajar di Universitas Amsterdam, kemudian di Universitas Göttingen, di mana Emmy Noether memberikan pengaruh besar padanya.

Karya-karya besar di bidang aljabar, geometri aljabar, di mana dia (bersama Andre Weyl dan O. Zariski) meningkatkan tingkat ketelitian, dan fisika matematika, di mana dia mengerjakan penerapan teori grup pada pertanyaan-pertanyaan mekanika kuantum (bersama dengan Hermann Weyl dan J. Wigner). Buku klasiknya Aljabar Modern (1930) menjadi model untuk buku teks aljabar abstrak berikutnya dan melewati banyak edisi.

Van der Waerden adalah salah satu spesialis terkemuka dalam sejarah matematika dan astronomi di Dunia Kuno. Ilmu Kebangkitannya (Ontwakende wetenschap 1950, terjemahan Rusia 1959) memberikan penjelasan ekstensif tentang sejarah matematika dan astronomi di Mesir Kuno, Babilonia, dan Yunani. Lampiran terjemahan bahasa Rusia dari buku ini berisi artikel “The Pythagoras Doctrine of Harmony” (1943) - presentasi mendasar dari pandangan Pythagoras tentang harmoni musik.

Definisi dasar dan teorema

Batas suatu fungsi pada suatu titik. Batas kiri dan kanan

Definisi (Batas Cauchy, dalam bahasa Bilangan disebut dengan limit suatu fungsi pada suatu titik if

Pengertian (dalam bahasa ketetanggaan) Suatu bilangan disebut limit suatu fungsi di suatu titik jika untuk sembarang -tetangga bilangan tersebut terdapat -tetangga titik tersebut sedemikian rupa sehingga segera setelah

Definisi (menurut Heine) Suatu bilangan disebut limit suatu fungsi di suatu titik jika untuk sembarang barisan yang konvergen (yaitu, barisan nilai fungsi yang bersesuaian konvergen ke bilangan tersebut

Definisi Suatu bilangan disebut limit kiri suatu fungsi di suatu titik jika

Definisi Suatu bilangan disebut limit kanan suatu fungsi di suatu titik jika

Teorema (kondisi perlu dan cukup bagi adanya limit)

Agar limit suatu fungsi ada di suatu titik, maka perlu dan cukup adanya limit kiri dan kanan yang sama.

Konsep turunan. Turunan satu sisi.

Pertimbangkan fungsi yang didefinisikan di himpunan

1. Mari kita ambil kenaikannya. Mari kita tingkatkan poinnya.

2. Mari kita hitung nilai fungsi pada titik. Dan

3. .

4. .

dan pertambahan argumennya bisa positif atau negatif, maka limit ini disebut turunan di suatu titik dan dilambangkan dengan . Bisa juga tidak terbatas.

turunan kiri (sisi kiri) dari fungsi di titik , dan jika

ada batas yang terbatas maka disebut turunan kanan fungsi di titik tersebut.

Suatu fungsi mempunyai suatu titik jika dan hanya jika turunan kiri dan kanannya berimpit di titik tersebut:

( ( .

Pertimbangkan fungsinya Mari kita cari turunan satu sisi pada titik tersebut

Karena itu, ( =-1; ( =1 Dan ( ( , artinya, fungsi tersebut tidak memiliki turunan di suatu titik.

Berbagai macam definisi kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik.

Definisi 1 (utama) Suatu fungsi disebut kontinu di suatu titik jika limit fungsi di sama dengan nilai fungsi di titik tersebut.

Definisi 2 (dalam bahasa Suatu fungsi disebut kontinu di suatu titik jika ε, δ>0, sehingga .

Definisi 3 (menurut Heine, dalam bahasa barisan) Suatu fungsi disebut kontinu di suatu titik jika untuk sembarang barisan yang konvergen ke suatu titik barisan nilai fungsi yang bersangkutan juga konvergen.

Definisi 4 (dalam bahasa pertambahan) Suatu fungsi disebut kontinu pada suatu titik jika pertambahan yang sangat kecil dalam argumennya berhubungan dengan pertambahan yang sangat kecil dalam fungsi tersebut.

Konsep fungsi terdiferensiasi

Definisi 1 Suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu himpunan (disebut terdiferensiasi pada suatu titik jika pertambahannya pada titik tersebut dapat direpresentasikan sebagai (*), dengan A adalah konstanta, tidak bergantung pada , sangat kecil di

Definisi 2 Suatu fungsi yang terdiferensiasi pada titik mana pun dalam himpunan disebut terdiferensiasi pada himpunan tersebut.

Hubungan antara diferensiasi dan kontinuitas

Dalil. Jika suatu fungsi terdiferensialkan di suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu di suatu titik.

Bukti.

Misalkan suatu fungsi diberikan. Fungsi tersebut terdiferensiasi pada titik di mana

Teorema kebalikan. Jika suatu fungsi kontinu maka fungsi tersebut terdiferensiasi.

Teorema kebalikannya tidak benar.

B tidak terdiferensiasi, meskipun kontinu.

Klasifikasi titik istirahat

Definisi Suatu fungsi yang tidak kontinu pada suatu titik adalah diskontinu pada titik tersebut, dan titik itu sendiri disebut titik diskontinuitas.

Ada dua klasifikasi break point: tipe I dan tipe II.

Definisi Suatu titik disebut titik diskontinuitas jenis pertama jika pada titik tersebut terdapat batas satu sisi berhingga yang tidak sama satu sama lain.

Definisi Suatu titik disebut titik celah yang dapat dilepas ya, jika , tetapi keduanya tidak sama dengan nilai fungsi di titik tersebut .

Definisi Suatu titik disebut titik diskontinuitas jenis kedua jika pada titik tersebut batas satu sisinya sama atau salah satu batas satu sisinya tidak berhingga atau tidak ada batas pada titik tersebut.

· – tak ada habisnya;

· – tak terbatas atau – tak ada habisnya;

Tanda-tanda konvergensi seragam dalam suatu deret V

Tanda Weierstrass.

Jika anggota deret fungsional (1) memenuhi pertidaksamaan domain dimana merupakan anggota suatu deret bilangan yang konvergen, maka deret (1) konvergen beraturan.

Teorema 1 Biarkan fungsinya didefinisikan dalam suatu interval dan semuanya kontinu di suatu titik dalam interval ini. Jika deret (1) konvergen beraturan pada interval tersebut, maka jumlah deret di suatu titik juga kontinu.

Contoh fungsi kontinu tanpa turunan

Contoh pertama semacam ini dibuat oleh Weierstrass; fungsinya didefinisikan sebagai berikut:

dimana 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π). Deret ini didominasi oleh barisan yang konvergen, oleh karena itu (tanda-tanda konvergensi seragam dari deret tersebut), konvergen secara seragam, dan jumlahnya merupakan fungsi kontinu di mana-mana dari x. Melalui penelitian yang sungguh-sungguh, Weierstrass mampu menunjukkan bahwa, bagaimanapun, tidak ada turunan terbatas untuknya pada titik mana pun.

Di sini kita akan mempertimbangkan contoh yang lebih sederhana oleh van der Waerden, yang pada dasarnya dibangun berdasarkan ide yang sama, hanya kurva osilasi y = cosωχ yang digantikan oleh garis putus-putus yang berosilasi.

Jadi, mari kita nyatakan dengan nilai absolut selisih antara bilangan χ dan bilangan bulat terdekat. Fungsi ini akan linier pada setiap interval bentuk , dimana s adalah bilangan bulat; kontinu dan mempunyai periode 1. Grafiknya berupa garis putus-putus, ditunjukkan pada Gambar 1; tautan individu dari garis putus-putus memiliki koefisien sudut ±1.

Mari kita asumsikan untuk k=1,2,3,…:

Fungsi ini akan linier dalam bentuk interval; itu juga kontinu dan memiliki periode. Grafiknya juga rusak, tetapi dengan gigi yang lebih kecil; Gambar 1(b), misalnya, menunjukkan grafik fungsi. Dalam semua kasus, koefisien sudut masing-masing sambungan garis putus-putus juga sama dengan ±1.

Sekarang mari kita definisikan, untuk semua nilai riil x, fungsi f(x) dengan persamaan

Karena, tentu saja, 0≤ (k =0,1,2,...), sehingga deret tersebut mayoritas oleh perkembangan konvergen, maka (seperti dalam kasus fungsi Weierstrass) deret tersebut konvergen secara seragam, dan fungsinya berkelanjutan di mana-mana.

Mari kita berhenti pada nilai berapa pun. Menghitungnya ke dalam (di mana n =0,1,2,...), dengan kekurangan dan kelebihan, kita akan mengapitnya di antara bilangan-bilangan dalam bentuk:

≤ , dimana merupakan bilangan bulat.

(n =0,1,2,…).

Jelas sekali bahwa interval-interval tertutup ternyata bertumpuk satu sama lain. Pada masing-masing titik terdapat titik yang jaraknya dari titik tersebut sama dengan setengah panjang interval.

Jelas bahwa ketika n bertambah, options .

Sekarang mari kita buat rasio kenaikannya

Namun jika k > n, bilangan tersebut merupakan kelipatan bilangan bulat dari periode fungsi tersebut, suku-suku yang bersesuaian dari deret tersebut berubah menjadi 0 dan dapat dihilangkan. Jika k ≤ n, maka suatu fungsi yang linier pada intervalnya juga akan linier pada interval yang terdapat padanya, dan

(k=0,1,…,n).

Jadi, akhirnya kita punya dengan kata lain, rasio ini sama dengan bilangan bulat genap jika n ganjil dan bilangan ganjil jika n genap. Dari sini jelas bahwa ketika rasio pertambahan tidak dapat cenderung ke batas berhingga, maka fungsi kita tidak mempunyai turunan berhingga.

Solusi latihan

Latihan 1 (, No. 909)

Fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut: . Jelajahi kontinuitas dan temukan keberadaannya

Na kontinu sebagai polinomial;

Aktif (0;1) kontinu sebagai polinomial;

Pada (1;2) kontinu sebagai polinomial;

On (2; kontinu sebagai fungsi dasar.

Titik-titik yang mencurigakan pecah

Karena limit kiri sama dengan limit kanan dan sama dengan nilai fungsi di suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.

Karena limit kiri sama dengan nilai fungsi di titik tersebut, maka fungsi tersebut diskontinu di titik tersebut.

1 cara. Tidak ada turunan berhingga dari suatu fungsi di suatu titik. Mari kita asumsikan sebaliknya. Misalkan ada turunan berhingga dari fungsi tersebut di suatu titik kontinu di suatu titik (menurut Teorema 1: Jika suatu fungsi terdiferensiasi di suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu.

Metode 2. Mari kita cari limit satu sisi fungsi tersebut di titik x =0.

Latihan 2 (, №991)

Tunjukkan fungsi itu mempunyai turunan diskontinyu.

Mari kita cari turunan dari fungsinya.

Batasnya tidak ada diskontinuitas pada titik tersebut

Karena merupakan fungsi yang sangat kecil, maka fungsi tersebut terbatas.

Mari kita buktikan fungsinya tidak memiliki batas pada saat itu.

Untuk membuktikannya cukup ditunjukkan bahwa ada dua barisan nilai argumen yang konvergen ke 0, yang tidak konvergen ke

Keluaran: fungsi tidak memiliki batas pada saat itu.

Latihan 3 (, No. 995)

Tunjukkan bahwa fungsi di mana merupakan fungsi kontinu dan tidak mempunyai turunan di titik tersebut. Turunan satu sisi sama dengan apa?

Limit satu sisi tidak sama; fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di titiknya.

Latihan 4 (, No. 996)

Buatlah contoh fungsi kontinu yang tidak mempunyai turunan fungsi pada titik-titik tertentu:

Pertimbangkan fungsi di titik-titik

Mari kita temukan batasan satu sisi

Limit satu sisi tidak sama; fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di titiknya. Demikian pula, fungsi tersebut tidak memiliki turunan di titik lain

Latihan 5 (, No. 125)

Tunjukkan bahwa fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di titik tersebut.

Mari kita cari pertambahan fungsi pada titik tersebut

Mari kita buat rasio kenaikan suatu fungsi pada suatu titik terhadap kenaikan argumen

Mari kita mencapai batasnya

Latihan 6 (, №128)

Tunjukkan fungsi itu tidak mempunyai turunan pada titik tersebut.

Ayo naikkan poinnya Ayo naikkan poinnya Kita akan dapat

Mari kita cari nilai fungsi di titik dan

Mari kita cari pertambahan fungsi pada titik tersebut

Mari kita buat rasio kenaikan suatu fungsi pada suatu titik terhadap kenaikan argumen

Mari kita mencapai batasnya

Kesimpulan: tidak mempunyai turunan berhingga pada titik tersebut.

Latihan 7 (, №131)

Periksa suatu fungsi untuk kontinuitas

– titik mencurigakan pecah

Karena limit kiri sama dengan nilai fungsi di suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut dan terdapat diskontinuitas jenis pertama.

Kesimpulan

Tugas kuliah ini menyajikan materi yang berkaitan dengan konsep “Fungsi kontinu, tetapi tidak terdiferensiasi”, tujuan kerja ini telah tercapai, permasalahan telah terpecahkan.

Bibliografi

1. B. P. Demidovich, / Kumpulan soal untuk mata kuliah analisis matematis. Buku teks untuk mahasiswa Fakultas Fisika dan Matematika Institut Pedagogis. – M.: Pendidikan, 1990 –624 hal.

2. G. N. Berman, / Kumpulan soal untuk mata kuliah analisis matematis. – M.: Nauka, 1977 – 416 hal.

3. G. M. Fikhtengolts, / Mata kuliah kalkulus diferensial dan integral vol. - M., Sains, 1970-800an.

4. I.A. Vinogradova, /Tugas dan latihan analisis matematika, bagian 1. – M.: Bustard, 2001 – 725 hal.

5. Sumber daya internet \ http://ru.wikipedia.org/wiki.

6. Sumber daya internet \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.

Mari kita buat fungsi bantu pada segmen langkah demi langkah. Pada langkah nol kita akan menetapkan dua poin:

Dan .

Selanjutnya kita perbaiki parameternya. Pada langkah pertama dan selanjutnya, kita akan menentukan titik-titik sesuai dengan aturan berikut: untuk setiap dua titik yang dibangun sebelumnya yang berdekatan sepanjang sumbu absis, kita akan membuat dua titik baru dan simetris terpusat relatif terhadap pusat persegi panjang yang ditentukan oleh titik-titik dan dengan koefisien k. Artinya, pada langkah pertama, dua poin baru ditentukan:

Dan , dll.

Pada (m+1)- om langkah selain titik-titik yang dibangun sebelumnya dengan absis

dua titik dibangun di semua ruang sepanjang absis antara titik-titik berdekatan yang sudah dibangun. Konstruksi ini dilakukan sebagai berikut: celah sepanjang sumbu absis antara titik-titik yang berdekatan (persegi panjang dengan sisi A Dan B) masing-masing dibagi menjadi 3 bagian yang sama. Kemudian dua titik baru dibangun menurut salah satu skema berikut:

Bergantung pada titik tetangga mana yang lebih tinggi atau lebih tinggi, kami menggunakan skema kiri atau kanan. Pada langkah pertama, seperti yang ditunjukkan di atas, kami menerima a = b = 1.

Kita mengulangi konstruksi tersebut beberapa kali untuk m = 1, 2, 3,…. Hasilnya, kita akan memperoleh fraktal yang serupa, hingga beberapa transformasi affine (peregangan, kompresi, rotasi) dari setiap bagiannya yang terdapat di setiap strip:

;

Sebagai hasil dari membangun fraktal, kita memperoleh fungsi yang didefinisikan pada himpunan titik

yang padat di mana-mana di segmen tersebut.

Properti apa yang dimiliki fungsi yang dibangun?

· pada setiap titik dalam bentuk (*) terdapat maksimum yang ketat atau minimum yang ketat, yaitu. fungsi g(x) tidak monoton, dan memiliki kumpulan titik ekstrem yang ketat pada segmen tersebut;

· fungsi g(x) kontinu, bahkan kontinu seragam pada himpunan titik (*);

· fungsi yang dibangun kontinu pada suatu segmen tidak mempunyai turunan satu sisi sekalipun pada titik mana pun pada segmen tersebut;

Sifat-sifat di atas dibuktikan dalam mata kuliah “Bab Pilihan Analisis Matematika”.

Dalam contoh yang dipertimbangkan, kami mengasumsikan parameternya . Dengan mengubah nilai parameter ini, Anda dapat memperoleh kelompok fungsi dengan properti khususnya sendiri.

· . Fungsi-fungsi ini terus menerus dan meningkat secara monoton. Mereka memiliki turunan nol dan tak terhingga (masing-masing, titik belok) pada kumpulan titik yang padat di mana pun pada segmen tersebut.

· . Fungsi linier diperoleh kamu = x

· . Sifat-sifat kelompok fungsi sama dengan nilai k dari rentang pertama.

· . Kami telah memperoleh fungsi Cantor, yang telah kami pelajari secara rinci sebelumnya.

· . Fungsi-fungsi ini kontinu, tidak monoton, memiliki minimum dan maksimum yang ketat, turunan satu sisi nol dan tak terbatas (dari kedua tanda) pada himpunan titik-titik yang padat di mana-mana pada segmen tersebut.

· . Kami telah mempelajari fungsi ini di atas.

· . Fungsi dari rentang ini mempunyai properti yang sama dengan fungsi di .

Kesimpulan.

Dalam pekerjaan saya, saya menerapkan beberapa contoh dari kursus “Bab Pilihan Analisis Matematika”. Tangkapan layar dari program yang saya visualisasikan dimasukkan ke dalam karya ini. Faktanya, semuanya bersifat interaktif, siswa dapat melihat tampilan fungsi pada langkah tertentu, membangunnya secara iteratif, dan memperbesar skalanya. Algoritma konstruksi, serta beberapa fungsi perpustakaan Kerangka dipilih dan ditingkatkan secara khusus untuk jenis masalah ini (terutama fraktal yang dipertimbangkan).

Materi ini tentunya akan bermanfaat bagi guru dan siswa serta dapat menjadi pendamping yang baik pada perkuliahan mata kuliah “Bab Pilihan Analisis Matematika”. Interaktivitas visualisasi ini membantu untuk lebih memahami sifat himpunan yang dibangun dan memfasilitasi proses persepsi materi oleh siswa.

Program yang dijelaskan termasuk dalam perpustakaan modul visual proyek www.visualmath.ru, misalnya, berikut adalah fungsi Cantor yang telah kami pertimbangkan:

Di masa depan, direncanakan untuk memperluas daftar tugas yang divisualisasikan dan meningkatkan algoritma konstruksi untuk pengoperasian program yang lebih efisien. Bekerja di proyek www.visualmath.ru tentunya membawa banyak manfaat dan pengalaman, kemampuan kerjasama tim, kemampuan mengevaluasi dan menyajikan materi pendidikan sejelas mungkin.

Literatur.

1. B. Gelbaum, J. Olmsted, Contoh tandingan dalam analisis. M.: Mir.1967.

2. B.M. Makarov dkk. Masalah yang dipilih dalam analisis nyata. dialek Nevsky, 2004.

3.B.Mandelbrot. Geometri fraktal alam. Institut Studi Komputer, 2002.

4. Yu.S. Ochan, Kumpulan Soal dan Teorema TFDP. M.: Pencerahan. 1963.

5. V.M. Shibinsky Contoh dan contoh tandingan dalam mata kuliah analisis matematis. M.: Sekolah Tinggi, 2007.

6. R.M. Kronover, Fraktal dan kekacauan dalam sistem dinamis, M.: Postmarket, 2000.

7. A. A. Nikitin, Bab-bab analisis matematis terpilih // Kumpulan artikel ilmuwan muda dari Fakultas Matematika Komputasi dan Matematika Universitas Negeri Moskow, 2011 / ed. S.A.Lozhkin. M.: Departemen Penerbitan Fakultas Matematika Komputasi dan Matematika Universitas Negeri Moskow. M.V. Lomonosova, 2011.hlm.71-73.

8. R.M. Kronover, Fraktal dan kekacauan dalam sistem dinamis, M.: Postmarket, 2000.

9. Fraktal dan konstruksi fungsi kontinu di mana-mana, tetapi tidak dapat dibedakan di mana pun // Bacaan Lomonosov Internasional XVI: Kumpulan makalah ilmiah. – Arkhangelsk: Universitas Negeri Pomeranian, 2004. P.266-273.

Gabungan sejumlah himpunan terbuka (interval yang berdekatan) adalah terbuka, dan komplemen terhadap himpunan terbuka adalah tertutup.

Lingkungan mana pun di suatu titik A Himpunan penyanyi, paling sedikit ada satu titik dari , berbeda dari A.

Tertutup dan tidak mengandung titik-titik terisolasi (setiap titik merupakan titik batas).

Paling banyak ada satu set yang dapat dihitung dan padat di mana-mana.

Himpunan A tidak padat di ruang R jika ada himpunan terbuka di ruang ini yang memuat himpunan terbuka lainnya yang bebas seluruhnya dari titik-titik himpunan A.

Suatu titik, setiap lingkungannya berisi himpunan titik-titik yang tak terhitung jumlahnya dari suatu himpunan tertentu.

Kita dapat mengatakan bahwa suatu himpunan pada bidang tidak padat di ruang metrik R jika ada lingkaran terbuka di ruang ini yang memuat lingkaran terbuka lain yang sepenuhnya bebas dari titik-titik himpunan tersebut.

“Apakah pernyataan S benar?” mungkin merupakan pertanyaan paling umum dalam matematika, jika pernyataannya berbentuk: “Setiap elemen kelas A juga termasuk kelas B: A B.” Membuktikan pernyataan tersebut benar berarti membuktikan masuknya A ke dalam B. Membuktikan salah berarti mencari unsur kelas A yang tidak termasuk kelas B, dengan kata lain memberikan contoh tandingan. Misalnya, jika pernyataan S adalah: “Setiap fungsi kontinu terdiferensiasi di suatu titik,” maka himpunan A dan B masing-masing terdiri dari semua fungsi kontinu dan semua fungsi terdiferensiasi di beberapa titik. Contoh terkenal Weierstrass tentang kontinu tetapi tidak ada tempat fungsi terdiferensiasi f adalah contoh tandingan terhadap dimasukkannya A ke dalam B, karena f adalah elemen A yang bukan milik B. Dengan risiko penyederhanaan berlebihan, kita dapat mengatakan bahwa matematika (kecuali untuk definisi, pernyataan, dan perhitungan) terdiri dari dari dua bagian - bukti dan contoh tandingan, dan penemuan matematika terdiri dari menemukan bukti dan membangun contoh tandingan.

Hal ini menentukan relevansi counterexample dalam pembentukan dan pengembangan matematika.

Kebanyakan buku matematika dikhususkan untuk membuktikan pernyataan yang benar.

Secara umum, contoh dalam matematika ada dua jenis - contoh ilustratif dan contoh tandingan. Yang pertama menunjukkan mengapa pernyataan ini atau itu masuk akal, dan yang kedua menunjukkan mengapa pernyataan ini atau itu tidak ada artinya. Dapat dikatakan bahwa setiap contoh sekaligus merupakan contoh tandingan dari suatu pernyataan, yaitu pernyataan bahwa contoh seperti itu tidak mungkin. Kami tidak ingin memberikan arti universal pada istilah counterexample, namun kami mengakui bahwa maknanya cukup luas untuk mencakup semua contoh yang perannya tidak terbatas pada mengilustrasikan teorema yang sebenarnya. Jadi, misalnya polinomial sebagai contoh fungsi kontinu bukanlah contoh tandingan, tetapi polinomial sebagai contoh fungsi tak terbatas atau non-periodik adalah contoh tandingan. Dengan cara yang sama, kelas semua fungsi monoton pada interval tertutup berbatas sebagai kelas fungsi yang dapat diintegralkan bukanlah contoh tandingan, tetapi kelas yang sama sebagai contoh fungsi, tetapi bukan ruang vektor adalah contoh tandingan.

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mempertimbangkan contoh tandingan dan kondisi monotonisitas suatu fungsi dalam analisis.

Untuk mencapai tujuan ini, tugas-tugas berikut ditetapkan:

1. Pertimbangkan contoh tandingan dalam analisis

2. Mendefinisikan konsep contoh tandingan

3. Pertimbangkan penggunaan contoh tandingan dalam diferensiasi

4. Mendefinisikan konsep monotonisitas fungsi

5. Mencirikan kondisi monotonisitas suatu fungsi

6. Pertimbangkan kondisi yang diperlukan untuk ekstrem lokal

7. Pertimbangkan kondisi yang cukup untuk ekstrem lokal

1. Contoh tandingan dalam analisis

1.1. Konsep contoh tandingan

Ungkapan populer: “belajar dari contoh”, “kekuatan keteladanan” tidak hanya memiliki makna sehari-hari. Kata “contoh” memiliki akar kata yang sama dengan kata “mengukur”, “mengukur”, “mengukur”, tetapi itu bukan satu-satunya alasan mengapa kata tersebut hadir dalam matematika sejak awal mulanya. Sebuah contoh menggambarkan konsep tersebut, membantu untuk memahami maknanya, menegaskan kebenaran pernyataan dalam manifestasi khususnya; contoh tandingan, yang menyangkal pernyataan palsu, mempunyai kekuatan pembuktian.

Contoh tandingan adalah contoh yang menyangkal kebenaran suatu pernyataan.

Membangun contoh tandingan adalah cara umum untuk menyangkal hipotesis. Jika ada pernyataan seperti “Untuk sembarang X dari himpunan M, properti A dimiliki,” maka contoh tandingan dari pernyataan ini adalah objek X 0 dari himpunan M yang properti A tidak dimilikinya.

Contoh tandingan klasik dalam sejarah kalkulus adalah fungsi yang dibangun oleh Bernard Bolzano, yang kontinu pada seluruh sumbu real dan tidak terdiferensiasi pada titik mana pun. Fungsi ini menjadi contoh tandingan terhadap hipotesis bahwa diferensiasi suatu fungsi merupakan konsekuensi alami dari kontinuitasnya.

2.2. Menggunakan Contoh Tandingan dalam Diferensiasi

Bagian ini dipilih karena diferensiasi merupakan elemen dasar analisis matematis.

Dalam beberapa contoh di bab ini, istilah turunan juga berlaku untuk limit tak terhingga.

Namun, istilah fungsi terdiferensiasi hanya digunakan jika fungsi tersebut mempunyai turunan berhingga di setiap titik dalam domain definisinya. Suatu fungsi dikatakan terdiferensiasi tak terhingga jika fungsi tersebut mempunyai turunan berhingga dengan ordo apa pun di setiap titik dalam domainnya.

Fungsi eksponensial dengan basis e dilambangkan dengan simbol ex x atau exp(x).

Diasumsikan bahwa semua himpunan, termasuk domain dan himpunan nilai fungsi, adalah himpunan bagian dari R. Jika tidak, klarifikasi yang tepat akan dilakukan.

1. Fungsi non-turunan

Fungsi sgnA: dan secara umum, fungsi apa pun dengan diskontinuitas dalam bentuk lompatan tidak memiliki primitif, yaitu bukan merupakan turunan dari fungsi apa pun, karena tidak memiliki sifat Cauchy untuk menerima semua nilai perantara, dan ini properti melekat tidak hanya pada fungsi kontinu, tetapi juga pada turunan ( lihat, hal. 84, contoh 40, dan juga, jilid I, hal. 224). Di bawah ini adalah contoh turunan diskontinu.

2. Fungsi terdiferensiasi dengan turunan diskontinyu

Pertimbangkan fungsinya

Turunannya

diskontinyu di titik x = 0.

3. Fungsi diskontinu yang mempunyai turunan dimana-mana (tidak harus berhingga)

Agar contoh seperti itu menjadi mungkin, definisi turunan harus diperluas hingga mencakup nilai ±. Maka fungsi diskontinu sgn x (contoh 1) mempunyai turunan

4. Fungsi terdiferensiasi yang turunannya tidak mempertahankan tanda pada lingkungan satu sisi titik ekstrem

mempunyai minimum mutlak di titik x = 0. Dan turunannya

di lingkungan satu sisi nol mengambil nilai positif dan negatif. Fungsi f tidak monotonik di lingkungan satu sisi titik x = 0.

5. Fungsi terdiferensiasi, yang turunannya positif di suatu titik, tetapi fungsinya sendiri tidak monoton di lingkungan mana pun pada titik tersebut

memiliki turunan yang sama dengan

Di lingkungan mana pun yang nol, turunan f/(x) mempunyai nilai positif dan negatif.

6. Fungsi yang turunannya berhingga, tetapi tidak dibatasi pada interval tertutup

Pertimbangkan fungsinya

Turunannya

tidak terbatas pada [-1, 1].

7. Suatu fungsi yang turunannya ada dan terbatas, tetapi tidak mempunyai ekstrem (mutlak) pada interval tertutup

memiliki turunan

Di lingkungan mana pun yang nol, turunan ini memiliki nilai mendekati 24 dan -24. Sebaliknya, untuk 0

Oleh karena itu, dari pertidaksamaan 0< h 1 следует, что

8. Di mana-mana kontinu, tetapi tidak ada fungsi yang terdiferensiasi

Fungsi | x | kontinu di mana-mana, tetapi tidak dapat terdiferensiasi di titik x - 0. Dengan menggunakan pergeseran fungsi ini, seseorang dapat mendefinisikan suatu fungsi kontinu di mana pun yang tidak dapat terdiferensiasi di setiap titik dari suatu himpunan berhingga yang diberikan secara sembarang. Pada bagian ini kita akan memberikan contoh penggunaan pergeseran fungsi | yang jumlahnya tak terhingga x |.

Mari kita tunjukkan fungsinya

tidak dapat dibedakan di mana pun. Misalkan a suatu bilangan real sembarang, dan misalkan untuk setiap bilangan asli n dipilih bilangan h n yang sama dengan 4 -n atau –4 -n sehingga besarannya mempunyai nilai yang sama | h n | untuk semua m n dan sama dengan nol untuk m > n. Maka perbandingan selisihnya adalah bilangan bulat yaitu genap jika n genap dan ganjil jika n ganjil.

Oleh karena itu, batasnya

tidak ada, dan karena itu tidak ada dan

Contoh yang diberikan merupakan modifikasi dari contoh yang dibuat oleh B. L. Van der Waerden pada tahun 1930 (lihat, hal. 394). Contoh pertama fungsi kontinu yang tidak terdiferensiasi di mana pun dibuat oleh K. W. T. Weierstrass (ahli matematika Jerman, 1815-1897):

dimana a adalah bilangan bulat ganjil dan b sedemikian rupa

Saat ini, diketahui contoh fungsi kontinu yang tidak memiliki titik yang memiliki turunan berhingga atau tak terhingga satu sisi sekalipun. Contoh-contoh ini dan referensi lebih lanjut dapat ditemukan di (hal. 392-394), (hal. 61 - 62, 115, 126), dan (Vol. II, hal. 401-412).

Fungsi dari contoh ini tidak monotonik pada interval apa pun. Selain itu, ada contoh fungsi yang terdiferensiasi di mana-mana dan tidak monoton di mana pun (lihat jilid II, hlm. 412-421). Konstruksi contoh ini sangat kompleks dan menghasilkan fungsi yang dapat terdiferensiasi di mana pun dan memiliki himpunan maksimum relatif yang padat dan himpunan minimum relatif yang padat.

9. Fungsi terdiferensiasi yang teorema nilai rata-ratanya tidak berlaku

Dalam contoh ini, kita kembali dipaksa untuk beralih ke fungsi bernilai kompleks. Fungsi

variabel riil x kontinu dan terdiferensiasi di mana-mana (lihat, hal. 509-513). Namun, tidak ada interval yang, pada nilai tertentu, memiliki persamaan

Jika kita berasumsi bahwa persamaan ini mungkin, maka dengan menyamakan kuadrat modul (nilai absolut) dari kedua bagiannya, kita memperoleh persamaan

yang setelah transformasi dasar mengambil bentuk

Tetapi karena tidak ada bilangan positif h sehingga sin h = h (lihat halaman 78), kita mendapatkan kontradiksi.

13. Fungsi monoton yang terdiferensiasi tak terhingga f sedemikian rupa sehingga

Jika monotonisitas tidak diperlukan, maka contoh sepele dari fungsi tersebut adalah, misalnya, (sinx 2)/x. Mari kita buat contoh fungsi monoton yang memiliki sifat terindikasi. Misalkan f(x) sama dengan 1 untuk dan sama pada interval tertutup untuk

Pada interval tengah yang tersisa dari bentuk tersebut, kita menentukan f(x) menggunakan fungsi tersebut

menerapkan pergeseran horizontal dan vertikal dan mengalikannya dengan faktor negatif yang sesuai.

2. Fungsi monoton

2.1. Fungsi yang monoton

Suatu fungsi f(x) dikatakan meningkat pada interval D jika untuk sembarang bilangan x 1 dan x 2 dari interval D sedemikian sehingga x 1< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

Suatu fungsi f(x) dikatakan menurun pada interval D jika untuk sembarang bilangan x 1 dan x 2 dari interval D sedemikian sehingga x 1< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) >f(x2).

Gambar 1.

Pada grafik yang ditunjukkan pada gambar, fungsi y = f (x) meningkat pada setiap interval [ a ; x 1) dan (x 2 ; b ] dan berkurang pada interval (x 1 ; x 2). Perhatikan bahwa fungsi tersebut meningkat pada setiap interval [ a ; x 1) dan (x 2 ; b ], tetapi tidak pada kesenjangan serikat pekerja

Jika suatu fungsi bertambah atau berkurang pada suatu interval tertentu, maka disebut monotonik pada interval tersebut.

Perhatikan bahwa jika f adalah fungsi monoton pada interval D (f (x)), maka persamaan f (x) = const tidak boleh memiliki lebih dari satu akar pada interval ini.

Memang, jika x 1< x 2 – корни этого уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Mari kita daftar sifat-sifat fungsi monotonik (diasumsikan bahwa semua fungsi terdefinisi pada beberapa interval D).

Jumlah beberapa fungsi naik merupakan fungsi naik.
Hasil kali fungsi naik tak negatif adalah fungsi naik.
Jika fungsi f bertambah, maka fungsi cf (c > 0) dan f + c juga bertambah, dan fungsi cf (c< 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
Jika fungsi f bertambah dan mempertahankan tandanya, maka fungsi 1/ f berkurang.
Jika fungsi f meningkat dan non-negatif, maka di mana juga meningkat.
Jika fungsi f meningkat dan n bilangan ganjil, maka f n juga meningkat.
Komposisi g(f(x)) dari fungsi yang meningkat f dan g juga meningkat.

Pernyataan serupa dapat dirumuskan untuk fungsi menurun.

Beras. 2. Properti fungsi.

Suatu titik a disebut titik maksimum suatu fungsi f jika terdapat lingkungan ε dari titik a sedemikian rupa sehingga untuk setiap x di lingkungan tersebut berlaku pertidaksamaan f (a) ≥ f (x).

Suatu titik a disebut titik minimum suatu fungsi f jika terdapat lingkungan ε dari titik a sedemikian rupa sehingga untuk setiap x di lingkungan tersebut berlaku pertidaksamaan f (a) ≤ f (x).

Titik di mana fungsi maksimum atau minimum tercapai disebut titik ekstrem.

Pada titik ekstrem, sifat monotonisitas fungsi berubah. Jadi, di sebelah kiri titik ekstrem fungsinya bisa bertambah, dan di sebelah kanannya bisa berkurang. Menurut definisi tersebut, titik ekstrem harus merupakan titik internal domain definisi.

Jika untuk sembarang (x ≠ a) terdapat pertidaksamaan f (x) ≤ f (a), maka titik a disebut titik dengan nilai fungsi terbesar pada himpunan D:

Jika untuk sembarang (x ≠ b) pertidaksamaan f (x) > f (b) terpenuhi, maka titik b disebut titik nilai minimum fungsi pada himpunan D.

Fungsi kompleks Weierstrass memiliki bentuk

di mana suatu bilangan real, dan ditulis sebagai , atau sebagai . Bagian real dan imajiner dari fungsi tersebut masing-masing disebut sinusoid cosinus dan sinusoid Weierstrass.

Fungsinya kontinu, tetapi tidak terdiferensiasi. Namun, generalisasi formalnya terhadap kasus ini bersifat kontinu dan dapat dibedakan.

Selain fungsinya sendiri, bagian ini membahas beberapa pilihannya; kebutuhan akan penyajiannya disebabkan oleh makna baru yang diberikan teori fraktal pada fungsi Weierstrass.

Spektrum frekuensi suatu fungsi. Istilah “spektrum”, menurut saya, sarat dengan makna. Spektrum frekuensi dipahami sebagai kumpulan nilai frekuensi yang diizinkan, terlepas dari amplitudo komponen terkait.

Spektrum frekuensi suatu fungsi periodik merupakan barisan bilangan bulat positif. Spektrum frekuensi fungsi Brown adalah. Spektrum frekuensi fungsi Weierstrass merupakan barisan diskrit dari hingga .

Spektrum energi suatu fungsi. Spektrum subenergi dipahami sebagai himpunan nilai frekuensi yang diizinkan bersama dengan nilai energi (amplitudo kuadrat) dari komponen terkait. Untuk setiap nilai frekuensi bentuk dalam fungsi terdapat garis spektral energi bentuk . Akibatnya, nilai energi total pada frekuensi konvergen dan sebanding dengan .

Perbandingan dengan gerak Brown pecahan. Energi total sebanding dalam beberapa kasus lain yang kita bahas sebelumnya: fungsi Fourier–Brown–Wiener acak periodik pecahan, frekuensi yang diizinkan berbentuk , dan koefisien Fourier yang sesuai adalah sama dengan ; proses acak dengan kepadatan spektral populasi yang kontinu sebanding dengan . Proses terakhir tidak lebih dari fungsi Brown pecahan, yang dijelaskan dalam Bab 27. Misalnya, seseorang dapat mendeteksi spektrum kumulatif fungsi Weierstrass dalam gerak Brown biasa, yang kerapatan spektralnya sebanding dengan. Perbedaan penting: spektrum Brown benar-benar kontinu, sedangkan spektrum fungsi Fourier–Brown–Wiener dan Weierstrass bersifat diskrit.

Non-diferensiabilitas. Untuk membuktikan bahwa suatu fungsi tidak memiliki turunan berhingga untuk nilai apa pun, Weierstrass harus menggabungkan dua kondisi berikut: - bilangan bulat ganjil, sehingga fungsi tersebut merupakan deret Fourier, dan . Kondisi perlu dan cukup ( dan ) kami ambil dari artikel Hardy.

Konsumsi energi. Bagi fisikawan yang terbiasa dengan spektrum, kondisi Hardy tampak jelas. Dengan menerapkan aturan empiris bahwa turunan suatu fungsi dihitung dengan mengalikan koefisien Fouriernya dengan , fisikawan menemukan turunan formal dari fungsi tersebut bahwa amplitudo kuadrat dari koefisien Fourier c sama dengan . Karena energi total pada frekuensi lebih besar dari θ tidak terhingga, menjadi jelas bagi fisikawan bahwa turunannya tidak dapat ditentukan.

Menarik untuk dicatat bahwa Riemann, dalam mencari contoh non-diferensiabilitas, menemukan fungsinya , energi spektralnya pada frekuensi yang lebih tinggi dari , sebanding dengan , di mana . Jadi, dengan menggunakan alasan heuristik yang sama, kita dapat berasumsi bahwa turunannya tidak dapat dibedakan. Kesimpulan ini hanya sebagian benar, karena pada nilai tertentu turunannya masih ada (lihat).

Divergensi/bencana ultraviolet. Istilah "bencana" muncul dalam fisika pada dekade pertama abad kedua puluh, ketika Rayleigh dan Jeans secara independen mengembangkan teori radiasi benda hitam, yang menyatakan bahwa energi dari rentang frekuensi lebar di sekitar frekuensi sebanding dengan . Ini berarti bahwa energi total spektrum pada frekuensi tinggi tidak terbatas - yang ternyata menjadi bencana besar bagi teori tersebut. Karena sumber masalah berasal dari frekuensi di luar spektrum ultraviolet, fenomena ini disebut bencana ultraviolet (UV).

Semua orang tahu bahwa Planck membangun teori kuantumnya di atas reruntuhan bencana UV yang mengubah teori radiasi.

Retret bersejarah. Mari kita perhatikan (walaupun saya tidak begitu mengerti mengapa belum ada yang melakukan ini sebelumnya; bagaimanapun juga, saya belum menemukan hal serupa di sumber yang tersedia bagi saya) bahwa penyebab kematian fisika lama dan matematika lama adalah sama. divergensi yang meruntuhkan keyakinan mereka bahwa fungsi-fungsi kontinu harus dapat dibedakan. Fisikawan menanggapinya hanya dengan mengubah aturan mainnya, namun matematikawan harus belajar memahami fungsi yang tidak dapat didiferensiasi dan turunan formalnya. (Yang terakhir adalah satu-satunya contoh fungsi Schwarz umum yang sering digunakan dalam fisika.)

Mencari spektrum diskrit skala-invarian. Divergensi inframerah. Meskipun spektrum frekuensi fungsi Brown bersifat kontinu, invarian skala, dan berada pada , spektrum frekuensi fungsi Weierstrass yang bersesuaian dengan nilai yang sama adalah diskrit dan dibatasi dari bawah oleh nilai . Adanya batas bawah semata-mata disebabkan oleh fakta bahwa bilangan Weierstrass awalnya bilangan bulat, dan fungsinya periodik. Untuk menghilangkan keadaan ini, jelas harus diperbolehkan mengambil nilai apa pun dari ke . Dan agar spektrum energi menjadi invarian skala, cukup mengasosiasikan setiap komponen frekuensi dengan amplitudo.

Sayangnya, rangkaian yang dihasilkan menyimpang, dan komponen frekuensi rendah yang menjadi penyebabnya. Cacat ini disebut divergensi inframerah (IR) (atau “bencana”). Bagaimanapun, kita harus menerima perbedaan ini, karena jika tidak, batas bawah akan bertentangan dengan kesamaan diri yang melekat dalam spektrum energi.

Fungsi Weierstrass yang dimodifikasi, afinasi mandiri terhadap waktu fokus. Prosedur paling sederhana yang memungkinkan Anda untuk melanjutkan spektrum frekuensi fungsi Weierstrass ke suatu nilai dan menghindari konsekuensi bencana terdiri dari dua tahap: pertama kita memperoleh ekspresi , dan baru kemudian mengizinkannya mengambil nilai apa pun dari ke . Suku-suku tambahan yang bersesuaian dengan nilai-nilai tersebut konvergen, dan jumlahnya kontinu dan dapat dibedakan. Fungsinya dimodifikasi dengan cara ini

masih kontinu, namun tidak dapat dibedakan.

Selain itu, ini adalah invarian skala dalam arti bahwa

Jadi fungsinya tidak bergantung pada. Anda dapat mengatakannya secara berbeda: kapan fungsi tidak bergantung pada. Artinya, fungsinya , bagian nyata dan bagian imajinernya berhubungan dengan nilai-nilai bentuk dan waktu fokus.

Fungsi acak Gaussian dengan spektrum Weierstrass yang digeneralisasi. Langkah selanjutnya menuju realisme dan penerapan yang luas adalah pengacakan fungsi Weierstrass yang digeneralisasi. Metode paling sederhana dan paling alami adalah mengalikan koefisien Fouriernya dengan variabel acak Gaussian kompleks independen dengan ekspektasi nol dan varian satuan. Bagian nyata dan imajiner dari fungsi yang dihasilkan dapat disebut fungsi Weierstrass–Gauss (dimodifikasi). Dalam beberapa hal, fungsi-fungsi ini dapat dianggap sebagai perkiraan fungsi Brown pecahan. Ketika nilainya bertepatan, spektrumnya sama dengan fakta bahwa salah satu spektrum ini kontinu dan yang lainnya memungkinkan diskrit. Selain itu, hasil Orey dan Marcus (lihat halaman 490) dapat diterapkan pada fungsi Weierstrass–Gauss, dan dimensi fraktal dari himpunan levelnya bertepatan dengan dimensi fraktal dari himpunan level fungsi Brownian pecahan.

Dengan mempertimbangkan preseden gerak Brown pecahan, kita dapat berasumsi bahwa dimensi fungsi Weierstrass-Rademacher himpunan nol akan sama dengan . Asumsi ini dikonfirmasi pada , tetapi hanya untuk bilangan bulat.

Singh menyebutkan banyak variasi lain dari fungsi Weierstrass. Dimensi nol dari himpunan beberapa di antaranya mudah diperkirakan. Secara umum, topik ini jelas memerlukan kajian lebih mendalam, dengan mempertimbangkan pencapaian pemikiran teoritis modern.

Mari kita buat set yang menarik di pesawat DI DALAM sebagai berikut: membagi, mengkuadratkan dengan garis lurus
menjadi 9 kotak yang sama besar dan membuang lima kotak secara terbuka, tidak berdekatan dengan titik sudut kotak aslinya. Kemudian, kami juga membagi setiap kotak yang tersisa menjadi 9 bagian, dan membuang lima bagian, dst. Himpunan yang tersisa setelah sejumlah langkah yang dapat dihitung dilambangkan dengan B dan mari kita menelepon Pemakaman Sierpinski. Mari kita hitung luas persegi yang dibuang:

Pemakaman Sierpinski adalah tempat yang sempurna dan tidak padat.

Mari kita perhatikan struktur fraktal himpunan.

2.2 Sisir penyanyi

Mari kita menelepon Sisir penyanyi sekelompok D di permukaan Oks, terdiri dari semua poin
, yang koordinatnya memenuhi ketentuan berikut:
, Di mana
- Penyanyi dipasang pada porosnya Oi. Sisir Cantor adalah tempat yang sempurna dan tidak padat di pesawat. Sekelompok D terdiri dari semua poin
persegi satuan asli yang absisnya sembarang
, dan ordinatnya dapat ditulis sebagai pecahan terner yang tidak mengandung satuan di antara tanda ternernya.

Apakah mungkin untuk mengatur B(Pemakaman Sierpinski) dan D(Sisir Cantor) diekspresikan melalui set Cantor
menggunakan operasi komplemen segmen dan produk Cartesian? Hal ini jelas bahwa set B Dan D diungkapkan secara sederhana:

B=
X

D= x

3 Fungsi penyanyi

Apakah mungkin untuk memetakan secara terus menerus suatu himpunan yang tidak padat pada suatu segmen ke segmen itu sendiri?

Ya, mari kita ambil set Cantor, yang tidak padat di mana pun. Pada langkah pertama konstruksi, kita menetapkan nilai fungsi sebesar 0,5 pada titik-titik interval yang berdekatan dari jenis pertama. Pada langkah kedua, kita menetapkan nilai fungsi untuk setiap interval jenis kedua yang berdekatan, masing-masing 0,25 dan 0,75. Itu. kita sepertinya membagi setiap segmen menjadi sebuah sumbu Oi setengah ( kamu Saya) dan atur dalam interval berdekatan yang sesuai nilai fungsi sama dengan nilainya ya.

Hasilnya, kami memperoleh fungsi tak-menurun (dibuktikan dalam mata kuliah “Bab Pilihan Analisis Matematika”), yang didefinisikan pada segmen dan konstanta di lingkungan tertentu di setiap titik dari himpunan \
. Fungsi yang dibangun
ditelepon Fungsi penyanyi(Fungsi Cantor), dan grafiknya di bawah ini adalah ""tangga setan"".

Perhatikan struktur fraktal dari fungsi tersebut:

Fungsi
memenuhi pertidaksamaan berikut:

Fungsi Cantor kontinu pada interval tersebut. Itu tidak berkurang dan himpunan nilainya membentuk keseluruhan segmen. Oleh karena itu, fungsinya
tidak memiliki lompatan. Dan karena fungsi monoton tidak dapat memiliki titik diskontinuitas lain selain lompatan (lihat kriteria kontinuitas fungsi monoton), maka fungsi tersebut kontinu.

Pengamatan yang menarik adalah grafik fungsi Cantor kontinu
Tidak mungkin menggambar "tanpa mengangkat pensil dari kertas".

Suatu fungsi yang kontinu dimana-mana tetapi tidak terdiferensiasi dimanapun

Mari kita membangun fungsi tambahan
pada segmen langkah demi langkah. Pada langkah nol kita akan menetapkan dua poin:

Dan
.

Selanjutnya kita perbaiki parameternya . Pada langkah pertama dan selanjutnya, kita akan menentukan titik-titik sesuai dengan aturan berikut: untuk setiap dua titik yang dibangun sebelumnya berdekatan dengan sumbu absis Dan kami akan membangun dua poin baru Dan simetris terpusat relatif terhadap pusat persegi panjang yang dibatasi oleh titik-titik Dan dengan koefisien k. Artinya, pada langkah pertama, dua poin baru ditentukan:

Dan
, dll.

Pada (m+1)- om langkah selain titik-titik yang dibangun sebelumnya dengan absis

Tergantung pada titik tetangga yang mana atau di atas, gunakan skema kiri atau kanan. Pada langkah pertama, seperti yang ditunjukkan di atas, kami menerima a = b = 1.

;

Sebagai hasil dari konstruksi fraktal, kita memperoleh fungsinya
, ditentukan pada sekumpulan titik

,
;
(*)

yang padat di mana-mana di segmen tersebut.

Properti apa yang dimiliki fungsi yang dibangun?

di setiap titik dalam bentuk (*) terdapat maksimum yang ketat atau minimum yang ketat, yaitu. fungsi G(X) tidak monoton, dan memiliki kumpulan titik ekstrem yang ketat pada segmen tersebut;

fungsi g(x) kontinu, bahkan kontinu seragam pada himpunan titik (*);

fungsi yang dibangun kontinu pada suatu segmen tidak mempunyai turunan satu sisi genap pada titik mana pun pada segmen tersebut;

Sifat-sifat di atas dibuktikan dalam mata kuliah “Bab Pilihan Analisis Matematika”.

Dalam contoh yang dipertimbangkan, kami mengasumsikan parameternya . Dengan mengubah nilai parameter ini, Anda dapat memperoleh kelompok fungsi dengan properti khususnya sendiri.