Kuliah 9.
Transformasi koordinat linier. Vektor eigen dan nilai eigen suatu matriks, sifat-sifatnya. Polinomial karakteristik suatu matriks, sifat-sifatnya.
Kita akan mengatakannya pada himpunan vektorRdiberikan transformasi A , jika setiap vektor X R menurut beberapa aturan vektor A X R.
Definisi 9.1.Konversi A ditelepon linier, jika untuk vektor apa pun X Dan pada dan untuk bilangan real apa pun λ persamaan berikut berlaku:
A( X + pada )=A X+ SEBUAH pada ,SEBUAH(λ X ) = λ A X. (9.1)
Definisi 9.2.Transformasi linier disebut identik, jika itu mengubah vektor apa pun X ke dalam dirimu sendiri.
Transformasi identitas dilambangkan DIA X= X .
Pertimbangkan ruang tiga dimensi dengan basis e 1 , e 2, e 3 , di mana transformasi linier ditentukan A. Menerapkannya ke vektor basis, kita mendapatkan vektornya A e 1, A e 2, A e 3 milik ruang tiga dimensi ini. Akibatnya, masing-masing vektor tersebut dapat diperluas secara unik menjadi vektor basis:
A e 1 = sebuah 11 e 1+ sebuah 21 e 2+a 31 e 3,
A e 2 = sebuah 12 e 1+ sebuah 22 e 2+ sebuah 32 e 3 ,(9.2)
A e 3= sebuah 13 e 1+ sebuah 23 e 2+ sebuah 33 e 3 .
Matriks 
ditelepon matriks transformasi linier A
di dasar e 1
,
e 2, e 3
.
Kolom matriks ini terdiri dari koefisien dalam rumus transformasi basis (9.2).
Komentar. Jelasnya, matriks transformasi identitas adalah matriks identitas E.
Untuk vektor sembarang X =x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3 hasil penerapan transformasi linier padanya A akan menjadi vektor A X, yang dapat diperluas menjadi vektor-vektor dengan basis yang sama: A X =x` 1 e 1+ x` 2 e 2+ x` 3 e 3 , dimana koordinatnyaX` Sayadapat dicari dengan menggunakan rumus:
X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,
x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)
X` 3 = A 31 X 1 + A 32 X 2 + A 33 X 3 .
Koefisien dalam rumus transformasi linier ini merupakan elemen baris matriks A.
Transformasi matriks transformasi linier
saat pindah ke basis baru.
Pertimbangkan transformasi linear A dan dua basis dalam ruang tiga dimensi: e 1, e 2, e 3 Dan e 1 , e 2 , e 3 . Biarkan matriks C menentukan rumus transisi dari basis (e k) menjadi dasar ( e k). Jika pada basis pertama transformasi linier yang dipilih diberikan oleh matriks A, dan pada basis kedua oleh matriks A, maka kita dapat mencari hubungan antara matriks-matriks tersebut, yaitu:
SEBUAH = C -1 A C(9.4)
Memang benar kalau begitu A
. Di sisi lain, hasil penerapan transformasi linier sama A berdasarkan (e
k), yaitu , dan di dasar (e
k
): masing-masing - dihubungkan oleh matriks DENGAN:
, dari situlah berikut ini CA= A DENGAN. Mengalikan kedua ruas persamaan ini dari kiri dengan DENGAN-1 , kita dapat DENGAN -1
CA= = C -1 A DENGAN, yang membuktikan validitas rumus (9.4).
Nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks.
Definisi 9.3.Vektor X ditelepon vektor eigen matriks A, jika ada nomor seperti itu λ, bahwa kesetaraan berlaku: A X= λ X, yaitu hasil melamar X transformasi linier yang ditentukan oleh matriks A, adalah perkalian vektor ini dengan bilangan λ . Nomor itu sendiri λ ditelepon nilai eigen matriks A.
Mengganti ke dalam rumus (9.3)X` J = λ xj, kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan koordinat vektor eigen:
.
Dari sini
.(9.5)
Ini homogen linier suatu sistem akan memiliki solusi nontrivial hanya jika determinan utamanya adalah 0 (aturan Cramer). Dengan menuliskan kondisi ini dalam bentuk:
kita memperoleh persamaan untuk menentukan nilai eigen λ , ditelepon persamaan karakteristik. Secara singkat dapat direpresentasikan sebagai berikut:
| A -λ E | = 0,(9.6)
karena ruas kirinya memuat determinan matriks A- λE. Relatif polinomial λ| A -λ E| ditelepon polinomial karakteristik matriks A.
Sifat-sifat polinomial karakteristik:
1)
Polinomial karakteristik transformasi linier tidak bergantung pada pilihan basis. 
(lihat (9.4)), tapi 
karena itu, . Jadi, tidak bergantung pada pilihan basis. Artinya |A-λ
E| tidak berubah ketika pindah ke basis baru.
2) Jika matriks A transformasi linier adalah simetris(itu. A aku j= sebuah ji), maka semua akar persamaan karakteristik (9.6) adalah bilangan real.
Sifat nilai eigen dan vektor eigen:
1) Jika kita memilih basis dari vektor eigen x 1, x 2, x 3 , sesuai dengan nilai eigen λ 1, λ 2, λ 3 matriks A, maka dalam basis ini transformasi linier A mempunyai matriks berbentuk diagonal:
(9.7) Pembuktian sifat ini mengikuti definisi vektor eigen.
2) Jika transformasi bernilai eigen A berbeda, maka vektor eigen yang bersesuaian adalah bebas linier.
3) Jika polinomial karakteristik matriks A memiliki tiga akar yang berbeda, maka dalam beberapa basis matriks A memiliki tampilan diagonal.
Contoh.
Mari kita cari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks C dan tinggalkan persamaan karakteristiknya: 
(1-
λ
)(5 - λ
)(1 - λ
) + 6 - 9(5 - λ
)
- (1 - λ
) - (1 - λ
) = 0, λ
³ - 7 λ
² + 36 = 0, λ
1 = -2, λ
2 = 3, λ
3
= 6.
Mari kita cari koordinat vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai yang ditemukan λ. Dari (9.5) berikut ini jika X (1) ={ X 1 , X 2 , X 3 ) – vektor eigen yang sesuai λ 1 =-2, lalu
- sistem yang kooperatif tetapi tidak pasti. Solusinya dapat ditulis dalam bentuk X (1)
={
A,0,-
A), di mana a adalah bilangan apa pun. Khususnya, jika kita memerlukan |X
(1)
|=1, X (1)
=
Mengganti ke dalam sistem (9.5) λ 2 =3, kita memperoleh sistem untuk menentukan koordinat vektor eigen kedua -X (2) ={ kamu 1 , kamu 2 , kamu 3
Matriks diagonal mempunyai struktur yang paling sederhana. Timbul pertanyaan apakah mungkin menemukan basis yang matriks operator liniernya berbentuk diagonal. Dasar seperti itu memang ada.
Mari kita diberi ruang linier R n dan operator linier A yang bekerja di dalamnya; dalam hal ini, operator A mengambil R n ke dalam dirinya sendiri, yaitu A:R n → R n .
Definisi.
Vektor bukan nol x disebut vektor eigen dari operator A jika operator A mengubah x menjadi vektor kolinear, yaitu. Bilangan λ disebut nilai eigen atau nilai eigen dari operator A, yang bersesuaian dengan vektor eigen x.
Mari kita perhatikan beberapa sifat nilai eigen dan vektor eigen.
1. Setiap kombinasi linier dari vektor eigen 
operator A yang bersesuaian dengan nilai eigen yang sama λ adalah vektor eigen dengan nilai eigen yang sama.
2. Vektor eigen operator A dengan nilai eigen berbeda berpasangan λ 1 , λ 2 , …, λ m bebas linier.
3. Jika nilai eigen λ 1 =λ 2 = λ m = λ, maka nilai eigen λ berhubungan dengan tidak lebih dari m vektor eigen bebas linier.
Jadi, jika terdapat n vektor eigen bebas linier 
, sesuai dengan nilai eigen yang berbeda λ 1, λ 2, ..., λ n, maka nilai-nilai tersebut bebas linier, oleh karena itu, nilai-nilai tersebut dapat diambil sebagai basis ruang R n. Mari kita cari bentuk matriks dari operator linier A berdasarkan vektor eigennya, yang mana kita akan bertindak dengan operator A berdasarkan vektor basis: 
Kemudian 
.
Jadi, matriks operator linier A berdasarkan vektor eigennya berbentuk diagonal, dan nilai eigen operator A berada di sepanjang diagonal.
Apakah ada basis lain yang matriksnya berbentuk diagonal? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema berikut.
Dalil. Matriks operator linier A pada basis (i = 1..n) berbentuk diagonal jika dan hanya jika semua vektor basisnya merupakan vektor eigen dari operator A.
Aturan untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen
Biarkan sebuah vektor diberikan
, dimana x 1, x 2, …, x n adalah koordinat vektor x terhadap basis 
dan x adalah vektor eigen dari operator linier A yang sesuai dengan nilai eigen λ, yaitu. Hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks 
. (*)
Persamaan (*) dapat dianggap sebagai persamaan untuk mencari x, dan , yaitu, kita tertarik pada solusi non-trivial, karena vektor eigen tidak boleh nol. Diketahui bahwa solusi nontrivial dari sistem persamaan linier homogen ada jika dan hanya jika det(A - λE) = 0. Jadi, agar λ menjadi nilai eigen dari operator A, maka det(A - λE) perlu dan cukup ) = 0.
Jika persamaan (*) dituliskan secara rinci dalam bentuk koordinat, maka diperoleh sistem persamaan linier homogen:
(1)
Di mana 
- matriks operator linier.
Sistem (1) mempunyai solusi bukan nol jika determinannya D sama dengan nol
Kami menerima persamaan untuk menemukan nilai eigen.
Persamaan ini disebut persamaan karakteristik, dan ruas kirinya disebut polinomial karakteristik matriks (operator) A. Jika polinomial karakteristik tidak mempunyai akar real, maka matriks A tidak mempunyai vektor eigen dan tidak dapat direduksi menjadi bentuk diagonal.
Misalkan λ 1, λ 2, …, λ n adalah akar-akar real dari persamaan karakteristik, dan di antara akar-akar tersebut mungkin terdapat kelipatan. Mengganti nilai-nilai ini secara bergantian ke dalam sistem (1), kita menemukan vektor eigen.
Contoh 12.
Operator linier A bekerja di R 3 menurut hukum, dimana x 1, x 2, .., x n adalah koordinat vektor di basis 
, 
, 
. Temukan nilai eigen dan vektor eigen dari operator ini.
Larutan.
Kami membangun matriks operator ini: 
.
Kami membuat sistem untuk menentukan koordinat vektor eigen: 
Kami membuat persamaan karakteristik dan menyelesaikannya: 
.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Substitusikan λ = -1 ke dalam sistem, kita peroleh: 
atau 
Karena 
, maka ada dua variabel terikat dan satu variabel bebas.
Misalkan x 1 adalah bilangan tak diketahui bebas 
Kita selesaikan sistem ini dengan cara apa pun dan temukan solusi umum dari sistem ini: Sistem solusi fundamental terdiri dari satu solusi, karena n - r = 3 - 2 = 1.
Himpunan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = -1 berbentuk: , dengan x 1 adalah bilangan apa pun selain nol. Mari kita pilih satu vektor dari himpunan ini, misalnya dengan memasukkan x 1 = 1: 
.
Dengan alasan yang sama, kita menemukan vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen λ = 3: 
.
Dalam ruang R 3, basis terdiri dari tiga vektor bebas linier, tetapi kita hanya menerima dua vektor eigen bebas linier, yang darinya basis di R 3 tidak dapat dibuat. Akibatnya, kita tidak dapat mereduksi matriks A dari operator linier menjadi bentuk diagonal.
Contoh 13.
Diberikan sebuah matriks 
.
1. Buktikan bahwa vektor 
adalah vektor eigen dari matriks A. Temukan nilai eigen yang sesuai dengan vektor eigen tersebut.
2. Temukan basis yang matriks A berbentuk diagonal.
Larutan.
1. Jika , maka x adalah vektor eigen 
.
Vektor (1, 8, -1) merupakan vektor eigen. Nilai eigen λ = -1.
Matriks tersebut mempunyai bentuk diagonal dengan basis yang terdiri dari vektor-vektor eigen. Salah satunya terkenal. Mari kita temukan sisanya.
Kami mencari vektor eigen dari sistem: 
Persamaan karakteristik: 
;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Mari kita cari vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen λ = -3: 
Pangkat matriks sistem ini adalah dua dan sama dengan banyaknya yang tidak diketahui, jadi sistem ini hanya mempunyai solusi nol x 1 = x 3 = 0. x 2 di sini bisa berupa apa pun selain nol, misalnya x 2 = 1. Jadi, vektor (0 ,1,0) adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = -3. Mari kita periksa: 
.
Jika λ = 1, maka diperoleh sistemnya 
Pangkat matriksnya adalah dua. Kami mencoret persamaan terakhir.
Misalkan x 3 adalah suatu bilangan tidak diketahui bebas. Maka x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Dengan asumsi x 3 = 1, kita mempunyai (-3,-9,1) - vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen λ = 1. Periksa: 
.
Karena nilai eigennya nyata dan berbeda, maka vektor-vektor yang bersesuaian dengannya adalah bebas linier, sehingga dapat dijadikan basis dalam R 3 . Jadi, sebagai dasarnya 
, 
, 
matriks A berbentuk: 
.
Tidak semua matriks operator linier A:R n → R n dapat direduksi menjadi bentuk diagonal, karena untuk beberapa operator linier mungkin terdapat kurang dari n vektor eigen bebas linier. Namun, jika matriksnya simetris, maka akar persamaan karakteristik multiplisitas m bersesuaian dengan tepat m vektor bebas linier.
Definisi.
Matriks simetris adalah matriks persegi yang elemen-elemennya simetris terhadap diagonal utamanya adalah sama, yaitu .
Catatan.
1. Semua nilai eigen matriks simetris adalah nyata.
2. Vektor eigen suatu matriks simetris yang bersesuaian dengan nilai eigen berbeda berpasangan adalah ortogonal.
Sebagai salah satu dari banyak aplikasi peralatan yang dipelajari, kami mempertimbangkan masalah penentuan jenis kurva orde kedua.
Definisi 9.3. Vektor X ditelepon vektor eigen matriks A, jika ada nomor seperti itu λ, bahwa kesetaraan berlaku: A X= λ X, yaitu hasil melamar X transformasi linier yang ditentukan oleh matriks A, adalah perkalian vektor ini dengan bilangan λ . Nomor itu sendiri λ ditelepon nilai eigen matriks A.
Mengganti ke dalam rumus (9.3) x` j = λx j , kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan koordinat vektor eigen:
. (9.5)
Sistem homogen linier ini akan mempunyai solusi nontrivial hanya jika determinan utamanya adalah 0 (aturan Cramer). Dengan menuliskan kondisi ini dalam bentuk:
kita memperoleh persamaan untuk menentukan nilai eigen λ , ditelepon persamaan karakteristik. Secara singkat dapat direpresentasikan sebagai berikut:
| SEBUAH - λE | = 0, (9.6)
karena ruas kirinya memuat determinan matriks A-λE. Relatif polinomial | SEBUAH - λE| ditelepon polinomial karakteristik matriks A.
Sifat-sifat polinomial karakteristik:
1) Polinomial karakteristik suatu transformasi linier tidak bergantung pada pilihan basis. Bukti. 
(lihat (9.4)), tapi 
karena itu, . Jadi, tidak bergantung pada pilihan basis. Artinya | A-λE| tidak berubah ketika pindah ke basis baru.
2) Jika matriks A transformasi linier adalah simetris(itu. dan ij =a ji), maka semua akar persamaan karakteristik (9.6) adalah bilangan real.
Sifat nilai eigen dan vektor eigen:
1) Jika Anda memilih basis dari vektor eigen x 1, x 2, x 3 , sesuai dengan nilai eigen λ 1, λ 2, λ 3 matriks A, maka dalam basis ini transformasi linier A mempunyai matriks berbentuk diagonal:
(9.7) Pembuktian sifat ini mengikuti definisi vektor eigen.
2) Jika nilai eigen transformasi A berbeda, maka vektor eigen yang bersesuaian adalah bebas linier.
3) Jika polinomial karakteristik matriks A memiliki tiga akar yang berbeda, maka dalam beberapa basis matriks A memiliki tampilan diagonal.
Mari kita cari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut. Mari kita buat persamaan karakteristik: 
(1- λ
)(5 - λ
)(1 - λ
) + 6 - 9(5 - λ
) - (1 - λ
) - (1 - λ
) = 0, λ
³ - 7 λ
² + 36 = 0, λ
1 = -2, λ
2 = 3, λ
3 = 6.
Mari kita cari koordinat vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai yang ditemukan λ. Dari (9.5) berikut ini jika X (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3) – vektor eigen yang sesuai λ 1 =-2, lalu
- sistem yang kooperatif tetapi tidak pasti. Solusinya dapat ditulis dalam bentuk X (1)
={A,0,-A), di mana a adalah bilangan apa pun. Khususnya, jika kita memerlukan | X (1)
|=1, X (1)
=
Mengganti ke dalam sistem (9.5) λ 2 =3, kita memperoleh sistem untuk menentukan koordinat vektor eigen kedua - X (2) ={kamu 1 ,kamu 2 ,kamu 3}:
, Di mana X (2)
={b,-b,b) atau, asalkan | X (2)
|=1, X (2)
= 
Untuk λ 3 = 6 carilah vektor eigennya X (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:
, X (3)
={C,2c,c) atau dalam versi yang dinormalisasi
x (3) = 
Hal ini dapat diperhatikan X (1) X (2)
= ab–ab= 0, X (1) X (3)
= ac-ac= 0, X (2) X (3)
= SM- 2SM + SM= 0. Jadi, vektor eigen matriks ini ortogonal berpasangan.
Kuliah 10.
Bentuk kuadrat dan hubungannya dengan matriks simetris. Sifat-sifat vektor eigen dan nilai eigen matriks simetris. Mengurangi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik.
Definisi 10.1.Bentuk kuadrat variabel nyata x 1, x 2,…, xn disebut polinomial derajat kedua pada variabel-variabel tersebut yang tidak mengandung suku bebas dan suku derajat pertama.
Contoh bentuk kuadrat:
(N = 2),
(N = 3). (10.1)
Mari kita mengingat kembali definisi matriks simetris yang diberikan pada kuliah terakhir:
Definisi 10.2. Matriks persegi disebut simetris, jika , yaitu jika elemen-elemen matriks yang simetris terhadap diagonal utama adalah sama.
Sifat-sifat nilai eigen dan vektor eigen matriks simetris:
1) Semua nilai eigen matriks simetris adalah nyata.
Bukti (untuk N = 2).
Biarkan matriks A memiliki bentuk: 
. Mari kita buat persamaan karakteristik:
(10.2) Mari kita cari pembedanya:
Oleh karena itu, persamaan tersebut hanya memiliki akar real.
2) Vektor eigen matriks simetris bersifat ortogonal.
Bukti (untuk N= 2).
Koordinat vektor eigen dan harus memenuhi persamaan.
Menemukan nilai eigen dan vektor eigen matriks merupakan salah satu masalah tersulit aljabar linier yang muncul dalam proses pemodelan dan analisis fungsi sistem dinamis dan pemodelan statistik. Jadi, misalnya, vektor eigen dari matriks kovarians dari vektor acak menentukan arah sumbu utama dispersi hiperelipsoid dari nilai-nilai vektor ini, dan nilai eigen menentukan regangan atau kompresi hiperelipsoid sepanjang sumbu utamanya. Dalam mekanika, vektor eigen dan bilangan tensor inersia mencirikan arah sumbu utama dan momen inersia utama benda padat.
Membedakan penuh (aljabar atau, sebaliknya, matriks) masalah nilai eigen, yang mengasumsikan menemukan semua pasangan sendiri beberapa matriks, dan masalah nilai eigen parsial, biasanya terdiri dari menemukan satu atau lebih nilai eigen dan mungkin berhubungan dengan mereka vektor eigen. Paling sering, dalam kasus terakhir, kita berbicara tentang menemukan nilai eigen modulo terbesar dan terkecil; pengetahuan tentang karakteristik matriks tersebut memungkinkan, misalnya, untuk menarik kesimpulan tentang konvergensi metode iteratif tertentu, mengoptimalkan parameternya, dll.
Masalah nilai eigen dapat dirumuskan sebagai berikut: untuk vektor dan bilangan bukan nol manakah transformasi linier suatu vektor dengan menggunakan matriks tidak mengubah arah vektor tersebut dalam ruang, tetapi hanya “meregangkan” vektor tersebut dengan faktor? Jawaban atas pertanyaan ini terletak pada solusi nontrivial terhadap persamaan tersebut
, (1.2)
di mana adalah matriks identitas. Secara teoritis, masalah ini mudah dipecahkan: Anda perlu menemukan akar dari apa yang disebut ciri persamaan
(1.3)
dan, dengan mensubstitusikannya satu per satu ke dalam (1.2), memperoleh vektor eigen dari sistem overdetermined yang sesuai.
Implementasi praktis dari pendekatan ini dikaitkan dengan sejumlah kesulitan, yang meningkat seiring dengan meningkatnya dimensi masalah yang dipecahkan. Kesulitan-kesulitan ini disebabkan oleh penerapan determinan 
dan menghitung akar polinomial yang dihasilkan N derajat, serta mencari solusi bebas linier untuk sistem persamaan aljabar linier yang merosot. Dalam hal ini, pendekatan langsung untuk menyelesaikan masalah nilai eigen aljabar biasanya hanya digunakan untuk ukuran matriks yang sangat kecil ( N= 2, 3). Sudah di N> 4 metode numerik khusus untuk memecahkan masalah tersebut mengemuka, salah satunya berdasarkan matriks transformasi kesamaan, akan dibahas lebih lanjut. Izinkan kami mengingatkan Anda akan hal itu serupa disebut matriks dan 
, Di mana DENGAN adalah matriks non-tunggal yang berubah-ubah.
Mari kita daftar secara singkat sifat-sifat utama nilai eigen dan vektor:
1. Jika 
– pasangan eigen matriks A, A 
– nomor tertentu, kalau begitu 
juga merupakan pasangan yang tepat untuk A. Ini berarti bahwa setiap nilai eigen berhubungan dengan jumlah vektor eigen yang tak terhingga, hanya berbeda pada faktor skalar.
2. Biarkan 
– pasangan eigen matriks 
, di mana suatu bilangan real. Kemudian 
– pasangan eigen matriks A. Jadi, menambah matriks ini A matriks diagonal tidak mengubah vektor eigen dan pergeserannya jangkauan matriks asli dengan nomor (ke kiri kapan 
). Spektrum suatu matriks adalah himpunan semua nilai eigennya.
3. Jika 
adalah pasangan eigen dari matriks yang dapat dibalik 
– pasangan matriks yang tepat.
4. Nilai eigen matriks diagonal dan segitiga adalah elemen diagonalnya, karena persamaan karakteristik (1.3) dengan memperhitungkan (1.1) untuk matriks tersebut dapat ditulis sebagai:
.
Persamaan terakhir menunjukkan hal itu matriks riil diagonal dan segitiga hanya mempunyai nilai eigen riil(mulus N dengan mempertimbangkan kemungkinan banyaknya). Realitas nilai eigen juga melekat pada kelas matriks simetris yang sangat penting dalam aplikasi, yang mencakup matriks kovarians dan tensor inersia.
5. Jika 
– pasangan eigen matriks 
, Itu 
– pasangan eigen matriks A Dengan demikian, transformasi kesamaan menjaga spektrum matriks apa pun tidak berubah.
6. Biarkan A– matriks struktur dimensi sederhana 
, dan matriksnya 
Dan 
dibentuk dari nilai eigen dan vektor eigennya masing-masing. Maka kesetaraan itu benar 
. Karena untuk matriks diagonal yang dibentuk dari nilai eigen, vektor eigennya dapat berupa vektor satuan dari basis aslinya ( 
, 
), kemudian, menggunakan properti 5 dan mengambil 
Dan 
(itu. 
), sifat 6 dapat dirumuskan secara berbeda: jika 
adalah pasangan eigen dari matriks tersebut 
terdapat pasangan matriks yang tepat A.
