Dalam rekayasa radio frekuensi statistik, seseorang harus menangani beberapa variabel acak secara bersamaan, misalnya, nilai tegangan sesaat pada keluaran susunan antena ketika masukannya terkena sinyal dan kebisingan, dll. Sifat-sifat suatu sistem yang terdiri dari beberapa SV tidak terbatas pada sifat-sifat satu SV saja, karena hal ini memerlukan uraian tentang hubungan antar komponen sistem SV.

1. Fungsi distribusi sistem dua variabel acak

Fungsi distribusi sistem dua SV

adalah probabilitas terpenuhinya dua pertidaksamaan dan: .

Menurut definisi, fungsi distribusi

ada kemungkinan suatu titik acak dengan koordinat akan jatuh ke dalam persegi dengan dimensi tak terhingga yang terletak di kiri dan di bawah titik ini pada bidang. Secara terpisah untuk setiap SV X Dan Y anda dapat mendefinisikan fungsi distribusi satu dimensi, misalnya ada peluang jatuh ke setengah bidang yang terletak di sebelah kiri titik dengan koordinat X. Ada juga kemungkinan jatuh ke setengah bidang di bawah titik tersebut kamu .

Properti

: merupakan fungsi tak menurun dari kedua argumennya;

2) pada - ¥ sama dengan nol pada kedua sumbu;

3) jika salah satu argumen sama dengan +¥, maka argumen lainnya berubah menjadi fungsi distribusi satu dimensi;

4) jika kedua argumen sama dengan +¥, maka

= 1.

Kemungkinan suatu titik acak jatuh ke dalam persegi R dengan koordinat

sepanjang sumbu X dan sepanjang sumbu kamu sama dengan .

ada untuk SV kontinu dan diskrit.

2. Kepadatan probabilitas dua dimensi

Kepadatan probabilitas dua dimensi adalah limit dari hubungan berikut: X. tidak hanya kontinu, tetapi juga terdiferensiasi, maka kerapatan probabilitas dua dimensi adalah turunan parsial campuran kedua dari fungsi tersebut terhadap kamu .

dan oleh

Dimensi X Dan adalah kebalikan dari hasil kali dimensi SV

Y.

Jadi, rapat peluang dua dimensi adalah batas perbandingan peluang suatu titik jatuh ke dalam persegi panjang kecil dengan luas persegi panjang tersebut ketika kedua dimensi persegi panjang tersebut cenderung nol. Secara geometris

dapat direpresentasikan sebagai suatu permukaan. X 0kamu Jika kita memotong permukaan ini dengan bidang yang sejajar dengan bidang tersebut X 0kamu, dan proyeksikan bagian yang dihasilkan ke bidang

Terkadang lebih mudah untuk mempertimbangkan kelompok kurva dengan kepadatan yang sama pada tingkat penampang yang berbeda. Sedangkan untuk kepadatan probabilitas satu dimensi, konsep elemen probabilitas diperkenalkan di sini

.

Probabilitas suatu titik acak jatuh ke dalam area sembarang G ditentukan oleh integral dua dimensi dari

di daerah ini. Secara geometris, ini adalah volume yang dibatasi oleh luas G .

Jika G ada persegi panjang dengan koordinat titik di sepanjang sumbunya X :

dan , dan sepanjang sumbu kamu: dan , maka peluang suatu titik acak jatuh ke dalam persegi panjang ini ditentukan oleh integral .

Sifat kepadatan probabilitas dua dimensi:

adalah besaran non-negatif;

properti normalisasi mirip dengan kepadatan probabilitas satu dimensi, tetapi dengan integrasi dua dimensi pada batas tak terbatas.

3. Hukum kondisional distribusi SV individu yang termasuk dalam sistem SV

Memiliki hukum distribusi suatu sistem dua SV, selalu dimungkinkan untuk menentukan hukum distribusi masing-masing SV yang termasuk dalam sistem. Misalnya,

Dan . Jika kepadatan probabilitas diketahui, maka .

Didefinisikan dengan cara yang sama

.

Jadi, dengan mengetahui kepadatan probabilitas dua dimensi, selalu mungkin untuk menentukan kepadatan probabilitas satu dimensi. Dalam kasus umum, masalah sebaliknya tidak dapat diselesaikan. Hal ini dapat diselesaikan jika kepadatan probabilitas bersyarat atau fungsi distribusi diketahui.

Hukum distribusi bersyarat suatu SV yang termasuk dalam suatu sistem adalah hukum distribusinya, ditentukan dengan syarat bahwa SV lain telah mengambil nilai tertentu:

. Dalam hal ini, Anda dapat mencari kepadatan probabilitas dua dimensi menggunakan rumus. Dari ungkapan tersebut berikut ini: , .

4. Saling ketergantungan dan independensi statistik

TIDAK X disebut independen dari SV Y, jika hukum distribusi kuantitas X tidak bergantung pada nilai apa yang diambil SV adalah kebalikan dari hasil kali dimensi SV Pada kasus ini

apapun kamu. Perlu dicatat bahwa jika SV X tidak bergantung pada SV Y, lalu SV Y tidak bergantung pada SV X. Untuk SV independen, teorema perkalian hukum distribusi berbentuk: .

Kondisi ini dianggap sebagai perlu dan cukup kondisi kemerdekaan Utara. Ada konsep ketergantungan fungsional dan statistik. Dengan ketergantungan statistik, tidak mungkin untuk menunjukkan dengan tepat nilai yang diambil salah satu SV, jika nilai SV yang lain diketahui, Anda hanya dapat menentukan pengaruh rata-rata. Namun seiring dengan meningkatnya saling ketergantungan, ketergantungan statistik berubah menjadi ketergantungan fungsional.

Sejauh ini, kursus ini telah membahas variabel acak, yang setiap nilainya ditentukan oleh satu angka. Variabel acak seperti itu kadang-kadang disebut satu dimensi.

Selain variabel acak satu dimensi, terdapat variabel acak yang nilainya ditentukan oleh sepasang angka. Variabel acak seperti itu disebut dua dimensi dan ditunjuk. Variabel acak dua dimensi dapat dianggap sebagai sistem dua variabel acak dan , yang masing-masing disebut komponen variabel acak dua dimensi.

Pertama-tama mari kita perhatikan kasus ketika variabel acak dan , yang merupakan variabel acak dua dimensi, adalah diskrit.

Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah daftar nilai yang mungkin dari variabel ini, yaitu pasangan () dan probabilitasnya.

Hukum distribusi ditunjukkan pada Tabel 4.2.1:

Tabel 4.2.1

			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…

Mari kita tuliskan kondisi untuk normalisasi hukum distribusi variabel acak dua dimensi. Mengingat acara yang disediakan; membentuk kelompok lengkap kejadian-kejadian yang tidak kompatibel, kita peroleh bahwa . Dalam praktiknya, ini berarti jumlah probabilitas yang terdapat di semua sel tabel 4.2.1 adalah 1.

Mari kita ajukan masalah penentuan hukum distribusi komponen dan dasar hukum distribusi dua dimensi. Mari kita pertimbangkan probabilitas. Suatu peristiwa dapat direpresentasikan sebagai jumlah peristiwa yang tidak kompatibel... Itu sebabnya:

Artinya sama dengan jumlah elemen-elemen pada baris ke-t yang bersesuaian pada tabel 4.1.

Dengan menggunakan alasan serupa, kita mendapatkan:

Artinya, probabilitasnya sama dengan jumlah elemen kolom ke-j yang bersesuaian pada tabel 1.1

Contoh 4.2.1. Temukan hukum distribusi komponen-komponen variabel acak dua dimensi yang ditentukan oleh hukum distribusi:

Tabel 4.2.2

	0,2	0,3	0,5
	0,3	0,2	0,5
	0,5	0,5

Larutan:

Probabilitas yang menentukan hukum distribusi komponen disajikan pada kolom paling kanan pada Tabel 4.2.2

Hukum distribusi komponen dihitung dengan cara yang sama (intinya pada tabel 4.2.2).

Mari kita definisikan konsep independensi dua variabel acak dan . Sebelumnya, independensi dua variabel acak diartikan sebagai independensi sebaran suatu variabel acak terhadap nilai yang diambil oleh variabel acak lainnya.

Untuk peubah acak bebas diskrit, kejadian dan merupakan kejadian bebas untuk semua kemungkinan nilai dan . Oleh karena itu, dua variabel acak diskrit adalah bebas jika untuk semua kemungkinan nilai dan :

Misalnya, variabel acak dan , hukum distribusinya diberikan pada Tabel 4.2.3, bersifat independen.

Tabel 4.2.3

	0,08	0,12	0,2
	0,24	0,42	0,8
	0,4	0,6

Mari kita pertimbangkan dua variabel acak dan evaluasi tingkat ketergantungan antara variabel acak ini. Ada dua kasus ekstrim: di satu sisi, variabel acak dapat independen, di sisi lain, ketergantungan antara dua variabel acak dapat bersifat fungsional, yaitu nilai dari satu variabel acak dapat digunakan untuk menentukan nilai secara jelas. variabel acak lainnya. Biasanya, untuk variabel acak arbitrer, derajat ketergantungan menempati nilai perantara tertentu di antara kasus-kasus yang terdaftar.

Misalnya, jika adalah nilai yang diterima seorang mahasiswa dalam suatu ujian mata pelajaran tertentu, dan merupakan jumlah perkuliahan yang ia ikuti, maka variabel acak dan . memiliki ketergantungan.

Mari kita ajukan masalah memperkirakan ketergantungan (atau derajat hubungan) dari dua variabel acak dan . Pertimbangkan momen campuran pusat dari dua variabel acak dan :

Ditelepon koefisien kovarians, atau koefisien koneksi, dua variabel acak.

Perhatikan bahwa rumus koefisien kovarians dapat diubah ke bentuk yang lebih sederhana: . Mari kita terapkan koefisien ini untuk mengevaluasi hubungan antara dua variabel acak. Namun, nilainya bergantung pada satuan pengukuran variabel acak dan , dan oleh karena itu tidak dapat digunakan sebagai penilaian terhadap hubungan antara variabel acak dan .

Mari kita pertimbangkan variabel acak standar; , Di mana , , , . Variabel acak ini mewakili deviasi ternormalisasi yang dicatat untuk variabel acak asli.

dan besarannya disebut koefisien korelasi dari sepasang variabel acak.

Contoh 4.2.2. Temukan koefisien korelasi untuk variabel acak yang diberikan pada Tabel 4.2.2.

Larutan:

Mari kita gunakan rumus untuk menghitung koefisien korelasi: . Mengingat distribusi komponen dihitung, kita memperoleh:

Dengan menggunakan koefisien kovarians, kita dapat menulis rumus dispersi jumlah (selisih) variabel acak sembarang dan:

Menuliskan rumus terakhir untuk variabel standar dan dengan memperhatikan bahwa varians suatu variabel acak tidak boleh negatif, maka diperoleh: variabel acak cenderung meningkat. Dalam hal ini, garis lurus yang mendekati hubungan antara dua variabel acak mempunyai kemiringan positif (a > 0).

Pasangan ( X, Y) - Di mana X Dan Y– variabel acak, disebut sistem dua variabel acak. Jika X Dan Y adalah variabel acak diskrit hukum distribusi sistem dua variabel acak (X, Y) adalah himpunan semua pasangan nilai besaran yang mungkin X Dan Y dan probabilitas penampilan bersama mereka. Lebih mudah untuk menetapkan hukum seperti itu dalam bentuk tabel yang disebut tabel distribusi variabel acak dua dimensi(X, Y).

Peristiwa yang terdiri dari fakta bahwa variabel acak X akan mengambil nilai ( Saya = 1, 2, …, N), dan variabel acak Y akan mengambil nilai ( J = 1, 2, …, M), tidak konsisten dan satu-satunya yang mungkin, yaitu. membentuk kelompok lengkap kejadian-kejadian berpasangan yang tidak kompatibel, sehingga jumlah semua probabilitas dalam tabel sama dengan satu: .

Y	X
X 1	X 2	…	xn
kamu 1	P(X 1 , kamu 1)	P(X 2 , kamu 2)	…	P(xn, kamu 1)
…	…	…	…	…
kamu m	P(X 1 , kamu m)	P(X 2 , kamu m)	…	P(xn, kamu m)

Menurut hukum distribusi variabel acak dua dimensi ( X, Y) seseorang dapat menemukan hukum distribusi setiap variabel acak X Dan Y. Untuk menemukan kemungkinannya X mengambil nilainya, kita perlu menjumlahkan probabilitas kolom: . Demikian pula untuk mencari probabilitas itu variabel acak Y mengambil nilainya, kita perlu menjumlahkan probabilitas string: .

Kemungkinan adalah probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai, dan variabel acak Y akan mengambil nilainya. Dengan menggunakan teorema perkalian probabilitas, probabilitas ini dapat ditulis sebagai: . Dari persamaan tersebut kita dapat memperoleh rumus:

, .

Fungsi distribusi sistem dua variabel acak (X, Y) adalah probabilitas terpenuhinya dua pertidaksamaan secara bersama-sama X < X, Y < kamu:

Y dan dihitung dengan rumus:

.

X, ditelepon fungsi regresi Y pada X.

Ekspektasi matematis bersyarat variabel acak diskrit X di adalah angka yang dilambangkan dengan dan dihitung dengan rumus:

.

Berfungsi sebagai fungsi argumen kamu, ditelepon fungsi regresi X pada Y.

Momen korelasi(atau kovarians) variabel acak X Dan Y Ekspektasi matematis dari hasil kali penyimpangan besaran-besaran ini dari ekspektasi matematisnya disebut:

Momen korelasi dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Untuk variabel acak independen X Dan Y .

Untuk variabel acak diskrit X Dan Y momen korelasi sama dengan:

Koefisien korelasi variabel acak X Dan Y disebut besaran tak berdimensi:

,

Di mana , .

Sifat koefisien korelasi

1. Koefisien korelasi mencirikan keeratan dan arah hubungan korelasi.

3. Jika X Dan Y adalah variabel acak independen, maka koefisien korelasinya adalah 0.

4. Jika , maka antar besaran X Dan Y terdapat ketergantungan fungsional yaitu linier. Oleh karena itu koefisien korelasi mengukur keketatan linier hubungan antar besaran X Dan Y.

5. Jika , maka hubungan antar besaran tersebut bersifat langsung (korelasi positif), yaitu. Ketika nilai suatu karakteristik meningkat, nilai karakteristik lainnya meningkat. Jika , maka hubungannya terbalik (korelasi negatif), yaitu. Ketika nilai suatu karakteristik meningkat, nilai karakteristik lainnya menurun.

6. Jika , maka korelasinya sangat lemah;

Jika , maka korelasinya lemah;

Jika

Jika , maka korelasinya sedang;

Jika , maka korelasinya erat atau kuat.

Dua variabel acak dipanggil berkorelasi, jika koefisien korelasinya berbeda dari nol, dan tidak berkorelasi jika sama dengan nol.

Saat mempertimbangkan variabel acak dua dimensi ( X, Y), Di mana X Dan Y– variabel acak dependen, berbagai perkiraan dari satu variabel acak menggunakan variabel lain digunakan. Yang paling penting di antaranya adalah pendekatan linier.

Mari kita bayangkan sebuah variabel acak Y sebagai fungsi linier dari kuantitas X:

,

dimana α dan β adalah parameter yang akan ditentukan. Jika angka a dan b dipilih maka nilainya akan menjadi yang terkecil, maka fungsi numerik ditelepon regresi kuadrat rata-rata linier Y pada X. Menemukan garis lurus seperti itu disebut pendekatan terbaik Y menggunakan metode kuadrat terkecil. Koefisien a disebut koefisien regresi Y pada X. Diketahui bahwa

, .

Persamaannya dengan memperhatikan rumus sebelumnya dapat ditulis sebagai:

.

Demikian pula, Persamaan. ditelepon regresi kuadrat rata-rata linier X pada Y ditulis sebagai:

,

Di mana , .

Tugas. Sistem variabel acak diskrit diberikan dalam tabel:

X
Y

1) momen korelasi;

2) koefisien korelasi;

3) fungsi regresi linier Y pada X;

4) fungsi regresi linier X pada Y.

Larutan. 1) Momen korelasi dicari dengan rumus.

; ;

2) Menurut rumus .

11. Fungsi distribusi sistem dua variabel acak.

Sampai saat ini, kami telah mempertimbangkan variabel acak yang kemungkinan nilainya ditentukan oleh satu angka. Besaran seperti itu disebut satu dimensi. Misalnya, jumlah poin yang dapat diperoleh saat melempar sebuah dadu adalah besaran satu dimensi yang diskrit; jarak dari senjata ke tempat jatuhnya proyektil merupakan variabel acak satu dimensi yang kontinu.

Selain variabel acak satu dimensi, mereka mempelajari besaran yang kemungkinan nilainya ditentukan oleh dua, tiga, ..., n angka. Besaran seperti itu masing-masing disebut dua dimensi, tiga dimensi, ..., n-dimensi. Kami akan menyatakan dengan (X,Y) variabel acak dua dimensi. Masing-masing besaran X dan Y disebut komponen: baik besaran X dan Y, jika dipertimbangkan secara bersamaan, membentuk sistem dua variabel acak.

Demikian pula, besaran berdimensi n dapat dianggap sebagai sistem n acak

jumlah Misalnya, setiap titik pada bidang koordinat XOY dapat dipandang sebagai variabel acak dua dimensi dengan komponen (koordinat) X dan Y; titik mana pun dalam ruang tiga dimensi - seperti

variabel acak tiga dimensi dengan komponen X, Y dan Z. Ada variabel acak multidimensi diskrit (komponen besaran-besaran ini diskrit) dan kontinu (komponen besaran-besaran ini kontinu).

Pertimbangkan variabel acak dua dimensi (X, Y) (tidak ada bedanya apakah diskrit atau kontinu). Misalkan (x,y) adalah pasangan bilangan real. Peluang terjadinya X bernilai lebih kecil dari x, dan pada saat yang sama Y bernilai kurang dari y, dilambangkan dengan F(x,y). Jika x dan y berubah, maka secara umum F(x,y) juga akan berubah, yaitu F(x,y) merupakan fungsi dari x dan y.

Fungsi distribusi variabel acak dua dimensi (X,Y) adalah fungsi F(x,y) yang menentukan untuk setiap pasangan bilangan x, y peluang X akan mengambil nilai kurang dari x, dan pada saat yang sama Y akan mengambil nilai yang kurang dari y: F(x, y) = P(X

Secara geometris persamaan tersebut dapat diartikan sebagai berikut: F(x,y) adalah peluang suatu titik acak (X,Y) akan jatuh ke dalam kuadran tak hingga dengan titik sudut (x, y) terletak di kiri dan di bawah titik tersebut. .

Sifat-sifat fungsi distribusi variabel acak dua dimensi

Properti 1. Nilai fungsi distribusi memenuhi pertidaksamaan ganda 0 ≤ F(x, y) ≤ 1.

Bukti. Sifat tersebut mengikuti definisi fungsi distribusi sebagai probabilitas: probabilitas selalu berupa bilangan non-negatif yang tidak melebihi satu.

Properti 2. F(x,y) adalah fungsi tak menurun untuk setiap argumen, mis.

F(x2 ,y) ≥ F(x1 ,y), jika x2> x1 ;

F(x ,y2) ≥ F(x ,y1) jika y2>y1.

Bukti. Mari kita buktikan bahwa F(x,y) adalah fungsi tak menurun terhadap argumen x. Peristiwa dimana komponen X mengambil nilai kurang dari x2, dan sekaligus komponen Y< y, можно подразделить на следующие два несовместных события:

1) X akan mengambil nilai kurang dari x1, dan pada saat yang sama Y< y с вероятностью P(X< x1,Y

2) X akan mengambil nilai yang memenuhi pertidaksamaan x1 ≤ X< x2 , и при этом Y

Menurut teorema penjumlahan,

P(X< x2, Y

P(X< x2, Y

F(x2 ,y) - F(x1 ,y) = P(x1≤X< x2, Y

Oleh karena itu, probabilitas apa pun adalah bilangan non-negatif

F(x2 ,y) - F(x1 ,y) ≥ 0, atau F(x2 ,y) ≥ F(x1 ,y),

Q.E.D.

Properti ini menjadi jelas jika kita menggunakan interpretasi geometris dari fungsi distribusi sebagai probabilitas suatu titik acak jatuh ke dalam kuadran tak hingga dengan titik sudut (x;y). Dengan bertambahnya x, batas kanan kuadran ini berpindah ke kanan; sementara kemungkinan mengenai

titik acak ke dalam kuadran baru jelas tidak dapat dikurangi. Demikian pula dibuktikan bahwa F(x,y) merupakan fungsi tak menurun terhadap

argumen y.

Properti 3. Ada hubungan yang membatasi:

1) F(-∞ , y) = 0, 2) F(x, -∞) = 0,

3) F(-∞, -∞) = 0, 4) F(∞, ∞) = 1.

Bukti

1) F(-∞ , y) adalah peluang kejadian X< -∞ и Y < y; но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие X < -∞), следовательно, вероятность этого события равна нулю. Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при x→-∞ правая граница бесконечного квадранта неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю.

2) Peristiwa Y< -∞ невозможно, поэтому F(x, -∞) = 0.

3) Peristiwa X< -∞ невозможно, поэтому F(-∞ , -∞) = 0.

4) Peristiwa X< ∞ и Y < ∞ достоверно, следовательно, вероятность этого

kejadian F(∞ , ∞) = 1.

Properti ini menjadi jelas jika kita memperhitungkan bahwa untuk x→∞ dan y→∞ kuadran tak hingga berubah menjadi seluruh bidang xOy dan, oleh karena itu, kemunculan titik acak (X;Y) pada bidang ini adalah peristiwa yang dapat diandalkan .

Properti 4

a) Pada y = ∞, fungsi distribusi sistem menjadi fungsi distribusi komponen X:

F(x, ∞) = F1(x).

b) Pada x = ∞, fungsi distribusi sistem menjadi fungsi distribusi komponen Y:

F(∞, kamu) = F2(kamu).

Bukti.

a) Sejak kejadian Y< ∞ достоверно, то F(x, ∞) определяет вероятность события X < x, т.е. представляет собой функцию распределения составляющей X.

b) Buktinya serupa.