ANGGARAN PENDAPATAN DAN BELANJA NEGARA

LEMBAGA PENDIDIKAN PROFESIONAL

KOTA MOSKOW

"KULIAH POLISI"

Abstrak pada disiplin Matematika

Pada topik: “Bagian kerucut dan penerapannya dalam teknologi”

Dilakukan

Kadet peleton ke-15

Alekseeva A.I.

Guru

Zaitseva O.N.

Moskow

2016

Isi:

Perkenalan

1. Konsep bagian kerucut…………………………………………………5

2. Jenis-jenis penampang kerucut………………………………………...7

3. Penelitian……………………………………………………………..8

4. Sifat-sifat penampang kerucut…. .............................................................9

5. Konstruksi bagian berbentuk kerucut…………………………….10

6. Pendekatan analitis……………………………………………………………14

7. Permohonan…………………………………………………………….16

8. Di seberang kerucut…………………………………………………..17

Daftar literatur bekas

Perkenalan

Bagian berbentuk kerucut pertama kali diusulkan untuk digunakan oleh ahli geometri Yunani kuno Menaechmus, yang hidup pada abad ke-4 SM, ketika memecahkan masalah penggandaan kubus. Tugas ini dikaitkan dengan legenda berikut.

Suatu hari, wabah penyakit terjadi di Pulau Delos. Penduduk pulau itu beralih ke peramal, yang mengatakan bahwa untuk menghentikan epidemi, perlu untuk menggandakan altar emas, yang berbentuk kubus dan terletak di kuil Apollo di Athena. Penduduk pulau membuat altar baru, yang tulang rusuknya dua kali lebih besar dari tulang rusuk sebelumnya. Namun wabah tersebut tidak berhenti. Penduduk yang marah mendengar dari oracle bahwa mereka salah memahami instruksinya - bukan rusuk kubus yang perlu digandakan, tetapi volumenya, yaitu rusuk kubus yang harus digandakan.

Untuk mendapatkan bagian berbentuk kerucut, Menaechmus memotong kerucut - lancip, persegi panjang atau tumpul - dengan bidang yang tegak lurus terhadap salah satu generatrik. Untuk kerucut siku-siku, bagian bidang yang tegak lurus terhadap matriks generatriknya berbentuk elips. Kerucut tumpul menghasilkan hiperbola, dan kerucut persegi panjang menghasilkan parabola.

Dari sinilah muncul nama-nama kurva yang diperkenalkan oleh Apollonius dari Perga yang hidup pada abad ke-3 SM: elips yang artinya cacat, kekurangan (sudut kerucut terhadap garis lurus); hiperbola - berlebihan, superioritas (sudut kerucut terhadap garis lurus); parabola - perkiraan, persamaan (dari sudut kerucut ke sudut siku-siku). Belakangan, orang Yunani menyadari bahwa ketiga kurva dapat diperoleh pada satu kerucut dengan mengubah kemiringan bidang potong. Dalam hal ini, Anda harus mengambil kerucut yang terdiri dari dua rongga dan berpikir bahwa keduanya memanjang hingga tak terhingga (Gbr. 1)

Jika kita menggambar bagian kerucut lingkaran yang tegak lurus sumbunya, lalu memutar bidang potongnya, membiarkan satu titik perpotongannya dengan kerucut tidak bergerak, kita akan melihat bagaimana lingkaran pertama-tama akan meregang, berubah menjadi elips. Kemudian titik sudut kedua elips akan menuju tak terhingga, dan sebagai ganti elips Anda akan mendapatkan parabola, dan kemudian bidang tersebut juga akan memotong rongga kedua kerucut dan Anda akan mendapatkan hiperbola.

Untuk waktu yang lama, bagian berbentuk kerucut tidak diterapkan sampai para astronom dan fisikawan menjadi sangat tertarik padanya. Ternyata garis-garis ini ditemukan di alam (contohnya adalah lintasan benda langit) dan secara grafis menggambarkan banyak proses fisik (hiperbola adalah pemimpinnya di sini: mari kita ingat hukum Ohm dan hukum Boyle-Marriott), belum lagi penerapannya dalam mekanika dan optik. Dalam praktiknya, paling sering dalam bidang teknik dan konstruksi, kita harus berurusan dengan elips dan parabola.

Gambar.1

diagram

Konsep bagian berbentuk kerucut

Bagian kerucut adalah kurva bidang yang diperoleh dengan memotong kerucut lingkaran siku-siku dengan bidang yang tidak melalui titik puncaknya. Dari sudut pandang geometri analitik, bagian kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan orde kedua. Dengan pengecualian kasus degenerasi yang dibahas pada bagian terakhir, bagian berbentuk kerucut adalah elips, hiperbola, atau parabola (Gbr. 2).

Gambar.2

Ketika sebuah segitiga siku-siku diputar pada salah satu kakinya, sisi miring dengan perpanjangannya menggambarkan permukaan kerucut yang disebut permukaan kerucut lingkaran siku-siku, yang dapat dianggap sebagai rangkaian garis kontinu yang melalui titik sudut dan disebut generator, semuanya generator bertumpu pada lingkaran yang sama, disebut memproduksi. Masing-masing generator mewakili sisi miring dari segitiga yang berputar (dalam posisinya yang diketahui), diperpanjang di kedua arah hingga tak terbatas. Jadi, setiap generatrix memanjang di kedua sisi titik, sehingga permukaannya memiliki dua rongga: keduanya bertemu di satu titik di titik yang sama. Jika permukaan tersebut dipotong oleh suatu bidang, maka penampang tersebut akan menghasilkan suatu kurva yang disebut penampang kerucut. Ini bisa terdiri dari tiga jenis:

1) jika sebuah bidang memotong permukaan kerucut di sepanjang semua generatrik, maka hanya satu rongga yang dibedah dan diperoleh kurva tertutup yang disebut elips pada bagian tersebut;

2) jika bidang potong memotong kedua rongga, maka diperoleh kurva yang mempunyai dua cabang dan disebut hiperbola;

3) jika bidang potong sejajar dengan salah satu generatrik, maka diperoleh parabola.

Jika bidang potong sejajar dengan lingkaran pembangkit, maka diperoleh lingkaran, yang dapat dianggap sebagai kasus khusus elips. Sebuah bidang potong dapat memotong permukaan kerucut hanya pada satu titik sudut, kemudian bagian tersebut menghasilkan sebuah titik, sebagai kasus khusus elips.

Jika sebuah bidang yang melalui suatu titik memotong kedua bidang tersebut, maka bagian tersebut menghasilkan sepasang garis yang berpotongan, yang dianggap sebagai kasus khusus hiperbola.

Jika jarak titik puncaknya tak terhingga, maka permukaan kerucut berubah menjadi permukaan silinder, dan bagiannya oleh bidang yang sejajar dengan generator menghasilkan sepasang garis sejajar sebagai kasus khusus parabola. Penampang kerucut dinyatakan dengan persamaan orde 2, yang bentuk umumnya adalah

Kapak 2 +Whoo+C + Dx + Ya + F= 0 dan disebut kurva orde 2.
(bagian berbentuk kerucut)

Jenis berbentuk kerucut bagian .

Bagian berbentuk kerucut dapat terdiri dari tiga jenis:

1) bidang potong memotong semua generatrik kerucut pada titik salah satu rongganya; garis perpotongannya adalah kurva oval tertutup - elips; lingkaran sebagai kasus khusus elips diperoleh jika bidang potong tegak lurus terhadap sumbu kerucut.

2) Bidang potong sejajar dengan salah satu bidang singgung kerucut; pada penampang, hasilnya adalah kurva terbuka hingga tak terhingga - parabola, seluruhnya terletak pada satu rongga.

3) Bidang potong memotong kedua rongga kerucut; garis perpotongan - hiperbola - terdiri dari dua bagian terbuka identik yang memanjang hingga tak terhingga (cabang hiperbola) yang terletak pada kedua rongga kerucut.

(Gbr. 1) parabola (Gbr. 2) elips (Gbr. 3) hiperbola

Belajar

Dalam hal bagian kerucut mempunyai pusat simetri (pusat), yaitu elips atau hiperbola, persamaannya dapat direduksi (dengan memindahkan titik asal koordinat ke pusat) menjadi bentuk:

A 11 X 2 +2xy+a 22 kamu 2 = sebuah 33 .

Studi lebih lanjut tentang bagian kerucut (yang disebut pusat) menunjukkan bahwa persamaannya dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana:

Oh 2 + Wu 2 =C,

jika kita memilih arah utama untuk arah sumbu koordinat - arah sumbu utama (sumbu simetri) bagian kerucut. Jika A dan B mempunyai tanda yang sama (bertepatan dengan tanda C), maka persamaan tersebut mendefinisikan elips; jika A dan B berbeda tanda maka hiperbola.

Ubah persamaan parabola menjadi bentuk (Ah 2 + Wu 2 = C) tidak mungkin. Dengan pemilihan sumbu koordinat yang tepat (satu sumbu koordinat adalah satu-satunya sumbu simetri parabola, sumbu lainnya adalah garis lurus yang tegak lurus melewati titik puncak parabola), persamaannya dapat direduksi menjadi bentuk:

kamu 2 = 2 piksel.

SIFAT-SIFAT BAGIAN KONIK

Definisi Pappus. Menetapkan fokus parabola memberi Pappus ide untuk memberikan definisi alternatif bagian kerucut secara umum. Misalkan F adalah suatu titik tertentu (fokus), dan L adalah suatu garis lurus (direktriks) yang tidak melalui F, dan DF dan DL masing-masing merupakan jarak dari titik bergerak P ke fokus F dan direktriks L. Kemudian, seperti yang ditunjukkan Papp, bagian berbentuk kerucut didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik P dengan rasio DF:DL adalah konstanta non-negatif. Rasio ini disebut eksentrisitas e dari bagian berbentuk kerucut. Kapan e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - hiperbola; ketika e = 1 - parabola. Jika F terletak pada L, maka lokusnya berbentuk garis (nyata atau imajiner), yang merupakan bagian kerucut yang mengalami degenerasi. Simetri yang mencolok dari elips dan hiperbola menunjukkan bahwa masing-masing kurva ini memiliki dua direktriks dan dua fokus, dan keadaan ini mengarahkan Kepler pada tahun 1604 pada gagasan bahwa parabola juga memiliki fokus kedua dan direktriks kedua - sebuah titik di tak terhingga dan lurus. . Dengan cara yang sama, lingkaran dapat dianggap sebagai elips, yang fokusnya berimpit dengan pusat, dan direktriksnya berada di tak terhingga. Eksentrisitas e dalam hal ini adalah nol.

Properti. Sifat-sifat bagian berbentuk kerucut benar-benar tidak ada habisnya, dan salah satunya dapat dianggap sebagai penentu. Tempat penting dalam Koleksi Matematika Pappus, Geometri Descartes (1637) dan Principia Newton (1687) ditempati oleh masalah letak geometris titik-titik relatif terhadap empat garis lurus. Jika empat garis L diberikan pada bidang tersebut 1 , L 2 , L 3 dan L4 (dua di antaranya mungkin berhimpitan) dan titik P sedemikian rupa sehingga merupakan hasil kali jarak dari P ke L 1 dan saya 2 sebanding dengan hasil kali jarak dari P ke L 3 dan saya 4 , maka tempat kedudukan titik P merupakan bagian berbentuk kerucut.

KONSTRUKSI BAGIAN KONIK

Mempelajari bagian kerucut sebagai perpotongan bidang dan kerucut, matematikawan Yunani kuno juga menganggapnya sebagai lintasan titik-titik pada bidang. Ditemukan bahwa elips dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik, jumlah jarak dari dua titik tertentu adalah konstan; parabola - sebagai tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu dan garis lurus tertentu; hiperbola - sebagai tempat kedudukan titik-titik, perbedaan jarak ke dua titik tertentu adalah konstan.

Definisi bagian kerucut sebagai kurva bidang juga menyarankan metode untuk membangunnya menggunakan tali yang diregangkan.

Elips. Jika ujung-ujung benang dengan panjang tertentu diikat di titik F 1 dan F 2 (Gbr. 3), maka kurva yang digambarkan oleh ujung pensil yang meluncur sepanjang benang yang diregangkan rapat berbentuk elips. poin F 1 dan F2 disebut fokus elips, dan segmen V 1 V 2 dan v 1 ay 2 antara titik potong elips dengan sumbu koordinat – sumbu mayor dan sumbu minor. Jika poin F 1 dan F 2 bertepatan, maka elips tersebut berubah menjadi lingkaran (Gbr. 3).

Gambar.3

Hiperbola. Saat membuat hiperbola, titik P, ujung pensil, dipasang pada seutas benang yang meluncur bebas di sepanjang pasak yang dipasang di titik F. 1 dan F 2 , seperti ditunjukkan pada Gambar 4, a, jarak dipilih sehingga segmen PF 2 lebih panjang dari segmen PF 1 dengan nilai tetap kurang dari jarak F 1 F 2 . Dalam hal ini, salah satu ujung benang lewat di bawah pin F 1 , dan kedua ujung benang melewati pin F 2 . (Ujung pensil tidak boleh tergelincir di sepanjang benang, jadi harus diamankan dengan membuat lingkaran kecil pada benang dan memasukkan ujungnya ke dalamnya.) Salah satu cabang hiperbola (PV 1 Q) kita menggambar, memastikan benang tetap kencang sepanjang waktu, dan dengan menarik kedua ujung benang ke bawah melewati titik F 2 , dan ketika titik P berada di bawah segmen F 1 F 2 , pegang benang di kedua ujungnya dan lepaskan dengan hati-hati. Kita menggambar cabang kedua hiperbola dengan terlebih dahulu mengganti pin F 1 dan F 2 (Gbr. 4).

Gambar.4

Cabang-cabang hiperbola mendekati dua garis lurus yang berpotongan antar cabang. Garis-garis ini disebut asimtot hiperbola. Koefisien sudut garis-garis ini sama dengan di mana adalah ruas garis bagi sudut antara asimtot yang tegak lurus ruas F 2 F 1 ; segmen v 1 ay 2 disebut sumbu konjugasi hiperbola, dan segmen V 1 V 2 – sumbu melintangnya. Jadi, asimtotnya adalah diagonal-diagonal persegi panjang yang sisi-sisinya melalui empat titik v 1 ,v 2 , V 1 , V 2 sejajar dengan sumbu. Untuk membuat persegi panjang ini, Anda perlu menentukan lokasi titik v 1 dan v 2 . Jarak keduanya sama, sama dengan titik potong sumbu O. Rumus ini mengasumsikan konstruksi segitiga siku-siku dengan kaki Ov 1 dan V 2 O dan sisi miring F 2 HAI.

Jika asimtot suatu hiperbola saling tegak lurus, maka hiperbola tersebut disebut sama sisi. Dua hiperbola yang mempunyai asimtot yang sama, tetapi sumbu transversal dan sumbu konjugasinya tersusun ulang, disebut saling konjugasi.

Parabola. Fokus elips dan hiperbola diketahui oleh Apollonius, tetapi fokus parabola tampaknya pertama kali ditetapkan oleh Pappus (paruh kedua abad ke-3), yang mendefinisikan kurva ini sebagai kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu (fokus) dan garis lurus tertentu, yang disebut kepala sekolah. Konstruksi parabola menggunakan benang yang dikencangkan, berdasarkan definisi Pappus, diusulkan oleh Isidore dari Miletus (abad VI) (Gbr. 5).

Gambar.5

PENDEKATAN ANALITIK

Klasifikasi aljabar. Dalam istilah aljabar, bagian kerucut dapat didefinisikan sebagai kurva bidang yang koordinatnya dalam sistem koordinat Kartesius memenuhi persamaan derajat kedua. Dengan kata lain, persamaan semua penampang kerucut dapat ditulis dalam bentuk umum dimana tidak semua koefisien A, B dan C sama dengan nol. Dengan menggunakan translasi paralel dan rotasi sumbu, persamaan (1) dapat direduksi menjadi bentuk

kapak 2 + oleh 2 + c = 0

atau

piksel 2 +q kamu = 0.

Persamaan pertama diperoleh dari persamaan (1) untuk B2 > AC, persamaan kedua - untuk B 2 = AC. Bagian berbentuk kerucut yang persamaannya direduksi menjadi bentuk pertama disebut pusat. Bagian berbentuk kerucut yang ditentukan oleh persamaan tipe kedua dengan q > 0 disebut non-pusat. Dalam dua kategori ini, ada sembilan jenis penampang kerucut yang berbeda bergantung pada tanda koefisiennya.

1) Jika koefisien a, b, dan c bertanda sama, maka tidak ada titik real yang koordinatnya memenuhi persamaan tersebut. Bagian berbentuk kerucut tersebut disebut elips imajiner (atau lingkaran imajiner jika a = b).

2) Jika a dan b bertanda sama, dan c bertanda berlawanan, maka bagian kerucut tersebut adalah elips; ketika a = b - lingkaran.

3) Jika a dan b mempunyai tanda yang berbeda, maka bagian kerucut tersebut adalah hiperbola.

4) Jika a dan b berbeda tanda dan c = 0, maka bagian kerucut tersebut terdiri dari dua garis yang berpotongan.

5) Jika a dan b bertanda sama dan c = 0, maka hanya ada satu titik nyata pada kurva yang memenuhi persamaan, dan bagian kerucutnya adalah dua garis imajiner yang berpotongan. Dalam hal ini, kita juga berbicara tentang elips yang menghadap suatu titik atau, jika a = b, sebuah lingkaran yang menghadap suatu titik.

6) Jika a atau b sama dengan nol, dan koefisien lainnya berbeda tanda, maka penampang kerucut terdiri dari dua garis sejajar.

7) Jika a atau b sama dengan nol, dan koefisien-koefisien lainnya bertanda sama, maka tidak ada satu titik real pun yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam hal ini dikatakan bahwa bagian berbentuk kerucut terdiri dari dua garis imajiner sejajar.

8) Jika c = 0, dan a atau b juga nol, maka bagian kerucut terdiri dari dua garis nyata yang berhimpitan. (Persamaan tersebut tidak menentukan bagian kerucut apa pun untuk a = b = 0, karena dalam kasus ini persamaan awal (1) bukan derajat kedua.)

9) Persamaan tipe kedua mendefinisikan parabola jika p dan q berbeda dari nol. Jika p > 0 dan q = 0, kita memperoleh kurva dari langkah 8. Jika p = 0, maka persamaan tersebut tidak menentukan bagian kerucut apa pun, karena persamaan awal (1) bukan derajat kedua.

Aplikasi

Bagian berbentuk kerucut banyak ditemukan di alam dan teknologi. Misalnya, orbit planet-planet yang mengelilingi Matahari berbentuk seperti elips. Lingkaran adalah kasus khusus elips yang sumbu mayornya sama dengan sumbu minornya. Cermin parabola mempunyai sifat semua sinar datang yang sejajar sumbunya berkumpul pada satu titik (fokus). Ini digunakan di sebagian besar teleskop pemantul yang menggunakan cermin parabola, serta antena radar dan mikrofon khusus dengan reflektor parabola. Seberkas sinar sejajar memancar dari sumber cahaya yang ditempatkan pada fokus reflektor parabola. Itu sebabnya cermin parabola digunakan pada lampu sorot berdaya tinggi dan lampu depan mobil. Hiperbola adalah grafik dari banyak hubungan fisik yang penting, seperti hukum Boyle (menghubungkan tekanan dan volume gas ideal) dan hukum Ohm, yang mendefinisikan arus listrik sebagai fungsi hambatan pada tegangan konstan.

Semua benda di Tata Surya bergerak mengelilingi Matahari dalam bentuk elips. Benda-benda langit yang memasuki Tata Surya dari sistem bintang lain bergerak mengelilingi Matahari dalam orbit hiperbolik dan, jika pergerakannya tidak dipengaruhi secara signifikan oleh planet-planet Tata Surya, benda-benda tersebut akan keluar dalam orbit yang sama. Satelit buatannya dan satelit alaminya, Bulan, bergerak dalam bentuk elips mengelilingi Bumi, dan pesawat ruang angkasa yang diluncurkan ke planet lain bergerak setelah mesin selesai beroperasi sepanjang parabola atau hiperbola (tergantung kecepatan) hingga gravitasi planet lain atau Matahari. menjadi sebanding dengan gravitasi (Gbr. 3).

Di seberang kerucut

Elips dan kasus khususnya - lingkaran, parabola, dan hiperbola mudah diperoleh secara eksperimental. Misalnya, es krim cone akan sangat cocok untuk peran cone. Gambarkan secara mental salah satu generatricesnya dan potong tanduknya pada sudut yang berbeda. Tugasnya adalah melakukan hanya empat kali percobaan dan mendapatkan semua kemungkinan bagian berbentuk kerucut pada irisan. Eksperimen dengan senter bahkan lebih mudah lagi: bergantung pada posisinya di ruang, kerucut cahaya akan menghasilkan bintik-bintik dengan bentuk berbeda di dinding ruangan. Batas setiap titik adalah salah satu bagian berbentuk kerucut. Dengan memutar senter pada bidang vertikal, Anda akan melihat bagaimana satu kurva menggantikan kurva lainnya: lingkaran direntangkan menjadi elips, kemudian berubah menjadi parabola, dan selanjutnya menjadi hiperbola.

Seorang ahli matematika memecahkan masalah yang sama secara teoritis dengan membandingkan dua sudut: α - antara sumbu kerucut dan generatrix dan β - antara bidang potong dan sumbu kerucut. Dan inilah hasilnya: untuk α< β в сечении получится эллипс или окружность, при α = β - парабола, а при α >β adalah cabang dari hiperbola. Jika kita menganggap generator sebagai garis lurus dan bukan segmen, yaitu menganggap bangun datar simetris tak terbatas dari dua kerucut dengan titik sudut yang sama, akan menjadi jelas bahwa elips adalah kurva tertutup, parabola terdiri dari satu cabang tak terbatas, dan hiperbola terdiri dari dua.

Bagian kerucut yang paling sederhana - lingkaran - dapat digambar menggunakan benang dan paku. Cukup dengan mengikat salah satu ujung benang ke paku yang menempel di kertas, dan ujung lainnya ke pensil dan menariknya dengan kencang. Setelah membuat putaran penuh, pensil akan membuat garis besar lingkaran. Atau Anda dapat menggunakan kompas: dengan mengubah solusinya, Anda dapat dengan mudah menggambar seluruh lingkaran.

DAFTAR REFERENSI YANG DIGUNAKAN

1.Vereshchagin N.K., A.Shen. Kuliah tentang logika matematika dan teori algoritma. 1999

2. Prasolov V.V.. Geometri Lobachevsky 2004

4. Prasolov V.V.. Geometri Lobachevsky 2004

Institusi Pendidikan Kota

Sekolah Menengah No.4

Lengkap

Spiridonov Anton

siswa kelas 11A

Diperiksa

Korobeynikova A.T.

Tobolsk - 2006

Perkenalan

Konsep bagian berbentuk kerucut

Jenis bagian berbentuk kerucut

Belajar

Konstruksi bagian berbentuk kerucut

Pendekatan analitis

Aplikasi

Bibliografi

Perkenalan.

Tujuan: mempelajari bagian kerucut.

Tujuan: belajar membedakan jenis penampang kerucut, menyusun penampang kinetik, dan menerapkan pendekatan analitis.

Proporsi yang diberikan dapat dianggap sebagai sistem persamaan:

Tapi x 2 =ay dan y 2 =2ax adalah persamaan parabola. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah tersebut, kita harus mencari titik potongnya. Jika kita memperhitungkan bahwa persamaan hiperbola xy=2a 2 juga dapat diperoleh dari sistem, maka masalah yang sama dapat diselesaikan dengan mencari titik potong parabola dan hiperbola.

Dari sinilah muncul nama-nama kurva yang diperkenalkan oleh Apollonius dari Perga yang hidup pada abad ke-3 SM: elips (έλλείψίς) yang artinya cacat, kekurangan (sudut kerucut terhadap garis lurus) ; hiperbola (ύπέρβωλη) - berlebihan, lebih dominan (sudut kerucut pada garis lurus); parabola (παραβολη) - perkiraan, persamaan (sudut kerucut ke sudut siku-siku). Belakangan, orang Yunani menyadari bahwa ketiga kurva dapat diperoleh pada satu kerucut dengan mengubah kemiringan bidang potong. Dalam hal ini, Anda harus mengambil kerucut yang terdiri dari dua rongga dan berpikir bahwa keduanya memanjang hingga tak terhingga (Gbr. 1).

dan disebut kurva orde ke-2.

Jenis bagian berbentuk kerucut.

Bagian berbentuk kerucut dapat terdiri dari tiga jenis:

2) Bidang potong sejajar dengan salah satu bidang singgung kerucut; pada penampang, hasilnya adalah kurva terbuka hingga tak terhingga - parabola, seluruhnya terletak pada satu rongga.

Belajar.

Dalam hal bagian kerucut mempunyai pusat simetri (pusat), yaitu elips atau hiperbola, persamaannya dapat direduksi (dengan memindahkan titik asal koordinat ke pusat) menjadi bentuk:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Studi lebih lanjut tentang bagian kerucut (yang disebut pusat) menunjukkan bahwa persamaannya dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana:

Kapak 2 + Wu 2 = C,

Persamaan parabola tidak dapat direduksi menjadi bentuk (Ax 2 + By 2 = C). Dengan pemilihan sumbu koordinat yang tepat (satu sumbu koordinat adalah satu-satunya sumbu simetri parabola, sumbu lainnya adalah garis lurus yang tegak lurus melewati titik puncak parabola), persamaannya dapat direduksi menjadi bentuk:

KONSTRUKSI BAGIAN KONIK.

Definisi bagian kerucut sebagai kurva bidang juga menyarankan metode untuk membangunnya menggunakan tali yang diregangkan.

Elips. Jika ujung-ujung seutas benang dengan panjang tertentu dipasang pada suatu titik F 1 dan F 2 (Gbr. 3), maka kurva yang digambarkan oleh ujung pensil yang meluncur sepanjang benang yang diregangkan rapat berbentuk elips. Poin F 1 dan F 2 disebut fokus elips, dan segmen V 1 V 2 dan ay 1 ay 2 antara titik potong elips dengan sumbu koordinat – sumbu mayor dan sumbu minor. Jika poin F 1 dan F 2 bertepatan, maka elips berubah menjadi lingkaran (Gbr. 3).

Hiperbola. Saat membuat hiperbola, intinya P, ujung pensil, dipasang pada seutas benang yang meluncur bebas di sepanjang pasak yang dipasang pada titik-titik tersebut F 1 dan F 2, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4, a, jarak dipilih sehingga segmen tersebut hal 2 lebih panjang dari segmennya hal 1 dengan nilai tetap kurang dari jarak F 1 F 2. Dalam hal ini, salah satu ujung benang lewat di bawah pasak F 1, dan kedua ujung benang melewati pasak F 2. (Ujung pensil tidak boleh tergelincir di sepanjang benang, sehingga harus diamankan dengan membuat lingkaran kecil pada benang dan memasukkan ujungnya ke dalamnya.) Salah satu cabang hiperbola ( PV 1 Q) kita menggambar, memastikan bahwa benang tetap kencang sepanjang waktu, dan dengan menarik kedua ujung benang ke bawah melewati titik tersebut F 2 dan kapan titiknya P akan berada di bawah segmen tersebut F 1 F 2, pegang benang di kedua ujungnya dan lepaskan dengan hati-hati. Kita menggambar cabang kedua hiperbola dengan terlebih dahulu mengubah pasaknya F 1 dan F 2 (Gbr. 4).

Cabang-cabang hiperbola mendekati dua garis lurus yang berpotongan antar cabang. Garis-garis ini, disebut asimtot hiperbola, dibangun seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4,b. Sudut

koefisien garis-garis ini sama dengan di mana adalah ruas garis bagi sudut antara asimtot yang tegak lurus ruas tersebut F 2 F 1 ; segmen garis ay 1 ay 2 disebut sumbu konjugasi hiperbola, dan segmen V 1 V 2 - sumbu melintangnya. Jadi, asimtotnya adalah diagonal-diagonal persegi panjang yang sisi-sisinya melalui empat titik ay 1 , ay 2 , V 1 , V 2 sejajar dengan sumbu. Untuk membuat persegi panjang ini, Anda perlu menentukan lokasi titik-titiknya ay 1 dan ay 2. Mereka berada pada jarak yang sama, setara

dari titik perpotongan sumbu HAI. Rumus ini melibatkan konstruksi segitiga siku-siku dengan kaki Ov 1 dan V 2 HAI dan sisi miring F 2 HAI.

Jika asimtot suatu hiperbola saling tegak lurus, maka disebut hiperbola sama sisi. Dua hiperbola yang mempunyai asimtot yang sama, tetapi sumbu transversal dan konjugasinya disusun ulang, disebut saling berkonjugasi.

Parabola. Trik elips dan hiperbola diketahui Apollonius, tapi fokus parabola, rupanya, pertama kali ditetapkan oleh Pappus (paruh kedua abad ke-3), yang mendefinisikan kurva ini sebagai tempat kedudukan geometri titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu (fokus) dan suatu garis lurus tertentu, yang disebut kepala sekolah. Konstruksi parabola menggunakan benang yang dikencangkan, berdasarkan definisi Pappus, diusulkan oleh Isidore dari Miletus (abad VI) (Gbr. 5).

Mari kita posisikan penggaris sehingga ujungnya bertepatan dengan direktriks, dan tempelkan kaki ke tepi ini AC menggambar segitiga ABC. Kami kencangkan salah satu ujung utas dengan panjangnya AB di atas B segitiga dan satu lagi di titik fokus parabola F. Dengan menggunakan ujung pensil untuk meregangkan benang, tekan ujungnya pada titik yang bervariasi P ke kaki bebas AB menggambar segitiga. Saat segitiga bergerak sepanjang penggaris, titiknya P akan menggambarkan busur parabola dengan fokus F dan directrix, karena panjang total thread adalah AB, seutas benang berdekatan dengan kaki bebas segitiga, dan oleh karena itu, sisa benang hal harus sama dengan bagian kaki yang tersisa AB, itu adalah PA. Titik persimpangan V parabola yang mempunyai sumbu disebut titik puncak parabola, garis lurus melewati F Dan V, - sumbu parabola. Jika suatu garis lurus ditarik melalui titik fokus dan tegak lurus terhadap sumbunya, maka ruas garis lurus tersebut yang dipotong oleh parabola disebut parameter fokus. Untuk elips dan hiperbola, parameter fokus ditentukan dengan cara yang sama.

PENDEKATAN ANALITIK

dimana tidak semua koefisien A, B dan C sama dengan nol. Dengan menggunakan translasi paralel dan rotasi sumbu, persamaan (1) dapat direduksi menjadi bentuk

kapak 2 + kali 2 + c = 0

Persamaan pertama diperoleh dari persamaan (1) untuk B 2 > AC, persamaan kedua - untuk B 2 = AC. Bagian berbentuk kerucut yang persamaannya direduksi menjadi bentuk pertama disebut pusat. Bagian berbentuk kerucut yang ditentukan oleh persamaan tipe kedua dengan q > 0 disebut non-pusat. Dalam dua kategori ini, ada sembilan jenis penampang kerucut yang berbeda bergantung pada tanda koefisiennya.

2) Jika a dan b bertanda sama, dan c bertanda berlawanan, maka bagian kerucut tersebut adalah elips; ketika a = b - lingkaran.

3) Jika a dan b mempunyai tanda yang berbeda, maka bagian kerucut tersebut adalah hiperbola.

4) Jika a dan b berbeda tanda dan c = 0, maka bagian kerucut tersebut terdiri dari dua garis yang berpotongan.

6) Jika a atau b sama dengan nol, dan koefisien lainnya berbeda tanda, maka penampang kerucut terdiri dari dua garis sejajar.

Aplikasi

Bibliografi.

1. Alekseev. Teorema Abel dalam masalah dan solusi. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P.. Buku teks untuk mahasiswa tahun pertama fakultas fisika dan matematika lembaga pedagogi. Moskow "pencerahan" 1974

3. Vereshchagin N.K., A. Shen. Kuliah tentang logika matematika dan teori algoritma. 1999

4. Gelfand I.M. Kuliah tentang aljabar linier. 1998.

5. Gladky A.V. Pengantar logika modern. 2001

6. SAYA Kazaryan. Mata kuliah geometri diferensial (2001-2002).

7. Prasolov V.V.. Geometri Lobachevsky 2004

8. Prasolov V.V.. Masalah dalam planimetri 2001

9. Sheinman O.K.. Dasar-dasar teori representasi. 2004

(cm.) (panduannya berupa lingkaran) oleh bidang-bidang yang tidak melalui titik puncaknya.
Jika bidang potong tidak sejajar dengan salah satu generatrik permukaan kerucut, maka bagian kerucut tersebut adalah elips, khususnya lingkaran (Gbr. 107). Jika bidang potong hanya sejajar dengan salah satu generatrik permukaan kerucut, maka bagian kerucut tersebut adalah parabola (Gbr. 108). Jika bidang garis potong sejajar dengan dua generatrik permukaan kerucut, maka bagian kerucut tersebut adalah hiperbola (Gbr. 109).
Dalam kasus elips dan parabola, bidang potong hanya memotong satu rongga permukaan kerucut, dan dalam kasus hiperbola, bidang potong memotong kedua rongga permukaan kerucut.
Bagian berbentuk kerucut disebut juga kurva orde ke-2. Bagian kerucut telah dipelajari oleh ahli matematika Yunani kuno (misalnya, Menaechmus pada abad ke-4 SM memecahkan masalah (lihat) penggunaan bagian kerucut). Studi paling lengkap tentang bagian kerucut dilakukan oleh Apollonius dari Perga (abad III SM).

Bagian berbentuk kerucut digunakan dalam teknologi, misalnya pada roda gigi elips, pada instalasi lampu sorot (cermin parabola), dll. Planet-planet di tata surya bergerak dalam bentuk elips, komet bergerak dalam bentuk parabola dan hiperbola.
Studi tentang bagian kerucut menggunakan bola yang tertulis pada permukaan kerucut dilakukan oleh ahli geometri Belgia J. Dandelin (abad ke-19).

Persamaan penampang kerucut pada koordinat kutub berbentuk:

dimana r adalah vektor radius fokus (Gbr. 110, F adalah fokus kanan bagian kerucut);

p - parameter fokus;
e - eksentrisitas;
φ - sudut kutub.

Jika e 1, maka persamaan ini menentukan (lihat); dalam hal ini, untuk sudut φ yang bervariasi dari φ 0 hingga 2π - φ 0 (di mana 2 φ 0 adalah sudut antara asimtot tan φ 0 =b/a), kita memperoleh cabang kanan hiperbola, dan untuk sudut φ yang bervariasi dari - φ 0 hingga φ 0, kita mendapatkan cabang kiri hiperbola.

Nama bagian kerucut (elips, parabola, dan hiperbola) dijelaskan oleh para ahli geometri kuno melalui metode penyelesaian masalah yang bermuara pada penyelesaian persamaan linier atau kuadrat - metode penerapan luas, atau metode parabola, yang disebut juga dengan metode parabola. metode aljabar geometri.

Misalkan AB = 2a - diameter elips (Gbr. 111), AE = 2p, CF - tegak lurus AB; maka luas persegi panjang yang dibuat pada CD akan sama dengan luas persegi panjang (AF):

Dengan memasukkan AC=x, CB=2a - x, CD=y, kita peroleh:

Demikian pula untuk hiperbola kita akan mendapatkan:

Dalam kasus elips, rumusnya mengandung tanda minus, yaitu luas persegi panjang (CE) digunakan dengan kerugian (Yunani ελλειψιζ - kerugian). Dalam kasus hiperbola, rumusnya mengandung tanda tambah, yaitu luas persegi panjang (CE) digunakan berlebih (Yunani υπερβολη - kelebihan, kelebihan).
Jika ada persamaan sederhana antara luas persegi dan luas persegi panjang (CE) (tidak ada minus atau plus dalam rumus - tidak ada kelebihan atau kekurangan), yaitu y² = 2pх, maka kurvanya (bagian berbentuk kerucut) disebut parabola (παραβολη - luas lampiran, pemerataan).

Kementerian Pendidikan Federasi Rusia

Universitas Pedagogi Negeri Kaluga

Mereka. K.E. Tsiolkovsky

"Bagian berbentuk kerucut"

1. Karya Apollonius

2. “Bagian kerucut” oleh Apollonius.

2.1 Penurunan persamaan kurva untuk bagian kerucut revolusi berbentuk persegi panjang

2.2 Penurunan persamaan parabola

2.3 Penurunan persamaan elips dan hiperbola

2.4 Invariansi bagian berbentuk kerucut

2.5 Studi lebih lanjut tentang bagian kerucut dalam karya Apollonius

2.6 Perkembangan lebih lanjut dari teori bagian kerucut

3. Kesimpulan

4. Referensi

Karya Apollonius

Apollonius lahir di Pergae di Asia Kecil. Masa kejayaan aktivitasnya jatuh sekitar tahun 210. SM. Saat ini dia tinggal di Alexandria, di mana dia pindah saat masih muda dan belajar di bawah bimbingan ahli matematika dari sekolah Euclid. Apollonius menjadi terkenal sebagai ahli geometri dan astronom. Dia meninggal sekitar tahun 170. SM e.

Dalam matematika, Apollonius terkenal karena Bagian Kerucutnya, di mana ia memberikan penjelasan lengkap tentang teori tersebut, dan mengembangkan metode analitis dan proyektif. Apollonius menulis sebuah risalah “On Insertions”, yang ditujukan untuk klasifikasi masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan sisipan. Permasalahan seperti itu mungkin dapat diselesaikan dengan kompas dan penggaris (masalah bidang), dengan bantuan bagian berbentuk kerucut (masalah padat) dan dengan bantuan kurva lainnya (linier). Mengidentifikasi kelas mana yang termasuk dalam suatu masalah dapat menandai awal dari klasifikasi aljabarnya. Ketertarikan Apollonius pada masalah aljabar juga terwujud dalam karyanya yang lain, “On Disordered Irrationalities,” di mana ia melanjutkan klasifikasi Euclid.

Karya-karya Apollonius yang murni geometris adalah: karya “On Spiral Lines”, di mana ia menganggap spiral pada permukaan silinder, “On Touch”, di mana masalah terkenal Apollonius dianalisis: “Diberikan tiga hal, yang masing-masingnya dapat berupa titik, garis lurus, atau lingkaran; kita perlu menggambar sebuah lingkaran yang melalui setiap titik tertentu dan menyentuh setiap garis atau lingkaran tertentu.”

Dari karya “On Plane Geometric Places” kita dapat menyimpulkan bahwa Apollonius mempertimbangkan transformasi sebuah bidang menjadi dirinya sendiri, yang mengubah garis lurus dan lingkaran menjadi garis lurus dan lingkaran. Kasus khusus dari transformasi ini adalah transformasi kemiripan dan inversi suatu titik tertentu.

Beberapa karya Apollonius hilang dan tidak bertahan hingga saat ini.

"Bagian kerucut" oleh Apollonius

Bagian Kerucut terdiri dari delapan buku. Empat yang pertama, menurut penulis, menguraikan unsur-unsur teori, telah sampai kepada kita dalam bahasa Yunani, tiga berikutnya dalam terjemahan bahasa Arab dari Thabit ibn Korra, yang terakhir - buku kedelapan - hilang. Ada rekonstruksi teksnya, milik astronom Inggris E. Halley (abad XVIII).

Kurva orde kedua pertama kali dipertimbangkan sehubungan dengan masalah penggandaan kubus; Menaechmus menyajikannya sebagai bagian datar dari kerucut revolusi yang berbentuk persegi panjang, bersudut tumpul, dan bersudut lancip. Representasi stereometrik ini menjamin keberadaan dan kesinambungan kurva yang dimaksud. Kemudian Menaechmus melanjutkan ke penurunan sifat dasar planimetri bagian tersebut, yang oleh orang dahulu disebut gejala (persamaan kurva).

Penurunan persamaan kurva untuk bagian kerucut revolusi persegi panjang

Misalkan OAB adalah bagian kerucut ini oleh sebuah bidang yang melalui sumbu OL, dan misalkan PLK adalah jejak bidang yang tegak lurus terhadap generatrix kerucut tersebut (Gbr. 1). Maka KM 2 = AK KB, karena AMB berbentuk setengah lingkaran. Tetapi AK=PP′=√2LP 2, dan KB=√2KP 2, jadi KM 2 =2LP KP.

Beras. 1

Mari kita nyatakan KM dengan y, KP dengan p, maka kita peroleh

Ini adalah persamaan, atau gejala, suatu kurva, yang ditulis dengan menggunakan simbol alfabet, dan orang dahulu menuliskannya dalam bentuk verbal-geometris: persegi pada setengah tali KM di setiap titik sama dengan persegi panjang PKSR, yang dibangun di atas ruas PK dari sumbu ke titik (x) dan pada ruas konstan PR (Gbr. 2).

Beras. 2

Demikian pula, persamaan diturunkan untuk bagian kerucut siku-siku dan siku-siku tumpul, yaitu. elips dan hiperbola:

= dan =, (2)

dimana 2a adalah sumbu mayor elips atau sumbu real hiperbola,

dan p konstan.

Jika р=а, persamaan (2) berbentuk

y 2 =x(2a-x) dan y 2 =x(2a+x) (3)

persamaan pertama adalah persamaan lingkaran berjari-jari a, dan persamaan kedua adalah persamaan hiperbola sama sisi. Elips dan hiperbola (2) dapat diperoleh dari lingkaran dan hiperbola (3) dengan cara kompresi terhadap sumbu absis dengan perbandingan √p/a.

Apollonius pertama-tama memberikan definisi yang lebih umum. Pertama, dia mengambil kerucut melingkar yang berubah-ubah; kedua, ia memeriksa kedua rongganya (yang memberinya kesempatan untuk mempelajari kedua cabang hiperbola); akhirnya, dia menggambar bagian dengan bidang yang terletak di sembarang sudut terhadap generatrix.

Dalam bahasa geometri analitik yang biasa, kita dapat mengatakan bahwa sebelum Apollonius, bagian kerucut dianggap dalam kaitannya dengan sistem koordinat persegi panjang, dengan salah satu sumbu bertepatan dengan diameter utama, dan sumbu kedua tegak lurus melalui titik sudut. melengkung; Apollonius menghubungkan kurva dengan diameter garis singgung apa pun yang ditarik pada salah satu ujungnya, mis. ke beberapa sistem koordinat miring.

Setelah definisi stereometrik, Apollonius juga memberikan penurunan gejala – persamaan kurva. Pada saat yang sama, ia mengklasifikasikan kurva yang dihasilkan menurut jenis persamaan yang mendefinisikannya, yaitu. Dasarnya adalah sudut pandang yang merupakan ciri geometri analitik.

Penurunan persamaan parabola

Misalkan BAC adalah penampang kerucut lingkaran oleh bidang yang melalui sumbunya (Gbr. 3), dan gambarkan bidang GHD sehingga DE tegak lurus BC, dan GH sejajar dengan AB (GH dapat dipilih menjadi sejajar dengan AC). Mari kita cari persamaan kurva DGE yang diperoleh pada bagian tersebut.

Beras. 3

Misalkan K adalah titik sembarang pada kurva ini. Mari kita gambar KL sejajar DE dan MN sejajar BC. Bidang yang melewati KL dan MN akan sejajar dengan bidang alas dan seperti yang telah dibuktikan Apollonius sebelumnya, akan memotong kerucut membentuk lingkaran. Oleh karena itu KL 2 =ML LN.

Ruas GL adalah jarak variabel proyeksi titik D dari titik sudut, syaratnya tetap. Apollonius memilih segmen GF sedemikian rupa

Kemudian KL 2 =GF LG. Inilah gejalanya – persamaan penampang.

Jika kita menyatakan KL=y, LG=x, GF=2p, maka kita mendapatkan persamaan dalam bentuk biasa: y 2 =2px.

Di Apollonius, persamaannya juga ditulis secara lisan - dalam bahasa Yunani: jika GH adalah salah satu diameter parabola, dan KL adalah konjugat semichord dengan diameter ini, maka Apollonius menempatkan GR = 2p tegak lurus GH. Kemudian dinyatakan bahwa pada setiap titik persegi yang dibangun pada LK (Gbr. 4) harus sama dengan persegi panjang GRSL, yaitu. GL GR.

Nama “parabola” berasal dari nama Apollonius παραβολή (aplikasi), karena masalah membangun titik pada kurva ini direduksi menjadi masalah aplikasi (sebelum Apollonius, parabola disebut bagian kerucut revolusi persegi panjang).

Beras. 4

Penurunan persamaan elips dan hiperbola

Demikian pula Apollonius memperoleh persamaan elips dan hiperbola.

Jadi untuk elips dibuktikan LK 2 = pl. GLL′G′ (Gbr. 5), dengan GH=2a adalah diameter tertentu dari elips, LK adalah konjugat semikordnya, GR=2p adalah konstanta, dan GR tegak lurus terhadap GH. Untuk beralih ke bentuk notasi yang lebih familiar, perhatikan itu

Beras. 5

Jadi, masalah membangun titik-titik elips direduksi menjadi masalah penerapan dengan kerugian (“masalah elips”), yang menjelaskan nama “elips” (έλλειψις - kerugian). Nama ini diperkenalkan oleh Apollonius; sebelum dia, elips disebut bagian kerucut revolusi yang bersudut lancip.

Demikian pula untuk hiperbola (Gbr. 6) kita memperoleh persamaannya

LK 2 = persegi GLL′G′, yaitu. , atau.

Akibatnya, masalah membangun titik-titik hiperbola direduksi menjadi masalah penerapan dengan kelebihan (“masalah hiperbolik”), yang menjelaskan nama “hiperbola” (ύπερβολή - kelebihan). Nama ini juga diperkenalkan oleh Apollonius; sebelum dia, hiperbola disebut bagian kerucut revolusi yang tumpul.

Segmen yang dibangun GR=2p, diletakkan tegak lurus dengan diameter GH, disebut “sisi lurus” oleh Apollonius.

Beras. 6

Saat ini, nilai p disebut parameter bagian kanonik (dalam kasus elips dan hiperbola dengan sumbu semi a dan b, p=b 2 /a, dan faktor kompresi √p/a, mengubah lingkaran atau hiperbola sama sisi menjadi elips atau hiperbola tertentu, sama dengan b/a) .

Klasifikasi bagian kerucut yang dilakukan Apollonius pada dasarnya bersifat aljabar.

Invarian bagian berbentuk kerucut

Apollonius memahami dengan baik (dan ini membawanya lebih dekat ke ahli geometri Zaman Baru) bahwa klasifikasi seperti itu sah hanya jika bentuk persamaan tidak berubah ketika kurva ditetapkan ke diameter lain dan tali busur konjugasinya.

Di buku pertama dia mengeksplorasi masalah ini. Untuk melakukan ini, perlu untuk menentukan arah tali busur yang dihubungkan dengan diameter berapa pun. Dengan penentuan stereometri, arah konjugasi diperoleh secara otomatis. Namun, untuk memecahkan masalah yang diajukan oleh Apollonius, diperlukan definisi yang tidak bergantung pada stereometri. Apollonius melakukan ini: ia membuktikan bahwa garis yang ditarik melalui titik A pada bagian kanonik yang sejajar dengan arah tali busur yang berkonjugasi dengan diameter yang melewati A adalah garis singgung. Setelah itu, ia membuat garis singgung parabola, elips, lingkaran, dan hiperbola.

Misalkan P adalah suatu titik pada parabola dan AA′ adalah salah satu diameternya (Gbr. 7). Apollonius membuktikan bahwa garis singgung PR akan memotong ruas AR=AQ dari perpanjangan diameter jika PL adalah tali busur yang terkonjugasi dengan AA′. Untuk hiperbola, elips, dan lingkaran, diperoleh relasinya (Gbr. 8, untuk elips)

Beras. 7

RA:RA′=QA:QA′.

Apollonius kemudian mentransformasikan persamaan elips dan hiperbola sehingga titik asal koordinat berada di pusat kurva, dan persamaan parabola sehingga titik asal koordinat berimpit dengan titik sudut kurva tersebut.

Jadi, di sini sumbu koordinatnya adalah dua diameter konjugasi. Setelah itu, ia menunjukkan bahwa bentuk persamaan tidak berubah jika salah satu diameter kurva dan garis singgung yang ditarik pada salah satu ujungnya diambil sebagai sumbu baru.

Beras. 8

Dalam buku pertama, Apollonius membahas berbagai sistem koordinat bergantung pada satu parameter, karena sistem koordinat ini ditentukan oleh satu titik kurva - ujung diameter, dan membuktikan invarian persamaan elips, hiperbola, dan parabola sehubungan dengan transformasi sistem koordinat yang sesuai.

Di akhir buku pertama, Apollonius menunjukkan bahwa adalah mungkin untuk memilih diameter yang tegak lurus terhadap tali busur yang terkait dengannya. Kemudian kurva yang dipertimbangkan dapat direpresentasikan sebagai bagian dari kerucut rotasi sudut tumpul, atau sudut lancip, atau persegi panjang dengan bidang yang tegak lurus terhadap generatrix. Ini menetapkan identitas kurva yang diperkenalkan oleh Apollonius dengan bagian kanonik yang dipertimbangkan sebelumnya.

Ide utama dari buku pertama adalah untuk mengambil dasar klasifikasi kurva sifat-sifat persamaan aljabarnya, dan tepatnya sifat-sifat yang tetap invarian pada transformasi koordinat yang diizinkan. Baru pada abad ke-19. Ide ini dipahami sepenuhnya ketika Klein, dalam Program Erlangen, menetapkan pandangan baru tentang geometri sebagai ilmu tentang invarian kelompok transformasi bidang atau ruang tertentu.

Studi lebih lanjut tentang bagian kerucut dalam karya Apollonius

Dalam tiga buku berikutnya, Apollonius mengembangkan teori bagian kerucut: ia mengklarifikasi sifat dasar diameter konjugasi asimtot, memperoleh persamaan hiperbola terhadap asimtot (xy=const) dan menetapkan sifat dasar asimtot fokus elips dan hiperbola. Di sini, untuk pertama kalinya, kutub dan kutub terhadap bagian kerucut muncul: jika dari suatu titik dimungkinkan untuk menggambar dua garis singgung ke bagian kerucut, maka garis lurus yang menghubungkan titik-titik singgung tersebut disebut kutub dari titik tersebut. , dan titiknya adalah kutub dari garis lurus tersebut. Jika kutub digerakan sepanjang garis lurus yang memotong bagian tersebut, maka kutub akan berputar mengelilingi kutub garis lurus tersebut, tetapi jika kutub dipindahkan sepanjang garis lurus yang tidak memotong bagian tersebut, maka kutub juga akan berputar mengelilingi. suatu titik, dan dalam hal ini titik di mana kutub berputar, dan garis lurus yang dilalui kutub, disebut juga kutub dan kutub. Dalam buku keempat, Apollonius membahas pertanyaan tentang jumlah titik potong dua bagian berbentuk kerucut.

Dalam buku kelima, Apollonius mendefinisikan semua normal menjadi bagian berbentuk kerucut (tegak lurus terhadap garis singgung, dikembalikan pada titik singgung). Buku keenam mempelajari bagian berbentuk kerucut yang serupa.

Buku ketujuh berisi teorema Apollonius yang terkenal:

a) jumlah kuadrat pada diameter konjugasi elips sama dengan jumlah kuadrat pada sumbu utama;

b) selisih kuadrat pada dua diameter konjugasi suatu hiperbola sama dengan selisih kuadrat pada sumbu utama;

c) jajar genjang yang dibangun pada dua diameter konjugasi elips atau hiperbola mempunyai luas tetap.

Perkembangan lebih lanjut dari teori bagian kerucut

Pada zaman dahulu, metode mempelajari kurva yang diciptakan oleh Apollonius belum dikembangkan, meskipun sampai awal abad ke-5. IKLAN karyanya dipelajari dan dikomentari. Sedangkan untuk bagian kerucut sendiri digunakan oleh Archimedes untuk menyelesaikan dan mempelajari persamaan kubik. Untuk tujuan yang sama, bagian berbentuk kerucut digunakan oleh ahli geometri dan ilmuwan kuno dari negara-negara Islam.

Untuk waktu yang lama mereka tidak menerima penerapan apa pun dalam ilmu alam matematika, kecuali untuk studi tentang pemantulan cahaya dari cermin parabola. Baru pada abad ke-17. Ide Apollonius bangkit kembali: Fermat dan Descartes menerjemahkan metodenya ke dalam bahasa aljabar baru, mendirikan geometri analitik, dan Newton menerapkan metode ini untuk mendeskripsikan dan mempelajari kurva orde ketiga. Namun bahkan sebelumnya, teori penampang kerucut mendapat penerapan terluas dalam mekanika benda terestrial dan benda langit: Kepler menetapkan bahwa planet-planet di tata surya kita bergerak dalam bentuk elips, di salah satu fokusnya terdapat Matahari; Galileo menunjukkan bahwa batu yang dilempar terbang melintasi angkasa dalam bentuk parabola. Terakhir, pada tahun 80-an abad ke-17. Newton menciptakan "Prinsip Matematika Filsafat Alam" langsung berdasarkan karya Apollonius.

Kesimpulan

Bagian kerucut Apollonius adalah contoh teori matematika yang diciptakan jauh sebelum dibutuhkan. Pada kesempatan ini, A. Einstein menulis: “Kekaguman terhadap manusia yang luar biasa ini (kita berbicara tentang Kepler) adalah perasaan kagum dan kagum lainnya, tetapi tidak berhubungan dengan manusia, tetapi dengan keharmonisan alam yang misterius, yang sesuai dengan yang paling sederhana. hukum. Selain garis lurus dan lingkaran, juga termasuk elips dan hiperbola. Kami melihat penerapan yang terakhir pada orbit benda langit, setidaknya dengan perkiraan yang baik.”

Bibliografi:

1. Jalan dan labirin. Esai tentang sejarah matematika. Daan – Dalmedico A., Peiffer J. Trans. dari Perancis – M.: Mir, 1986.

2. Sejarah matematika dari zaman dahulu hingga awal abad ke-19. Yushkevich A.P. – M.: Nauka, 1970.

Saya mengunjungi “Buku Lama” yang baru dibuka di Sovetskaya ke-2. Kesannya sangat baik: toko universal, banyak fiksi, pilihan literatur teknis dan ilmiah yang bagus. Karena proses pengaturan belum selesai, belum semua literatur teknis telah ditampilkan (pengisian ulang secara signifikan dijanjikan dalam beberapa hari mendatang) dan masih berantakan. Perlakuan terhadap pelanggan adalah “yang paling barang kelontong”; mereka mengundang Anda untuk datang lagi dan meminta Anda memberi tahu teman Anda tentang toko baru tersebut.
Saya memenuhi permintaan terakhir saya:

Tentu saja, mustahil untuk pergi tanpa membeli buku:

L. Karpinsky, profesor di Universitas Michigan, G. Benedict, profesor di Universitas Texas, J. Kalgun, profesor di Universitas Texas
Matematika terpadu
Terjemahan resmi dari bahasa Inggris dengan catatan dan perubahan oleh Prof. D.A.Kryzhanovsky
Bagian Ilmiah dan Teknis Dewan Akademik Negara disetujui sebagai pedoman untuk sekolah teknik dan perguruan tinggi teknik; direkomendasikan sebagai panduan bagi para guru
M.-L.: Penerbitan Negara, 1926. XVI, 596 hal.
(Manual dan manual untuk sekolah teknik dan perguruan tinggi)

Dari kata pengantar penerjemah:

Di antara literatur matematika pendidikan yang sangat banyak dari berbagai negara, karya kolektif tiga profesor Amerika, “Matematika Terpadu”, menonjol karena pilihan materi aslinya dan, terutama, karena metode pemrosesan dan penyajiannya. Kecenderungan utama penulis adalah untuk menghubungkan semua materi yang disajikan, dengan menjalin bagian-bagian individualnya secara organik, menjadi satu kesatuan - sepenuhnya selaras dengan prinsip-prinsip sekolah kami. Jika matematika, sebagai mata pelajaran pengajaran di sekolah, harus dikaitkan erat dengan studi tentang alam dan masyarakat serta dengan tuntutan kehidupan, maka tidak boleh ada pembagian skolastik ke dalam disiplin ilmu dan bab yang terisolasi dan mandiri. Fisika, teknologi, dan ekonomi tidak menyesuaikan masalahnya dengan kategori-kategori yang biasanya dibagi dalam kumpulan masalah matematika. Oleh karena itu, semakin cepat seorang siswa belajar menggabungkan teknik dan hasil dari berbagai cabang matematika, semakin baik. Dan untuk ini, cara paling pasti adalah dengan memperkenalkan metode kombinasi ini ke dalam proses pembelajaran matematika.
Ciri pembeda lainnya dari buku ini, yang secara organik terkait dengan kecenderungan umumnya yang disebutkan di atas, adalah kekayaan dan keragaman materi terapan yang luar biasa (diambil dari fisika, astronomi, teknologi, artileri, biologi, statistik, aritmatika komersial, dll.) baik dalam teksnya. dan dan dalam tugas - juga sangat sesuai dengan kebutuhan sekolah kami. Materi ini tersebar dengan murah hati di seluruh bab dan, khususnya, memenuhi seluruh bab XXII, XXVI (“gerakan osilasi”) dan XXVII (“hukum pertumbuhan organik”). Dalam bab terakhir (XXVII) ini, perhatian khusus diberikan pada topik baru “kurva penyembuhan luka” - hasil observasi rumah sakit selama perang terakhir. Berkat banyaknya contoh dan soal, “Matematika Terpadu” dapat menjadi panduan yang berguna bagi institusi pendidikan di mana teori tersebut diajarkan dengan menggunakan manual lain.
Keuntungan yang tidak diragukan lagi dari “Matematika Terpadu” juga mencakup banyak “catatan sejarah” yang disusun secara menarik.

Kata pengantar oleh Profesor L. Karpinsky untuk terjemahan bahasa Rusia:

Ide sentral dari “Matematika Terpadu” bukanlah untuk menyimpang dari matematika tradisional, warisan besar kita di masa lalu, namun untuk menunjukkan betapa pentingnya, peran nyata matematika di dunia modern. Mengetahui bahwa parabola memiliki sifat geometris yang begitu indah sudah cukup bagi orang Yunani. Siswa modern perlu menunjukkan hubungan yang mencolok dengan persamaan aljabar dasar, dan khususnya dengan penerbangan proyektil, dengan berbagai jenis struktur jembatan, dengan bentuk ruang konser dan bahkan dengan lampu sorot mobil. Penerapan praktis tidak kalah hebatnya dengan penerapan teoritis murni.
Dunia modern membutuhkan kerja mental yang tidak kalah dengan dunia kuno, namun membutuhkan pikiran untuk bersentuhan dengan kenyataan. Dalam matematika hal ini dapat dilakukan sambil melestarikan banyak pencapaian di masa lalu.
Membaca buku seperti ini sungguh menyenangkan. Banyak contoh yang diberikan di dalamnya hampir memiliki nilai sejarah. Terlebih lagi, beberapa bagian, yang tanpa sepengetahuannya delapan puluh hingga sembilan puluh tahun yang lalu tidak mungkin dilakukan oleh ahli matematika dan insinyur, kini praktis telah mati, dan menemukannya sangatlah menarik. Beberapa komentar diterima dengan senyum sedih, terutama ketika memikirkan mahasiswa saat ini.

Dalam beberapa tahun terakhir, meluasnya penggunaan mesin hitung, yang melakukan perkalian dan pembagian lima belas atau bahkan dua puluh digit, sebagian telah menggantikan tabel logaritma di kantor perusahaan asuransi besar, dan juga, sampai batas tertentu, di observatorium.
DARI BAB VII : FUNGSI TRIGONOMETRI

§ 10. Asal usul fungsi tangen dan kotangen.- Dalam astronomi observasional, sudut kemiringan matahari dan benda langit lainnya terhadap cakrawala memegang peranan penting. Perbandingan panjang bayangan suatu benda vertikal dengan panjang benda itu sendiri memberikan kotangen sudut kemiringan matahari. Fungsi sudut ini muncul sebelum garis singgung dalam tulisan astronom Arab Al-Battani, pada abad ke-10 setelah Masehi, dan disebut bayangan, dan kemudian bayangan langsung atau bayangan kedua. Fungsi tangen, yang menyatakan perbandingan panjang bayangan yang ditimbulkan pada dinding vertikal oleh batang yang tegak lurus dinding dengan panjang batang itu sendiri, kemudian disebut bayangan pertama. Orang Arab menerima panjang tongkat sebanyak 12 satuan.

DARI BAB XIX : PARABOLA

§ 1. Definisi.- Kami telah mendefinisikan elips (Bab XVIII, § 3) sebagai lokasi suatu titik yang bergerak sedemikian rupa sehingga jaraknya dari titik tetap, fokus, memiliki rasio konstan kurang dari 1 terhadap jaraknya dari titik tersebut. saluran tetap, direktriks. Jika perbandingan konstannya adalah 1, maka kurva yang digambarkan oleh titik yang bergerak disebut parabola. Jika rasio ini konstan melebihi 1, maka kurva tersebut disebut hiperbola.

Kondisi: ,at, elips ditentukan.
Kondisi: parabola didefinisikan.
Kondisi: , di, hiperbola didefinisikan.
[DENGAN. 345–346.]

DARI BAB XXI : SINGKAT DAN NORMAL KE KURVA ORDER KEDUA

§ 2. Persamaan bentuk umum derajat kedua menggambarkan bagian berbentuk kerucut.- Jika diberikan kerucut lingkaran lurus, maka dapat ditunjukkan, dengan menggunakan metode geometri geometri Euclidean, bahwa penampang permukaan kerucut oleh suatu bidang mewakili salah satu kurva yang disebutkan di atas; misalnya, sebuah bidang yang sejajar dengan alas kerucut menghasilkan lingkaran pada penampang, atau titik lingkaran (lingkaran berjari-jari nol) jika melalui titik sudut.
Yang kami maksud dengan kerucut di sini adalah seluruh permukaan kerucut yang dibentuk oleh generatrik kerucut, yang memanjang tak terhingga pada kedua arah dari titik perpotongannya.
Sebuah bidang yang sejajar dengan hanya satu elemen pembangkit (generatrix kerucut) memotong kerucut sepanjang parabola, atau sepanjang dua garis lurus yang berhimpitan, jika bidang potong sekaligus melewati salah satu generatrix dan menyentuh alas lingkaran dari elemen pembangkit tersebut. kerucut.
Sebuah bidang yang berpotongan pada jarak berhingga semua generatris kerucut menghasilkan elips pada penampang; titik terakhir berubah menjadi titik elips ketika bidang melewati titik puncak kerucut.
Sebuah bidang yang sejajar dengan dua generatrik kerucut memotong yang terakhir di sepanjang hiperbola, tetapi jika bidang tersebut melewati titik sudut, maka hiperbola tersebut merosot menjadi sepasang garis lurus.
§ 3. Catatan sejarah tentang bagian berbentuk kerucut.- Sifat dasar penampang kerucut ditemukan oleh matematikawan Yunani hampir dua ribu tahun sebelum penemuan geometri analitik oleh matematikawan Perancis abad ketujuh belas Descartes dan Fermat. Sebuah risalah tentang bagian berbentuk kerucut ditulis oleh Euclid (c. 320 SM), tetapi risalah tersebut dikalahkan oleh risalah yang ditulis satu abad kemudian. Apollonius dari Pergamon(c. 250 SM); risalah terakhir ini memuat sebagian besar sifat dasar yang telah kita pelajari.
Sifat-sifat parabola yang berhubungan langsung dengan fokus dan direktriks tidak termasuk dalam delapan buku (bab) yang ditulis oleh Apollonius tentang bagian kerucut; dia juga tidak menggunakan direktriks untuk bagian tengah (yaitu kurva yang memiliki pusat simetri - elips dan hiperbola). Memperkenalkan konsep-konsep ini ke dalam karyanya Koleksi Matematika Pappus dari Aleksandria(c. 300 M), mungkin yang terakhir dari semua ahli matematika Yunani yang penting.
Matematikawan Yunani kuno tertarik pada kurva ini dari sudut pandang geometris murni. Mereka tidak mengetahui bahwa jalur planet-planet merupakan bagian yang berbentuk kerucut; Mereka juga tidak mengetahui penerapan praktis dari kurva ini. Namun, hanya karena ahli geometri Yunani mempelajari sifat-sifat kurva inilah Johannes Kepler dan Isaac Newton mampu menetapkan hukum gerak planet di alam semesta tempat kita hidup. Para ilmuwan yang disebutkan di atas, serta Nicolaus Copernicus, yang memulihkan teori heliosentris dunia, adalah ahli mendalam dalam geometri murni orang Yunani; teori baru mereka dibangun langsung berdasarkan geometri murni ini.
[DENGAN. 374–376.]

DARI BAB XXII: APLIKASI BAGIAN KONIK

§ 1. Catatan umum.- Banyak penerapan bagian kerucut - lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola - sebagian telah ditunjukkan dalam masalah yang menyertai studi masing-masing kurva ini. Penerapan kurva ini yang luas dan beragam terutama disebabkan oleh sifat tangensial dan fitur geometris lainnya. Fakta bahwa sifat-sifat geometri sederhana justru dimiliki oleh kurva-kurva yang dinyatakan dengan persamaan aljabar dengan dua variabel derajat pertama dan kedua seolah-olah menunjukkan adanya keselarasan tertentu dalam dunia aljabar dan geometri.

§ 2. Hukum alam semesta.- Pada tahun 1529, astronom dan matematikawan Polandia Copernicus (1473 - 1543) menemukan kembali dan membuktikan fakta, yang telah diketahui oleh orang Yunani kuno, bahwa matahari mewakili pusat alam semesta tempat kita hidup; dia percaya bahwa planet-planet bergerak mengelilingi matahari dalam orbit melingkar.
Sekitar satu abad setelahnya, astronom besar Jerman Kepler (1571 – 1630) menetapkan hukum alam semesta berikut:
1. Orbit planet berbentuk elips, dengan matahari sebagai salah satu fokusnya.
2. Vektor jari-jari yang menghubungkan matahari dengan planet yang bergerak menggambarkan luas yang sama dalam periode waktu yang sama (untuk setiap planet secara terpisah).
3. Kuadrat waktu revolusi penuh setiap planet sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-ratanya dari matahari, yaitu
,
dimana dan adalah periode orbit kedua planet, dan dan adalah diameter orbitnya.
Kepler dapat membuat penemuannya hanya berkat karya semua pendahulunya, terutama ahli matematika Yunani yang melakukan studi lengkap tentang sifat-sifat bagian kerucut, serta dari Dane Tycho Brahe (1546 - 1601), yang pengamatan cermatnya memberikan data faktual yang diperlukan tentang pergerakan planet-planet.
Newton (1642 - 1727) menyelesaikan pekerjaannya menyusun hukum gerak di dunia sekitar kita, menunjukkan bahwa gaya tarik-menarik dua benda berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya dan berbanding lurus dengan massanya. Lebih lanjut, Newton menunjukkan bahwa asumsi ini mengarah pada gerakan elips pada matahari dan planet mana pun.
Jalur komet yang hanya muncul satu kali di tata surya, seperti diketahui, adalah parabola atau, mungkin, hiperbola, yang eksentrisitasnya mendekati 1.
[DENGAN. 391–392.]

§ 6. Penerapan bagian kerucut dalam arsitektur dan konstruksi jembatan.- Apa yang disebut “Rasio Emas” tidak diragukan lagi memberikan ilustrasi yang baik tentang adanya hubungan erat antara keindahan bentuk dan hubungan numerik.

Menurut pengakuan bulat dari orang-orang yang berkompeten dalam hal ini, dimensi persegi panjang paling memuaskan dari sudut pandang artistik ketika sisi panjang persegi panjang dihubungkan ke sisi pendek dengan cara yang kira-kira sama dengan sisi pendek. sisi terkait dengan perbedaan antara kedua sisi. Dengan kata lain, jika alas sebuah persegi panjang diberikan, maka kita akan menemukan ketinggian yang diinginkan - dalam arti keindahan terbesar dari bentuknya - dengan menggunakan "rasio emas", yaitu membagi segmen tertentu dalam rasio ekstrim dan rata-rata. . Jadi, misalnya, dengan alas sama dengan 40, tingginya ditentukan dari persamaan:
;
ini mengarah pada persamaan kuadrat terhadap. Sungguh luar biasa bahwa dengan memotong persegi panjang yang dihasilkan sebuah persegi yang dibangun di sisi pendek persegi panjang tersebut, kita mendapatkan persegi panjang yang mirip dengan yang asli; persegi panjang serupa akan diperoleh jika sebuah persegi ditambahkan ke persegi asli, dibangun di sisi panjang persegi panjang asli.
Kita telah menemukan contoh hubungan yang tampaknya ada antara kesederhanaan suatu bentuk dan kesederhanaan persamaan aljabar yang bersesuaian. Jadi, garis lurus diwakili oleh persamaan aljabar paling sederhana dengan dua variabel, yaitu persamaan derajat pertama; sebuah lingkaran, kurva paling sederhana dalam hal desain, diwakili oleh persamaan kuadrat dari tipe yang sangat sederhana; Semua jenis persamaan kuadrat lainnya dalam dua variabel hanya berhubungan dengan tiga kelas kurva selanjutnya, yaitu elips, parabola, dan hiperbola. Perasaan kepuasan artistik yang diberikan kepada kita melalui bentuk kurva orde kedua ini - bagian berbentuk kerucut - ditegaskan oleh meluasnya penggunaan bentuk-bentuk ini baik di kalangan seniman lama maupun baru.
Saat membangun lengkungan, ditemukan bahwa keindahan bentuk geometris paling erat kaitannya dengan kesederhanaan persamaan aljabar yang bersangkutan. Parabola dan elips banyak digunakan dalam struktur melengkung, bukan hanya karena keindahan bentuknya, tetapi juga karena kemampuan adaptasi mekanisnya terhadap tekanan dan deformasi yang disebabkan oleh berat struktur tersebut. Seorang pakar terkemuka * dalam bidang konstruksi jembatan mengatakan bahwa “lengkungan harus mewakili kurva yang sempurna”, memperingatkan terhadap penggunaan apa yang disebut elips “salah”.

Fakta bahwa elips dan parabola biasa begitu sering ditemukan di banyak jembatan termegah di dunia menunjukkan betapa diterima secara luas teori yang menghubungkan keindahan bentuk dengan lengkungan elips dan parabola.
Di Jembatan Gerbang Neraka raksasa di New York, lengkungan utama melambangkan parabola yang beraturan secara geometris (lihat Soal 11, Bab XIX, § 11). Di Jembatan London, bagian utama strukturnya terdiri dari lima lengkungan elips. Bahkan hiperbola, meski sangat jarang, digunakan dalam konstruksi jembatan. Perlu dicatat bahwa - sebagian karena kemudahan menggambar - lengkungan lingkaran (setengah lingkaran) jauh lebih luas, serta perkiraan elips atau parabola, dibangun menggunakan beberapa busur lingkaran dengan pusat berbeda.
Dalam penggunaan busur parabola pada konstruksi jembatan dan pelat atap, setidaknya dapat dibedakan empat jenis yang berbeda. Tipe pertama diwakili oleh jembatan gantung (rantai) dengan kabel yang melorot sepanjang kurva parabola. Tipe kedua mencakup kasus ketika bagian atas lengkungan parabola terletak di bawah jalan raya. Pada jembatan tipe ketiga, lengkungan parabola melintasi jalan raya. Terakhir, struktur di mana lengkungan parabola terletak seluruhnya di atas jalan setapak, seperti halnya langit-langit, termasuk dalam tipe keempat.
Busur elips, atau lebih jarang parabola, biasanya digunakan dalam desain teater besar dan aula lainnya.
Lengkungan parabola dan elips murni juga digunakan, meskipun tidak sesering lengkungan melingkar dan berbentuk tapal kuda, saat mendesain talang. Kadang-kadang bahkan elips yang beraturan secara geometris digunakan (lihat Soal 6 di bawah).
1. Selesaikan persamaan kuadrat pada paragraf terakhir dan periksa penyelesaiannya dengan memplot kurvanya.
2. Berapa lebar sebuah persegi panjang yang tingginya 40, jika tinggi tersebut diperoleh sebagai hasil “rasio emas” dari lebar yang sesuai dengan bentuk persegi panjang yang paling indah?
3. Jembatan di Pittsburgh, Amerika, memiliki lengkungan parabola, dengan bentang 108 meter dan tinggi 13,5 meter. Gambarlah parabola ini. Misalkan tiang vertikal dipisahkan oleh panel yang panjangnya 6 meter dan tingginya 4,5 meter di atas puncak lengkungan, tentukan panjangnya.
4. Lengkungan kecil yang mengarah ke jembatan itu sendiri, yang dijelaskan pada soal sebelumnya, tampak berbentuk elips. Bentangnya 8,4 meter, dan tinggi lengkungannya sendiri sekitar 2,4 meter. Gambarkan mereka.
5. Dalam satu saluran, terdapat kubah parabola dengan lebar 1,8 meter dan tinggi 1,2 meter. Bangunlah sepuluh titik lengkungan ini.
6. Salah satu saluran pembuangan di Chicago yang dibangun pada tahun 1910 berbentuk elips vertikal dengan dimensi 3,6 × 4,2 meter. Gambarlah bentuk bagian ini.
7. Gambarlah sebuah lengkungan berbentuk elips dan parabola yang masing-masing memiliki bentang 30 meter dan tinggi 9 meter. Bandingkan satu sama lain.
8. Dengan menggunakan skala, buatlah busur parabola Jembatan Gantung Williamsborg (Gbr. 153), dengan bentang 488 meter dan jumlah pemilih 55 meter. Tulis persamaannya dalam bentuk paling sederhana, pilih sumbu yang tepat. Berapa panjang keempat tiang mulai dari kabel sampai garis singgung titik puncak parabola?
* G.H.Tyrrell, Desain Jembatan Artistik, Chicago, 1912.

[DENGAN. 399–403.]

DARI BAB XXVI : GERAK GETARAN
Dalam kebanyakan kasus, akan lebih mudah untuk menerapkan waktu siklus lengkap ke serat biasa dalam bentuk bilangan bulat satuan, dan nilai satuannya bergantung pada nilai periode. Dalam hal rotasi dengan periode satu menit, satuan sumbu absis dapat dianggap 10 detik, dan satuan sumbu ordinat sama dengan panjang jari-jari. Kurva yang dihasilkan sedikit berbeda dari sinusoidal dengan satuan panjang yang sama pada kedua sumbu koordinat. Titik tertinggi dan terendah terjadi pada absis 15 dan 45. Momen: 0, 5, 7,5, 10, 15, 20 dan 30 detik sesuai dengan sudut 0, 30°, 45°, 60°, 90°, 120° dan 180° .

Fisikawan dan insinyur biasanya menggunakan teknik grafis murni berikut ini untuk menggambar kurva sinus yang sering muncul. Pertama, gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat di titik asal, yang diameternya sama dengan amplitudo yang diinginkan. Sudut antara sumbu dibagi dua dan kemudian dibagi lagi menjadi dua (sebanyak yang diinginkan). Sebuah segmen dengan panjang yang sesuai untuk menggambarkan sebuah siklus lengkap diletakkan pada sumbu horizontal dan dibagi menjadi sebanyak (biasanya 16) bagian yang sama seperti lingkaran dibagi oleh sumbu dan garis bagi.
[DENGAN. 466–467.]

DARI BAB XXVII : HUKUM PERTUMBUHAN
§ 5. Kurva kemajuan penyembuhan luka.- Berkaitan erat dengan rumus yang menyatakan hukum pertumbuhan organik dan hukum “penurunan organik” adalah hukum yang baru ditemukan yang menghubungkan, baik secara aljabar dalam bentuk persamaan maupun secara grafis dalam bentuk kurva, luas permukaan luka dengan waktu yang dinyatakan dalam hari, yang terjadi sejak luka menjadi steril atau aseptik. Ketika keadaan aseptik telah tercapai berkat pencucian dan pembilasan dengan larutan antiseptik, maka berdasarkan dua pengamatan, biasanya dilakukan 4 hari setelah hari lainnya, apa yang disebut “indeks pribadi” dihitung; Indeks ini, bersama dengan dua pengukuran luas luka, memungkinkan dokter menentukan perkembangan normal pengurangan permukaan luka pada individu tertentu. Kontur luka dibuat sketsa secara cermat pada kertas transparan dan kemudian luasnya diukur menggunakan alat matematika yang disebut planimeter.

Waktu pengamatan, dinyatakan dalam hari, diplot sepanjang sumbu x, dan luas luka diplot sebagai ordinat. Setelah setiap pengamatan dan penghitungan luas, titik yang diperoleh diplot pada sistem sumbu yang sama di mana kurva ideal atau ramalan (kurva prediksi) dibuat. Dua kurva ideal tersebut, serta kurva aktual yang diamati, digambarkan dalam diagram kami.
Jika area yang diamati terlihat lebih besar dari area yang ditentukan oleh kurva ideal, hal ini menunjukkan masih adanya infeksi pada luka. Kasus seperti ini disajikan pada diagram kedua. Fenomena yang sangat mencolok dan belum dapat dijelaskan berikut ini sering diamati: jika permukaan luka sembuh lebih cepat daripada yang ditunjukkan oleh kurva ideal, maka timbullah borok sekunder, yang mengembalikan kurva tersebut ke normal. Diagram pertama kita adalah tipe ini.

Penerapan matematika pada kedokteran ini sebagian besar berkat Dr. Alexis Carrel di Rockefeller Medical Research Institute. Ia mengamati bahwa semakin besar luas permukaan suatu luka, semakin cepat penyembuhannya, dan kecepatan penyembuhan tampaknya sebanding dengan luas luka. Namun koefisien proporsionalitas ini tidak sama untuk semua nilai luas luka, jika tidak maka akan timbul persamaan bentuk
,
dimana menunjukkan luas luka pada saat menjadi steril dan saat pengamatan yang dicatat pada diagram dimulai.
Pada kenyataannya (untuk menggambar kurva ideal) digunakan rumus berikut, yang dikemukakan oleh Dr. Lecomte du Nouilly(Nooyi menunjukkan bahwa terdapat nilai normal dari koefisien yang bergantung pada usia individu dan ukuran luka, dan bahwa indeks pribadi, yang ditentukan dari dua pengamatan, tidak diragukan lagi mengungkapkan fakta yang relevan dengan kondisi kesehatan umum individu tersebut. *.
[DENGAN. 486–489.]

Institusi Pendidikan Kota

Sekolah Menengah No.4

Bagian berbentuk kerucut

Lengkap

Spiridonov Anton

siswa kelas 11A

Diperiksa

Korobeynikova A.T.

Tobolsk - 2006

Perkenalan

Konsep bagian berbentuk kerucut

Jenis bagian berbentuk kerucut

Belajar

Konstruksi bagian berbentuk kerucut

Pendekatan analitis

Aplikasi

Bibliografi

Perkenalan.

Tujuan: mempelajari bagian kerucut.

Tujuan: belajar membedakan jenis penampang kerucut, menyusun penampang kinetik, dan menerapkan pendekatan analitis.

Proporsi yang diberikan dapat dianggap sebagai sistem persamaan:

Konsep bagian berbentuk kerucut.

Ketika sebuah segitiga siku-siku diputar pada salah satu kakinya, sisi miring dengan perpanjangannya menggambarkan permukaan kerucut yang disebut permukaan kerucut lingkaran siku-siku, yang dapat dianggap sebagai rangkaian garis kontinu yang melalui titik sudut dan disebut generator, semuanya generator bertumpu pada lingkaran yang sama, disebut memproduksi. Masing-masing generatrices adalah segitiga berputar (dalam posisinya yang diketahui), diperpanjang di kedua arah hingga tak terbatas. Jadi, setiap generatrix memanjang di kedua sisi titik, sehingga permukaannya memiliki dua rongga: keduanya bertemu di satu titik di titik yang sama. Jika permukaan tersebut dipotong oleh suatu bidang, maka penampang tersebut akan menghasilkan suatu kurva yang disebut penampang kerucut. Ini bisa terdiri dari tiga jenis:

1) jika sebuah bidang memotong permukaan kerucut di sepanjang semua generatrik, maka hanya satu rongga yang dibedah dan diperoleh kurva tertutup yang disebut elips pada bagian tersebut;

2) jika bidang potong memotong kedua rongga, maka diperoleh kurva yang mempunyai dua cabang dan disebut hiperbola;

3) jika bidang potong sejajar dengan salah satu generatrik, maka diperoleh parabola.

Jika sebuah bidang yang melewati titik sudut memotong kedua rongga tersebut, maka bagian tersebut menghasilkan sepasang garis yang berpotongan, yang dianggap sebagai kasus khusus.

Jika jarak titik puncaknya tak terhingga, maka permukaan kerucut berubah menjadi permukaan silinder, dan bagiannya oleh bidang yang sejajar dengan generator menghasilkan sepasang garis sejajar sebagai kasus khusus. Penampang kerucut dinyatakan dengan persamaan orde 2, yang bentuk umumnya adalah

Kapak 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

dan disebut kurva orde ke-2.

Jenis bagian berbentuk kerucut.

Bagian berbentuk kerucut dapat terdiri dari tiga jenis:

1) bidang potong memotong semua generatrik kerucut pada titik salah satu rongganya; garis perpotongannya adalah kurva oval tertutup - ; lingkaran sebagai kasus khusus elips diperoleh jika bidang potong tegak lurus terhadap sumbu kerucut.

2) Bidang potong sejajar dengan salah satu bidang singgung kerucut; pada penampang, hasilnya adalah kurva terbuka hingga tak terhingga - parabola, seluruhnya terletak pada satu rongga.

Belajar.

Dalam hal bagian kerucut mempunyai pusat simetri (pusat), yaitu elips atau hiperbola, persamaannya dapat direduksi (dengan memindahkan titik asal koordinat ke pusat) menjadi bentuk:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Studi lebih lanjut tentang bagian kerucut (yang disebut pusat) menunjukkan bahwa persamaannya dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana:

Kapak 2 + Wu 2 = C,

KONSTRUKSI BAGIAN KONIK.

Definisi bagian kerucut sebagai kurva bidang juga menyarankan metode untuk membangunnya menggunakan tali yang diregangkan.

Elips. Jika ujung-ujung benang dengan panjang tertentu dipasang di titik F 1 dan F 2 (Gbr. 3), maka kurva yang digambarkan oleh ujung pensil yang meluncur sepanjang benang yang diregangkan rapat berbentuk elips. Titik F 1 dan F 2 disebut fokus elips, dan ruas V 1 V 2 dan v 1 v 2 antara titik potong elips dengan sumbu koordinat disebut sumbu mayor dan minor. Jika titik F 1 dan F 2 berimpit, maka elips berubah menjadi lingkaran (Gbr. 3).

Hiperbola. Saat membuat hiperbola, titik P, ujung pensil, dipasang pada seutas benang yang meluncur bebas sepanjang pasak yang dipasang di titik F 1 dan F 2, seperti terlihat pada Gambar 4 a, jarak dipilih sehingga segmen PF 2 lebih panjang dari segmen PF 1 dengan nilai tetap yang kurang dari jarak F 1 F 2 . Dalam hal ini, salah satu ujung benang melewati pasak F 1, dan kedua ujung benang melewati pasak F 2. (Ujung pensil tidak boleh tergelincir di sepanjang benang, jadi harus diamankan dengan membuat lingkaran kecil pada benang dan memasukkan ujungnya ke dalamnya.) Kita menggambar satu cabang hiperbola (PV 1 Q), pastikan bahwa benang tetap kencang sepanjang waktu, dan, tarik kedua ujung benang ke bawah melewati titik F 2, dan ketika titik P berada di bawah ruas F 1 F 2, pegang benang pada kedua ujungnya dan lepaskan dengan hati-hati. Kita menggambar cabang kedua hiperbola dengan terlebih dahulu mengganti pin F 1 dan F 2 (Gbr. 4).

Cabang-cabang hiperbola mendekati dua garis lurus yang berpotongan antar cabang. Garis lurus ini, yang disebut asimtot hiperbola, dibuat seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4, b. Sudut

koefisien garis-garis ini sama dengan di mana adalah ruas garis bagi sudut antara asimtot-asimtot yang tegak lurus ruas F 2 F 1 ; ruas v 1 v 2 disebut sumbu konjugasi hiperbola, dan ruas V 1 V 2 adalah sumbu transversalnya. Jadi, asimtotnya adalah diagonal-diagonal persegi panjang yang sisi-sisinya melalui empat titik v 1, v 2, V 1, V 2 sejajar sumbunya. Untuk membuat persegi panjang ini, Anda perlu menentukan lokasi titik v 1 dan v 2. Mereka berada pada jarak yang sama, setara

dari titik potong sumbu O. Rumus ini mengasumsikan konstruksi segitiga siku-siku dengan kaki Ov 1 dan V 2 O dan sisi miring F 2 O.

Parabola. Fokus elips dan hiperbola diketahui oleh Apollonius, tetapi fokus parabola tampaknya pertama kali ditetapkan oleh Pappus (paruh kedua abad ke-3), yang mendefinisikan kurva ini sebagai kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu (fokus) dan garis lurus tertentu, yang disebut kepala sekolah. Konstruksi parabola menggunakan benang yang dikencangkan, berdasarkan definisi Pappus, diusulkan oleh Isidore dari Miletus (abad VI) (Gbr. 5).

Mari kita posisikan penggaris sehingga ujungnya bertepatan dengan direktriks, dan tempelkan kaki AC dari gambar segitiga ABC ke tepi ini. Mari kita kencangkan salah satu ujung benang dengan panjang AB pada titik sudut B segitiga, dan ujung lainnya pada titik fokus parabola F. Setelah menarik benang dengan ujung pensil, tekan ujung pada titik variabel P ke kaki bebas AB dari segitiga gambar. Ketika segitiga bergerak sepanjang penggaris, titik P akan menggambarkan busur parabola dengan fokus F dan direktriks, karena panjang total benang sama dengan AB, maka potongan benang berdekatan dengan kaki bebas segitiga, dan oleh karena itu sisa potongan benang PF harus sama dengan sisa bagian kaki AB yaitu PA. Titik potong V parabola dengan sumbunya disebut titik sudut parabola, garis lurus yang melalui F dan V disebut sumbu parabola. Jika suatu garis lurus ditarik melalui fokus, tegak lurus sumbu, maka ruas garis lurus yang dipotong oleh parabola disebut parameter fokus. Untuk elips dan hiperbola, parameter fokus ditentukan dengan cara yang sama.

PENDEKATAN ANALITIK

dimana tidak semua koefisien A, B dan C sama dengan nol. Dengan menggunakan translasi paralel dan rotasi sumbu, persamaan (1) dapat direduksi menjadi bentuk

kapak 2 + kali 2 + c = 0

Persamaan pertama diperoleh dari persamaan (1) untuk B 2 > AC, persamaan kedua - untuk B 2 = AC. Bagian berbentuk kerucut yang persamaannya direduksi menjadi bentuk pertama disebut pusat. Bagian berbentuk kerucut yang ditentukan oleh persamaan tipe kedua dengan q > 0 disebut non-pusat. Dalam dua kategori ini, ada sembilan jenis penampang kerucut yang berbeda bergantung pada tanda koefisiennya.

2) Jika a dan b bertanda sama, dan c bertanda berlawanan, maka bagian kerucut tersebut adalah elips; ketika a = b – lingkaran.

3) Jika a dan b mempunyai tanda yang berbeda, maka bagian kerucut tersebut adalah hiperbola.

4) Jika a dan b berbeda tanda dan c = 0, maka bagian kerucut tersebut terdiri dari dua garis yang berpotongan.

5) Jika a dan b bertanda sama dan c = 0, maka hanya ada satu titik nyata pada kurva yang memenuhi persamaan, dan bagian kerucut adalah dua garis imajiner yang berpotongan. Dalam hal ini, kita juga berbicara tentang elips yang menghadap suatu titik atau, jika a = b, sebuah lingkaran yang menghadap suatu titik.

6) Jika a atau b sama dengan nol, dan koefisien lainnya berbeda tanda, maka penampang kerucut terdiri dari dua garis sejajar.

kurva datar yang diperoleh dengan memotong kerucut lingkaran siku-siku dengan bidang yang tidak melalui titik sudutnya (Gbr. 1). Dari sudut pandang geometri analitik, bagian kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan orde kedua. Kecuali untuk kasus degenerasi yang dibahas pada bagian terakhir, bagian berbentuk kerucut adalah elips, hiperbola, atau parabola.

Van der Waerden B.L. Sains Bangun. M., 1959
Alexandrov P.S. Kuliah tentang geometri analitik. M., 1968

Menemukan " BAGIAN KONIK" pada

BAGIAN KONIK

- kurva bidang yang diperoleh dengan memotong kerucut siku-siku dengan bidang yang tidak melalui titik sudutnya. Dari sudut pandang geometri analitik, bagian kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan orde kedua. Kecuali dalam kasus yang mengalami degenerasi, bagian berbentuk kerucut adalah elips, hiperbola, atau parabola.

Penemu bagian kerucut diduga adalah Menaechmus (abad ke-4 SM), murid Plato dan guru Alexander Agung. Menaechmus menggunakan parabola dan hiperbola sama sisi untuk menyelesaikan soal penggandaan kubus. Risalah tentang bagian berbentuk kerucut yang ditulis oleh Aristaeus dan Euclid pada akhir abad ke-4. SM, hilang, tetapi bahan darinya dimasukkan ke dalam Bagian Kerucut Apollonius dari Perga yang terkenal (c. 260-170 SM), yang bertahan hingga hari ini. Apollonius mengabaikan persyaratan bahwa bidang potong generatrix kerucut harus tegak lurus dan, dengan memvariasikan sudut kemiringannya, memperoleh semua bagian kerucut dari satu kerucut melingkar, lurus atau miring. Kami juga berutang nama modern kurva kepada Apollonius - elips, parabola, dan hiperbola. Dalam konstruksinya, Apollonius menggunakan kerucut melingkar dua lembar, sehingga untuk pertama kalinya menjadi jelas bahwa hiperbola adalah kurva dengan dua cabang. Sejak zaman Apollonius, bagian kerucut telah dibagi menjadi tiga jenis tergantung pada kemiringan bidang pemotongan terhadap generatrix kerucut. Elips terbentuk ketika bidang potong memotong semua generatrik kerucut pada titik-titik di salah satu rongganya; parabola - ketika bidang potong sejajar dengan salah satu bidang singgung kerucut; hiperbola - ketika bidang potong memotong kedua rongga kerucut.

Fokus elips dan hiperbola diketahui oleh Apollonius, tetapi fokus parabola tampaknya pertama kali ditetapkan oleh Pappus (paruh kedua abad ke-3), yang mendefinisikan kurva ini sebagai kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu (fokus) dan garis lurus tertentu, yang disebut direktur. Konstruksi parabola dengan menggunakan benang yang diregangkan, berdasarkan definisi Pappus, dikemukakan oleh Isidore dari Miletus (abad ke-6).

Menetapkan fokus parabola memberi Pappus ide untuk memberikan definisi alternatif bagian kerucut secara umum. Misalkan F adalah suatu titik tertentu (fokus), dan L adalah suatu garis lurus (direktriks) yang tidak melalui F, dan DF dan DL masing-masing merupakan jarak dari titik bergerak P ke fokus F dan direktriks L. Kemudian, seperti yang ditunjukkan Papp, bagian berbentuk kerucut didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik P yang rasio DF/DL adalah konstanta non-negatif. Rasio ini disebut eksentrisitas e dari bagian berbentuk kerucut. Kapan e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - hiperbola; ketika e = 1 - parabola. Jika F terletak pada L, maka lokusnya berbentuk garis (nyata atau imajiner), yang merupakan bagian kerucut yang mengalami degenerasi. Simetri yang mencolok dari elips dan hiperbola menunjukkan bahwa masing-masing kurva ini memiliki dua direktriks dan dua fokus, dan keadaan ini mengarahkan Kepler pada tahun 1604 pada gagasan bahwa parabola juga memiliki fokus kedua dan direktriks kedua - sebuah titik di tak terhingga dan lurus. . Dengan cara yang sama, lingkaran dapat dianggap sebagai elips, yang fokusnya berimpit dengan pusat, dan direktriksnya berada di tak terhingga. Eksentrisitas e dalam hal ini adalah nol.

LITERATUR
Van der Waerden B.L. Ilmu Kebangkitan. M., 1959 Aleksandrov P.S. Kuliah tentang geometri analitik. M., 1968

segmen pada garis lurus l.)

13) Diberikan jajar genjang ABCD. Melalui suatu titik P tariklah sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu l. (Petunjuk: Oleskan 10 ke tengah jajaran genjang dan gunakan 8.)

14) Diberikan jajar genjang; tingkatkan segmen ini sebanyak n kali. (Petunjuk: Terapkan 13 dan 11.)

15) Diberikan jajar genjang; bagilah segmen tertentu menjadi n bagian yang sama.

16) Diberikan sebuah lingkaran tetap yang mempunyai pusat. Melalui suatu titik tertentu tariklah sebuah garis yang sejajar dengan garis tersebut. (Petunjuk: Terapkan 13.)

17) Diberikan sebuah lingkaran tetap yang mempunyai pusat. Tambah dan kurangi segmen ini sebanyak n kali. (Petunjuk: Terapkan 13.)

18) Diberikan sebuah lingkaran tetap yang mempunyai pusat. Gambarlah garis tegak lurus melalui suatu titik tertentu ke garis tertentu. (Petunjuk: gunakan persegi panjang yang terdapat dalam lingkaran tertentu, dengan dua sisi sejajar dengan garis tertentu, dan kurangi ke soal sebelumnya.)

19) Meninjau kembali tugas 1–18, sebutkan tugas konstruksi dasar mana yang dapat diselesaikan dengan menggunakan penggaris dua sisi (yang memiliki dua sisi sejajar).

20) Dua jalur data l 1 dan l2 berpotongan di titik P yang terletak di luar gambar. Buatlah garis lurus yang menghubungkan titik Q ke titik P. (Petunjuk: Lengkapi elemen-elemen yang diberikan sehingga diperoleh konfigurasi teorema planar Desargues, dengan P dan Q menjadi titik potong sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga.)

21) Gambarlah garis lurus melalui dua titik yang jarak antara keduanya lebih besar dari panjang penggaris. (Petunjuk: Terapkan 20.)

22) Garis l 1 dan l2 berpotongan di titik P; garis lurus m1 dan m2 - di titik Q; kedua titik P dan Q berada di luar gambar. Buatlah bagian garis P Q yang berada di dalam batas gambar. (Petunjuk: untuk mendapatkan titik garis P Q, buatlah konfigurasi Desargues sedemikian rupa sehingga dua sisi dari satu segitiga masing-masing terletak pada l1 dan m1, dua sisi lainnya terletak pada l2 dan m2).

23) Selesaikan 20 menggunakan teorema Pascal (hal. 209). (Petunjuk: Selesaikan konfigurasi Pascal dengan menganggap l1 dan l2 sebagai sepasang sisi berhadapan pada segi enam, dan Q sebagai titik potong pasangan sisi berhadapan lainnya.)

*24) Setiap dua garis lurus yang seluruhnya terletak di luar gambar ditentukan oleh dua pasang garis lurus yang berpotongan di luar gambar

V titik-titik pada garis yang bersesuaian. Tentukan titik potongnya dengan menggunakan dua garis yang berpotongan di luar gambar.

§ 8. Bagian kerucut dan segi empat

1. Geometri metrik dasar bagian kerucut. Sejauh ini kita hanya membahas titik, garis, bidang, dan gambar yang terdiri dari sejumlah elemen yang terbatas. Jika geometri proyektif dibatasi pada pertimbangan “garis” tersebut

BAGIAN KONIK DAN KUADRIK

angka ney", itu akan relatif tidak menarik. Namun fakta yang paling penting adalah kenyataan bahwa geometri proyektif tidak terbatas pada hal ini, tetapi juga mencakup area luas bagian kerucut dan generalisasi multidimensinya. Perlakuan metrik Apollonian pada bagian kerucut - elips, hiperbola, dan parabola - adalah salah satu keberhasilan luar biasa dalam matematika kuno. Pentingnya bagian kerucut untuk matematika murni dan terapan sulit ditaksir terlalu tinggi (misalnya, orbit planet dan orbit elektron dalam atom hidrogen adalah bagian berbentuk kerucut). Tidak mengherankan bahwa teori klasik bagian kerucut, yang berasal dari Yunani Kuno, masih menjadi bagian penting dalam pendidikan matematika saat ini. Namun geometri Yunani bukanlah penentu akhir. Dua ribu tahun kemudian, sifat proyektif yang luar biasa dari bagian berbentuk kerucut ditemukan. Terlepas dari kesederhanaan dan keanggunan sifat-sifat ini, kelambanan akademis masih menjadi hambatan bagi penetrasi mereka ke dalam pengajaran di sekolah.

Mari kita mulai dengan mengingat kembali definisi metrik aliran kerucut. Ada beberapa definisi seperti itu, dan kesetaraannya dibuktikan dalam geometri dasar. Definisi yang paling umum berkaitan dengan fokus kurva. Elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P pada suatu bidang sedemikian rupa sehingga jumlah jarak r1 dan r2 dari dua titik tertentu F1 dan F2, yang disebut fokus, mempunyai nilai konstan. (Jika fokusnya bertepatan, kurva berubah menjadi lingkaran.) Hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik P pada bidang sedemikian rupa sehingga nilai mutlak selisih r1 − r2 sama dengan nilai konstanta yang sama. Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik P yang jaraknya r dari suatu titik F sama dengan jarak dari suatu garis lurus l tertentu.

Dalam geometri analitik, kurva ini diwakili oleh persamaan derajat kedua terhadap koordinat persegi panjang x, y. Sebaliknya, tidak sulit untuk membuktikan bahwa setiap kurva diwakili oleh persamaan orde kedua

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,

adalah salah satu dari tiga bagian kerucut yang disebutkan di atas, atau garis lurus, atau sepasang garis lurus, atau direduksi menjadi satu titik, atau murni bersifat imajiner. Seperti yang ditunjukkan dalam kursus geometri analitik apa pun, sebagai buktinya, cukup dengan melakukan penggantian sistem koordinat yang dipilih dengan benar.

Definisi penampang kerucut di atas pada dasarnya adalah metrik, karena menggunakan konsep jarak. Namun berikut adalah definisi lain yang menetapkan tempat bagian berbentuk kerucut dalam proyektif

Beras. 94. Bagian berbentuk kerucut

GEOMETRI PROYEKTIF. AKSIOMATIS

geometri: bagian berbentuk kerucut tidak lebih dari proyeksi lingkaran ke bidang. Jika kita memproyeksikan sebuah lingkaran C dari suatu titik O, maka garis-garis proyeksinya membentuk kerucut ganda tak terhingga, dan perpotongan kerucut ini dengan bidang p akan menjadi proyeksi lingkaran C. Kurva perpotongannya akan berbentuk elips atau a hiperbola,

bergantung pada apakah bidang tersebut hanya memotong satu “rongga” kerucut atau keduanya. Kasus perantara parabola juga dimungkinkan jika bidang p sejajar dengan salah satu garis proyeksi yang ditarik melalui O (Gbr. 94).

Kerucut yang menonjol tidak harus berbentuk “lurus melingkar” dengan titik puncak O terletak vertikal di atas pusat lingkaran C: bisa juga “miring”. Namun dalam semua kasus (seperti yang akan kita terima di sini, tanpa memberikan bukti), perpotongan kerucut dengan bidang menghasilkan kurva yang persamaannya berderajat dua; dan sebaliknya, setiap kurva orde kedua dapat diperoleh dari lingkaran melalui proyeksi. Oleh karena itu, kurva orde kedua disebut bagian kerucut.

Kita telah mencatat bahwa jika bidang hanya memotong satu "rongga" kerucut siku-siku, maka perpotongan E adalah elips. Tidak sulit untuk menetapkan bahwa kriteria

Bentuk E memenuhi definisi fokus elips biasa, yang dirumuskan di atas. Mari kita sajikan bukti yang sangat sederhana dan elegan yang diberikan pada tahun 1822 oleh ahli matematika Belgia Dandelin. Mari kita bayangkan dua bola S1 dan S2 (Gbr. 95), yang masing-masing menyentuh bidang penampang p di titik F1 dan F2 dan, sebagai tambahan, menyentuh kerucut sepanjang lingkaran sejajar K1 dan K2. Mengambil titik sembarang P dari kurva E, kita menggambar segmen P F1 dan P F2. Kemudian perhatikan ruas P O yang menghubungkan titik P ke titik puncak kerucut O; segmen ini seluruhnya terletak pada permukaan kerucut; mari kita nyatakan dengan Q1 dan Q2 titik potongnya dengan lingkaran K1 dan K2. Karena P F1 dan P Q1 adalah dua

BAGIAN KONIK DAN KUADRIK

garis singgung yang ditarik dari titik P ke bola yang sama S1, maka

P F1 = P Q1 .

Serupa

P F2 = P Q2 .

Menambahkan persamaan ini, kita mendapatkan:

P F1 + P F2 = P Q1 + P Q2.

Tetapi P Q1 + P Q2 = Q1 Q2 adalah jarak antara lingkaran sejajar K1 dan K2 pada permukaan kerucut: tidak bergantung pada pilihan titik P pada kurva E. Oleh karena itu, berapapun titik P pada E, kesetaraan berlaku

P F1 + P F2 = konstanta,

dan ini adalah definisi fokus dari elips. Jadi, E adalah elips, dan F1 dan F2 adalah fokusnya.

Latihan. Jika bidang tersebut memotong kedua “rongga” kerucut, maka kurva perpotongannya adalah hiperbola. Buktikan pernyataan ini dengan menempatkan satu bola di setiap “rongga” kerucut.

2. Sifat proyektif dari bagian berbentuk kerucut. Berdasarkan ketentuan-ketentuan yang telah ditetapkan pada alinea sebelumnya, untuk sementara kita menerima definisi sebagai berikut: bagian kerucut adalah proyeksi lingkaran pada suatu bidang. Definisi ini menyakitkan

sesuai dengan semangat geometri proyektif ke tingkat yang lebih besar daripada fokus yang diterima secara umum Beras. 95. Bola Dandelen

banyak definisi, karena definisi terakhir ini seluruhnya didasarkan pada konsep metrik jarak. Definisi baru ini juga tidak sepenuhnya lepas dari kekurangan ini, karena “keliling” juga merupakan konsep metrik. Namun sebentar lagi kita akan sampai pada definisi proyektif murni dari bagian kerucut.

Setelah kita menerima bahwa bagian berbentuk kerucut tidak lebih dari proyeksi sebuah lingkaran (dengan kata lain, istilah “bagian berbentuk kerucut” yang kami maksud adalah setiap kurva yang termasuk dalam bagian proyektif.

	GEOMETRI PROYEKTIF. AKSIOMATIS
kelas lingkaran; lihat halaman 206), maka segera menyusulnya
properti apa pun dari lingkaran yang invarian dalam proyektif
		transformasi	seharusnya seperti ini
		milik rekanan mana pun
		bagian yang bagus. Mari kita ingat
		sekarang yang berikut ini bagus karena
		diketahui - metrik - milik sendiri-
		lingkaran: “tertulis di
		sudut lingkaran pendukung -


		pada busur yang sama, sama dengan
		kita di antara kita sendiri." Pada Gambar. 96
		sudut AOB bertumpu pada du-
		gu AB, tidak tergantung pada posisinya
		titik O pada lingkaran. Suci


		berurusan dengan pemahaman proyektif
Beras. 96. Perbandingan ganda pada suatu keliling		tion dari hubungan ganda, memperkenalkan
Beras. 96. Perbandingan ganda pada suatu keliling		tidak ada lagi dua orang di lingkaran
		titik A, B, dan empat: A, B, C,
D. Empat garis a, b, c, d yang menghubungkan titik-titik tersebut dengan titik O di
lingkaran mempunyai perbandingan ganda (a, b, c, d), hanya bergantung pada
sudut yang didukung oleh busur CA, CB, DA, DB. Menghubungkan A, B, C, D

dengan beberapa titik O0 lain pada lingkaran, kita mendapatkan garis lurus a0, b0, c0, d0. Dari sifat lingkaran yang telah disebutkan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dua garis segi empat adalah “kongruen”1. Oleh karena itu, keduanya akan mempunyai relasi rangkap yang sama: (a0 b0 c0 d0 ) = (abcd). Mari kita proyeksikan sebuah lingkaran ke suatu bagian berbentuk kerucut K: kemudian pada K kita mendapatkan empat titik, yang sekali lagi kita nyatakan dengan A, B, C, D, dua titik O dan O0 dan dua empat garis a, b, c, d dan a0, b0, c0, d0. Kedua garis lurus segi empat ini tidak lagi kongruen, karena sudut, secara umum, tidak dipertahankan selama desain. Namun karena relasi rangkap tidak berubah selama desain, persamaan (abcd) = (a0 b0 c0 d0) tetap berlaku. Kita telah sampai pada teorema dasar berikut: jika empat titik pada bagian kerucut K, misalnya A, B, C, D, dihubungkan

Dengan titik kelima O pada bagian yang sama dengan garis lurus a, b, c, d, maka perbandingan ganda (abcd) tidak bergantung pada posisi O pada kurva K (Gbr. 97).

Ini adalah hasil yang luar biasa. Sebagaimana telah kita ketahui, jika empat titik A, B, C, D diambil pada suatu garis, maka hubungan rangkap dua yang tersusun dari garis-garis lurus yang menghubungkan titik-titik tersebut dengan titik kelima O tidak bergantung pada

1 Empat garis a, b, c, d dianggap kongruen dengan empat garis a lainnya 0 , b0 , c0 , d0 , jika sudut-sudut antara masing-masing pasangan garis pada segi empat pertama sama besar dan arah acuannya terhadap sudut-sudut antara garis-garis yang bersesuaian pada segi empat kedua.

	BAGIAN KONIK DAN KUADRIK
memilih poin kelima ini. Inilah titik awal yang mendasarinya
geometri proyektif. Sekarang kita telah mempelajari pernyataan serupa
Hal ini juga berlaku untuk empat poin yang diambil pada beberapa titik
bagian berbentuk kerucut K, namun dengan batasan yang signifikan: bagian kelima
titik O tidak bisa lagi bergerak bebas melintasi seluruh bidang, tapi bisa
hanya bergerak sepanjang bagian kerucut K.
	Tidak sulit untuk membuktikan teorema kebalikan sebagai berikut:
Bentuk: jika pada kurva K terdapat dua titik O dan O0 yang mempunyai
dengan sifat berapapun kelipatan empat titik A, B, C, D pada
kurva K, hubungan rangkap dua yang tersusun dari garis-garis lurus yang menghubungkan
titik-titik ini dengan O, dan garis-garis yang menghubungkan titik-titik ini dengan O0 adalah sama
di antara mereka sendiri, maka kurva K adalah bagian berbentuk kerucut (dan hanya kemudian, oleh
teorema langsung, relasi ganda yang tersusun dari garis lurus, con-
berbagi empat titik yang diberikan dengan titik sembarang O00 pada K, akan ada
mempunyai nilai konstanta yang sama). Tapi buktinya, kita ada di sini
Kami tidak akan membawanya.
	Sifat proyektif yang disajikan dari bagian berbentuk kerucut menunjukkan
memikirkan tentang metode umum konstruksi titik-titik kurva ini. Mari kita setuju
yang dimaksud dengan kumpulan garis adalah himpunan semua garis pada suatu bidang,
melewati titik ini
ku O. Pertimbangkan kumpulan garis,
melewati dua

	O0 terletak

bagian ical K. Antara garis lurus


balok O dan balok lurus

	O0 dapat diatur secara mutual
tapi korespondensi satu-ke-satu, co-

menyampaikan langsung dari yang pertama
pensil lurus a0 dari bilangan bulat kedua
setiap kali a dan a0 bertemu		Beras. 97. Rasio ganda pada elips
di beberapa titik A pada kurva K.
Maka empat garis lurus a,
b, c, d dari kumpulan O akan mempunyai perbandingan ganda yang sama dengan co-
segi empat yang sesuai a0, b0, c0, d0 dari pensil O0. Semuanya sama satu sama lain
korespondensi berharga antara dua pensil garis, memiliki
properti terakhir ini disebut korespondensi proyektif.
(Definisi ini bersifat ganda dalam kaitannya dengan definisi proyektif
Untuk korespondensi lebih lanjut antara titik-titik pada dua garis, lihat hal. 198–198.)
Dengan menggunakan definisi ini, sekarang kita dapat menyatakan: berbentuk kerucut
bagian K adalah tempat kedudukan geometri titik-titik potong saling
garis yang sesuai dari dua pensil yang terletak di proyektif
kepatuhan. Teorema yang dihasilkan meletakkan dasar bagi hal-hal berikut:
definisi proyektif murni dari bagian kerucut: berbentuk kerucut

GEOMETRI PROYEKTIF. AKSIOMATIS

suatu bagian adalah kedudukan geometri dari titik-titik potong garis-garis yang saling bersesuaian dari dua kumpulan yang berkorespondensi proyektif1. Betapapun menggodanya untuk mendalami teori penampang kerucut, yang dibangun berdasarkan definisi seperti itu, kami terpaksa membatasi diri pada beberapa komentar mengenai masalah ini.

Pasangan berkas berkas yang berkorespondensi proyektif dapat diperoleh sebagai berikut. Mari kita proyeksikan semua titik P pada garis lurus l dari dua pusat berbeda O dan O00 dan buat korespondensi satu-satu antara balok-balok yang diproyeksikan, bandingkan satu sama lain garis-garis yang berpotongan pada garis lurus l. Ini cukup agar kumpulan yang dihasilkan berada dalam korespondensi proyektif. Kemudian kita ambil bundel O00 dan pindahkan "seperti sesuatu yang padat" ke posisi sembarang O0. Bahwa berkas baru O0 akan berada dalam korespondensi proyektif dengan berkas O cukup jelas. Namun hal yang luar biasa adalah bahwa setiap korespondensi proyektif antara dua berkas bisa saja terjadi

Beras. 98. Tentang konstruksi garis dengan pensil proyektif

dapatkan dengan cara ini. (Keadaan ini bersifat rangkap terhadap latihan 1 di halaman 199.) Jika kumpulan O dan O0 kongruen, diperoleh sebuah lingkaran. Jika sudut antara sinar-sinar yang bersesuaian pada dua berkas sama besar, tetapi diukur dalam arah yang berlawanan, maka diperoleh hiperbola sama sisi (Gbr. 99).

Perlu juga dicatat bahwa definisi bagian kerucut yang ditunjukkan, khususnya, dapat memberikan garis lurus, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 98. Dalam hal ini, garis lurus OO00 bersesuaian dengan dirinya sendiri, dan semua titiknya harus dianggap termasuk dalam lokasi geometris yang diinginkan. Dengan demikian, bagian berbentuk kerucut merosot menjadi

1 Lokus ini, dalam keadaan tertentu, dapat merosot menjadi garis lurus; lihat gambar. 98.

BAGIAN KONIK DAN KUADRIK

sepasang garis lurus: keadaan ini sepenuhnya sesuai dengan kenyataan bahwa ada bagian kerucut yang terdiri dari dua garis lurus (jika bidang potong melewati titik sudut kerucut).

9 8 HAI 7

Beras. 99. Pembentukan lingkaran dan hiperbola sama sisi dengan menggunakan sinar proyektif

Latihan. 1) Gambarlah elips, hiperbola, dan parabola dengan menggunakan pensil proyektif. (Pembaca sangat dianjurkan untuk bereksperimen dengan konstruksi semacam ini. Hal ini sangat membantu dalam memahami inti permasalahan.)

2) Diberikan lima titik O, O0, A, B, C pada suatu bagian berbentuk kerucut K. Temukan titik potong D dari garis sembarang d pensil O dengan kurva K. (Instruksi: melalui O tarik garis OA, OB, OC dan beri nama a, b , c. Gambarlah garis O0 A, O0 B, O0 C melalui O0 dan beri nama a0, b0, c0. Gambarkan garis d melalui O dan buatlah garis d0 dengan pensil O0 sedemikian rupa sehingga (abcd ) = (a0 b0 c0 d0). titik potong d dan d0 termasuk dalam kurva K.)

3. Bagian berbentuk kerucut sebagai “kurva yang diatur”. Konsep garis singgung bagian kerucut termasuk dalam geometri proyektif, karena garis singgung bagian kerucut adalah garis lurus yang hanya memiliki satu titik persekutuan dengan kurva itu sendiri, dan ini adalah sifat yang dipertahankan selama proyeksi. Sifat proyektif garis singgung bagian kerucut didasarkan pada teorema berikut:

Rasio ganda dari titik potong empat garis singgung tetap terhadap bagian berbentuk kerucut dengan garis singgung kelima yang berubah-ubah

Beras. 100. Lingkarilah himpunan garis singgung

GEOMETRI PROYEKTIF. AKSIOMATIS

tidak bergantung pada pilihan garis singgung kelima ini. Bukti teorema ini sangat banyak

Hanya. Karena setiap bagian kerucut adalah proyeksi lingkaran dan karena teorema hanya membahas sifat-sifat yang invarian dalam proyeksi, untuk membuktikan teorema dalam kasus umum, cukup membuktikannya untuk kasus lingkaran tertentu.

Untuk kasus khusus ini, teorema dibuktikan melalui geometri dasar. Misalkan P, Q, R, S adalah empat titik pada lingkaran K; a, b, c, d - garis singgung pada titik-titik ini; T - beberapa titik lain pada lingkaran, o - bersinggungan dengannya; misalkan, selanjutnya, A, B, C, D -

titik potong garis singgung o dengan garis singgung a, b, c, d. Jika M -

pusat lingkaran, maka jelas T MA = 1 2 T MP, dan kesimpulan terakhir

Ekspresi tersebut mewakili sudut yang tertulis di K yang dibatasi oleh busur T P . Dengan cara yang sama, T MB melambangkan sudut pada K dan dibatasi oleh busur T Q. Oleh karena itu,

AMB = 1 2^PQ,

dimana 1 2 ^ P Q menunjukkan sudut yang tertulis di K dan berdasarkan rangkap

y P Q. Dari sini jelas bahwa A, B, C, D diproyeksikan dari M oleh empat garis lurus, yang sudut-sudutnya hanya bergantung pada posisi titik P, Q, R, S. Namun perbandingan ganda (ABCD) hanya bergantung pada empat garis singgung a, b, c, d, tetapi tidak pada garis singgung o. Inilah yang perlu dipasang.

Beras. 101. Sifat garis singgung lingkaran

BAGIAN KONIK DAN KUADRIK

Pada paragraf sebelumnya, kita berkesempatan untuk memverifikasi bahwa bagian berbentuk kerucut dapat dibangun “titik demi titik” jika kita mulai menandai titik-titik perpotongan garis lurus yang saling bersesuaian dari dua kumpulan, di mana korespondensi proyektif telah dibuat. Teorema yang baru saja dibuktikan memberi kita kesempatan untuk merumuskan teorema ganda. Mari kita ambil dua garis singgung a dan a0 pada bagian kerucut K. Misalkan garis singgung ketiga t berpotongan a dan a0 masing-masing di titik A dan A0. Jika t bergerak sepanjang kurva, maka korespondensi akan terjadi

SEBUAH ←→ A0

antara titik a dan titik a0. Korespondensi ini bersifat proyektif, karena menurut teorema yang telah dibuktikan, empat titik sembarang di a pasti akan mempunyai hubungan rangkap yang sama dengan empat titik yang bersesuaian di a0. Oleh karena itu, bagian berbentuk kerucut K, dis-

Beras. 102. Deret proyektif titik-titik pada dua garis singgung elips

dipandang sebagai “himpunan garis singgungnya”, “terdiri dari” garis-garis lurus yang menghubungkan titik-titik yang saling bersesuaian dari dua titik seri1 pada a dan pada a0, yang berkorespondensi proyektif. Keadaan ini memungkinkan kita untuk memperkenalkan definisi baru tentang bagian kerucut, yang kali ini dianggap sebagai “kurva teratur”. Mari kita bandingkan definisi ini dengan definisi proyektif sebelumnya tentang bagian berbentuk kerucut.

1 Kumpulan titik-titik pada suatu garis disebut deret titik. Konsep ini bersifat ganda dalam hubungannya dengan pensil garis.

GEOMETRI PROYEKTIF. AKSIOMATIS

informasi yang diberikan pada paragraf sebelumnya:

Bagian berbentuk kerucut, dianggap sebagai kumpulan titik-titik, terdiri dari titik-titik perpotongan garis-garis yang saling bersesuaian dalam dua garis proyektif

Bagian berbentuk kerucut, dianggap sebagai "kumpulan garis", terdiri dari garis-garis yang menghubungkan titik-titik yang saling bersesuaian dalam dua proyektif

Jika kita mulai mempertimbangkan garis singgung bagian kerucut di suatu titik sebagai elemen ganda dalam kaitannya dengan titik itu sendiri dan, sebagai tambahan, kita setuju untuk membandingkan “kurva teratur” (dibentuk oleh sekumpulan garis singgung) dengan “kurva titik ” (dibentuk oleh sekumpulan titik-titik) atas dasar dualitas, maka rumusan-rumusan sebelumnya akan sempurna dari sudut pandang prinsip dualitas. Ketika “menerjemahkan” satu formulasi ke formulasi lain, mengganti semua konsep dengan konsep ganda yang sesuai, “bagian berbentuk kerucut” tetap tidak berubah; namun dalam satu kasus kurva ini dianggap sebagai “kurva titik” yang ditentukan oleh titik-titiknya, dalam kasus lain sebagai “kurva teratur” yang ditentukan oleh garis singgungnya.

Akibat wajar yang penting mengikuti prinsip sebelumnya: prinsip dualitas, yang awalnya ditetapkan dalam geometri proyektif bidang hanya untuk titik dan garis, ternyata dapat diperluas ke bagian berbentuk kerucut. Jika dalam perumusan teorema apa pun mengenai titik, garis, dan bagian kerucut, kita mengganti setiap elemen dengan elemen gandanya (tanpa mengabaikan fakta bahwa titik bagian kerucut harus dikaitkan dengan garis singgung bagian kerucut tersebut),

maka hasilnya juga merupakan teorema yang valid. Kita akan melihat contoh prinsip ini di paragraf 4 paragraf ini.

Konstruksi bagian berbentuk kerucut, yang dipahami sebagai “kurva teratur”, ditunjukkan pada Gambar. 103–104. Khususnya, jika dalam dua deret titik proyektif, titik-titik di tak terhingga bersesuaian satu sama lain (hal ini pasti akan terjadi jika deret titik-titik tersebut kongruen atau sebangun). 1

GEOMETRI PROYEKTIF. AKSIOMATIS

Prinsip dualitas yang diterapkan pada bagian kerucut adalah hubungan antara teorema umum Pascal dan Brianchon. Yang pertama ditemukan pada tahun 1640, yang kedua pada tahun 1806. Namun, masing-masing merupakan konsekuensi langsung dari yang lain, karena teorema apa pun, yang rumusannya hanya menyebutkan bagian kerucut, garis, dan titik, pasti tetap berlaku ketika rumusannya berubah sesuai prinsip dualitas.

Teorema-teorema yang dibuktikan dalam § 5 dengan nama yang sama mewakili “kasus kemunduran” dari teorema-teorema yang lebih umum berikut ini.

teorema Pascal. Sisi-sisi berlawanan dari segi enam pada bagian berbentuk kerucut berpotongan di tiga titik segaris.

Beras. 105. Konfigurasi umum Pascal. Dua kasus ditampilkan: satu untuk segi enam 1, 2, 3, 4, 5, 6, yang lain untuk segi enam 1, 3, 5, 2, 6, 4

teorema Brianchon. Tiga diagonal yang menghubungkan titik-titik sudut yang berhadapan pada suatu segi enam yang dibatasi pada suatu penampang kerucut adalah konkuren.

Kedua teorema tersebut memiliki konten proyektif yang jelas. Dualitas mereka sangat mencolok jika dirumuskan sebagai berikut:

teorema Pascal. Diberikan enam titik 1, 2, 3, 4, 5, 6 pada bagian berbentuk kerucut. Mari kita hubungkan titik-titik yang berurutan dengan garis lurus (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Mari kita tandai titik potong garis (1, 2) dan (4, 5), (2, 3) dan (5, 6), (3, 4) dan (6, 1). Ketiga titik ini terletak pada satu garis lurus yang sama.

BAGIAN KONIK DAN KUADRIK

teorema Brianchon. Diberikan enam garis singgung 1, 2, 3, 4, 5, 6 pada bagian kerucut. Garis singgung yang berurutan berpotongan di titik (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Mari menggambar garis lurus yang menghubungkan titik (1, 2) dan (4, 5), (2, 3) dan (5, 6), (3, 4) dan (6, 1). Ketiga garis ini melalui satu titik.

Pembuktian dilakukan dengan menggunakan spesialisasi yang sama seperti dalam kasus degenerasi yang dibahas sebelumnya. Mari kita buktikan teorema Pascal. Misalkan A, B, C, D, E, F adalah titik sudut segi enam pada bagian berbentuk kerucut K. Berdasarkan desain, kita dapat membuat garis AB dan ED, FA dan CD sejajar (dan kemudian kita mendapatkan konfigurasi yang ditunjukkan pada Gambar 107; untuk kemudahan, segi enam pada gambar dianggap berpotongan sendiri, meskipun hal ini tidak perlu.) Sekarang kita hanya perlu membuktikan satu hal: bahwa garis CB sejajar dengan garis F E; dengan kata lain, sisi-sisi yang berhadapan berpotongan pada suatu garis lurus hingga tak terhingga. Untuk membuktikannya, perhatikan kuartet titik F, A, B, D, yang seperti kita ketahui, jika diproyeksikan dari titik mana pun K akan mempertahankan hubungan ganda yang sama, katakanlah k. Mari kita proyeksikan dari titik C ke garis AF; kita memperoleh empat titik F, A, Y, ∞, dan

k = (F , A, Y , ∞) = Y Y FA

(lihat halaman 205).

Sekarang mari kita proyeksikan dari titik E ke garis BA; kita mendapatkan

	GEOMETRI PROYEKTIF. AKSIOMATIS

Beras. 108. Konstruksi garis yang memotong tiga garis tertentu yang kedudukannya sama

empat titik X, A, B, ∞, dan

k = (X, A, B, ∞) = BX BA .

BX BA= Y YF A,

yang berarti Y B k F X. Pembuktian teorema Pascal selesai.

Teorema Brianchon, sebagaimana dinyatakan, mengikuti teorema Pascal tentang prinsip dualitas. Namun hal ini juga dapat dibuktikan secara langsung – dengan penalaran yang ganda dari apa yang baru saja diberikan. Ini akan menjadi latihan yang bagus bagi pembaca untuk menjelaskan argumen ini secara rinci.

5. Hiperboloid. Dalam ruang tiga dimensi kita menjumpai apa yang disebut kuadrat (permukaan orde kedua), yang dalam hal ini memainkan peran yang sama dengan “bagian kerucut” (kurva orde kedua) pada bidang.

Yang paling sederhana adalah bola dan ellipsoid. Kuadrik lebih beragam daripada bagian berbentuk kerucut, dan mempelajarinya memiliki kesulitan yang lebih besar. Kita akan melihat secara singkat dan tanpa bukti salah satu permukaan paling menarik dari jenis ini: apa yang disebut hiperboloid terhubung (atau satu lembar).

Permukaan ini dapat diperoleh sebagai berikut. Mari kita ambil tiga garis lurus l1, l2, l3 di ruang angkasa, yang berada pada posisi umum. Yang terakhir berarti tidak ada dua di antaranya yang sejajar dan ketiganya

Beras. 109. Hiperboloid

§ 8 BAGIAN KONIK DAN KUADRIK 239

tidak sejajar pada bidang yang sama. Mungkin tampak mengejutkan bahwa ada banyak sekali garis di ruang angkasa, yang masing-masing garis memotong ketiga garis tertentu. Mari kita pastikan hal ini.

Misalkan p adalah bidang sembarang yang memuat garis l1; Bidang ini memotong garis l2 dan l3 di dua titik, dan garis m yang ditarik melalui kedua titik tersebut jelas memotong semua garis l1, l2 dan l3. Ketika bidang p berputar mengelilingi garis l1, garis m akan berubah posisinya, tetapi tetap berpotongan dengan ketiga garis yang diberikan. Ketika m bergerak, muncul permukaan yang memanjang tanpa batas hingga tak terhingga, yang disebut hiperboloid satu lembar. Ini berisi kumpulan garis tipe m yang tak terbatas. Tiga garis mana pun, misalnya m1, m2, dan m3, juga akan berada pada posisi umum, dan garis-garis dalam ruang yang memotong tiga garis m1, m2, dan m3 secara bersamaan,

juga akan tergeletak di permukaan yang bersangkutan. Ini menyiratkan sifat utama hiperboloid: ia terdiri dari dua kelompok garis lurus yang berbeda; setiap tiga garis keturunan dalam satu keluarga berada pada kedudukan yang sama dan setiap garis keturunan dari satu keluarga bersinggungan dengan semua garis keturunan lainnya.

Sifat proyektif penting dari hiperboloid adalah bahwa rasio ganda dari empat titik di mana empat garis tertentu dari satu keluarga berpotongan dengan beberapa garis dari keluarga kedua tidak bergantung pada pilihan garis terakhir ini. Pernyataan ini mengikuti metode membangun hiperboloid dengan menggunakan bidang berputar, dan pembaca dapat diyakinkan akan validitas dan kualitas latihannya.

Mari kita perhatikan satu lagi sifat luar biasa dari hiperboloid: meskipun mengandung dua kelompok garis lurus, keberadaan garis lurus ini tidak menghalangi permukaan untuk menekuk - tidak membuatnya kaku. Jika kita membuat model hiperboloid dari batang yang mampu berputar bebas di sekitar titik perpotongan, maka permukaan secara keseluruhan

KGB dan UFO - informasi yang dideklasifikasi dokumen rahasia KGB dan UFO

Persamaan garis dalam ruang adalah persamaan dua bidang yang berpotongan