Deret adalah definisi dasar sifat-sifat deret. Tanda Radikal Cauchy. Tes Cauchy Integral

Definisi dasar.

Definisi. Jumlah suku-suku suatu barisan bilangan tak hingga disebut seri angka.

Pada saat yang sama, angkanya
kami akan menyebut mereka anggota seri, dan kamu N– anggota umum dari seri ini.

Definisi. Jumlah
,N = 1, 2, … disebut jumlah pribadi (sebagian). baris.

Dengan demikian, dimungkinkan untuk mempertimbangkan barisan jumlah parsial dari deret tersebut S 1 , S 2 , …, S N , …

Definisi. Baris
ditelepon konvergen, jika barisan jumlah parsialnya konvergen. Jumlah deret konvergen adalah limit barisan jumlah parsialnya.

Definisi. Jika barisan jumlah parsial suatu deret divergen, mis. tidak mempunyai limit, atau mempunyai limit tak terhingga, maka deret tersebut disebut berbeda dan tidak ada jumlah yang diberikan padanya.

Properti baris.

1) Konvergensi atau divergensi suatu deret tidak akan dilanggar jika sejumlah suku-suku deret tersebut diubah, dibuang, atau ditambah.

2) Pertimbangkan dua baris
Dan
, dimana C adalah bilangan konstan.

Dalil. Jika baris
konvergen dan jumlahnya samaS, lalu serinya
juga konvergen, dan jumlahnya sama dengan CS. (C  0)

3) Pertimbangkan dua baris
Dan
.Jumlah atau perbedaan dari rangkaian tersebut akan disebut rangkaian
, dimana unsur-unsurnya diperoleh dengan cara menjumlahkan (mengurangi) unsur-unsur aslinya dengan bilangan yang sama.

Dalil. Jika baris
Dan
konvergen dan jumlahnya masing-masing samaSDan , lalu serinya
juga konvergen dan jumlahnya samaS +  .

Selisih dua deret konvergen juga akan menjadi deret konvergen.

Jumlah deret konvergen dan deret divergen merupakan deret divergen.

Tidak mungkin membuat pernyataan umum tentang jumlah dua deret divergen.

Saat mempelajari deret, mereka pada dasarnya memecahkan dua masalah: mempelajari konvergensi dan mencari jumlah deret.

Kriteria Cauchy.

(kondisi perlu dan cukup untuk konvergensi deret tersebut)

Agar berurutan
konvergen, itu perlu dan cukup untuk apa pun
ada nomor seperti ituN, itu diN > Ndan apa punP> 0, jika p adalah bilangan bulat, maka pertidaksamaan berikut akan berlaku:

.

Bukti. (kebutuhan)

Membiarkan
, lalu untuk nomor apa pun
ada bilangan N sehingga pertidaksamaan tersebut

terpenuhi ketika n>N. Untuk n>N dan bilangan bulat apa pun p>0, pertidaksamaan juga berlaku
. Dengan mempertimbangkan kedua pertidaksamaan tersebut, kita memperoleh:

Kebutuhannya telah terbukti. Kami tidak akan mempertimbangkan bukti kecukupan.

Mari kita rumuskan kriteria Cauchy untuk deret tersebut.

Agar serinya
konvergen, itu perlu dan cukup untuk apa pun
ada nomorNsedemikian rupa sehingga diN> Ndan apa punP>0 maka ketimpangan akan tetap ada

.

Namun, dalam praktiknya, menggunakan kriteria Cauchy secara langsung sangatlah tidak nyaman. Oleh karena itu, sebagai aturan, uji konvergensi yang lebih sederhana digunakan:

1) Jika baris
konvergen, maka perlu suku yang sama kamu N cenderung nol. Namun kondisi ini belum cukup. Kita hanya dapat mengatakan bahwa jika suku persekutuannya tidak cenderung nol, maka deret tersebut pasti divergen. Misalnya saja yang disebut deret harmonik berbeda, meskipun suku umumnya cenderung nol.

Contoh. Selidiki konvergensi deret tersebut

Kami akan menemukannya
- kriteria konvergensi yang diperlukan tidak terpenuhi, yang berarti deretnya divergen.

2) Jika suatu deret konvergen, maka barisan jumlah parsialnya berbatas.

Namun tanda ini juga tidak cukup.

Misalnya deret 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… divergen, karena urutan jumlah parsialnya berbeda karena fakta itu

Namun, urutan penjumlahan parsial terbatas karena
apapun N.

Deret dengan suku non-negatif.

Ketika mempelajari deret tanda konstanta, kita akan membatasi diri untuk mempertimbangkan deret dengan suku non-negatif, karena hanya dengan mengalikan dengan –1, deret tersebut dapat diperoleh dengan suku negatif.

Dalil. Untuk konvergensi deret tersebut
dengan suku-suku non-negatif, jumlah sebagian deret tersebut perlu dan cukup untuk dibatasi.

Tanda untuk membandingkan deret dengan suku non-negatif.

Biarkan dua baris diberikan
Dan
pada kamu N , ay N  0 .

Dalil. Jika kamu N  ay N apapun N, lalu dari konvergensi deret tersebut
deret tersebut menyatu
, dan dari divergensi deret tersebut
serinya menyimpang
.

Bukti. Mari kita nyatakan dengan S N Dan  N jumlah parsial deret
Dan
. Karena sesuai dengan kondisi teorema, deret tersebut
konvergen, maka jumlah parsialnya dibatasi, mis. di depan semua orang N n  M, dimana M adalah bilangan tertentu. Tapi karena kamu N  ay N, Itu S N   N lalu jumlah parsial deret tersebut
juga terbatas, dan ini cukup untuk konvergensi.

Contoh. Periksa deret tersebut untuk konvergensi

Karena
, dan deret harmonik divergen, maka deret tersebut divergen
.

Contoh.

Karena
, dan serialnya
konvergen (seperti barisan geometri menurun), lalu deret
juga menyatu.

Tanda konvergensi berikut juga digunakan:

Dalil. Jika
dan ada batasnya
, Di manaH– angka selain nol, lalu deret
Dan
berperilaku identik dalam hal konvergensi.

tanda D'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - matematikawan Perancis)

Kalau untuk seri
dengan suku positif ada bilangan seperti ituQ<1, что для всех достаточно больших Nketimpangan tetap terjadi

lalu seri
konvergen, jika semuanya cukup besarNkondisi terpenuhi

lalu seri
menyimpang.

Tanda pembatas D'Alembert.

Kriteria pembatas D'Alembert merupakan konsekuensi dari kriteria D'Alembert di atas.

Jika ada batasnya
, lalu kapan < 1 ряд сходится, а при  > 1 – menyimpang. Jika = 1, maka pertanyaan tentang konvergensi tidak dapat dijawab.

Contoh. Tentukan konvergensi deret tersebut .

Kesimpulan: deret tersebut konvergen.

Contoh. Tentukan konvergensi deret tersebut

Kesimpulan: deret tersebut konvergen.

tanda Cauchy. (tanda radikal)

Kalau untuk seri
dengan istilah non-negatif ada angka seperti ituQ<1, что для всех достаточно больших Nketimpangan tetap terjadi

,

lalu seri
konvergen, jika semuanya cukup besarNketimpangan tetap terjadi

lalu seri
menyimpang.

Konsekuensi. Jika ada batasnya
, lalu kapan<1 ряд сходится, а при >Baris 1 menyimpang.

Contoh. Tentukan konvergensi deret tersebut
.

Kesimpulan: deret tersebut konvergen.

Contoh. Tentukan konvergensi deret tersebut
.

Itu. Uji Cauchy tidak menjawab pertanyaan tentang konvergensi deret tersebut. Mari kita periksa apakah kondisi konvergensi yang diperlukan terpenuhi. Seperti disebutkan di atas, jika suatu deret konvergen, suku persekutuan deret tersebut cenderung nol.

,

Dengan demikian, syarat konvergensi tidak terpenuhi, yang berarti deretnya divergen.

Tes Cauchy Integral.

Jika (x) adalah fungsi positif kontinu yang menurun pada interval tersebut Dan
lalu integralnya
Dan
berperilaku identik dalam hal konvergensi.

Seri bergantian.

Baris bergantian.

Deret bolak-balik dapat ditulis sebagai:

Di mana

tanda Leibniz.

Jika tanda barisan berselang-seling nilai absolutkamu Saya sedang menurun
dan suku umumnya cenderung nol
, maka deret tersebut konvergen.

Konvergensi deret mutlak dan bersyarat.

Mari kita perhatikan beberapa deret bergantian (dengan suku tanda sembarang).

(1)

dan suatu deret yang terdiri dari nilai mutlak anggota deret tersebut (1):

(2)

Dalil. Dari konvergensi deret (2) mengikuti konvergensi deret (1).

Bukti. Deret (2) adalah deret yang sukunya tidak negatif. Jika deret (2) konvergen, maka menurut kriteria Cauchy, untuk sembarang >0 terdapat bilangan N sehingga untuk n>N dan sembarang bilangan bulat p>0, pertidaksamaan berikut ini benar:

Menurut sifat nilai absolut:

Artinya, menurut kriteria Cauchy, dari konvergensi deret (2) muncul konvergensi deret (1).

Definisi. Baris
ditelepon benar-benar konvergen, jika deret tersebut konvergen
.

Jelaslah bahwa untuk deret tanda konstan, konsep konvergensi dan konvergensi absolut adalah sama.

Definisi. Baris
ditelepon konvergen bersyarat, jika konvergen dan deretnya
menyimpang.

Tes D'Alembert dan Cauchy untuk deret bergantian.

Membiarkan
- seri bergantian.

tanda D'Alembert. Jika ada batasnya
, lalu kapan<1 ряд
akan benar-benar konvergen, dan kapan>

tanda Cauchy. Jika ada batasnya
, lalu kapan<1 ряд
akan konvergen mutlak, dan jika >1 maka deret tersebut akan divergen. Jika =1, tanda tersebut tidak memberikan jawaban tentang konvergensi deret tersebut.

Sifat-sifat deret mutlak konvergen.

1) Dalil. Untuk konvergensi mutlak deret tersebut
perlu dan cukup untuk direpresentasikan sebagai selisih dua deret konvergen dengan suku-suku non-negatif.

Konsekuensi. Deret konvergen bersyarat adalah selisih dua deret divergen yang suku-sukunya tidak negatif cenderung nol.

2) Pada deret konvergen, setiap pengelompokan suku-suku deret tersebut tanpa mengubah urutannya akan mempertahankan konvergensi dan besaran deret tersebut.

3) Jika suatu deret konvergen mutlak, maka deret yang diperoleh dari sembarang permutasi suku-suku tersebut juga konvergen mutlak dan mempunyai jumlah yang sama.

Dengan menata ulang suku-suku suatu deret konvergen bersyarat, seseorang dapat memperoleh deret konvergen bersyarat yang mempunyai jumlah tertentu, dan bahkan deret divergen.

4) Dalil. Untuk setiap pengelompokan anggota suatu deret yang benar-benar konvergen (dalam hal ini, jumlah kelompok dapat berhingga atau tidak terhingga, dan jumlah anggota suatu kelompok dapat berhingga atau tidak terhingga), diperoleh deret konvergen, jumlah yang sama dengan jumlah deret aslinya.

5) Jika baris Dan konvergen mutlak dan jumlah keduanya masing-masing sama S dan , maka suatu deret yang terdiri dari semua hasil kali bentuk tersebut
diambil dalam urutan apa pun, juga konvergen secara mutlak dan jumlahnya sama dengan S - hasil kali jumlah deret yang dikalikan.

Jika Anda mengalikan deret konvergen bersyarat, Anda akan mendapatkan deret divergen sebagai hasilnya.

Urutan fungsional.

Definisi. Jika anggota deret tersebut bukan bilangan, melainkan fungsi X, maka rangkaian tersebut dipanggil fungsional.

Kajian konvergensi deret fungsional lebih rumit dibandingkan kajian deret numerik. Deret fungsi yang sama bisa, dengan nilai variabel yang sama X menyatu, dan dengan yang lain - menyimpang. Oleh karena itu, pertanyaan tentang konvergensi deret fungsional direduksi menjadi penentuan nilai-nilai variabel tersebut X, di mana deret tersebut bertemu.

Himpunan nilai-nilai tersebut disebut daerah konvergensi.

Karena limit setiap fungsi yang termasuk dalam daerah konvergensi deret tersebut adalah suatu bilangan tertentu, maka limit barisan fungsionalnya adalah suatu fungsi tertentu:

Definisi. Selanjutnya ( F N (X) } menyatu berfungsi F(X) pada segmen tersebut jika untuk sembarang bilangan >0 dan sembarang titik X dari ruas yang ditinjau terdapat bilangan N = N(,x), sehingga terjadi pertidaksamaan

terpenuhi ketika n>N.

Dengan nilai yang dipilih >0, setiap titik pada segmen tersebut memiliki nomornya sendiri dan oleh karena itu, akan ada banyak sekali angka yang bersesuaian dengan semua titik pada segmen tersebut. Jika Anda memilih yang terbesar dari semua bilangan ini, maka bilangan ini akan cocok untuk semua titik pada segmen tersebut, yaitu. akan umum untuk semua titik.

Definisi. Selanjutnya ( F N (X) } berkumpul secara seragam berfungsi F(X) pada ruas , jika untuk sembarang bilangan >0 terdapat bilangan N = N() sehingga pertidaksamaan

terpenuhi untuk n>N untuk semua titik pada segmen tersebut.

Contoh. Pertimbangkan urutannya

Barisan ini konvergen pada seluruh garis bilangan ke fungsi tersebut F(X)=0 , Karena

Mari kita gambarkan urutan ini:

dosa

Terlihat dengan semakin bertambahnya jumlah N grafik barisan mendekati sumbu X.

Seri fungsional.

Definisi. Jumlah pribadi (sebagian). rentang fungsional
fungsi dipanggil

Definisi. Rentang fungsional
ditelepon konvergen pada titik ( x=x 0 ), jika barisan jumlah parsialnya konvergen di titik ini. Batas urutan
ditelepon jumlah baris
pada intinya X 0 .

Definisi. Kumpulan semua nilai X, yang deretnya konvergen
ditelepon daerah konvergensi baris.

Definisi. Baris
ditelepon konvergen seragam pada suatu interval jika barisan jumlah parsial deret tersebut konvergen secara seragam pada interval tersebut.

Dalil. (Kriteria Cauchy untuk konvergensi deret yang seragam)

Untuk konvergensi seragam deret tersebut
itu perlu dan cukup untuk nomor berapa pun >0 nomor seperti itu adaN( ), yang padaN> Ndan keseluruhan apa punP>0 ketimpangan

akan berlaku untuk semua x pada interval [A, B].

Dalil. (Uji Weierstrass untuk konvergensi seragam)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – matematikawan Jerman)

Baris
konvergen secara seragam dan mutlak pada interval [A, B], jika modulus suku-sukunya pada ruas yang sama tidak melebihi suku-suku yang bersesuaian dari suatu deret bilangan konvergen dengan suku-suku positif:

itu. ada ketimpangan:

.

Mereka juga mengatakan bahwa dalam hal ini rangkaian fungsional
adalah mayoritas seri angka
.

Contoh. Periksa deret tersebut untuk konvergensi
.

Karena
selalu, jelas sekali
.

Selain itu diketahui deret harmonik umum ketika=3>1 konvergen, maka sesuai dengan uji Weierstrass, deret yang diteliti konvergen secara seragam dan terlebih lagi pada interval berapa pun.

Contoh. Periksa deret tersebut untuk konvergensi .

Pada interval [-1,1] pertidaksamaan terjadi
itu. menurut kriteria Weierstrass, deret yang diteliti konvergen pada segmen ini, tetapi menyimpang pada interval (-, -1)  (1, ).

Sifat-sifat deret konvergen seragam.

1) Teorema kontinuitas jumlah suatu deret.

Jika anggota seri
- kontinu pada segmen [A, B] fungsi dan deretnya konvergen seragam, lalu jumlahnyaS(X) adalah fungsi kontinu pada interval [A, B].

2) Teorema integrasi suku demi suku suatu deret.

Konvergen secara seragam pada segmen [A, B] suatu deret dengan suku-suku kontinu dapat diintegrasikan suku demi suku pada interval ini, yaitu. suatu deret yang terdiri dari integral-integral suku-sukunya pada segmen tersebut [A, B] , konvergen ke integral jumlah deret pada segmen ini.

3) Teorema diferensiasi suku demi suku suatu deret.

Jika anggota seri
berkumpul di segmen [A, B] mewakili fungsi kontinu yang memiliki turunan kontinu, dan deret yang terdiri dari turunan tersebut
konvergen beraturan pada ruas tersebut, maka deret tersebut konvergen beraturan dan dapat dibedakan suku demi suku.

Berdasarkan kenyataan bahwa jumlah deret tersebut merupakan suatu fungsi dari variabel X, Anda dapat melakukan operasi merepresentasikan suatu fungsi dalam bentuk deret (perluasan suatu fungsi menjadi deret), yang banyak digunakan dalam integrasi, diferensiasi, dan operasi lain dengan fungsi.

Dalam praktiknya, perluasan fungsi deret pangkat sering digunakan.

Seri kekuatan.

Definisi. Seri kekuatan disebut rangkaian bentuk

.

Untuk mempelajari konvergensi deret pangkat, akan lebih mudah jika menggunakan uji d'Alembert.

Contoh. Periksa deret tersebut untuk konvergensi

Kami menerapkan tanda d'Alembert:

.

Kami menemukan bahwa deret ini konvergen di
dan menyimpang di
.

Sekarang kita tentukan konvergensi pada titik batas 1 dan –1.

Untuk x = 1:
Deret tersebut konvergen menurut kriteria Leibniz (lihat tanda Leibniz.).

Pada x = -1:
deretnya divergen (deret harmonik).

teorema Habel.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – matematikawan Norwegia)

Dalil. Jika rangkaian pangkat
menyatu diX = X 1 , kemudian menyatu dan, terlebih lagi, untuk semua orang
.

Bukti. Menurut ketentuan teorema, karena suku-suku deret tersebut terbatas, maka

Di mana k- beberapa bilangan konstan. Pertidaksamaan berikut ini benar:

Dari ketimpangan ini jelas kapan X< X 1 nilai numerik suku-suku deret kita akan lebih kecil (setidaknya tidak lebih) dari suku-suku deret yang bersesuaian di sisi kanan pertidaksamaan yang ditulis di atas, yang membentuk barisan geometri. Penyebut dari perkembangan ini menurut syarat teorema kurang dari satu, oleh karena itu perkembangan ini merupakan deret konvergen.

Oleh karena itu, berdasarkan kriteria perbandingan, kami menyimpulkan bahwa seri tersebut
konvergen yang artinya deret
menyatu secara mutlak.

Jadi, jika rangkaian pangkat
menyatu pada suatu titik X 1 , maka ia konvergen mutlak di sembarang titik dalam interval panjangnya 2 terpusat pada suatu titik X = 0.

Konsekuensi. Jika di x = x 1 serinya berbeda, lalu berbeda untuk semua orang
.

Jadi, untuk setiap deret pangkat terdapat bilangan positif R sehingga untuk semua X seperti yang
seri ini benar-benar konvergen, dan untuk semua
barisnya menyimpang. Dalam hal ini, bilangan R dipanggil radius konvergensi. Interval (-R, R) disebut interval konvergensi.

Perhatikan bahwa interval ini dapat ditutup pada satu atau kedua sisi, atau tidak ditutup.

Jari-jari konvergensi dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Contoh. Temukan luas konvergensi deret tersebut

Menemukan jari-jari konvergensi
.

Oleh karena itu, deret ini konvergen untuk nilai berapa pun X. Suku umum deret ini cenderung nol.

Dalil. Jika rangkaian pangkat
menyatu untuk nilai positif x=x 1 , maka ia menyatu secara seragam dalam interval mana pun di dalamnya
.

Tindakan dengan rangkaian kekuatan.

Artikel ini memberikan informasi terstruktur dan terperinci yang mungkin berguna saat menganalisis latihan dan tugas. Kita akan melihat topik deret bilangan.

Artikel ini dimulai dengan definisi dan konsep dasar. Selanjutnya, kita akan menggunakan opsi standar dan mempelajari rumus dasarnya. Untuk mengkonsolidasikan materi, artikel ini memberikan contoh dan tugas dasar.

Yandex.RTB RA-339285-1

Tesis dasar

Pertama, mari kita bayangkan sistemnya: a 1 , a 2 . . . , sebuah , . . . , dimana k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Misalnya, ambil bilangan seperti: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

Definisi 1

Deret bilangan adalah jumlah suku-suku ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + dan + . . . .

Untuk lebih memahami definisinya, perhatikan kasus di mana q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Definisi 2

ak bersifat umum atau k –th anggota seri.

Tampilannya seperti ini - 16 · - 1 2 k.

Definisi 3

Jumlah sebagian deret terlihat seperti ini S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , di mana N– nomor berapa pun. S n adalah ke-n jumlah serinya.

Misalnya ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k adalah S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S 1 , S 2 , . . . , Sn, . . . membentuk barisan bilangan yang tak terhingga.

Untuk satu baris ke-n jumlahnya dicari dengan rumus S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n. Kami menggunakan urutan jumlah parsial berikut: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

Definisi 4

Deret ∑ k = 1 ∞ a k adalah konvergen ketika barisan tersebut mempunyai limit berhingga S = lim S n n → + ∞ . Jika tidak ada limit atau barisan tersebut tidak berhingga, maka deret ∑ k = 1 ∞ a k disebut berbeda.

Definisi 5

Jumlah deret konvergen∑ k = 1 ∞ a k adalah limit barisan tersebut ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

Dalam contoh ini, lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , baris ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 k menyatu. Jumlahnya adalah 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

Contoh 1

Contoh deret divergen adalah jumlah barisan geometri yang penyebutnya lebih besar dari satu: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

Jumlah parsial ke-n diberikan oleh S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, dan limit jumlah parsial tidak terhingga: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Contoh lain deret bilangan divergen adalah penjumlahan yang berbentuk ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . Dalam hal ini, jumlah parsial ke-n dapat dihitung sebagai Sn = 5n. Limit jumlah parsial tidak terhingga lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

Definisi 6

Jumlah yang bentuknya sama dengan ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . - Ini harmonis seri angka.

Definisi 7

Jumlah ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , Di mana S– bilangan real, adalah deret bilangan harmonik umum.

Definisi yang dibahas di atas akan membantu Anda memecahkan sebagian besar contoh dan masalah.

Untuk melengkapi definisi tersebut, perlu dibuktikan persamaan tertentu.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – divergen.

Kami menggunakan metode sebaliknya. Jika konvergen maka limitnya berhingga. Kita dapat menulis persamaannya sebagai lim n → + ∞ S n = S dan lim n → + ∞ S 2 n = S . Setelah tindakan tertentu kita mendapatkan persamaan l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0.

Melawan,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 hal

Pertidaksamaan berikut ini sah: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Kita mendapatkan bahwa S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Ekspresi S 2 n - S n > 1 2 menunjukkan bahwa lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 tidak tercapai. Serialnya berbeda.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Perlu dipastikan bahwa jumlah barisan bilangan konvergen di q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Menurut definisi di atas, jumlahnya N suku ditentukan menurut rumus S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Jika q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Kita telah membuktikan bahwa deret bilangan konvergen.

Untuk q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + . . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Jumlahnya dapat dicari dengan rumus S n = b 1 · n, limitnya tak terhingga lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. Dalam versi yang disajikan, seri ini berbeda.

Jika q = - 1, maka deretnya terlihat seperti b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . Jumlah parsial terlihat seperti S n = b 1 untuk ganjil N, dan S n = 0 untuk genap N. Setelah mempertimbangkan kasus ini, kami akan memastikan bahwa tidak ada batasan dan deretnya divergen.

Untuk q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Kita telah membuktikan bahwa deret bilangan tersebut divergen.

1. Deret ∑ k = 1 ∞ 1 k s konvergen jika s > 1 dan divergen jika s ≤ 1.

Untuk s = 1 kita peroleh ∑ k = 1 ∞ 1 k , deretnya divergen.

Kapan s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k, bilangan asli. Karena deret tersebut divergen ∑ k = 1 ∞ 1 k , maka tidak ada limitnya. Selanjutnya, barisan ∑ k = 1 ∞ 1 k s tidak terbatas. Kami menyimpulkan bahwa deret yang dipilih divergen ketika S< 1 .

Perlu dibuktikan bahwa deret ∑ k = 1 ∞ 1 k s konvergen untuk s > 1.

Bayangkan S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) dtk

Mari kita asumsikan bahwa 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Bayangkan persamaan bilangan natural dan genap n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Kita mendapatkan:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 detik + 1 8 detik + . . . + 1 15 detik + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Ekspresinya adalah 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . adalah jumlah barisan geometri q = 1 2 s - 1. Menurut data awal di s > 1, lalu 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 meningkat dan dibatasi dari atas 1 1 - 1 2 s - 1 . Bayangkan ada limit dan deret tersebut konvergen ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Definisi 8

Deret ∑ k = 1 ∞ ak positif dalam hal ini, jika anggotanya > 0 ak > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Deret ∑ k = 1 ∞ bk sinyal bolak-balik, jika tanda bilangannya berbeda. Contoh ini disajikan sebagai ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k atau ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , dimana a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Deret ∑ k = 1 ∞ bk bergantian, karena mengandung banyak angka, negatif dan positif.

Rangkaian opsi kedua merupakan kasus khusus dari opsi ketiga.

Berikut adalah contoh untuk masing-masing kasus:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Untuk opsi ketiga, Anda juga dapat menentukan konvergensi absolut dan bersyarat.

Definisi 9

Deret bolak-balik ∑ k = 1 ∞ b k konvergen mutlak jika ∑ k = 1 ∞ b k juga dianggap konvergen.

Mari kita lihat beberapa opsi umum secara detail.

Contoh 2

Jika barisnya adalah 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . dan 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . didefinisikan konvergen, maka asumsi 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

Definisi 10

Deret bolak-balik ∑ k = 1 ∞ b k dianggap konvergen bersyarat jika ∑ k = 1 ∞ b k divergen, dan deret ∑ k = 1 ∞ b k dianggap konvergen.

Contoh 3

Mari kita periksa secara rinci pilihan ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Deret ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k yang terdiri dari nilai mutlak didefinisikan divergen. Opsi ini dianggap konvergen karena mudah ditentukan. Dari contoh ini kita mengetahui bahwa deret ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . akan dianggap konvergen bersyarat.

Ciri-ciri deret konvergen

Mari kita menganalisis properti untuk kasus-kasus tertentu

1. Jika ∑ k = 1 ∞ ak konvergen, maka deret ∑ k = m + 1 ∞ ak juga dianggap konvergen. Dapat dicatat bahwa baris tanpa M istilah juga dianggap konvergen. Jika kita menjumlahkan beberapa bilangan pada ∑ k = m + 1 ∞ a k, maka hasil yang dihasilkan juga akan konvergen.
2. Jika ∑ k = 1 ∞ ak konvergen dan jumlahnya = S, maka deret ∑ k = 1 ∞ A · ak , ∑ k = 1 ∞ A · ak = A · S juga konvergen, dimana A-konstan.
3. Jika ∑ k = 1 ∞ a k dan ∑ k = 1 ∞ b k konvergen, jumlah A Dan B demikian pula deret ∑ k = 1 ∞ a k + b k dan ∑ k = 1 ∞ a k - b k juga konvergen. Jumlahnya akan sama A+B Dan A - B masing-masing.

Contoh 4

Tentukan bahwa deret tersebut konvergen ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Mari kita ubah ekspresi ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Deret ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 dianggap konvergen, karena deret ∑ k = 1 ∞ 1 k s konvergen ketika s > 1. Berdasarkan sifat kedua, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Contoh 5

Tentukan apakah deret ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 konvergen.

Mari kita transformasikan versi aslinya ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 .

Kita peroleh jumlah ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 dan ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Setiap deret dianggap konvergen menurut propertinya. Jadi, seiring dengan menyatunya seri ini, begitu pula dengan versi aslinya.

Contoh 6

Hitung apakah deret 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + konvergen. . . dan menghitung jumlahnya.

Mari kita kembangkan versi aslinya:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Setiap deret konvergen karena merupakan salah satu anggota barisan bilangan. Berdasarkan properti ketiga, kita dapat menghitung bahwa versi aslinya juga konvergen. Kita menghitung jumlah: Suku pertama deret ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, dan penyebutnya = 0. 5, diikuti dengan, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Suku pertamanya adalah ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , dan penyebut barisan bilangan menurun = 1 3 . Kita peroleh: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Kita menggunakan ekspresi yang diperoleh di atas untuk menentukan jumlah 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Kondisi yang diperlukan untuk menentukan apakah suatu deret konvergen

Definisi 11

Jika deret ∑ k = 1 ∞ a k konvergen, maka limitnya kth suku = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Jika kita mencentang pilihan apa pun, kita tidak boleh melupakan kondisi yang sangat diperlukan. Jika tidak terpenuhi maka deretnya divergen. Jika lim k → + ∞ ak ≠ 0, maka deret tersebut divergen.

Perlu diperjelas bahwa kondisi ini penting, namun tidak cukup. Jika persamaan lim k → + ∞ a k = 0 berlaku, maka hal ini tidak menjamin bahwa ∑ k = 1 ∞ a k konvergen.

Mari kita beri contoh. Untuk deret harmonik ∑ k = 1 ∞ 1 k kondisi terpenuhi lim k → + ∞ 1 k = 0 , namun deret tersebut tetap divergen.

Contoh 7

Tentukan konvergensi ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Mari kita periksa ekspresi awal untuk pemenuhan kondisi lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Membatasi ke-n anggota tidak sama dengan 0. Kami telah membuktikan bahwa rangkaian ini berbeda.

Cara menentukan kekonvergenan suatu deret positif.

Jika Anda terus-menerus menggunakan karakteristik ini, Anda harus terus menghitung batasannya. Bagian ini akan membantu Anda menghindari kesulitan dalam memecahkan contoh dan masalah. Untuk menentukan konvergensi suatu deret positif, ada syarat tertentu.

Untuk konvergensi tanda positif ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . perlu untuk menentukan urutan jumlah yang terbatas.

Bagaimana membandingkan seri

Ada beberapa tanda deret perbandingan. Kita bandingkan deret yang konvergensinya diusulkan untuk ditentukan dengan deret yang konvergensinya diketahui.

Tanda pertama

∑ k = 1 ∞ a k dan ∑ k = 1 ∞ b k merupakan deret bertanda positif. Pertidaksamaan a k ≤ b k berlaku untuk k = 1, 2, 3, ... Oleh karena itu, dari deret ∑ k = 1 ∞ b k kita dapat memperoleh ∑ k = 1 ∞ a k . Karena ∑ k = 1 ∞ a k divergen, maka deret ∑ k = 1 ∞ b k dapat didefinisikan divergen.

Aturan ini terus-menerus digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan merupakan argumen serius yang akan membantu menentukan konvergensi. Kesulitannya mungkin terletak pada kenyataan bahwa tidak mungkin menemukan contoh yang cocok untuk perbandingan dalam setiap kasus. Cukup sering, serangkaian dipilih berdasarkan prinsip indikatornya kth sukunya sama dengan hasil pengurangan eksponen pembilang dan penyebutnya kth anggota seri. Misalkan a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 , selisihnya sama dengan 2 – 3 = - 1 . Dalam hal ini, kita dapat menentukan seri tersebut untuk perbandingan k-th suku b k = k - 1 = 1 k , yaitu harmonik.

Untuk mengkonsolidasikan materi yang diterima, kami akan mempertimbangkan secara rinci beberapa opsi umum.

Contoh 8

Tentukan deret ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2.

Karena limit = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, syarat yang diperlukan telah dipenuhi. Ketimpangan akan adil 1k< 1 k - 1 2 для k, yang alami. Dari paragraf sebelumnya kita mengetahui bahwa deret harmonik ∑ k = 1 ∞ 1 k adalah divergen. Berdasarkan kriteria pertama, dapat dibuktikan bahwa versi aslinya berbeda.

Contoh 9

Tentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Dalam contoh ini, kondisi yang diperlukan terpenuhi, karena lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. Kita nyatakan sebagai pertidaksamaan 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Deret ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 konvergen, karena deret harmonik ∑ k = 1 ∞ 1 k s konvergen untuk s > 1. Berdasarkan kriteria pertama, kita dapat menyimpulkan bahwa deret bilangan tersebut konvergen.

Contoh 10

Tentukan deret ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k). lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Dalam opsi ini, Anda dapat menandai terpenuhinya kondisi yang diinginkan. Mari kita tentukan rangkaian untuk perbandingan. Misalnya, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Untuk menentukan derajatnya, perhatikan barisan (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Anggota barisan ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . meningkat hingga tak terhingga. Setelah menganalisis persamaan tersebut, kita dapat mengetahui bahwa dengan mengambil nilai N = 1619, maka suku barisan tersebut > 2. Untuk barisan ini pertidaksamaan 1 k ln (ln k) akan benar< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Tanda kedua

Misalkan ∑ k = 1 ∞ a k dan ∑ k = 1 ∞ b k adalah deret bilangan positif.

Jika lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , maka deret ∑ k = 1 ∞ b k konvergen, dan ∑ k = 1 ∞ a k juga konvergen.

Jika lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, maka karena deret ∑ k = 1 ∞ b k divergen, maka ∑ k = 1 ∞ a k juga divergen.

Jika lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ dan lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, maka konvergensi atau divergensi suatu deret berarti konvergensi atau divergensi deret lainnya.

Misalkan ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 menggunakan tanda kedua. Sebagai perbandingan ∑ k = 1 ∞ b k kita ambil deret konvergen ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Mari kita tentukan limitnya: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Berdasarkan kriteria kedua, dapat ditentukan bahwa deret konvergen ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 berarti versi aslinya juga konvergen.

Contoh 11

Tentukan deret ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5.

Mari kita analisis kondisi yang diperlukan lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, yang dipenuhi dalam versi ini. Berdasarkan kriteria kedua, ambil deret ∑ k = 1 ∞ 1 k . Kita cari limitnya: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Menurut tesis di atas, deret divergen berarti divergensi deret aslinya.

Tanda ketiga

Mari kita perhatikan tanda perbandingan ketiga.

Misalkan ∑ k = 1 ∞ a k dan _ ∑ k = 1 ∞ b k adalah deret bilangan positif. Jika syarat terpenuhi untuk suatu bilangan tertentu a k + 1 ak ≤ b k + 1 b k , maka konvergensi deret tersebut ∑ k = 1 ∞ b k berarti deret ∑ k = 1 ∞ a k juga konvergen. Deret divergen ∑ k = 1 ∞ a k memerlukan divergensi ∑ k = 1 ∞ b k .

tanda D'Alembert

Bayangkan ∑ k = 1 ∞ a k adalah deret bilangan positif. Jika lim k → + ∞ ak + 1 ak< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, lalu divergen.

Catatan 1

Uji D'Alembert valid jika limitnya tidak terhingga.

Jika lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , maka deret tersebut konvergen, jika lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , maka deret tersebut divergen.

Jika lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, maka tanda d’Alembert tidak akan membantu dan diperlukan penelitian lebih lanjut.

Contoh 12

Tentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k menggunakan uji d’Alembert.

Penting untuk memeriksa apakah kondisi konvergensi yang diperlukan terpenuhi. Mari kita hitung limitnya menggunakan aturan L'Hopital: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Kita dapat melihat bahwa kondisi tersebut terpenuhi. Mari kita gunakan uji d'Alembert: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

Deret tersebut konvergen.

Contoh 13

Tentukan apakah deret tersebut divergen ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Mari kita gunakan uji d'Alembert untuk menentukan divergensi deret tersebut: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! kkk! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! kk · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Oleh karena itu, rangkaiannya berbeda.

Tanda Radikal Cauchy

Misalkan ∑ k = 1 ∞ a k adalah suatu deret yang bertanda positif. Jika lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, lalu divergen.

Catatan 2

Jika lim k → + ∞ a k k = 1, maka tanda ini tidak memberikan informasi apa pun - diperlukan analisis tambahan.

Fitur ini dapat digunakan pada contoh yang mudah diidentifikasi. Kasusnya biasa terjadi ketika anggota deret bilangan merupakan ekspresi pangkat eksponensial.

Untuk mengkonsolidasikan informasi yang diterima, mari kita perhatikan beberapa contoh umum.

Contoh 14

Tentukan apakah deret bertanda positif ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k konvergen.

Syarat yang diperlukan dianggap terpenuhi, karena lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Berdasarkan kriteria yang dibahas di atas, kita memperoleh lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

Contoh 15

Apakah deret bilangan ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 bertemu?

Kami menggunakan fitur yang dijelaskan pada paragraf sebelumnya lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Tes Cauchy Integral

Misalkan ∑ k = 1 ∞ a k adalah suatu deret yang bertanda positif. Penting untuk menunjukkan fungsi argumen berkelanjutan kamu = f(x), yang bertepatan dengan a n = f (n) . Jika kamu = f(x) lebih besar dari nol, tidak terputus dan berkurang sebesar [ a ; + ∞) , dimana a ≥ 1

Kemudian, jika integral tak wajar ∫ a + ∞ f (x) d x konvergen, maka deret yang ditinjau juga konvergen. Jika divergen, maka pada contoh yang dibahas deretnya juga divergen.

Saat memeriksa apakah suatu fungsi mengalami penurunan, Anda dapat menggunakan materi yang dibahas dalam pelajaran sebelumnya.

Contoh 16

Perhatikan contoh ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k untuk konvergensi.

Syarat konvergensi deret tersebut dianggap terpenuhi, karena lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Misalkan y = 1 x ln x. Lebih besar dari nol, tidak terputus dan berkurang [ 2 ; + ∞) . Dua poin pertama diketahui secara pasti, tetapi poin ketiga harus dibahas lebih terinci. Carilah turunan: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Adalah kurang dari nol pada [ 2 ; + ∞).Hal ini membuktikan tesis bahwa fungsinya menurun.

Sebenarnya fungsi y = 1 x ln x sesuai dengan ciri-ciri prinsip yang kita bahas di atas. Mari kita gunakan: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Berdasarkan hasil yang diperoleh, contoh aslinya divergen, karena integral tak wajarnya divergen.

Contoh 17

Buktikan kekonvergenan deret ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Karena lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, maka kondisi dianggap terpenuhi.

Dimulai dengan k = 4, persamaan yang benar adalah 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Jika deret ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 dianggap konvergen, maka menurut salah satu prinsip perbandingan, deret ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 juga akan dianggap konvergen. Dengan cara ini kita dapat menentukan bahwa ekspresi aslinya juga konvergen.

Mari kita lanjutkan ke pembuktian: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Karena fungsi y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 lebih besar dari nol, maka tidak terputus dan berkurang [ 4 ; + ∞) . Kami menggunakan fitur yang dijelaskan di paragraf sebelumnya:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · dalam 28 2

Pada deret konvergen yang dihasilkan, ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, kita dapat menentukan bahwa ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 juga konvergen.

tanda Raabe

Misalkan ∑ k = 1 ∞ a k adalah deret bilangan positif.

Jika lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, maka konvergen.

Metode penentuan ini dapat digunakan jika teknik yang dijelaskan di atas tidak memberikan hasil yang terlihat.

Studi Konvergensi Absolut

Untuk penelitian kita ambil ∑ k = 1 ∞ b k . Kita menggunakan tanda positif ∑ k = 1 ∞ b k . Kami dapat menggunakan salah satu fitur sesuai yang kami jelaskan di atas. Jika deret ∑ k = 1 ∞ b k konvergen, maka deret aslinya konvergen mutlak.

Contoh 18

Selidiki deret ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 untuk konvergensi ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 .

Kondisi terpenuhi lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Kita menggunakan ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 dan menggunakan tanda kedua: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Deret ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 konvergen. Seri aslinya juga benar-benar konvergen.

Divergensi deret bolak-balik

Jika deret ∑ k = 1 ∞ b k divergen, maka deret bolak-balik yang bersesuaian ∑ k = 1 ∞ b k adalah divergen atau konvergen bersyarat.

Hanya uji d'Alembert dan uji radikal Cauchy yang akan membantu menarik kesimpulan tentang ∑ k = 1 ∞ b k dari divergensi modulus ∑ k = 1 ∞ b k . Deret ∑ k = 1 ∞ b k juga divergen jika syarat konvergensi yang diperlukan tidak terpenuhi, yaitu jika lim k → ∞ + b k ≠ 0.

Contoh 19

Periksa divergensi 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6,. . . .

Modul kth suku direpresentasikan sebagai b k = k ! 7k.

Mari kita periksa deret ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k untuk konvergensi menggunakan kriteria d'Alembert: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7rb + 1rb ! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7k menyimpang dengan cara yang sama seperti versi aslinya.

Contoh 20

Apakah ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergen.

Mari kita perhatikan kondisi yang diperlukan lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1" (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Syarat tersebut tidak terpenuhi, maka ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) deret tersebut divergen. Batasnya dihitung dengan menggunakan aturan L'Hopital.

Kriteria konvergensi bersyarat

tes Leibniz

Definisi 12

Jika nilai suku-suku deret bolak-balik berkurang b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . dan limit modulusnya = 0 karena k → + ∞, maka deret ∑ k = 1 ∞ b k konvergen.

Contoh 17

Pertimbangkan ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) untuk konvergensi.

Deret tersebut direpresentasikan sebagai ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Kondisi yang diperlukan terpenuhi: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Pertimbangkan ∑ k = 1 ∞ 1 k dengan kriteria perbandingan kedua lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Diketahui bahwa ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) divergen. Deret ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) konvergen menurut kriteria Leibniz: barisan 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . berkurang dan lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Deret tersebut konvergen secara kondisional.

Tes Abel-Dirichlet

Definisi 13

∑ k = 1 + ∞ u k · v k konvergen jika ( u k ) tidak bertambah dan barisan ∑ k = 1 + ∞ v k dibatasi.

Contoh 17

Jelajahi 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . untuk konvergensi.

Mari kita bayangkan

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

dimana (uk) = 1, 1 2, 1 3, . . . tidak bertambah, dan barisan (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . terbatas (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . Rangkaian ini menyatu.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter

1. Jika a 1 + a 2 + a 3 +…+an +…= konvergen, maka deret a m+1 +am+2 +am+3 +…, diperoleh dari deret tersebut dengan membuang suku m pertama, juga menyatu. Deret yang dihasilkan ini disebut sisa deret ke-m. Dan sebaliknya: dari konvergensi sisa deret ke-m, konvergensi deret ini mengikuti. Itu. Konvergensi dan divergensi suatu deret tidak dilanggar jika sejumlah sukunya ditambah atau dibuang.

2 . Jika deret a 1 + a 2 + a 3 +... konvergen dan jumlahnya sama dengan S, maka deret Ca 1 + Ca 2 +..., dimana C = juga konvergen dan jumlahnya sama dengan CS.

3. Jika deret a 1 +a 2 +... dan b 1 +b 2 +... konvergen dan jumlah keduanya masing-masing sama dengan S1 dan S2, maka deret tersebut (a 1 +b 1)+(a 2 + b 2)+(a 3 +b 3)+… dan (a 1 -b 1)+(a 2 -b 2)+(a 3 -b 3)+… juga konvergen. Jumlahnya masing-masing sama dengan S1+S2 dan S1-S2.

4. A). Jika suatu deret konvergen, maka suku ke-nnya cenderung 0 karena n bertambah tanpa batas (tidak berlaku sebaliknya).

- diperlukan tanda (kondisi)konvergensi baris.

B). Jika
maka deretnya divergen - memadai kondisidivergensi baris.

-Rangkaian jenis ini dipelajari hanya menurut sifat 4. Ini berbeda baris.

Seri tanda-positif.

Tanda-tanda konvergensi dan divergensi deret tanda positif.

Deret positif adalah deret yang semua sukunya positif. Kita akan mempertimbangkan tanda-tanda konvergensi dan divergensi ini untuk deret yang bertanda positif.

1. Tanda perbandingan pertama.

Misalkan diberikan dua deret bertanda positif a 1 + a 2 + a 3 +…+an +…= (1) b 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…= (2).

Jika anggota deret (1) tidak lebihb n dan deret (2) konvergen, maka deret (1) juga konvergen.

Jika anggota deret (1) tidak kurang anggota seri (2) yang sesuai, mis. dan N b n dan baris (2) menyimpang, maka deret (1) juga divergen.

Kriteria perbandingan ini berlaku jika pertidaksamaan tidak terpenuhi untuk semua n, tetapi hanya dimulai dari beberapa.

2. Tanda perbandingan kedua.

Jika ada limit yang berhingga dan bukan nol
, maka kedua deret tersebut konvergen atau divergen secara bersamaan.

- baris jenis ini menyimpang sesuai dengan kriteria perbandingan kedua. Mereka harus dibandingkan dengan deret harmonik.

3. Tanda D'Alembert.

Jika untuk deret positif (a 1 + a 2 + a 3 +…+an +…= ) ada
(1), maka deret tersebut konvergen jika q<1, расходится, если q>

4. Tanda Cauchy bersifat radikal.

Jika ada batasan untuk deret positif
(2), maka deret tersebut konvergen jikaq<1, расходится, если q>1. Jika q=1 maka pertanyaannya tetap terbuka.

5. Uji Cauchy merupakan integral.

Mari kita mengingat kembali integral tak wajar.

Jika ada batasnya
. Ini adalah integral tak wajar dan dilambangkan
.

Jika limitnya berhingga, maka integral tak wajar dikatakan konvergen. Deret tersebut masing-masing konvergen atau divergen.

Misalkan deret a 1 + a 2 + a 3 +…+an +…= - seri positif.

Mari kita nyatakan a n =f(x) dan pertimbangkan fungsinya f(x). Jika f(x) adalah fungsi positif, menurun secara monoton, dan kontinu, maka jika integral tak wajar konvergen, maka deret tertentu juga konvergen. Dan sebaliknya: jika integral tak wajar divergen, maka deretnya divergen.

Jika deret tersebut berhingga maka deret tersebut konvergen.

Baris sangat umum
-Seri Derichlet. Konvergen jika p>1, divergen p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

1. Deret bilangan: konsep dasar, syarat-syarat yang diperlukan agar deret tersebut konvergen. Sisa baris.

2. Deret dengan suku positif dan uji konvergensinya: uji perbandingan, D'Alembert, Cauchy.

3. Deret bergantian, uji Leibniz.

1. Pengertian deret bilangan. Konvergensi

Dalam penerapan matematika, serta dalam memecahkan beberapa masalah di bidang ekonomi, statistik, dan bidang lainnya, jumlah dengan jumlah suku yang tak terhingga dipertimbangkan. Disini kami akan memberikan definisi tentang apa yang dimaksud dengan jumlah tersebut.

Biarkan barisan bilangan tak terhingga diberikan

Definisi 1.1. Seri angka atau sederhananya di dekat disebut ekspresi (jumlah) dari bentuk

. (1.1)

Angka disebut anggota sejumlah, –umum atau n–m anggota seri.

Untuk mendefinisikan deret (1.1), cukup dengan menentukan fungsi argumen natural penghitungan suku ke deret tersebut dengan bilangannya

Contoh 1.1. Membiarkan . Baris

(1.2)

ditelepon deret harmonik.

Contoh 1.2. Biarkan, Baris

(1.3)

ditelepon deret harmonik umum. Dalam kasus tertentu, diperoleh deret harmonik.

Contoh 1.3. Misalkan =. Baris

ditelepon mendekati deret geometri.

Dari suku deret (1.1) kita bentuk suatu bilangan urutan parsial jumlah Di mana – jumlah suku pertama deret tersebut, yang disebut N-jumlah sebagian, yaitu.

…………………………….

…………………………….

Urutan nomor dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas, dapat:

1) mempunyai batas yang terbatas;

2) tidak mempunyai batas yang berhingga (batasnya tidak ada atau sama dengan tak terhingga).

Definisi 1.2. Deret (1.1) disebut konvergen, jika barisan jumlah parsialnya (1,5) mempunyai limit berhingga, yaitu

Dalam hal ini nomor tersebut dipanggil jumlah seri (1.1) dan ditulis

Definisi 1.3. Deret (1.1) disebut berbeda, jika barisan jumlah parsialnya tidak mempunyai limit yang berhingga.

Tidak ada jumlah yang ditetapkan pada deret divergen.

Jadi, soal mencari jumlah suatu deret konvergen (1.1) sama dengan menghitung limit barisan jumlah parsialnya.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1.4. Buktikan bahwa seri tersebut

konvergen dan tentukan jumlahnya.

Mari kita cari jumlah parsial ke-n dari deret ini.

Anggota umum nyatakan deret tersebut dalam bentuk .

Dari sini kita memiliki: . Oleh karena itu, deret ini konvergen dan jumlahnya sama dengan 1:

Contoh 1.5. Periksa deret tersebut untuk konvergensi

Untuk baris ini

. Oleh karena itu, rangkaian ini menyimpang.

Komentar. Untuk deret (1.6) adalah jumlah angka nol yang tak terhingga dan jelas konvergen.

2. Sifat dasar deret bilangan

Sifat-sifat penjumlahan sejumlah suku berhingga berbeda dengan sifat-sifat suatu deret, yaitu jumlah suku-suku yang jumlahnya tak terhingga. Jadi, dalam kasus sejumlah suku berhingga, suku-suku tersebut dapat dikelompokkan dalam urutan apa pun, hal ini tidak akan mengubah jumlahnya. Ada deret konvergen (konvergen bersyarat, yang akan dibahas di Bagian 5), yang seperti ditunjukkan Riemann * , dengan mengubah urutan suku-sukunya secara tepat, Anda dapat membuat jumlah deret tersebut sama dengan bilangan apa pun, dan bahkan deret divergen.

Contoh 2.1. Perhatikan deret divergen bentuk (1.7)

Dengan mengelompokkan anggota-anggotanya secara berpasangan, kita memperoleh deret bilangan konvergen yang jumlahnya sama dengan nol:

Sebaliknya, dengan mengelompokkan suku-sukunya secara berpasangan, dimulai dari suku kedua, kita juga memperoleh deret konvergen, tetapi jumlahnya sama dengan satu:

Deret konvergen memiliki sifat tertentu yang memungkinkannya diperlakukan seolah-olah merupakan jumlah berhingga. Jadi bisa dikalikan dengan angka, ditambah dan dikurangi suku demi suku. Mereka dapat menggabungkan istilah-istilah yang berdekatan ke dalam kelompok.

Teorema 2.1.(Tanda penting dari konvergensi suatu deret).

Jika deret (1.1) konvergen, maka suku persekutuannya cenderung nol karena n bertambah tanpa batas, yaitu.

Bukti teorema berikut dari fakta bahwa , dan jika

S adalah jumlah deret (1.1), maka

Kondisi (2.1) merupakan kondisi perlu tetapi tidak cukup untuk konvergensi deret tersebut. Artinya, jika suku persekutuan suatu deret cenderung nol di , hal ini tidak berarti deret tersebut konvergen. Misalnya untuk deret harmonik (1.2) namun, seperti yang akan ditunjukkan di bawah, hal ini berbeda.