Membandingkan besaran dan besaran ketika memecahkan masalah praktis telah diperlukan sejak zaman kuno. Pada saat yang sama, muncul kata-kata seperti lebih dan lebih kecil, lebih tinggi dan lebih rendah, lebih ringan dan lebih berat, lebih tenang dan lebih keras, lebih murah dan lebih mahal, dll., yang menunjukkan hasil perbandingan jumlah yang homogen.
Konsep lebih dan kurang muncul sehubungan dengan menghitung benda, mengukur dan membandingkan besaran. Misalnya, ahli matematika Yunani Kuno mengetahui bahwa sisi suatu segitiga lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya dan bahwa sisi yang lebih besar dari sebuah segitiga terletak berhadapan dengan sudut yang lebih besar. Archimedes, ketika menghitung keliling, menetapkan bahwa keliling suatu lingkaran sama dengan tiga kali diameternya dengan kelebihan yang kurang dari sepertujuh diameternya, tetapi lebih dari sepuluh tujuh puluh kali diameternya.
Tuliskan secara simbolis hubungan bilangan dan besaran dengan menggunakan tanda > dan b. Catatan dimana dua angka dihubungkan dengan salah satu tanda: > (lebih besar dari), Anda juga menemukan ketidaksetaraan numerik di kelas yang lebih rendah. Anda tahu bahwa kesenjangan bisa saja benar, bisa juga salah. Misalnya, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) adalah pertidaksamaan numerik benar, 0,23 > 0,235 adalah pertidaksamaan numerik salah.
Ketimpangan yang melibatkan hal yang tidak diketahui mungkin benar untuk beberapa nilai yang tidak diketahui dan salah untuk nilai lainnya. Misalnya, pertidaksamaan 2x+1>5 benar jika x = 3, tetapi tidak benar jika x = -3. Untuk pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui, Anda dapat menetapkan tugas: menyelesaikan pertidaksamaan tersebut. Dalam praktiknya, masalah penyelesaian pertidaksamaan diajukan dan diselesaikan tidak kalah seringnya dengan masalah penyelesaian persamaan. Misalnya, banyak masalah ekonomi yang bermuara pada studi dan pemecahan sistem kesenjangan linier. Di banyak cabang matematika, pertidaksamaan lebih umum terjadi dibandingkan persamaan.
Beberapa pertidaksamaan berfungsi sebagai satu-satunya alat bantu untuk membuktikan atau menyangkal keberadaan suatu objek tertentu, misalnya akar persamaan.
Ketimpangan numerik
Anda dapat membandingkan bilangan bulat dan pecahan desimal. Mengetahui aturan membandingkan pecahan biasa yang penyebutnya sama tetapi pembilangnya berbeda; dengan pembilang yang sama tetapi penyebutnya berbeda. Di sini Anda akan belajar cara membandingkan dua bilangan dengan mencari tanda selisihnya.
Membandingkan angka banyak digunakan dalam praktik. Misalnya, seorang ekonom membandingkan indikator yang direncanakan dengan indikator aktual, seorang dokter membandingkan suhu pasien dengan suhu normal, seorang tukang bubut membandingkan dimensi bagian mesin dengan standar. Dalam semua kasus tersebut, beberapa angka dibandingkan. Akibat perbandingan angka, timbul ketidaksetaraan numerik.
Definisi. Bilangan a lebih besar dari bilangan b jika selisih a-b positif. Bilangan a lebih kecil dari bilangan b jika selisih a-b negatif.
Jika a lebih besar dari b, maka ditulis: a > b; jika a lebih kecil dari b, maka ditulis: a Jadi, pertidaksamaan a > b berarti selisih a - b positif, yaitu. a - b > 0. Pertidaksamaan a Untuk dua bilangan a dan b dari ketiga relasi berikut a > b, a = b, a Membandingkan bilangan a dan b berarti mencari tanda yang mana >, = atau Dalil. Jika a > b dan b > c, maka a > c.
Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tidak akan berubah.
Konsekuensi. Suku apa pun dapat dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya dengan mengubah tanda suku tersebut ke kebalikannya.
Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut tidak akan berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut akan berubah menjadi sebaliknya.
Konsekuensi. Jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut tidak berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut akan berubah menjadi sebaliknya.
Anda tahu bahwa persamaan numerik dapat dijumlahkan dan dikalikan suku demi suku. Selanjutnya, Anda akan mempelajari cara melakukan tindakan serupa dengan ketidaksetaraan. Kemampuan menjumlahkan dan mengalikan pertidaksamaan suku demi suku sering digunakan dalam praktik. Tindakan ini membantu memecahkan masalah dalam mengevaluasi dan membandingkan makna ekspresi.
Saat menyelesaikan berbagai masalah, sering kali kita perlu menjumlahkan atau mengalikan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan suku demi suku. Pada saat yang sama, kadang-kadang dikatakan bahwa kesenjangan bertambah atau berlipat ganda. Misalnya, jika seorang turis berjalan lebih dari 20 km pada hari pertama, dan lebih dari 25 km pada hari kedua, maka kita dapat mengatakan bahwa dalam dua hari ia berjalan lebih dari 45 km. Demikian pula jika panjang suatu persegi panjang kurang dari 13 cm dan lebarnya kurang dari 5 cm, maka luas persegi panjang tersebut dapat dikatakan kurang dari 65 cm2.
Saat mempertimbangkan contoh-contoh ini, berikut ini digunakan: teorema penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan:
Dalil. Bila pertidaksamaan bertanda sama dijumlahkan, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.
Dalil. Apabila pertidaksamaan bertanda sama dikalikan, yang sisi kiri dan kanannya positif, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b, c > d dan a, b, c, d bilangan positif, maka ac > bd.
Pertidaksamaan yang bertanda > (lebih besar dari) dan 1/2, 3/4 b, c disertai tanda pertidaksamaan tegas > dan Dengan cara yang sama, pertidaksamaan \(a \geq b \) berarti bilangan a adalah lebih besar dari atau sama dengan b, yaitu .dan tidak kurang b.
Pertidaksamaan yang mengandung tanda \(\geq \) atau tanda \(\leq \) disebut tidak ketat. Misalnya, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) bukanlah pertidaksamaan tegas.
Semua sifat pertidaksamaan tegas juga berlaku untuk pertidaksamaan tidak tegas. Apalagi jika untuk pertidaksamaan tegas tanda > dianggap berlawanan dan diketahui bahwa untuk menyelesaikan sejumlah soal terapan harus dibuat model matematika berupa persamaan atau sistem persamaan. Selanjutnya, Anda akan mempelajari bahwa model matematika untuk menyelesaikan banyak masalah adalah pertidaksamaan dengan hal yang tidak diketahui. Konsep penyelesaian pertidaksamaan akan diperkenalkan dan cara menguji apakah suatu bilangan merupakan solusi pertidaksamaan tertentu akan ditampilkan.
Ketimpangan bentuk
\(ax > b, \quad ax yang a dan b diberi bilangan, dan x adalah bilangan yang tidak diketahui, disebut pertidaksamaan linier dengan satu hal yang tidak diketahui.
Definisi. Penyelesaian pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui adalah nilai dari pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti menemukan semua penyelesaiannya atau menetapkan bahwa tidak ada penyelesaian sama sekali.
Anda menyelesaikan persamaan dengan mereduksinya menjadi persamaan paling sederhana. Demikian pula, ketika menyelesaikan pertidaksamaan, seseorang mencoba mereduksinya menggunakan sifat-sifat menjadi bentuk pertidaksamaan sederhana.
Menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel
Ketimpangan bentuk
\(ax^2+bx+c >0 \) dan \(ax^2+bx+c dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan dan \(a \neq 0 \), disebut pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel.
Solusi terhadap ketimpangan
\(ax^2+bx+c >0 \) atau \(ax^2+bx+c \) dapat dianggap sebagai interval pencarian di mana fungsi \(y= ax^2+bx+c \) bernilai positif atau negatif nilai Untuk melakukan ini, cukup menganalisis bagaimana grafik fungsi \(y= ax^2+bx+c\) terletak pada bidang koordinat: ke mana cabang-cabang parabola diarahkan - ke atas atau ke bawah, apakah parabola memotong sumbu x dan jika iya, maka di titik berapa.
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel:
1) carilah diskriminan trinomial persegi \(ax^2+bx+c\) dan cari tahu apakah trinomial tersebut mempunyai akar;
2) jika trinomial mempunyai akar, maka tandai pada sumbu x dan melalui titik-titik yang ditandai gambarlah parabola skema, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas untuk a > 0 atau ke bawah untuk a 0 atau ke bawah untuk a 3) tentukan interval pada sumbu x yang titik-titik parabolanya terletak di atas sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan \(ax^2+bx+c >0\)) atau di bawah sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan ketidaksamaan
\(ax^2+bx+c Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval
Pertimbangkan fungsinya
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Domain dari fungsi ini adalah himpunan semua bilangan. Angka nol dari fungsi tersebut adalah angka -2, 3, 5. Angka tersebut membagi domain definisi fungsi menjadi interval \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) dan \( (5; +\infty)\)
Mari kita cari tahu apa saja tanda-tanda fungsi ini pada setiap interval yang ditunjukkan.
Ekspresi (x + 2)(x - 3)(x - 5) adalah hasil kali tiga faktor. Tanda masing-masing faktor dalam interval yang dipertimbangkan ditunjukkan dalam tabel:
Secara umum, biarkan fungsinya diberikan oleh rumus
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
dimana x adalah variabel, dan x 1, x 2, ..., x n adalah bilangan-bilangan yang tidak sama. Bilangan x 1 , x 2 , ..., x n adalah nol dari fungsi tersebut. Dalam setiap interval di mana domain definisi dibagi dengan nol dari suatu fungsi, tanda dari fungsi tersebut dipertahankan, dan ketika melewati nol, tandanya berubah.
Properti ini digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) dimana x 1, x 2, ..., x n adalah bilangan-bilangan yang tidak sama
Metode yang dipertimbangkan menyelesaikan pertidaksamaan disebut metode interval.
Mari kita berikan contoh penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan metode interval.
Selesaikan ketimpangan:
\(x(0.5-x)(x+4) Tentu saja, nol dari fungsi f(x) = x(0.5-x)(x+4) adalah titik \(x=0, \; x= \ frak(1)(2) , \; x=-4 \)Kami memplot angka nol dari fungsi tersebut pada sumbu bilangan dan menghitung tanda pada setiap interval:
Kami memilih interval di mana fungsinya kurang dari atau sama dengan nol dan menuliskan jawabannya.
Menjawab:
\(x \di \kiri(-\infty; \; 1 \kanan) \cangkir \kiri[ 4; \; +\infty \kanan) \)
KETIMPANGAN LOGARITMA DALAM PENGGUNAAN
Sechin Mikhail Alexandrovich
Akademi Ilmu Pengetahuan Kecil untuk Pelajar Republik Kazakhstan “Iskatel”
MBOU "Sekolah Menengah Sovetskaya No. 1", kelas 11, kota. Distrik Sovetsky Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, guru dari Lembaga Pendidikan Anggaran Kota “Sekolah Menengah Sovetskaya No.1”
Distrik Soviet
Tujuan pekerjaan: mempelajari mekanisme penyelesaian pertidaksamaan logaritma C3 dengan menggunakan metode nonstandar, mengidentifikasi fakta menarik tentang logaritma.
Subyek studi:
3) Belajar menyelesaikan pertidaksamaan logaritma spesifik C3 dengan menggunakan metode nonstandar.
Hasil:
Isi
Pendahuluan………………………………………………………………………………….4
Bab 1. Sejarah Masalah…………………………………………………...5
Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma…………………………7
2.1. Transisi ekuivalen dan metode interval umum…………… 7
2.2. Metode rasionalisasi................................................................................................ 15
2.3. Substitusi non-standar………................................................ ............ ..... 22
2.4. Tugas dengan jebakan………………………………………………27
Kesimpulan………………………………………………………………………………… 30
Literatur……………………………………………………………………. 31
Perkenalan
Saya duduk di kelas 11 dan berencana masuk universitas yang mata pelajaran intinya adalah matematika. Itu sebabnya saya banyak mengerjakan soal di bagian C. Dalam tugas C3, saya perlu menyelesaikan pertidaksamaan non-standar atau sistem pertidaksamaan, biasanya terkait dengan logaritma. Saat mempersiapkan ujian, saya dihadapkan pada masalah kurangnya metode dan teknik untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma ujian yang ditawarkan di C3. Metode yang dipelajari dalam kurikulum sekolah tentang topik ini tidak memberikan dasar untuk menyelesaikan tugas C3. Guru matematika menyarankan agar saya mengerjakan tugas C3 secara mandiri di bawah bimbingan beliau. Selain itu, saya tertarik dengan pertanyaan: apakah kita menemukan logaritma dalam hidup kita?
Berdasarkan hal tersebut, topik yang dipilih adalah:
“Ketidaksetaraan logaritmik dalam Ujian Negara Bersatu”
Tujuan pekerjaan: mempelajari mekanisme penyelesaian masalah C3 dengan menggunakan metode non-standar, mengidentifikasi fakta menarik tentang logaritma.
Subyek studi:
1) Temukan informasi yang diperlukan tentang metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma.
2) Temukan informasi tambahan tentang logaritma.
3) Belajar memecahkan masalah C3 tertentu dengan menggunakan metode non-standar.
Hasil:
Signifikansi praktisnya terletak pada perluasan peralatan untuk memecahkan masalah C3. Materi ini dapat digunakan dalam beberapa pelajaran, untuk klub, dan kelas pilihan matematika.
Produk proyeknya adalah kumpulan “Ketidaksetaraan Logaritma C3 dengan Solusi.”
Bab 1. Latar Belakang
Sepanjang abad ke-16, jumlah perhitungan perkiraan meningkat pesat, terutama di bidang astronomi. Memperbaiki instrumen, mempelajari pergerakan planet, dan pekerjaan lainnya membutuhkan perhitungan yang sangat besar, terkadang bertahun-tahun. Astronomi berada dalam bahaya tenggelam dalam perhitungan yang tidak terpenuhi. Kesulitan muncul di bidang lain, misalnya dalam bisnis asuransi diperlukan tabel bunga majemuk untuk berbagai tingkat suku bunga. Kesulitan utama adalah perkalian dan pembagian bilangan multidigit, khususnya besaran trigonometri.
Penemuan logaritma didasarkan pada sifat-sifat barisan yang terkenal pada akhir abad ke-16. Tentang hubungan antar anggota perkembangan geometri q, q2, q3, ... dan perkembangan aritmatika eksponennya 1, 2, 3,... Archimedes berbicara dalam Mazmur. Prasyarat lainnya adalah perluasan konsep derajat menjadi eksponen negatif dan pecahan. Banyak penulis telah menunjukkan bahwa perkalian, pembagian, eksponensial, dan ekstraksi akar dalam deret geometri bersesuaian dalam aritmatika - dalam urutan yang sama - penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Inilah gagasan logaritma sebagai eksponen.
Dalam sejarah perkembangan doktrin logaritma telah melewati beberapa tahapan.
Tahap 1
Logaritma ditemukan paling lambat tahun 1594 secara independen oleh Baron Napier dari Skotlandia (1550-1617) dan sepuluh tahun kemudian oleh mekanik Swiss Bürgi (1552-1632). Keduanya ingin menyediakan cara perhitungan aritmatika yang baru dan mudah digunakan, meskipun mereka mendekati masalah ini dengan cara yang berbeda. Napier secara kinematis menyatakan fungsi logaritmik dan dengan demikian memasuki bidang teori fungsi baru. Bürgi tetap berdasarkan pertimbangan perkembangan yang terpisah. Namun definisi logaritma keduanya tidak sama dengan definisi modern. Istilah "logaritma" (logaritmus) milik Napier. Itu muncul dari kombinasi kata Yunani: logos - "hubungan" dan ariqmo - "angka", yang berarti "jumlah hubungan". Awalnya, Napier menggunakan istilah yang berbeda: numeri artificiales - "bilangan buatan", sebagai lawan dari numeri naturalts - "bilangan asli".
Pada tahun 1615, dalam percakapan dengan Henry Briggs (1561-1631), seorang profesor matematika di Gresh College di London, Napier menyarankan untuk menggunakan nol sebagai logaritma satu, dan 100 sebagai logaritma sepuluh, atau, berapa jumlahnya. hal, hanya 1. Ini adalah bagaimana logaritma desimal dan tabel logaritma pertama dicetak. Belakangan, tabel Briggs dilengkapi oleh penjual buku Belanda dan penggila matematika Adrian Flaccus (1600-1667). Napier dan Briggs, meskipun mereka sampai pada logaritma lebih awal dari orang lain, menerbitkan tabel mereka lebih lambat dari yang lain - pada tahun 1620. Tanda log dan Log diperkenalkan pada tahun 1624 oleh I. Kepler. Istilah "logaritma natural" diperkenalkan oleh Mengoli pada tahun 1659 dan diikuti oleh N. Mercator pada tahun 1668, dan guru London John Speidel menerbitkan tabel logaritma natural angka dari 1 hingga 1000 dengan nama "Logaritma Baru".
Tabel logaritma pertama diterbitkan dalam bahasa Rusia pada tahun 1703. Namun pada semua tabel logaritma terdapat kesalahan perhitungan. Tabel bebas kesalahan pertama diterbitkan pada tahun 1857 di Berlin, diproses oleh ahli matematika Jerman K. Bremiker (1804-1877).
Tahap 2
Perkembangan lebih lanjut dari teori logaritma dikaitkan dengan penerapan geometri analitik dan kalkulus yang sangat kecil. Pada saat itu, hubungan antara kuadratur hiperbola sama sisi dan logaritma natural telah terbentuk. Teori logaritma periode ini dikaitkan dengan nama sejumlah ahli matematika.
Matematikawan, astronom, dan insinyur Jerman Nikolaus Mercator dalam sebuah esai
"Logarithmotechnics" (1668) memberikan deret yang memberikan perluasan ln(x+1) dalam
pangkat x:
Ungkapan ini sangat sesuai dengan alur pemikirannya, meskipun tentu saja ia tidak menggunakan tanda d, ..., melainkan simbolisme yang lebih rumit. Dengan ditemukannya deret logaritma, teknik penghitungan logaritma berubah: deret tersebut mulai ditentukan menggunakan deret tak hingga. Dalam kuliahnya “Matematika Dasar dari Sudut Pandang Tinggi”, yang diberikan pada tahun 1907-1908, F. Klein mengusulkan penggunaan rumus sebagai titik awal untuk membangun teori logaritma.
Tahap 3
Definisi fungsi logaritma sebagai fungsi invers
eksponensial, logaritma sebagai eksponen dari basis tertentu
tidak segera dirumuskan. Esai oleh Leonhard Euler (1707-1783)
"Pengantar Analisis Infinitesimals" (1748) berfungsi lebih jauh
pengembangan teori fungsi logaritma. Dengan demikian,
134 tahun telah berlalu sejak logaritma pertama kali diperkenalkan
(dihitung dari tahun 1614), sebelum ahli matematika sampai pada definisinya
konsep logaritma yang kini menjadi dasar mata pelajaran sekolah.
Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma
2.1. Transisi yang setara dan metode interval yang digeneralisasi.
Transisi yang setara
, jika > 1
, jika 0 <
а <
1
Metode interval umum
Metode ini adalah yang paling universal untuk menyelesaikan hampir semua jenis kesenjangan. Diagram solusinya terlihat seperti ini:
1. Bawalah pertidaksamaan tersebut ke bentuk fungsi di ruas kiri 
, dan di sebelah kanan 0.
2. Temukan domain dari fungsi tersebut .
3. Temukan nol dari fungsi tersebut , yaitu menyelesaikan persamaannya 
(dan menyelesaikan persamaan biasanya lebih mudah daripada menyelesaikan pertidaksamaan).
4. Gambarkan domain definisi dan nol fungsi pada garis bilangan.
5. Tentukan tanda-tanda fungsi tersebut pada interval yang diperoleh.
6. Pilih interval di mana fungsi tersebut mengambil nilai yang diperlukan dan tuliskan jawabannya.
Contoh 1.
Larutan:
Mari terapkan metode interval
Di mana
Untuk nilai-nilai ini, semua ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif.
Menjawab:
Contoh 2.
Larutan:
1 jalan . ADL ditentukan oleh ketimpangan X> 3. Mengambil logaritma untuk itu X ke basis 10, kita dapatkan
Ketimpangan terakhir dapat diatasi dengan menerapkan aturan perluasan, yaitu. membandingkan faktor-faktornya dengan nol. Namun, dalam kasus ini mudah untuk menentukan interval tanda konstan dari fungsi tersebut
oleh karena itu, metode interval dapat diterapkan.
Fungsi F(X) = 2X(X- 3.5)lg X- 3ǀ kontinu di X> 3 dan menghilang pada titik tertentu X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Jadi, kita menentukan interval tanda konstan dari fungsi tersebut F(X):
Menjawab:
metode ke-2 . Mari kita terapkan langsung gagasan metode interval pada pertidaksamaan awal.
Untuk melakukan ini, ingatlah ekspresi itu A B- A c dan ( A - 1)(B- 1) memiliki satu tanda. Kemudian ketimpangan kita di X> 3 setara dengan ketimpangan
atau
Pertidaksamaan terakhir diselesaikan dengan menggunakan metode interval
Menjawab:
Contoh 3.
Larutan:
Mari terapkan metode interval
Menjawab:
Contoh 4.
Larutan:
Sejak 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 untuk semua nyata X, Itu
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kedua kita menggunakan metode interval
Pada pertidaksamaan pertama kita melakukan penggantian
lalu kita sampai pada pertidaksamaan 2y 2 - kamu - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те kamu, yang memenuhi pertidaksamaan -0,5< kamu < 1.
Dari mana, karena
kita mendapatkan ketidaksetaraan
yang dilakukan kapan X, untuk yang 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Sekarang, dengan mempertimbangkan solusi pertidaksamaan kedua dari sistem tersebut, kita akhirnya memperolehnya
Menjawab:
Contoh 5.
Larutan:
Ketimpangan setara dengan kumpulan sistem
atau
Mari kita gunakan metode interval atau
Menjawab:
Contoh 6.
Larutan:
Ketimpangan sama dengan sistem
Membiarkan
Kemudian kamu > 0,
dan ketimpangan pertama
sistem mengambil bentuk
atau, sedang berlangsung
faktor trinomial kuadrat,
Menerapkan metode interval pada pertidaksamaan terakhir,
kami melihat bahwa solusinya memenuhi kondisi tersebut kamu> 0 akan menjadi segalanya kamu > 4.
Jadi, pertidaksamaan awal ekuivalen dengan sistem:
Jadi, solusi terhadap ketimpangan itu adalah segalanya
2.2. Metode rasionalisasi.
Sebelumnya, ketimpangan tidak diselesaikan dengan metode rasionalisasi; Ini adalah “metode baru yang efektif dan modern untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik” (kutipan dari buku karya S.I. Kolesnikova)
Dan bahkan jika gurunya mengenalnya, ada ketakutan - apakah ahli USE mengenalnya, dan mengapa mereka tidak memberikannya di sekolah? Ada situasi ketika guru berkata kepada siswanya: “Di mana kamu mendapatkannya?
Sekarang metode ini sedang dipromosikan dimana-mana. Dan bagi para ahli terdapat pedoman yang terkait dengan metode ini, dan dalam “Edisi Opsi Standar Terlengkap...” di Solusi C3 metode ini digunakan.
METODE INDAH!
"Meja Ajaib"
Di sumber lain
Jika a >1 dan b >1, lalu log a b >0 dan (a -1)(b -1)>0;
Jika a >1 dan 0 jika 0<A<1 и b
>1, lalu log ab<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jika 0<A<1 и 00 dan (a -1)(b -1)>0. Penalaran yang dilakukan sederhana, namun sangat menyederhanakan penyelesaian pertidaksamaan logaritma. Contoh 4.
catatan x (x 2 -3)<0
Larutan:
Contoh 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Larutan: Contoh 6.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, alih-alih penyebutnya, kita menulis (x-1-1)(x-1), dan sebagai ganti pembilangnya, kita menulis hasil perkaliannya (x-1)(x-3-9 + x). Contoh 7.
Contoh 8.
2.3. Substitusi non-standar. Contoh 1.
Contoh 2.
Contoh 3.
Contoh 4.
Contoh 5.
Contoh 6.
Contoh 7.
catatan 4 (3 x -1)catatan 0,25 Mari kita lakukan penggantian y=3 x -1; maka ketimpangan ini akan terwujud Log 4 log 0,25 Karena mencatat 0,25 Mari kita lakukan penggantian t =log 4 y dan dapatkan pertidaksamaan t 2 -2t +≥0 yang penyelesaiannya adalah interval - Jadi, untuk mencari nilai y kita mempunyai himpunan dua pertidaksamaan sederhana Oleh karena itu, pertidaksamaan asal setara dengan himpunan dua pertidaksamaan eksponensial, Penyelesaian pertidaksamaan pertama himpunan ini adalah interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Contoh 8.
Larutan:
Ketimpangan sama dengan sistem Penyelesaian pertidaksamaan kedua yang menentukan ODZ adalah himpunan pertidaksamaan tersebut X,
untuk itu X > 0.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama kita melakukan substitusi Lalu kita mendapatkan ketidaksetaraan atau Himpunan penyelesaian pertidaksamaan terakhir dicari dengan metode interval: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, kita mendapatkan atau Banyak sekali X, yang memenuhi pertidaksamaan terakhir milik ODZ ( X> 0), oleh karena itu, merupakan solusi sistem, dan karenanya ketidaksetaraan aslinya. Menjawab: 2.4. Tugas dengan jebakan. Contoh 1.
Larutan. ODZ pertidaksamaan tersebut adalah semua x yang memenuhi kondisi 0 Contoh 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Menjawab. (0; 0,5)kamu.
Menjawab :
(3;6)
.
= -catatan 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , maka pertidaksamaan terakhir kita tulis ulang menjadi 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Penyelesaian himpunan ini adalah interval 0<у≤2 и 8≤у<+.
yaitu agregat 
. Jadi, pertidaksamaan awal terpenuhi untuk semua nilai x dari interval 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Oleh karena itu, semua x berasal dari interval 0
Kesimpulan
Tidak mudah untuk menemukan metode khusus untuk memecahkan masalah C3 dari berbagai sumber pendidikan. Selama pekerjaan yang dilakukan, saya dapat mempelajari metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma yang kompleks. Ini adalah: transisi setara dan metode interval umum, metode rasionalisasi , substitusi non-standar , tugas dengan jebakan di ODZ. Metode-metode ini tidak termasuk dalam kurikulum sekolah.
Dengan menggunakan metode yang berbeda, saya menyelesaikan 27 pertidaksamaan yang diajukan pada Unified State Examination bagian C, yaitu C3. Pertidaksamaan dengan solusi dengan metode ini menjadi dasar kumpulan “Ketidaksetaraan Logaritmik C3 dengan Solusi”, yang menjadi produk proyek kegiatan saya. Hipotesis yang saya ajukan di awal proyek terbukti: Masalah C3 dapat diselesaikan secara efektif jika Anda mengetahui metode ini.
Selain itu, saya menemukan fakta menarik tentang logaritma. Menarik bagi saya untuk melakukan ini. Produk proyek saya akan bermanfaat bagi siswa dan guru.
Kesimpulan:
Dengan demikian, tujuan proyek telah tercapai dan masalah telah terpecahkan. Dan saya mendapatkan pengalaman kegiatan proyek yang paling lengkap dan beragam di semua tahapan pekerjaan. Saat mengerjakan proyek, dampak perkembangan utama saya adalah pada kompetensi mental, aktivitas yang berkaitan dengan operasi mental logis, pengembangan kompetensi kreatif, inisiatif pribadi, tanggung jawab, ketekunan, dan aktivitas.
Jaminan keberhasilan saat membuat proyek penelitian untuk Saya memperoleh: pengalaman sekolah yang signifikan, kemampuan memperoleh informasi dari berbagai sumber, memeriksa keandalannya, dan mengurutkannya berdasarkan kepentingan.
Selain pengetahuan mata pelajaran langsung matematika, saya memperluas keterampilan praktis saya di bidang ilmu komputer, memperoleh pengetahuan dan pengalaman baru di bidang psikologi, menjalin kontak dengan teman sekelas, dan belajar bekerja sama dengan orang dewasa. Selama kegiatan proyek, keterampilan pendidikan umum organisasi, intelektual dan komunikatif dikembangkan.
literatur
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistem pertidaksamaan dengan satu variabel (tugas standar C3).
2. Malkova A. G. Persiapan Ujian Negara Terpadu Matematika.
3. Samarova S. S. Menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik.
4. Matematika. Kumpulan karya pendidikan yang diedit oleh A.L. Semenov dan I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 hal.-
Buku teks matematika “Ujian Negara Terpadu 2017. Matematika” bertujuan untuk mempersiapkan siswa sekolah menengah agar berhasil lulus Ujian Negara Terpadu Matematika. Panduan belajar ini menyajikan materi persiapan penyelesaian soal 15 tingkat profil.
Dibandingkan tahun lalu, buku ini telah ditingkatkan dan diperluas secara signifikan.
Manual ini ditujukan untuk siswa sekolah menengah, guru matematika dan orang tua.
Contoh.
Dari lima pernyataan berikut tentang hasil pertandingan antara tim hoki “Ugolnik” dan “Tsirkul”, tiga benar dan dua tidak:
1) memenangkan “Ugolnik”;
2) “Ugolnik” mencetak 5 gol;
3) pertandingan berakhir seri;
4) total 11 gol dicetak dalam pertandingan tersebut;
5) “Kompas” menang.
Tentukan skor pertandingan dan tunjukkan pemenangnya (jika pertandingan berakhir dengan kemenangan salah satu tim).
Temukan jumlah sisi poligon cembung jika hanya tiga dari empat pernyataan berikut yang benar:
1) jumlah sudut poligon lebih besar dari 600°;
2) jumlah sudut poligon lebih besar dari 700°;
3) jumlah sudut poligon lebih besar dari 800°;
4) jumlah sudut poligon lebih besar dari 900°.
Isi
Kata pengantar
Bab 1. Metode umum untuk mengatasi kesenjangan
§1.1. Konsep dan Fakta Dasar
§1.2. Metode interval
§1.3. Faktorisasi dan pengelompokan
§1.4. Metode untuk memperkenalkan variabel baru
§1.5. Menerapkan sifat-sifat fungsi untuk menyelesaikan pertidaksamaan
§1.6. Metode faktor yang identik tanda
Bab 2. Keseluruhan Ketimpangan dan Sistem Ketimpangan
§2.1. Pertidaksamaan linier dan kuadrat
§2.2. Pertidaksamaan bilangan bulat yang lebih kompleks
Bab 3. Ketimpangan pecahan-rasional dan sistem ketimpangan
§3.1. Pertidaksamaan rasional pecahan yang paling sederhana
§3.2. Pertidaksamaan rasional pecahan yang lebih kompleks
Bab 4. Pertidaksamaan yang mengandung variabel di bawah tanda nilai mutlak (modulus).
§4.1. Pertidaksamaan paling sederhana dengan modulus
§4.2. Ketimpangan yang lebih kompleks dengan modulus
Bab 5. Ketimpangan yang tidak rasional
§5.1. Ketimpangan irasional yang paling sederhana
§5.2. Ketimpangan irasional yang lebih kompleks
Bab 6. Pertidaksamaan trigonometri
§6.1. Pertidaksamaan trigonometri paling sederhana
§6.2. Pertidaksamaan trigonometri yang lebih kompleks
Bab 7. Pertidaksamaan eksponensial
§7.1. Pertidaksamaan eksponensial paling sederhana
§7.2. Ketimpangan eksponensial yang lebih kompleks
Bab 8. Pertidaksamaan logaritma
§8.1. Pertidaksamaan logaritma paling sederhana
§8.2. Pertidaksamaan logaritmik yang lebih kompleks
Jawaban.
Unduh e-book secara gratis dalam format yang nyaman, tonton dan baca:
Download buku Unified State Exam 2017, Matematika, Pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan, Soal 15, Tingkat Profil, Shestakov S.A. - fileskachat.com, unduh cepat dan gratis.
- Ujian Negara Bersatu 2019, Matematika, Makna ekspresi, Tugas 9, Tingkat Profil, Tugas 2 dan 5, Tingkat Dasar, Buku Kerja, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
- Ujian Negara Terpadu 2019, Matematika, Soal Stereometri, Soal 8, Level Profil, Soal 13 dan 16, Level Dasar, Buku Kerja, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
- Ujian Negara Bersatu 2019, Matematika, Persamaan Sederhana, Tugas 5, Tingkat Profil, Tugas 4 dan 7, Tingkat Dasar, Buku Kerja, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
- Ujian Negara Bersatu 2019, Matematika, Soal dengan parameter, Soal 18, Level profil, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
Buku teks dan buku berikut:
- Ujian Negara Bersatu 2017, Matematika, Soal dengan parameter, Soal 18, Level profil, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
- Ujian Negara Bersatu 2017, Matematika, Soal menyusun persamaan, Soal 11, Level profil, Buku Kerja, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
Artikel ini dikhususkan untuk analisis tugas 15 dari profil Unified State Examination matematika tahun 2017. Dalam tugas ini, anak sekolah diminta untuk menyelesaikan pertidaksamaan, paling sering pertidaksamaan logaritmik. Meskipun mungkin ada yang indikatif. Artikel ini memberikan analisis contoh pertidaksamaan logaritma, termasuk pertidaksamaan yang memuat variabel pada basis logaritma. Semua contoh diambil dari bank terbuka tugas-tugas Unified State Examination dalam matematika (profil), sehingga ketidaksetaraan seperti itu kemungkinan besar akan muncul dalam ujian sebagai tugas 15. Ideal bagi mereka yang ingin mempelajari cara menyelesaikan tugas 15 dari yang kedua bagian dari profil Ujian Negara Bersatu dalam waktu singkat dalam matematika untuk mendapatkan lebih banyak nilai dalam ujian.
Analisis tugas 15 dari profil Unified State Examination dalam matematika
| Contoh 1. Selesaikan pertidaksamaan: |
Pada tugas 15 Unified State Examination matematika (profil), sering dijumpai pertidaksamaan logaritma. Penyelesaian pertidaksamaan logaritmik dimulai dengan menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. Dalam hal ini, tidak ada variabel pada basis kedua logaritma, yang ada hanya angka 11, yang sangat menyederhanakan masalah. Jadi satu-satunya batasan yang kita miliki di sini adalah kedua ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Pertidaksamaan pertama dalam sistem ini adalah pertidaksamaan kuadrat. Untuk menyelesaikannya, kita ingin memfaktorkan ruas kiri. Saya rasa Anda tahu bahwa bentuk trinomial kuadrat apa pun 
difaktorkan sebagai berikut:
di mana dan merupakan akar-akar persamaan. Dalam hal ini, koefisiennya adalah 1 (ini adalah koefisien numerik di depan ). Koefisiennya juga sama dengan 1, dan koefisiennya adalah suku tiruannya, sama dengan -20. Akar trinomial paling mudah ditentukan dengan menggunakan teorema Vieta. Persamaan yang kita berikan berarti jumlah akar-akarnya akan sama dengan koefisien yang berlawanan tanda, yaitu -1, dan hasil kali akar-akar tersebut akan sama dengan koefisiennya, yaitu -20. Mudah ditebak bahwa akarnya adalah -5 dan 4.
Sekarang ruas kiri pertidaksamaan dapat difaktorkan: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X di titik -5 dan 4. Artinya penyelesaian pertidaksamaan yang diperlukan adalah interval . Bagi yang belum paham dengan apa yang tertulis di sini, bisa simak selengkapnya di video mulai detik ini. Di sana Anda juga akan menemukan penjelasan rinci tentang bagaimana pertidaksamaan kedua dari sistem tersebut diselesaikan. Hal ini sedang diselesaikan. Selain itu, jawabannya persis sama dengan pertidaksamaan pertama sistem tersebut. Artinya, himpunan yang tertulis di atas merupakan daerah nilai pertidaksamaan yang diperbolehkan.
Jadi, dengan memperhitungkan faktorisasi, pertidaksamaan awal berbentuk:
Dengan menggunakan rumus, kita menambahkan 11 ke pangkat ekspresi di bawah tanda logaritma pertama, dan memindahkan logaritma kedua ke sisi kiri pertidaksamaan, mengubah tandanya menjadi kebalikannya:
Setelah reduksi kita peroleh:
Ketimpangan terakhir akibat kenaikan fungsi setara dengan ketimpangan 
, yang solusinya adalah intervalnya 
. Yang tersisa hanyalah memotongnya dengan wilayah nilai ketimpangan yang dapat diterima, dan ini akan menjadi jawaban untuk keseluruhan tugas.
Jadi, jawaban yang diperlukan untuk tugas tersebut terlihat seperti:
Tugas ini sudah kita selesaikan, sekarang kita lanjutkan ke contoh tugas 15 Ujian Negara Terpadu Matematika berikutnya (profil).
| Contoh 2. Selesaikan pertidaksamaan:
|
Kami memulai penyelesaiannya dengan menentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari pertidaksamaan ini. Di dasar setiap logaritma harus ada bilangan positif yang tidak sama dengan 1. Semua ekspresi di bawah tanda logaritma harus positif. Penyebut pecahan tidak boleh mengandung nol. Kondisi terakhir setara dengan fakta bahwa , karena hanya jika tidak, kedua logaritma penyebutnya hilang. Semua kondisi ini menentukan kisaran nilai yang diperbolehkan dari pertidaksamaan ini, yang diberikan oleh sistem pertidaksamaan berikut:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Dalam kisaran nilai yang dapat diterima, kita dapat menggunakan rumus konversi logaritma untuk menyederhanakan ruas kiri pertidaksamaan. Menggunakan rumus 
kita menghilangkan penyebutnya:
Sekarang kita hanya memiliki logaritma dengan basis. Ini sudah lebih nyaman. Selanjutnya, kita menggunakan rumus tersebut, dan juga rumus tersebut untuk membawa ekspresi yang layak dimuliakan ke dalam bentuk berikut:
Dalam perhitungannya, kami menggunakan nilai yang berada dalam kisaran nilai yang dapat diterima. Dengan menggunakan substitusi kita sampai pada persamaan:
Mari kita gunakan satu pengganti lagi: . Hasilnya, kami sampai pada hasil berikut:
Jadi, secara bertahap kita kembali ke variabel awal. Pertama ke variabel:
