Suatu pertidaksamaan disebut logaritma jika mengandung fungsi logaritma.
Cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritma tidak ada bedanya, kecuali dua hal.
Pertama, saat berpindah dari pertidaksamaan logaritmik terhadap ketimpangan di bawah fungsi logaritma sebaiknya ikuti tanda pertidaksamaan yang dihasilkan. Itu mematuhi aturan berikut.
Jika basis fungsi logaritma lebih besar dari $1$, maka ketika berpindah dari pertidaksamaan logaritma ke pertidaksamaan fungsi sublogaritma, tanda pertidaksamaannya tetap, tetapi jika kurang dari $1$, maka berubah menjadi sebaliknya .
Kedua, penyelesaian setiap pertidaksamaan adalah sebuah interval, dan oleh karena itu, pada akhir penyelesaian pertidaksamaan fungsi sublogaritma, perlu dibuat sistem dua pertidaksamaan: pertidaksamaan pertama dari sistem ini adalah pertidaksamaan fungsi sublogaritma, dan yang kedua adalah interval domain definisi fungsi logaritma yang termasuk dalam pertidaksamaan logaritma.
Praktik.
Mari kita selesaikan kesenjangan:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \dalam (-3;+\infty)$
Basis logaritmanya adalah $2>1$, jadi tandanya tidak berubah. Dengan menggunakan definisi logaritma, kita memperoleh:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x\di kamu
Contoh 2.
Selesaikan pertidaksamaan ||x+2| – 3| ≤ 2.
Larutan.
Ketimpangan ini setara dengan sistem berikut.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
Mari kita selesaikan secara terpisah pertidaksamaan pertama dari sistem tersebut. Ini setara dengan himpunan berikut:
kamu[-1; 3].
2) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan menggunakan definisi modulus.
Izinkan saya mengingatkan Anda terlebih dahulu definisi modul.
|sebuah| = a jika a ≥ 0 dan |a| = -a jika a< 0.
Misalnya, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Contoh 1.
Selesaikan pertidaksamaan 3|x – 1| ≤ x+3.
Larutan.
Dengan menggunakan definisi modul kita mendapatkan dua sistem:
(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.
Memecahkan sistem pertama dan kedua secara terpisah, kita memperoleh:
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(X< 1
(x ≥ 0.
Penyelesaian pertidaksamaan awal adalah seluruh penyelesaian sistem pertama dan seluruh penyelesaian sistem kedua.
Jawaban: x € .
3) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan mengkuadratkan.
Contoh 1.
Selesaikan pertidaksamaan |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
Larutan.
Mari kita kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan tersebut. Perlu saya perhatikan bahwa Anda dapat mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan hanya jika keduanya positif. Dalam hal ini, kami memiliki modul di kiri dan kanan, sehingga kami dapat melakukan hal ini.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
Sekarang mari kita gunakan properti modul berikut: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,
(x – 2)(2x 2 – x)< 0,
x(x – 2)(2x – 1)< 0.
Kami menyelesaikannya menggunakan metode interval.
Jawaban: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Mengatasi pertidaksamaan dengan mengubah variabel.
Contoh.
Selesaikan pertidaksamaan (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Larutan.
Perhatikan bahwa (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Lalu kita mendapatkan ketidaksetaraan
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Mari kita lakukan perubahan y = |2x + 3|.
Mari kita tulis ulang pertidaksamaan kita dengan mempertimbangkan penggantiannya.
kamu 2 – kamu ≤ 30,
kamu 2 – kamu – 30 ≤ 0.
Mari kita faktorkan trinomial kuadrat di sebelah kiri.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(kamu – 6)(kamu + 5) ≤ 0.
Mari selesaikan menggunakan metode interval dan dapatkan:
Mari kita kembali ke penggantinya:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Ketimpangan ganda ini setara dengan sistem ketimpangan:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
Mari kita selesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah.
Yang pertama setara dengan sistem
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
Mari kita selesaikan.
(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.
Pertidaksamaan kedua jelas berlaku untuk semua x, karena modulusnya, menurut definisi, adalah bilangan positif. Karena penyelesaian sistem adalah semua x yang secara simultan memenuhi pertidaksamaan pertama dan kedua dari sistem tersebut, maka penyelesaian sistem asal akan menjadi penyelesaian pertidaksamaan ganda pertama (bagaimanapun juga, pertidaksamaan kedua berlaku untuk semua x) .
Jawaban: x € [-4,5; 1.5].
blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.
