Turunan. Arti geometris dan mekanik dari turunan. Turunan dari suatu fungsi. Arti geometris dari turunan Arti dari turunan

Saat menyelesaikan berbagai masalah geometri, mekanika, fisika, dan cabang ilmu pengetahuan lainnya, muncul kebutuhan untuk menggunakan proses analisis yang sama dari fungsi ini kamu=f(x) dapatkan fungsi baru yang disebut fungsi turunan(atau sederhananya turunan) dari suatu fungsi tertentu f(x) dan ditandai dengan simbol

Proses dimana dari suatu fungsi tertentu f(x) mendapatkan fitur baru f" (x), ditelepon diferensiasi dan terdiri dari tiga langkah berikut: 1) memberikan argumen X kenaikan  X dan tentukan kenaikan fungsi yang sesuai  kamu = f(x+ x) -f(x); 2) menjalin hubungan

3) menghitung X konstan dan  X0, kami menemukan
, yang kami tunjukkan dengan f" (x), seolah menekankan bahwa fungsi yang dihasilkan hanya bergantung pada nilai X, di mana kita mencapai batasnya. Definisi: Turunan y " =f " (x) fungsi yang diberikan y=f(x) untuk x tertentu disebut limit rasio kenaikan suatu fungsi terhadap kenaikan argumen, asalkan kenaikan argumen cenderung nol, jika, tentu saja, batas ini ada, yaitu. terbatas.
Dengan demikian,

, atau X Perhatikan bahwa jika pada nilai tertentu , misalnya kapan x=sebuah
, sikap  X pada f(x)0 tidak cenderung ke batas berhingga, maka dalam hal ini dikatakan fungsi , misalnya kapan pada , misalnya kapan(atau pada intinya , misalnya kapan.

) tidak mempunyai turunan atau tidak terdiferensiasi pada titik tersebut

2. Arti geometris dari turunan.

f(x)

Perhatikan grafik fungsi y = f (x), terdiferensiasi di sekitar titik x 0

Mari kita perhatikan garis lurus sembarang yang melalui suatu titik pada grafik fungsi - titik A(x 0, f (x 0)) dan memotong grafik di suatu titik B(x;f(x)). Garis seperti itu (AB) disebut garis potong. Dari ∆ABC: ​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Sejak AC || Ox, maka ALO = BAC = β (sesuai dengan paralel). Tetapi ALO adalah sudut kemiringan garis potong AB terhadap arah positif sumbu Ox. Artinya tanβ = k adalah kemiringan garis lurus AB.

Sekarang kita akan mengurangi ∆х, yaitu. ∆х→ 0. Dalam hal ini, titik B akan mendekati titik A sesuai grafik, dan garis potong AB akan berputar. Posisi batas garis potong AB di ∆x→ 0 adalah garis lurus (a), yang disebut garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik A.
Jika kita menuju limit sebagai ∆x → 0 dalam persamaan tgβ =∆y/∆x, kita peroleh
ortg =f "(x 0), karena
, menurut definisi turunan. Tetapi tg = k adalah koefisien sudut garis singgung, yang berarti k = tg = f" (x 0).

Jadi, arti geometri turunannya adalah sebagai berikut:

Turunan suatu fungsi di titik x 0 sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi yang digambar di titik dengan absis x 0 .

3. Arti fisis turunan.

Perhatikan pergerakan suatu titik sepanjang garis lurus. Misalkan koordinat suatu titik pada suatu waktu x(t) diberikan. Diketahui (dari mata kuliah fisika) bahwa kecepatan rata-rata dalam suatu periode waktu sama dengan perbandingan jarak yang ditempuh selama periode waktu tersebut dengan waktu, yaitu.

Vav = ∆x/∆t. Mari kita menuju limit persamaan terakhir sebagai ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - kecepatan sesaat pada waktu t 0, ∆t → 0.

dan lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (menurut definisi turunan).

Jadi, (t) =x"(t).

Arti fisis turunan adalah sebagai berikut: turunan suatu fungsikamu = F(X) pada titikX 0 adalah laju perubahan fungsiF(x) di titikX 0

Turunannya digunakan dalam fisika untuk mencari kecepatan dari fungsi koordinat versus waktu yang diketahui, percepatan dari fungsi kecepatan versus waktu yang diketahui.

(t) = x"(t) - kecepatan,

a(f) = "(t) - percepatan, atau

Jika hukum gerak suatu titik material dalam lingkaran diketahui, maka kecepatan sudut dan percepatan sudut selama gerak rotasi dapat dicari:

φ = φ(t) - perubahan sudut seiring waktu,

ω = φ"(t) - kecepatan sudut,

ε = φ"(t) - percepatan sudut, atau ε = φ"(t).

Jika hukum distribusi massa batang tidak homogen diketahui, maka massa jenis linier batang tidak homogen dapat dicari:

m = m(x) - massa,

x  , aku - panjang batang,

p = m"(x) - kerapatan linier.

Dengan menggunakan turunan, permasalahan teori elastisitas dan getaran harmonik dapat diselesaikan. Jadi, menurut hukum Hooke

F = -kx, x – koordinat variabel, k – koefisien elastisitas pegas. Dengan meletakkan ω 2 =k/m, kita memperoleh persamaan diferensial pendulum pegas x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

dimana ω = √k/√m frekuensi osilasi (l/c), k - kekakuan pegas (H/m).

Persamaan bentuk y" + ω 2 y = 0 disebut persamaan osilasi harmonik (mekanik, listrik, elektromagnetik). Penyelesaian persamaan tersebut adalah fungsi

y = Asin(ωt + φ 0) atau y = Acos(ωt + φ 0), dimana

A - amplitudo osilasi, ω - frekuensi siklik,

φ 0 - fase awal.

Turunan suatu fungsi merupakan salah satu topik sulit dalam kurikulum sekolah. Tidak semua lulusan akan menjawab pertanyaan apa itu turunan.

Artikel ini menjelaskan secara sederhana dan jelas apa itu turunan dan mengapa diperlukan.. Kami sekarang tidak akan mengupayakan ketelitian matematis dalam presentasi. Yang terpenting adalah memahami maknanya.

Mari kita ingat definisinya:

Turunannya adalah laju perubahan suatu fungsi.

Gambar tersebut menunjukkan grafik tiga fungsi. Menurut Anda, mana yang tumbuh lebih cepat?

Jawabannya jelas - yang ketiga. Ia memiliki tingkat perubahan tertinggi, yaitu turunan terbesar.

Berikut contoh lainnya.

Kostya, Grisha dan Matvey mendapat pekerjaan secara bersamaan. Mari kita lihat bagaimana pendapatan mereka berubah sepanjang tahun:

Grafik menunjukkan semuanya sekaligus, bukan? Penghasilan Kostya meningkat lebih dari dua kali lipat dalam enam bulan. Dan pendapatan Grisha juga meningkat, tapi hanya sedikit. Dan pendapatan Matvey turun menjadi nol. Kondisi awalnya sama, tetapi laju perubahan fungsinya adalah turunan, - berbeda. Sedangkan bagi Matvey, turunan pendapatannya umumnya negatif.

Secara intuitif, kita dengan mudah memperkirakan laju perubahan suatu fungsi. Tapi bagaimana kita melakukan ini?

Apa yang sebenarnya kita lihat adalah seberapa tajam grafik suatu fungsi naik (atau turun). Dengan kata lain, seberapa cepat y berubah seiring perubahan x? Jelasnya, fungsi yang sama pada titik yang berbeda dapat memiliki nilai turunan yang berbeda - yaitu, dapat berubah lebih cepat atau lebih lambat.

Turunan suatu fungsi dilambangkan dengan .

Kami akan menunjukkan cara menemukannya menggunakan grafik.

Grafik beberapa fungsi telah digambar. Mari kita ambil satu poin dengan absis di atasnya. Mari kita menggambar garis singgung grafik fungsi pada titik ini. Kita ingin memperkirakan seberapa tajam kenaikan grafik suatu fungsi. Nilai yang tepat untuk ini adalah garis singgung sudut singgung.

Turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut singgung yang ditarik grafik fungsi di titik tersebut.

Perlu diketahui bahwa sebagai sudut kemiringan garis singgung kita ambil sudut antara garis singgung dan arah positif sumbu.

Terkadang siswa menanyakan apa yang dimaksud dengan garis singgung grafik suatu fungsi. Ini adalah garis lurus yang memiliki satu titik persekutuan dengan grafik pada suatu bagian tertentu, dan seperti yang ditunjukkan pada gambar kita. Sepertinya garis singgung lingkaran.

Mari kita temukan. Kita ingat bahwa garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku sama dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. Dari segitiga:

Kami menemukan turunannya menggunakan grafik tanpa mengetahui rumus fungsinya. Soal-soal seperti itu sering dijumpai pada Ujian Negara Terpadu matematika di bawah angka.

Ada hubungan penting lainnya. Ingatlah bahwa garis lurus diberikan oleh persamaan

Besaran dalam persamaan ini disebut kemiringan garis lurus. Sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu.

.

Kami mengerti

Mari kita ingat rumus ini. Ini mengungkapkan arti geometris dari turunan.

Turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan kemiringan garis singgung yang ditarik grafik fungsi di titik tersebut.

Dengan kata lain, turunannya sama dengan garis singgung sudut singgung tersebut.

Telah dikatakan bahwa fungsi yang sama dapat mempunyai turunan yang berbeda pada titik yang berbeda. Mari kita lihat bagaimana turunan berhubungan dengan perilaku fungsi.

Mari menggambar grafik suatu fungsi. Biarkan fungsi ini meningkat di beberapa area dan menurun di area lain, dan dengan laju yang berbeda. Dan biarkan fungsi ini memiliki titik maksimum dan minimum.

Pada titik tertentu fungsinya meningkat. Garis singgung grafik yang digambar di suatu titik membentuk sudut lancip dengan arah sumbu positif. Artinya turunan di titik tersebut positif.

Pada titik ini fungsi kita menurun. Garis singgung pada titik ini membentuk sudut tumpul dengan arah sumbu positif. Karena garis singgung sudut tumpul adalah negatif, maka turunan di suatu titik adalah negatif.

Inilah yang terjadi:

Jika suatu fungsi meningkat, maka turunannya positif.

Jika turun maka turunannya negatif.

Apa yang terjadi pada titik maksimum dan minimum? Kita melihat bahwa pada titik (titik maksimum) dan (titik minimum) garis singgungnya mendatar. Oleh karena itu, garis singgung garis singgung pada titik-titik tersebut adalah nol, dan turunannya juga nol.

Poin – poin maksimal. Pada titik ini, kenaikan fungsi digantikan oleh penurunan. Akibatnya, tanda turunannya berubah pada titik dari “plus” menjadi “minus”.

Pada titik – titik minimum – turunannya juga nol, tetapi tandanya berubah dari “minus” menjadi “plus”.

Kesimpulan: dengan menggunakan turunan, kita dapat mengetahui segala sesuatu yang menarik minat kita tentang perilaku suatu fungsi.

Jika turunannya positif, maka fungsinya bertambah.

Jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun.

Pada titik maksimum, turunannya adalah nol dan berubah tanda dari “plus” menjadi “minus”.

Pada titik minimum, turunannya juga nol dan berubah tanda dari minus menjadi plus.

Mari kita tuliskan kesimpulan tersebut dalam bentuk tabel:

Mari kita membuat dua klarifikasi kecil. Anda akan membutuhkan salah satunya saat menyelesaikan soal USE. Lain - di tahun pertama, dengan studi yang lebih serius tentang fungsi dan turunannya.

Ada kemungkinan bahwa turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol, tetapi fungsi tersebut tidak mempunyai nilai maksimum dan minimum pada titik tersebut. Inilah yang disebut :

Pada suatu titik, garis singgung grafik tersebut mendatar dan turunannya nol. Namun, sebelum titik tersebut fungsinya meningkat – dan setelah titik tersebut terus meningkat. Tanda turunannya tidak berubah - tetap positif seperti semula.

Hal ini juga terjadi pada titik maksimum atau minimum turunannya tidak ada. Pada grafik, ini berhubungan dengan terobosan tajam, ketika tidak mungkin menggambar garis singgung pada suatu titik tertentu.

Bagaimana cara mencari turunannya jika suatu fungsi diberikan bukan dengan grafik, tetapi dengan rumus? Dalam hal ini berlaku

Sebelum membaca informasi di halaman ini, sebaiknya tonton video tentang turunan dan makna geometrinya

Lihat juga contoh penghitungan turunan pada suatu titik

Garis singgung garis l di titik M0 adalah garis lurus M0T - posisi pembatas garis potong M0M ketika titik M cenderung ke M0 sepanjang garis ini (yaitu sudutnya cenderung nol) secara sembarang.

Turunan dari fungsi y = f(x) pada titik x0 ditelepon batas rasio kenaikan fungsi ini dengan kenaikan argumen ketika argumen terakhir cenderung nol. Turunan fungsi y = f(x) di titik x0 dan di buku teks dilambangkan dengan simbol f"(x0). Oleh karena itu, menurut definisi

Istilah "turunan"(juga "turunan kedua") diperkenalkan oleh J. Lagrange(1797), selain itu, ia memberi sebutan y', f'(x), f”(x) (1770,1779). Sebutan dy/dx pertama kali muncul di Leibniz (1675).

Turunan fungsi y = f(x) di x = xо sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi ini di titik Mo(xo, f(xо)), yaitu.

dimana - sudut singgung ke sumbu Ox dari sistem koordinat Cartesian persegi panjang.

Persamaan tangen ke garis y = f(x) di titik Mo(xo, yo) berbentuk

Garis normal suatu kurva di suatu titik adalah garis tegak lurus garis singgung di titik yang sama. Jika f(x0) tidak sama dengan 0, maka persamaan garis normal y = f(x) di titik Mo(ho, yo) ditulis sebagai berikut:

Arti fisis dari turunan

Jika x = f(t) adalah hukum gerak lurus suatu titik, maka x’ = f’(t) adalah kecepatan gerak tersebut pada waktu t. Laju aliran fisik, kimia dan lain-lain proses dinyatakan menggunakan turunan.

Jika perbandingan dy/dx untuk x->x0 mempunyai limit di sebelah kanan (atau di sebelah kiri), maka disebut turunan di sebelah kanan (masing-masing, turunan di sebelah kiri). Batasan seperti ini disebut turunan satu sisi.

Jelasnya, suatu fungsi f(x) yang didefinisikan di lingkungan tertentu dari titik x0 mempunyai turunan f’(x) jika dan hanya jika turunan satu sisi ada dan sama satu sama lain.

Interpretasi geometris dari turunan karena koefisien sudut garis singgung grafik juga berlaku untuk kasus ini: garis singgung dalam hal ini sejajar dengan sumbu Oy.

Suatu fungsi yang mempunyai turunan pada suatu titik tertentu dikatakan terdiferensialkan pada titik tersebut. Suatu fungsi yang mempunyai turunan pada setiap titik pada interval tertentu disebut terdiferensiasi dalam interval tersebut. Jika intervalnya tertutup, maka pada ujungnya terdapat turunan satu sisi.

Operasi mencari turunan disebut.

Masalah matematika dapat diterapkan dalam banyak ilmu pengetahuan. Ini tidak hanya mencakup fisika, kimia, teknologi dan ekonomi, tetapi juga kedokteran, ekologi dan disiplin ilmu lainnya. Salah satu konsep penting yang harus dikuasai untuk menemukan solusi atas dilema penting adalah turunan suatu fungsi. Makna fisiknya sama sekali tidak sulit untuk dijelaskan seperti yang terlihat bagi mereka yang belum mengetahui inti permasalahannya. Cukup dengan menemukan contoh yang cocok dalam kehidupan nyata dan situasi sehari-hari. Faktanya, setiap pengendara mobil mengatasi tugas serupa setiap hari ketika dia melihat speedometer, menentukan kecepatan mobilnya pada waktu tertentu dalam waktu tertentu. Lagi pula, parameter inilah yang mengandung esensi makna fisik turunan.

Bagaimana menemukan kecepatan

Setiap siswa kelas lima dapat dengan mudah menentukan kecepatan seseorang di jalan, mengetahui jarak yang ditempuh dan waktu tempuh. Untuk melakukan ini, bagi nilai pertama dengan nilai kedua. Namun tidak semua matematikawan muda mengetahui bahwa mereka saat ini sedang menemukan rasio pertambahan suatu fungsi dan argumen. Memang kalau dibayangkan geraknya dalam bentuk grafik, menggambar lintasan sepanjang sumbu ordinat dan waktu sepanjang absis, akan persis seperti ini.

Namun, kecepatan pejalan kaki atau benda lain apa pun, yang kita tentukan pada sebagian besar jalan, mengingat pergerakannya seragam, mungkin saja berubah. Ada banyak bentuk gerak yang dikenal dalam fisika. Hal ini dapat terjadi tidak hanya dengan percepatan konstan, tetapi juga melambat dan meningkat secara sewenang-wenang. Perlu diperhatikan bahwa dalam hal ini garis yang menggambarkan pergerakan tidak lagi menjadi garis lurus. Secara grafis, ini dapat mengambil konfigurasi yang paling rumit. Namun untuk titik mana pun pada grafik, kita selalu dapat menggambar garis singgung, yang diwakili oleh fungsi linier.

Untuk memperjelas parameter perubahan perpindahan tergantung waktu, perlu dilakukan pemendekan segmen yang diukur. Ketika kecepatannya menjadi sangat kecil, kecepatan yang dihitung akan menjadi seketika. Pengalaman ini membantu kita mendefinisikan turunan. Makna fisiknya juga secara logis mengikuti penalaran tersebut.

Dari sudut pandang geometri

Diketahui bahwa semakin besar kecepatan suatu benda, semakin curam grafik ketergantungan perpindahan terhadap waktu, dan oleh karena itu juga sudut kemiringan garis singgung grafik pada suatu titik tertentu. Indikator perubahan tersebut dapat berupa garis singgung sudut antara sumbu absis dan garis singgung. Hal inilah yang menentukan nilai turunannya dan dihitung dengan perbandingan panjang kaki yang berhadapan dengan kaki yang berdekatan pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh garis tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik tertentu ke sumbu absis.

Inilah arti geometri dari turunan pertama. Fisika terungkap dalam kenyataan bahwa nilai sisi yang berlawanan dalam kasus kita mewakili jarak yang ditempuh, dan sisi yang berdekatan mewakili waktu. Dalam hal ini, rasionya adalah kecepatan. Dan sekali lagi kita sampai pada kesimpulan bahwa kecepatan sesaat, yang ditentukan ketika kedua interval cenderung sangat kecil, adalah intinya, yang menunjukkan makna fisiknya. Turunan kedua dalam contoh ini adalah percepatan benda, yang selanjutnya menunjukkan derajat perubahan kecepatan.

Contoh mencari turunan dalam fisika

Turunannya adalah indikator laju perubahan fungsi apa pun, meskipun kita tidak berbicara tentang gerak dalam arti sebenarnya. Untuk menunjukkan hal ini dengan jelas, kami akan memberikan beberapa contoh spesifik. Misalkan kekuatan arus, tergantung waktu, berubah menurut hukum berikut: SAYA= 0,4t 2 . Nilai kecepatan perubahan parameter ini harus dicari pada akhir detik ke-8 proses. Perhatikan bahwa nilai yang diinginkan, seperti yang dapat dinilai dari persamaan, terus meningkat.

Untuk menyelesaikannya, perlu dicari turunan pertama yang arti fisisnya telah dibahas sebelumnya. Di Sini dI/ dt = 0,8 T. Selanjutnya kita akan menemukannya di T=8 , kami menemukan bahwa laju terjadinya perubahan saat ini adalah sama dengan 6,4 A/ C. Di sini dianggap bahwa kekuatan arus diukur dalam ampere, dan waktu, dalam hitungan detik.

Semuanya bisa berubah

Dunia nyata di sekitarnya, yang terdiri dari materi, terus-menerus mengalami perubahan, karena berbagai proses yang terjadi di dalamnya bergerak. Berbagai parameter dapat digunakan untuk menggambarkannya. Jika disatukan oleh suatu ketergantungan, maka dituliskan secara matematis dalam bentuk fungsi yang secara jelas menunjukkan perubahannya. Dan di mana ada gerakan (dalam bentuk apa pun itu diungkapkan), di situ juga terdapat turunannya, yang makna fisiknya sedang kita pertimbangkan saat ini.

Contoh berikut adalah tentang hal ini. Katakanlah suhu tubuh berubah menurut hukum T=0,2 T 2 . Anda akan mengetahui laju pemanasannya pada akhir detik ke-10. Masalahnya diselesaikan dengan cara yang mirip dengan yang dijelaskan dalam kasus sebelumnya. Artinya, kita mencari turunannya dan mensubstitusikan nilainya T= 10 , kita mendapatkan T= 0,4 T= 4. Artinya jawaban akhirnya adalah 4 derajat per detik, yaitu proses pemanasan dan perubahan suhu, diukur dalam derajat, terjadi tepat pada kecepatan ini.

Memecahkan masalah praktis

Tentu saja, dalam kehidupan nyata segala sesuatunya bisa menjadi jauh lebih rumit daripada masalah teoretis. Dalam prakteknya, nilai besaran biasanya ditentukan selama percobaan. Dalam hal ini digunakan instrumen yang memberikan pembacaan selama pengukuran dengan kesalahan tertentu. Oleh karena itu, saat menghitung, Anda harus berurusan dengan perkiraan nilai parameter dan menggunakan pembulatan angka yang tidak tepat, serta penyederhanaan lainnya. Setelah mempertimbangkan hal ini, mari kita kembali ke permasalahan makna fisis turunan, dengan mengingat bahwa turunan tersebut hanyalah sejenis model matematika dari proses paling kompleks yang terjadi di alam.

Letusan

Bayangkan saja gunung berapi sedang meletus. Seberapa berbahayanya dia? Untuk memperjelas masalah ini, banyak faktor yang perlu dipertimbangkan. Kami akan mencoba mempertimbangkan salah satunya.

Dari mulut "monster api" batu-batu dilemparkan secara vertikal ke atas, dengan kecepatan awal sejak keluar. Penting untuk menghitung berapa ketinggian maksimum yang dapat mereka capai.

Untuk mencari nilai yang diinginkan, kita akan membuat persamaan ketergantungan tinggi H, diukur dalam meter, pada nilai lainnya. Ini termasuk kecepatan dan waktu awal. Kami menganggap nilai percepatan diketahui dan kira-kira sama dengan 10 m/s 2 .

Turunan parsial

Sekarang mari kita perhatikan arti fisis turunan suatu fungsi dari sudut yang sedikit berbeda, karena persamaan itu sendiri mungkin tidak hanya memuat satu, tetapi beberapa variabel. Misalnya pada soal sebelumnya, ketergantungan ketinggian naiknya batu yang keluar dari mulut gunung berapi tidak hanya ditentukan oleh perubahan karakteristik waktu, tetapi juga oleh nilai kecepatan awal. Yang terakhir ini dianggap sebagai nilai yang konstan dan tetap. Namun dalam masalah lain dengan kondisi yang sangat berbeda, segalanya bisa saja berbeda. Jika ada beberapa besaran yang bergantung pada suatu fungsi kompleks, perhitungan dilakukan menggunakan rumus di bawah ini.

Arti fisis dari turunan frekuensi harus ditentukan seperti dalam kasus biasa. Ini adalah laju perubahan suatu fungsi pada titik tertentu seiring dengan meningkatnya parameter variabel. Dihitung sedemikian rupa sehingga semua komponen lainnya dianggap konstan, hanya satu yang dianggap sebagai variabel. Kemudian semuanya terjadi sesuai aturan biasa.

Memahami makna fisis turunan, tidaklah sulit untuk memberikan contoh penyelesaian masalah yang rumit dan kompleks, yang jawabannya dapat ditemukan dengan pengetahuan tersebut. Jika kita memiliki fungsi yang menggambarkan konsumsi bahan bakar tergantung pada kecepatan mobil, kita dapat menghitung pada parameter mana konsumsi bensin paling sedikit.

Dalam dunia kedokteran, kita dapat memprediksi bagaimana reaksi tubuh manusia terhadap obat yang diresepkan oleh dokter. Mengkonsumsi obat mempengaruhi berbagai indikator fisiologis. Ini termasuk perubahan tekanan darah, detak jantung, suhu tubuh dan banyak lagi. Semuanya bergantung pada dosis obat yang diminum. Perhitungan ini membantu memprediksi jalannya pengobatan, baik dalam manifestasi yang menguntungkan maupun dalam kejadian yang tidak diinginkan yang dapat berdampak fatal pada perubahan pada tubuh pasien.

Tidak diragukan lagi, penting untuk memahami makna fisik turunan dalam hal teknis, khususnya di bidang teknik elektro, elektronik, desain dan konstruksi.

Jarak pengereman

Mari kita pertimbangkan masalah selanjutnya. Bergerak dengan kecepatan tetap, mobil yang mendekati jembatan terpaksa mengerem 10 detik sebelum pintu masuk, karena pengemudi melihat rambu jalan yang melarang pergerakan dengan kecepatan lebih dari 36 km/jam. Apakah pengemudi melanggar peraturan jika jarak pengeremannya dapat dijelaskan dengan rumus S = 26t - t 2?

Setelah menghitung turunan pertama, kita mencari rumus kecepatan, kita mendapatkan v = 28 - 2t. Selanjutnya, kita substitusikan nilai t=10 ke dalam ekspresi yang ditunjukkan.

Karena nilai ini dinyatakan dalam detik, maka kecepatannya menjadi 8 m/s, yang berarti 28,8 km/jam. Hal ini memungkinkan untuk memahami bahwa pengemudi mulai mengerem tepat waktu dan tidak melanggar peraturan lalu lintas, dan oleh karena itu batas kecepatan ditunjukkan pada rambu tersebut.

Hal ini membuktikan pentingnya makna fisis dari turunan. Contoh penyelesaian masalah ini menunjukkan luasnya penerapan konsep ini dalam berbagai bidang kehidupan. Termasuk dalam situasi sehari-hari.

Derivatif dalam bidang ekonomi

Hingga abad ke-19, sebagian besar ekonom beroperasi dengan rata-rata, baik produktivitas tenaga kerja maupun harga produk manufaktur. Namun pada titik tertentu, nilai batas menjadi lebih diperlukan untuk membuat perkiraan yang efektif di area ini. Ini mungkin termasuk utilitas marjinal, pendapatan atau biaya. Pemahaman ini memberi dorongan pada penciptaan alat penelitian ekonomi yang benar-benar baru, yang telah ada dan dikembangkan selama lebih dari seratus tahun.

Untuk menyusun perhitungan seperti itu, yang didominasi oleh konsep minimum dan maksimum, Anda hanya perlu memahami arti geometri dan fisis dari turunan tersebut. Di antara pencipta landasan teori disiplin ilmu ini adalah ekonom Inggris dan Austria terkemuka seperti W. S. Jevons, K. Menger dan lain-lain. Tentu saja, tidak selalu mudah menggunakan nilai batas dalam perhitungan ekonomi. Dan, misalnya, laporan triwulanan belum tentu sesuai dengan skema yang ada, namun penerapan teori semacam itu dalam banyak kasus berguna dan efektif.

Kuliah: Konsep turunan suatu fungsi, arti geometri turunan

Mari kita perhatikan beberapa fungsi f(x), yang akan kontinu sepanjang seluruh interval pertimbangan. Pada interval yang dipertimbangkan, kita memilih titik x 0, serta nilai fungsi pada titik ini.

Jadi, mari kita lihat grafik di mana kita menandai titik kita x 0, serta titik (x 0 + ∆x). Ingatlah bahwa ∆x adalah jarak (selisih) antara dua titik yang dipilih.

Perlu juga dipahami bahwa setiap x sesuai dengan nilai fungsi y-nya sendiri.

Selisih antara nilai fungsi di titik x 0 dan (x 0 + ∆x) disebut kenaikan fungsi ini: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

Mari kita perhatikan informasi tambahan yang tersedia pada grafik - ini adalah garis potong yang disebut KL, serta segitiga yang dibentuknya dengan interval KN dan LN.

Sudut letak garis potong disebut sudut kemiringannya dan dilambangkan dengan α. Dapat dengan mudah ditentukan bahwa besar sudut LKN juga sama dengan .

Sekarang mari kita ingat hubungan pada segitiga siku-siku tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Artinya, garis singgung sudut potong sama dengan rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen.

Pada suatu waktu, turunan adalah batas rasio kenaikan suatu fungsi terhadap kenaikan argumen pada interval yang sangat kecil.

Turunannya menentukan laju perubahan suatu fungsi pada area tertentu.

Arti geometris dari turunan

Jika Anda menemukan turunan fungsi apa pun pada titik tertentu, Anda dapat menentukan sudut di mana garis singgung grafik pada arus tertentu akan ditempatkan, relatif terhadap sumbu OX. Perhatikan grafik - sudut kemiringan tangensial dilambangkan dengan huruf φ dan ditentukan oleh koefisien k pada persamaan garis lurus: y = kx + b.

Artinya, kita dapat menyimpulkan bahwa arti geometri turunan adalah garis singgung sudut singgung di suatu titik pada fungsi tersebut.