2.1. Pemilihan peralatan matematika teori reliabilitas

Definisi reliabilitas di atas jelas tidak cukup, karena hanya bersifat kualitatif dan tidak memungkinkan penyelesaian berbagai masalah teknik dalam proses perancangan, pembuatan, pengujian dan pengoperasian pesawat terbang. Secara khusus, ini tidak memungkinkan penyelesaian masalah penting seperti, misalnya:

Menilai keandalan (operasi bebas kegagalan, pemulihan, penyimpanan, ketersediaan dan daya tahan) dari struktur yang ada dan yang baru yang sedang dibuat;

Bandingkan keandalan berbagai jenis elemen dan sistem;

Menilai efektivitas pemulihan pesawat yang rusak;

Membenarkan rencana perbaikan dan komposisi suku cadang yang diperlukan untuk mendukung rencana penerbangan;

Menentukan volume, frekuensi, biaya persiapan penerbangan, pemeliharaan rutin dan seluruh rangkaian pemeliharaan teknis;

Tentukan waktu, biaya dan dana yang diperlukan untuk memulihkan perangkat teknis yang rusak.

Kesulitan dalam menentukan karakteristik kuantitatif keandalan muncul dari sifat kegagalan, yang masing-masing merupakan akibat dari kebetulan sejumlah faktor yang tidak menguntungkan, seperti kelebihan beban, penyimpangan lokal dari mode operasi desain elemen dan sistem, cacat material, perubahan kondisi eksternal, dll., yang mempunyai hubungan sebab akibat dengan tingkat dan sifat yang berbeda-beda, menyebabkan konsentrasi beban secara tiba-tiba melebihi beban desain.

Kegagalan peralatan penerbangan bergantung pada banyak alasan, yang pada awalnya dapat dinilai berdasarkan kepentingannya sebagai primer atau sekunder. Hal ini menyebabkan perlunya mempertimbangkan jumlah kegagalan dan waktu terjadinya 1 sebagai variabel acak, yaitu nilai yang, bergantung pada kasusnya, dapat mengambil nilai yang berbeda, tetapi tidak diketahui yang mana.

Membangun ketergantungan kuantitatif dengan menggunakan metode klasik dalam situasi yang begitu kompleks secara praktis tidak mungkin, karena banyak faktor acak sekunder memainkan peran yang begitu penting sehingga tidak mungkin untuk memilih faktor pertama dan utama dari banyak faktor lainnya. Selain itu, penggunaan hanya metode penelitian klasik berdasarkan pertimbangan fenomena, bukan model yang dimaafkan dan diidealkan yang dibangun berdasarkan akuntansi. Hanya berfokus pada faktor utama dan mengabaikan faktor sekunder selalu memberikan hasil yang benar.

Oleh karena itu, untuk mengkaji fenomena-fenomena tersebut pada masa sekarang, dengan tercapainya tingkat perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, diperlukan teori probabilitas dan ma - | Statistik etnis adalah ilmu yang mempelajari pola - III dalam fenomena acak dan dalam beberapa kasus hingga - IIIі>’111)110111110 metode klasik.

Fitur utama dari metode ini mencakup prinsip-prinsip berikut dan kedua prinsip tersebut:

І) metode-metode ini, tanpa mengungkapkan individu dan alasan penolakan umum, ditetapkan sebagai gantinya

……… Saya. aku pvniiiiiH tentang pc iyiiii. i.iga eksploitasi massal dengan

Pabrik…………. (IKNIMO (game yang saya pakai) dalam KONDISI

"di dalam hai saya" dan mereka 'іпм dan alasan;

‘ І "і mereka) tidak juga ii'ii kii metode hasil yang diperoleh

1 »……… dan pencarian mereka sesuai dengan segalanya

1 .. p_k» pcarn. di dalam. iK tingkat operasi, dan bukan yang satu atau yang lain dan skema yang sangat disederhanakan; m ..І dasar pengamatan massal terhadap munculnya otitis media i. Juni Sekarang dimungkinkan untuk mengidentifikasi pola-pola umum, analisis teknik yang membuka jalan untuk meningkatkan kinerja peralatan penerbangan dalam proses pembuatannya dan mempertahankannya pada tingkat tertentu selama operasi.

Keunggulan yang ditunjukkan dari peralatan matematika ini menjadikannya satu-satunya peralatan yang dapat diterima untuk mempelajari keandalan pesawat terbang. Pada saat yang sama, dalam praktiknya, batasan dan hadiah tertentu harus diperhitungkan

metode statistik yang ada yang tidak dapat menjawab pertanyaan apakah perangkat teknis tertentu akan berfungsi tanpa kegagalan selama periode yang kami minati atau tidak. Metode-metode ini hanya memungkinkan untuk menentukan kemungkinan pengoperasian bebas kegagalan suatu pesawat tertentu dan menilai risiko kegagalan yang akan terjadi selama periode pengoperasian yang kami minati.

Kesimpulan yang diperoleh secara statistik selalu didasarkan pada pengalaman masa lalu dalam mengoperasikan pesawat, dan oleh karena itu penilaian kegagalan di masa depan akan dilakukan secara ketat hanya jika seluruh rangkaian kondisi pengoperasian (mode pengoperasian, kondisi penyimpanan) bertepatan dengan cukup akurat.

Untuk menganalisis dan menilai recoveryability dan kesiapan pesawat untuk terbang, digunakan juga metode-metode tersebut, dengan menggunakan hukum-hukum teori antrian dan khususnya beberapa bagian dari teori recovery.

Definisi. Teori probabilitas adalah ilmu yang mempelajari pola-pola dalam fenomena acak.

Definisi. Fenomena acak adalah fenomena yang jika diuji berulang kali, akan terjadi secara berbeda setiap saat.

Definisi. Pengalaman adalah aktivitas atau proses manusia, ujian.

Definisi. Suatu peristiwa adalah hasil dari suatu pengalaman.

Definisi. Pokok bahasan teori probabilitas adalah fenomena acak dan pola spesifik dari fenomena acak massa.

Klasifikasi acara:

1. Acara tersebut dinamakan dapat diandalkan , jika sebagai hasil percobaan pasti akan terjadi.

Contoh. Pelajaran sekolah pasti akan berakhir.

1. Acara tersebut dinamakan mustahil , jika dalam kondisi tertentu hal itu tidak akan pernah terjadi.

Contoh. Jika tidak ada arus listrik pada rangkaian maka lampu tidak akan menyala.

1. Acara tersebut dinamakan acak atau mustahil , jika sebagai akibat dari pengalaman hal itu mungkin terjadi atau tidak.

Contoh. Acara - lulus ujian.

1. Acara tersebut dinamakan sama mungkinnya , jika kondisi kemunculannya sama dan tidak ada alasan untuk menyatakan bahwa sebagai akibat pengalaman salah satu dari mereka mempunyai peluang lebih besar untuk muncul dibandingkan yang lain.

Contoh. Penampakan lambang atau ekor pada saat pelemparan uang logam.

1. Peristiwa tersebut disebut persendian , jika kemunculan salah satunya tidak menutup kemungkinan munculnya yang lain.

Contoh. Saat menembak, meleset dan melampaui batas adalah peristiwa gabungan.

1. Acara tersebut dinamakan tidak kompatibel , jika kemunculan salah satunya meniadakan kemungkinan munculnya yang lain.

Contoh. Dengan satu tembakan, pukulan dan tembakan meleset bukanlah kejadian yang terjadi secara bersamaan.

1. Dua peristiwa yang tidak kompatibel disebut di depan , jika sebagai hasil percobaan pasti akan terjadi salah satunya.

Contoh. Saat lulus ujian, kejadian “lulus ujian” dan “gagal ujian” disebut sebaliknya.

Sebutan: - kejadian biasa, - kejadian sebaliknya.

1. Beberapa peristiwa terbentuk sekelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel , jika hanya salah satu saja yang muncul sebagai hasil percobaan.

Contoh. Saat lulus ujian, dimungkinkan: "gagal dalam ujian", "lulus dengan nilai "3"", "lulus dengan nilai "4"" - sekelompok lengkap peristiwa yang tidak sesuai.

Aturan untuk jumlah dan produk.

Definisi. Jumlah dua produk A Dan B sebut acara tersebut C , yang terdiri dari terjadinya suatu peristiwa A atau peristiwa B atau keduanya secara bersamaan.

Jumlah kejadian disebut menggabungkan peristiwa (penampilan setidaknya salah satu peristiwa).

Jika maksud permasalahan sudah jelas apa yang akan muncul A ATAU B , lalu mereka mengatakan bahwa mereka menemukan jumlahnya.

Definisi. Dengan memproduksi acara A Dan B sebut acara tersebut C , yang terdiri dari terjadinya peristiwa secara simultan A Dan B .

Produk adalah perpotongan dua peristiwa.

Jika masalahnya mengatakan bahwa mereka menemukan A DAN B , yang berarti mereka menemukan pekerjaan tersebut.

Contoh. Dengan dua tembakan:

1. jika perlu menemukan pukulan setidaknya sekali, carilah jumlahnya.
2. jika perlu menemukan pukulan dua kali, maka temukan produknya.

Kemungkinan. Properti probabilitas.

Definisi. Frekuensi suatu kejadian adalah suatu bilangan yang sama dengan perbandingan antara jumlah percobaan yang terjadinya peristiwa tersebut dengan jumlah seluruh percobaan yang dilakukan.

Penunjukan: r() – frekuensi kejadian.

Contoh. Sebuah koin dilempar sebanyak 15 kali dan muncul lambang negara sebanyak 10 kali, maka frekuensi munculnya lambang adalah: r()=.

Definisi. Dengan jumlah percobaan yang sangat banyak, frekuensi suatu kejadian menjadi sama dengan peluang kejadian tersebut.

Definisi probabilitas klasik. Peluang suatu kejadian adalah perbandingan antara jumlah kasus yang menguntungkan terjadinya peristiwa tersebut dengan jumlah semua kasus yang mungkin terjadi secara unik dan sama kemungkinannya.

Penunjukan: , di mana P – probabilitas,

m – jumlah kasus yang mendukung terjadinya peristiwa tersebut.

n adalah jumlah total kasus yang mungkin terjadi secara unik dan mungkin sama.

Contoh. 60 siswa CHIEP mengikuti kompetisi lari. Masing-masing mempunyai nomor. Tentukan peluang banyaknya siswa yang memenangkan perlombaan tidak mengandung angka 5.

Sifat probabilitas:

1. nilai probabilitasnya tidak negatif dan terletak di antara nilai 0 dan 1.
2. suatu probabilitas adalah 0 jika dan hanya jika probabilitas tersebut merupakan suatu kejadian yang mustahil.
3. suatu probabilitas sama dengan 1 jika dan hanya jika itu adalah probabilitas suatu kejadian tertentu.
4. probabilitas kejadian yang sama tidak berubah-ubah, tidak bergantung pada jumlah eksperimen yang dilakukan, dan hanya berubah jika kondisi eksperimen berubah.

Definisi probabilitas geometris. Probabilitas geometrik adalah rasio bagian wilayah di mana suatu titik yang dipilih harus ditemukan di seluruh wilayah yang kemungkinan terjadinya pukulan pada suatu titik tertentu sama besarnya.

Luas dapat berupa ukuran luas, panjang atau volume.

Contoh. Tentukan peluang jatuhnya suatu titik tertentu pada suatu bagian yang panjangnya 10 km jika titik tersebut perlu jatuh di dekat ujung-ujung bagian tersebut, tidak lebih dari 1 km dari masing-masing bagian tersebut.

Komentar.

Jika domain ukuran s dan S mempunyai satuan pengukuran yang berbeda sesuai dengan kondisi permasalahan, maka untuk menyelesaikannya perlu diberikan dimensi tunggal s dan S.

Menggabungkan. Elemen kombinatorik.

Definisi. Gabungan unsur-unsur yang berbeda golongan yang berbeda urutan unsurnya atau paling sedikit salah satu unsurnya disebut senyawa.

Koneksi adalah:

Akomodasi

Kombinasi

Penataan ulang

Definisi. Susunan n – unsur m kali masing-masing merupakan sambungan yang berbeda satu sama lain paling sedikit satu unsur dan urutan susunan unsur-unsurnya.

Definisi. Gabungan n unsur m disebut senyawa yang terdiri dari unsur-unsur yang sama, berbeda paling sedikit pada satu unsur.

Definisi. Permutasi n unsur adalah senyawa yang terdiri dari unsur-unsur yang sama, yang berbeda satu sama lain hanya pada susunan unsur-unsurnya.

Contoh.

1) berapa cara yang dapat dilakukan untuk membentuk konvoi 5 mobil?

2) berapa cara dapat diangkatnya 3 petugas jaga dalam suatu kelas, jika jumlah seluruhnya 25 orang dalam kelas tersebut?

Karena urutan unsur tidak penting dan golongan senyawa berbeda dalam jumlah unsur, maka kita hitung banyaknya kombinasi 25 unsur dari 3 unsur.

cara.

3) Ada berapa cara untuk membuat bilangan 4 angka dari bilangan 1,2,3,4,5,6. Oleh karena itu, sejak itu sambungannya berbeda urutan susunannya dan paling sedikit satu unsurnya, maka kita hitung susunan 6 unsurnya dari 4.

Contoh penggunaan elemen kombinatorik dan penghitungan probabilitas.

Dalam kumpulan n produk, m cacat. Kami memilih produk-l secara acak. Tentukan peluang terdapat tepat k perkawinan di antara mereka.

Contoh.

10 lemari es dibawa ke gudang toko, dimana 4-3 ruang, sisanya - 2 ruang.

Tentukan peluang bahwa di antara 5 bukit yang dipilih secara acak, 3 bukit mempunyai 3 ruangan.

Teorema dasar teori probabilitas.

Teorema 1.

Peluang munculnya jumlah 2 kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut.

Konsekuensi.

1) jika suatu kejadian membentuk kelompok lengkap kejadian-kejadian yang tidak kompatibel, maka jumlah probabilitasnya sama dengan 1.

2) jumlah peluang 2 kejadian yang berlawanan sama dengan 1.

Teorema 2.

Peluang hasil kali 2 kejadian saling bebas sama dengan hasil kali peluang kedua kejadian tersebut.

Definisi. Peristiwa A dikatakan bebas dari peristiwa B apabila peluang terjadinya peristiwa A tidak bergantung pada terjadi atau tidaknya peristiwa B.

Definisi. 2 peristiwa disebut independen jika peluang terjadinya salah satu peristiwa bergantung pada terjadi atau tidak terjadinya peristiwa kedua.

Definisi. Peluang kejadian B yang dihitung jika kejadian A terjadi disebut peluang bersyarat.

Teorema 3.

Peluang hasil kali 2 kejadian yang saling bebas sama dengan peluang terjadinya suatu kejadian dengan peluang bersyarat kejadian kedua, jika kejadian pertama terjadi.

Contoh.

Perpustakaan memiliki 12 buku teks matematika. Dari jumlah tersebut, 2 adalah buku teks matematika dasar, 5 tentang teori probabilitas, dan sisanya adalah matematika tingkat tinggi. Kami secara acak memilih 2 buku teks. Temukan probabilitas bahwa keduanya muncul dalam matematika dasar.

Teorema 4. Peluang suatu peristiwa terjadi paling sedikit satu kali.

Peluang terjadinya sekurang-kurangnya salah satu kejadian yang membentuk kelompok lengkap kejadian-kejadian yang tidak sesuai sama dengan selisih antara kejadian pertama dan hasil kali peluang kejadian-kejadian yang berlawanan dengan kejadian-kejadian tertentu.

Biarkan saja

Konsekuensi.

Jika peluang terjadinya setiap kejadian sama dan sama dengan p, maka peluang terjadinya paling sedikit salah satu kejadian tersebut sama dengan

N adalah jumlah percobaan yang dilakukan.

Contoh.

Tembakan 3 tembakan ke sasaran. Peluang mengenai tembakan pertama adalah 0,7, pada tembakan kedua – 0,8, pada tembakan ketiga – 0,9. tentukan peluang bahwa dengan tiga tembakan bebas yang mengenai sasaran akan terjadi:

A) 0 pukulan;

B) 1 pukulan;

B) 2 pukulan;

D) 3 pukulan;

D) setidaknya satu pukulan.

Teorema 5. Rumus probabilitas total.

Misalkan peristiwa A terjadi bersamaan dengan salah satu hipotesis, maka peluang terjadinya peristiwa A dicari dengan rumus:

Dan . Mari kita bawa ke penyebut yang sama.

Itu. memenangkan satu pertandingan dari 2 pertandingan melawan lawan yang setara lebih mungkin terjadi daripada memenangkan 2 pertandingan dari 4 pertandingan.

2.1. Frekuensi relatif. Stabilitas frekuensi relatif

2.2. Keterbatasan definisi klasik tentang probabilitas. Probabilitas statistik

2.3. Probabilitas geometris

2.4. Teorema penjumlahan probabilitas

2.5. Kumpulan acara lengkap

2.6. Peristiwa yang berlawanan

2.7. Prinsip ketidakmungkinan praktis dari kejadian yang tidak terduga

2.8. Memproduksi acara. Probabilitas bersyarat

2.9. Teorema perkalian probabilitas

2.10. Acara independen. Teorema perkalian untuk kejadian bebas

2.10. Kemungkinan terjadinya setidaknya satu peristiwa

Kuliah No.3 Akibat Teorema Penjumlahan dan Perkalian

3.1. Teorema penjumlahan peluang kejadian gabungan

3.2. Rumus Probabilitas Total

3.3. Kemungkinan hipotesis. rumus Bayes

4. Pengulangan tes

4.1. rumus Bernoulli

4.2. Batasi teorema dalam skema Bernoulli

4.3. Teorema lokal dan integral Moivre-Laplace

4.3. Probabilitas penyimpangan frekuensi relatif dari probabilitas konstan dalam uji coba independen

5. Variabel acak

5.1. Konsep variabel acak. Hukum distribusi variabel acak

5.2. Hukum distribusi variabel acak diskrit. Poligon distribusi

5.3. Distribusi binomial

5.4. distribusi racun

5.5. Distribusi geometris

5.6. Distribusi hipergeometri

6. Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit

6.1. Karakteristik numerik dari variabel acak diskrit

6.2. Ekspektasi variabel acak diskrit

6.3. Arti probabilistik dari ekspektasi matematis

6.4. Sifat ekspektasi matematis

6.5. Ekspektasi matematis dari banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam uji coba independen

7. Dispersi variabel acak diskrit

7.1. Kelayakan memperkenalkan karakteristik numerik dari hamburan variabel acak

7.2. Penyimpangan variabel acak dari ekspektasi matematisnya

7.3. Varians dari variabel acak diskrit

7.4. Rumus untuk menghitung varians

7.5. Sifat dispersi

7.6. Varians banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam uji coba mandiri

7.7. Deviasi standar

7.8. Simpangan baku dari jumlah variabel acak yang saling bebas

7.9. Variabel acak yang saling independen dan terdistribusi secara identik

7.10. Poin teoritis awal dan sentral

8. Hukum Bilangan Besar

8.1. Catatan pendahuluan

8.2. Ketimpangan Chebyshev

8.3. teorema Chebyshev

8.4. Inti dari teorema Chebyshev

8.5. Pentingnya teorema Chebyshev untuk praktik

8.6. teorema Bernoulli

Fungsi distribusi probabilitas dari variabel acak

9.1. Definisi fungsi distribusi

9.2. Sifat-sifat fungsi distribusi

9.3. Grafik fungsi distribusi

10. Kepadatan probabilitas suatu variabel acak kontinu

10.1. Penentuan kepadatan distribusi

10.2. Probabilitas suatu variabel acak kontinu yang jatuh ke dalam interval tertentu

10.3. Hukum distribusi probabilitas yang seragam

11. Distribusi normal

11.1. Karakteristik numerik dari variabel acak kontinu

11.2. Distribusi normal

11.3. Kurva normal

11.4. Pengaruh parameter distribusi normal terhadap bentuk kurva normal

11.5. Probabilitas jatuh ke dalam interval tertentu dari variabel acak normal

11.6. Menghitung probabilitas penyimpangan tertentu

11.7. Aturan tiga sigma

11.8. Konsep teorema Lyapunov. Pernyataan teorema limit pusat

11.9. Estimasi penyimpangan distribusi teoritis dari distribusi normal. Kemiringan dan kurtosis

11.10. Fungsi dari satu argumen acak dan distribusinya

11.11. Ekspektasi matematis dari suatu fungsi dari satu argumen acak

11.12. Fungsi dari dua argumen acak. Distribusi jumlah suku-suku bebas. Stabilitas distribusi normal

11.13. Distribusi chi kuadrat

11.14. Distribusi siswa

11.15. Distribusi Fischer – Snedecor f

12. Distribusi eksponensial

12.1. Definisi distribusi eksponensial

12.2. Probabilitas jatuh ke dalam interval tertentu dari variabel acak yang terdistribusi secara eksponensial

§ 3. Karakteristik numerik dari distribusi eksponensial

12.4. Fungsi keandalan

12.5. Hukum keandalan eksponensial

12.6. Properti karakteristik hukum keandalan eksponensial

1.2. Area penerapan teori probabilitas

Metode teori probabilitas banyak digunakan di berbagai cabang ilmu pengetahuan dan teknologi alam:

 dalam teori keandalan,

 teori antrian,

 fisika teoretis,

 geodesi,

 astronomi,

 teori menembak,

 teori kesalahan observasi,

 teori kendali otomatis,

 teori umum komunikasi dan banyak ilmu teoritis dan terapan lainnya.

Teori probabilitas juga berfungsi untuk mendukung statistik matematika dan terapan, yang pada gilirannya digunakan dalam perencanaan dan pengorganisasian produksi, dalam analisis proses teknologi, pengendalian preventif dan penerimaan kualitas produk, dan untuk banyak tujuan lainnya.

Dalam beberapa tahun terakhir, metode teori probabilitas semakin merambah ke berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, sehingga berkontribusi terhadap kemajuannya.

1.3. Latar belakang sejarah singkat

Karya pertama yang memunculkan konsep dasar teori probabilitas adalah upaya menciptakan teori perjudian (Cardano, Huygens, Pascal, Fermat dan lain-lain pada abad 16-17).

Tahap selanjutnya dalam perkembangan teori probabilitas dikaitkan dengan nama Jacob Bernoulli (1654 – 1705). Teorema yang dibuktikannya, yang kemudian dikenal sebagai “Hukum Bilangan Besar”, merupakan pembuktian teoretis pertama dari fakta-fakta yang terakumulasi sebelumnya.

Teori probabilitas berutang keberhasilan lebih lanjut kepada Moivre, Laplace, Gauss, Poisson dan lain-lain. Periode baru yang paling bermanfaat dikaitkan dengan nama P. L. Chebyshev (1821 - 1894) dan murid-muridnya A. A. Markov (1856 - 1922) dan A. M. . Lyapunova (1857 – 1918). Pada periode ini, teori probabilitas menjadi ilmu matematika yang harmonis. Perkembangan selanjutnya terutama disebabkan oleh ahli matematika Rusia dan Soviet (S.N. Bernstein, V.I. Romanovsky, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, N.V. Smirnov, dll.).

1.4. Tes dan acara. Jenis acara

Konsep dasar teori probabilitas adalah konsep kejadian elementer dan konsep ruang kejadian elementer. Di atas, suatu peristiwa disebut acak jika, di bawah penerapan serangkaian kondisi tertentu S itu bisa terjadi atau tidak terjadi. Di masa depan, alih-alih mengatakan “seperangkat kondisi S dilaksanakan”, katakanlah secara singkat: “ujian telah dilaksanakan”. Dengan demikian, kejadian tersebut akan dianggap sebagai hasil ujian.

Definisi. Peristiwa acak mengacu pada fakta apa pun yang mungkin terjadi atau tidak terjadi sebagai akibat dari pengalaman.

Selain itu, hasil eksperimen tertentu dapat diperoleh dengan berbagai tingkat kemungkinan. Artinya, dalam beberapa kasus kita dapat mengatakan bahwa suatu peristiwa hampir pasti akan terjadi, sedangkan peristiwa lainnya hampir tidak pernah terjadi.

Definisi. Ruang hasil dasarΩ adalah himpunan yang berisi semua kemungkinan hasil percobaan acak tertentu, yang mana tepat satu hasil yang terjadi dalam percobaan tersebut. Unsur-unsur himpunan ini disebut hasil dasar dan dilambangkan dengan huruf ω (“omega”).

Kemudian kejadian-kejadian disebut himpunan bagian dari himpunan Ω. Suatu kejadian A Ω dikatakan terjadi akibat suatu percobaan jika salah satu hasil elementer yang termasuk dalam himpunan A terjadi dalam percobaan tersebut.

Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa banyaknya kejadian elementer adalah berhingga. Bagian dari ruang kejadian elementer disebut kejadian acak. Peristiwa ini mungkin terjadi atau tidak terjadi sebagai akibat dari ujian (mendapatkan tiga poin saat melempar dadu, menelepon saat ini, dll).

Contoh 1. Penembak menembak sasaran yang dibagi menjadi empat area. Tembakan itu adalah ujian. Mencapai area tertentu dari target adalah sebuah peristiwa.

Contoh 2. Guci itu berisi bola-bola berwarna. Satu bola diambil secara acak dari guci. Mengambil bola dari guci adalah sebuah ujian. Munculnya bola dengan warna tertentu merupakan suatu peristiwa.

Dalam model matematika, konsep suatu peristiwa dapat diterima sebagai konsep awal, yang tidak diberi definisi dan hanya dicirikan oleh sifat-sifatnya. Berdasarkan pengertian sebenarnya dari konsep peristiwa, berbagai jenis peristiwa dapat didefinisikan.

Definisi. Peristiwa acak disebut dapat diandalkan, jika hal itu pasti terjadi (bergulir dari satu menjadi enam poin saat melempar dadu), dan mustahil, jika hal itu jelas tidak dapat terjadi karena pengalaman (melemparkan tujuh poin saat melempar dadu). Dalam hal ini, peristiwa yang dapat diandalkan memuat semua titik dalam ruang peristiwa dasar, dan peristiwa mustahil tidak memuat satu titik pun dalam ruang tersebut.

Definisi. Dua kejadian acak disebut tidak kompatibel, jika keduanya tidak dapat terjadi secara bersamaan untuk hasil tes yang sama. Secara umum, sejumlah peristiwa disebut tidak kompatibel, jika kemunculan salah satunya meniadakan kemunculan yang lain.

Contoh klasik kejadian yang tidak sesuai adalah hasil pelemparan koin - hilangnya sisi depan koin tidak termasuk hilangnya sisi sebaliknya (dalam percobaan yang sama).

Contoh lainnya adalah ketika suatu komponen ditarik keluar secara acak dari kotak komponen. Tampilan part standar menghilangkan tampilan part non-standar. Peristiwa “munculnya bagian standar” dan “munculnya bagian non-standar” tidak sesuai.

Definisi. Beberapa peristiwa terbentuk kelompok penuh, jika setidaknya salah satu darinya muncul sebagai hasil pengujian.

Dengan kata lain, terjadinya paling sedikit salah satu peristiwa dalam kelompok yang lengkap merupakan peristiwa yang dapat diandalkan. Khususnya, jika kejadian-kejadian yang membentuk suatu kelompok lengkap tidak konsisten berpasangan, maka satu dan hanya satu dari kejadian-kejadian tersebut yang akan muncul sebagai hasil percobaan. Kasus khusus ini adalah yang paling menarik, karena akan digunakan lebih lanjut.

Contoh. Dua tiket lotere tunai dan pakaian telah dibeli. Satu-satunya peristiwa berikut yang pasti akan terjadi: “kemenangan jatuh pada tiket pertama dan tidak jatuh pada tiket kedua”, “kemenangan tidak jatuh pada tiket pertama dan jatuh pada tiket kedua”, “kemenangan jatuh pada tiket kedua”, “kemenangan jatuh pada tiket kedua”, “kemenangan jatuh pada tiket kedua”, “kemenangan jatuh pada tiket kedua”, “kemenangan jatuh pada tiket kedua”, pada kedua tiket”, “tidak ada kemenangan pada kedua tiket” terjatuh." Peristiwa-peristiwa ini membentuk kelompok lengkap peristiwa-peristiwa berpasangan yang tidak kompatibel.

Contoh. Penembak menembak sasaran. Salah satu dari dua kejadian berikut ini pasti akan terjadi: kena, rindu. Kedua peristiwa yang tidak sejalan ini membentuk satu kelompok yang utuh.

Contoh. Jika diambil satu bola secara acak dari sebuah kotak yang hanya berisi bola merah dan hijau, maka munculnya bola putih di antara bola yang diambil tersebut merupakan peristiwa mustahil. Munculnya bola merah dan munculnya bola hijau merupakan rangkaian peristiwa yang lengkap.

Definisi. Peristiwa-peristiwa disebut sama mungkinnya jika ada alasan untuk meyakini bahwa tidak ada peristiwa yang lebih mungkin terjadi dibandingkan peristiwa lainnya.

Contoh. Munculnya “lambang” dan munculnya prasasti saat melempar koin merupakan peristiwa yang sama-sama mungkin terjadi. Memang diasumsikan bahwa uang logam tersebut terbuat dari bahan yang homogen, berbentuk silinder beraturan, dan adanya pencetakan tidak mempengaruhi hilangnya salah satu sisi uang logam tersebut.

Contoh. Munculnya sejumlah titik pada dadu yang dilempar merupakan kejadian yang sama-sama mungkin terjadi. Memang diasumsikan bahwa dadu terbuat dari bahan homogen, berbentuk polihedron beraturan, dan keberadaan titik tidak mempengaruhi hilangnya permukaan apa pun.

Pada contoh bola di atas, kejadian munculnya bola merah dan hijau mempunyai peluang yang sama jika jumlah bola merah dan hijau di dalam kotak sama. Jika jumlah bola merah di dalam kotak lebih banyak daripada bola hijau, maka kejadian munculnya bola hijau lebih kecil kemungkinannya dibandingkan munculnya bola merah.

Matematika, ratunya segala ilmu pengetahuan, sering kali diujicobakan oleh generasi muda. Kami mengajukan tesis “Matematika tidak ada gunanya.” Dan kami membantahnya dengan menggunakan contoh salah satu teori misterius dan menarik yang paling menarik. Bagaimana teori probabilitas membantu dalam kehidupan, menyelamatkan dunia, teknologi dan pencapaian apa yang didasarkan pada formula kehidupan dan perhitungan rumit yang tampaknya tidak berwujud dan jauh dari ini.

Sejarah teori probabilitas

Teori probabilitas- bidang matematika yang mempelajari kejadian acak dan, tentu saja, probabilitasnya. Matematika semacam ini tidak berasal dari kantor abu-abu yang membosankan, tapi... di ruang perjudian. Pendekatan pertama untuk menilai kemungkinan suatu peristiwa tertentu populer pada Abad Pertengahan di kalangan “Hamler” pada waktu itu. Namun, mereka hanya melakukan penelitian empiris (yaitu evaluasi dalam praktik, melalui eksperimen). Tidak mungkin untuk mengaitkan kepengarangan teori probabilitas dengan orang tertentu, karena banyak orang terkenal yang mengerjakannya, yang masing-masing menyumbangkan bagiannya sendiri.

Yang pertama adalah Pascal dan Fermat. Mereka mempelajari teori probabilitas menggunakan statistik dadu. Dia menemukan hukum pertama. H. Huygens telah melakukan pekerjaan serupa 20 tahun sebelumnya, namun teorema tersebut tidak dirumuskan secara tepat. Kontribusi penting terhadap teori probabilitas dibuat oleh Jacob Bernoulli, Laplace, Poisson dan banyak lainnya.

Pierre Fermat

Teori probabilitas dalam hidup

Saya akan mengejutkan Anda: kita semua, pada tingkat tertentu, menggunakan teori probabilitas, berdasarkan analisis peristiwa yang terjadi dalam hidup kita. Kita tahu bahwa kematian akibat kecelakaan mobil lebih mungkin terjadi dibandingkan akibat sambaran petir karena sayangnya, kematian akibat kecelakaan mobil sangat sering terjadi. Dengan satu atau lain cara, kita memperhatikan kemungkinan suatu hal untuk memprediksi perilaku kita. Namun sayangnya, seseorang tidak selalu dapat secara akurat menentukan kemungkinan terjadinya peristiwa tertentu.

Misalnya, tanpa mengetahui statistik, kebanyakan orang cenderung berpikir bahwa kemungkinan meninggal akibat kecelakaan pesawat lebih besar dibandingkan akibat kecelakaan mobil. Sekarang kita tahu, setelah mempelajari fakta-fakta (yang menurut saya sudah banyak didengar), bahwa sebenarnya tidak demikian. Faktanya, “mata” hidup kita terkadang gagal, karena transportasi udara tampak jauh lebih menakutkan bagi orang yang terbiasa berjalan kokoh di darat. Dan kebanyakan orang tidak terlalu sering menggunakan transportasi jenis ini. Sekalipun kita dapat memperkirakan kemungkinan suatu peristiwa dengan benar, kemungkinan besar hal tersebut sangat tidak akurat, dan hal ini tidak masuk akal, misalnya saja dalam bidang teknik luar angkasa, di mana bagian per juta menentukan banyak hal. Dan ketika kita membutuhkan akurasi, kepada siapa kita berpaling? Tentu saja, untuk matematika.

Ada banyak contoh penggunaan nyata teori probabilitas dalam kehidupan. Hampir seluruh perekonomian modern didasarkan pada hal tersebut. Ketika suatu produk tertentu diluncurkan ke pasar, seorang pengusaha yang kompeten tentu akan memperhitungkan risiko, serta kemungkinan pembelian di pasar, negara tertentu, dll. Broker di pasar dunia praktis tidak bisa membayangkan hidup mereka tanpa teori probabilitas. Memprediksi nilai tukar uang (yang tentunya tidak dapat dilakukan tanpa teori probabilitas) pada opsi uang atau pasar Forex yang terkenal memungkinkan untuk menghasilkan banyak uang dari teori ini.

Teori probabilitas penting di awal hampir semua aktivitas, serta pengaturannya. Dengan menilai kemungkinan terjadinya kerusakan tertentu (misalnya, pesawat ruang angkasa), kita mengetahui upaya apa yang perlu kita lakukan, apa sebenarnya yang harus diperiksa, apa yang diperkirakan secara umum pada jarak ribuan kilometer dari Bumi. Kemungkinan serangan teroris di metro, krisis ekonomi atau perang nuklir - semua ini dapat dinyatakan dalam persentase. Dan yang terpenting, mengambil tindakan balasan yang tepat berdasarkan data yang diterima.

Saya cukup beruntung bisa menghadiri konferensi ilmiah matematika di kota saya, di mana salah satu makalah pemenang berbicara tentang signifikansi praktisnya teori probabilitas dalam kehidupan. Anda mungkin, seperti semua orang, tidak suka mengantri dalam waktu lama. Karya ini membuktikan bagaimana proses pembelian dapat dipercepat jika Anda menggunakan teori probabilitas menghitung orang dalam antrean dan mengatur aktivitas (membuka mesin kasir, menambah jumlah tenaga penjualan, dll). Sayangnya, kini sebagian besar jaringan besar mengabaikan fakta ini dan hanya mengandalkan perhitungan visual mereka sendiri.

Aktivitas apa pun di bidang apa pun dapat dianalisis menggunakan statistik, dihitung menggunakan teori probabilitas, dan ditingkatkan secara signifikan.