Kita masing-masing, sejak masa kanak-kanak, sangat akrab dengan sosok yang sederhana dan, sekilas, dapat dimengerti seperti segitiga. Namun, tidak semua orang tahu bahwa ada juga segitiga yang sangat menakjubkan, tidak seperti yang pernah kita lihat sebelumnya - segitiga Pascal, dinamai menurut ahli matematika dan filsuf besar Prancis Blaise Pascal, yang menggambarkannya pada tahun 1653 dalam karyanya Risalah tentang Segitiga Aritmatika. Terlepas dari kenyataan bahwa informasi pertama tentang segitiga Pascal sudah ada sejak dahulu kala (Omar Khayyam, yang tidak hanya terlibat dalam filsafat, tetapi juga matematika, menggambarkannya pada awal abad ke-12 dengan mengacu pada pinjaman dari sumber-sumber yang berasal dari waktu sebelumnya), B. Pascal-lah yang pertama kali mampu mendeskripsikan sifat-sifatnya secara ilmiah.
Segitiga Pascal - dengan kata lain, tabel bilangan tak hingga yang dibuat dalam bentuk segitiga - sederhana, anggun, dan hebat, seperti segala sesuatu yang cerdik: setiap bilangan sama dengan jumlah dua bilangan yang terletak di atasnya. Tidak sulit untuk menebak bahwa segitiga ini bisa sebesar yang Anda suka - bisa berlanjut tanpa batas waktu.
Barisan bilangan pertama (jika kita menghitung “diagonal” aneh dari atas) adalah satuan, baris kedua berisi bilangan asli yang sesuai dengan nomor baris lokasi bilangan tersebut. Semua angka pada baris ketiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21,28, 36, 45, dst. adalah bilangan segitiga yang menunjukkan dengan tepat berapa banyak benda (seperti bola di bilyar) yang dapat membentuk segitiga secara kolektif. Deret ini juga luar biasa karena setiap bilangannya merupakan penjumlahan dari deret bilangan asli, contoh: 45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 atau 21 = 1 + 2 + 3+4+5+6 dst. Baris keempat angka dalam segitiga Pascal (1, 4, 10, 20, 35, 56, dst.) berisi bilangan tetrahedral (piramidal) yang ikut serta dalam “konstruksi” imajiner sebuah tetrahedron: bola lain ditempatkan pada tiga yang ada bola dan hasilnya - 4, dst. Baris kelima dari segitiga, yang dibentuk oleh bilangan hipertetrahedral 1, 5, 15, 35, 70, dst., akan membantu Anda membayangkan (karena ini hanya mungkin dalam ruang empat dimensi) sebuah hipertetrahedron: satu bola digabungkan dengan empat, dan mereka dengan sepuluh, dll. d. Tetrahedron lima dimensi yang bahkan lebih tak terbayangkan “dibangun” menggunakan nomor baris keenam segitiga Pascal: 1, 6, 21, 56, 126, dst.
Sedangkan untuk garis horizontal, semua angka pada garis ini adalah koefisien binomial, yang sangat berharga untuk kombinatorik, teori probabilitas, yang pendirinya adalah B. Pascal, “penulis bersama” dengan Fermat, dan bidang matematika lainnya.
Salah satu sifat misterius segitiga Pascal adalah kecepatannya menemukan jumlah bilangan dalam suatu deret dari awal sampai dengan bilangan yang kita butuhkan. Untuk itu, setelah menemukan suku terakhir, perlu memperhatikan bilangan yang tertulis di bawah dan di sebelah kiri (jika Anda memberi nomor pada baris di sisi kanan) atau ke kanan (jika Anda memberi nomor pada baris di sisi kanan). sisi kiri) dari semester terakhir. Misalnya, untuk mengetahui jumlah total semua angka di baris keempat dari 1 hingga 56, cukup dengan menemukan 56, lihat apa yang tertulis di sebelah kiri bawah: ini adalah angka 126. Anehnya BENAR!
Segitiga Pascal hanyalah tabel bilangan tak terhingga dari "bentuk segitiga" dengan bilangan di atas dan di samping, masing-masing bilangan yang tersisa sama dengan jumlah dua bilangan di atasnya ke kiri dan ke kanan pada baris sebelumnya. Tabel tersebut simetris terhadap sumbu yang melalui puncaknya.
Segitiga Pascal sering ditulis dalam bentuk segitiga sama kaki, yang didalamnya terdapat angka di atas dan di samping, masing-masing bilangan sisanya sama dengan jumlah dua bilangan di atasnya ke kiri dan ke kanan. baris sebelumnya. Dan struktur segitiga Pascal dijelaskan lebih sederhana lagi dengan kata-kata: setiap bilangan sama dengan jumlah dua bilangan yang terletak di atasnya. Semuanya dasar, tapi banyak keajaiban yang tersembunyi di dalamnya.
Titik sudut segitiga adalah 1. Segitiga tersebut dapat dilanjutkan tanpa batas. Bentuknya simetris terhadap sumbu vertikal yang melewati puncaknya. Sepanjang diagonal yang sejajar dengan sisi segitiga (ditandai dengan garis hijau pada gambar), bilangan segitiga dan generalisasinya untuk kasus ruang semua dimensi dibangun.
Bilangan segitiga dalam bentuk yang paling umum dan familiar menunjukkan berapa banyak lingkaran bersentuhan yang dapat disusun dalam bentuk segitiga - sebagai contoh klasik, susunan awal bola dalam bilyar. Anda dapat melampirkan dua lagi ke satu koin - dengan total tiga - ke dua, Anda dapat melampirkan tiga lagi - dengan total enam. Terus menambah baris sambil mempertahankan bentuk segitiga, kita mendapatkan baris 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., yang ditunjukkan oleh garis hijau kedua. Deret menakjubkan ini, yang masing-masing anggotanya sama dengan jumlah deret bilangan asli (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), juga berisi banyak deret familiar yang terkenal di kalangan pecinta matematika: 6 dan 28 adalah bilangan sempurna, 36 adalah bilangan kuadrat, 8 dan 21 adalah bilangan Fibonacci.
Garis hijau berikutnya akan menunjukkan kepada kita bilangan tetrahedral - kita dapat menempatkan satu bola pada tiga - totalnya empat, kita dapat menempatkan enam di bawah tiga - totalnya sepuluh, dan seterusnya.
Dan garis hijau berikutnya (1, 5, 15, 35,...) akan menunjukkan upaya untuk meletakkan hipertetrahedron dalam ruang empat dimensi - satu bola menyentuh empat, dan mereka, pada gilirannya, menyentuh sepuluh... Di dunia kita dan dimensi kita ini mustahil, hanya mungkin dalam empat dimensi, maya. Terlebih lagi, tetrahedron lima dimensi, yang dibuktikan dengan garis hijau berikutnya, hanya bisa ada dalam penalaran para ahli topologi.
Tapi apa yang ditunjukkan oleh garis hijau atas, tempat bilangan-bilangan deret natural berada? Ini juga merupakan bilangan segitiga, tetapi satu dimensi, menunjukkan berapa banyak bola yang dapat diletakkan di sepanjang garis - sebanyak yang ada, letakkan sebanyak-banyaknya. Jika kita sampai ke akhir, maka baris paling atas juga merupakan bilangan segitiga dalam ruang berdimensi nol - tidak peduli berapa banyak bola yang kita ambil, kita tidak akan dapat menempatkan lebih dari satu, karena tidak ada tempat - tidak ada tidak ada panjang, tidak ada lebar, tidak ada tinggi.
Sekilas saja melihat segitiga Pascal sudah cukup untuk melihat fakta aneh berikut ini: 10 inti dapat dilipat baik dalam bentuk tetrahedron maupun dalam bentuk segitiga datar. Dan 56 hipernuklei yang membentuk tetrahedron dalam ruang lima dimensi dapat disusun dalam tetrahedron tiga dimensi yang biasa kita kenal, namun, jika kita mencoba membuat segitiga dari 56 inti, maka satu inti akan tetap tersisa.
Berikut dua sifat menarik dari segitiga Pascal. Untuk mencari jumlah bilangan pada sembarang diagonal dari awal sampai tempat yang kita minati, lihat saja bilangan yang terletak di bawah dan di kiri suku terakhir (di kiri untuk diagonal kanan, di kanan untuk kiri). diagonal, dan secara umum - lebih dekat ke tengah segitiga). Misalkan kita ingin menghitung jumlah bilangan pada deret natural dari 1 sampai 9. Setelah “turun” secara diagonal ke bilangan 9, kita akan melihat bilangan 45 di kiri bawahnya jumlah yang dibutuhkan. Berapa jumlah delapan bilangan segitiga pertama? Kami menemukan angka kedelapan pada diagonal kedua dan bergerak ke bawah dan ke kiri. Jawaban: 120. Tapi omong-omong, 120 adalah bilangan tetrahedral. Oleh karena itu, dengan mengambil semua bola yang menyusun 8 segitiga pertama, kita dapat membentuk tetrahedron.
Jumlah angka-angka di sepanjang diagonal yang turun tidak terlalu tajam (ditandai dengan garis merah pada gambar) membentuk deret Fibonacci yang terkenal.
Bilangan Fibonacci sering ditemukan dalam permasalahan kombinatorial. Perhatikan deretan n kursi. Dalam berapa cara laki-laki dan perempuan dapat duduk di atasnya sehingga tidak ada dua perempuan yang duduk bersebelahan? Bila n=1, 2, 3, 4,... banyaknya cara berturut-turut adalah 2, 3, 5, 8,..., artinya bertepatan dengan bilangan Fibonacci. Pascal rupanya tidak mengetahui bahwa angka Fibonacci tersembunyi di dalam segitiganya. Keadaan ini baru ditemukan pada abad ke-19. Angka-angka pada garis mendatar segitiga Pascal merupakan koefisien binomial, yaitu koefisien muai (x+y) n pangkat x dan y. Misalnya, (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 dan (x+y) 3 =x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3. Koefisien muai 1, 2, 2 berada pada baris kedua, dan 1, 3, 3, 1 berada pada baris ketiga segitiga. Untuk mencari koefisien muai (x+y) n, lihat saja baris ke-n segitiga tersebut. Sifat dasar segitiga Pascal inilah yang menghubungkannya dengan kombinatorik dan teori probabilitas, menjadikannya sarana yang mudah untuk melakukan perhitungan.
Secara umum, bilangan yang menunjukkan banyaknya cara n elemen dapat dipilih dari himpunan yang berisi r elemen berbeda terletak pada perpotongan diagonal ke-n dan baris ke-r. Banyaknya kemungkinan kombinasi n elemen dengan m ditentukan oleh rumus
dimana n!=1*2*3*4*....*n disebut faktorial dari bilangan n. Dan nilai koefisien binomial ditentukan oleh rumus
terlebih lagi, seperti yang telah kita ketahui, mereka adalah barisan segitiga Pascal, yang secara tidak dapat dipahami menghubungkan segitiga ini dengan kombinatorik dan perluasan binomial dalam pangkat.
Museum Teknis Wina
Segitiga Pascal berbentuk dua dimensi dan terletak pada suatu bidang. Pikiran muncul tanpa sadar - apakah mungkin untuk memperluas hukumnya ke analogi tiga dimensi (dan empat...)? Ternyata itu mungkin! Ada analogi tiga dimensi dari segitiga - piramida Pascal, hubungannya dengan koefisien trinomial. Piramida Pascal dapat dibangun dalam bentuk tetrahedron, begitu pula piramida dengan nilai sudut dihedral yang berbeda-beda, salah satunya siku-siku.
Di sepanjang tiga tepi luar piramida terdapat satuan. Masing-masing dari ketiga sisi sisinya adalah segitiga Pascal. Setiap elemen dalam piramida Pascal yang terletak di bagian ke-n sama dengan jumlah tiga elemen yang terletak di sudut-sudut segitiga dasar bagian (n-1) piramida. Penampang tersebut diperoleh dari segitiga Pascal yang alasnya adalah baris ke-n Pascal, dengan cara mengalikan unsur-unsur barisnya suku demi suku dengan unsur-unsur alasnya, diputar berlawanan arah jarum jam dengan suatu sudut. /2.
Jika bagian piramida Pascal adalah segitiga beraturan, maka untuk segitiga apa pun N ia memiliki tiga sumbu simetri. Gambar tersebut menunjukkan sumbu simetri bagian di N = 4.
numerik segitiga Pascal
Ada satu unit di garis atas segitiga. Di baris yang tersisa, setiap angka adalah jumlah dari dua tetangganya di lantai atas - ke kiri dan ke kanan. Jika ada tetangga yang hilang maka dianggap nol. Segitiga itu memanjang ke bawah tanpa batas waktu; kami hanya menyajikan delapan baris teratas: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ...
Mari kita nyatakan dengan huruf n nomor garis segitiga, dan dengan huruf k jumlah nomor pada garis tersebut (penomoran dimulai dalam kedua kasus dari nol). Paling sering, angka di baris ke-n dan di tempat ke-k di baris ini dilambangkan dengan C n k , lebih jarang - n k .
Sebutkan beberapa fakta terkait segitiga Pascal.
Bilangan pada baris ke-n segitiga tersebut adalah koefisien binomial, yaitu koefisien pada pemuaian derajat ke-n binomial Newton: a + b n = ∑ k = 0 n C n k a k b n − k .
Jumlah semua bilangan pada baris ke-n sama dengan pangkat dua ke-n: ∑ k = 0 n C n k = 2 n . Rumus ini didapat dari rumus binomial jika kita masukkan a = b = 1.
Rumus eksplisit untuk menghitung koefisien binomial dapat dibuktikan: C n k = n ! oke! n − k ! .
Jika baris-baris dalam segitiga Pascal sejajar ke kiri, maka jumlah bilangan-bilangan yang terletak sepanjang diagonal dari kiri ke kanan dan dari bawah ke atas adalah sama. Angka Fibonacci- 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 … (setiap bilangan pada barisan ini sama dengan jumlah dua bilangan sebelumnya, dan dua bilangan mengawali barisan tersebut): 1 ⬃ 1 2 1 ⬃ ⬃ 3 5 1 1 ⬃ ⬃ 8 13 1 2 1 ⬃ ⬃ 21 34 1 3 3 1 ⬃ ⬃ 55 89 1 4 6 4 1 ⬃ ⬃ 144 233 1 5 10 10 5 1 ⬃ ⬃ 377 610 1 6 15 20 15 6 1 ⬃ ⬃ 987 1597 1 7 21 35 35 21 7 1 ⬃ ⬃ 2584 4181 … ⬃ ⬃
Jika bilangan ganjil pada segitiga Pascal diwarnai dengan satu warna, dan bilangan genap dengan warna lain, maka diperoleh gambar berikut (pada Gambar 10.1. “Segitiga Pascal-Sierpinski” bilangan pada 128 baris pertama diwarnai dengan cara ini) :
Gambar serupa dapat dibuat sebagai berikut. Pada segitiga yang diarsir, cat ulang segitiga tengahnya (dibentuk oleh titik tengah sisi segitiga aslinya) dengan warna berbeda. Tiga segitiga kecil yang terletak di sudut segitiga besar akan tetap dicat dengan warna yang sama. Mari kita lakukan masing-masing dengan cara yang persis sama seperti yang kita lakukan dengan yang besar, yaitu mewarnai ulang segitiga tengah di masing-masingnya. Kami akan melakukan hal yang sama dengan sisa segitiga warna lama. Jika prosedur ini diulangi tanpa batas waktu, gambar dua warna akan tetap berada di tempat segitiga aslinya. Bagian yang tidak dicat ulang disebut Segitiga Sierpinski. Beberapa tahap pertama pembuatan segitiga Sierpinski ditunjukkan pada gambar 10.2. "Pembangunan segitiga Sierpinski".
Properti penting dari segitiga Sierpinski adalah miliknya kesamaan diri- lagipula, ia terdiri dari tiga salinan dirinya sendiri, dikurangi setengahnya (ini adalah bagian dari segitiga Sierpinski, terdapat dalam segitiga kecil yang berdekatan dengan sudut). Kesamaan diri merupakan salah satu sifat yang khas fraktal , yang akan kita bicarakan di bab ini 44. " L-sistem". Segitiga Sierpinski juga akan disebutkan dalam bab ini.
Kita membaca tentang hubungan misterius antara segitiga Pascal dan bilangan prima dalam catatan singkat karya Yu Matiyasevich. Mari kita ganti angka-angka pada segitiga Pascal dengan sisa pembagiannya dengan nomor baris. Mari kita susun garis-garis pada segitiga yang dihasilkan sehingga baris berikutnya dimulai dua kolom di sebelah kanan awal kolom sebelumnya (lihat Gambar 10.3. “Hubungan segitiga Pascal dengan bilangan prima”). Maka kolom dengan bilangan prima hanya akan terdiri dari nol, dan kolom dengan bilangan komposit akan berisi bilangan bukan nol.
Segitiga Pascal adalah segitiga matematika elegan yang mewakili tabel koefisien binomial tak terhingga. Tabel tersebut menggambarkan hubungan tersembunyi antara bilangan yang muncul secara alami dalam teori bilangan, kombinatorik, teori probabilitas, dan aljabar.
Inti dari barisan segitiga
Angka 1 adalah angka yang penting, tapi bagaimana dengan 11? Menariknya, 11 × 11 = 121, 11 × 11 × 11 = 1331, dan 11 × 11 × 11 × 11 = 14641. Jika Anda menyusun angka-angka ini dari atas ke bawah dan menyatakannya sebagai digit individual, Anda mendapatkan formasi yang menarik:
- 1 2 1
- 1 3 3 1
- 1 4 6 4 1
Angka-angka ini adalah baris pertama dari segitiga Pascal yang terkenal. Selanjutnya, tabel dibuat berdasarkan prinsip berikut: satuan ditulis di sepanjang tepinya, dan di dalam baris angka-angka tersebut dibentuk oleh jumlah angka-angka yang terletak berdekatan di atas kiri dan kanan angka yang diinginkan. Tabel ini terkenal dalam matematika karena keanggunan, simetri, dan hubungan tak terduga antar angka. Kaitan tabel tersebut dengan bidang matematika lainnya menjadikan segitiga Pascal sebagai Cawan Suci matematika.
Sejarah penemuan
Tabel tersebut diyakini telah ditemukan oleh Blaise Pascal pada tahun 1653, namun asal usul formasi tersebut jauh lebih tua. Tabel segitiga tak hingga pertama kali disebutkan dalam karya matematikawan India abad ke-10, dan informasi terlengkap tentang segitiga disajikan dalam karya matematikawan Tiongkok Shijie yang diterbitkan pada tahun 1303. Namun, Shizze hanya menyebutkan formasinya; pencipta segitiga Pascal dianggap sebagai ilmuwan Tiongkok Yang Hui, oleh karena itu di Tiongkok tabel koefisien binomial disebut “segitiga Hui”.
Properti Luar Biasa
Simetri adalah sifat yang jelas dari segitiga Pascal. Jika ditarik garis vertikal dari satuan atas, maka angka di kanan dan kiri akan simetris. Diagonal-diagonal suatu segitiga juga simetris. Diagonal umumnya memiliki sejumlah sifat unik. Jika diagonal pertama, baik timur maupun barat, merupakan barisan satuan padat, maka diagonal kedua merupakan rangkaian bilangan asli, diagonal ketiga merupakan rangkaian bilangan segitiga, dan diagonal keempat adalah tetrahedral.
- Bilangan segitiga (1, 3, 6, 10...) adalah bilangan yang digunakan untuk membuat segitiga datar. Sederhananya, jika dalam permainan dua dimensi Anda ingin membuat segitiga dari elemen bulat, maka Anda perlu menyejajarkan elemen-elemen tersebut dalam jumlah yang sesuai dengan bilangan segitiga: pertama 6 lingkaran, lalu 3, lalu 1.
- Bilangan tetrahedral (1, 4, 10, 20...) digunakan untuk membuat tetrahedra tiga dimensi. Sederhananya, jika Anda perlu menumpuk bola meriam dalam piramida yang rapi, maka Anda perlu meletakkan 20 bola meriam di dasarnya, 10 bola lagi di atasnya, 4 di atas, dan memahkotai piramida dengan satu bola meriam di atasnya.
Selain itu, jika dalam segitiga Pascal bilangan genap diganti dengan satu dan bilangan ganjil diganti dengan nol, Anda mendapatkan segitiga Sierpinski - fraktal terkenal yang dibuat oleh ahli matematika Polandia pada awal abad ke-20.
Segitiga Pascal juga memiliki hubungan yang mengejutkan dengan aljabar. Jika kita memperluas dengan biner Newtonian berbentuk (1 + x) 2, kita mendapatkan 1 + 2x + x 2. Jika (1 + x) 3, maka hasilnya adalah 1 + 3x + 3x 2 + x 3. Jika diperhatikan lebih dekat, koefisien binomial tidak lebih dari angka-angka dari deret segitiga Pascal yang bersesuaian.
Konstruksi segitiga Pascal
Segitiga Pascal adalah tabel unsur-unsur yang tak terhingga. Dengan menggunakan kalkulator kami, Anda dapat membuat tabel dengan dimensi apa pun, tetapi tidak disarankan menggunakan angka yang terlalu besar (n>100), karena tabel sebesar itu tidak memiliki kegunaan praktis, dan kalkulator online membutuhkan waktu terlalu lama untuk membuatnya. Selain sifat elegannya yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan binomial atau membuat barisan tetrahedral, tabel Pascal juga dapat diterapkan dalam kombinatorik.
Contoh kehidupan nyata
Menghitung banyaknya cara
Jika ada 7 ahli matematika yang bekerja di departemen tersebut, dan tiga di antaranya perlu dikirim ke olimpiade kota, berapa banyak cara yang dapat dilakukan? Ini adalah soal kombinatorik standar yang mengutamakan urutan elemen, yaitu opsi “Sidorov, Ivanov, dan Petrov” berbeda dengan opsi “Ivanov, Petrov, Sidorov”, meskipun kelompok matematikawan yang dipilih adalah sama. Situasi ini muncul ketika guru harus mengikuti berbagai kompetisi. Dengan solusi “manual”, kita harus menggunakan rumus standar untuk kombinatorik, namun lebih mudah menggunakan properti segitiga Pascal.
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita hanya perlu membuat sebuah segitiga dengan n = 10, carilah baris ketujuh dan bilangan ketiga di dalamnya. Jadi, ada 35 cara menyatukan para matematikawan untuk berangkat ke Olimpiade.
Definisi probabilitas
Ada 20 bola di dalam keranjang, diberi nomor 1 sampai 20. Kita ambil 3 bola secara acak. Berapa peluang terambilnya bola bernomor 5, 12 dan 13? Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu membuat segitiga Pascal dengan n = 20, lalu mencari baris kedua puluh dan bilangan ketiga di dalamnya. Ada 1140 cara menggambar tiga bola. Peluang kejadian kita terjadi adalah 3 berbanding 1140.
Kesimpulan
Segitiga Pascal adalah tabel sederhana yang menyembunyikan sejumlah besar rahasia matematika. Suku deret berhubungan dengan koefisien binomial, bilangan sempurna, bilangan Fibonacci, bilangan tetrahedral dan segitiga. Gunakan kalkulator kami untuk membuat kisi dengan ukuran yang Anda perlukan untuk menyelesaikan berbagai macam masalah matematika.
Semua orang belajar tentang segitiga Pascal di masa mudanya. Namun ternyata, tidak semua keajaiban yang terkandung dalam segitiga tersebut diketahui. Faktanya, kami masih menemukan hal-hal baru!
Membuat segitiga cukup mudah: Anda harus meletakkan angka di tepi luarnya, dan setiap angka di dalamnya sama dengan jumlah dua angka di atasnya. Jadi, bilangan ketiga pada baris keenam sama dengan , karena merupakan jumlah dari bilangan-bilangan tersebut dan .
Perhatian! Kami sebenarnya akan menyebutkan angka kedua di baris kelima. Untuk alasan yang akan segera menjadi jelas, kita mulai memberi nomor pada baris dan kolom segitiga dari awal. Misalnya bilangan kedua pada baris keempat adalah .
Mengetahui aturan penjumlahan, Anda dapat melanjutkan tanpa henti: Anda dapat menulis baris sebanyak yang dimungkinkan oleh kesabaran Anda.
10 baris pertama segitiga Pascal
Pascal memperkenalkan segitiganya pada tahun 1653 dalam Traité du Triangle arithmétique sebagai bagian dari masalah dalam studi probabilitas dan komputasi. Pertanyaannya kira-kira seperti: “Jika saya ingin memilih dua orang dari empat data yang diberikan, berapa banyak kemungkinan pasangan yang ada?” atau “Berapa probabilitas mendapatkan full house ()? catatan dalam poker, tiga kartu dengan satu nilai dan dua kartu lainnya) ketika lima kartu dibagikan dari tumpukan kartu yang dikocok dengan baik?'' Pascal dan Fermat kebanyakan membahas probabilitas dalam surat-surat yang mereka tukarkan pada saat itu. Anda dapat melihat segitiga asli Pascal.
Bagaimana hubungan segitiga dengan probabilitas? Nah, jika Anda ingin memilih objek dari data tersebut, maka banyaknya kemungkinan pilihan sama dengan angka ke-th pada baris ke-th segitiga tersebut. Ingatlah bahwa nomor baris dan angka pada garis segitiga dimulai dari nol! Dengan menggunakan aturan ini, kita melihat bahwa ada dua cara untuk memilih dua orang dari empat nilai yang diberikan. Jadi - angka ketiga pada garis kesembilan segitiga, lalu ada cara untuk memilih tiga orang dari sembilan data. Setelah Anda mempelajari cara menghitungnya, Anda akan mengambil langkah kecil untuk menghitung semua kemungkinan yang mungkin.
Sepintas, nampaknya agak tidak jelas mengapa segitiga memberikan jawaban yang benar untuk pertanyaan ini. Mungkin juga terasa aneh bahwa kita harus selalu memulai dari awal agar berhasil. Untuk memastikan bahwa semua ini sepenuhnya benar, kami akan memberikan dua komentar.
Pertama, jika Anda mempunyai sekelompok objek, berapa banyak cara Anda dapat memilih nol objek dari objek tersebut? Hanya ada satu cara untuk memilih objek nol, dan itu adalah dengan menyatakan bahwa Anda tidak mengambil satu pun objek tersebut. Selain itu, Anda hanya memiliki satu cara untuk memilih semua objek. Dan ini sama persis dengan yang ada di kedua ujung setiap baris.
Blaise Pascal
Kedua, jika kita ingin memilih item dari data, kita melihat ada dua skenario yang saling eksklusif: item favorit kita adalah salah satu item yang dipilih, atau bukan. Jika kita memilihnya, maka kita juga harus memilih salah satu item dari item yang tersisa agar dapat memilih item dengan tepat. Jika kita tidak memilih item tertentu, maka kita harus memilih semua item dari data item yang tersisa setelah menghilangkan item favorit kita. Karena ini adalah kemungkinan yang saling eksklusif, untuk mendapatkan jumlah total pilihan, kita harus menjumlahkan jumlah pilihan di setiap skenario.
Singkatnya, untuk mendapatkan banyaknya cara memilih objek dari data, kita harus menjumlahkan banyaknya cara memilih objek dari , dan banyaknya cara memilih objek dari . Namun justru inilah aturan penjumlahan segitiga Pascal!
Kita telah mengetahui bahwa suatu segitiga sepenuhnya ditentukan oleh susunan satuan pada sisi-sisinya dan aturan penjumlahan. Karena sifat-sifat ini juga berlaku untuk jawaban atas pertanyaan tentang jumlah pilihan objek, segitiga juga harus memberikan jawaban yang benar di sini.
Kemampuan untuk membuat perhitungan seperti itu sangat berharga dalam banyak kasus. Oleh karena itu, tidak mengherankan jika Pascal bukanlah yang pertama. Angka-angka ini telah dipelajari oleh ahli matematika India, Cina, dan Iran pada berbagai waktu, dimulai lebih dari seribu tahun yang lalu. Dan tentu saja semua orang akan mengenali segitiga Yang Hui, 1303:
Lucunya, tanpa bisa membedakan angka pun, Anda bisa menemukan kesalahan ketik pada segitiga berusia lebih dari 700 tahun ini! Petunjuk: Aturan penjumlahan membuat segitiga Pascal menjadi simetris terhadap garis vertikal yang melalui titik sudutnya. Jika diperhatikan lebih dekat, pada segitiga Yang Hui simetri ini patah di satu tempat.
Ada banyak hal indah dalam segitiga. Dimana keajaibannya? Beberapa di antaranya mudah dikenali. Jika Anda menjumlahkan angka-angka pada baris ke-tiga sebuah segitiga, Anda akan selalu mendapatkan pangkat (misalnya, ). Ini cukup membosankan bagi kami.
Yang lebih menarik adalah kenyataan bahwa jika Anda menjumlahkan angka-angka pada diagonal segitiga, Anda mendapatkan deret angka Fibonacci. Dan deret Fibonacci sendiri mengandung banyak kejutan.
Baru-baru ini, sesuatu yang mengejutkan dan baru ditemukan pada segitiga Pascal. Seperti yang telah kita lihat, saat Anda menjumlahkan angka-angka dalam deretan segitiga, sesuatu yang menarik terjadi. Fakta tentang penjumlahan ini sama tuanya dengan segitiga itu sendiri. Namun, hingga tahun 2012, sebelum Harlan Brothers, tidak ada yang mencoba mencari tahu apa yang akan terjadi jika Anda mengalikan angka di setiap baris.
Mari kita nyatakan dengan hasil kali bilangan-bilangan pada baris ke-th segitiga. Jadi, , dan seterusnya. Angka-angka yang dihasilkan tampaknya tidak memiliki sifat ajaib yang nyata. Saudara-saudara mempunyai ide untuk melihat apa yang akan terjadi jika Anda membagi produk-produk ini dihitung untuk baris yang berdekatan. Lebih tepatnya, ia menemukan angka-angka yang diperoleh dengan rumus berikut:
Artinya, untuk setiap garis, ia menghitung pecahan, yang pembilangnya sama dengan hasil kali semua bilangan pada garis di bawahnya dan garis di atasnya, dan penyebutnya adalah hasil kali kuadrat semua bilangan di dalamnya. garis.
Dan inilah hal yang menakjubkan: semakin besar, rasio ini semakin mendekati angka ! Ingat, ini adalah bilangan desimal dengan jumlah digit tak terhingga, kira-kira sama dengan . Hal ini tampak dalam kapitalisasi bunga, pola pertumbuhan populasi, dan situasi pertumbuhan eksponensial lainnya. Sungguh menakjubkan bahwa bilangan ini dapat ditemukan dalam segitiga Pascal dengan cara yang cukup sederhana. Karena Anda tahu apa yang harus dicari, mudah untuk melihat bahwa rasio tersebut semakin mendekati seiring pertumbuhan Anda. Seperti yang Anda lihat, perhitungannya hanya memerlukan sedikit aljabar.
Animasi bagus karya Richard Greene ini dengan jelas menunjukkan hasil Harlan Brothers:
Ada keajaiban lain dalam segitiga yang harus diketahui semua orang. Mari kita mewarnai setiap angka dalam segitiga dengan salah satu dari dua warna, tergantung apakah angka tersebut genap atau ganjil. Misalnya, kita dapat mewarnai bilangan genap dengan warna putih dan bilangan ganjil dengan warna biru. Jika kita melakukan ini untuk 500 baris pertama segitiga, kita mendapatkan pola ini:
Ini adalah fraktal terkenal yang dikenal sebagai segitiga Sierpinski! Hal ini menimbulkan berbagai macam pertanyaan. Suatu bilangan genap atau ganjil jika dibagi memberikan sisa atau berturut-turut. Apa yang terjadi jika kita membaginya? Sisanya bisa sama dengan atau . Apa yang terjadi jika Anda menggunakan delapan warna dan mewarnai setiap angka menurut sisanya jika dibagi delapan? Untuk 500 baris pertama segitiga kita mendapatkan gambar yang indah:
Komentar: 6
1Murad:
Kesalahan besar - absurditas yang dilakukan oleh nenek moyang kita dan kita sendiri
Penelitian saya mengungkapkan kesalahan besar berikut - absurditas yang dilakukan oleh nenek moyang kita dan kita:
1. Mereka percaya bahwa manusia itu fana, namun ternyata ia abadi dan ideal. Di Alam Semesta, benda-benda ciptaan, dari mana asalnya, tidak pernah kembali ke sana. Maka tidak ada kematian - semua benda yang diciptakan di Alam Semesta hidup. Segala sesuatu yang masih dilahirkan oleh manusia dikembalikan ke bentuk abadi dan ideal, masing-masing 30 bit kode - angka menemukan pasangan idealnya, dan jumlah kode - jumlah pasangan adalah 30 sembilan.
2. Kita hanya naik ke 4 tahap perkembangan mental, dan ada 7 diantaranya: Nilai selanjutnya yang tidak dapat dibagi 1butto = 1000 st.-7 = 10 st.-21 - permulaan, berat dan volume sel hidup - jiwa yang hidup dan nilai selanjutnya yang tidak dapat diperluas 1sap = 1000 st.7 = 10 st.21. Ini adalah ukuran setiap tata surya dan jumlahnya akan mencapai 3 sextillion.
3. Semua benda ciptaan di Alam Semesta terdiri dari sel yang sama - kubus, berat dan volume 1butto = 10-21. Wanita ideal berusia 25 tahun terdiri dari 360 sextillion sel, dan pria ideal berusia 25 tahun terdiri dari 366 sextillion = 366x10st.21 sel, dan setiap sel adalah manusia itu sendiri. Artinya bagiannya sama dengan keseluruhan: Satu “I” untuk semua “366x10st.21I” dan “366x10st.21 I” untuk satu “I” - ini untuk laki-laki.
4. Suatu bagian sama dengan keseluruhan dan tidak ada bilangan pecahan, tetapi dihitung sebaliknya. Maka tidak ada bilangan irasional dan transendental. Juga tidak ada logaritma, fungsi trigonometri, limit, diferensial dan integral, kalkulus variasional, teori probabilitas dan statistik. Alam semesta dan pengetahuan itu terbatas, tetapi mereka berpikir sebaliknya. Tidak perlu menggunakan ekspresi radikal.
5. Kita menganggap persamaan Zn = Xn +Yn sebagai teorema besar Fermat atau Diophantus, dan terdapat solusi untuk persamaan (Zn – Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Maka Zn = – (Xn +Yn) merupakan penyelesaian persamaan (Zn+Xn)Xn = (Zn + Yn)Yn. Mereka mengacaukan solusi dengan persamaannya, tetapi tidak mengetahui persamaan itu sendiri. Ini tidak masuk akal, memalukan bagi para ahli matematika!
Pemecahan masalah optimasi menghasilkan sistem persamaan linier, pangkat dan diferensial. Ternyata kita bingung penyelesaiannya dengan persamaan sistem, dan tidak mengetahui persamaan itu sendiri: Zn = Xn + Yn merupakan solusi dari persamaan (Zn- Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Penyelesaiannya Zn = Xn +Yn adalah +103n = +(500 x 103(n-1) + 500 x103(n-1)) dan -103n = – (500 x 103(n-1) + 500 x103(n- 1 )). Setiap 103n = 10n x 102n adalah alas sebuah kubus dan sekaligus Rubik berorde 10n.
Kita menganggap persamaan c2 = a2+ b2: kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat kaki-kakinya sebagai teorema Pythagoras, tetapi ternyata persamaan tersebut merupakan solusi dari persamaan (c2- a2) a2 = (c2- b2 ) b2. Maka c2= – (a2+ b2) merupakan penyelesaian persamaan (c2+ a2) a2 = (c2+ b2) b2. Artinya, dari 2 segitiga siku-siku yang sama besar, dengan kaki yang sama, Anda dapat membentuk persegi - alas kubus. Dari 12 segitiga siku-siku yang sama panjang, kaki-kaki yang sama panjang dapat membentuk sebuah kubus. Tergantung pada panjang kakinya, Anda dapat membentuk berbagai kubus dan sekaligus rubik.
6. Kami belum memahami pengertian penjumlahan dan perkalian 1 (satuan). Jika ada 9 laki-laki dan 9 perempuan, maka 9 + 9 = 18 orang. 10 laki-laki dan 9 perempuan, maka 10+9 = 19 orang, 10 laki-laki dan 10 perempuan, kemudian 10+10 = 20 orang, 11 laki-laki dan 10 perempuan, kemudian 11+10 = 21 orang. Produk 1 (unit):
111111111 x 111111111= 12345678987654321; 1111111111 x 111111111= 123456789987654321. 0111111111 x 1111111110 = 0123456789876543210; 01111111111 x 1111111110 = 01234567899876543210. Operasi ini dilakukan pada bilangan bulat negatif dan positif 1-bit.
Jika kita letakkan 2 buah kubus pada ujung-ujung ruas yang panjangnya 20 satuan. Misalkan yang satu diberi muatan minus, yang kedua diberi muatan plus, maka keduanya sekaligus bertemu di tengah ruas tersebut, masing-masing melewati 10 satuan lintasan, jika dalam perjalanannya tidak ada halangan: 01234567899876543210. Kemudian kita beri muatan yang sama, kemudian mereka akan mengambil posisi awal, sedangkan angkanya berubah: 98765432100123456789 .
Jika kita letakkan 2 buah kubus pada ujung-ujung ruas yang panjangnya 200 satuan. Mari kita beri muatan minus yang satu, yang kedua plus, lalu mereka secara bersamaan bertemu di tengah segmen, masing-masing melewati 100 satuan jalan, jika tidak ada hambatan di sepanjang jalan: 00...9999...00. Kemudian kita beri muatan dengan nama yang sama, mereka akan mengambil posisi awal, dan angkanya berubah: 99...0000...99.
Jika kita letakkan 2 buah kubus pada ujung-ujung ruas yang panjangnya 2000 satuan. Mari kita beri muatan minus yang satu, yang kedua plus, lalu mereka secara bersamaan bertemu di tengah segmen, masing-masing melewati 1000 satuan jalan, jika tidak ada hambatan di jalan: 000...999999...000. Kemudian kita beri muatan dengan nama yang sama, mereka akan mengambil posisi awal, dan angkanya berubah: 999...000000...999.
Melanjutkan proses ini, kita mencapai 2 sextillion unit, kemudian setiap kubus, setelah dilewati, 1 sextillion jalur bertemu di tengah. Hukum tarik-menarik Newton dilengkapi dengan tolakan. Setiap 1 jalur (unit) harus diberi nomor, dimulai dengan 21 angka nol dan diakhiri dengan 21 angka sembilan.
Kode - angka yang ditetapkan untuk setiap pasangan - benda yang diciptakan di Alam Semesta, adalah hasil kali bilangan bulat yang terdiri dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Misalnya , setiap pasangan manusia diberi nomor kode 30 - bit, jumlah mereka adalah 30 sembilan. Menetapkan kode - nomor setiap orang dimulai dengan 30 angka nol dan diakhiri dengan 30 angka sembilan.
Pemanfaatan bilangan bulat untuk kebutuhan Kemanusiaan cukup sampai derajat ke 3 :
-(0 + 1 + 2 + … + n) + (0 + 1 + 2 + … + n); -(02 + 12 + 22 + … + n2) + (02 + 12 + 22 + … + n2);
-(03 + 13 + 23 + … + n3) + (03 + 13 + 23 + … + n3); -(04 + 14 + 24 + … + n4) + (04 + 14 + 24 + … + n4);
7. Dipercaya bahwa 1Kb = 1024b, dan 1Kb =1000b, 1Kg =1000g, 1m =1000mm. Waktu mempunyai basis 60. 1 jam = 60 menit, 1 menit. = 60 detik, 1 detik = 60 mili detik, 1 mili detik = 60 mikro detik, 1 mikro detik = 60 nano detik, 1 nano detik = 60 pic detik, 1 pic detik = 60 femto detik, 1 fem detik = 60 otto detik , 1 otto detik = 60 detik terakhir.
8. Dunia mempunyai sistem koordinat kubik (alas persegi), bukan persegi panjang (bukan Cartesian). Hal ini karena X = a, Y = a, X + Y =2a, XY= a x a adalah alasnya. X = a, Y = a, Z = a, X + Y+ Z =3a, XYZ= a x a x a.
Sistem koordinat persegi panjang (Kartesius) diperoleh dari sifat bilangan bulat: Jumlah 2 bilangan X dan Y tidak berubah dari penjumlahan dan pengurangan bilangan b, tetapi hasil kali berubah.
X = a + b, Y = a – b, X + Y =2a, XY= (a + b) x (a – b) = a2- b2.
X = a +√b, Y = a – √b, X + Y =2a, XY= (a + √b) x (a – √b) = a2- b.
X = a + bi, Y = a – bi, X + Y =2a, XY= (a + bi) x (a – bi) = a2+ b2.
X = a +√bi, Y = a – √bi, X + Y =2a, XY= (a + √bi) x (a – √bi) = a2 + b
9. Model Bumi bukanlah bola dunia, melainkan kubus dan sekaligus Rubik berorde 24 - permukaannya berbentuk bujur sangkar besar, dibagi menjadi 576 bujur sangkar kecil dengan ukuran yang sama. Panjang sisi sebuah persegi kecil adalah 1000 km = 10 st. m. permukaan bumi seharusnya tertutup uap, tapi kita hidup dalam absurditas.
10. Pusat bumi (permulaan, pusar) dan permulaan waktu terletak di utara Turkmenistan (Kunya-Urgench, tempat suci 360), dan diyakini bahwa permulaan waktu adalah Greenwich.
11. Ada banyak kalender di dunia, tetapi harus ada kalender universal karya Saparov M;
12. Rayakan Tahun Baru - matahari terbit dan bulan baru di malam hari.
13. Memakai jam tangan yang menunjukkan 24 jam. Sehari -24 jam dimulai dan diakhiri dengan matahari terbit;
14. Ada banyak huruf dan bahasa di dunia, tapi harus ada satu bahasa digital.
15 Ada banyak ilmu pengetahuan di dunia, tetapi seharusnya hanya ada satu ilmu pengetahuan - Aritgraf.
16. Seseorang lahir setelah 9 bulan = ¾ tahun, dan kita merayakan ulang tahunnya dua tahun sekali. Umur seseorang ditentukan dengan rumus: (4n)/3, dimana n adalah bilangan dibagi 3 - setelah 3 tahun ditambah 1 tahun = 9 bulan.
17. Dalam Tabel Periodik Unsur Kimia D.I. Mendeleev, setiap unsur kimia adalah organisme hidup, semua uang adalah kertas, logam dan juga organisme hidup, apa yang kita makan, minum, hirup dan jalani juga merupakan organisme hidup. Kita akan yakin akan hal ini dengan memperoleh nilai 1butto=10st.-21.
Anda dapat menambahkan absurditas dan cara memperbaikinya, kita akan mendapat manfaat darinya, kita akan segera menjadi abadi dan ideal.
Hanya ada satu jalan keluar - transisi lengkap ke sistem bilangan ke-10. Jika kita memperbaiki semua absurditas, maka kepala - komputer kita akan bekerja 1000 kali 1000 operasi per detik, dan semua masalah kita akan terpecahkan.
Tentang segala sesuatu di teoremaferma.far.ru, dipublikasikan di blog dan komunitas di facebook.com dan dalam grup di yandex.ru.
