Fungsi eksponensial
Fungsi bentuk y = a X , dimana a lebih besar dari nol dan a tidak sama dengan satu disebut fungsi eksponensial. Sifat dasar fungsi eksponensial:
1. Daerah definisi fungsi eksponensial adalah himpunan bilangan real.
2. Rentang nilai fungsi eksponensial adalah himpunan semua bilangan real positif. Terkadang himpunan ini dilambangkan sebagai R+ agar singkatnya.
3. Jika dalam suatu fungsi eksponensial basis a lebih besar dari satu, maka fungsi tersebut akan meningkat pada seluruh domain definisi. Jika dalam fungsi eksponensial untuk basis a kondisi berikut terpenuhi 0
4. Semua sifat dasar derajat akan valid. Sifat-sifat utama derajat diwakili oleh persamaan berikut:
A X *A kamu = sebuah (x+y) ;
(A X )/(A kamu ) = sebuah (xy) ;
(a*b) X = (sebuah X )*(A kamu );
(a/b) X = sebuah X /B X ;
(A X ) kamu = sebuah (x * kamu) .
Persamaan ini berlaku untuk semua nilai riil x dan y.
5. Grafik fungsi eksponensial selalu melalui titik dengan koordinat (0;1)
6. Bergantung pada apakah fungsi eksponensial bertambah atau berkurang, grafiknya akan memiliki salah satu dari dua bentuk.
Gambar berikut menunjukkan grafik fungsi eksponensial meningkat: a>0.
Gambar berikut menunjukkan grafik fungsi eksponensial menurun: 0
Baik grafik fungsi eksponensial meningkat maupun grafik fungsi eksponensial menurun, menurut sifat-sifat yang dijelaskan pada paragraf kelima, melewati titik (0;1).
7. Suatu fungsi eksponensial tidak mempunyai titik ekstrem, yaitu tidak mempunyai titik minimum dan maksimum dari fungsi tersebut. Jika kita mempertimbangkan suatu fungsi pada segmen tertentu, maka fungsi tersebut akan mengambil nilai minimum dan maksimum di akhir interval ini.
8. Fungsinya tidak genap atau ganjil. Fungsi eksponensial adalah fungsi yang bentuknya umum. Hal ini terlihat dari grafik-grafiknya; tidak ada satupun yang simetris baik terhadap sumbu Oy maupun terhadap titik asal koordinat.
Logaritma
Logaritma selalu dianggap sebagai topik yang sulit dalam kursus matematika sekolah. Ada banyak definisi logaritma yang berbeda, tetapi karena alasan tertentu sebagian besar buku teks menggunakan definisi yang paling rumit dan tidak berhasil.
Kami akan mendefinisikan logaritma secara sederhana dan jelas. Untuk melakukan ini, mari buat tabel:
Jadi, kita punya kekuatan dua. Jika Anda mengambil angka dari garis bawah, Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.
Dan sekarang - sebenarnya definisi logaritma:
Definisi
Logaritma untuk mendasarkan argumen x adalah pangkat yang angkanya harus dipangkatkan A untuk mendapatkan nomornya X.
Penamaan
log a x = b
dimana a adalah basis, x adalah argumennya, b - sebenarnya, logaritmanya sama dengan apa.
Misalnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Dengan keberhasilan yang sama, log 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.
Operasi mencari logaritma suatu bilangan dengan basis tertentu disebutlogaritma . Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:
Sayangnya, tidak semua logaritma dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, coba cari log 2 5. Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat pada interval tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Bilangan seperti itu disebut irasional: bilangan setelah koma dapat ditulis ad infinitum dan tidak pernah terulang. Jika logaritmanya ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya banyak orang bingung mana dasarnya dan mana argumentasinya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:
Di hadapan kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah pangkat , di mana basis harus dibangun untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan ke pangkat - itu disorot dengan warna merah pada gambar. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu siswa saya aturan luar biasa ini pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan yang timbul.
Kami telah menemukan definisinya - yang tersisa hanyalah mempelajari cara menghitung logaritma, mis. hilangkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat itu Dua fakta penting mengikuti definisi tersebut:
Argumen dan basisnya harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti definisi derajat dengan eksponen rasional, yang kemudian direduksi menjadi definisi logaritma.
Basisnya harus berbeda dari yang satu, karena yang satu tetaplah satu sampai tingkat apa pun. Oleh karena itu, pertanyaan “kepada kekuatan apa seseorang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!
Pembatasan seperti itu disebut rentang nilai yang dapat diterima(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Harap dicatat bahwa tidak ada batasan jumlah B (nilai logaritma) tidak tumpang tindih. Misalnya, logaritmanya mungkin negatif: log 2 0,5 = −1, karena 0,5 = 2 −1.
Namun, sekarang kita hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, yang tidak perlu mengetahui VA logaritmanya. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penulis masalah. Namun ketika persamaan dan pertidaksamaan logaritmik mulai berlaku, persyaratan DL akan menjadi wajib. Bagaimanapun juga, dasar dan argumennya mungkin mengandung konstruksi yang sangat kuat yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.
Sekarang pertimbangkan yang umum skema untuk menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:
Berikan alasan a dan argumen x dalam bentuk pangkat dengan basis minimum yang mungkin lebih besar dari satu. Dalam prosesnya, lebih baik menghilangkan desimal;
Selesaikan sehubungan dengan suatu variabel persamaan b: x = a b ;
Nomor yang dihasilkan b akan menjadi jawabannya.
Itu saja! Jika logaritmanya ternyata irasional, hal ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangatlah penting: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Sama halnya dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahannya akan jauh lebih sedikit.
Mari kita lihat cara kerja skema ini menggunakan contoh spesifik:
Hitung logaritmanya: log 5 25
Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
Mari buat dan selesaikan persamaannya:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Kami menerima jawabannya: 2.
Hitung logaritmanya:
Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat tiga: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;
Mari buat dan selesaikan persamaannya:
Kami menerima jawabannya: −4.
−4
Hitung logaritmanya: log 4 64
Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Mari buat dan selesaikan persamaannya:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Kami menerima jawabannya: 3.
Hitung logaritmanya: log 16 1
Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Mari buat dan selesaikan persamaannya:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Kami menerima jawabannya: 0.
Hitung logaritmanya: log 7 14
Mari kita bayangkan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
Dari paragraf sebelumnya dapat disimpulkan bahwa logaritma tidak dihitung;
Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.
catatan 7 14
Catatan kecil pada contoh terakhir. Bagaimana Anda bisa yakin bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Caranya sangat sederhana - faktorkan saja ke dalam faktor prima. Jika pemuaian mempunyai paling sedikit dua faktor yang berbeda, maka bilangan tersebut bukanlah pangkat pasti.
Cari tahu apakah angka-angka tersebut merupakan pangkat eksak: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - derajat eksak, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan pangkat eksak, karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - derajat eksak;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan pangkat pasti;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan derajat pasti;
8, 81 - derajat pasti; 48, 35, 14 - tidak.
Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.
Logaritma desimal
Beberapa logaritma sangat umum sehingga mempunyai nama dan simbol khusus.
Definisi
Logaritma desimal dari argumen x adalah logaritma ke basis 10, mis. pangkat berapa angka 10 harus dipangkatkan untuk mendapatkan angka tersebut X.
Penamaan
lgx
Misalnya log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.
Mulai sekarang, ketika frasa seperti “Temukan lg 0,01” muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda belum terbiasa dengan notasi ini, Anda selalu dapat menulis ulang:
catatan x = catatan 10x
Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk logaritma desimal.
Logaritma natural
Ada logaritma lain yang memiliki sebutan tersendiri. Dalam beberapa hal, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Kita berbicara tentang logaritma natural.
Definisi
Logaritma natural dari argumen x adalah logaritma ke basis e , yaitu pangkat yang harus dipangkatkan suatu bilangan e untuk mendapatkan nomornya X.
Penamaan
di x
Banyak orang akan bertanya: berapakah angka e? Ini adalah bilangan irasional; nilai pastinya tidak dapat ditemukan dan dituliskan. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2,718281828459...
Kami tidak akan merinci apa nomor ini dan mengapa diperlukan. Ingatlah bahwa e - basis logaritma natural:
dalam x = log e x
Jadi ln e = 1; dalam e 2 = 2; di 16 = 16 - dst. Sebaliknya, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari bilangan rasional apa pun adalah irasional. Kecuali, tentu saja, untuk kesatuan: ln 1 = 0.
Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.
Sifat dasar logaritma
Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Namun karena logaritma bukanlah bilangan biasa, maka logaritma mempunyai aturannya sendiri, yang disebut sifat dasar.
Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tanpa aturan tersebut, tidak ada satu pun masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.
Penjumlahan dan pengurangan logaritma
Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log ax dan log ay . Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:
catatan sebuah x + catatan ay =log A ( X · kamu );
catatan sebuah x − catatan ay =log A ( X : kamu ).
Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap diperhatikan: poin kuncinya di sini adalah alasan yang sama. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!
Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma meskipun bagian-bagiannya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran " "). Lihatlah contohnya dan lihat:
Temukan nilai ekspresi: log 6 4 + log 6 9.
Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
catatan 6 4 + catatan 6 9 = catatan 6 (4 9) = catatan 6 36 = 2.
Temukan nilai ekspresi: log 2 48 − log 2 3.
Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4.
Temukan nilai ekspresi: log 3 135 − log 3 5.
Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3.
Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.
Mengekstraksi eksponen dari logaritma
Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Kemudian eksponen derajat ini dapat dikeluarkan dari tanda logaritma sesuai aturan berikut:
Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.
Tentu saja Semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma dipatuhi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, yaitu. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling sering dibutuhkan.
Temukan nilai ekspresi: log 7 49 6 .
Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
catatan 7 49 6 = 6 catatan 7 49 = 6 2 = 12
Temukan arti dari ungkapan:
Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kita punya:
Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".
Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung angka yang sama: log 2 7. Karena log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.
Transisi ke yayasan baru
Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?
Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:
Dalil
Biarkan log logaritma diberikan sebuah x . Lalu untuk nomor berapa pun c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:
Khususnya, jika kita menempatkan c = x, kita peroleh:
Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.
Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma.
Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:
Temukan nilai ekspresi: log 5 16 log 2 25.
Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita ambil indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; catatan 2 25 = catatan 2 5 2 = 2 catatan 2 5;
Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:
Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.
Temukan nilai ekspresi: log 9 100 lg 3.
Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:
Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:
Identitas logaritma dasar
Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma terhadap basis tertentu. Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:
Dalam kasus pertama, nomornya N menjadi indikator derajat kedudukan dalam argumen tersebut. Nomor N bisa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.
Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Inilah yang disebut:identitas logaritmik dasar.
Faktanya, apa yang terjadi jika bilangan b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga bilangan b yang dipangkatkan tersebut menghasilkan bilangan a? Betul sekali: hasilnya sama dengan bilangan a. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.
Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.
Tugas
Temukan arti dari ungkapan:
Larutan
Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - cukup ambil kuadrat dari alas dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:
200
Kalau ada yang belum tahu, ini tugas sebenarnya dari Unified State Examination :)
Satuan logaritma dan logaritma nol
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.
log a a = 1 adalah satuan logaritmik. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma ke basis apa pun A dari titik dasar ini sama dengan satu.
log a 1 = 0 adalah logaritmik nol. Basis a bisa apa saja, tapi jika argumennya berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena sebuah 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi tersebut.
Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya!
Mari kita perkenalkan dulu definisi fungsi eksponensial.
Fungsi eksponensial $f\left(x\right)=a^x$, dengan $a >1$.
Mari kita perkenalkan properti fungsi eksponensial untuk $a >1$.
\ \[tidak ada akar\] \
Persimpangan dengan sumbu koordinat. Fungsi tersebut tidak memotong sumbu $Ox$, tetapi memotong sumbu $Oy$ di titik $(0,1)$.
$f""\kiri(x\kanan)=(\kiri(a^xlna\kanan))"=a^x(ln)^2a$
\ \[tidak ada akar\] \
Grafik (Gbr. 1).
Gambar 1. Grafik fungsi $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$.
Fungsi eksponensial $f\left(x\right)=a^x$, di mana $0
Mari kita perkenalkan properti fungsi eksponensial, pada $0
Domain definisinya adalah semua bilangan real.
$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- fungsinya bukan genap atau ganjil.
$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.
Rentang nilainya adalah interval $(0,+\infty)$.
$f"(x)=\kiri(a^x\kanan)"=a^xlna$
\ \[tidak ada akar\] \ \[tidak ada akar\] \
Fungsinya cembung di seluruh domain definisi.
Perilaku di akhir domain:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]
Grafik (Gbr. 2).
Contoh soal membangun fungsi eksponensial
Jelajahi dan plot fungsi $y=2^x+3$.
Larutan.
Mari kita lakukan penelitian dengan menggunakan contoh diagram di atas:
Domain definisinya adalah semua bilangan real.
$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- fungsinya bukan genap atau ganjil.
$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.
Rentang nilainya adalah interval $(3,+\infty)$.
$f"\kiri(x\kanan)=(\kiri(2^x+3\kanan))"=2^xln2>0$
Fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.
$f(x)\ge 0$ di seluruh domain definisi.
Persimpangan dengan sumbu koordinat. Fungsi tersebut tidak memotong sumbu $Ox$, tetapi memotong sumbu $Oy$ di titik ($0,4)$
$f""\kiri(x\kanan)=(\kiri(2^xln2\kanan))"=2^x(ln)^22>0$
Fungsinya cembung di seluruh domain definisi.
Perilaku di akhir domain:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]
Grafik (Gbr. 3).
Gambar 3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=2^x+3$
Memecahkan sebagian besar masalah matematika dengan satu atau lain cara melibatkan transformasi ekspresi numerik, aljabar, atau fungsional. Hal di atas berlaku khususnya pada keputusan. Dalam versi Ujian Negara Terpadu matematika, jenis soal ini mencakup, khususnya, tugas C3. Belajar menyelesaikan tugas C3 penting tidak hanya agar berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, tetapi juga karena keterampilan ini akan berguna ketika mempelajari mata pelajaran matematika di sekolah menengah.
Saat menyelesaikan tugas C3, Anda harus menyelesaikan berbagai jenis persamaan dan pertidaksamaan. Diantaranya adalah rasional, irasional, eksponensial, logaritma, trigonometri, mengandung modul (nilai absolut), serta gabungan. Artikel ini membahas jenis-jenis utama persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, serta berbagai metode penyelesaiannya. Baca tentang penyelesaian jenis persamaan dan pertidaksamaan lainnya di bagian “” dalam artikel yang membahas tentang metode penyelesaian masalah C3 dari Unified State Examination dalam matematika.
Sebelum kita mulai menganalisis secara spesifik persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, sebagai tutor matematika, saya menyarankan Anda memoles beberapa materi teori yang kami perlukan.
Fungsi eksponensial
Apa itu fungsi eksponensial?
Fungsi formulir kamu = sebuah x, Di mana A> 0 dan A≠ 1 dipanggil Fungsi eksponensial.
Dasar sifat-sifat fungsi eksponensial kamu = sebuah x:
Grafik Fungsi Eksponensial
Grafik fungsi eksponensialnya adalah eksponen:
Grafik fungsi eksponensial (eksponen)
Memecahkan persamaan eksponensial
Indikatif disebut persamaan di mana variabel yang tidak diketahui hanya ditemukan dalam eksponen pangkat tertentu.
Untuk solusi persamaan eksponensial Anda perlu mengetahui dan dapat menggunakan teorema sederhana berikut:
Teorema 1. Persamaan eksponensial A F(X) = A G(X) (Di mana A > 0, A≠ 1) setara dengan persamaan F(X) = G(X).
Selain itu, penting untuk mengingat rumus dasar dan operasi dengan derajat:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Contoh 1. Selesaikan persamaan:
Larutan: Kami menggunakan rumus dan substitusi di atas:
Persamaannya kemudian menjadi:
Diskriminan persamaan kuadrat yang dihasilkan adalah positif:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Artinya persamaan ini mempunyai dua akar. Kami menemukannya:
Pindah ke substitusi terbalik, kita mendapatkan:
Persamaan kedua tidak memiliki akar, karena fungsi eksponensial benar-benar positif di seluruh domain definisi. Mari kita selesaikan yang kedua:
Dengan mempertimbangkan apa yang dikatakan dalam Teorema 1, kita beralih ke persamaan ekuivalen: X= 3. Ini akan menjadi jawaban tugas tersebut.
Menjawab: X = 3.
Contoh 2. Selesaikan persamaan:
Larutan: Persamaan tersebut tidak memiliki batasan pada kisaran nilai yang diizinkan, karena ekspresi radikal masuk akal untuk nilai apa pun X(Fungsi eksponensial kamu = 9 4 -X positif dan tidak sama dengan nol).
Kami menyelesaikan persamaan dengan transformasi ekuivalen menggunakan aturan perkalian dan pembagian pangkat:
Transisi terakhir dilakukan sesuai dengan Teorema 1.
Menjawab:X= 6.
Contoh 3. Selesaikan persamaan:
Larutan: kedua ruas persamaan awal dapat dibagi 0,2 X. Transisi ini akan setara, karena ekspresi ini lebih besar dari nol untuk nilai berapa pun X(fungsi eksponensial benar-benar positif dalam domain definisinya). Maka persamaannya berbentuk:
Menjawab: X = 0.
Contoh 4. Selesaikan persamaan:
Larutan: kami menyederhanakan persamaan menjadi persamaan dasar melalui transformasi ekuivalen menggunakan aturan pembagian dan perkalian pangkat yang diberikan di awal artikel:
Membagi kedua ruas persamaan dengan 4 X, seperti pada contoh sebelumnya, merupakan transformasi ekuivalen, karena ekspresi ini tidak sama dengan nol untuk nilai apa pun X.
Menjawab: X = 0.
Contoh 5. Selesaikan persamaan:
Larutan: fungsi kamu = 3X, yang berada di sisi kiri persamaan, semakin meningkat. Fungsi kamu = —X-2/3 di sisi kanan persamaan berkurang. Artinya jika grafik fungsi-fungsi tersebut berpotongan, maka paling banyak satu titik. Dalam hal ini, mudah untuk menebak bahwa grafik-grafik tersebut berpotongan di suatu titik X= -1. Tidak akan ada akar lainnya.
Menjawab: X = -1.
Contoh 6. Selesaikan persamaan:
Larutan: kami menyederhanakan persamaan melalui transformasi ekuivalen, dengan mengingat bahwa fungsi eksponensial lebih besar dari nol untuk nilai apa pun X dan menggunakan aturan untuk menghitung hasil kali dan hasil bagi pangkat yang diberikan di awal artikel:
Menjawab: X = 2.
Memecahkan pertidaksamaan eksponensial
Indikatif disebut pertidaksamaan yang variabelnya tidak diketahui hanya terdapat pada eksponen pangkat tertentu.
Untuk solusi ketidaksetaraan eksponensial pengetahuan tentang teorema berikut diperlukan:
Teorema 2. Jika A> 1, maka pertidaksamaannya A F(X) > A G(X) setara dengan pertidaksamaan dengan arti yang sama: F(X) > G(X). Jika 0< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) setara dengan pertidaksamaan dengan arti sebaliknya: F(X) < G(X).
Contoh 7. Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan: Mari kita nyatakan pertidaksamaan awal dalam bentuk:
Mari kita bagi kedua ruas pertidaksamaan ini dengan 3 2 X, dalam hal ini (karena kepositifan fungsinya kamu= 3 2X) tanda pertidaksamaan tidak akan berubah:
Mari kita gunakan substitusi:
Maka pertidaksamaan tersebut akan berbentuk:
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah intervalnya:
beralih ke substitusi terbalik, kita mendapatkan:
Pertidaksamaan kiri, karena kepositifan fungsi eksponensial, terpenuhi secara otomatis. Dengan menggunakan sifat logaritma yang terkenal, kita beralih ke pertidaksamaan ekuivalen:
Karena basis derajatnya adalah angka yang lebih besar dari satu, ekuivalennya (menurut Teorema 2) adalah transisi ke pertidaksamaan berikut:
Jadi, kami akhirnya mendapatkannya menjawab:
Contoh 8. Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan: Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian dan pembagian pangkat, kita tulis ulang pertidaksamaan tersebut dalam bentuk:
Mari perkenalkan variabel baru:
Dengan mempertimbangkan substitusi ini, pertidaksamaan tersebut berbentuk:
Mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan 7, kita memperoleh pertidaksamaan ekuivalen berikut:
Jadi, nilai variabel berikut memenuhi pertidaksamaan T:
Kemudian, beralih ke substitusi terbalik, kita mendapatkan:
Karena basis derajat di sini lebih besar dari satu, transisi ke pertidaksamaan akan setara (menurut Teorema 2):
Akhirnya kita dapatkan menjawab:
Contoh 9. Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan:
Kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan ekspresi:
Selalu lebih besar dari nol (karena kepositifan fungsi eksponensial), sehingga tanda pertidaksamaan tidak perlu diubah. Kita mendapatkan:
t terletak pada interval:
Pindah ke substitusi terbalik, kita menemukan bahwa pertidaksamaan awal terbagi menjadi dua kasus:
Pertidaksamaan pertama tidak memiliki solusi karena fungsi eksponensialnya positif. Mari kita selesaikan yang kedua:
Contoh 10. Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan:
Cabang parabola kamu = 2X+2-X 2 diarahkan ke bawah, oleh karena itu dibatasi dari atas oleh nilai yang dicapai pada titik puncaknya:
Cabang parabola kamu = X 2 -2X Tanda +2 pada indikator mengarah ke atas, artinya dibatasi dari bawah oleh nilai yang dicapai pada titik puncaknya:
Pada saat yang sama, fungsinya juga dibatasi dari bawah kamu = 3 X 2 -2X+2, yang ada di sisi kanan persamaan. Ia mencapai nilai terkecilnya pada titik yang sama dengan parabola pada eksponennya, dan nilainya adalah 3 1 = 3. Jadi, pertidaksamaan awal hanya bisa benar jika fungsi di sebelah kiri dan fungsi di sebelah kanan bernilai , sama dengan 3 (perpotongan rentang nilai fungsi-fungsi ini hanya pada angka ini). Kondisi ini terpenuhi pada satu titik X = 1.
Menjawab: X= 1.
Untuk belajar memutuskan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, perlu untuk terus berlatih dalam menyelesaikannya. Berbagai alat peraga, buku soal matematika dasar, kumpulan soal kompetitif, kelas matematika di sekolah, serta pelajaran individu dengan tutor profesional dapat membantu Anda dalam tugas sulit ini. Saya dengan tulus berharap Anda sukses dalam persiapan Anda dan hasil ujian yang luar biasa.
Sergei Valerievich
P.S. Para tamu yang terhormat! Tolong jangan menulis permintaan untuk menyelesaikan persamaan Anda di komentar. Sayangnya, saya tidak punya waktu untuk itu. Pesan-pesan seperti itu akan dihapus. Silakan baca artikelnya. Mungkin di dalamnya Anda akan menemukan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan yang tidak memungkinkan Anda menyelesaikan tugas Anda sendiri.
Mari kita cari nilai ekspresi untuk berbagai nilai rasional variabel x=2; 0; -3; -
Perhatikan bahwa berapa pun bilangan yang kita substitusikan ke variabel x, kita selalu dapat menemukan nilai ekspresi ini. Artinya kita sedang mempertimbangkan fungsi eksponensial (E sama dengan tiga pangkat x), yang didefinisikan pada himpunan bilangan rasional: .
Mari kita buat grafik fungsi ini dengan menyusun tabel nilainya.
Mari kita menggambar garis halus yang melalui titik-titik ini (Gambar 1)
Dengan menggunakan grafik fungsi ini, mari pertimbangkan propertinya:
3.Meningkat di seluruh area definisi.
- rentang nilai dari nol hingga plus tak terhingga.
8. Fungsinya cembung ke bawah.
Jika kita membuat grafik fungsi dalam satu sistem koordinat; y=(y sama dengan dua pangkat x, y sama dengan lima pangkat x, y sama dengan tujuh pangkat x), maka Anda dapat melihat bahwa keduanya mempunyai sifat yang sama dengan y= (y sama dengan tiga pangkat x) (Gbr. .2), yaitu, semua fungsi berbentuk y = (a sama dengan a pangkat x, untuk lebih besar dari satu) akan memiliki sifat seperti itu
Mari kita plot fungsinya:
1. Menyusun tabel nilainya.
Mari kita tandai titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat.
Mari kita menggambar garis halus yang melalui titik-titik ini (Gambar 3).
Dengan menggunakan grafik fungsi ini, kami menunjukkan propertinya:
1. Daerah definisi adalah himpunan semua bilangan real.
2. Tidak genap dan tidak ganjil.
3. Menurun di seluruh domain definisi.
4. Tidak mempunyai nilai terbesar maupun terkecil.
5.Terbatas di bawah, namun tidak terbatas di atas.
6. Berkelanjutan di seluruh domain definisi.
7. rentang nilai dari nol hingga plus tak terhingga.
8. Fungsinya cembung ke bawah.
Demikian pula jika kita membuat grafik fungsi dalam satu sistem koordinat; y = (y sama dengan setengah pangkat x, y sama dengan seperlima pangkat x, y sama dengan sepertujuh pangkat x), maka Anda dapat memperhatikan bahwa mereka mempunyai sifat yang sama dengan y = (y sama dengan sepertiga pangkat x (Gbr. 4), yaitu semua fungsi berbentuk y = (y sama dengan satu dibagi a pangkat x, dengan yang lebih besar dari nol tetapi kurang dari satu) akan mempunyai sifat seperti itu.
Mari kita buat grafik fungsi dalam satu sistem koordinat
Artinya grafik fungsi y=y= juga akan simetris (y sama dengan a pangkat x dan y sama dengan satu dibagi a pangkat x) untuk nilai a yang sama.
Mari kita rangkum apa yang telah dikatakan dengan mendefinisikan fungsi eksponensial dan menunjukkan sifat-sifat utamanya:
Definisi: Suatu fungsi berbentuk y=, di mana (a sama dengan a pangkat x, di mana a positif dan berbeda satu), disebut fungsi eksponensial.
Perlu diingat perbedaan antara fungsi eksponensial y= dan fungsi pangkat y=, a=2,3,4,…. baik secara audio maupun visual. Fungsi eksponensial X adalah pangkat, dan untuk fungsi pangkat X adalah dasarnya.
Contoh1: Selesaikan persamaan (tiga pangkat x sama dengan sembilan)
(Y sama dengan tiga pangkat X dan Y sama dengan sembilan) Gambar 7
Perhatikan bahwa mereka memiliki satu titik yang sama M (2;9) (em dengan koordinat dua; sembilan), yang berarti absis titik tersebut akan menjadi akar persamaan ini. Artinya, persamaan tersebut mempunyai akar tunggal x = 2.
Contoh 2: Selesaikan persamaannya
Dalam satu sistem koordinat, kita akan membuat dua grafik fungsi y= (y sama dengan lima pangkat x dan y sama dengan satu per dua puluh lima) Gambar 8. Grafik tersebut berpotongan di satu titik T (-2; (te dengan koordinat minus dua; satu dua puluh lima). Artinya akar persamaannya adalah x = -2 (angka dikurangi dua).
Contoh 3: Selesaikan pertidaksamaan
Dalam satu sistem koordinat kita akan membuat dua grafik fungsi y=
(Y sama dengan tiga pangkat X dan Y sama dengan dua puluh tujuh).
Gambar 9 Grafik fungsi terletak di atas grafik fungsi y=at
x Oleh karena itu, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah interval (dari minus tak terhingga hingga tiga)
Contoh 4: Selesaikan pertidaksamaan
Dalam satu sistem koordinat, kita akan membuat dua grafik fungsi y= (y sama dengan seperempat pangkat x dan y sama dengan enam belas). (Gbr. 10). Grafik tersebut berpotongan di satu titik K (-2;16). Artinya penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah interval (-2; (dari minus dua hingga plus tak terhingga), karena grafik fungsi y= terletak di bawah grafik fungsi di x
Alasan kami memungkinkan kami untuk memverifikasi validitas teorema berikut:
Tema 1: Jika benar jika dan hanya jika m=n.
Teorema 2: Jika benar jika dan hanya jika, pertidaksamaan benar jika dan hanya jika (Gbr. *)
Teorema 4: Jika benar jika dan hanya jika (Gbr.**), pertidaksamaan tersebut benar jika dan hanya jika. Teorema 3: Jika benar jika dan hanya jika m=n.
Contoh 5: Grafik fungsi y=
Mari kita ubah fungsinya dengan menerapkan properti derajat y=
Mari kita buat sistem koordinat tambahan dan pada sistem koordinat baru kita akan membuat grafik fungsi y = (y sama dengan dua pangkat x) Gambar 11.
Contoh 6: Selesaikan persamaannya
Dalam satu sistem koordinat kita akan membuat dua grafik fungsi y=
(Y sama dengan tujuh pangkat X dan Y sama dengan delapan dikurangi X) Gambar 12.
Grafik tersebut berpotongan di satu titik E (1; (e dengan koordinat satu; tujuh). Artinya akar persamaannya adalah x = 1 (x sama dengan satu).
Contoh 7: Selesaikan pertidaksamaan
Dalam satu sistem koordinat kita akan membuat dua grafik fungsi y=
(Y sama dengan seperempat pangkat X dan Y sama dengan X ditambah lima). Grafik fungsi y=terletak di bawah grafik fungsi y=x+5 jika penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah interval x (dari minus satu hingga plus tak terhingga).
